高等数学大一同济大学版 教材

总 习 题 六

1 一金属棒长3m 离棒左端xm处的线密度为11)(xx

(kg/m) 问x为何值时 [0 x]一段的质量为全棒质量的一半?

解 x应满足300112111dttdttx

因为212]12[1100xtdttxx 1]12[2111213030tdtt

所以 1212x

45x(m)

2 求由曲线asin a(cossin)(a>0)所围图形公共部分的面积

解

432222)sin(cos21)2(21daaS

24322241)2sin1(28adaa

3 设抛物线cbxaxy2通过点(0 0) 且当x[0 1]时 y0

试确定a、b、c的值 使得抛物线cbxaxy2与直线x1 y0所围图形的面积为94 且使该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积最小

解 因为抛物线cbxaxy2通过点(0 0) 所以c0 从而

bxaxy2

抛物线bxaxy2与直线x1 y0所围图形的面积为

23)(102badxbxaxS

令9423ba

得968ab

该图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为

)235()(221022abbadxbxaxV

)]968(2)968(315[22aaaa

令0)]128(18181863125[aaaddV

得35a 于是b2

4 求由曲线23xy与直线x4 x轴所围图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积

大一要学习的高等数学教材

在大一的学习生涯中，高等数学是一门必修课，它为我们今后学习更加深入的数学课程奠定了基础。高等数学教材作为我们学习的主要教材，承载了我们对这门学科的学习和理解。本文将介绍一些大一学生常用的高等数学教材，并分析其内容和特点。

一、《高等数学》（同济大学出版社）

《高等数学》是一套经典的高等数学教材，由同济大学数学系编写。该教材内容全面、系统，不仅包含了数学基础的概念、定理和方法，还涵盖了高阶的数学推理和应用。书中的例题和习题设计得循序渐进，有利于读者巩固和拓展知识。同时，教材的讲解语言简明清晰，符合大一学生的学习水平。

二、《数学分析教程》（清华大学出版社）

《数学分析教程》是一套经典的高等数学教材，由清华大学数学系编写。该教材主要介绍了数学分析的基本概念、理论和方法。教材内容深入浅出，结构严谨，逻辑性强，有助于学生形成良好的数学思维和推理能力。此外，教材还融合了实际应用，通过实例和案例分析，帮助学生将数学理论与实际问题相结合。

三、《数学分析》（高等教育出版社）

《数学分析》是一套常用的高等数学教材，由多位数学教学专家合编。该教材内容全面、丰富，涵盖了数学分析的各个方面，如函数、极限、导数、积分等。教材内容安排合理，难度适中，既适合初学者入门，又适合深入学习。同时，教材中还提供了大量的练习题，帮助学生巩固知识，提高应用能力。

四、《高等数学辅导教程》（人民教育出版社）

《高等数学辅导教程》是一本常用的高等数学辅导教材，由多位经验丰富的教师编写。该教材主要针对大一学生的学习需求，对高等数学的基本概念、方法进行了系统的讲解和深入的应用。教材注重实例分析和解题技巧，通过具体问题的解答，帮助学生理解和掌握数学知识。

通过对以上几本高等数学教材的介绍，我们可以看到它们都具有一些共同的特点：首先，内容系统全面，涵盖了高等数学的各个方面；其次，语言简明易懂，符合大一学生的学习水平；再次，在设计上循序渐进，注重例题和习题的设计，有利于学生巩固和拓展知识；最后，融合了实际应用，帮助学生将数学理论与实际问题相结合。

习题11

1 设A( 5)(5 ) B[10 3) 写出AB AB A\B及A\(A\B)的表达式

解 AB( 3)(5 )

AB[10 5)

A\B( 10)(5 )

A\(A\B)[10 5)

2 设A、B是任意两个集合 证明对偶律 (AB)CAC BC 

证明 因为

x(AB)CxAB xA或xB xAC或xBC  xAC BC

所以 (AB)CAC BC 

3 设映射f  X Y AX BX  证明

(1)f(AB)f(A)f(B)

(2)f(AB)f(A)f(B)

证明 因为

yf(AB)xAB 使f(x)y

(因为xA或xB) yf(A)或yf(B)

 yf(A)f(B)

所以 f(AB)f(A)f(B)

(2)因为

yf(AB)xAB 使f(x)y(因为xA且xB) yf(A)且yf(B) y

f(A)f(B)

所以 f(AB)f(A)f(B)

4 设映射f  XY 若存在一个映射g YX 使XIfg YIgf 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射 即对于每一个xX 有IX xx 对于每一个yY 有IY yy 证明 f是双射 且g是f的逆映射 gf 1

证明 因为对于任意的yY 有xg(y)X 且f(x)f[g(y)]Iy yy 即Y中任意元素都是X中某元素的像 所以f为X到Y的满射

高等数学上册教材同济大学

教授回应：高等数学上册教材同济大学

同济大学高等数学上册是一本经典的教材，为学习高等数学的同学们提供了全面且易于理解的知识。本书内容丰富，涵盖了大学高等数学的基本概念、定理和方法，是理工科学生的必备参考书。本文将从章节划分、内容概述和特点三个方面对该教材进行简要介绍。

一、章节划分

同济大学高等数学上册共分为十二个章节，从基础的极限与连续开始，逐步引入不定积分、定积分、微分方程等内容，深入讲解了数学分析的基本概念和方法。每个章节都具有前后连贯性，层层递进，为学生提供了一个循序渐进的学习路径。

二、内容概述

高等数学上册的内容丰富多样。首先，本书详细介绍了极限的概念与性质，在此基础上深入研究了函数的连续性和一致连续性。接着，本书对一元函数的微分学和积分学进行了全面而深入的阐述，包括一元函数的导数、不定积分和定积分等。此外，本书还介绍了一些常见的微分方程及其应用，如一阶线性微分方程和二阶线性微分方程等。

三、特点

高等数学上册同济大学教材具有以下几个特点。首先，本书的内容深入浅出，既包括具体的计算方法和例题分析，又注重引导学生对数学思想和原理的理解。其次，本书强调理论与应用的结合，通过实际问题引入与数学知识相关的应用领域，能够提高学生的学习兴趣并激发他们的创新思维。此外，高等数学上册的习题设计丰富多样，不仅包括了基础习题和思考题，还附有更加综合性和深入性的拓展习题，旨在培养学生的解决实际问题的能力。

总结起来，同济大学高等数学上册是一本内容详实、结构严谨的教材。它以其独特的章节划分、全面而深入的内容概述和注重理论与应用结合的特点，为学生提供了一个系统学习高等数学知识的机会。相信通过认真学习这本教材，同学们一定能够掌握高等数学的基本概念和方法，为将来的学习和研究打下坚实的基础。