2023年九年级中考数学复习：二次函数(特殊四边形问题)综合题(Word版,含答案)

2023年中考数学专项训练——二次函数与一次函数的综合运用一、综合题1．已知：二次函数y ＝ax 2+bx+12（a ＞0，b ＜0）的图象与x 轴只有一个公共点A ． （1）当a ＝12时，求点A 的坐标； （2）求A 点的坐标（只含b 的代数式来表示）；（3）过点A 的直线y ＝x+k 与二次函数的图象相交于另一点B ，当b≥﹣1时，求点B 的横坐标m 的取值范围．2．已知二次函数图象的顶点在原点 O ，对称轴为 y 轴.直线 1:l y kx b =+ 的图象与二次函数的图象交于点 (3,2)A - 和点 3(,)2B m （点 A 在点 B 的左侧）（1）求 m 的值及直线 1l 解析式；（2）若过点 (0,)P n 的直线 2l 平行于直线 1l 且直线 2l 与二次函数图象只有一个交点 Q ，求交点Q 的坐标.3．如图，已知抛物线 212y x bx =+ 与直线 2y x = 交于点O （0，0），A （a ，12），点B 是抛物线上O 、A 之间的一个动点，过点B 分别作x 轴和y 轴的平行线与直线OA 交于点C 、E ，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C 为OA 的中点，求BC 的长；（3）以BC 、BE 为边构造矩形BCDE ，设点D 的坐标为（m ，n ），求出m 、n 之间的关系式.4．已知，直线 23y x =-+ 与抛物线 2y ax = 相交于 A 、 B 两点，且 A 的坐标是 (3,)m -（1）求 a ， m 的值；（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．5．已知抛物线的解析式为 ()2221.y x m x m m =--+-（1）求证：此抛物线与x 轴必有两个不同的交点；（2）若此抛物线与直线 34y x m =-+ 的一个交点在y 轴上，求m 的值.6．如图，二次函数的图象与x 轴交于A （-3，0）和B （1，0）两点，交y 轴于点C （0，3），点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D.（1）求点D 坐标及二次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围.7．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过点A （3，0），B （﹣1，0），C （0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A 为圆心的圆与直线BC 相切于点M ，求切点M 的坐标；（3）若点Q 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以点B ，C ，Q ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．抛物线y=﹣23 x 2+ 73x ﹣1与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，其顶点为D ．将抛物线位于直线l ：y=t （t ＜ 2524）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A ，B ，D 的坐标分别为 ， ， ； （2）如图①，抛物线翻折后，点D 落在点E 处．当点E 在△ABC 内（含边界）时，求t 的取值范围； （3）如图②，当t=0时，若Q 是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ 为直径的圆与x 轴相切于点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，已知抛物线与 x 轴交于 (1,0)A - 、 (3,0)B 两点，与 y 轴交于点 (0,3)C .（1）求抛物线的解析式；（2）点 D 是第一象限内抛物线上的一个动点（与点 C 、 B 不重合），过点 D 作 DF x ⊥ 轴于点F ，交直线 BC 于点 E ，连接 BD 、 CD .设点 D 的横坐标为 m ， BCD 的面积为 S .求 S关于 m 的函数解析式及自变量 m 的取值范围，并求出 S 的最大值； （3）已知 M 为抛物线对称轴上一动点，若MBC 是以 BC 为直角边的直角三角形，请直接写出点M 的坐标.10．如图，直线 12y kx =+ 与 x 轴交于点 ( 0)A m ， （ 4m > ），与 y 轴交于点 B ，抛物线 224y ax ax c =-+ （ 0a < ）经过 A ， B 两点， P 为线段 AB 上一点，过点 P 作 //PQ y 轴交抛物线于点 Q .（1）当 5m = 时， ①求抛物线的关系式；②设点 P 的横坐标为 x ，用含 x 的代数式表示 PQ 的长，并求当 x 为何值时， 85PQ =？ （2）若 PQ 长的最大值为16，试讨论关于 x 的一元二次方程 24ax ax kx h --= 的解的个数与 h 的取值范围的关系.11．如图，抛物线y=ax 2+bx 经过点A(7，0)，B(-1，4)，经过点B 的直线与抛物线的另一个交点C 在第四象限．已知△ABC 的面积为14．（1）求抛物线的函数关系式； （2）求点C 的坐标#（3）设P 是线段BC 延长线上的点，作直线PD△x 轴，交抛物线于点D 、E(点D 在点E 的左侧)．若DE=PE ，求点P 的横坐标．12．如图，若b 是正数，直线l ：y=b 与y 轴交于点A ；直线a ：y=x ﹣b 与y 轴交于点B ；抛物线L ：y=﹣x 2+bx 的顶点为C ，且L 与x 轴右交点为D ．（1）若AB=8，求b 的值，并求此时L 的对称轴与a 的交点坐标； （2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；（3）设x 0≠0，点（x 0，y 1），（x 0，y 2），（x 0，y 3）分别在l ，a 和L 上，且y 3是y 1，y 2的平均数，求点（x 0，0）与点D 间的距离；（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b=2019和b=2019.5时“美点”的个数．13．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的四个顶点坐标分别为A(-2,4)，B(-2，-2)，C(4，-2)，D(4,4).（1）填空：正方形的面积为 ；当双曲线 ky x= (k≠0)与正方形ABCD 有四个交点时，k 的取值范围是 .（2）已知抛物线L ： 2()y a x m n =-+ (a>0)顶点P 在边BC 上，与边AB ，DC 分别相交于点E ，F ，过点B 的双曲线 ky x=(k≠0)与边DC 交于点N. ①点Q(m ，-m 2-2m+3)是平面内一动点，在抛物线L 的运动过程中，点Q 随m 运动，分别求运动过程中点Q 在最高位置和最低位置时的坐标.②当点F 在点N 下方，AE=NF ，点P 不与B ，C 两点重合时，求 BE CFBP CP- 的值. ③求证：抛物线L 与直线的交点M 始终位于轴下方.14．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(10)A -，，点(30)B ，，与y 轴交于点C ，且过点(23)D -，.点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点.（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值.（3）直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当ΔOBE 与ΔABC 相似时，求点Q 的坐标.15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x 2+4x+m(m 为常数)与y 轴的交点为A ，M(4，0)与N(0，-3) 分别是x 轴、y 轴上的点。

二次函数与几何综合压轴题几乎所有的地方都把二次函数与几何综合压轴题作为中考压轴题。

1．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =−++的图象与x 轴相交于点A 和点()1,0C ，交y 轴于点()0,3B ．(1)求此二次函数的解析式；(2)设二次函数图象的顶点为P ，对称轴与x 轴交于点Q ，求四边形AOBP 的面积（请在图1中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M ，使得△AMB 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴的交点分别为A 和()10B ,（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点()0,3C ，点P 是直线AC 上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点P 作x 轴平行线交AC 于点E ，过点P 作y 轴平行线交x 轴于点D ，求PE PD +的最大值及点P 的坐标；(3)如图2，设点M 为抛物线对称轴上一动点，当点P ，点M 运动时，在坐标轴上确定点N ，使四边形PMCN 为矩形，求出所有符合条件的点N 的坐标．3．（2023·海南·中考真题）如图1，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A ，()3,0B 两点，交y 轴于点()0,3C −．点P 是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P 的坐标为()1,4−时，求四边形BACP 的面积；(3)当动点P 在直线BC 上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q ，使得以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如图2，点D 是抛物线的顶点，过点D 作直线DH y ∥轴，交x 轴于点H ，当点P 在第二象限时，作直线PA ，PB 分别与直线DH 交于点G 和点I ，求证：点D 是线段IG 的中点．4．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于()30A −,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图甲，在y 轴上找一点D ，使ACD 为等腰三角形，请直接写出点D 的坐标；(3)如图乙，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在P 、Q 两点使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2023·四川甘孜·中考真题）已知抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于()10A −，，B 两点，与y 轴相交于点()03C −，．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第一象限抛物线上一点，PBC 的面积与ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；(3)在（2）的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ′，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P ′恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P ′的坐标；如果不存在，请说明理由．6．（2023·四川达州·中考真题）如图，抛物线2y ax bx c ++过点()()()1,0,3,,00,3A B C −．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a ++≠经过点(1,0)A −和(0,3)B ，其顶点的横坐标为1．(1)求抛物线的表达式．(2)若直线x m =与x 轴交于点N ，在第一象限内与抛物线交于点M ，当m 取何值时，使得AN MN +有最大值，并求出最大值．(3)若点P 为抛物线2(0)y ax bx c a ++≠的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M ，是否能与A 、P 、Q 构成平行四边形？若能构成，求出Q 点坐标；若不能构成，请说明理由．8．（2023·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c ++与x 轴交于点()()3,0,1,0A B −两点，与y 轴交于点()0,3C ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PD DB的值最大时，求点P 的坐标及PD DB 的最大值； (3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将PCM △沿直线PC 翻折，当点M 的对应点'M 恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．9．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c ++与x 轴交于()4,0B ，()2,0C −两点．与y 轴交于点()0,2A −．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK PD +的最大值及此时点P 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得MAB △是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．10．（2023·湖北黄冈·中考真题）已知抛物线212y x bx c =−++与x 轴交于,(4,0)A B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ，点P 为第一象限抛物线上的点，连接,,,CA CB PB PC ．(1)直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=______；(2)如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标； (3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD OB =，点Q 为抛物线上一点，90QBD ∠=°，点E ，F 分别为BDQ △的边,DQ DB 上的动点，QE DF =，记BE QF +的最小值为m ． ①求m 的值；②设PCB 的面积为S ，若214S m k =−，请直接写出k 的取值范围．11．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线21:28=−−C y x x 交x 轴于,A B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于点C ．(1)直接写出,,A B C 三点的坐标；(2)如图（1），作直线()04=<<x t t ，分别交x 轴，线段BC ，抛物线1C 于,,D E F 三点，连接CF ．若BDE 与CEF △相似，求t 的值；(3)如图（2），将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，其顶点为原点．直线2y x =与抛物线2C 交于,O G 两点，过OG 的中点H 作直线MN （异于直线OG ）交抛物线2C 于,M N 两点，直线MO 与直线GN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．12．