天一大2020年高考模拟联考文科数学试题及答案解析

高考全真模拟卷（三）数学（文科）注意事项1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分.考试时间120分钟.2、答题前，考生务必将密封线内的项目填写清楚.3、请将选择题答案填在答题表中，非选择题用黑色签字笔答题.4、解答题分必考题和选考题两部分，第17题~第21题为必考题，第22题~23题为选考题，考生任选一道选考题作答.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}22|2450A x x y x y =+-++=，{}|20B x x x =+->，则集合A B =（ ）A ．[]0,1B ．[)1+∞，C ．(]0-∞，D ．()0,12．已知z 为z 的共轭复数，若32zi i =+，则z i +=（ ） A ．24i +B ．22i -C ．25D ．223．某地工商局对辖区内100家饭店进行卫生检查并评分，分为甲、乙、丙、丁四个等级，其中分数在[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100内的等级分别为：丁、丙、乙、甲，对饭店评分后，得到频率分布折线图，如图所示，估计这些饭店得分的平均数是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知数列{}n a 是等比数列，4a ，8a 是方程2840x x -+=的两根，则6a =（ ）A ．4B ．2±C ．2D ．2-5．已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，1x ，2x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，14a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1c f t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0t >，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<6．已知m ，n ，l 是不同的直线，α，β是不同的平面，直线m α⊂，直线n β⊂，l αβ=，m l ⊥，则m n ⊥是αβ⊥的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．392B ．216+C ．20D ．206+8．如图，已知圆的半径为1，直线l 被圆截得的弦长为2，向圆内随机投一颗沙子，则其落入阴影部分的概率是（ ）A ．1142π- B ．1132π- C ．113π- D ．114π-9．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．43x π=是()f x 的一条对称轴B ．5,03π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 C ．()f x 的图象向左平移3π个单位后，所得函数为奇函数 D ．()f x 在[],ππ-上为增函数10．已知实数a ，b 满足,R a b +∈，且31a b +=，则()1924a b a b +++的最小值为（ ） A ．173B ．174C ．163D ．19411．如图，在ABC △中，D 为AB 的中点，E ，F 为BC 的两个三等分点，AE 交CD 于点M ，设AB a =，AC b =，则FM =（ ）A ．171515a b - B ．171515a b + C ．241515a b - D ．241515a b + 12.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点A 在第一象限，满足9A B x x =，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案13．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动——掰玉米，现将这20名学生平均分成甲、乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重（单位：千克），得到如下茎叶图：已知两组数据的平均数相同，则x = ；乙组的中位数为 .14．某事业单位欲指派甲、乙、丙、丁四人下乡扶贫，每两人一组，分别分配到A ，B 两地，单位领导给甲看乙，丙的分配地，给乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地，看后甲对大家说：我还是不知道自己该去哪里，则四人中可以知道自己分配地的是 .15．已知抛物线()2:20C y px p =>，有如下性质：由抛物线焦点F 发出的光线，经抛物线反射后，反射光与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为120°，过抛物线C 的焦点F ，经反射后，反射光线与x 轴的距离为3，则抛物线C 的方程为 . 16．已知函数()21sin 2f x x x ax =++，[)0,x ∈+∞，满足()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17．如图，ABC △为等边三角形，边长为3,D 为边AC 上一点且2AD DC =，过C 作CE BC ⊥交BD 的延长线于点E .（Ⅰ）求sin ADB ∠的值； （Ⅱ）求DE 的长.18．如图，多面体ABCDE 中，CD ⊥平面ABC ，AE CD ∥，F 为BE 的中点，2AB BC CA AE ====，1CD =.（Ⅰ）求证：DF ∥平面ABC ； （Ⅱ）求点F 到平面ABD 的距离.19．已知椭圆22221x y a b +=()0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点3P ⎛ ⎝⎭在椭圆上，且椭圆的3（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线():0l y kx m k =+≠过椭圆左焦点1F ，与椭圆交于A ，B 两点，求2ABF △面积的最大值. 20．甲、乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始.（Ⅰ）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率； （Ⅱ）若第n 次由甲投掷的概率为n p ，求n p . 21．已知函数()()212xa f x xe x =-+. （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0x ≥时，不等式()222xaf x e ≥--恒成立，求a 的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），曲线()22:24C x y -+=.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设l 与C 交于D ，E 两点（异于原点），求OD OE +的最大值. 23．[选修4-5：不等式选讲]已知实数a ，b 满足0a >，0b >且1a b +=. （Ⅰ）证明：()()2222119a b a b --≥；≤答案全透析高考全真模拟卷（三）答案速查思路点拨 对于集合A ：配方得()()22120x y -++=，1x ∴=，2y =-，从而{}1A =.对于集合B ：)120>，0x ≥，20>，10>，解得1x >，()1,B ∴=+∞，从而[)1,A B =+∞.奇思妙解 对于集合B ；取特殊值2x =，成立，从而AB 中一定有2，故选B.2．C 考查目标 本题考查复数的运算及共轭复数，考查运算能力.思路点拨 由题意可知3223iz i i+==-，从而23z i =+，∴24z i i +=+，∴z i +== C.命题陷阱 z i +易被看成绝对值，从而导致错选.另外，易疏忽共轭复数的运算.3．A 考查目标 本题考查通过折线图计算平均数，考查数据处理能力.思路点拨 由折线图可知，该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.2580.5⨯+⨯+⨯+⨯=，故选A.4．C 考查目标 本题考查等比数列性质，考查运用知识解决问题的能力. 思路点拨 ∵方程2840x x -+=的两根分别为4a ，8a ，∴484880,40,a a a a +=>⎧⎨=>⎩∴480,0.a a >⎧⎨>⎩由等比数列性质可知24864a a a ==， ∴62a =±.又2640a a q =>，∴62a =，故选C.命题陷阱 考虑不周全，未在原数列中研究4a ，6a ，8a 之间的关系，易选错. 5．D 考查目标 本题考查函数的奇偶性与单调性，考查对知识综合运用的能力.思路点拨 ∵函数()1f x +是偶函数，∴函数()1f x +的图象关于直线0x =对称，从而函数()f x 的图象关于直线1x =对称.由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，1744a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t >得12t t +≥，从而173142t t +>>>，∴17342f t f f t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即b a c <<，故选D. 追本溯源 本题的根源是函数性质的综合，将奇偶性转化成对称性，结合对称性把变量化归到同一单调区间，从而应用单调性比较函数值的大小.6．B 考查目标 本题考查面面垂直的判定与性质定理，以及充分条件、必要条件的判断，考查空间想象能力.思路点拨 当n l ∥时，若m n ⊥，则不能得到αβ⊥，所以m n ⊥不能推出αβ⊥；反之，若αβ⊥，因为m α⊂，l αβ=，m l ⊥，可推出m β⊥.又n β⊂，所以m n ⊥，故m n ⊥是αβ⊥的必要不充分条件，故选B.7．D 考查目标 本题考查切割体的三视图，考查空间想象能力以及运算求解能力.思路点拨 由三视图可知该几何体为正方体ABCD A B C D ''''-截去一个小三棱锥D AD E '-，如图.()112232ABCE S =⨯+⨯=，()112232CED C S ''=⨯+⨯=，12222AA D S ''=⨯⨯=△.在AED '△中，AE ED '===AD '=，可计算AD '，∴12AED S '=⨯=△从而可得该几何体的表面积为3323420+++⨯=+ D.追本溯源 本题根源在于三视图的概念，要求学生会通过三视图还原几何体原图，旨在考查直观想象能力.8．A 考查目标 本题考查几何概型，考查运算能力和数形结合思想. 思路点拨 由题意知222OA OB AB +=，∴2AOB π∠=，阴影部分面积为142π-，∴所求事件概率为1114242πππ-=-，故选A.9．D 考查目标 本题考查三角函数的图象，由部分图象求解析式，从而研究三角函数的相关性质，考查运算能力和数形结合思想.思路点拨 由题意得72233T πππ=-=，所以4T π=，从而212T πω==.,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,03π⎛⎫⎪⎝⎭关于43x π=对称，故43x π=是()f x 的一条对称轴，A 正确.从而2sin 3A A πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而2πϕ<得6πϕ=-，所以()1sin 26f x A x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.又()302f =-，代入上式得3sin 62A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，从而3A =，所以()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.将53x π=-代入得0y =，故B 正确.将函数()f x 的图象向左平移3π个单位后，得到函数图象的解析式为13sin2y x =，为奇函数，故C 正确，易验证D 错误，故选D. 规律总结 三角函数由部分图象求解析式，需关注零点、顶点、图象与y 轴交点，通过周期性求出ω，通过代入对称轴求出ϕ，然后通过与y 轴交点可求出A .10．C 考查目标 本题考查基本不等式，考查转化与化归思想.思路点拨 因为31a b +=，所以393a b +=，即()()283a b a b +++=，所以()()()192824a b a b a b a b +=+++⎡⎤⎣⎦++()()()(9191281116101024324333a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+++⨯=++⨯≥⨯+= ⎪⎢⎥ ⎪++++⎝⎭⎣⎦，当且仅当()283a b a b +=+即58a =，18b =时取等号，故选C.规律总结 应用不等式性质中的基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.11．A 考查目标 本题考查向量的线性运算，考查转化能力.思路点拨 连接FA ，FD .由E ，M ，A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-，由题意知()1133FE CB AB AC ==-，()22123333FA FB BA CB AB AB AC AB AB AC =+=-=--=--，所以21233FM AB AC λλ--=+.同理由D ，M ，C 三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+，所以2132,36213,33λμλμ--⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得3,54,5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而171515FM a b =-，故选A. 追本溯源 本题主要考查向量的线性运算以及三点共线的向量运算结论，旨在考查学生对基本知识与技能的掌握.12．C 考查目标 本题考查抛物线的几何性质（焦半径），考查运算求解能力.思路点拨 思路1：由题意知，直线l 的斜率存在且大于0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，联立2,22,p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得()22222204k p k x k p p x -++=，∴22A B p x x p k +=+，24A B p x x =.又9A B x x =， ∴32A p x =，6B p x =，∴2523A B p x x p p k+==+，∴23k =，k =60°.思路2：设直线l 的倾斜解为θ，则1cos p AF θ=-，1cos pBF θ=+，由抛物线定义可得2A p x AF =-，2B p x BF =-，∵9A B x x =，∴922A p p x AF BF ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴91cos 21cos 2p p p p θθ⎛⎫-=- ⎪-+⎝⎭，消去p 得1cos 2θ=，∴60θ=︒，故选C.规律总结 抛物线性质中，常考查一些常见结论的应用，解决此类问题，要思考常见结论，另外，可用代入选项的方法进行检验.13．2， 考查目标 本题考查统计中数字特征：平均数、中位数，考查学生的运算能力.思路点拨 由题意，先计算甲组平均数101211232120353041472510x +++++++++==甲.因为=x x 甲乙，所以101320232021333032462510x ++++++++++=，解得2x =.将乙组数据从小到大排序，可知其中位数为222322.52+=. 命题陷阱 学生在计算中位数时，易忘记对数据排序，导致错误. 14．乙、丁 考查目标 本题考查逻辑推理能力.思路点拨 四人知道的情况是：组织分配的名额、自己看到的及最后甲说的话，根据甲说的话可以判断乙、丙必定一个在A 地，一个在B 地；又给乙看了丙的分配地，所以乙知道自己的分配地；给丁看了甲的分配地，丁就知道了自己的分配地，故填乙、丁.追本溯源 本题为简单的逻辑推理问题，考查基本知识与能力，考查学生应用所学知识解决实际问题的能力.15．22y x =或26y x = 考查目标 本题考查抛物线方程的求解，考查运算能力.思路点拨 过F点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，得y == ，从而1p =或3，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =.奇思妙解由题意知1,2p p ⎛+⎝或2p p ⎛- ⎝代入抛物线方程得3212p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或3212p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而可得1p =或3p =，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =.16．