反三角函数及最简三角方程

标准实用

文案大全 反三角函数及最简三角方程

一、知识回顾：

1、反三角函数：

概念：把正弦函数sinyx，,22x时的反函数，成为反正弦函数，记作xyarcsin.

sin()yxxR，不存在反函数.

含义：arcsinx表示一个角；角,22；sinx.

反余弦、反正切函数同理，性质如下表.

其中：

（1）． 符号arcsinx可以理解为[－2，2]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[－2，2]上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个角(弧度)，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；

（2）． y＝arcsinx等价于siny＝x, y∈[－2，2], y＝arccosx等价于cosy＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；

（3）．恒等式sin(arcsinx)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccosx)＝x, x∈[－1, 1], tan(arctanx)=x,x∈R

arcsin(sinx)＝x, x∈[－2，2], arccos(cosx)＝x, x∈[0, 名称 函数式 定义域 值域 奇偶性 单调性

反正弦函数 xyarcsin 1,1增 2,2 奇函数 增函数

反余弦函数 xyarccos 1,1减 ,0 xxarccos)arccos(

非奇非偶 减函数

反正切函数 arctanyx R 增 2,2 奇函数 增函数

反余切函数 cotyarcx R 减 ,0 cot()cotarcxarcx

非奇非偶 减函数 标准实用

文案大全 π],arctan(tanx)=x, x∈（－2，2）的运用的条件；

（4）． 恒等式arcsinx＋arccosx＝2, arctanx＋arccotx＝2的应用。

2、最简单的三角方程

方程 方程的解集

axsin 1a Zkakxx,arcsin2|

1a Zkakxxk,arcsin1|

axcos

1a Zkakxx,arccos2|

1a Zkakxx,arccos2|

tanxa |arctan,xxkakZ

cotxa |cot,xxkarcakZ

其中：

（1）．含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程。解三角方程就是确定三角方程是否有解，如果有解，求出三角方程的解集；

（2）．解最简单的三角方程是解简单的三角方程的基础，要在理解三角方程的基础上，熟练地写出最简单的三角方程的解；

（3）．要熟悉同名三角函数相等时角度之间的关系在解三角方程中的作用；

如：若sinsin，则sin(1)kk；若coscos，则2k；

若tantan，则ak；若cotcot，则ak；

（4）．会用数形结合的思想和函数思想进行含有参数的三角方程的解的情况和讨论。

二、典型例题：

例1. 函数，，的反函数为（）yxxsin232

Ayxx.arcsin，，11 Byxx.arcsin，，11

Cyxx.arcsin，，11 Dyxx.arcsin，，11

例2. 函数，，的图象为（）yxxarccos(cos)22 标准实用

文案大全 2 2

-2

-2 O 2 O 2

-2

（A） （B）

1

1

-2

-2 O 2

O 2

-1

（C）

（D）

例3. 函数，，的值域为（）yxxarccos(sin)()323

AB..656056，，

CD..323623，，

例4.使arcsinarccosxx成立的x的取值范围是( )

AB..022221，，

CD..12210，，

例5. 若，则（）022arcsincos()arccossin()

ABCD....222222

例6. 求值：(1)3sin2arcsin5 (2)11tanarccos23

分析：arcsin()arcsin()sin352235表示，上的角，若设，则易得 标准实用

文案大全 352，原题即是求的值，这就转化为早已熟悉的三角求值问题，解决此类sin问题的关键是能认清三角式的含义及运算次序，利用换元思想转化为三角求值。

例7.画出下列函数的图像（1）)arcsin(sinxy （2）]1,1[),sin(arccosxxy

例8.已知)23,(,135sin),2,0(,2572cos求（用反三角函数表示） 分析：可求的某一三角函数值，再根据的范围，利用反三角函数表示角。

标准实用

文案大全

例9.已知函数2()arccos()fxxx

（1）求函数的定义域、值域和单调区间；（2）解不等式：()(21)fxfx

例10.写出下列三角方程的解集

(1)2sin()82x; (2)2cos310x; (3)cot3x

例11.求方程tan(3)34x在0,2上的解集.

标准实用

文案大全

例12.解方程22sin3cos10xx

例13. 解方程①3sin2cos0xx

②222sin3sincos2cos0xxxx

例14.解方程：(1)3sin2cos21xx (2)5sin312cos36.5xx

思考：引入辅助角，化为最简单的三角方程

标准实用

文案大全

例15.解方程22sin3cos0xx．

例16.解方程：tan()tan()2cot44xxx

例17.已知方程sin3cos0xxa在区间0,2上有且只有两个不同的解，求实数a的取值范围。

[说明]对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得到方程的解．

（1）sinsin，则2k或2,kkZ；

（2）coscos，则2k或2,kkZ；

（3）tantan，则,kkZ．

标准实用

文案大全 三、同步练习：

反三角函数

1.3arctan(tan)5的值是 ( )

A.35 B. 25 C.25 D.35

2.下列关系式中正确的是 ( )

A. 55coscos44arc B. sinarcsin33

C. coscoscoscos44arcarc D.1tan(2)cot()2arcarc

3.函数()arcsin(tan)fxx的定义域是 ( )

A.,44 B.,44kkkZ

C.,(1)44kkkZ D.2,244kkkZ

4.在31,2上和函数yx相同的函数是 ( )

A.arccos(cos)yx B.arcsin(sin)yx C.sin(arcsin)yx

D.cos(arccos)yx

5.函数arctan2xy的反函数是 .

6.求sinyx在3,22上的反函数.

7.比较5arccos4与1cot()2arc的大小.

8.研究函数2arccosyxx的定义域、值域及单调性.