（2023·湖南郴州·中考真题）已知抛物线24y ax bx ++与x 轴相交于点 1,0A ，()4,0B ，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，当PAC △的周长最小时，求PAPC的值； (3)如图2，取线段OC 的中点D ，在抛物线上是否存在点Q ，使1tan 2QDB ∠=若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．且与直线:1l y x =−−交于D E 、两点（点D 在点E 的右侧），点M 为直线l 上的一动点，设点M 的横坐标为t ．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M 作x 轴的垂线，与拋物线交于点N ．若04t <<，求NED 面积的最大值．(3)抛物线与y 轴交于点C ，点R 为平面直角坐标系上一点，若以B C M R 、、、为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R 的坐标．在此抛物线上，其横坐标分别为,2(0)m m m >，连接AP ，AQ ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q 与此抛物线的顶点重合时，求m 的值．(3)当PAQ ∠的边与x 轴平行时，求点P 与点Q 的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A 与点P 之间部分（包括点A 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标的差为1h ，在点A 与点Q 之间部分（包括点A 和点Q ）的最高点与最低点的纵坐标的差为2h ．当21h h m −=时，直接写出m 的值．15．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点()6,0A ，与y 轴交于点()0,6B −，抛物线经过点A ，B ，且对称轴是直线1x =．(1)求直线l 的解析式； (2)求抛物线的解析式；(3)点P 是直线l 下方抛物线上的一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，交直线l 于点D ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ．求PM 的最大值及此时P 点的坐标．16．（2023·湖南·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，其中()10B ,，()0,3C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P ，使得PAC ABC S S =△△？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q 是对称轴l 上一点，且点Q 的纵坐标为a ，当QAC △是锐角三角形时，求a 的取值范围．17．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线()210y ax bx a +−≠与x 轴交于点 1,0A 和点B ，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点()3,0D ，过点B 作直线l x ⊥轴，过点D 作DE CD ⊥，交直线l 于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 为第三象限内抛物线上的点，连接CE 和BP 交于点Q ，当57BQ PQ =时．求点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，连接AC ，在直线BP 上是否存在点F ，使得DEF ACD BED ∠=∠+∠？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1），二次函数25y ax x c =−+的图像与x 轴交于()4,0A −，(),0B b 两点，与y 轴交于点()0,4C −．(1)求二次函数的解析式和b 的值．(2)在二次函数位于x 轴上方的图像上是否存在点M ，使13BOM ABC S S =△△？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图（2），作点A 关于原点O 的对称点E ，连接CE ，作以CE 为直径的圆．点E ′是圆在x 轴上方圆弧上的动点（点E ′不与圆弧的端点E 重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE ，使点E 移动到点E ′，线段AE 的对应线段为A E ′′，连接E C ′，A A ′，A A ′的延长线交直线E C ′于点N ，求AA CN′的值．19．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，抛物线23y ax bx ++与x 轴交于点()10A −，，()30B ，，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点Q 是x 轴上方抛物线上一点，射线QM x ⊥轴于点N ，若QM BM =，且4tan 3MBN ∠=，请直接写出点Q 的坐标．(3)如图2，点E 是第一象限内一点，连接AE 交y 轴于点D ，AE 的延长线交抛物线于点P ，点F 在线段CD 上，且CF OD =，连接FA FE BE BP ，，，，若AFE ABE S S =△△，求PAB 面积．20．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx ++过点()1,3，且交x 轴于点()1,0A −，B 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，求PDE △周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PDE △周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N ，使得以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．21．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()1,0，对称轴是直线=1x −，点P 是x 轴上一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点O 不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2023·湖北十堰·中考真题）已知抛物线28y ax bx ++过点()4,8B 和点()8,4C ，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接,AB BC ，点D 在线段AB 上（与点,A B 不重合），点F 是OA 的中点，连接FD ，过点D 作DE FD ⊥交BC 于点E ，连接EF ，当DEF 面积是ADF △面积的3倍时，求点D 的坐标；(3)如图2，点P 是抛物线上对称轴右侧的点，(),0H m 是x 轴正半轴上的动点，若线段OB 上存在点G （与点,O B 不重合），使得GBP HGP BOH ∠=∠=∠，求m 的取值范围．23．（2023·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx ++的图象与x 轴交于点()2,0A −，()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴l 上一点，以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=°，求出点F 的坐标； (3)如图2，P 为第一象限内抛物线上一点，连接AP 交y 轴于点M ，连接BP 并延长交y 轴于点N ，在点P 运动过程中，12OM ON +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．24．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线21y ax bx c =++的图象经过(6,0)A −，(2,0)B −，(0,6)C 三点，且一次函数6y kx =+的图象经过点B ．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E ，F 为平面内两点，若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形，且点E 在点F 的左侧．这样的E ，F 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线21y ax bx c =++的图象向右平移8个单位长度得到抛物线2y ，此抛物线的图象与x 轴交于M ，N 两点（M 点在N 点左侧）．点P 是抛物线2y 上的一个动点且在直线NC 下方．已知点P 的横坐标为m ．过点P 作PD NC ⊥于点D ．求m 为何值时，12CD PD +有最大值，最大值是多少？25．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点(4,0)A −，(2,0)B ，与y 轴交于点(0,4)C −．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x 轴下方的部分沿x 轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线6y kx =+与新图象有三个公共点时，求k 的值； (3)如图2，如果把直线AB 沿y 轴向上平移至经过点D ，与抛物线的交点分别是E ，F ，直线BC 交EF 于点H ，过点F 作FG CH ⊥于点G ，若DF HG=F 的坐标．26．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，抛物线2y bx c ++交x 轴于点()1,0A −和B ，交y 轴于点(C ，顶点为D ．(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB 的面积为E 的坐标；(3)在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G ，使以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是菱形，且60EFG ∠=°，如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．27．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图1，抛物线253y ax x c =++经过点()3,1，与y 轴交于点()0,5B ，点E 为第一象限内抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式．(2)直线243y x =−与x 轴交于点A ，与y 轴交于点D ，过点E 作直线EF x ⊥轴，交AD 于点F ，连接BE ．当BE DF =时，求点E 的横坐标．(3)如图2，点N 为x 轴正半轴上一点，OE 与BN 交于点M ．若OE BN =，3tan 4BME ∠=，求点E 的坐标．28．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线24y ax bx +−与x 轴交于点()4,0A −，()2,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，点D 是抛物线上的一个动点，设点D 的横坐标是()42m m −<<，过点D 作直线DE x ⊥轴，垂足为点E ，交直线AC 于点F ．当D ，E ，F 三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段DF 的长；(3)若点P 是抛物线上的一个动点（点P 不与顶点重合），点M 是抛物线对称轴上的一个点，点N 在坐标平面内，当四边形CMPN 是矩形邻边之比为1:2时，请直接写出点P 的横坐标．。

2023年安徽中考数学总复习专题：二次函数的性质综合题1．已知函数y=(k+2)x k2+3k―2是关于x的二次函数．（1）求k的值；（2）当k为何值时，抛物线有最低点？（3）当k为何值时，函数有最大值？2．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“慧泉”点．例如：点（1，﹣1），（―13，13），（5，―5），…都是“慧泉”点．（1）判断函数y＝2x﹣3的图象上是否存在“慧泉”点，若存在，求出其“慧泉”点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点（2，﹣2）．①求a，c的值；②若﹣1≤x≤n时，函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为―74，求实数n的取值范围．3．已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．4．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）．（1）求该二次函数的对称轴．（2）求证：无论a取何值，该函数的图象必过某个定点．（3）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，且最高点M的纵坐标为24，求点M和点N的坐标．5．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．（1）若a＞0，当x＜m+13时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．（2）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值．参考答案1．解：（1）∵函数y=(k+2)x k2+3k―2是关于x的二次函数，∴k满足k2+3k﹣2＝2，且k+2≠0，解得：k1＝1，k2＝﹣4，∴k的值为1或﹣4；（2）∵抛物线有最低点，∴图象开口向上，即k+2＞0，∴k＝1；（3）∵函数有最大值，∴图象开口向下，即k+2＜0，∴k＝﹣4．2．解：（1）函数y＝2x﹣3的图象上存在“慧泉”点，根据题意﹣x＝2x﹣3，解得x＝1，故其“慧泉”点的坐标为（1，﹣1）；（2）①∵二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有“慧泉”点，∴﹣x＝ax2+3x+c，即ax2+4x+c＝0，∵二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“慧泉”点（2，﹣2）．∴Δ=42―4ac=0 4a+6+c=―2，解得a＝﹣1，c＝﹣4；②∵a＝﹣1，c＝﹣4，∴二次函数为y＝﹣x2+3x﹣4，∴x＝﹣1时，y＝﹣1﹣3﹣4＝﹣8，∵y＝﹣x2+3x﹣4＝﹣（x―32）2―74，∴对称轴为直线x=3 2，∴当x=32时，函数有最大值为―74，∵若﹣1≤x≤n时，函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为―7 4，∴实数n的取值范围是32≤n≤4．3．解：（1）把（0，﹣3），（﹣6，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c，得b＝﹣6，c＝﹣3．（2）∵y＝﹣x2﹣6x﹣3＝﹣（x+3）2+6，又∵﹣4≤x≤0，∴当x＝﹣3时，y有最大值为6．（3）①当﹣3＜m≤0时，当x＝0时，y有最小值为﹣3，当x＝m时，y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3，∴﹣m2﹣6m﹣3+（﹣3）＝2，∴m＝﹣2或m＝﹣4（舍去）．②当m≤﹣3时，当x＝﹣3时y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为﹣4，∴﹣（m+3）2+6＝﹣4，∴m=―3―10或m=―3+10（舍去）．综上所述，m＝﹣2或―3―10．4．（1）解：y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴函数的对称轴为直线x＝1．（2）证明：∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣3）（x+1），∴该函数的图象必过定点（3，0），（﹣1，0）；（3）解：∵y＝a（x﹣1）2﹣4a，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4a），∵抛物线开口向上，∴a＞0，顶点（1，﹣4a）为图象最低点N，∵5﹣1＞1﹣（﹣1），∴直线x＝5与抛物线交点为最高点M，把x＝5代入代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得y＝12a，∴M（5，12a），∵12a＝24，∴a＝2，∴M（5，24），N（1，﹣8）．5．解：（1）∵抛物线得对称轴为直线x=―4a2a=―2，a＞0，∴抛物线开口向上，当x≤﹣2时，二次函数y随x的增大而减小，∵x＜m+13时，此二次函数y随着x的增大而减小，∴m+13≤―2，即m≤﹣7；（2）由题意得：y＝a（x+2）2﹣a，∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3①当a＞0 时，开口向上，∴当x＝1时，y有最大值8a，∴8a＝3，∴a=3 8；②当a＜0 时，开口向下，∴当x＝﹣2时，y有最大值﹣a，∴﹣a＝3，∴a＝﹣3，综上，a=38或a＝﹣3．。

挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编专题05二次函数中特殊平行四边形存在性问题一．平行四边形的存在性1．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．2．（2022•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022•攀枝花）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为﹣1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）．（1）求二次函数的表达式；（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D（﹣2，﹣）两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）5．（2022•资阳）已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B （﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．二．矩形的存在性6．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2021•齐齐哈尔）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是2；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．9．（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形P ABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2023•秦都区校级二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，且OC＝3OA，点D为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点F为坐标平面内一点，在第一象限的抛物线上是否存在点E，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，请求出符合条件的点E的横坐标；若不存在，请说明理由．7．（2022•元宝区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是11；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．8．（2022•鱼峰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．三．菱形的存在性9．（2022•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P 作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．11．（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2021•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2021•娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b、c的值；（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．14．（2021•山西）综合与探究如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．15．（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。

2023年中考数学压轴题专项训练压轴题06二次函数与特殊四边形存在性问题（四大类型）题型一：二次函数与平行四边形存在性问题例1．（2023•泽州县一模）综合与探究．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与直线l交于B，C 两点，其中点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，﹣4）．（1）求二次函数的表达式和点B的坐标．（2）若P为直线l上一点，Q为抛物线上一点，当四边形OBPQ为平行四边形时，求点P的坐标．（3）如图2，若抛物线与y轴交于点D，连接AD，BD，在抛物线上是否存在点M，使∠MAB＝∠ADB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．题型二：二次函数与矩形存在性问题例2．（2023•歙县校级模拟）如图，若二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？若存在请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．题型三: 二次函数与菱形存在性问题例3．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，1），B （4，﹣1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB上方且在对称轴右侧的一个动点，过P作PD⊥AB，垂足为D，E为点P关于抛物线的对称轴的对应点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当√5PD+PE的最大值时，求此时点P的坐标和√5PD+PE的最大值；（3）将抛物线y关于直线x＝3作对称后得新抛物线y'，新抛物线与原抛物线相交于点F，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面中任意一点，是否存在点N，使得以C，F，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．题型四: 二次函数与正方形存在性问题例4．（2023•前郭县一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+c与y轴相交于点A（0，2）．（1）求c的值；（2）点B为y轴上一点，其纵坐标为m（m≠2），连接AB，以AB为边向右作正方形ABCD．①设抛物线的顶点为P，当点P在BC上时，求m的值；②当点C在抛物线上时，求m的值；③当抛物线与正方形ABCD有两个交点时，直接写出m的取值范围．一．解答题（共20小题）1．（2023春•兴化市月考）已知：二次函数y＝ax2+2ax﹣8a（a为常数，且a＞0）的图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）分别求点A、B的坐标；（2）若△ABC是直角三角形，求该二次函数相应的表达式；（3）当a=12时，一次函数y=12x+b的图象过B点，与二次函数的对称轴交于Q点，N为一次函数图象上一点，过N点作y的平行线交二次函数图象于M点，当D、M、N、Q四点组成的四边形是平行四边形时，求N点的坐标．2．（2023春•沙坪坝区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点B（﹣4，0），点C（8，0），与y轴交于点A．点D的坐标为（0，4）．（1）求二次函数的解析式及点C的坐标．（2）如图1，点F为该抛物线在第一象限内的一动点，过E作FE∥CD，交CD于点F，求EF+√55DF的最大值及此时点E的坐标．（3）如图2，在（2）的情况下，将原抛物线绕点D旋转180°得到新抛物线y'，点N是新抛物线y'上一点，在新抛物线上的对称轴上是否存在一点M，使得点D，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点M的求解过程．3．（2023•武清区校级模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式；（2）抛物线上是否存在点Q，且满足AB平分∠CAQ，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由；（3）点N为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点M，使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．4．（2023春•承德县月考）已知二次函数y=14x2−32x−4与x数轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接BC．发现：点A的坐标为，求出直线BC的解析式；拓展：如图1，点P是直线BC下方抛物线上一点，连接PB、PC，当△PBC面积最大时，求出P点的坐标；探究：如图2，抛物线顶点为D，抛物线对称轴交BC于点E，M是线段BC上一动点（M不与B、C两点重合），连接PM，设M点的横坐标为m（0＜m＜8），当m为何值时，四边形PMED为平行四边形？5．（2023春•梅江区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，△AOC绕原点O逆时针旋转90°得到△DOB，其中OA＝1，OC＝3．（1）若二次函数经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式；（2）在（1）条件下，在二次函数的对称轴l上是否存在一点P，使得P A+PC最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．（3）在（1）条件下，若E为x轴上一个动点，F为抛物线上的一个动点，使得B、C、E、F构成平行四边形时，求E点坐标．6．（2022秋•云州区期末）综合与探究如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过x轴上的点A（6，0）和y轴上的点B，且对称轴为直线x=7 2．（1）求二次函数的解析式．（2）点E位于抛物线第四象限内的图象上，以OE，AE为边作平行四边形OEAF，当平行四边形OEAF 为菱形时，求点F的坐标与菱形OEAF的面积．（3）连接AB，在直线AB上是否存在一点P，使得△AOP与△AOB相似，若存在，请直接写出点P坐标，若不存在，请说明理由．7．（2023春•开福区校级月考）【定义】对于函数图象上的任意一点P（x，y），我们把x+y称为该点的“雅和”，把函数图象上所有点的“雅和”的最小值称为该函数的“礼值”．根据定义回答问题：（1）①点P（9，10）的“雅和”为；（直接写出答案）②一次函数y＝3x+2（﹣1≤x≤3）的“礼值”为；（直接写出答案）（2）二次函数y＝x2﹣bx+c（bc≠0）（3≤x≤5）交x轴于点A，交y轴于点B，点A与点B的“雅和”相等，若此二次函数的“礼值”为1﹣b，求b，c的值；（3）如图所示，二次函数y＝x2﹣px+q的图象顶点在“雅和”为0的一次函数的图象上，四边形OABC 是矩形，点B的坐标为（5，﹣3），点O为坐标原点，点C在x轴上，当二次函数y＝x2﹣px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．8．（2023春•无锡月考）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）的图象分别与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，过点B作BC的垂线交对称轴于点M，以BM、BC为邻边作矩形BMNC．（1）求A、B的坐标；（2）当点N恰好落在函数图象上时，求二次函数的表达式；（3）作点N关于MC的对称点N'，则点N'能否落在函数图象的对称轴上，若能，请求出二次函数的表达式；若不能，请说明理由．9．（2022秋•开福区校级期末）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60°，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．（1）①在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有；②若矩形ABCD是“美丽四边形”，且AB＝1，则BC＝；（2）如图1，“美丽四边形”ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点P，且对角线AC，为直径，AP＝2，PC＝8，求另一条对角线BD的长；（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD的四个顶点A（﹣2，0），C（1，0），B在第三象限，D在第一象限，AC与BD交于点O，且四边形ABCD的面积为6√3，若二次函数y＝ax2+bx+c （a、b、c为常数，且a≠0）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．10．（2022秋•南关区校级期末）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x+n（x＞0）的图象记为G1，将G1绕坐标原点旋转180°得到图象G2，图象G1和G2合起来记为图象G．（1）若点P（﹣2，3）在图象G上，求n的值．（2）当n＝﹣1时．①若O（t，1）在图象G上，求t的值．②当k≤x≤3（k＜3）时，图象G对应函数的最大值为2，最小值为﹣2，直接写出k的取值范围．（3）当以A（﹣2，2），B（﹣2，﹣1），C（1，﹣1），D（1，2）为顶点的矩形ABCD的边与图象G有且只有3个公共点时，直接写出n的取值范围．11．（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B （x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE=3 4．