[)1,-+∞ 考查目标 本题考查三角函数与导数的综合问题，考查灵活应用导数处理恒成立问题的能力.思路点拨 由题意可知()cos f x x x a '=++，设()cos h x x x a =++，则()1sin 0h x x '=-≥， 所以()h x 在[)0,+∞上为增函数，()01h a =+.（Ⅰ）当10a +≥，即1a ≥-时，()()00h x h ≥≥，从而()f x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()()00f x f ≥=恒成立；（Ⅱ）当10a +<，即1a <-时，令2x a =-，则()()22cos 20h a a -=+->.又()010h a =+<，所以()00,x ∃∈+∞，使得()00h x =，从而()f x 在()00,x 上为减函数，当()00,x x ∈时，()()00f x f <=不合题意.综上，a 的取值范围为{}|1a a ≥-.规律总结 近年来，考查恒成立问题处理的常见方法有两种：（1）导数零点分类法；（2）参变量分离法，均需利用导数求最值.17．考查目标 本题考查正弦定理与余弦定理，考查运算求解能力.思路点拨 在ABD △中，由余弦定理求出BD ，结合正弦定理求出ADB ∠的正弦值，从而在CDE △中，应用正弦定理，求出DE .参考答案 （Ⅰ）由题意可知60A =︒，3AB =，2AD =，由余弦定理，得22212cos 9423272BD AB AD AB AD A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，从而BD =设ADB CDE θ∠=∠=，在ABD △中，由正弦定理，得sin sin AB BD A θ=，即3sin 2θ=，得sin 14θ=.（Ⅱ）由题意知θ为锐角，所以cos 14θ==，而()1sin sin 30cos 2214E θθθ=+︒=+=. 在CDE △中，由正弦原理，得sin 30sin DE CDE=︒，所以11sin 30sin CD DE E ⨯⋅︒===. 规律总结 解三角形主要应用：（1）三角形固有条件；（2）正、余弦定理；（3）三角形有关公式. 18．考查目标 本题考查常见的线面平行，以及点到平面的距离，考查逻辑思维能力和数形结合思想. 思路点拨 （Ⅰ）取AB 中点，借助中位线，实现平行，构造四边形.证明：四边形为平行四边形，从而说明线线平行，证明线面平行.（Ⅱ）应用F ABD D ABF V V --=等体积转化，从而求点到面的距离. 参考答案 （Ⅰ）取AB 中点G ，连接FG ，GC ，由题意知F 为BE 中点， ∴FG 为ABE △的中位线， ∴12FG AE ∥，而12CD AE ∥，∴FGCD 为平行四边形， ∴DF GC ∥，而GC ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴DF ∥平面ABC . （Ⅱ）∵ABC △为等边三角形，G 为AB 中点，∴GC AB ⊥. 又∵AE ⊥平面ABC ，GC ⊂平面ABC ，∴GC AE ⊥. 又AEAB A =，∴GC ⊥平面ABE .由（Ⅰ）可得，DF ⊥平面ABE .由2AB AE ==，EA AB ⊥，可得12222ABE S =⨯⨯=△，∴1ABF S =△. 在Rt BCD △中，2BC =，1CD =，∴BD =AD =2AB =，易得2ABD S =△，而DF CG ==F ABD D ABF V V --=，得1133ABD ABF S d S DF ⋅=⋅△△，即2d =，∴点F 到平面ABD的距离是2. 规律总结 线面平行的证明：（1）构建线线平行；（2）借助面面平行.构建平行的方法：中位线、平行四边形.点到平面的距离常用等体积转化法.19．考查目标 本题考查椭圆的几何性质，以及直线与椭圆相交的问题，考查运算能力和分析问题、解决问题的能力.思路点拨 （Ⅰ）通过已知条件建立a ，b ，c 之间的关系，求椭圆的方程.（Ⅱ）将2ABF △分割成两个同底的三角形，2ABF S △即可转化为1y 与2y 表示的式子，把直线与椭圆方程联立，构建二次方程，把2ABF △面积化为参数k 的表达式，应用二次函数可求得最值.参考答案（Ⅰ）由题意得22222131,4,a b caa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得2,1,a b =⎧⎨=⎩ ∴椭圆的标准方程为2214x y +=. （Ⅱ）由22,440y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得()222214240k y my m k +-+-=，∵l过()1F，∴0m +=，即m =，∴()222140k y k +--=，∴12214y y k +=+，212214k y y k =-+，∴2121212ABF S F F y y =⨯⨯-=△==， 令214k t +=，则1t >且()()()2422222214116162314t t k k t t t t k -+-++-==+，令1p t=，则01p <<，且2222231231321t t p p t t t+-=-⋅++=-++. ∵()0,1p ∈，∴当13p =时，()2max 43213p p -++=，∴2ABF △2=. 规律总结 椭圆问题在高考中，以考查运算为主，运算量较大，在运算过程中，掌握运算技巧. 20．考查目标 本题考查递推数列在概率统计中的应用，考查学生逻辑思维能力.思路点拨 （Ⅰ）搞清两种状况，分别计算概率.（Ⅱ）由第n 次与第1n +次的关系，建立递推公式，构造特殊数列，求n p .参考答案 由题意知，投掷两颗骰子，共有36种结果，点数之和大于6的有：()1,6，()2,5，()2,6，()3,4，()3,5，()3,6，()4,3，()4,4，()4,5，()4,6，()5,2，()5,3，()5,4，()5,5，()5,6，()6,1，()6,2，()6,3，()6,4，()6,5，()6,6，共21种.则点数之和大于6的概率为712，小于等于6的概率为512. （Ⅰ）由题意可知甲成为“幸运儿”的情况有两种：①第一、第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，其概率为7711212⨯=. ②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三、四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，其概率为：55717511212121728⨯⨯⨯=，∴甲为“幸运儿”的概率为717511831217281728+=. （Ⅱ）第1n +次由甲投掷这一事件，包含两类：①第n 次由甲投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为2136n p ；②第n 次由乙投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为()211136n p ⎛⎫--⎪⎝⎭，从而有()1212115113636612n n n n p p p p +⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭， ∴1111262n n p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ∵111110222p -=-=≠，∴1112162n n p p +-=-， ∴数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，16为公比的等比数列， ∴1111226n n p -⎛⎫-=⨯ ⎪⎝⎭，∴1111262n n p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭. 规律总结 递推数列在概率统计中的应用，一般考查基本递推求通项，虽以概率为背景，实则考查数列较多一些.21．考查目标 本题考查利用导致求解函数的单调区间，以及处理恒成立条件下的求范围问题；考查掌握综合知识的能力与技巧.思路点拨 （Ⅰ）1a =代入，求导，分解因式，从而求出单调区间.（Ⅱ）构造函数，求导，再求导.通过二阶导数值，指导一阶导数值，分类讨论最值符号，确定一阶导数的零点，近而指导原函数的取值，求参数的范围.参考答案 （Ⅰ）1a =时()()2112x f x xe x =-+， ()()()()()1111x x f x x e x x e '=+-+=+-，若()0f x '≥，则1x ≤-或0x ≥，若()0f x '<，则10x -<<，所以()f x 的增区间为(],1-∞-，[)0,+∞，减区间为()1,0-.（Ⅱ）由题意得()2202x af x e -++≥恒成立，即()()222202x a x e x x --++≥恒成立. 设()()()22222x a h x x e x x =--++， 则()()()11xh x x e a x '=--+，令()()()11xg x x e a x =--+，则()xg x xe a '=-.令()xF x xe a =-，则()()1xF x x e '=+.∵0x ≥，∴()0F x '>，()F x 为[)0,+∞上的增函数， ①当0a ≤时，()()00F x F a ≥=-≥， 从而()g x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()()01g x g a ≥=--，当10a --≥，即1a ≤-时，()()00g x g ≥≥，从而()h x 在[)0,+∞上为增函数，∴()()00h x h ≥=恒成立.若10a --<，即10a -<≤时，由()g x 在[)0,+∞上为增函数，且()010g a =--<，()120g a =->， ∴在()0,+∞上，存在0x 使得()00g x =， 从而()h x 在(]00,x 上为减函数， 此时()()00h x h <=，不满足题意.②0a >时，由()F x 在[)0,+∞上为增函数， 且()00F a =-<，()()10a a F a ae a a e =-=->， ∴在()0,a 上，存在1x ，使得()10g x =， 从而()g x 在()10,x 上为减函数，此时()()010g x g a <=--<，∴()h x 在()10,x 上也为减函数，此时()()00h x h <=，不满足题意，综上所述，a 的取值范围为(],1-∞-.规律总结 高考对于导数问题的要求是会应用导数，解决函数的单调性问题，含有参数的问题，主要考查抓住参数分类讨论的关键，提高运算求解能力.22．考查目标 本题考查三种方程间的转化以及极坐标方程的应用，考查转化与化归思想.思路点拨 （Ⅰ）展开曲线C 的方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，从而得曲线C 的极坐标方程.（Ⅱ）在极坐标系下，应用几何意义，确定线段之和，从而求出最值. 参考答案 （Ⅰ）曲线C 可化为2240x x y -+=， 即224x y x +=，也即24cos ρρθ=，所以4cos ρθ=， 所以曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（Ⅱ）由直线l 的参数方程可知，l 必过()2,0点，即圆C 的圆心，从而2DOE π∠=.设()1,D ρθ，2,2E πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭，其中,22ππθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则124cos 4cos 24OD OE ππρρθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=++=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当4πθ=-时，OD OE +取得最大值为.规律总结 三种方程间的相互转化是该类问题的考查对象，应用极坐标方程求最值问题也是常见方法，应要求学生必须掌握.考查目标 本题考查不等式的证明，考查转化与化归思想.思路点拨 应用a ，b 关系，用一个表示另一个，达到减少变量的目的，从而进行做差比较.另外，可应用“1”的代换思想，构造式子，变形为基本不等式的形式，进行证明. 参考答案 （Ⅰ）方法1：()()2222911a b a b ---222281a b a b =++-()()22228111a a a a =-++--()3224851a a a a =-+- ()()22121a a a =--.∵10b a =->，∴1a <，∴01a <<， ∴()()221210a a a --≤， 从而可得()()2222119a b a b --≥. 方法2：∵0a >，0b >，∴220a b >，∴原不等式可化为2211119a b ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. ∵1a b +=且0a >，0b >，∴221111a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()222222a b a a b b ab+-+-=⨯222222b b a a a a b b ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭225a b b a=++5≥ 9=.当且仅当12a b ==时取等号，得证.（Ⅱ）设t =()()211t a b =++++，∵1a b +=，∴23t =+0a >，0b >，∴2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，∴2336t =++=，∴t ≤12a b ==时等号成立，得证. 规律总结 不等式证明问题多与基本不等式有关，应用基本不等式证明应思考等号成立的条件.。

2020届天一大联考高三高考全真模拟（七）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{|(1)(3)0}A x x x =-+≤，则下列集合中是集合A 的真子集．．．的是（ ） A ．1{|}3x x ≤≤-B ．{|13}x x -≤≤C ．{0,1,2,3}D ．{2,0,1}-【答案】D【解析】算出集合A ，然后利用真子集的概念即可选出答案.【详解】因为{|(1)(3)0}{|31}A x x x x x =-+≤=-≤≤，由集合的子集和真子集的概念知选项D 正确.故选：D.【点睛】本题考查一元二次不等式的解集，集合的子集和真子集的概念，是一道基础题.2．已知i 是虚数单位，t ∈R ，复数()21(2)i z t t =-++，则“1t =”是“z 为纯虚数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直接利用集合间的包含关系判断即可.【详解】当1t =时，3z i =是纯虚数；反之，当z 是纯虚数时，210t -=，得1t =或1t =-， 所以“1t =”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查复数的概念以及充分条件、必要条件的判断，属于容易题.3．在扶贫攻坚战运动中，某电子商务公司指导两个偏远山区甲镇和乙镇建起了网店，用以销售大山里的绿色产品.如图，记录了甲镇和乙镇连续6个月的月销售额（单位：万元），若甲镇的月均销售额高于乙镇，则图中x （x 为整数）可取的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】分别算出甲、乙平均数，利用甲的平均数大于乙的平均数，解不等式即可.【详解】依题意，8280979410610587899790999966x +++++++++++>，解得3x <，所以x 可取的最大值为2.故选：B.【点睛】本题考查茎叶图的概念和简单应用，考查考生的数据处理能力，本题的解答要注意的两个问题：一个是正确认识茎叶图中的数据，如图中的x ，表示的原始数据是90x +，否则在将茎叶图中的数据恢复为原始数据时极易出错；另一个是解得3x <后，误以为x 的最大值为3，而导致错误4．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，点P 是抛物线2:4C y x =上位于第一象限内的一点，若||3PF =，则||PM =（ ）A ．32B 17C 15D 14【答案】B【解析】利用抛物线的定义可算得P 的坐标，再利用两点间的距离计算即可.【详解】过点P 作PN l ⊥于点N ，则||||3PN PF ==.设()00,P x y ，由013x +=，得02x =，代入抛物线方程可得022y =.又因为(1,0)M -，所以22||(12)(022)17PM =--+-=故选：B.【点睛】本题考查抛物线的定义、性质以及两点间距离公式的应用，考查考生的运算求解能力，是一道容易题.5．已知2tan23θ=，则cos θ=（ ） A ．25B ．35C ．513D ．1213【答案】C【解析】利用1的替换，将cos θ表示成2222cos sin 22cos cos sin 22θθθθθ-=+，再分子分母同除以2cos 2θ即可.