(整理)椭圆及其简单几何性质

二、椭圆的简单几何性质一、知识要点椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．e dMF =||∴准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b x a y 的准线方程是ca y 2±=．焦半径公式：由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2===右； 左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +===|)-(-|||2左二、典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；练习：椭圆81922=+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.例2、已知椭圆方程13610022=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ，求P 到右准线的距离.例3、已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值.变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13422=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMATMF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。

数学椭圆知识点总结数学椭圆知识点总结「篇一」1.椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆;(2)若a=c，则集合P为线段;(3)若a2.椭圆的标准方程和几何性质一条规律椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：两种方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程。

(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程。

三种技巧(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a+c，最小距离为a-c。

(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2=a2-c2就可求得e(0(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点;②对称轴是否为坐标轴。

椭圆方程的第一定义：⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上. ii. 中心在原点，焦点在轴上。

②一般方程.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为(一象限应是属于)。

⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x轴，轴;长轴长，短轴长.③焦点：或.④焦距.⑤准线：或.⑥离心率.⑦焦点半径：i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出。

ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出。

由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”。

注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆。

⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是我们称此方程为共离心率的椭圆系方程。

Evaluation Warning: The document was created with Spire.Doc for JA V A.（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点 1F 、2F 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离12||F F 叫做椭圆的焦距。

对椭圆定义的几点说明： （1）“在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；（2）“两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”，学习时注意区分； （3）作为到这两个定点的距离的和的“常数”，必须满足大于| F 1F 2|这个条件。

若不然，当这个“常数”等于| F 1F 2|时，我们得到的是线段F 1F 2；当这个“常数”小于| F 1F 2|时，无轨迹。

这两种特殊情况，同学们必须注意。

（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为A 1， A 2， B 1， B 2，于是我们易得| A 1A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F 1|、|B 1F 2|+|B 1F 1|也等于那个“常数”。

同学们想一想其中的道理。

（5）中心在原点、焦点分别在x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：22222222x y y x 1(a b 0),1(a b 0),a b a b +=>>+=>> 相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0 ，222a cb =+。

不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（－c ，0）和（c ，0），第二个椭圆的焦点坐标为（0，－c ）和（0，c ）。

椭圆的焦点在 x 轴上⇔标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上⇔标准方程中y 2项的分母较大。

椭圆的简单几何性质知识点总结椭圆是一种重要的几何图形，具有一些特殊的性质。

在本篇文档中，我们将总结椭圆的一些简单几何性质。

1. 椭圆的定义椭圆可以通过以下定义来描述：对于给定的两个焦点F1和F2，及其到两个焦点的总距离的一半定为常量2a（长轴），椭圆上每一点到两个焦点的距离之和等于常量2a。

椭圆的另一个参数e（离心率）定义为焦点之间的距离与长轴的比值：e = c/a，其中c是焦点之间的距离。

2. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点F1和F2对称分布在长轴上，并且与椭圆的中心O相等。

准线是通过焦点F1和F2垂直于长轴的直线，交于椭圆的中心O。

准线的长度定为2b（短轴）。

椭圆的离心率e= c/a = √(a^2 - b^2)/a。

3. 椭圆的主轴和副轴椭圆的主轴是长轴，长度为2a。

副轴是短轴，长度为2b。

长轴和短轴是椭圆上的两个对称轴。

4. 椭圆的焦准距椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于2a，即PF1+PF2=2a。

我们把这个距离之和称为焦准距。

对于同一条主轴上的两个点P1和P2，它们到焦点的距离之和相等。

5. 椭圆的离心率椭圆的离心率是一个反映椭圆形状的重要参数。

离心率e定义为焦点之间的距离与长轴的比值：e = c/a。

当离心率小于1时，椭圆是真椭圆；当离心率等于1时，椭圆是半圆；当离心率大于1时，椭圆是伪椭圆。

离心率越接近于0，椭圆形状越扁。

6. 椭圆的方程椭圆的方程可以通过不同的形式来表示，其中最常用的是标准形式和一般形式。

标准形式的椭圆方程为：x2/a2 + y2/b2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度。

一般形式的椭圆方程为：Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D和E为常数。

7. 椭圆的焦距定理椭圆的焦距定理说明了椭圆上的任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之和等于椭圆的主轴长度。

