数值分析第五版课后答案2篇

数值分析第五版课后答案2篇

数值分析第五版课后答案（一）

第一章

1.1 机器精度的数值为2^-52 ≈ 2.22 × 10^-16。

1.2 Example 1.2

设f(x) = (1 - cosx)/sinx，则f(0)的分母为0，无法进行数值计算。

1.3 Example 1.3

设f(x) = (1 - cosx)/sinx，则f(0)的分子为0，因此有f(0) = 0。

1.4 Example 1.4

(a) 将x的值从1.8改为1.799，则f(x)的值由-0.000000000000159为0.000000000000313，差值为0.000000000000472。

(b) 我们有f'(x) = sinx/(1 - cosx) - 1/sin^2x。将x的值从1.8改为1.799，利用f(x)和f'(x)的值可以得到下面的近似式：

f(x + Δx) ≈ f(x) + f'(x)Δx = -0.000000000000159 + 0.449787416887455×0.001 = -0.000000000000137。与(a)中的结果相近。

1.5 Example 1.5

(a) 当x很接近于0时，函数值的符号取决于cosx的符号，其中cosx接近于1。因此，函数值为正。

(b) 当x很接近于π时，函数值的大小趋于无穷大，因为分母趋向于0，而分子不为0。

1.6 Example 1.6

(a) 因为函数在x = 0处是奇函数，所以它的导数为偶函数。

(b) 首先，我们有f''(0) = -2，因此x = 0是最大值。其次，我们有f''(x) = -2 - 8sin^2x。由于-f''(x)在x = 0处是正的，我们有当x越接近0时，f''(x)越小，也就意味着函数在x = 0处是严格的最大值。

1.7 Example 1.7

(a) 我们有f(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6，f'(x) =

3x^2 - 4x - 5和f''(x) = 6x - 4。因此，f'(x)在x = 1处为负，意味着f(x)在该点处是局部最大值。

(b) 对于该问题，我们可以使用牛顿法。首先，我们有f'(x) = 3x^2 - 4x - 5和f''(x) = 6x - 4。因此，我们得到下面的迭代公式：

xn+1 = xn - f'(xn)/f''(xn) = xn - (3xn^2 - 4xn -

5)/(6xn - 4)

我们选取x0 = 1，并利用上述公式计算xn，直到|xn+1

- xn| < ε，其中ε为给定的容差值。最终的解为x* ≈

2.224746871733677。

1.8 Example 1.8

(a) 我们有f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1和f'(x) =

3x^2 - 6x + 3。因此，若f'(x) = 0，则3(x - 1)^2 = 0，即x = 1。在这个点上，函数的导数为0，但函数没有极值。

(b) f''(x) = 6x - 6，在x = 1处的值为0。此外，我们有f'''(x) = 6，因此x = 1是函数的拐点。

1.9 Example 1.9 (a) 由于f(0.4) > 0和f(0.5) < 0，因此[0.4, 0.5]是函数的一个根所在的区间。

(b) 对于该问题，我们可以使用二分法。首先，我们选取a = 0.4和b = 0.5，并计算出f(a)和f(b)的符号。接下来，我们选取区间中点c = (a + b)/2，并计算f(c)的符号。然后，根据符号的变化选取下一个区间。重复上述步骤，直到区间的长度小于给定的容差值ε。最终的解为根所在的区间的中点。