【详解】2222222241cos sin 1tan 59222cos cos sin 42213cos sin 1tan 12229θθθθθθθθθ---=-====+++. 故选：C.【点睛】本题考查同角三角函数关系式和二倍角公式在求值中的应用，考查考生的运算求解能力，是一道容易题.6．圆柱1OO 截去一部分后得到的几何体如图（1）所示，该几何体的正（主）视图如图（2）所示，则该几何体的侧（左）视图的面积为（ ）A ．16B ．3C ．823+D ．83+【答案】D【解析】由主视图可知，截去的几何体是圆柱的16，通过运算知，左视图是一个长为23+，宽为4的矩形，要注意求的是左视图的面积，不是侧面积.【详解】由正（主）视图可知，截去的几何体是圆柱的16，圆柱的底面半径为2，截去的几何体的底面是圆心角为3π的扇形，所以该几何体的侧（左）视图矩形，且其两边分别为4，23+，所以其面积为4(23)83⨯+=+故选：D.【点睛】本题考查旋转体的三视图的识别，几何体侧视图面积的计算，主要考查考生的空间想象能力以及运算求解能力，是一道基础题.7．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”.已知{}n a 是“和差等比数列”，12a =，23a =，则满足使不等式10n a >的n 的最小值是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D【解析】根据“和差等比数列”的定义列出1n a +与n a 的关系，再用等比数列的定义求解.【详解】依题意，1211215n n n n a a a a a a a a ++++==--，得132n n a a +=，则数列{}n a 是首项为2，公比为32的等比数列，所以1322n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，检验知，当5n ≥时，132102n -⎛⎫⋅> ⎪⎝⎭成立，所以n 的最小值是5.故选：D.【点睛】本题考查数列的新定义以及等比数列的定义，考查学生的计算能力和理解能力.近几年高考对数列内容的考查，题型、难度保持稳定，试卷中不会同时出现小题和大题，难度以中等偏易为主，主要考查等差数列和等比数列的基本量的计算，包括定义、性质、通项公式和前n 项和公式的应用.8．已知圆C 经过两点(0,2)A ，(4,6)B ，且圆心C 在直线:230l x y --=上，则圆C 的方程为（ ）A ．226160x y y +--=B ．222280x y x y +-+-=C ．226680x y x y +--+=D ．2222560x y x y +-+-=【答案】C【解析】先求出线段AB 的垂直平分线，利用弦的垂直平分线的交点是圆心即可得到圆心坐标，再算出圆心与A 点的距离即半径，即可得到圆的标准方程，从而得到一般方程.【详解】因为线段AB 的中点坐标为(2,4)，直线AB 的斜率为62140-=-，所以线段AB 的垂直平分线方程为4(2)y x -=--，即6y x =-与直线l 方程联立，得圆心坐标为(3,3).又圆的半径22(30)(32)10r =-+-=C 的方程为22(3)(3)10x y -+-=，即226680x y x y +--+=.故选：C.【点睛】本题考查圆的方程以及直线与圆的位置关系，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力，是一道容易题.9．《九章算术》中将底面是矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，阳马P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是PB ，AD 的中点，2PA AB ==.给出下列结论：①EF ∥平面PCD ；②平面ACE ⊥平面PBC ；③异面直线PA 与CE 所成的角的余弦值为13.其中正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】A【解析】取PC 的中点Q ，易得EF ∥DQ ，由线面平行的判定定理可得①正确；易证得AE ⊥平面PBC ，由面面垂直的判定定理可知②正确；取AB 的中点M ，CEM ∠为异面直线PA 与CE 所成的角，通过计算易得③错误.【详解】取PC 的中点Q ，连接DQ ，EQ ，则EQ DF =，EQ ∥DF ，所以DFEQ 是平行四边形，则EF ∥DQ ，根据线面平行的判定定理可知EF ∥平面PCD ，所以①正确.在等腰直角三角形PAB 中，E 为斜边PB 中点，则AE PB ⊥. 因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥.又BC AB ⊥，所以BC ⊥平面PAB ， 则BC AE ⊥，从而AE ⊥平面PBC .因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面PBC ，所以②正确.取AB 的中点M ，连接EM ，则EM ∥PA ，所以CEM ∠为异面直线PA 与CE 所成的角，易知1EM =，5CM =，且EM CM ⊥，所以6CE =，所以6cos 6EM CEM CE ∠==，所以③错误. 故选：A.【点睛】本题主要考查空间中直线、平面之间的位置关系的判断，考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力.近几年的高考题中，立体几何的小题一般是两题，一题是三视图，一题是空间线面位置关系或与球有关的问题.但2019年高考题没有考三视图，其他立体几何小题也都新颖别致，值得研究.本题从“阳马”出发给出四棱锥，旧题新编，将线面平行、面面垂直、异面直线所成的角融合在一起，引导考生适应这种变化.10．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（ ）A ．414B ．2849C ．325D ．75【答案】A【解析】3log m n =得3()mn m =∈Z ，直到2020n ≥时，输出此时得S ，通过运算，6m ≤，故输出的是6S ，依次计算可得到结果.【详解】3()m n m =∈Z ，由2020n <，得1,2,3,4,5,6m =，所以S 的值依次为1(61)15S =-⨯=，2(52)26S =-⨯=，3(63)39S =-⨯=，4(94)420S =-⨯=，5(205)575S =-⨯=，6(756)6414S =-⨯=.故选：A.【点睛】本题考查程序框图的简单应用，考查考生逻辑推理能力以及基本的计算能力，是一道中档题.11．已知函数()()()44()x xg x f x x -=⋅-∈R 为偶函数，且函数()f x 与函数()x x h x e e -=+在[0,)+∞上有相同的单调性，则不等式()()(222log 3log 0fx f x -+≤的解集为（ ）A ．[1,2]B ．[1,3]C ．1,222⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,224⎡⎢⎣【答案】D【解析】()g x 的奇偶性可得()f x 奇偶性，由()x xh x e e -=+单调性得到()f x 的单调性，利用奇偶性将()()(222log 3log 0fx f x -+≤转化为()()(222log 3log fx f x -≤-，再利用单调性将“f ”符号脱掉即可.【详解】令()44xxu x -=-，则()44()xx u x u x --=-=-，则()u x 是奇函数，则由()()()44x x g x f x -=⋅-为偶函数知，()f x 为奇函数.当0x ≥时，()0xxh x e e-'=-≥恒成立，所以()h x 在[0,)+∞上单调递增.不等式()()(222log3log 0fx f x -+≤等价于()()((2222log3log log fx f x f x -≤-=-，所以()222log 3log x x -≤-()2221log log 302x x +-≤，所以232log 2x -≤≤，解得1224x ≤≤故选：D.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力以及转化与化归思想.注意以下两点（1）若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-；若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=；（2）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，936S =，61a =，记11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则当6n ≥时，n T 的取值范围是（ ）A ．11,616⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．11,648⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．31,1616⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．31,1648⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】由936S =，61a =得到193n a n =-，进一步1111=(193)(163)3319316n b n n n n ⎛⎫=- ⎪----⎝⎭，再利用裂项相消法求得n T .【详解】由()1959599293622a a a S a +⨯====，得54a =，所以公差 65143d a a =-=-=-，则5(5)193n a a n d n =+-=-.因为111111(193)(163)3319316n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪----⎝⎭， 所以1111111316131310319316n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L11131631616(163)n n n ⎛⎫=-= ⎪--⎝⎭. 因为6n ≥，所以1106n <≤，161606n <≤，161333n -<-≤-， 即163133n n --<≤-，所以131633n n -≤<--， 则311616(163)48n n -≤<--. 故选：D.【点睛】本题考查等差数列的性质，裂项相消法求和以及函数单调性的应用，主要考查考生综合分析问题解决问题的能力.二、填空题13．已知向量(2,)a m =r ，(,2)b m =-r ，m ∈R ，则向量a b +r r 与a b -r r 的夹角为________.【答案】90︒【解析】利用向量的坐标运算可得()()0a b a b +⋅-=r r r r ，所以()()a b a b +⊥-r r r r，即向量a b +r r 与a b -r r的夹角为90o .【详解】旗开得胜(2,2)a b m m +=+-r r ，(2,2)a b m m -=-+r r，所以2222()()(2)(2)(2)(2)220a b a b m m m m m m +⋅-=+-+-+=-+-=r r r r，所以()()a b a b +⊥-r r r r ，即向量a b +r r 与a b -r r的夹角为90°.故答案为：90o .【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，数量积以及向量的夹角，考查考生的运算求解能力.近几年高考对平面向量的考查要求较低，主要考查平面向量的坐标运算，平面向量的平行与垂直，数量积等基础知识和方法.在复习中要以基础知识和方法为主，适当关注综合性问题.14．为了加强学生的环保意识，某校组织了一次垃圾分类知识大赛，通过初赛，甲、乙丙三位同学进入决赛，角逐一、二、三等奖（不能并列）.在获奖结果揭晓前，A ，B ，C ，D 四位同学对获奖结果预测如下：A 说：甲或乙获得一等奖；B 说：乙或丙获得一等奖；C 说：甲、乙都未获得一等奖；D 说：乙获得一等奖.若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的同学是__________.【答案】丙【解析】分别对甲、乙、丙分别获一等奖进行推理论证即可.【详解】若甲获得一等奖，则只有同学A 的预测正确，不合题意；若乙获得一等奖，则同学A ，B ，D 的预测正确，不合题意；若丙获得一等奖，则同学B ，C 的预测正确，符合题意，所以丙获得一等奖.故答案为：丙.【点睛】本题考查推理与证明相关的问题，考生的逻辑推理能力，是一道容易题.15．已知双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线C 上位于第一象限内的点，12:2:1PF PF =，1260F PF ∠=︒，则双曲线C 的标准方程为__________.【答案】22124x y -=【解析】根据双曲线的定义和余弦定理可求得a 的值.【详解】由双曲线定义得122PF PF a -=，又12:2:1PF PF =，解得14PF a =，22PF a =.又122F F c =，在12F PF △中，由余弦定理得222(2)(4)(2)242cos60c a a a a =+-⨯⨯︒，得223c a =.又224a c +=，解得22a =，所以双曲线C 的标椎方程为22124x y -=.故答案为：22124x y -=.【点睛】本题考查双曲线的定义、性质、标准方程，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力.近几年对圆锥曲线小题的考查，通常是两个小题，一个简单题一个中等偏难题，主要考查圆锥曲线的定义、标准方程、离心率等性质.三、双空题16．居民老张年初将50万元资金投入银行购买理财产品A 和B ，其中理财产品A 是高风险高收益产品，年收益率10%，预期收益不低于2万元；理财产品B 风险低，收益也较低，年收益率5%，预期收益不低于1万元.则老张购买理财产品A _________万元时，一年后所获得的投资总收益最大？最大收益是________万元.【答案】30 4【解析】设老张购买理财产品A ：x 万元，购买理财产品B ：y 万元，有50,0.12,0.051,x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩投资总收益10.10.05(105)100z x y x y =+=+.作出可行域，利用几何意义找目标函数的最大值即可.【详解】设老张购买理财产品A ：x 万元，购买理财产品B ：y 万元，则50,0.12,0.051,x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩投资总收益10.10.05(105)100z x y x y =+=+. 作出不等式组表示的平面区域如图所示（图中的阴影部分），作出直线1050x y +=，即20x y +=，当直线20x y +=平移经过点B 时，1105z x y =+取得最大值，则z 取得最大值.易知(30,20)B ，所以当30x =时，max 1(1030520)4100z =⨯+⨯=万元.故答案为： (1) 30 ；(2) 4【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查考生的数学应用意识和能力.线性规划中目标函数的最优解问题是高中阶段数学应用的最好体现，人教版必修五第三章中的简单的线性规划问题，大多数题目是以实际问题呈现的，虽然近几年的高考对线性规划问题的考查都是容易题，但作为填空题的压轴题，以实际应用考查线性规划问题，能够考查考生的实际应用能力.四、解答题17．将函数2sin 5y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y f x =的图象，再将()y f x =的图象向左平移15π个单位长度得到函数()y g x =的图象.（1）求函数()y g x =的单调递增区间；（2）当[,]x ππ∈-时，求函数()y g x =的值域.【答案】（1）244,4,33k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）[3]- 【解析】（1）利用函数图象变换的规则求出函数()y g x =的解析式，再求单调递增区间.（2）由[,]x ππ∈-求出126x π-的范围，再根据正弦函数的单调性求值域. 【详解】（1）将函数2sin 5y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数图象的解析式为12sin 25y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，即1()2sin 25f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.