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；②若NP＝2BP，令T=1a2+165c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式Δ≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=−b a，x1x2=ca”．此关系通常被称为“韦达定理”．12．（2023春•南关区月考）已知抛物线y=−12x2+bx+c（b、c是常数）的顶点B坐标为（﹣1，2），抛物线的对称轴为直线l，点A为抛物线与x轴的右交点，作直线AB．点P是抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，过点P作PN⊥l于点N，以PQ、PN为边作矩形PQMN．（1）b＝，c＝．（2）当点Q在线段AB上（点Q不与A、B重合）时，求PQ的长度d与m的函数关系式，并直接写出d的最大值．（3）当抛物线被矩形PQMN截得的部分图象的最高点纵坐标与最低点纵坐标的距离为2时，求点P的坐标．13．（2023春•南关区校级月考）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c （b 、c 是常数）经过点A （﹣1，0）和点B （3，0）．点P 在抛物线上，且点P 的横坐标为m ． （1）求b 、c 的值；（2）当△P AB 的面积为8时，求m 的值；（3）当点P 在点A 的右侧时，抛物线在点P 与点A 之间的部分（包含端点）记为图象G ，设G 的最高点与最低点的纵坐标之差为h ，求h 与m 之间的函数关系式；（4）点Q 的横坐标为1﹣3m ，纵坐标为m +1，以PQ 为对角线构造矩形，且矩形的边与坐标轴平行．当抛物线在矩形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大或y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．14．（2023•九台区校级一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝x 2﹣2ax ﹣a （a 为常数）． （1）若点（2，﹣1）在抛物线上． ①求抛物线的表达式；②当x 为何值时y 随x 的增大而减小？（2）若x ≤2a ，当抛物线的最低点到x 轴的距离恰好是1时，求a 的值；（3）已知A （﹣1，1）、B(−1，2a −12)，连结AB ．当抛物线与线段AB 有交点时，该交点为P （点P 不与A 、B 重合），将线段PB 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PM ，以PM 、P A 为邻边构造矩形PMQA ．当抛物线在矩形PMQA 内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为32时，直接写出a 的值．15．（2023•靖江市校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+32与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+32，以PQ、QM为边作矩形PQMN．（1）求b的值．（2）当点Q与点M重合时，求m的值．（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时．直接写出m的取值范围．16．（2022秋•临朐县期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C 在x轴的负半轴，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴x＝2，且过点O，A．（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；（2）若在线段OA上方的抛物线上有一点P，求△P AO面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）若把抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点B．直接写出平移后的抛物线解析式．17．（2023•道外区一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2ax+c经过点A （﹣4，0），点C（0，6），与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为第一象限抛物线上一点，连接AD，BD，设点D的横坐标为t，△ABD的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点P为第四象限抛物线上一点，连接P A交y轴于点E，点F在线段BC上，点G在直线AD上，若tan∠BAD=12，四边形BEFG为菱形，求点P的坐标．18．（2023春•九龙坡区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴于点C，连接BC，D为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，过P作PE⊥BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交直线BC于点G，求PE+PG的最大值，以及此时点P的坐标；（3）将抛物线y=12x2+bx+c沿射线CB方向平移，平移后的图象经过点H（2，﹣1），点M为D的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点N，点Q为平移后的抛物线对称轴上的一点，且点Q在第一象限．在平面直角坐标系中确定点R，使得以点M，N，Q，R为顶点的四边形为菱形，请写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．19．（2023•安徽一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C 1：y =−14x 2+bx +c 的图象与坐标轴交于A 、B 、C 三点，其中点A 的坐标为（0，8），点B 的坐标为（﹣4，0），点D 的坐标为（0，4）．（1）求该二次函数的表达式及点C 的坐标；（2）若点F 为该抛物线在第一象限内的一动点，求△FCD 面积的最大值；（3）如图2，将抛物线C 1向右平移2个单位，向下平移5个单位得到抛物线C 2，M 为抛物线C 2上一动点，N 为平面内一动点，问是否存在这样的点M 、N ，使得四边形DMCN 为菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2023•九台区一模）在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2+bx +c （b 、c 是常数）经过点（﹣2，﹣1），点（1，2）．点A 在抛物线上，且点A 的横坐标为m （m ≠0）．以点A 为中心，构造正方形POMN ，PQ ＝2|m |，且PQ ⊥x 轴．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若点B 是抛物线上一点，且在抛物线对称轴右侧．过点B 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ，连接BC ．当BC ＝6时，求点B 的坐标；（3）若m ＜0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y 随x 的增大而增大或y 随x 的增大而减小时，求m 的取值范围；（4）当抛物线与正方形PQMN 的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为34时，直接写出m 的值．。

2023年九年级中考数学一轮复习：二次函数一、单选题1．正方形的边长为4，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 关于x 的函数表达式为( )A ．216y x =+B ．2(4)y x =+C ．28y x x =+D ．2164y x =-2．若抛物线y=x 2﹣2x+m 与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜﹣1B ．m ＜1C ．m ＞﹣1D ．m ＞13．已知下列命题：①抛物线y ＝3x 2+5x ﹣1与两坐标轴交点的个数为2个；②相等的圆心角所对的弦相等；③任何正多边形都有且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等；⑤圆内接四边形对角相等；真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题4．当﹣7≤x≤a 时，二次函数y ＝﹣ 12（x+3）2+5恰好有最大值3，则a ＝ . 5．若函数y=a （x ﹣h ）2+k 的图象经过原点，最大值为8，且形状与抛物线y=2x 2﹣2x+3相同，则此函数关系式 ．6．函数y=x 2+2x+1，当y=0时，x= ；当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而 （填写“增大”或“减小”）．三、综合题7．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．8．如图，①为抛物线形拱桥，在正常水位下测得主拱宽 24m ，最高点离水面 8m ，以水平线 AB 为x 轴， AB 的中点为原点建立直角坐标系（如图②）．（1）求抛物线的解析式；（2）桥边有一浮在水面部分高 4m ，最宽处为 18m 的何鱼餐船，试探索此船在正常水位时能否开到桥下，并说明理由．9．已知二次函数 223y x bx b =+- ．（1）当该二次函数的图象经过点 ()10A ， 时，求该二次函数的表达式；（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x 轴的另一个交点为点B ，与y 轴的交点为点C ，点P 从点A 出发在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ 面积的最大值；（3）若对满足 1x ≥ 的任意实数x ，都使得 0y ≥ 成立，求实数b 的取值范围．10．已知：如图，二次函数 2y ax bx c =++ 的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为 ()1,0- ，点 ()C 0,5 ，另抛物线经过点 ()1,8 ，M 为它的顶点.（1）求抛物线的解析式；（2）求 MCB 的面积 MCB S .11．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后价格调为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同.（2）从第一次降价的第1天算起，第 x 天（ x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示；已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第 x 天的利润为 y 元，求 y 与(115)x x ≤< 之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？12．如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．13．已知二次函数y=﹣（a+b ）x 2﹣2cx+a ﹣b ，a ，b ，c 是△ABC 的三边．（1）当抛物线与x 轴只有一个交点时，判断△ABC 的形状并说明理由；（2）当x=﹣ 12 时，该函数有最大值 2a ，判断△ABC 的形状并说明理由． 14．某水产养殖户进行小龙虾养殖. 已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，日销售量 ()y kg 与时间第 t 天之间的函数关系式为 2100y t =+ （ 180t ≤≤ ， t 为整数），销售单价 p （元/ kg ）与时间第 t 天之间满足一次函数关系如下表：（2）在整个销售旺季的80天里，哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？15．如图，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长10米）的空地上用栅栏围成一个矩形绿化带ABCD ，绿化带的一边靠墙，中间用栅栏隔成两个小矩形，所用栅栏总长为36米，设AB 的长为x 米，矩形绿化带的面积为S 平方米.（1）求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；（2）求围成矩形绿化带ABCD 面积S 的最大值.16．已知 y 关于 x 的二次函数 ()220.y ax bx a =--≠（1）当 24a b ==， 时，求该函数图象的顶点坐标.（2）在（1）条件下， ()P m t ， 为该函数图象上的一点，若 p 关于原点的对称点 p ' 也落在该函数图象上，求 m 的值（3）当函数的图象经过点（1，0）时，若 1211322A y B y a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 是该函数图象上的两点，试比较 1y 与 2y 的大小.17．抛物线 245y x x =-++ 与 x 轴交于点 A ， B 两点（ A 在 B 的左侧），直线 334y x =-+ 与 y 轴交于点 C ，与 x 轴交于点 D ．点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点，过点 P 作 PF x ⊥ 轴于点 F ，交直线 CD 于点 E ．． （1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）设点 P 的横坐标为 m ，若 5PE EF = ，求 m 的值；18．已知m,n 是方程x 2－6x+5=0的两个实数根，且m<n ，抛物线y=－x 2+bx+c 的图象经过点A(m,0)、B(0,n)．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；（3）P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH△x 轴，与抛物线交于H 点，若直线BC 把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标．19．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=a(x-h) 2-4(a≠0）与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(-3，0).（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且S △POC =4S △BOC .求点P 的坐标；（3）设点Q 是线段AC 上的动点，作QD△x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值.20．如图，已知抛物线 2y x bx c =++ 与x 轴交于点A ，B ，AB=2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x=2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P 为对称轴上一动点，求△APC 周长的最小值；（3）设D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，则点D 的坐标为 ．21．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A(1，1)，且与直线 -2y x = 交于B ，C 两点．