1.10 Example 1.10

(a) 我们有f(x) = sinx/x - 1/π，因此f(x)在x = π处的值为0。

(b) 当x接近于π时，分子趋向于0，而分母趋向于π

- x。因此，f(x)的值趋向于-1/π。

1.11 Example 1.11

(a) 在x = 1处，函数是连续的，但不可导。

(b) 在x = 0处，函数不连续。

(c) 在x = -1处，函数是连续的，但不可导。

1.12 Example 1.12

(a) 由于在x = 0处，f(x)的分母为0，因此函数在该点处不连续。

(b) 我们有f(x) = sinx/x - 1。因此，在x = 0处，f(x)的分子为0，而分母趋向于0。因此，该函数在x = 0处有一个可去的间断点。

1.13 Example 1.13

(a) 我们有f(x) = (x - 1)e1/x和g(x) = f(x)/x。因此，在x = 0处，f(x)的值为0，而g(x)的值趋向于0。

(b) 我们有f'(x) = [(x - 1)e1/x - e1/x]/x^2，因此，在x = 0处，f'(x)的值为0。

(c) 我们有g'(x) = [(x - 1)e1/x - e1/x]/x^2 - 1/x，因此，在x = 0处，g'(x)的值为-1。

1.14 Example 1.14

(a) 我们有f(x) = (1 - e-x)/x。当x趋向于0时，分母趋向于0，因此函数趋向于无穷大。

(b) 若f(x)在x = 0处有一个可去的间断点，则f(x)的极限为有限值L。因此，我们应有L = limx→0 (1 - e-x)/x

= limx→0 ex - 1/xex = 0。因此，f(x)在x = 0处无可去间断点。

1.15 Example 1.15

(a) 我们有f(x) = sin(1/x)，因此，当x趋向于0时，函数振幅越来越大，且没有极限。

(b) 对于该函数，我们无法找到一个小的ε>0，使得当|x| < ε时，f(x)的值都在一个有限的区间内。因此，该函数在x = 0处不连续。

第二章

2.1 Example 2.1

(a) 我们有∂f/∂x = 2x + e-2y和∂f/∂y = -2e-2y +

2y。因此，(∂f/∂x)π ≈ 2π = 6.2832和(∂f/∂y)π ≈

-2.5。

(b) 我们有f(x, y) = x^2 + e-2y + y^2。因此，H(x,

y) = [2 0; 0 -4e-2y + 2]。当(x, y) = (π, 1)时，H(π,

1) = [2 0; 0 -4e-2 + 2]。因此，H(π, 1)的特征值为λ1

= 2和λ2 = -4e-2 + 2。因为λ1 > 0和λ2 < 0，所以(x,

y) = (π, 1)是一个局部最小值。

2.2 Example 2.2 (a) 我们有∂f/∂x = -4(3 - x^2)y + 3x^3和∂f/∂y

= -4x(3 - y^2) + 3y^3。因此，(∂f/∂x)π ≈ -72π +

27π^3和(∂f/∂y)π ≈ -54 + 81π^2。

(b) 我们有f(x, y) = (3 - x^2)y + x^3 + (3 - y^2)x

+ y^3。因此，H(x, y) = [-6y 3 - 2x; 3 - 2y - 6x -2y].当(x, y) = (π, π)时，H(π, π) = [-6π 3 - 2π; 3 -

2π - 6π -2π]。因此，H(π, π)的特征值为λ1 = -5π和λ2 = -π。因为λ1 < 0和λ2 < 0，所以(x, y) = (π,

π)是一个局部最大值。

2.3 Example 2.3

(a) 首先，我们有f(x, y) = x^2 + xy - y^3 - 3y。因此，∂f/∂x = 2x + y和∂f/∂y = x - 3y^2 - 3。使∂f/∂x = 0和∂f/∂y = 0，可以得到x = 3和y = -1。因此，(x, y) = (3, -1)是一个临界点。此外，我们有H(x, y)

= [2 1; 1 -6y]。当(x, y) = (3, -1)时，H(3, -1) = [2 1;

1 6]。因此，H(3, -1)的特征值为λ1 ≈ 8.565和λ2 ≈ -0.565。因为λ1 > 0和λ2 < 0，所以(x, y) = (3, -1)是一个极大值。

(b) 我们应该使用牛顿法来寻找最小值。首先，我们计算∇f(x, y)和H(x, y)的值，并得到下面的迭代公式：

(xn+1, yn+1) = (xn, yn) - H^-1(xn, yn)∇f(xn, yn)

我们选取x0 = 0和y0 = 0，并利用上述公式计算xn和yn，直到|f(xn, yn) - f(0, 0)| < ε，其中ε为给定的容差值。最终的解为(x*, y*) ≈ (-0.334832, 0.445436)。

2.4 Example 2.4

(a) 由于f(x, y)在x = 0和y = 0处的值相等，因此对于所有点(x, y)在原点附近，它们到原点的距离相等。因此，函数在原点处没有极值。

(b) 我们有f(x, y) = x^2 - y^2，则∂f/∂x = 2x和∂f/∂y = -2y。因此，(∂f/∂x)(0, 0) = 0和(∂f/∂y)(0,

0) = 0。无法得到有用的信息。

(c) 我们有f(x, y) = x^3 + y^3 - 3x - 3y + 5，则∂f/∂x = 3x^2 - 3和∂f/∂y = 3y^2 - 3。因此，(∂f/∂x)(0, 0) = -3和(∂f/∂y)(0, 0) = -3。因为该函数在(0, 0)处有一个临界点，所以我们应该计算H(0, 0)。利用二阶偏导数，我们有H(0, 0) = [6 0; 0 6]。因此，H(0,

0)的特征值为λ1 = 6和λ2 = 6。因为λ1 > 0和λ2 > 0，所以(0, 0)是一个局部最小值。

2.5 Example 2.5

(a) 我们可以将f(x, y)写为g(x) + h(y)，其中g(x) =

xsinx和h(y) = y^2 - 3cosy。因此，∂f/∂x = xsinx +

cosx和∂f/∂y = 2y + 3siny。因此，我们得到下面的方程组：

xsinx + cosx = 0

2y + 3siny = 0

利用牛顿法，我们可以得到x* ≈ 0.739、y* ≈ -1.171和f(x*, y*) ≈ -2.081。

(b) 我们有f(x, y) = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 + 4x - 4y

+ 4。因此，∂f/∂x = 4x^3 + 4xy^2 + 4和∂f/∂y =

4x^2y + 4y^3 - 4。因此，我们得到下面的方程组：

4x^3 + 4xy^2 + 4 = 0

4x^2y + 4y^3 - 4 = 0

求解上述方程组，我们可以得到x* ≈ -0.541和y* ≈

0。因此，f(x*, y*) ≈ 6.024。