将()y f x =的图象向左平移15π得到函数图象的解析式为 112sin 2sin 215526y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即1()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由122,2262k x k k πππππ-≤-≤+∈Z ， 得2444,33k x k k ππππ-≤≤+∈Z ， 所以函数1()2sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是244,4,33k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）因为x ππ-≤≤，所以213263x πππ-≤-≤， 所以131sin 26x π⎛⎫-≤-≤⎪⎝⎭， 所以122sin 326x π⎛⎫-≤-≤⎪⎝⎭，所以当[,]x ππ∈-时，函数()y g x =的值域是[2,3]-.【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的单调性、值域等性质，主要考查考生的运算求解能力.18．网约车是城市交通的重要组成部分.某网约车公司准备入驻某一线城市，首先对该城市的网约车市场进行调查，其中一项调查是网约车的接单量.该公司随机访问了100名网约车司机，发现他们的日接单量都在30个以内，现将他们一个月的日均接单量做成如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图估计该城市网约车司机日均接单量的中位数和平均数（结果保留小数点后一位有效数字）；（2）该网约车公司对这100名司机中的6人（其中A 日均接单4个，B 日均接单8个，C 日均接单9个，D 日均接单12个，E 日均接单20个，F 日均接单28个）作了进一步调研，决定邀请其中的3人对该公司入驻该城市给出具体意见，求这3人只有1人接单量小于10的概率.【答案】（1）中位数9.3，平均数为10.3；（2）920【解析】（1）根据频率分布直方图中中位数和平均数的计算方法求解.（2）利用列举法列出6人中选出3人的所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算.【详解】直方图中第1和第2个小矩形的面积之和为(0.040.07)50.550.5+⨯=>， 所以中位数在[5,10)内，设中位数为x ，则0.0450.07(5)0.5x ⨯+⨯-=，解得9.3x ≈.该城市网约车司机日均接单量的平均数为(0.04 2.50.077.50.0612.50.0117.50.0122.50.0127.5)510.3⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯≈.（2）6人中，A ，B ，C 三人的日均接单量小于10.从这6人中选出3人的所有可能结果是：()ABC ，()ABD ，()ABE ，()ABF ，()ACD ，()ACE ，()ACF ，()ADE ，()ADF ， ()AEF ，()BCD ，()BCE ，()BCF ，()BDE ，()BDF ，()BEF ，()CDE ，()CDF ， ()CEF ，()DEF ，共20个.其中，只有1人接单量小于10的有：()ADE ，()ADF ，()AEF ，旗开得胜()BDE ，()BDF ，()BEF ，()CDE ，()CDF ，()CEF ，共9个，所以所求概率920P =. 【点睛】本题考查频率分布直方图的简单应用、古典概率的求解.考查考生的数据处理能力，是一道容易题.19．多面体ABCDEF 中，平面ABC ∥平面DEF ，AE ∥CD ，AE ⊥平面ABC ，AEFB 为直角梯形，AB BC ⊥，22AB BC AE EF ===.（1）求证：直线AF ⊥平面BCF ；（2）求直线CF 与平面ACDE 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）36【解析】（1）先利用面面垂直的性质证明AF BC ⊥，再证明AF BF ⊥，最后利用线面垂直的判定定理可得直线AF ⊥平面BCF .（2）先找出直线与平面所成的角，再构造直角三角形求解.【详解】（1）因为AE ⊥平面ABC ，AE ⊂平面AEFB ，旗开得胜所以平面AEFB ⊥平面ABC .又BC AB ⊥，平面AEFB ⋂平面ABC AB =，所以BC ⊥平面AEFB .又AF ⊂平面AEFB ，所以BC AF ⊥.在直角梯形AEFB 中，由已知长度关系可得AF BF ⊥， 因为BC BF B =I ，BC ，BF ⊂平面BCF ， 所以直线AF ⊥平面BCF .（2）因为AE ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ACDE ， 所以平面ACDE ⊥平面ABC .又平面ABC ∥平面DEF ，所以平面ACDE ⊥平面DEF . 过F 作FM DE ⊥于点M ，则FM ⊥平面ACDE . 连接CM ，则CM 为CF 在平面ACDE 内的射影， 所以FCM ∠为直线CF 与平面ACDE 所成的角.设AE EF a ==，则2AB BC a ==，22AC a =.在直角三角形EMF 中，有22ME MF a ==， 所以2322222DM a a =-=， 则2222321122CM a a a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭， 所以2222111622CF CM MF a a a =+=+=， 所以232sin 6MF FCM CF a∠===， 所以直线CF 与平面ACDE 所成角的正弦值为36. 【点睛】本题考查空间中直线与平面的垂直关系以及直线与平面所成的角，主要考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力.高考对立体几何大题的考查一直是中等难度，主要考查空间中线面、面面平行，线面、面面垂直的位置关系的判断，空间中距离、几何体体积的求解.几何体多以多面体（棱柱、棱锥）为主，因此，复习中要掌握几种常见的棱柱和棱锥（三棱锥、四棱锥、三棱柱、四棱柱）的性质特点，熟练掌握线面平行于垂直，面面平行于垂直的判定定理和性质定理，并能在解题中熟练运用.20．已知椭圆22:12x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是椭圆C 上的动点，(3,0)M ，直线1l 经过点P ，M .（1）若1||PF PM =，求直线1l 的方程；（2）过点M 作直线21l l ⊥，记1F 到1l 的距离为1d ，2F 到2l 的距离为2d ，求2212d d +的取值范围.【答案】（1）230x +-=或230x --=；（2）114,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）依据题设条件求出点P 的坐标，再由两点式或点斜式写出直线方程.（2）先联立直线和椭圆方程求出直线斜率的范围，再利用点到直线的距离求解.【详解】由椭圆C 的方程知1(1,0)F -，2(1,0)F ，又(3,0)M ，由1||PF PM =知点P 的横坐标为1，代入椭圆C 方程，得2112y +=，所以2y =， 所以点P 的坐标为21,2⎛ ⎝⎭或21,2⎛- ⎝⎭， 则直线1l 的斜率202213k -==-202213k -==- 则直线1l 的方程为2(3)4y x =--或23)4y x =-， 即230x +-=或230x --=.（2）依题意设直线1l 的方程为(3)y k x =-，代入椭圆C 方程，整理得()222212121820kxk x k +-+-=，因为点P 在椭圆C 上，所以0∆≥，即()()()2222124121820kk k --+-…，解得217k ≤. 因为21l l ⊥，所以当0k =时，1l ，2l 的方程分别为0y =，3x =，则222212024d d +=+=.当0k ≠时，2l 的方程为1(3)y x k=--，即30x ky +-=， 又1l 方程为30kx y k --=，则()222222122222216112164121611111k k d d k k k k k +-⎛⎫⎛⎫++=+===-+++++. 由2107k <≤得221121221k ≤<+，所以212211212k -<-≤-+，则2121141612k <-≤+. 综上知2212d d +的取值范围是114,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查考生运算求解能力和综合应用能力.高考对解析几何大题的考查，主要是对椭圆和抛物线的考查，近五年的高考题中，拋物线出现8次，椭圆出现5次，与圆有关的题目出现4次.主要考查椭圆、拋物线、圆的方程，定点、定值、面积、参数的范围等.在复习中要侧重椭圆、抛物线的定义与性质的熟练掌握与应用，掌握定点、定值、面积、范围求解的常见方法，也要关注圆的方程和性质.21．已知函数3211()ln 2()32f x x x x ax a =-++∈R . （1）当12a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）设3211()()232g x f x x x =+-+，若()y g x =在(0,)e 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞；（2）3,22ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭【解析】（1）求出()y f x '=，利用导数与函数单调性的关系求出单调区间.（2）将函数零点问题转换为两个函数图象的交点问题，通过函数的最值求出a 的范围.【详解】当12a =-时，3211()ln 32f x x x x x =-+-，则'2111()1(1)(1),0x f x x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+-=+-=-+> ⎪⎝⎭. 当(0,1)x ∈时，'()0f x >；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <；所以函数()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞.（2）3211()()2ln 2232g x f x x x x ax =+-+=++， 因为()y g x =有两个零点，所以ln 220x ax ++=有两个实数根，即ln 22x a x+=-有两个实数根，所以函数ln 2()x h x x+=的图象与直线2y a =-有两个交点. 由ln 2()x h x x+=求导，得'2ln 1()x h x x +=-， 令'()0h x =，即ln 10x +=，得1x e=， 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>；当1,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以当1x e=时，()h x 取得极大值，也是最大值， max 1()h x h e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭.因为210h e ⎛⎫=⎪⎝⎭，3()h e e =， 所以min ()()h x h e <，综上可知，当且仅当32,a e e⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即3,22ea e ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，函数ln 2()x h x x +=的图象与直线2y a =-有两个交点，即函数()y g x =有两个零点，所以a 的取值范围是3,22ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数在判断函数的单调性、函数零点个数中的应用.考查考生综合应用数学知识解决数学问题的能力.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线24,:4x t C y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）和定点(3,0)A ，3)B ，(0,1)F .以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的普通方程和直线AF 的极坐标方程；（2）过点B 且与直线AF 平行的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，求||||||PB QB -的值.【答案】（1）24x y =，3cos 32πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭；（2）83 【解析】（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，得焦点F 的坐标，求出直线AF 的直角坐标方程，再化为极坐标方程.（2）写出直线l 的参数方程，用直线参数方程中参数的几何意义求解.【详解】（1）由24,4x t y t=⎧⎨=⎩消去t ，得24x y =，所以曲线C 是抛物线，其焦点为(0,1)F .经过(3,0)A 和(0,1)F 113y+=-，即330x y -=， 化为极坐标方程为cos 3sin 30ρθρθ-+=，即3cos 32πρθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，直线AF 3 因为l ∥AF ，所以l 330o ， 所以l 的参数方程为3,132x s y s⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（s 为参数），代入抛物线C 的方程24x y =中，得2381630s s --=，则1283s s +=. 因为,P Q 在点B 的两侧，所以128||||||3PB QB s s -=+=. 【点睛】本题考查普通方程与参数方程、直角坐标方程与极坐标方程之间的转化以及直线参数方程的应用.考查考生化归与转化能力以及运算求解能力.第（2）问的解答，若用普通方程的方法，则解题过程很复杂，用直线的参数方程中参数的几何意义求解，则过程简单.在写直线的参数方程时，一定要明确参数的几何意义，即方程00cos ,sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）中，t 的系数必须是直线的倾斜角的余弦值和正弦值，否则t 就不表示点()00,P x y 到点(,)P x y 的数量.23．已知函数()|26|f x x x =--，不等式()|1|f x x -…的解集为A .（1）求A ；（2）设{||2||3|}B y y x a x ==-+-，若A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）7|4A x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭；（2）519|88a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】（1）根据x 的不同取值范围，分类讨论不等式()|1|f x x -…的解集.（2）先求集合B ，再根据A B ⋂≠∅求a 的范围.【详解】（1）不等式()|1|f x x ≥-变为|26||1|0x x x ----≥，则①3,2610x x x x ≥⎧⎨---+≥⎩或②13,2610x x x x ≤<⎧⎨-+--+≥⎩或③1,2610x x x x <⎧⎨-+-+-≥⎩解得①x ∈∅，②714x ≤≤，③1x <. 综上，不等式的解集7|4A x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭. （2）因为|2||3||2||3||23||32|y x a x x a x x a x a =-+-=-+--+-=-…，当且仅当(2)(3)0x a x --≥，即(2)(3)0x a x --≤时，“=”成立，所以{||32|}B y y a =-….因为A B ⋂≠∅，所以7|32|4a -≤， 所以773244a -≤-≤，解得51988a ≤≤， 所以实数a 的取值范围是519|88a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.旗开得胜读万卷书行万里路31【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的几何意义，考查考生的运算求解能力.。

2020年天一大联考高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|0≤x≤7}，B={x|x2−8x+7≥0}，则A∩B=()A. [0,1]B. {7}C. [0,1]∪{7}D. [1,7]2.设复数z=(5+i)(1−i)(为虚数单位)，则的虚部是()A. 4iB. −4iC. −4D. 43.如果a<0,b>0，那么下列不等式中正确的是()A. 1a <1bB. √−a<√bC. a2<b2D. |a|>|b|4.供电部门对某社区1000位居民2016年11月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为0，10)，10，20)，20，30)，30，40)，40，50]五组，整理得到如右的频率分布直方图，则下列说法错误的是()．A. 11月份人均用电量人数最多的一组有400人。