即PF1+PF2=2a。

8. 椭圆的切线椭圆上任意一点P的切线是通过点P且与椭圆仅相交于点P的直线。

第8讲：椭圆的简单几何性质基本知识点1 椭圆的范围 以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例．由标准方程可知，椭圆上点的坐标(,)x y 都适合不等式22221,1x y a b≤≤，即2222,x a y b ≤≤，所以||,||.x a y b ≤≤ 这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框内(如图2.2－8)．2 椭圆的对称性以椭圆与22221(0)x y a b a b+=>>为例． （1）．椭圆的对称轴：坐标轴．（2）．椭圆的对称中心：原点O (0，0)．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．通过观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．3 椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例． （1）．椭圆的顶点令0x =，得y b =±；令0y =，得x a =±.这说明12(,0),(,0)A a A a -是椭圆与x 轴的两个交点，12(0,),(0,)B b B b -是椭圆与y 轴的两个交点．因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点．（2）．椭圆的长轴、短轴线段A 1A 2叫做椭圆的长轴，它的长为2a ，a 叫做椭圆的长半轴长．线段B 1B 2叫做椭圆的短轴，它的长为2b ，b 叫做椭圆的短半轴长．4 椭圆的离心率（1）．定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记作2.2c c e a a == （2）．范围：因为0a c >>．所以01,c a<<即(0,1)e ∈. 5 直线与椭圆的位置关系（1）．直线与椭圆的三种位置关系：(1)相交；(2)相切；(3)相离．（2）．直线与椭圆的位置关系的判断：直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式△来判定：△0>⇔直线与椭圆相交；△0=⇔直线与椭圆相切；△0<⇔直线与椭圆相离．（3）．弦长公式一条直线被椭圆所截得的线段叫做椭圆的弦．若直线y kx b =+与椭圆相交于不同的两点1122(,),(,),A x y B x y 则直线被椭圆所截得的弦长公式为212||1||AB k x x =+-或 1221||1||AB y y k =+-.性质的应用应用点一 由方程求椭圆的几何性质例1. 求椭圆 22925225x y +=的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．应用点二 由椭圆的几何性质求方程例2（1）已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍。

椭圆的简单几何性质椭圆是一种重要的几何图形，它具有一些独特的性质和特征。

在本文档中，我们将介绍一些椭圆的简单几何性质，包括定义、方程、焦点与准线、长轴和短轴、离心率以及切线等内容。

1. 定义椭圆是平面上的一个闭合曲线，其定义如下：对于给定的两个点F₁ 和F₂ 以及一条固定长度的线段 2a（长轴），满足到椭圆上任意一点的两个焦点到该点的距离之和始终等于 2a（F₁P + F₂P = 2a，其中 P 为椭圆上任意一点）。

2. 方程一般来说，椭圆的方程可以表示为：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1其中 (h, k) 为椭圆的中心坐标，a 和 b 分别为长轴和短轴的长度。

3. 焦点与准线椭圆的焦点是定义椭圆的两个特殊点，记作F₁ 和F₂。

它们位于椭圆的长轴上，且到椭圆中心的距离为 c（c² = a² - b²，对于椭圆来说，c < a）。

准线是垂直于长轴且通过中心的直线，可表示为 x = h ± a/e，其中 e 为离心率。

4. 长轴和短轴椭圆的长轴为横坐标轴的长度，并且它是离心率 e 的倒数（2a = 1/e）。

短轴则为纵坐标轴的长度，且它与长轴的关系为 b² = a² - c²。

5. 离心率离心率 e 描述了椭圆形状的独特特征。

在数值上，离心率是一个小于 1 的正实数，可以通过以下公式计算：e = c / a离心率越接近0，椭圆形状越接近于圆形；离心率越接近1，椭圆形状越扁平。

6. 切线椭圆上任意一点的切线是与该点相切且仅与椭圆相交于此点的直线。

切线的斜率可通过直线与椭圆方程联立解得。

一般来说，椭圆有两条切线与其相切。

结论椭圆作为一种重要的几何图形，具有许多简单而重要的性质。

从定义到方程，再到焦点与准线、长轴和短轴、离心率以及切线，椭圆的性质非常丰富。

通过研究这些性质，我们可以更好地理解椭圆的形状和特征，为后续的几何学习奠定基础。

椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的简单几何性质标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+b x a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2离心率)10(<<=e ace c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1； (p 是椭圆上一点)1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义222c b a +=2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长ab 223.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠ 为最大角。

4.焦点三角形的面积2tan221θb S F PF =∆，其中21PF F ∠=θ5. 用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：①依据上述判断设方程为2222by a x +=1)0(>>b a 或2222a y b x +=1)0(>>b a②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． (3)找关系，根据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求． 6.点与椭圆的位置关系: 2222b y a x +<1,点在椭圆内，2222b y a x +=1，点在椭圆上，2222b y a x +>1, 点在椭圆外。

