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江苏大学线性系统理论(现代控制理论)考试必备--第3章

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现代控制理论-线性控制系统的能控性与能观性例题精选全文完整版

现代控制理论-线性控制系统的能控性与能观性例题精选全文完整版
x Ax Bu
如果线性定常系统： y Cx 是状态不完全能控的， 它的能控性判别矩阵的秩
rankM n1 n
则存在非奇异变换：x Rcxˆ
将状态空间描述变换为：
xˆ y
Aˆ xˆ Cˆ xˆ
Bˆ u
n1 n n1
其中：
xˆ
xˆ1
xˆ
2
n1
n n1
Aˆ
R c1AR c
Aˆ 11 0
3.6.1 线性系统的对偶关系
线性系统1、2如下：
1：yx 11
A1x1 C1x1
B1u1
2：
x 2 y 2
A2x2 C2x2
B2u2
如果满足如下关系
A2 A1T , B2 C1T , C2 B1T
则称两系统是互为对偶的.
u1(t) B
x1(t)
x1(t)
++
∫
y1(t) C
A
y2(t) BT
0
A 0 1 0 , b 0, c 1 1 1
1 4 3
1
解： 能控性矩阵
0 1 4
M b Ab A2b 0 0
0
1 3 8
rankM 2 n1 dim A n 3 不能控
构造变换矩阵
0 1 0 Rc 0 0 1
1 3 0
✓与前2个列向量 线性无关； ✓尽可能简单
结构分解
u
co
y
co
依据能控能观 性，将系统分解
co
为四个子系统
co
x Ax Bu
y Cx Du
特殊的线性变换
x xTco xTco xTco xTco
分解步骤：
1、将系统分解成能控与不能控子系统；

现代控制理论3

现代控制理论3

3
x3
b31
b32
b3 p
u3
xn
n xn bn1 bn2 bnp u p
➢其中的对角部分应用对角形可控判据 ，即要求输入矩阵B中 不出现全零行，则系统对角部分的状态可控。
➢约当部分，展开后可得
x&1 1x1 x2 b11u1 b12u2 L b1pup
x&2 1x2 b21u1 b22u2 L b2 pup
要求约当块最后一行对应的输入矩阵B中的行不出现全零行，则 系统约当部分的状态可控。
(b)
x&1 1 1
x&2
1
x1 b11 b12 L
x2
b21
b22
L
x&3
x&4
1 1
x3 x4
b31 b41
限 时 间 间 隔 0≤t≤nT 内 ， 针 对 任 意 初 态 x(0) 和 任 意 终 态
x(n)，当k＝n时，u(0)，u(1)，…，u(n-1)一定存在。
因此，k=n时，u(0)，u(1)，…，u(n-1)的解存在的条
件，即为系统可控时应满足的条件
令k=n ，
n1
x(n) Gn x(0) Gdetb
det Sc 0
Ab b1
b2
1b1 2b2
2b1b2 1b1b2
1 2
b1 0, b2 0
输入阵中无全零行
A
1
0
1
1
b
b1 b2
det Sc det b
Ab b1 b2
1b1 b2 1b2
1b1b2 (1b1 b2 )b2 b22
(2) 线性定常连续系统可控性判据

现代控制理论第三章习题解答

现代控制理论第三章习题解答

第三章习题答案3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。

系统中a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？ （1）系统如图3.16所示：图3.16 系统模拟结构图解：由图可得：343432112332211x y dx x x cx x x x x cx x bx x u ax x =-=-+=++-=-=+-=∙∙∙∙状态空间表达式为：[]xy ux x x x d c b a x x x x 0100000110001100000043214321=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙由于∙2x 、∙3x 、∙4x 与u 无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。

由于y 只与3x 有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。

（3）系统如下式：x d c y ub a x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙00000012200010011321321 解：如状态方程与输出方程所示，A 为约旦标准形。

要使系统能控，控制矩阵b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有0,0≠≠b a 。

要使系统能观，则C 中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有0,0≠≠d c 。

3-2时不变系统X y u X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∙111111113113试用两种方法判别其能控性和能观性。

解：方法一：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2-2-112-2-11AB B M 1111,1111,3113C B A系统不能控。

,21<=rankM ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=44221111CA C N 系统能观。