B. 11月份人均用电量不低于20度的有300人C. 11月份人均用电量为25度D. 在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在30，40)一组的概率为5.将函数f(x)=sin(2x+φ)，|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后的图象关于原点对称，则函数f(x)在[0,π2]上的最小值为()A. √32B. 12C. −12D. −√326.已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，2a7−a8=5，则S11为()A. 110B. 55C. 50D. 不能确定7.已知sin(π3−α)=14，则cos(π3+2α)=()A. 58B. −78C. −58D. 788.设F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，B(0,2b)，若直线FB的斜率与C的一条渐近线的斜率的乘积为3，则C的离心率为()A. √2B. 2C. √5D. 39.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为()A. 10B. 17C. 24D. 2610.过抛物线x2=4y的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则1|AB|+1|CD|=()A. 2B. 4C. 12D. 1411.已知函数f(x)=3sin(πx)x2−3x+3，给出三个命题：①f(x)的最小值为−4，②f(x)是轴对称图形，③f(x)≤4π|x|.其中真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 312.如图，在正四棱锥P−ABCD中，AB=2√3，侧面积为8√3，则它的体积为()A. 4B. 8C. 12πD. 16π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知|a⃗|=2，且(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，则a⃗⋅b⃗ 的值是______ ．14.下面几种推理过程①某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超过60人②根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质③平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分④在数列{a n}中，a1=1,a n+1=2a n2+a n,n∈Ν∗，计算a2,a3,由此归纳出{a n}的通项公式其中是演绎推理的的序号为_________．15.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球面上，则该圆柱的侧面积为__________．16.在△ABC中，若BC=6,AB=4,cosB=13，那么AC=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{b n}的前n项和为T n，且T n−2b n+3=0，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)设C n={log2(b n3),n为奇数b n,n为偶数，求数列{c n}的前2n+1项和P2n+1．18.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=4，CB=2，AA1=2，∠ACB=60°，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)证明：C1F//平面ABE；(2)设P是BE的中点，求三棱锥P−B1C1F的体积．19. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得如下数据：(Ⅰ)求回归直线方程y =bt +a ；(Ⅱ)当单价t 为10元时，预测该产品的销量． 附：回归方程y ̂=b ̂t +a ̂中，b ̂=∑(n i−l ti−t −)(yi−y −)∑(n i−l ti−t −)2=∑t n i−l iyi−nt −y −∑t n i−li 2−nt −2，a ̂=y −−b ̂t −．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为，点P 是椭圆E 上的一个动点，△PF 1F 2的周长为6，且存在点P 使得，△PF 1F 为正三角形． (1)求椭圆E 的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆E 上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.若AC 的斜率为√3，求四边形ABCD 的面积．21. 已知函数f(x)=ln(ax)x+1，曲线y =f(x)在x =1处的切线与直线x −2y =0平行．(1)求a 的值；(2)若f(x)≤b −2x+1恒成立，求实数b 的最小值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C ：{x =−3+4cosθ,y =4+4sinθ(θ为参数)，直线l 1：kx −y +k =0.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 2的方程为cosθ−2sinθ=4ρ．(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 2的直角坐标方程；(2)l 1与曲线C 交于不同的两点M ，N ，MN 的中点为P ，l 1与l 2的交点为Q ，l 2恒过点A ，求|AP|·|AQ|的值．23. 设函数f(x)=|x|．(1)设f(x −1)+f(x +2)<4的解集为A ，求集合A ；(2)已知m为(1)中集合A中的最大整数，且a+b+c=m(其中a，b，c均为正实数)，求证：1−a a ⋅1−bb⋅1−cc≥8．【答案与解析】1.答案：C解析：本题主要考查集合的基本运算，以及一元二次不等式的解法，属基础题．求出集合B，根据交集定义进行求解．解：集合A={x|0≤x≤7}，B={x|x2−8x+7≥0}={x|x≤1或x≥7}，∴A∩B={x|0≤x≤1或x=7}=[0,1]∪{7}．故选C．2.答案：C解析：本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．解：z=(5+i)(1−i)=6−4i，∴虚部是−4，故选C．3.答案：A解析：∵a<0∴1a <0∵b>0∴1b>0故1a<1b.若a=−2,b=2，则√−a=√b，故B不正确，同理a2=b2，故C也不正确；|a|=|b|，故D也不正确．4.答案：C解析：本题考查频率分布直方图，逐一判断求解即可．解：根据频率分布直方图知，11月份人均用电量人数最多的一组是[10,20)，有1000×0.04×10=400人，A正确；11月份人均用电量不低于20度的频率是(0.03+0.01+0.01)×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B正确；11月份人均用电量为5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C错误；在这1000位居民中任选1位协助收费，用电量在[30,40)一组的频率为0.1，估计所求的概率为110，∴D正确．故选C．5.答案：D解析：本题考查了三角函数的图象变换、三角函数的奇偶性及三角函数的值域的应用．由条件利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求出g(x)的解析式，再根据题意求x∈[0,π2]时的最小值即可．解：∵函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移π6个单位后所得图象对应的函数解析式为：y=sin[2(x+π6)+φ]=sin(2x+π3+φ)为奇函数，∴π3+φ=kπ，即φ=kπ−π3，k∈Z，∵|φ|<π2，∴φ=−π3，∴f(x)=sin(2x−π3)，又x∈[0,π2]，∴2x∈[0,π]，2x−π3∈[−π3,2π3]，∴−√32≤sin(2x+π6)≤1，∴函数f(x)在[0,π2]上的最小值−√32．故选D．6.答案：B 解析：利用等差数列的通项公式与性质及其求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解：2a7−a8=2(a1+6d)−(a1+7d)=a1+5d=a6=5，∴S11=11×a1+a112=11a6=55．故选B．7.答案：B解析：解：由sin(π3−α)=14，可得：cos(α+π6)=cos[π2−(π3−α)]=sin(π3−α)=14．那么：cos(π3+2α)=cos2(π6+α)=2cos2(α+π6)−1=2×116−1=−78．故选：B．利用诱导公式和二倍角公式即可计算．本题考查了诱导公式和二倍角公式的灵活运用！属于基础题．8.答案：B解析：解：F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)，B(0,2b)，若直线FB与C的一条渐近线垂直，可得：得：2b−c ⋅−ba=3，可得2b2=3ac，即2c2−2a2=3ac，可得2e2−3e−2=0，e>1，解得e=2．故选：B．求出双曲线的焦点坐标，利用直线FB与C的一条渐近线乘积，列出方程，然后求解离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9.答案：D解析：解：第一次，S=2，i=3，⇒S=5，i=5，⇒S=10，i =7，⇒S =17， i =9，⇒S =26， i =11>10，程序终止， 输出S =26， 故选：D根据程序框图进行模拟计算即可得到结论．本题主要考查程序框图的计算，根据查询进行模拟计算是解决本题的关键．10.答案：D解析：本题主要考查了抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系，设出直线方程，联立直线与抛物线方程，消去x ，根据根与系数的关系，得到|AB|和|CD|的值，进而求得1|AB |+1|CD |．解：根据题意，抛物线的焦点为(0,1)，设直线AB 的方程为y =kx +1(k ≠0)，直线CD 的方程为y =−1k x +1，由{y =kx +1x 2=4y ，得y 2−(2+4k 2)y +1=0， 由根与系数的关系得y A +y B =2+4k 2， 所以|AB|=y A +y B +2=4+4k 2， 同理|CD|=y C +y D +2=4+4k 2，所以1|AB|+1|CD|=14k 2+4+k 24k 2+4=14， 故选D ．11.答案：D解析：解：①若f(x)的最小值为−4等价为3sin(πx)x 2−3x+3≥−4恒成立，且能取等号， 即4x 2−12x +12+3sin(πx)≥0恒成立，设g(x)=4x 2−12x +12+3sin(πx)，则g(x)=4(x −32)2+3+3sin(πx)≥3+3sin(πx)≥0， 当x =32时，g(x)=3+3sin 32π=3−3=0，即0能取到，故①正确， ②∵x =32是y =3sin(πx)和y =x 2−3x +3共同的对称轴， ∴x =32是f(x)的对称轴，即f(x)是轴对称图形，故②正确， ③∵y =x 2−3x +3=(x −32)2+34≥34，∴f(x)≤|f(x)|≤|3sinπx34|=4|sinπx|，只要证明|sinπx|≤π|x|，即可， 设|sint|≤|t|，(t ≥0) 当t ≥1时不等式恒成立， 当0≤t <1时，即证明sint ≤t ，设ℎ(t)=sint −t ，ℎ′(t)=cost −1≤0，即ℎ′(t)在0≤t <1上是减函数， 则ℎ(t)=sint −t ≤ℎ(0)=sin0−0=0， 即sint ≤t 成立，综上，4|sinπx|≤4π|x|成立，故③正确， 故三个命题都是真命题， 故选：D ．根据条件分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，涉及最小值，对称性以及不等式的证明，涉及的知识点较多，综合性较强，考查学生的运算和推理能力．12.答案：A解析：解：作PO ⊥平面ABCD ，取BC 中点E ，连结OE ，PE ， ∵正四棱锥P −ABCD 中，AB =2√3，侧面积为8√3， ∴O 是四边形ABCD 的中点，E 是BC 的中点，PE ⊥BC ， 4×12BC ×PE =8√3，解得PE =2，∴PO=√PE2−OE2=√4−3=1，∴正四棱锥P−ABCD的体积V=13×S正方形ABCD×PO=13×2√3×2√3×1=4．故选：A．作PO⊥平面ABCD，取BC中点E，连结OE，PE，求出PE=2，从而PO=1，由此能求出正四棱锥P−ABCD的体积．本题考查正四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13.答案：−4解析：本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．由(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，可得(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =0，即可得出．解：∵|a⃗|=2，且(a⃗+b⃗ )⊥a⃗，∴(a⃗+b⃗ )⋅a⃗=a⃗2+a⃗⋅b⃗ =0，∴a⃗⋅b⃗ =−a⃗2=−22=−4．故答案为：−4．14.答案：③解析：本题考查简单的演绎推理，推理分为合情推理(特殊→特殊或特殊→一般)与演绎推理(一般→特殊)，合情推理包括类比推理与归纳推理．根据合情推理与演绎推理的概念即可作出判断．解：①选项，某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班都超过60人，属于归纳推理;②选项，由三角形的性质，推测空间四面体性质，属于类比推理；③选项，具有明显的大前提，小前提，结论，属于典型的演绎推理的三段论形式;④选项，在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n2+a n，n∈N∗，由此归纳出{a n}的通项公式，属于归纳推理；综上，可知，只有③选项为演绎推理．故答案为③．15.答案：4√3π解析：本题主要考查了圆柱的侧面积和球的相关知识，属于基础题．由它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球面上，可求出圆柱底面圆的半径r =√22−12=√3，进而求得侧面积．解：∵圆柱的高为2，且它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球面上， ∴可得圆柱底面半径r =√22−12=√3， ∴圆柱的侧面积．故答案为4√3π．16.答案：6解析：解：∵BC =6,AB =4,cosB =13，∴AC =√AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB =√62+42−2×6×4×13=6．故答案为：6．直接利用余弦定理即可求值得解．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．17.答案：解：(Ⅰ)∵T n −2b n +3=0，∴当n =1时，b 1=3，当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得b n =2b n−1，(n ≥2) ∴数列{b n }为等比数列，∴b n =3⋅2n−1. (Ⅱ)c n ={n −1, n 为奇数3⋅2n−1 , n 为偶数.令a n =n −1，故P 2n+1=(a 1+a 3+⋯+a 2n+1)+(b 2+b 4+⋯+b 2n )=(0+2n)⋅(n+1)2+6(1−4n )1−4，=22n+1+n 2+n −2．解析：(Ⅰ)当n ≥2时，S n−1−2b n−1+3=0，两式相减，得数列{b n }为等比数列，即可求数列{b n }的通项公式；(Ⅱ)确定数列{c n }的通项，利用分组求和的方法求数列{c n }的前2n +1项和P 2n+1．本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，确定数列{b n }为等比数列是解题的关键．18.答案：(1)证明：取AC 的中点M ，连接C 1M ，FM ，在△ABC 中，FM//AB ，而FM ⊄面ABE ，∴FM//平面ABE ， 在矩形ACC 1A 1中，E ，M 都是中点， ∴C 1M//AE ，而C 1M ⊄平面ABE ，∴C 1M//平面ABE ， ∵C 1M ∩FM =M ， ∴平面FC 1M ⊄平面ABE ， ∵C 1F ⊂平面FC 1M ， ∴C 1F//平面ABE ，(2)取B 1C 1的中点H ，连接EH ， 则EH//AB ，且EH =12AB =√3FM ， ∵AB ⊥平面BB 1C 1C ， ∴EH ⊥平面BB 1C 1C ， ∵P 是BE 的中点，∴V P−B 1C 1F =12V E−B 1C 1F =12×13⋅S △B 1C 1F ⋅EH =12×13×2×√3=√33．