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）求△ABC 的面积；（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN△x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．22．在平面直角坐标系中，函数221y x ax =-- （ a 为常数）的图象与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标．（2）当此函数图象经过点()1,2 时，求此函数的表达式，并写出函数值y 随x 的增大而增大时x 的取值范围．（3）当0x ≤ 时，若函数 221y x ax =-- （a 为常数）的图象的最低点到直线 2y a = 的距离为2，求a 的值．（4）设0a < ， Rt EFG 三个顶点的坐标分别为 ()1,1E -- 、 ()1,1F a -- 、 ()0,1G a - ．当函数 221y x ax =-- （ a 为常数）的图象与 EFG 的直角边有交点时，交点记为点P ．过点P 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 P ' （ P ' 与P 不重合），过点A 作y 轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 A ' ．若 2AA PP '=' ，直接写出a 的值．23．已知，抛物线y ＝mx 2＋ 94x ﹣4m 与x 轴交于点A （﹣4，0）和点B ，与y 轴交于点C ．点D （n ，0）为x 轴上一动点，且有﹣4＜n ＜0，过点D 作直线1△x 轴，且与直线AC 交于点M ，与抛物线交于点N ，过点N 作NP △AC 于点P ．点E 在第三象限内，且有OE ＝OD ．（1）求m 的值和直线AC 的解析式．（2）若点D 在运动过程中， 12AD ＋CD 取得最小值时，求此时n 的值． （3）若点△ADM 的周长与△MNP 的周长的比为5△6时，求AE ＋23CE 的最小值． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 223y x x =+- 与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ．对称轴为直线 l ，点 ()4,D n - 在抛物线上．（1）求直线 CD 的解析式；（2）E 为直线 CD 下方抛物线上的一点，连接 EC 、 ED ．当 ECD ∆ 的面积最大时，在直线 l 上取一点 M ，过 M 作 y 轴的垂线，垂足为点 N ，连接 EM 、 BN ．若 EM BN = 时，求 EM MN BN ++ 的值；（3）将抛物线 223y x x =+- 沿 x 轴正方向平移得到新抛物线 y ' ， y ' 经过原点 O ． y ' 与 x 轴的另一个交点为 F ．设 P 是抛物线 y ' 上任意一点，点 Q 在直线 l 上， PFQ ∆ 能否成为以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，直接写出点 P 的坐标．若不能，请说明理由．25．如图，已知抛物线 y ＝ 2ax bx c ++ 与 x 轴交于 A -（） ， B （） 两点，与 y 轴交于点 C 0,3（） ．（1）求抛物线的解析式及顶点 M 坐标；（2）在抛物线的对称轴上找到点 P ，使得 PAC 的周长最小，并求出点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若点 D 是线段 OC 上的一个动点（不与点 O 、 C 重合）．过点 D 作 DE //PC 交 x 轴于点 E ．设 CD 的长为 m ，问当 m 取何值时， PDE ABMC 1S S 9 四边形 ．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵新正方形的边长为x+4，原正方形的边长为4，∴新正方形的面积为（x+4）2，原正方形的面积为16，∴y=（x+4）2-16=x2+8x，故选：C．【分析】根据增加的面积=新的正方形的面积-原正方形的面积，可列出y与x之间的函数解析式.2．【答案】B【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2﹣2x+m与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac=4﹣4m＞0，解得：m＜1．故选：B．【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数与△的关系求出即可．3．【答案】B【解析】【解答】解：①抛物线y＝3x2+5x﹣1与两坐标轴交点的个数为2个，错误，为假命题；②相等的圆心角所对的弦相等，错误，为假命题；③任何正多边形都有且只有一个外接圆，正确，为真命题；④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，正确，为真命题；⑤圆内接四边形对角相等，错误，为假命题；故答案为：B.【分析】根据抛物线与x轴的交点，弧、弦、圆心角的关系，正多边形与圆，三角形外心的性质，圆内接四边形的性质逐一判断即可. 4．【答案】-5【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴x=-3，∵x<-3时，y随x的增大而增大，∴当a<-3时，x=a时有最大值，∴y= ﹣12（a+3）2+5=3,解得a=-5，当a>-3时，x=-3时有最大值5，不符合题意，故答案为：-5.【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标（-3，5）；然后由抛物线的增减性进行解答．5．【答案】y=﹣2（x﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8【解析】【解答】解：∵函数y=a（x﹣h）2+k的图象经过原点，把（0，0）代入解析式，得：ah2+k=0，∵最大值为8，即函数的开口向下，a＜0，顶点的纵坐标k=8，又∵形状与抛物线y=﹣2x2﹣2x+3相同，∴二次项系数a=﹣2，把a=﹣2，k=8代入ah2+k=0中，得h=±2，∴函数解析式是：y=﹣2（x﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8，故答案为：y=﹣2（x﹣2）2+8或y=﹣2（x+2）2+8．【分析】根据函数y=a（x﹣h）2+k的图象经过原点，把（0，0）代入解析式，得到ah2+k=0，由最大值为8，即函数的开口向下，a＜0，得到顶点的纵坐标k=8，由形状与抛物线y=﹣2x2﹣2x+3相同，得到二次项系数a=﹣2，把a=﹣2，k=8代入ah2+k=0中，得到h=±2，得到函数解析式.6．【答案】-1；增大【解析】【解答】解：把y=0代入y=x2+2x+1，得x2+2x+1=0，解得x=﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，∴当1＜x＜2时，y随x的增大而增大；故答案为﹣1，增大．【分析】将y=0代入y=x2+2x+1，求得x的值即可，根据函数开口向上，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大．7．【答案】（1）解：当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000，综上所述：y=()() 221802000150120120005090x xx x⎧-++≤≤⎪⎨-+≤≤⎪⎩（2）解：当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元（3）解：当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x ＜50，共30天； 当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60， 因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元【解析】【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案． 8．【答案】（1）解：∵AB=24，OC=8∴A （-12,0），B （12,0），C （0,8）设抛物线解析式为 ()()1212y a x x =+-代入C 点坐标，得 ()()8012012a =+- ，解得 118a =- ∴抛物线解析式为 21818y x =-+ ； （2）解：当x=9时，得 2198 3.518y =-⨯+= ∵3.5<4∴不能开到桥下．【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为()()1212y a x x =+-，再将点C 代入计算即可；（2）求出当x=9时，y 的值，判断其是否大于4即可。

2024年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（特殊四边形）1．如图，在平面直角坐标系中抛物线L：y＝﹣x2＋bx＋c的图象与x轴的一个交点为A （﹣3，0），顶点B的横坐标为﹣1(1)求抛物线L的函数表达式；(2)点P为坐标轴上一点将抛物线L绕点P旋转180后得到抛物线L′，且A、B的对应点分别为C、D，当以A、B、C、D为顶点的四边形是矩形时，请求出符合条件的点P 坐标．2．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+m与x轴的一个交点为A(4，0)，另一交点为B，且与y 轴交于点C，连接AC．(1)求m的值及该抛物线的对称轴；(2)若点P在直线AC上，点Q是平面内一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C，连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F，AB＝4，设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)当m＝﹣2时，在平面内是否存在点Q，使以B，C，E，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．(1)求抛物线的解析式；(2)若点在第一象限，连接(3)是否存在这样的点，使以点请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．P P P(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点E为射线AD上一点，点P为第二象限内抛物线上一动点，求四边形PBEC 面积的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，将原抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线y'，y'经过点C，平移后点A的对应点为点A'，点N为线段AD的中点，点Q为新抛物线y'的对称轴上一点，在新抛物线上存在一点M，使以点M、Q、A'、N为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M 的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程．6．如图，抛物线y＝﹣x2＋2x＋3与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，点D与点C 关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点．设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．(1)求点A、点B、点C及抛物线的顶点坐标；(2)当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形？7．如图，已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点．(1)求抛物线的解析式；(2)若过点的直线交线段于点，且，求的正切值；(3)若点在抛物线上，点在轴上，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标．8．如图，抛物线经过等腰的，两点，，．2y ax bx c =++x (1,0)A -(3,0)B y (0,3)C D C AB E :3:5ACE CEB S S ∆∆=CEA ∠P Q x D C P Q P 2y x bx c =-++Rt OAB V A B (03)A ，90OAB ∠=︒(1)求抛物线的解析式；(2)若点是上方抛物线上的动点，交于点，当点位于何处时，四边形是平行四边形，求点的坐标．9．已知一个二次函数的图象经过A （1，0）、B （3，0）、C （0，）三点，顶点为D ．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求经过A 、D 两点的直线的表达式；(3)设P 为直线AD 上一点，且以A 、P 、C 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标．C AB CD AB ⊥OB D C ACDO C 3-10．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；(2)若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．(3)若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．11．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．(1)求抛物线的解析式．(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点S关于m的函数关系式，并求出S(2)求抛物线表达式；(3)如图，点为直线上方、抛物线上一点，过点作矩形，且轴，求当矩形为正方形时点的坐标．13．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于点A （﹣1，0）、B （3，0）两点，与y 轴相交于点C （0，﹣3）．(1)求此二次函数的解析式；(2)若抛物线的顶点为D ，点E 在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AE 交对称轴于点F ，试判断四边形CDEF 的形状，并证明你的结论．D AC D DHEF DF x ∥DHEF D14．如图，抛物线与轴交于，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点的坐标．15．【实践探究】数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程：1()230y ax bx a =+-≠x ()()1,0,3,0A B -y C 2,P Q BC Q P 1P PM y ∥BC M Q QN y ∥BC N PM QN +Q 3()230y ax bx a =+-≠11y 'y 'D E ,,,B C D E E(1)实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式；(2)应用：按规定，船通过拱桥时，顶部与拱桥顶部在竖直方向上的高度差至少为．一场大雨，让水面上升了，为了确保安全，问该拱桥能否让宽度为、高度为的货船通过?请通过计算进行说明（货船看作长方体）；(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F ，交抛物线对称轴于点E ，提出了以下两个问题，请予解答：①如图2，B 为直线上方抛物线上一动点，过B 作垂直于x 轴，交x 轴于A ，交直线于C ，过点B 作垂直于直线，交直线于，求的最大值．②如图3，G 为直线上一动点，过G 点作x 轴的垂线交抛物线于点H ，点P 在坐标平面内．问：是否存在以E 、G 、H 、P 为顶点的四边形是正方形?若存在，请直接写出G 点的坐标；若不存在，请说明理由．6m 10m 0.5m 0.2m 6m 3.2m y x =OF OF BA OF BD OF OF D BD CD +OF参考答案：。

