人教版九年级数学上册 21.2解一元二次方程——21.2.2公式法 同步练习

1 21.2.2 公式法

※教学目标※

【知识与技能】

1.理解并掌握求根公式的推导过程．

2.能利用公式法求一元二次方程的解．

【过程与方法】

经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力．

【情感态度】

用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严禁认真的科学态度．

【教学重点】

求根公式的推导和公式法的应用．

【教学难点】

一元二次方程求根公式的推导．

※教学过程※

一、复习导入

1.前面我们学习过直接开平方法解一元二次方程，比如，方程24x=，()227x-=：

提问1 这种解法的（理论）依据是什么？

提问2 这种解法的局限性是什么？（只对那种“平方式等于非负数”的特殊的一元二次方程有效，不能实施于一般形式的一元二次方程）

2.面对这种局限性，我们该怎么办？（使用配方法，把一般形式的一元二次方程化为能够直接开平方的形式）

（学生活动） 用配方法解方程：2237xx+=．

总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）

（1）先将已知方程化为一般形式；

（2）二次项系数化为1；

（3）常数项移到右边；

（4）方程两边都加上一次项系数的一般的平方，使左边配成一个完全平方式；

（5）变形为()2xnp+=的形式，如果0p³，就可以直接开平方求出方程的解，如果

0p<，则一元二次方程无解．

二、探索新知

能否用上面配方法的步骤求出一元二次方程()200axbxca++=?的两根？

移项，得2axbxc+=-．

二次项系数化为1，得2bcxxaa+=-．

配方，得22222bbcbxxaaaa骣骣琪琪++=-+琪琪桫桫，即222424bbacxaa骣-琪+=琪桫．

此时，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：

（1）两边能直接开平方吗？为什么？ 2 （2）你认为下一步该怎么办？

师生共同完善认知：

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21．2.2 公式法

1．知道一元二次方程根的判别式的概念．

2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围．

3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程．

一、情境导入

老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？

二、合作探究

探究点一：一元二次方程的根的情况

【类型一】判断一元二次方程根的情况

不解方程，判断下列方程的根的情况．

(1)2x2＋3x－4＝0；

(2)x2－x＋14＝0；

(3)x2－x＋1＝0.

解析：根据根的判别式我们可以知道当b2－4ac≥0时，方程才有实数根，而b2－4ac<0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况．

解：(1)2x2＋3x－4＝0，a＝2，b＝3，c＝－4，∴b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根．

(2)x2－x＋14＝0，a＝1，b＝－1，c＝14.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×14＝0.∴方程有两个相等的实数根．

(3)x2－x＋1＝0，a＝1，b＝－1，c＝1.∴b2－4ac＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根．

方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．

【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值

已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )

A．a>2 B．a<2

C．a<2且a≠1 D．a<－2

解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a－1不为0.即4－4(a－1)＞0且a－1≠0，解得a＜2且a≠1.选C.

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1 / 18 《21.2 降次——解一元二次方程》

一、选择题（共13小题）

1．一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（ ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

2．下列关于x的方程有实数根的是（ ）

A．x2﹣x+1=0 B．x2+x+1=0 C．（x﹣1）（x+2）=0 D．（x﹣1）2+1=0

3．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

4．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a•c≠0，a≠c．下列四个结论中，错误的是（ ）

A．如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根

B．如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同

C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根

D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1

5．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（ ）

A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根

C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根

6．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（ ）

A．没有实数根 B．只有一个实数根

C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根

7．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（ ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．两个根都是自然数 D．无实数根

8．若一元二次方程x2+2x+a=0的有实数解，则a的取值范围是（ ）

A．a＜1 B．a≤4 C．a≤1 D．a≥1

9．下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（ ）

A．x2﹣8=0 B．2x2﹣4x+3=0 C．9x2+6x+1=0 D．5x+2=3x2

- 1 - 第3课时 用公式法解一元二次方程

● 教学目标

1.理解一元二次方程求根公式的推导.

2.会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.

3．理解一元二次方程的根的判别式，并会用它判别一元二次方程根的情况．

● 重点难点

1. 公式法解一元二次方程，并会用根的判别式判别一元二次方程根的情况（重点）.

2. 一元二次方程求根公式法的推导（难点）..

● 教学过程

一、复习引入：

1、用配方法解下列方程：

（1）x²－4x－12＝0；（2）5x²－3x＝7x＋15．

复习归纳用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）将方程二次项系数化成 1；

（2）移项；

（3）配方；

（4）化为（x + n）2= p（n，p 是常数，p≥0）的形式；

（5）用直接开平方法求得方程的解．

2、导入：配方法是我们求解一元二次方程时常用的方法，但有时配方过程较为繁琐，用配方法求解一元二次方程较为麻烦，除了配方法外还有一种求解一元二次方程的通用方法──公式法。

二、任何一个一元二次方程都可以写成一般形式：002acbxax

能否也用配方法得到这个一般式的根呢？

（师生一起回顾配方法的步骤进行配方）：

002acbxax

cbxax2

acxabx2

222)2()2(abacabxabx

- 2 - 222442aacbabx）（

因为0a,所以04a2，式子acb42的值可分以下三种情况：

（1）当acb42>0，

aacb242abx2

aacb242abx2，或aacb242abx2

所以 aacbb24x21，aacbb24x22

（2）当acb42=0，

则04422aacb，

所以ab2xx21

（3）当acb42<0，

则04422aacb，即022）（abx

所以此方程无实数根。