中考数学复习专项强化练习：新定义型问题(人教版)
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中考数学复习专项强化练习：新定义型问题（人教版）
一、选择题（本大题共10道小题）
1. (2022·天津·一模)定义运算：a@b=a(1-b)。若a、b是方程23002xxmm的两根,则b@b-a@a的值为( )。
A. 0 B. 1 C. 2 D. 与m有关
2. (2021湖南怀化)定义a⨂b＝2a+b1,则方程3⨂x＝4⨂2的解为( )。
A.x＝51 B.x＝52 C.x＝52 D.x＝54
3. (2022·河南·三模)定义一种新运算“a△b”,对于任意实数a,b,a△b=a2+2ab-b2-1,如3△4=32+2×3×4-42-1,若x△k=0(k为实数)是关于x的方程,则它的根的情况为( )。
A.只有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
4. (2022·咸阳)定义运算“*”,规定x*y=ax2+by(其中a,b为常数)，若已知1*2=5，2*1=6,则2*3的值为( )。
A.10 B.9 C.8 D.7
5. (2021广东深圳模拟)定义新运算:a※b=a1(a)a(abb)b0b且,则函数y=3※x的图象大致是( )。
A. B. C. D.
6. (2022七下·通州)在实数范围内规定新运算“△”,其规则是：a△b= -2a+b。已知不等式x△k≤1的解集在数轴上如图表示,则k的值是( )。
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
7. (2022八下·南沙)定义新运算“※”的运算法则为：当a＞0,b＞0时,a※b=2ba.例如:6※4=14426那么2×(4※6)的值是( )。
A. 8 B. 48 C. 10 D. 142 2
8. (2021·怀化中考)定义a⊕b＝2a＋1b ,则方程3⊕x＝4⊕2的解为( )。
A. x＝15 B. x＝25 C. x＝35 D. x＝45
9. (2021·通辽中考)定义:一次函数y＝ax＋b的特征数为[a,b].若一次函数y＝－2x＋m的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y＝－3x 的图象交于A,B两点,且点A,B关于原点对称,则一次函数y＝－2x＋m的特征数是( )。
A. [2，3] B. [2，－3] C. [－2，3] D. [－2，－3]
10. (2021·荆州中考)定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q。有[m，p]※[q，n]＝mn＋pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5＋3×4＝22。若关于x的方程[x2＋1，x]※[5－2k，k]＝0有两个实数根,则k的取值范围是( )。
A. k＜54 且k≠0 B. k≤54 C. k≤54 且k≠0 D. k≥54
二、填空题（本大题共8道小题）
11. (2022·黄浦)定义:对于一个数x,我们把[x]称作x的相伴数;若x≥0,则[x]=x-1;若x＜0,则[x]=x+1.例，[-2]=-1;已知当a＞0,b＜0时有[a]=[b]+1,则代数式(b-a)3-3a+3b的值为 。
12. (2022·江苏·苏州高新区)定义一种新运算“a⊕b”:当a≥b时,a⊕b=a-2b;当a
13. (2021浙江台州模拟)定义一种新运算:a※b＝()3()ababbab,则2※3﹣4※3的值______。
14. (2021山东乐陵模拟)对于x、y定义一种新运算“*”:xyaxby,其中a、b为常数,等式右边是通常的加法和乘法的运算.已知:1110,2116,那么23_______。
15. (2022毕节地区)对于两个不相等的实数a、b,定义一种新的运算如下,0aaaab*bbb（＞）﹣,
如:323*2532﹣,那么6*(5*4)= 。
16. (2021·自贡模拟)对x,y定义一种新运算“※”,规定:x※y＝mx＋ny(其中m,n均为非零3
常数),若1※1＝4,1※2＝3.则2※1的值是____ 。
17. (2022·福建·福州十八中一模)对于实数a,b,定义符号min{a,b},其意义为:当a≥b时,min{a,b}＝b;当a＜b时,min{a,b}＝a.例如:min{2,-1}＝-1,若关于x的函数y＝min{-x2+x+1,-x-2},则该函数的最大值为____ _。
18. (2021四川凉山)阅读以下材料:
苏格兰数学家纳皮尔(J.Npler,1550-1617年)是对数的创始人.他发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evler,1707-1783年)
对数的定义:一般地,若ax＝N(a＞0且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作x＝logaN,比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216,对数式2＝log39可以转化为指数式32＝9 。
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:
loga(M•N)＝logaM+logaN(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0),理由如下:
设logaM＝m,logaN＝n,则M＝am,N＝an,
∴M•N＝am•an＝am+n,由对数的定义得m+n＝loga(M•N).