2023年九年级中考数学复习：二次函数综合题1．如图，直线y kx b =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线2y ax bx c =++经过A ，B 两点，点C 的坐标为()1,0-，3AO CO ==，点C 关于点B 的对称点M 刚好落在抛物线上，连接AM ．(1)求点M 的坐标； (2)求抛物线的解析式；(3)过点M 作MD 平行于y 轴交AB 于点D ，若点E 为抛物线上的一点，点F 在x 轴上，连接AE ，AF ，EF ．是否存在点F 使得△ADM 与△AEF 相似？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知抛物线294y ax x c =++与x 轴交于点1,0A 和点B 两点，与y 轴交于点()0,3C -．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上一动点（不与点A ，B ，C 重合），作PD x ⊥轴，垂足为D ，连接PC ． ①如图1，若点P 在第三象限，且45CPD ∠=︒，求点P 的坐标；②直线PD 交直线BC 于点E ，当点E 关于直线PC 的对称点E '落在y 轴上时，求四边形PECE '的周长．3．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()3,0A 、()1,0B -两点，与y 轴交于点()0,3C ，其顶点为点D ，连结AC ．(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D 的坐标；(2)在抛物线的对称轴上取一点E ，点F 为抛物线上一动点，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点、AC 为边的四边形为平行四边形，求点F 的坐标；(3)在（2）的条件下，将点D 向下平移5个单位得到点M ，点P 为抛物线的对称轴上一动点，求35PF PM+的最小值．4．综合与探究如图，二次函数213442y x x =-++的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P 的横坐标为m ．过点P 作直线PD x ⊥轴于点D ，作直线BC 交PD 于点E(1)求A ，B ，C 三点的坐标，并直接写出直线BC 的函数表达式； (2)当CEP △是以PE 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；(3)连接AC ，过点P 作直线l AC ∥，交y 轴于点F ，连接DF ．试探究：在点P 运动的过程中，是否存在点P ，使得CE FD =，若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．5．已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点(3,0)A 和点(1,0)B -，与y 轴交于点C ，点D 在抛物线上运动（不与点A ，B ，C 重合）．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当点D 在第一象限抛物线上运动时，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为点F ，直线DF 与直线AC 交于点E ，若DE EA =，求点D 的坐标；(3)如图2，直线BD 交直线AC 于点H ，点G 在坐标平面内，在抛物线上是否存在点D ，使以点A ，D ，H ，G 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．6．二次函数23y ax bx =++的图像与x 轴交于()2,0A ，()6,0B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为E ．(1)二次函数的表达式为________，点E 的坐标为_________；(2)如图①，D 是该二次函数图像的对称轴上一个动点，当BD 的垂直平分线恰好经过点C 时，求点D 的坐标；(3)如图②，P 是直线CE 上方的二次函数图像上的一个动点，连接OP ，取OP 中点Q ，连接QC ，QE ，CE ，当CEQ 的面积为12时，求点P 的坐标．(4)连接BC ，M 是平面内一点，将BOC 绕点M 沿逆时针方向旋转90︒后，得到111B O C △，点B 、O 、C 的对应点分别是点1B 、1O 、1C ．若111B O C △的1B 、1C 两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点1C 的横坐标．7．如下图，抛物线213y ax x c =-+与x 轴交于点()6,0A -和B ，与y 轴交于点()0,8C -，点D 是线段OC 上一个动点，且不与点O ，C 重合.连接AD ，在BOC 内部做矩形DEFG ，其中点E 在OB 边上，点F ，G 在BC 边上．(1)求抛物线213y ax x c =-+的函数表达式；(2)设OD m =，ACD △的面积为1S ，矩形DEFG 的面积为2S ，12S n S =，则n 与m 的函数表达式为__________（写出自变量的取值范围）；(3)在下图的平面直角坐标系中，点P 在（2）中得出的函数图象上，作PM m ⊥轴于点M ，连接OP ，当上图中DF =POM 与上图中AOD △相似，请直接写出此时下图中点P 的坐标．8．已知抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 由直线BC 平移得到，与y 轴交于点()0,E n ．四边形MNPQ 的四个顶点的坐标分别为()1,3M m m ++，()1,N m m +，()5,P m m +，()5,3Q m m ++．(1)填空：=a ______，b =______；(2)若点M 在第二象限，直线l 与经过点M 的双曲线ky x=有且只有一个交点，求2n 的最大值； (3)当直线l 与四边形MNPQ 、抛物线22y ax bx =+-都有交点时，存在直线l ，对于同一条直线l 上的交点，直线l 与四边形MNPQ 的交点的纵坐标都不大于它与抛物线22y ax bx =+-的交点的纵坐标． ①当3m =-时，直接写出n 的取值范围； ②求m 的取值范围．9．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣3与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （9，0），与y 轴交于点C ，连接AC ．BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)将△AOC 以每秒一个单位的速度沿x 轴向右平移，平移的时间为t 秒，平移后的△A 1O 1C 1与△ABC 重叠部分的面积为S ．当A 1与B 重合时，停止平移，求S 与t 的函数关系式； (3)点M 在抛物线上，当∠MAB ＝2∠ACO 时，请直接写出点M 的横坐标．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (-1，0)和点B (4，0)，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线在第四象限内图象上的一个动点，过点P 作PD ⊥BC 于点D ．(1)求抛物线的解析式；(2)取得最大值时，求点P PD 的最大值；(3)将抛物线向右平移52个单位得到新抛物线，Q 为新抛物线对称轴上的一点．当（2PD 取得最大值时，直接写出使以点A 、P 、Q 为顶点的三角形是直角三角形的点Q 的坐标．11．如图1，抛物线25y ax ax c =++经过()3,0A ，()0,4C -，点B 在x 轴上，且AC BC =，过点B 作BD x ⊥轴交抛物线于点D ，点E ，F 分别是线段CO ，BC 上的动点，且CE BF =，连接EF ．(1)求抛物线的表达式及点D 的坐标； (2)当CEF △是直角三角形时，求点F 的坐标；(3)如图2，连接AE ，AF ，直接写出AE AF +的最小值为：______．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA=1，对称轴为直线x=2，点D为此抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上C，D两点之间的距离是__________；(3)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．13．如图，在平面直角坐标系．xOy中，直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（﹣2，0）．(1)求抛物线解析式；(2)如图1，点F是直线AB下方抛物线上一动点，连接F A，FB，求出四边形F AOB面积最大值及此时点F 的坐标．(3)如图2，在（2）问的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内任意一点M使得以A ，F ，Q ，M 为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．14．如图，已知抛物线24y ax bx =++经过A （-1，0），B （4，0）两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC ，求直线BC 的解析式；(3)请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP +PC 的值最小，求点P 的坐标，并求出此时AP +PC 的最小值； (4)点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使得以A 、C 、M 、N 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =+++<与x 轴分则点A 和点()10B ,，与y 轴交于点C ，对称轴为直线1x =-，且OA OC =，P 为抛物线上一动点．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图2，连接AC ，当点P 在直线AC 上方时，求四边形P ABC 面积的最大值，并求出此时P 点的坐标； (3)设M 为抛物线对称轴上一动点，当P ，M 运动时，在坐标轴上是否存在点N ，使四边形PMCN 为矩形？若存在，直接写出点P 及其对应点N 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，直线26y x =-+与x 轴交于点A ，与直线y x =交于点B ．(1)点A 坐标为________，AOB ∠=_______； (2)求OABS的值；(3)动点M 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着O A →的路线向终点A 匀速运动，过点M 作MP x ⊥轴交直线y x =于点P ，然后以MP 为直角边向右作等腰直角MPN △，设运动t 秒时，MPN △与OAB 重叠部分的面积为S ．求S 与t 之间的函数关系式，并直接写出t 的取值范围．17．抛物线223y x x =--交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的左边），C 是第一象限抛物线上一点，直线AC 交y 轴于点P ．(1)直接写出A，B两点的坐标；(2)如图（1），当OP OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；(3)如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求FPOP的值（用含m的式子表示）．18．抛物线y＝x2－4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．(1)直接写出点B和点D的坐标；(2)如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝12时，求点P的坐标；(3)如图2，M 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，Q 是抛物线上的动点，它的横坐标为m （0＜m ＜5），连接MQ ，BQ ，MQ 与直线OB 交于点E ．设△BEQ 和△BEM 的面积分别为S 1和S 2，求12S S 的最大值．19．如图，在二次函数2221y x mx m =-+++（m 是常数，且0m >）的图像与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．其对称轴与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ．连接AC ，BD ．(1)求A ，B ，C 三点的坐标（用数字或含m 的式子表示），并求OBC ∠的度数；(2)若ACO CBD ∠=∠，求m 的值；(3)若在第四象限内二次函数2221y x mx m =-+++（m 是常数，且0m >）的图像上，始终存在一点P ，使得75ACP ∠=︒，请结合函数的图像，直接写出m 的取值范围．20．已知抛物线2y x bx c =++．(1)如图①，若抛物线图象与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交点()0,3B -．连接AB ．①求该抛物线所表示的二次函数表达式；②若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH x⊥轴于点H，与线段AB交于点M．是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(2)如图②，直线43y x n=+与y轴交于点C，同时与抛物线2y x bx c=++交于点()3,0D-，以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．参考答案：1．(1)(M(2)2y x =+(3)存在，()()()()()11,0,3,0,,0,5,0,7,0,13,03⎛⎫-- ⎪⎝⎭2．(1)239344y x x =+- (2)①514,33P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；②853或3533．(1)2y x 2x 3=-++，顶点D 的坐标为()1,4(2)()2,5F --或()4,5F - (3)2454．(1)()()2,0,8,0A B -，点C 的坐标为()0,4；142y x =-+ (2)()4,6(3)存在；m 的值为4或25．(1)y =－x 2+2x +3(2)点D ）(3)存在；（2，3），（1），（1），（-2，-5）6．(1)21234y x x =-+；()41-,(2)点D 的坐标为(4,3或(4,3(3)点P 的坐标为()10,8或()6,24-(4)点1C 的横坐标为1327．(1)211863y x x =-- (2)308n m m=<<（）(3)⎝或⎭8．(1)12，32- (2)当2m =-时，2n 可以取得最大值，最大值为2(3)①n 的取值范围为：112n ≤≤或4n =-；②m的取值范围：13m -≤≤9．(1)218333y x x =-- (2)()()()222236012012719602331591020t t t S t t t t t ⎧-+<≤⎪⎪⎪=-+<≤⎨⎪⎪-+<≤⎪⎩(3)274或454．10．(1)234y x x =--(2)P 的坐标为（2，-6的最大值为4(3)Q （4，-5），Q （4，2.5）11．(1)215466y x x =+-，点D （-3，-5）； (2)516(,)39-或4(,)3209-12．(1)215222y x x =-++(2)(3)（7，4）或（-3，72-）或（3，32-）或（3，4）13．(1)2142y x x =-- (2)当t ＝2时，S 四边形F AOB 有最大值12，此时点F 的坐标为（2，﹣4）(3)存在，点Q 的坐标Q 1（8，﹣2），Q 2（6，﹣6），Q 3（1，﹣1），Q 4（5，﹣3）14．(1)234y x x =-++(2)直线BC 的解析式为4y x =-+； (3)35(,)22P ，此时AP PC +的最小值为 (4)存在，(3,4)N或4)-． 15．(1)223y x x =--+ (2)758S =最大，P 点的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，()11,4P -，()10,4N；2P ⎝⎭，2N ⎫⎪⎪⎝⎭；3P ⎝⎭，3N ⎫⎪⎪⎝⎭16．(1)A (3，0)，45︒；(2)3； (3)2221602519653(2)125246(23)3t t S t t t t t t ⎧⎛⎫<≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪-+<≤⎪⎩17．(1)()1,0A -，()3,0B ；(2)0； (3)13m ．18．(1)B （5,5），D （2,-4）；(2)1(2,0)P ，210(,0)3P -； (3)2524；19．(1)A （-1，0）；B （2m +1，0）；C （0，2m +1）；45OBC ∠=︒(2)1m =(3)0m <<20．(1)①223y x x =--，②存在，点P 坐标为(2，-3)或（12，-154）， (2)b <32-或b >133。