1椭圆的简单几何性质一、几何性质1.范围：椭圆的范围是b y b a x a ≤≤-≤≤-,2.对称性：椭圆关于x 轴、y 轴及原点都是对称的，这时坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.3.顶点：在椭圆的标准方程里，令y =0，得a x ±=可得A 1（－a ,0）、A 2(a ,0)是椭圆在x 轴上的两个顶点，，同理. 令x =0得y =±b ,所以得到：B 1（0,－b ）、B 2（0,b ）是椭圆在y 轴的两个顶点（1）椭圆上任意一点P （x ，y ）与两焦点构成的三角形称为焦点三角形，周长为2（a+c ）（2）椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成了一个直角三角形，称为椭圆的特征三角形，边长满足222c b a +=4.离心率：离心率ac e =a b a b a 2221-=-=，（0＜e ＜1）⎩⎨⎧，椭圆越接近圆趋近时，趋近，椭圆越扁平趋近时，趋近001c e a c e 5.椭圆的准线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=±=c a y y c a x x 22准线线的方程准线线的方程轴上时，当焦点在轴上时，当焦点在二、椭圆的第二定义平面内与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 的点的轨迹是椭圆 三、椭圆的其他几何性质（1）焦准距：椭圆的焦点到相应准线的距离叫做焦准距，焦准距cb 2=2（2）通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦叫做椭圆的通径，通径长=ab 2，它是过椭圆焦点的弦中最短的一条弦。

（3）椭圆上到中心距离最远或最近的点：设),(y x P 为椭圆上的任意一点，则当P 在短轴端点处时OP 最短，则当P 在长轴端点处时OP 最长 四、椭圆的焦半径及其应用（1）若椭圆方程为),(,1112222y x P by a x =+为椭圆上任一点，)0,()0,(21c F c F -是椭圆的两个焦点，则21,PF PF 分别为椭圆的焦半径，由椭圆的第二定义知：11211ex a PF e ca x PF +=⇒=+，)0(12122>>-=⇒=-b a ex a PF e x ca PF若椭圆方程为),(,1112222y x P bx a y =+为椭圆上任一点，)0()0(21c F c F ，，-是椭圆的两个焦点，则21,PF PF 分别为椭圆的焦半径，由椭圆的第二定义知：11211ey a PF e ca y PF +=⇒=+，)0(12122>>-=⇒=-b a ey a PF e y ca PF（2）由椭圆的焦半径公式可以推出：如果椭圆上的三点A,B,C 到同一焦点的距离成等差数列，则A,B,C 三点的横坐标（或纵坐标）也成等差数列，这样解决问题时就比较方便。

椭圆几何性质知识点总结1. 椭圆的定义椭圆的定义是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

即PF1+PF2=2a。

其中F1和F2称为焦点，2a称为长轴长度。

椭圆的对称轴是通过两个焦点的连接线，称为长轴。

椭圆的短轴是垂直于长轴，并且过椭圆中心的直线。

2. 椭圆的焦点和离心率椭圆的焦点是椭圆的特殊点，它决定了椭圆的形状和大小。

椭圆的离心率e定义为焦点到椭圆中心的距离与长轴长度a的比值。

离心率的取值范围是0<e<1，当e=0时，椭圆退化为一个圆，当e=1时，椭圆退化为一条直线。

3. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点的坐标。

一般来说，椭圆的参数方程可以写成x=acos(t)，y=bsin(t)。

其中(a,b)是椭圆的长短轴长度，t是参数。

4. 椭圆的直角坐标方程椭圆的直角坐标方程可以表示为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1，其中(h,k)是椭圆的中心点坐标。

5. 椭圆的几何性质椭圆具有许多重要的几何性质，例如：a. 椭圆的焦点性质：任意点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。

b. 椭圆的直径定理：椭圆的任意直径的长度都等于椭圆的长轴长度。

c. 椭圆的对称性：椭圆具有关于两个坐标轴的对称性。

d. 椭圆的切线性质：椭圆上的任意一点处的切线与两个焦点到该点的连线的夹角相等。

6. 椭圆的面积和周长椭圆的面积可以表示为S=πab，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。

椭圆的周长可以表示为C=4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第二类完全椭圆积分。

7. 椭圆的方程类型椭圆的方程可以分为标准方程和一般方程两种类型。

标准方程是指椭圆的中心点在坐标原点的方程形式，一般方程是指椭圆的中心点不在坐标原点的方程形式。

8. 椭圆的相关问题在实际问题中，椭圆经常出现在各种应用中，例如天体运动、工程设计等。

因此，研究椭圆的相关问题对于理论研究和应用都具有重要意义。