又∵m+n＝logaM+logaN,
∴loga(M•N)＝logaM+logaN.
根据上述材料,结合你所学的知识,解答下列问题:
(1) 填空: ①log232＝ ，②log327＝ ，③log71＝ ;
(2) 求证: logaNM＝logaM-logaN(a＞0,a≠1,M＞0,N＞0);
(3) 拓展运用: 计算log5125+log56-log530 。
三、解答题（本大题共5道小题）
19. (2021河北石家庄模拟)定义新运算:对于任意实数,a、b,都有a⊕b=a(a-b)+1,等式右边是通常的加法、减法及乘法运算,比如:2⊕5=2(2-5)+1=2×(-3)+1=-6+1=-5
(1) 求x⊕(-4)=6,求x的值;
(2) 若3⊕a的值小于10,请判断方程:2x2-bx-a=0的根的情况。
20. (2022湖北随州模拟) 4
在平面直角坐标系中,我们定义直线y＝ax－a为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数,a≠0)的“梦想直线”;有一个顶点在抛物线上,另一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”。
已知抛物线22343yxx2333与其“梦想直线”交于A、B两点(点A在点B的左侧),与x轴负半轴交于点C 。
(1) 填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为 ,点A的坐标为 ,点B的坐标为 ;
(2) 如图,点M为线段CB上一动点,将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”,求点N的坐标;
(3) 当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上,是否存在点F,使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在,请直接写出点E、F的坐标;若不存在,请说明理由。
21. (2021湖南长沙)我们不妨约定:在平面直角坐标系中,若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称,则把该函数称之为“T函数”,其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”.根据该约定,完成下列各题.
(1) 若点A(1,r)与点B(s,4)是关于x的“T函数”y＝的图象上的一对“T点”,则r＝ ,s＝ ,t＝ (将正确答案填在相应的横线上);
(2) 关于x的函数y＝kx+p(k,p是常数)是“T函数”吗？如果是,指出它有多少对“T点”yxABCOM5
如果不是,请说明理由;
(3) 若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c(a＞0,且a,b,c是常数)经过坐标原点O,且与直线l:y＝mx+n(m≠0,n＞0,且m,n是常数)交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,当x1,x2满足(1-x1)-1+x2＝1时,直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点,求出该定点的坐标；否则，请说明理由。
22. (2021山东枣庄)如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.
(1) 概念理解:如图2,在四边形ABCD中,AB＝AD,CB＝CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由;
(2) 性质探究:如图1,垂美四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O.猜想:AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想。
(3) 解决问题:如图3,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连结CE,BG,GE.已知AC＝4,AB＝5,求GE的长。
23. (2021湖南衡阳)在平面直角坐标系中,如果一个点的横坐标与纵坐标相等,则称该点为“雁点”。例如(1,1),(2021,2021)…都是“雁点”。
(1) 求函数y＝x4图象上的“雁点”坐标;
(2) 若抛物线y＝ax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E,该抛物线与x轴交于M、N两点(点M在点N的左侧).当a＞1时。
① 求c的取值范围; 6
② 求∠EMN的度数。
(3) 如图,抛物线y＝-x2+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),P是抛物线y＝-x2+2x+3上一点,连接BP,以点P为直角顶点,构造等腰Rt△BPC,是否存在点P,使点C恰好为“雁点”？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。