现代控制理论第三章

现代控制理论第三章
方法一： 直接根据状态方程的A阵和B阵
方法二：
转化为约旦标准形 ( Aˆ, Bˆ ) ，再根据 Bˆ 判断
方法三： 传递函数
3.2 线性连续系统的能控性
方法一：线性定常连续系统(A，B), 其状态完全能控的 充要条件是其能控性矩阵的秩为n，即：
rankQc = n Qc = [ B AB A2B … An 1B ]
0 0 2
3
4 1 0
4 2
(2)
x (t)
0
4
0 x(t) 0 0u(t)
0 0 2
3 0
3.2 线性连续系统的能控性 方法三：
3.2 线性连续系统的能控性 例：从输入和状态矢量间的传递函数确定其能控性？
3.2 线性连续系统的能控性 例：判断线性连续系统能控性？
解：
3.2 线性连续系统的能控性
3.3 线性系统的能观测性
例：判断能观测性？
x (t)
2 1
1 3
x(t
)
1
1
u(t)
y(t
)
1 1
0 0 x(t)
解：
C Q0 CA
10 1 0
2 1 2 1
rankQo = 2 = n
系统能观测
3.3 线性系统的能观测性
例： 若系统的状态空间表达式为
x (t)
a d
5
x(t
)
1
7
（2）
x (t)
5
x(t)
1
y(t) 0 4 5x(t)
3 2 0 y(t) 0 3 1 x(t)
（3）
3 1 0
0 3 1
x (t) 0 0 3
x(t)
2

现代控制理论第三章

现代控制理论第三章

Hu i
i0
从该式可知, 在线性定常离散系统中,设其状态转移 阵为 k ，则 k G k 是满足下列方程的唯一解
k 1 G k
0 I
3.5 线性定常离散系统的受控运动
（二）Z变换法
G
k
G
i0
k 1
k i 1
zI G z Hu i Z zI G
a 0 t , a 1 t , , a n 1 t
e
At
n 1


n 1
a k t A
k
k 0
式中,
为 t 的函数. 根据 A 的不同
特征值情况， 由不同的公式给出.
3.3 线性系统的受控运动
动态系统在控制作用下的运动,称为受控运动. 若受控线性状态方程
x t A t x t B t u t , x t 0 x 0

k 1 T
1 T , kT

kT
k 1 T , B d
D k D t t kT
t , t 0 ——连续系统的状态转移矩阵
3.6 线性连续系统的离散化
当采样周期很小时, 有下面的近似关系.
G kT I TA kT
线性时变离散系统的状态空间模型如下:
x k 1 G k x k H k u k
y k C k x k D k u k , k 0 , 1, 2 ,
线性定常离散系统的状态空间模型如下:
x k 1 Gx k Hu k
（三）矩阵指数（状态转移矩阵）的性质:

现代控制理论第三章线性系统的能控性和能观测性

现代控制理论第三章线性系统的能控性和能观测性

1 x1 u x 2 2 x2 u x y x x 1 2
1 x
u
1 s 1 s
2
x1
y
x2
2 x
由于状态变量x1、x2都受控于输入u，所以系统 是能控的；输出y能反映状态变量x1，又能反映状 态变量x2的变化，所以系统是可观测的。 即状态变量x1能控、可观测；状态变量x2能控、 可观测。
任意初态 x(t0 ) x 零终态 x(t f ) 0
状态完全能控
Байду номын сангаас
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点， 即 x(t 0 ) 0，终端状态规定为任意非零有限点， 则可达定义表述如下： 对于给定的线性定常系统
Ax Bu ，如果 x
存在一个分段连续的输入 u (t )，能在 [t 0 , t f ] 有限时间间隔内，将系统由零初始状态 x(t 0 ) 转移 到任一指定的非零终端状态 x(t f ) ，则称此系统 是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。 任意初态 x(t0 ) 0 零终态 x(t f ) x 状态完全可达
第 三章 线性控制系统式的能控性和能观测性
1. 直接由A，B矩阵的结构判断系统的能控性 定理： 系统
( A, B )
即
A(t )x B(t )u x y C (t )x D(t )u
状态完全能控的充分必要条件是其能控性矩阵
Qk [ B AB A2 B An1 B]
一、线性定常连续系统状态能控性的定义 定义3.1（状态能控性定义）：
Ax Bu，如果存在一个 对于线性定常系统 x 分段连续的输入u(t)，能在有限时间间隔[t0,tf]内， 使得系统从某一初始状态x(t0)转移到指定的任一 终端状态x(tf) ，则称此状态是能控的。若系统的 所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能 控的，简称系统是能控的。