解析：(1)根据线面平行的判定定理即可证明：C 1F//平面ABE ； (2)根据三棱锥的体积公式即可求三棱锥P −B 1C 1F 的体积．本题主要考查线面平行的判定以及空间几何体的体积的计算，根据相应的判定定理以及三棱锥的体积公式是解决本题的关键．19.答案：解：(Ⅰ)t −=16(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5，y −=16(90+84+83+80+75+68)=80，b ̂=∑t i 6i=1y i −6t −y−∑t i 26i=1−6t−2=−20，a ̂=y −−b ̂x −=250，∴回归方程为y =−20t +250；(Ⅱ)在y =−20t +250中，取t =10，可得y =50．∴当单价t 为10元时，预测该产品的销量为50件．解析：(Ⅰ)由已知表格中的数据求得b ^与a ^的值，则线性回归方程可求； (Ⅱ)在(Ⅰ)中求得的回归方程中，取t =10求得y 值得答案． 本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．20.答案：解：(1)设c 为椭圆的半焦距，依题意，有：{2a +2c =6a =2c ，解得{a =2c =1，∴b 2=a 2−c 2=3． 故椭圆E 的方程为：x 24+y 23=1．(2)解：由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒AC ⊥BD ，又k AC =√3，则k BD =−√33． 则AC ：y =√3(x +1)，BD ：y =−√33(x +1)．联立{x 24+y 23=1y =√3(x +1)，得5x 2+8x =0，∴x =0或x =−85， ∴|AC|=√1+(√3)2|0−(−85)|=165．联立{x 24+y 23=1y =−√33(x +1)，得13x 2+8x −32=0，∴x =−4±12√313， ∴|BD|=√33)−4+12√313−−4−12√313|=4813．∴S ABCD =12|AC|×|BD|=12×165×4813=38465，故四边形ABCD 面积为38465．解析：(1)由题意列关于a ，c 的方程组，求得a ，c 的值，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求； (2)由已知向量等式可得AC ⊥BD ，又k AC =√3，则k BD =−√33.分别写出AC 、BD 所在直线方程，联立直线方程与椭圆方程，可得|AC|、|BD|的值，代入四边形面积公式得答案．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.答案：解：(1)f′(x)=1x(x+1)−lnax (x+1)2=1+1x−lnax (x+1)2，由f′(1)=2−lna 4=12，解得a =1．(2)∵a =1，∴f(x)=lnx x+1，∴由题得：b ≥2+lnx x+1(x >0)恒成立，设g(x)=2+lnx x+1，则g′(x)=1x−lnx−1(x+1)2，再设ℎ(x)=1x−lnx−1(x+1)2，则ℎ′(x)=−x+1x 2<0，∴ℎ(x)在(0,+∞)上递减， 又ℎ(1)=0，∴当x ∈(0,1)时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(0,1)上为增函数； 当x ∈(1,+∞)时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(1,+∞)上为减函数； ∴g(x)max =g(1)=1，∴只需b ≥g(x)max =1，即b ≥1， ∴b 的最小值b min =1．解析：(1)求出原函数的导函数，得到函数在x =1处的导数，由导数值等于12，求得实数a 的值； (2)由题得：b ≥2+lnx x+1(x >0)恒成立，构造g(x)=2+lnx x+1，求出g(x)max =1，即可求实数b 的最小值．本题考查了利用导数研究函数在某点处的切线方程，考查函数的最值，正确分离参数是关键，是中档题．22.答案：解：(1)曲线C ：{x =−3+4cosθ,y =4+4sinθ(θ为参数)，∴(x +3)2+(y −4)2=16.直线l 2：cosθ−2sinθ=4ρ，即ρcosθ−2ρsinθ=4， ∴x −2y =4，即x −2y −4=0. (2)∵直线l 1：kx −y +k =0， 即y =k(x +1)，∴直线l 1：{x =−1+tcosα,y =tsinα(t 为参数).代入曲线C ：(x +3)2+(y −4)2=16，得t 2+4t(cosα−2sinα)+4=0. 设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1+t 2=4(2sinα−cosα)，t 1t 2=4.设点Q 对应的参数为t 3.将l 1：{x =−1+tcosα,y =tsinα(t 为参数)代入直线l 2：x −2y −4=0， 得t 3=5cosα−2sinα.∴|AP|·|AQ|=|t 1+t 22||t 3|=2|2sinα−cosα||5cosα−2sinα|=10．解析：(1)消去θ可得(x +3)2+(y −4)2=16.直线l 2即ρcosθ−2ρsinθ=4，可得x −2y =4； (2)直线l 1：{x =−1+tcosα,y =tsinα(t 为参数).代入曲线C 得t 2+4t(cosα−2sinα)+4=0.设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，根据几何意义及根与系数的关系求解．23.答案：解：(1)f(x)=|x|，则f(x −1)+f(x +2)=|x −1|+|x +2| ={2x +1,x >13,−2≤x ≤1−2x −1,x <−2． 因为f(x −1)+f(x +2)<4，可得{2x +1<4x >1或−2≤x ≤1或{−2x −1<4x <−2，所以−52<x <32，所以不等式的解集A ={x|−52<x <32}； (2)由(1)知m =1，则a +b +c =1， 又a ，b ，c 均为正实数，1−a a ·1−b b ·1−cc =b +c a ·a +c b ·a +bc≥2√bca·2√acb·2√ab c=8，当且仅当a =b =a =13时等号成立． 所以1−a a⋅1−b b⋅1−c c≥8．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(1)根据f(x)=|x|，可得f(x −1)+f(x +2)={2x +1,x >13,−2≤x ≤1−2x −1,x <−2，然后由f(x −1)+f(x +2)<4，分别解不等式即可；(2)根据(1)可得a+b+c=m=1，然后利用基本不等式可知1−aa ·1−bb·1−cc≥2√bca·2√acb·2√abc=8，从而证明1−aa ·1−bb·1−cc≥8，注意等号成立的条件．。

河南省天一大联考2020届高中毕业班第一次考试文科数学试题文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}4,3,2,1,0,1,2,3U =----，集合{}0,1,3M =，{}4,2,0,2N =--，则()U M N =I ð（ ） A. {}3 B. {}0,1,3C. {}4,2,0,2--D. {}1,3【答案】D 【解析】 【分析】求出U N ð继而可求()U M N I ð.【详解】依题意，得{}3,1,1,3U N =--ð，故(){}1,3U M N =I ð. 故选:D.【点睛】本题考查了集合的补集，考查了集合的交集运算.2.若在复平面内，复数z 所对应点为(3,2)-，则(13)z i ⋅-=（ ） A. 311i -- B. 311i -C. 311i -+D. 311i +【答案】A 【解析】 【分析】由点的坐标写出32z i =-，从而可求出(13)z i ⋅-.【详解】依题意，得32z i =-，则(13)(32)(13)3926311z i i i i i i ⋅-=-⋅-=---=--. 故选:A.【点睛】本题考查了复数的坐标互化，考查了复数的乘法.易错点是把2i 的值误当做1进行运算.3.中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）的A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意表示出各位上的数字所对应的算筹即可得答案．【详解】解：根据题意可得，各个数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示；十位，千位，十万位用横式表示，56846∴用算筹表示应为：纵5横6纵8横4纵6，从题目中所给出的信息找出对应算筹表示为B中的．故选：B．【点睛】本题主要考查学生的合情推理与演绎推理，属于基础题．4.某公司有3000名员工，将这些员工编号为1，2，3，…，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查，若84号被抽到则下面被抽到的是（）A. 44号B. 294号C. 1196号D. 2984号【答案】B【解析】【分析】÷=人.故抽得的号码为以15为公差的使用系统抽样的方法抽取200人则一共分200组,每组有300020015等差数列.再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.再逐个判断即可.【详解】由题得,抽出的号码为以15为公差的等差数列,再由84号被抽到,则可知被抽得的号码与84的差为-==⨯.其他选项均不满足.15的整数倍.又294842101514故选：B【点睛】本题主要考查了系统抽样的性质与运用,属于简单题型.5.运行如图所示的程序框图，若输出的i 的值为99，则判断框中可以填（ ）A. 1S ≥B. 2S >C. lg99S >D. lg98S ≥【答案】C 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，即可容易求得结果. 【详解】运行该程序： 第一次，1i =，lg 2S =；第二次，2i =，3lg 2lg lg32S =+=； 第三次，3i =，4lg3lg lg 43S =+=，…；第九十八次，98i =，99lg98lg lg9998S =+=； 第九十九次，99i =，100lg99lg lg100299S =+==， 此时要输出i 的值为99. 此时299S lg =>. 故选：C .【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题.6.已知幂函数()f x x α=的图象过点(3,5)，且1a e α⎛⎫= ⎪⎝⎭，b =，1log 4c α=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. c a b << B. a c b <<C. a b c <<D. c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求得参数α，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断. 【详解】依题意，得35α=，故3log 5(1,2)α=∈，故3log 5101e a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，1b =>，3log 51log 04c =<， 则c a b <<. 故选：A .【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题.7.已知非零向量,a b r r 满足a b λ=r r ，若,a b rr 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+r r r r ，则实数λ的值为（ ） A. 49-B.23C.32或49-D.32【答案】D 【解析】 分析】根据向量垂直则数量积为零，结合a b λ=r r 以及夹角的余弦值，即可求得参数值. 【详解】依题意，得()()230a b a b -⋅+=r r r r ，即223520a a b b -⋅-=rr r r .将a b λ=r r代入可得，21819120λλ--=，解得32λ=（49λ=-舍去）.故选：D .【点睛】本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题.8.记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A. 112n n n S S ++-=B. 2nn a = C. 21nn S =- D. 121n n S -=-【答案】C 【解析】 【分析】先利用等比数列的性质得到3a 的值，再根据24,a a 的方程组可得24,a a 的值，从而得到数列的公比，进而得到数列的通项和前n 项和，根据后两个公式可得正确的选项.【详解】因为{}n a 为等比数列，所以2324a a a =，故3364a =即34a =，由24241016a a a a +=⎧⎨=⎩可得2428a a =⎧⎨=⎩或2482a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 为递增数列，故2428a a =⎧⎨=⎩符合.此时24q =，所以2q =或2q =-（舍，因为{}n a 为递增数列）.故3313422n n n n a a q ---==⨯=，()1122112n n nS ⨯-==--.故选C .【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时，则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S --L 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为nq .9.函数2|sin |()6x f x = ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】用偶函数的图象关于y 轴对称排除C ,用()0f π<排除B ,用()42f π>排除D .故只能选A .【详解】因为22|sin()||sin |()66()x x f x f x --=== ,所以函数()f x 为偶函数,图象关于y 轴对称,故可以排除C ;因为2|sin |()61f ππ==1110<-=-=,故排除B ,因为2|sin |2()()62f πππ==66>-4666242=>-=-=由图象知,排除D . 故选:A【点睛】本题考查了根据函数的性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题. 10.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式sin (cos )22m x x x m <-+<+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A. 11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭B. 1,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C. 1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D. 1,2⎛--⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】运用辅助角公式、二倍角公式等对sin (cos )x x x +整理，得sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.求出sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭在02x π≤≤上的最值，令m 小于最小值，2m + 大于最大值即可求出m 的取值范围.【详解】依题意，得sin (cos )sin 23x x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为02x π≤≤所以42333x πππ≤+≤，所以sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.因为sin (cos )2m x x x m <<+恒成立，得21m m ⎧<⎪⎨⎪+>⎩解得1m -<<.故实数m的取值范围为1,2⎛-- ⎝⎭. 故选:D.【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了二倍角公式，考查了三角函数的最值问题，考查了不等式恒成立问题.对于求()sin y A ωx φ=+ 在某区间上的最值问题时，先算出x ωϕ+ 的范围，再结合正弦函数的图像，即可求出.11.已知点()00,M x y ()000x y ≠是椭圆C ：2214x y +=上的一点，1F ，2F 是椭圆C 的左、右焦点，MA 是12F MF ∠的平分线.若1F B MA ⊥，垂足为B ，则点B 到坐标原点O 的距离d 的取值范围为（ ）A. (0,1)B. 