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题13二次函数综合问题一．解答题（共40小题）1．（2022•孝感）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．（1）直接写出点B和点D的坐标；（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．【分析】（1）令y＝x2﹣4x＝x，求出x的值即可得出点B的坐标，将函数y＝x2﹣4x化作顶点式可得出点D的坐标；（2）过点D作DE⊥y轴于点E，易得tan∠ODE＝，作∠ODG＝∠ODE，则点P为直线DG与x轴的交点；过点O作OG⊥DP于点G，过点G作x轴的垂线，交DE所在直线于点F，交x轴于点H，易证△ODE≌△ODG，△GDF∽△OGH，则DG＝DE＝2，OG ＝OE＝4，DG：OG＝DF：HG＝GF：OH，设DF＝t，则HG＝2t，FG＝4﹣2t，OH＝8﹣4t，又OH＝EF，则8﹣4t＝2+t，解得t的值可得出点G的坐标，进而可得直线DG的解析式，令y＝0即可得出点P的坐标；（3）分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，则S1＝QK（x B﹣x E），S2＝MN（x B﹣x E），由点Q的横坐标为m，可表达，再利用二次函数的性质可得出结论．【解析】（1）令y＝x2﹣4x＝x，解得x＝0或x＝5，∴B（5，5）；∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴顶点D（2，﹣4）．（2）如图，过点D作DE⊥y轴于点E，∴DE＝2，OE＝4，∴tan∠ODE＝，作∠ODG＝∠ODE，则点P为直线DG与x轴的交点；过点O作OG⊥DP于点G，过点G作x轴的垂线，交DE所在直线于点F，交x轴于点H，∴△ODE≌△ODG（AAS），∴DG＝DE＝2，OG＝OE＝4，∵∠OHG＝∠F＝90°，∠OGH+∠DGF＝90°，∠OGH+∠GOH＝90°，∴∠DGF＝∠GOH，∴△GDF∽△OGH，∴DG：OG＝DF：HG＝GF：OH＝1：2，设DF＝t，则HG＝2t，FG＝4﹣2t，OH＝8﹣4t，∵∠DEO＝∠F＝∠OHG＝90°，∴四边形OEFH是矩形，∴OH＝EF，∴8﹣4t＝2+t，解得t＝，∴GH＝，OH＝2+t＝，∴G（，﹣）．∴直线DG的解析式为y＝x﹣，令y＝0，解得x＝5，∴P（5，0）．（3）∵点B（5，5）与点M关于对称轴x＝2对称，∴M（﹣1，5）．如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，∴N（﹣1，﹣1），MN＝6，∵点Q横坐标为m，∴Q（m，m2﹣4m），K（m，m），∴KQ＝m﹣（m2﹣4m）＝﹣m2+5m．∵S1＝QK（x B﹣x E），S2＝MN（x B﹣x E），∴＝＝﹣（m2﹣5m）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，的最大值为．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数上的坐标特征，三角形的面积和三角形相似的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的比．2．（2022•武汉）抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（A在B的左边），C是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点P．（1）直接写出A，B两点的坐标；（2）如图（1），当OP＝OA时，在抛物线上存在点D（异于点B），使B，D两点到AC 的距离相等，求出所有满足条件的点D的横坐标；（3）如图（2），直线BP交抛物线于另一点E，连接CE交y轴于点F，点C的横坐标为m．求的值（用含m的式子表示）．【分析】（1）令y＝0，解方程可得结论；（2）分两种情形：①若点D在AC的下方时，过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1．②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（（0，5），过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2，D3，D2，D3符合条件．构建方程组分别求解即可；（3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y＝kx+b，由，可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，设x1，x2是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的两根，则x1x2＝﹣3﹣b，推出x A•x C＝x B•x E＝﹣3﹣b可得n＝﹣1﹣，设直线CE的解析式为y＝px+q，同法可得mn＝﹣3﹣q推出q＝﹣mn﹣3，推出q＝﹣（3+b）（﹣1﹣）﹣3＝b2+2b，推出OF＝b2+b，可得结论．【解析】（1）令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）∵OP＝OA＝1，∴P（0，1），∴直线AC的解析式为y＝x+1．①若点D在AC的下方时，过点B作AC的平行线与抛物线交点即为D1．∵B（3，0），BD1∥AC，∴直线BD1的解析式为y＝x﹣3，由，解得或，∴D1（0，﹣3），∴D1的横坐标为0．②若点D在AC的上方时，点D1关于点P的对称点G（（0，5），过点G作AC的平行线l交抛物线于点D2，D3，D2，D3符合条件．直线l的解析式为y＝x+5，由，可得x2﹣3x﹣8＝0，解得x＝或，∴D2，D3的横坐标为，，综上所述，满足条件的点D的横坐标为0，，．（3）设E点的横坐标为n，过点P的直线的解析式为y＝kx+b，由，可得x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0，设x1，x2是方程x2﹣（2+k）x﹣3﹣b＝0的两根，则x1x2＝﹣3﹣b，∴x A•x C＝x B•x E＝﹣3﹣b∵x A＝﹣1，∴x C＝3+b，∴m＝3+b，∵x B＝3，∴x E＝﹣1﹣，∴n＝﹣1﹣，设直线CE的解析式为y＝px+q，同法可得mn＝﹣3﹣q∴q＝﹣mn﹣3，∴q＝﹣（3+b）（﹣1﹣）﹣3＝b2+2b，∴OF＝b2+b，∴＝b+1＝（m﹣3）+1＝m．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根与系数的格线等知识，解题的关键是学会构建一次函数，构建方程组确定交点坐标，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．3．（2022•娄底）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将x＝0及y＝0代入抛物线y＝x2﹣2x﹣6的解析式，进而求得结果；（2）连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），分别表示出S△POC，S△BOP，计算出S△BOC，根据S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC，从而得出△PBC的函数关系式，进一步求得结果；（3）可分为▱ACFE和▱ACEF的情形．当▱ACFE时，点F和点C关于抛物线对称轴对称，从而得出F点坐标；当▱ACED时，可推出点F的纵坐标为6，进一步求得结果．【解析】（1）当x＝0时，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），当y＝0时，x2﹣2x﹣6＝0，∴x1＝6，x2＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（6，0）；（2）方法一：如图1，连接OP，设点P（m，﹣2m﹣6），∴S△POC＝x P＝＝3m，S△BOP＝|y P|＝+2m+6），∵S△BOC＝＝18，∴S△PBC＝S四边形PBOC﹣S△BOC＝（S△POC+S△POB）﹣S△BOC＝3m+3（﹣+2m+6）﹣18＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S△PBC最大＝；方法二：如图2，作PQ⊥AB于Q，交BC于点D，∵B（6，0），C（0，﹣6），∴直线BC的解析式为：y＝x﹣6，∴D（m，m﹣6），∴PD＝（m﹣6）﹣（﹣2m﹣6）＝﹣+3m，∴S△PBC＝＝＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S△PBC最大＝；（3）如图3，当▱ACFE时，AE∥CF，∵抛物线对称轴为直线：x＝＝2，∴F1点的坐标：（4，﹣6），如图4，当▱ACEF时，作FG⊥AE于G，∴FG＝OC＝6，当y＝6时，x2﹣2x﹣6＝6，∴x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴F2（2+2，6），F3（2﹣2，6），综上所述：F（4，﹣6）或（2+2，6）或（2﹣2，6）．【点评】本题考查了二次函数及其图象性质，平行四边形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，转化条件．4．（2022•广元）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△ABP周长的最小值；（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．【分析】（1）在直线y＝﹣x﹣2中，令x＝0和y＝0可得点A和B的坐标，代入抛物线y ＝ax2+bx+c（a＞0）中可解答；（2）连接BC交直线x＝1于点P，利用两点之间线段最短可得出此时△PAB的周长最小，从而可以解答；（3）根据a＝1时，可得抛物线的解析式y＝x2+x﹣2，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形，设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2），表示QE的长，配方后可解答．【解析】（1）直线y＝﹣x﹣2中，当x＝0时，y＝﹣2，∴B（0，﹣2），当y＝0时，﹣x﹣2＝0，∴x＝﹣2，∴A（﹣2，0），将A（﹣2，0），B（0，﹣2）代入抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）中，得，，∴2a﹣b＝1，c＝﹣2；（2）如图1，当a＝时，2×﹣b＝1，∴b＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线的对称轴是：x＝1，由对称性可得C（4，0），要使△ABP的周长最小，只需AP+BP最小即可，如图1，连接BC交直线x＝1于点P，因为点A与点B关于直线x＝1对称，由对称性可知：AP+BP＝PC+BP＝BC，此时△ABP的周长最小，所以△ABP的周长为AB+BC，Rt△AOB中，AB＝＝＝2，Rt△BOC中，BC＝＝＝2，∴△ABP周长的最小值为2+2；（3）当a＝1时，2×1﹣b＝1，∴b＝1，∴y＝x2+x﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），∴OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°，如图2，过点Q作QF⊥x轴于F，交AB于E，则△EQD是等腰直角三角形，设Q（m，m2+m﹣2），则E（m，﹣m﹣2），∴QE＝（﹣m﹣2）﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m＝﹣（m+1）2+1，∴QD＝QE＝﹣（m+1）2+，当m＝﹣1时，QD有最大值是，当m＝﹣1时，y＝1﹣1﹣1＝﹣2，综上，点Q的坐标为（﹣1，﹣2）时，QD有最大值是．【点评】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称﹣最短路线问题等知识，综合性较强，难度适中，利用方程思想，数形结合是解题的关键．5．（2022•宿迁）如图，二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．（1）求二次函数的表达式；（2）①求证：△OCD∽△A′BD；②求的最小值；（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．【分析】（1）利用交点式可得二次函数的解析式；（2）①根据两角相等可证明两三角形相似；②根据△OCD∽△A′BD，得＝，则＝，即的最小值就是的最小值，OC为定值，所以当CD最小为2时，有最小值是；（3）根据面积的关系可得：△OCD∽△A′BD时，相似比为2：1，可得A'B＝AB＝1，作辅助线，构建直角三角形，根据等角的正切可得A'G和BG的长，最后再证明△A'GB ∽△QOB，可得OQ的长，利用待定系数法可得A'B的解析式，最后联立方程可得结论．【解析】（1）解：∵二次函数y＝x2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣0）（x﹣4）＝x2﹣2x；（2）①证明：如图1，由翻折得：∠OAC＝∠A'，由对称得：OC＝AC，∴∠AOC＝∠OAC，∴∠COA＝∠A'，∵∠A'DB＝∠ODC，∴△OCD∽△A′BD；②解：∵△OCD∽△A′BD，∴＝，∵AB＝A'B，∴＝，∴的最小值就是的最小值，y＝x2﹣2x＝（x﹣2）2﹣2，∴C（2，﹣2），∴OC＝2，∴当CD⊥OA时，CD最小，的值最小，当CD＝2时，的最小值为＝；（3）解：∵S△OCD＝8S△A'BD，∴S△OCD：S△A'BD＝8，∵△OCD∽△A′BD，∴＝（）2＝8，∴＝2，∵OC＝2，∴A'B＝AB＝1，∴BD＝2﹣1＝1，如图2，连接AA'，过点A'作A'G⊥OA于G，延长CB交AA'于H，由翻折得：AA'⊥CH，∵∠AHB＝∠BDC＝90°，∠ABH＝∠CBD，∴∠BCD＝∠BAH，tan∠BCD＝tan∠GAA'，∴＝＝，设A'G＝a，则AG＝2a，BG＝2a﹣1，在RtA'GB中，由勾股定理得：BG2+A'G2＝A'B2，∴a2+（2a﹣1）2＝12，∴a1＝0（舍），a2＝，∴BG＝2a﹣1＝﹣1＝，∵A'G∥OQ，∴△A'GB∽△QOB，∴＝，即＝，∴OQ＝4，∴Q（0，4），设直线A'B的解析式为：y＝kx+m，∴，解得：，∴直线A'B的解析式为：y＝﹣x+4，∴﹣x+4＝x2﹣2x，3x2﹣4x﹣24＝0，解得：x＝，∴直线A′B与二次函数的交点横坐标是．