现代控制理论第三章答案


T
T
∫
T
0
e− At BBT e− A t dt 是奇异的， 则存在非零向量 a ，
T
aWC (0, T ) = 0
从而有
aWC (0, T )aT = ∫ ae− At BBT e− A t dt = ∫ (ae− At B)(ae− At B)T dt = 0
T
T
T
0
0
由积分性质和上式可得
ae− Aτ B = 0
0⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 2⎦
试分析该系统的能控性。结合对象分析该系统能控性的实际意义。
⎡0 ⎢1 2 3 ⎢ Γ c [ A, B ] = ⎡ ⎣ B AB A B A B ⎤ ⎦ = ⎢0 ⎢ ⎣0
而
0 0 0 2
1 0 0 0
0 0 0 −1 2 ⎤ 0 −1 2 0 0 ⎥ ⎥ 2 0 0 2 −4 ⎥ ⎥ 0 2 −4 0 0 ⎦
n −1
B] 是否行满秩来判别线性时不变系统的能控
性。若能控性判别矩阵是行满秩的，则系统是能控的。 能控性在系统设计中的作用： 能控性保证了可以通过外部控制律来改变系统状态的运动 行为。 3.2 试判断以下系统
= Ax + Bu x
的能控性。其中：
⎡ 1 0⎤ ⎡1⎤ （1） A = ⎢ , B = ⎢ ⎥； ⎥ ⎣ -1 0 ⎦ ⎣0⎦
0
T1
T2
}
T1
}
根据定义， α x1 + β x2 是能控的。
3.5
若系统（3.1.1）是能控的，则对任意的状态 x0 和 xT ，试求一个控制律，使得系统状 （这说明了只要系统是能控的，则总可以找到适当的 态从 x (0) = x0 转移 x (T ) = xT 。 控制律，使得系统从初始状态转移到任意给定的状态。 ）

《现代控制理论》第三版 第三章.习题答案

0 0 0 0 B0 1 1 2 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 , 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Co 0m 0m I m 0 0 0 0 0 1 第二步 : 判别该能观标准型实现的状态 是否完全能控。
T T T
0 1 0 Rc 0 0 1 （ 第 3 列 为 保 证 1 0 0 0 0 1 1 det Rc 0 ） Rc 1 0 0 0 1 0 0 1 4 ˆ R 1 AR 1 2 2 所以 A c c 0 0 2 ˆ R 1b 1 0 0T b
所以系统不能控不能观系统中a由系统模拟图可得状态空间表达式显然所以系统不可控系统显然所以系统不可观没有影响
第三章 作业
参考答案 3-1 （1） 法一：根据系统模拟结构图可以看出； 对应状态 x2 的方块是一个与输入 u 无联 系的孤立部分，于是不能控；状态 x4 对 输出 y 不产生任何影响， 于是不能观。 所以系统不能控不能观， 系统中 a, b, c, d 的取值对能控性与能观性没有影响。 法二： 由系统模拟图可得状态空间表 达式
Rank ( N ) 3 6 ， 所以该能控标准型实现
不是最小实现。为此必须按能观性进行
结构分解。 第三步，构造变换矩阵 Ro1 ，将系统按能 观性进行结构分解。取 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 Ro ，求得 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 Ro 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 于是

现代控制理论第三章答案可修改全文


xc xc
0u 0
y cRc 1
1
1
xc xc
【习题3－12】试将下列系统按能观性进行结构分解。
1 2 1 0
(1) x 0 1
0
x
0u
1 4 3 1
y 1 1 1x
【解】判别能观性
c 1 1 1
N
cA
2
3
2
cA2 4 7 4
构造变换矩阵
Rank(N ) 2 n
将能控子空间按能观性分解
xc
0 1
8 1/ 3 6xc 1/ 6
1/ 3 1 1/ 3xc 0u
y1 1 2xc
c 1 2 Nc cA 2 4
Rank(Nc ) 1
Ro1
1 1
2
0
0 1 Ro 1/ 2 1/ 2
按能观性分解后：
0 0
即：
2 1 1
(2)
A
1 3
2
4
b
1 1
c 1
0
【解】M b
Ab
1 1
1 2
3
4
c 1 0
N cA 1
2
1 M
1
1 2 3 4
3 4 1 2
0
10
N
1
2 2 0
完全能控完全能观的条件：
3 2
4
0
1
2
0
(3)
M b
0 0 2 1
A 1
0
3
b
2
Ac 2
Tc21 ATc2
0 1
5 4
bc2
Tc21b
1 4
7 1
31 1 1
1 0