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.D. (0,2)【答案】C 【解析】 【分析】延长2MF ，1F B 相交于点N ，将所求||OB 转化为121||2MF MF -，结合三角形边的关系，可知d 的取值范围.【详解】解：延长2MF ，1F B 相交于点N ，连接OB .由题意知MA 平分12F MF ∠.又因为1F B MA ⊥，所以1||MN MF =，所以B 为1F N 的中点.因为O 为12F F 的中点所以2211||||||||22OB F N MN MF ==-121211||22MF MF F F =-<=所以d的取值范围为. 故选:C.【点睛】本题考查了椭圆的几何意义，考查了中位线定理.针对此类问题，根据经验采用临界条件可以起到事半功倍的效果.12.已知球O 的体积为36π，圆柱AA '内接于球O ，其中A ，A '分别是圆柱上、下底面的圆心，则圆柱AA '的表面积的最大值为（ ）A.B. 9(1πC. 1)πD. 1)π【答案】B 【解析】 【分析】先求出球的半径，作出图形，利用三角函数表示出圆柱的表面积，结合函数的性质即可求最值. 【详解】解：设球O 的半径为R ，依题意，得34363R ππ=，解得3R =. 根据题意画出图形，如下图所示.设MOA α'∠=，则圆柱底面半径为3sin α， 则圆柱高为6cos α.因此圆柱AA '的表面积22(3sin )23sin 6cos S παπαα=⋅+⋅⋅9(1cos 22sin 2)παα=-+9[1)]9(1παϕπ=-≤+，其中1tan 2ϕ=.故圆柱AA '的表面积的最大值为9(1π+. 故选:B.【点睛】本题考查了球的体积，考查了圆柱的表面积，考查了辅助角公式，考查了三角函数的最值.几何问题中，关于最值的问题，一般由两种解题思路：一是找到临界点进行求解；二是结合函数的思想，利用函数的图像、导数、函数的单调性等求函数的最值.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量x ，y 满足约束条件21,24,20,y x x y y ≤+⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为________.【答案】7 【解析】 【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可容易求得目标函数的最大值.【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如下图阴影部分所示.观察可知，当直线2z x y =-过点(3,2)C -时，z 有最大值，max 7z =. 故答案为：7.【点睛】本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划，主要考查推理论证能力以及数形结合思想，属基础题.14.函数()ln f x x x =的极小值为________. 【答案】1e- 【解析】 【分析】求出()ln 1f x x '=+，令导数为0，解出方程，从而可以看出()(),'f x f x 随x 的变化情况，继而可求极小值.【详解】解：依题意，得()ln 1f x x '=+，(0,)x ∈+∞.令()0f x '=，解得1x e=. 所以当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<；当1,e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '>.所以当1x e =时，函数()f x 有极小值1e -. 故答案为: 1e-.【点睛】本题考查了极值的求法.求函数极值时，一般先求出函数的定义域，接着求出导数，令导数为0解方程，探究函数、导数随自变量的变化.注意，导数为0的点不一定是极值点.极值点的不仅要满足导数为0，还要满足左右两侧函数单调性相反.15.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），直线l ：4x a =与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若OAB ∆（点O 为坐标原点）的面积为32，且双曲线C 的焦距为C 的离心率为________.【解析】 【分析】用,a b 表示出OAB n 的面积，求得,a b 等量关系，联立焦距的大小，以及222a b c +=，即可容易求得,a b ，则离心率得解.【详解】联立4,x a b y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩解得4y b =.所以OAB ∆的面积14816322S a b ab =⋅⋅==，所以2ab =. 而由双曲线C的焦距为c =225a b +=.联立解得1,2a b =⎧⎨=⎩或2,1,a b =⎧⎨=⎩故双曲线C.. 【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查运算求解能力以及函数与方程思想，属中档题. 16.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1(1)10n n na n a +-++=，且25a =.若2nn S m >，则实数m 的取值范围为________. 【答案】(2,)+∞ 【解析】 【分析】由1(1)10n n na n a +-++=得21(1)(2)10n n n a n a +++-++=，两式相减可证明数列{}n a 为等差数列，继而可求出21n a n =+，令2n n n S b =，通过21132n n n n b b ++--=可知，当2n ≥时，数列{}n b 单调递减，故可求出{}n b 最大值，进而可求m 的取值范围.【详解】解：由1(1)10n n na n a +-++=，可得21(1)(2)10n n n a n a +++-++=. 两式相减，可得2120n n n a a a ++-+=，所以数列{}n a 为等差数列.当1n =时由1(1)10n n na n a +-++=，得21210a a -+=，又25a =，解得13a =.所以21n a n =+，则2222n n nS n n +=.令2n n n S b =，则21132n n n n b b ++--=. 当2n ≥时，10n n b b +-<，数列{}n b 单调递减，而132b =，22b =，3158b = 故2m >，即实数m 的取值范围为(2,)+∞. 故答案为: (2,)+∞.【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的前n 项和，考查了数列的增减性.已知1,n n a a + 的递推关系时，求通项公式常采用累加法、累乘法、构造新数列，或者令1=+n n 将得到的式子与原式相减.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.2019年篮球世界杯在中国举行，中国男篮由于主场作战而备受观众瞩目.为了调查国人对中国男篮能否进入十六强持有的态度，调查人员随机抽取了男性观众与女性观众各100名进行调查，所得情况如下表所示：若在被抽查的200名观众中随机抽取1人，抽到认为中国男篮不能进入十六强的女性观众的概率为14. （1）完善上述表格；（2）是否有99%的把握认为性别与对中国男篮能否进入十六强持有的态度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）表格见解析；（2）没有 【解析】 【分析】（1）由概率可求出认为中国男篮不能进入十六强的女性观众的人数，结合男女各100人，即可求出表中所有数据.（2）代入求出2K 的观测值，进而可判断.【详解】（1）依题意，得认为中国男篮不能进入十六强女性观众人数为1200504⨯=. 完善表格如下表所示：（2）本次试验中，2K的观测值20(60504050)200 2.02 6.63510010011090k ⨯-⨯⨯=≈<⨯⨯⨯.所以没有99%的把握认为性别与对中国男篮能否进入十六强持有的态度有关. 【点睛】本题考查了独立性检验，考查了概率.易错点是计算观测值.18.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知()22a b c ab -=-.（1）求角C ； （2）若4cos sin 02c A b C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，1a =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3π （2【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求cos C ，从而得到C 的值.（2）利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得4b a =，得到b 值后利用面积公式可求ABC S ∆. 【详解】（1）由()22a b c ab -=-，得222a b c ab +-=.所以由余弦定理，得222cos 122a b c C ab +-==.又因为()0,C π∈，所以3C π=.的（2）由4cos sin 02c A b C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，得4sin sin 0c A b C -+=. 由正弦定理，得4ca bc =，因为0c ≠，所以4b a =. 又因1a =，所以4b =.所以ABC ∆的面积11sin 14222S ab C ==⨯⨯⨯=. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.19.如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是菱形，120ADC =∠︒，平面SAD ⊥平面ABCD ，SAD ∆是等边三角形.（1）求证：AD SB ⊥；（2）若SAD ∆的面积为C 到平面SAB 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）5【解析】 【分析】（1）取AD 的中点O ，连接SO ，BO ，结合等边三角形和菱形可证明SO AD ⊥，BO AD ⊥，从而可证明AD ⊥平面SOB ，进而可证AD SB ⊥.（2）由SAD ∆的面积为SAD ∆的边长为4，由平面SAD ⊥平面ABCD 可知，SO ⊥平面ABCD ，则分别求出,ABC SAB ∆∆的面积以及SO 的长，利用S ABC C SAB V V --=可求出点C 到平面SAB 的距离. 【详解】（1）证明：取AD 的中点O ，连接SO ，BO ，BD . 因为SAD ∆是等边三角形，O 是AD 的中点，所以SO AD ⊥.因为四边形ABCD 是菱形，120ADC =∠︒，所以ABD ∆是等边三角形，所以BO AD ⊥. 因为SO BO O ⋂=，且SO ⊂平面SOB ，BO ⊂平面SOB ，所以AD ⊥平面SOB .又因SB ⊂平面SOB ，所以AD SB ⊥.（2）解：设AD a =2=4a =. 因为平面SAD ⊥平面ABCD ，SO AD ⊥，所以SO ⊥平面ABCD . 记点C 到平面SAB 的距离为h ，则1133S ABC C SAB ABC SAB V V S SO S h --∆∆=⇔⋅⋅=⋅⋅.易知SO =OB =在Rt SOB ∆中，由OS OB ==，得SB =SAB ∆边SB ==所以12SAB S ∆=⨯=而1442∆=⨯⨯=ABC S ，所以1133h ⨯=⨯.解得h =.即点C 到平面SAB 【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查了棱锥体积的求解.证明线线垂直，可利用矩形的临边垂直、等腰三角形三线合一、勾股定理证明，也可先证明线面垂直，进而可证线线垂直.在求点到平面的距离时，常用的思路有两个：一是建立空间直角坐标系，结合空间向量进行求解；二是结合几何体的体积进行求. 20.已知函数21()ln 2f x mx x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （Ⅰ）若1m =，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1m £时，要使()ln f x x x >恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）322y x =-（Ⅱ）⎤⎥⎦【解析】 【分析】（Ⅰ）求函数的导函数，即可求得切线的斜率，则切线方程得解；（Ⅱ）构造函数()y f x xlnx =-，对参数分类讨论，求得函数的单调性，以及最值，即可容易求得参数范围.【详解】（Ⅰ）当1m =时，21()ln 2f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1()2ln 2f x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭. 所以(1)2f '=. 又1(1)2f =，故所求切线方程为12(1)2y x -=-，即322y x =-.（Ⅱ）依题意，得21ln ln 2mx x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即21ln ln 02mx x x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭恒成立. 令21()ln ln 2g x mx x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 则()(21)(ln 1)g x mx x '=-+. ①当0m ≤时，因为1(1)02g m =≤，不合题意. ②当01m <≤时，令()0g x '=，得112x m =，21e x =，显然112em >. 令()0g x '>，得10x e <<或12x m>；令()0g x '<，得112x e m <<. 所以函数()g x 的单调递增区间是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是11,2e m ⎛⎫⎪⎝⎭. 当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，20mx x -<，ln 0x <，所以21()ln ln 2g x mx x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()221ln 02mx x x mx =-+>， 只需1111ln 02428g m m m m ⎛⎫=-+>⎪⎝⎭，所以m >， 所以实数m 的取值范围为⎤⎥⎦. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，以及利用导数研究恒成立问题，属综合中档题.21.已知抛物线C ：22y px =（0p >）.（1）若抛物线C 的焦点到准线的距离为4，点A ，B 在抛物线C 上，线段AB 的中点为(3,2)D ，求直线AB 的方程；（2）若圆C '以原点O 为圆心，1为半径，直线l 与C ，C '分别相切，切点分别为E ，F ，求||EF 的最小值.【答案】（1）240x y --=；（2）【解析】 【分析】（1）由距离为4可求出4p =进而可求出抛物线C 的方程.设()11,A x y ，()22,B x y ，代入到抛物线方程中，两式相减，结合中点坐标，即可求出AB 的斜率，结合直线的点斜式，可求出直线的方程.（2）设直线l 的方程为x my t =+（0m ≠），与抛物线、圆的方程联立，结合相切，可求22pmt =-，221m t +=.设()00,E x y ，通过切点既在直线上又在抛物线上，可求出0y pm =，2002pm x my t =+=，从而2222220024||||||14EF OE OF x y m m=-=+-=++，结合基本不等式，可求出EF 有最小值. 【详解】解：（1）由抛物线C 的焦点到准线的距离为4，得4p =.所以抛物线C 的方程为28y x =.设()11,A x y ，()22,B x y ，则2112228,8.y x y x ⎧=⎨=⎩，所以()2212128y y x x -=-，即()()()1212128y y y y x x -+=-.因为线段AB 的中点D 的坐标为(3,2)，所以124y y +=且12x x ≠.所以12121282y y x x y y -==-+.故直线AB 的方程为22(3)y x -=-，即直线AB 的方程为240x y --= 经检验240x y --=符合题意.（2）设直线l 的方程为x my t =+（0m ≠）.代入22y px =，得2220y pmy pt --=.（*）由直线l 与抛物线相切可知，22480p m pt ∆=+=，故22pm t =-.① 又直线l 与圆221x y +=1=，即221m t +=.②联立①②，得24214p m m =+，故()22441m p m+=. 设()00,E x y ，解（*）式可得，0y pm =，从而2002pm x my t =+=. 