7.1 为什么要证明

第七章 平行线的证明

§7.1 为什么要证明

一、学生知识状况分析

学生的技能基础：在七年级和八年级上学生学习了很多与几何相关的知识，为今天的进一步的学习作好了知识储备，同时，学生也经历了很多验证结论合理性的过程，有了初步的逻辑推理思维，合情推理能力得到了很大的提高，为今天系统的培养学生严谨的逻辑推理能力打下了良好的基础．

学生活动经验基础： 在以往的几何学习中，学生已经参与了对几何图形的观察、比较、动手操作、猜测、归纳等活动，对今天本节课的分组讨论、自主探究等活动有很大的帮助．

二、教学任务分析

学生的直观能力是数学教学中要培养的一个方面，但如果学生仅有对图形的直观感受而不能进行推理、论证，有时是会产生错误的结论，本课时安排《你能肯定吗》的教学是让学生的直观感受与实际结果之间产生思维上的碰撞，从而使学生对原有的直观感觉产生怀疑，从而确立对某一事物进行合理论证的必要性。因此，本课时的教学目标是：

1.运用实验验证、举反例验证、推理论证等方法来验证某些问题的结论正确与否．

2.经历观察、验证、归纳等过程，使学生对由这些方法所得到的结论产生怀疑，以此激发学生的好奇心，从而认识证明的必要性，培养学生的推理意识．

3.了解检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理论证等．

三、教学过程分析

本节课的教学思路为：验证活动（1）——猜想并验证活动（2）——猜想并验证活动（3）——经验总结——学生练习——课堂小结——巩固练习

第一环节：验证活动（1）

活动内容：

某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n， n2-n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交流．

参考答案：列表归纳为

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …

n2-n+11 11 11 13 17 23 31 41 53 67 83 101 121

A B C D E F

甲 乙 八年级数学上册第七章《平行线的证明》导学案

7.1 为什么要证明

第 课时 主备人：汤 虎 审核人：吴建军

一、学习目标：

1. 经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性。

2. 发展学生的推理意识。

二、学习重点：体会观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性。

三、学习难点：初步感受证明的必要性。

四、学习过程：

（一）自主预习：

预习课本162—163页内容

（二）预习检测：

1、先观察再比较线段AB与线段CD的长短。

2、图中AB是直线还是折线？

3、线段d与

在一条直线上，先猜测，再用直尺验证。

4、小明在学习根式时，从乘法满足分配律acabcba)(,类比得到)(cba=acab，试举例说明这个结论是否正确？

5.思考 ：观察，实验，归纳和类比是我们发现规律，获取结论的重要方法，用这些方法得到的结论一定正确吗？

答：（ ）

（二）合作交流：

合作探究一: 代数式112nn的值是质数吗？取n=0,1,2,3,4,5试一试，你能否由此得到结论：对于所有自然数n，112nn得知都是质数吗？与同伴进行交流。

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 „

n2-n+11

是否为质数

合作探究二:

如课本162页图7-4，做一做（2）。

（三）点拨提高：

如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球 赤道之间的间隙能有多大？（地球看成球形） 能放进一个红枣吗？能放进一个拳

（四）反馈练习：

7．1 为什么要证明

1．了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理；(重点)

2．会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否正确．(难点)

一、情境导入

人的视觉有时候受到周围环境和自身经验的影响，会引导我们做出错误的判断．只有通过科学的方法推理论证，做出的判断才是正确的．如图，图中的四边形是正方形还是梯形？你能肯定吗？怎样来验证你的结论呢？快来学习本节知识吧！

二、合作探究

探究点一：数学的结论必须经过严格的论证

当n＝1，2，3，4，5时，代数式n2－3n＋7的值是质数吗？你能肯定：对于所有的自然数，式子n2－3n＋7的值都是质数吗？

解析：把1，2，3，4，5等自然数代入n2－3n＋7中进行验证．

解：当n＝1，2，3，4，5时，n2－3n＋7的值分别是5，5，7，11，17，全是质数．而当n＝6时，n2－3n＋7＝62－18＋7＝25＝52.所以对于所有自然数，式子n2－3n＋7的值不都是质数．

方法总结：判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察是不够的，必须给出严格的证明或实验验证．

探究点二：检验数学结论的常用方法

【类型一】

实验验证

先观察再验证．

(1)图①中实线是直的还是弯曲的？

(2)图②中两条线段a与b哪一条更长？

(3)图③中的直线AB与直线CD平行吗？

解析：①②用直尺量；③用三角板平推．

解：观察可能得出的结论是：(1)实线是弯曲的；(2)a更长一些；(3)AB与DC不平行．而我们用科学的方法验证后发现：(1)实线是直的；(2)a与b一样长；(3)AB平行于CD.

方法总结：有时视觉受周围环境的影响，往往误导我们，让我们得出错误的结论，所以仅靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才能得出最准确的结论．

【类型二】

举出反例

当n为正整数时，代数式(n2－5n＋5)2的值都等于1吗？

解析：对于代数式(n2－5n＋5)2，n的取值为正整数，要判断(n2－5n＋5)2的值是否为1，可以先取值分别求出代数式的值．

为什么要证明

杨玉海

【知识与技能】

1.经历观察、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性.

2.发展学生的推理意识.

【过程与方法】

通过观察、猜想、验证、归纳等方法让学生多角度思考问题、解决问题.

【情感态度】

让学生明白仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明，培养学生科学严谨的学习态度.

【教学重点】

体会观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性.

【教学难点】

感受证明的必要性.

一、验证活动（1）

活动内容：

某学习小组发现，当n=0，1，2，3时，代数式n2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n， n2-n+11的值都是质数．你认为呢？与同伴交流．

参考答案：列表归纳为

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …

n2-n+11 11 11 13 17 23 31 41 53 67 83 101 121

是否为质数 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 是 不是

注意事项：

学生通过列表归纳，根据自己以往的经验判断，在n=10以前都一直认为n2-n+11是一个质数，但当n=10时，找到了一个反例，进而发现不能根据少数几个现象轻易肯定某个数学结论的正确性．

二、猜想并验证活动（2）

如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？

参考答案：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道之间的间隙为 ：

)(16.021221mcc

它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头．

三、归纳与总结

① 通过以上三个数学活动，使学生对每一个问题的结论的正确性有了怀疑，从而知道了由观察、猜想等渠道得到的结论还必须经过有效的证明才能对其进行肯定．也即：要判断一个数学结论是正确，仅观察、猜想、实验还不够，必须经过一步一步， 有根有据的推理．