现代控制理论第三章答案


λ1b11 " λ1b1m " λ1n −1b11 " λ1n −1b11 ⎤
# # #
λr br1 " λr brm " λr n −1br1
# # # n −1 λn bn1 " λn bnm " λn bn1
⎥ ⎥ " λr n −1brm ⎥ ⎥ # ⎥ " λn n −1bnm ⎥ ⎦ #
采用反证法。反设 B 中的第 r 行元素全为零，则上述 Γ c [ A, B ] 的第 r 行元素也全为零，
素全为零的行。而且，上述 Γ c [ A, B ] 中的任意两行都不成比例。因此，Γ c [ A, B ] 的秩为 n ， 即可得系统是能控的。证明完毕。 则对任意的常数 α 和 β ， 状态 α x1 + β x2 也是能控的。 3.4 若 x1 和 x2 是系统的能控状态， 证明：根据能控性定义，若 x1 和 x2 是能控的，则存在时间 T1 、T2 和在时间段 [0, T1 ] 、[0, T2 ] 上定义的控制律 u1 、 u2 ，使得分别在控制律 u1 、 u2 作用下，从 x1 、 x2 出发的状态满足
T
故若取
u(t ) = − BT e − A tWc−1 (0, T ) x0 + BT e − A tWc−1 (0, T )e − AT xT
容易验证该控制律将实现所期望的状态转移。 3.6 若系统是能控的，则对任意的时间 T > 0 ，由式（3.1.7）给出的矩阵 Wc (0, T ) 都是非 奇异的。 证明： 若系统是能控的， 则由定理 3.1.1 知 rank(Γ c [ A, B]) = n 。 若反设存在一个常数 T > 0 ， 给出的矩阵 WC (0, T ) = 使得由式 （3.1.7） 使得
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完全能观的，否则就称系统为不完全能现的或不能观的。
【例1】考虑下图所示的电路，系统的状态变量分别为两 个电容两端的电压 x1 和 x 2，输入为电流源 iS (t ) ，输出为电 压y(t)。
R
C1
iS (t )
R
C2
u (t )

x 2R 1
x
2
y (t )