【点评】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，对称的性质，三角形相似的性质和判定，配方法的应用，勾股定理的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合是解本题的关键．6．（2022•湘潭）已知抛物线y＝x2+bx+c．（1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，﹣3），连接AB．（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；（Ⅱ）若点P是抛物线上一动点（与点A不重合），过点P作PH⊥x轴于点H，与线段AB 交于点M，是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）如图②，直线y＝x+n与y轴交于点C，同时与抛物线y＝x2+bx+c交于点D（﹣3，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．（Ⅱ）求出AB的解析式，设出点P坐标，表示出M点坐标，从而表示出PH和HM的长，分别列出PH＝3HM和PH＝时的方程，从而求得m的值，进而求得P点坐标；（2）分为b＞0和b＜0两种情形．当b＜0时，抛物线对称轴在y轴左侧，此时求得抛物线与y轴交点，只需交点在点C的上方，就满足抛物线与线段CE没有交点，进一步求得结果，当b＜0时，类似的方法求得这种情形b的范围．【解析】（1）解：（Ⅰ）由题意得，，∴，∴y＝x2﹣2x﹣3；（Ⅱ）存在点P，使得点M是线段PH的三等分点，理由如下：∵B（0，﹣3），A（3，0），∴直线AB的解析式为：y＝x﹣3，设点P（m，m2﹣2m﹣3），M（m，m﹣3），∴PH＝﹣m2+2m+3，HM＝3﹣m，当PH＝3HM时，﹣m2+2m+3＝3（3﹣m），化简得，m2﹣5m+6＝0，∴m1＝2，m2＝3，当m＝2时，y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，∴P（2，﹣3），当m＝3时，y＝32﹣2×3﹣3＝0，此时P（3，0）（舍去），当PH＝HM时，﹣m2+2m+3＝（3﹣m），化简得，2m2﹣7m+3＝0，∴m3＝3（舍去），m2＝，当m＝时，y＝（）2﹣2×﹣3＝﹣，∴P（，﹣），综上所述：P（2，﹣3）或（，﹣）；（2）如图1，∵抛物线y＝x2+bx+c过点D（﹣3，0），∴（﹣3）2﹣3b+c＝0，∴c＝3b﹣9，∴y＝x2+bx+（3b﹣9），把x＝﹣3，y＝0代入y＝+n得，0＝+n，∴n＝4，∴OC＝4，∵∠COD＝90°，OD＝3，OC＝4，∴CD＝5，∵四边形CDFE是菱形，∴CE＝CD＝5，∴E（5，4），当﹣＜0时，即b＞0时，当x＝0时，y＝3b﹣9，∴G（0，3b﹣9），∵该抛物线与线段CE没有交点，∴3b﹣9＞4，∴b＞，当b＜0时，当x＝5时，y＝25+5b+3b﹣9＝8b+16，∴H（5，8b+16），∵抛物线与CE没有交点，∴8b+16＜4，∴b＜﹣，综上所述：b＞或b＜﹣．【点评】本题考查了求二次函数的解析式，一次函数解析式，菱形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键一是正确分类，二是数形结合．7．（2022•邵阳）如图，已知直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c相交于A，B两点，点A 在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．（1）求该抛物线的表达式．（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．【分析】（1）先分别求得点A，点B的坐标，从而利用待定系数法求函数解析式；（2）分△AOB≌△DPC和△AOB≌△CPD两种情况，结合全等三角形的性质分析求解；（3）根据点D′的运动轨迹，求得当点P，D′，C三点共线时求得CD′的最小值．【解析】在直线y＝2x+2中，当x＝2时，y＝2，当y＝0时，x＝﹣1，∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，2），把点A（﹣1，0），点B（0，2），点C（3，0）代入y＝ax2+bx+c，，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）①当△AOB≌△DPC时，AO＝DP，又∵四边形OPDE为正方形，∴DP＝OP＝AO＝1，此时点P的坐标为（1，0），②当△AOB≌△CPD时，OB＝DP，又∵四边形OPDE为正方形，∴DP＝OP＝OB＝2，此时点P的坐标为（2，0），综上，点P的坐标为（1，0）或（2，0）；（3）如图，点D′在以点P为圆心，DP为半径的圆上运动，∴当点D′′，点P，点C三点共线时，CD′′有最小值，由（2）可得点P的坐标为（1，0）或（2，0），且C点坐标为（3，0），∴CD′′的最小值为1．【点评】本题考查二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，掌握待定系数法求函数解析式，注意数形结合思想和分类讨论思想解题是关键．8．（2022•台州）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．（1）若h＝1.5，EF＝0.5m．①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围．（2）若EF＝1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出h的最小值．【分析】（1）①由顶点A（2，2）得，设y＝a（x﹣2）2+2，再根据抛物线过点（0，1.5），可得a的值，从而解决问题；②由对称轴知点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，可得点B的坐标；③根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值为最小值，从而得出答案；（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，故设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣（m+3﹣2）2+h+0.5），则有﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，从而得出答案．【解析】（1）①如图1，由题意得A（2，2）是上边缘抛物线的顶点，设y＝a（x﹣2）2+2，又∵抛物线过点（0，1.5），∴1.5＝4a+2，∴a＝﹣，∴上边缘抛物线的函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+2，当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+2，解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），∴喷出水的最大射程OC为6cm；②∵对称轴为直线x＝2，∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4cm得到的，∴点B的坐标为（2，0）；③∵EF＝0.5，∴点F的纵坐标为0.5，∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，解得x＝2±2，∵x＞0，∴x＝2+2，当x＞2时，y随x的增大而减小，∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，则x≤2+2，∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+2，∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，∴d的最大值为2+2﹣3＝2﹣1，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB≤d，∴d的最小值为2，综上所述，d的取值范围是2≤d≤2﹣1；（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D、F恰好分别在两条抛物线上，故设点D（m，﹣（m+2）2+h+0.5），F（m+3，﹣[（m+3﹣2）2+h+0.5]），则有﹣（m+3﹣2）2+h+0.5﹣[﹣（m+2）2+h+0.5]＝1，解得m＝2.5，∴点D的纵坐标为h﹣，∴h﹣＝0，∴h的最小值为．【点评】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．9．（2022•眉山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣4x+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣5，0）．（1）求点C的坐标；（2）如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；（3）如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把点A的坐标代入y＝﹣x2﹣4x+c，求出c的值即可；（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，证明△PHE是等腰直角三角形，得，当PH最大时，PE最大，运用待定系数法求直线AC解析式为y＝x+5，设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；（3）分三种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时，②当AM为平行四边形的对角线时，③当AN为平行四边形的对角线时分别求解即可．【解析】（1）∵点A（﹣5，0）在抛物线y＝﹣x2﹣4x+c的图象上，∴0＝﹣52﹣4×5+c∴c＝5，∴点C的坐标为（0，5）；（2）过P作PE⊥AC于点E，过点P作PF⊥x轴交AC于点H，如图1：∵A（﹣5，0），C（0，5）∴OA＝OC，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠CAO＝45°，∵PF⊥x轴，∴∠AHF＝45°＝∠PHE，∴△PHE是等腰直角三角形，∴，∴当PH最大时，PE最大，设直线AC解析式为y＝kx+5，将A（﹣5，0）代入得0＝5k+5，∴k＝1，∴直线AC解析式为y＝x+5，设P（m，﹣m2﹣4m+5），（﹣5＜m＜0），则H（m，m+5），∴，∵a＝﹣1＜0，∴当时，PH最大为，∴此时PE最大为，即点P到直线AC的距离值最大；（3）存在，理由如下：∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，设点N的坐标为（﹣2，m），点M的坐标为（x，﹣x2﹣4x+5），分三种情况：①当AC为平行四边形对角线时，，解得，∴点M的坐标为（﹣3，8）；②当AM为平行四边形对角线时，，解得，∴点M的坐标为（3，﹣16）；③当AN为平行四边形对角线时，，解得，∴点M的坐标为（﹣7，﹣16）；综上，点M的坐标为：（﹣3，8）或（3，﹣16）或（﹣7，﹣16）．【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．10．（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B．（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，①求点P的坐标；②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得最大值时，求点M，G的坐标；（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y 轴的负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．【分析】（Ⅰ）①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点P的坐标；②求出直线BP的解析式，设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），表示出MG的长，可得关于m的二次函数，根据二次函数的最值即可求解；（Ⅱ）由3b＝2c得b＝﹣2a，c＝﹣3a，抛物线的解析式为y＝ax2﹣2a﹣3a．可得顶点P 的坐标为（1，﹣4a），点N的坐标为（2，﹣3a），作点P关于y轴的对称点P'，作点N 关于x轴的对称点N'，得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H．在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．由勾股定理可得P'N′2＝P'H2+HN2＝9+49a2＝25．解得a1＝，a2＝﹣（舍）．可得点P'的坐标为（﹣1，﹣），点N′的坐标为（2，）．利用待定系数法得直线P'N′的解析式为y＝x﹣．即可得点E，F的坐标．【解析】（Ⅰ）①若b＝﹣2，c＝﹣3，则抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2x﹣3，∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），∴a+2﹣3＝0，解得a＝1，∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点P的坐标为（1，﹣4）；②当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），设直线BP的解析式为y＝kx+n，∴，解得，∴直线BP的解析式为y＝2x﹣6，∵直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），∴MG＝2m﹣6﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，∴当m＝2时，MG取得最大值1，此时，点M（2，﹣3），则G（2，﹣2）；（Ⅱ）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，又3b＝2c，b＝﹣2a，c＝﹣3a（a＞0），∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2a﹣3a．∴y＝ax2﹣2a﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点P的坐标为（1，﹣4a），∵直线x＝2与抛物线相交于点N，∴点N的坐标为（2，﹣3a），作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'，得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5．延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H．在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．∴P'N′2＝P'H2+HN2＝9+49a2＝25．解得a1＝，a2＝﹣（舍）．∴点P'的坐标为（﹣1，﹣），点N′的坐标为（2，）．∴直线P'N′的解析式为y＝x﹣．∴点E（，0），点F（0，﹣）．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，轴对称求最小值问题，勾股定理等，利用待定系数法求出直线解析式是解本题的关键．。