第3章 线性控制系统的能控性与能观测性
t u(t ) dt
0
tf
2
(7) 定义中的能控性要求由非零状态转移到零状态。如果将 改变为由零状态转移到任意指定的非零状态，则称为系统的 能达性。利用系统状态转移矩阵的性质可知，对于连续线性 定常系统，其能控性与能达性是等价的。对于离散线性系统 和连续线性时变系统，能控性与能达性不一定是等价的，可 以出现系统是不完全能控，但完全能达的情况。
3.1 能控性和能观性的定义
在线性控制系统的定性分析中，一个很重要的内容是 关于系统的能控性、能观性分析。能控性和能观性是从控
制和观测角度表征系统结构的两个基本特性，这两个概念
对于控制理论和估计问题的研究有着重要的意义。
一.能控性和能观性的直观讨论
状态变量是系统的一个内部变量，能否通过系统输入、 输出这一对外部变量来建立或确定系统的初始状态，这是
第3章 线性控制系统的能控性与能观测性
江苏大学电气学院
(5) 定义中对状态转移的轨线不加任何限制，这意味着能控 性是系统状态运动的一个定性特性。 (6) 控制向量u(t)无约束，是指对其各分量的幅值不加以 限制。容许控制是指在 t [t , t ] ，u(t)的每个分量均在J上 0 f 平方可积的，可表示为：
第3章 线性控制系统的能控性与能观测性
江苏大学电气学院
定义1
对于系统 A(t ), B(t ) ，如果对于初始时刻 t0 J ，存
在一个有限时刻 t f t0 ， t f J ，对 t 0 时刻的非零初始状态 x(t0 ) x0，可找到一个无约束的容许控制u(t)，能在一个 有限的时间间隔内 t [t0 , t f ]
x(t ) [ x1 x2
x(t f ) 0 ，则称系统是完全能控的。否则，如果系统的一
个状态变量或多个状态变量不满足上述条件，则称系统是 不完全能控的。
第3章 线性控制系统的能控性与能观测性
江苏大学电气学院
对能控性定义做如下解释： (1) 对状态变量x(t)中的每一个变量 xi 都能单独从非零初
第3章 线性控制系统的能控性与能观测性
江苏大学电气学院
第3章 线性控制系统的能控性与能观性
3.1 3.2 3.3 3.4 能控性和能观性的定义 线性连续时间系统的能控性判据 线性连续时间系统的能观测性判据 対偶系统与对偶原理
3.5
3.6 3.7 3.8
线性离散时间系统的能控性和能观测性
线性定常系统能控规范形和能观测规范形 线性系统的结构分解 线性定常系统的状态分解
第3章 线性控制系统的能控性与能观测性
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第3章 线性控制系统的能控性与能观性 重点：
1. 线性控制系统的能控性判据 2.线性系统的能观测性判据 3.能控规范形和能观测规范形
4.线性定常系统的结构分解
5.线性定常系统的状态实现
第3章 线性控制系统的能控性与能观测性
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tf
tf ，使某一状态轨线在
时刻ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
为 x(t f ) 0 ，则称此状态在 t 0 时刻为完全能控的。 定义2 如果存在一个无约束的容许控制u(t)，能在一个有
xn ]T由给定的非零初始状态 x(t0 ) x0 转移到
限的时间间隔内 t [t0 , t f ] ，使得系统 A(t ), B(t )的所有状态
江苏大学电气学院
二. 能控性定义
对系统能控性的分析，就是分析系统状态的能控性， 它揭示出系统输入变量与系统状态变量之间的一个基本关 系。因此在讨论系统的能控性时，输出方程不起任何作用。 考虑线性时变系统的状态方程
x A(t )x B(t )u , x(t0 ) x0 , t J
记为 A(t ), B(t )，其中：x为 n 1 状态向量；u为 p 1 输入向 量；A(t)为 n n时变矩阵；B(t)为 n p 时变矩阵；J为时间 定义区间；A(t)的元在J上为绝对可积；B(t)的元在J上为 平方可积。
江苏大学电气学院
从电路的结构可以看到，电容C1上的电压x1可通过输入 电流源iS(t)将其从初始状态x1(0)转移到任意的目标值，而
电容C2上的电压x2,则无论输入电流源iS(t)如何变化，都不能
对其产生任何影响，x2只在自身的初始状态x2(0)的作用下自 由运动。因此说状态x1是能控的，而状态x2是不能控的。 另一方面为考察系统的可观性，即输出y(t)与状态之
间的关系，可令输入电流源iS(t)为零。对于电流源为零时，
相当于将电流源所在支路开路。此时不管状态变量x1如何 变化，都不能从输出y(t)上得到任何反映，因此称状态变
量x1为不能观的，而状态变量x2的任何变化都能在输出y(t)
上表现出来，因此状态变量x2是能观的。
第3章 线性控制系统的能控性与能观测性
始状态达到终态 x(t f ) 0
，才能称系统是状态完全能控的。
(2) tf 时刻一般与初始状态x0有关，但对于能控系统来说， 必须对所有的初始状态，存在一个共同的时刻tf ，因此可 取得与初始状态无关，仅取决于t0。 (3) 对时变系统，系统在t0时刻能控，并不意味者在t=t1能 控，对线性定常系统能控与否与t0 的选取无关。 (4) 只有当在有限时间内[t0 , t f ] ，系统的状态变量x(t)趋近 于状态空间的原点，才能称系统是完全能控。如果当 t 时， 系统的状态才有 控的。 t0 时刻是完全能 x(t )，则不能称系统在 0
系统能控性、能观性问题所要研究的内容，也即研究系统
这个“黑箱”的内部状态能否由输入来加以影响和控制以 及能否由输出来加以反映。
第3章 线性控制系统的能控性与能观测性
江苏大学电气学院
如果系统内部的所有状态的运动能够由输入来加以影 响和控制，就称系统是完全能控的，否则系统就称为不完 全能控的或不能控的。同样，如果系统内部所有状态变量 的任意运动形式均可由输出完全地反映出来，则称系统为