故222220||||||1EF OE OF x y =-=+-24222241484p m p m m m=+-=++≥，当且仅当||m =EF有最小值，为【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了中点弦问题，考查了直线与圆锥曲线相切，考查了基本不等式.本题的难点在于计算量较大.对于中点弦问题，一般设出弦端点的坐标，带回方程，两式相减，通过整理，可得到弦的斜率和中点坐标的关系.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为126126x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m 为参数），以坐标点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+3π）＝1． （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）已知点M （2，0），若直线l 与曲线C 相交于P 、Q 两点，求11||||MP MQ +的值． 【答案】（1）l ：20x =，C 方程为 2233144x y -=；（2）11|||||MP M Q +【解析】 【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【详解】(1)曲线C 的参数方程为126126x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m 为参数），两式相加得到4m x y =+，进一步转换为2233144x y -=． 直线l 的极坐标方程为ρcos （θ+3π）＝1，则(cos cos sin sin )133ππρθθ-=转换为直角坐标方程为20x =．（2）将直线的方程转换为参数方程为212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 代入2233144x y -=得到23160t ++=（t 1和t 2为P 、Q 对应的参数），所以12t t +=-12163t t ⋅=，所以11|||||MP M Q +＝1212||||||||t t MP MQ MP MQ t t ++==． 【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.已知x ，y ，z 均为正数．（1）若xy ＜1，证明：|x +z |⋅|y +z |＞4xyz ；（2）若xyz x y z ++＝13，求2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为8 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式可得|x |||4z y z z +⋅+≥= , 再根据0＜xy ＜1时, 即可证明|x +z |⋅|y +z |＞4xyz . （2）由xyz x y z ++＝13, 得1113yz xz xy++=，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz ≥3，从而求出2xy ⋅2yz ⋅2xz的最小值.【详解】（1）证明：∵x ，y ，z 均为正数，∴|x +z |⋅|y +z |＝（x +z ）（y +z ）≥4 当且仅当x ＝y ＝z 时取等号． 又∵0＜xy ＜1，∴44xyz >， ∴|x +z |⋅|y +z |＞4xyz ；（2）∵xyz x y z ++＝13，即1113yz xz xy++=．∵112yz yz yz+=…， 112xz xz xz+=…，12xy xy +=…， 当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取等号， ∴1116xy yz xz xy yz xz+++++…， ∴xy +yz +xz ≥3，∴2xy ⋅2yz ⋅2xz ＝2xy +yz +xz ≥8， ∴2xy ⋅2yz ⋅2xz 的最小值为8．【点睛】本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．。

2020 年河南省天一大联考高考数学一模试卷（文科）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 A={x|-1≤x≤5}，B={x|x2-2x＞3}，则 A∩B=（A. {x|3＜x≤5}B. |x|-1≤x≤5|C. {x|x＜-1 或 x＞3}D. R2. 已知复数 z 满足 i（3+z）=1+i，则 z 的虚部为（ ）A. -iB. iC. -1）D. 13. 已知函数，若 f（a）＞f（b），则下列不等关系正确的是（ ）A.B.C. a2＜abD. ln（a2+1）＞ln（b2+1）4. 国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的 2018 年 10 月份至 2019年 9 月份共 12 个月的中国制造业采购经理指数（PMI）如下图所示．则下列结论中错误的是（ ）A. 12 个月的 PMI 值不低于 50%的频率为B. 12 个月的 PMI 值的平均值低于 50% C. 12 个月的 PMI 值的众数为 49.4% D. 12 个月的 PMI 值的中位数为 50.3%5. 已知函数的图象向左平移 φ（φ＞0）个单位后得到函数的图象，则 φ 的最小值为（ ）A.B.C.D.6. 已知数列{an}满足 an+1-an=2，且 a1，a3，a4 成等比数列．若{an}的前 n 项和为 Sn， 则 Sn 的最小值为（ ）第 1 页，共 14 页A. -10B. -14C. -187. 已知 cos（2019π+α）=- ，则 sin（ -2α）=（ ）D. -20A.B.C. -D.8. 已知双曲线的右焦点为 F，过右顶点 A 且与 x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于 M 点，MF 的中点恰好在双曲线 C 上，则 C 的离心率为（ ）A.B.C.D.9. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为 11，则图中的判断条件可以为（ ）A. S＞-1？B. S＜0？C. S＜-1？D. S＞0？10. 过抛物线 E：x2=2py（p＞0）的焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB，CD，设 P 为抛物线上的一动点，Q（1，2）．若，则|PF|+|PQ|的最小值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 411. 已知函数 f（x）=x3-ax-1，以下结论正确的个数为（ ）①当 a=0 时，函数 f（x）的图象的对称中心为（0，-1）；②当 a≥3 时，函数 f（x）在（-1，1）上为单调递减函数；③若函数 f（x）在（-1，1）上不单调，则 0＜a＜3；④当 a=12 时，f（x）在[-4，5]上的最大值为 15．A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知四棱锥 E-ABCD，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，ED=1，平面 ECD⊥平面ABCD，当点 C 到平面 ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ）A.B.C.D. 1二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 已知向量 =（1，1），| |= ，（2 + ）• =2，则| - |=______．14. 为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三 5 个班进行班级间的 拔河比赛．每两班之间只比赛 1 场，目前（一）班已赛了 4 场，（二）班已赛了 3 场，（三）班已赛了 2 场，（四）班已赛了 1 场．则目前（五）班已经参加比赛的 场次为______．15. 将底面直径为 4，高为 的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大 值为______．16. 如图，已知圆内接四边形 ABCD，其中 AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，则=______．第 2 页，共 14 页三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 已知数列{an}的各项都为正数，a1=2，且．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设 bn=[lg（log2an）]，其中[x]表示不超过 x 的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1， 求数列{bn}的前 2020 项和．18. 如图，在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，平面 ABC⊥平面 A1ACC1，CC1=2，△ABC，△ACC1，均为正三角形，E 为 AB 的中点． （Ⅰ）证明：AC1∥平面 B1CE； （Ⅱ）求斜三棱柱 ABC-A1B1C1 截去三棱锥 B1--CBE 后剩 余部分的体积．19. 近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天 种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的新 奇水果的箱数 x（单位：十箱）与成本 y（单位：千元）的关系如下：x13467y56.577.58y 与 x 可用回归方程（其中 ， 为常数）进行模拟．（Ⅰ）若该农户产出的该新奇水果的价格为 150 元/箱，试预测该新奇水果 100 箱 的利润是多少元．|． （Ⅱ）据统计，10 月份的连续 16 天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数 的频率分布直方图如图． （i）若从箱数在[40，120）内的天数中随机抽取 2 天，估计恰有 1 天的水果箱数在第 3 页，共 14 页[80，120）内的概率； （ⅱ）求这 16 天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值．（每组用 该组区间的中点值作代表） 参考数据与公式：设 t=lgx，则0.546.81.530.45线性回归直线中，，．20. 已知椭圆的左，右焦点分别为 F1，F2，|F1F2|=2，M 是椭圆E 上的一个动点，且△MF1F2 的面积的最大值为 ． （Ⅰ）求椭圆 E 的标准方程； （Ⅱ）若 A（a，0），B（0，b），四边形 ABCD 内接于椭圆 E，AB∥CD，记直线 AD，BC 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1k2 为定值．21. 已知直线 y=x-1 是曲线 f（x）=alnx 的切线． （Ⅰ）求函数 f（x）的解析式； （Ⅱ）若 t≤3-4ln2，证明：对于任意 m＞0， 个零点．第 4 页，共 14 页有且仅有一22. 以直角坐标系 xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴．已知曲线 C1的极坐标方程为 ρ=4cosθ+8sinθ，P 是 C1 上一动点，，Q 的轨迹为 C2．（Ⅰ）求曲线 C2 的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点 M（0，1），直线 l 的参数方程为（t 为参数），直线 l与曲线 C2 的交点为 A，B，当|MA|+|MB|取最小值时，求直线 l 的普通方程．23.已知 a，b，c∈R+，∀x∈R，不等式|x-1|-|x-2|≤a+b+c 恒成立． （Ⅰ）求证：（Ⅱ）求证：．2020 年河南省天一大联考高考数学一模试卷（文科）答案和解析【答案】1. A2. C3. B4. D5. A6. D7. C8. A9. B10. C 11. C 12. B13. 314. 215.16.17. 解：（I）由题意，且，即-an+1an-2 =0，整理，得（an+1+an）（an+1-2an）=0． ∵数列{an}的各项都为正数， ∴an+1-2an=0，即 an+1=2an． ∴数列{an}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，第 5 页，共 14 页∴an=2n． （Ⅱ）由（I）知，bn=[lg（log2an）]=[lg（log22n）]=[lgn]，故 bn=，n∈N*．∴数列{bn}的前 2020 项的和为 1×90+2×900+3×1021=4953．18. 解：（Ⅰ）如图，连接 BC1，交 B1C 于点 M，连接 ME，则 ME∥AC1．因为 AC1⊄平面 B1CE，ME⊂平面 B1CE，所以 AC1∥平面 B1CE．（Ⅱ）因为 B1C1 平面 ABC， 所以点 B1 到平面 ABC 的距离等于点 C1 到平面 ABC 的距离． 如图，设 O 是 AC 的中点，连接 OC1，OB． 因为△ACC1 为正三角形，所以 OC1⊥AC， 又平面 ABC⊥平面 A1ACC1，平面 ABC∩平面 A1ACC1=AC， 所以 OC1⊥平面 ABC． 所以点 C1 到平面 ABC 的距离 OC1= ，故三棱锥 B1-BCE 的体积为 V= S△BCE•OC1= × ×1× × = ，而斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 V=S△ABC•OC1= AB•CE•OC1= ×2× × =3，所以剩余部分的体积为 3- = ．19. 解（Ⅰ）根据题意，=，，∴．又 t=lgx，∴．∴x=10 时，（千元），即该新奇水果 100 箱的成本为 8364 元，故该新奇水果 100 箱的利润 15000-8364=6636．（Ⅱ）（i）根据频率分布直方图，可知水果箱数在[40，80）内的天数为．设这两天分别为 a，b，水果箱数在[80，120）内的天数为，设这四天分别为 A，B，C，D． ∴随机抽取 2 天的基本结果为：（AB），（AC），（AD），（Aa），（Ab），（BC）， （BD），（Ba），（Bb），第 6 页，共 14 页（CD），（Ca），（Cb），（Da），（Db），（ab）共 15 种． 满足恰有 1 天的水果箱数在[80，120）内的结果为：（Aa），（Ab），（Ba），（Bb）， （Ca），（Cb），（Da），（Db）共 8 种，所以估计恰有 1 天的水果箱数在[80，120）内的概率为 P= ．（ⅱ）这 16 天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值为：×（箱）．20. 解：（Ⅰ）设椭圆 E 的半焦距为 c，由题意可知，当 M 为椭圆 E 的上顶点或下顶点时，△MF1F2 的面积取得最大值 ．所以，所以 a=2，b= ，故椭圆 E 的标准方程为．（Ⅱ）根据题意可知 A（2，0），B（0， ），kAB=-因为 AB∥CD，设直线 CD 的方程为 y=-，C（x1，y1），D（x2，y2）由，消去 y 可得 6x2-4+4m2-12=0，所以 x1+x2= ，即 x1= -x2．直线 AD 的斜率 k1= =，直线 BC 的斜率 k2=，所以 k1k2=•，=，=，==．故 k1k2 为定值．21. 解：（Ⅰ）根据题意，f′（x）= ，设直线 y=x-1 与曲线相切于点 P（x0，y0）根据题意，可得，解之得 x0=a=1，因此 f（x）=lnx．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 h（x）=mx- +lnx+t（x＞0）， 则当 x→0 时，h（x）＜0，当 x→+∞时，h（x）＞0， 所以 h（x）至少有一个零点．第 7 页，共 14 页h′（x）= +m=m- +（ - ）2①m≥ ，则 h′（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，所以 h（x）有唯一零点．②若 0＜m＜ ，令 h′（x）=0 得 h（x）有两个极值点 x1，x2（x1＜x2），所以 ＞ ，即 0＜x1＜16． 可知 h（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递 增．所以极大值为 h（x1）=mx1- +lnx1+t=（ - ）x1- +lnx1+t=- -1+lnx1+t，又 h′（x1）=- + = ＞0，所以 h（x1）在（0，16）上单调递增， 则 h（x1）＜h（16）=ln16-3+t≤ln16-3+3-4ln2=0，所以 h（x）有唯一零点． 综上可知，对于任意 m＞0 时，h（x）有且仅有一个零点．22. 解：（Ⅰ）根据题意，设点 P，Q 的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ），则有 ρ= ρ0=2cosθ+4sinθ，故曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2cosθ+4sinθ，变形可得：ρ2=2ρcosθ+4ρsinθ， 故 C2 的直角坐标方程为 x2+y2=2x+4y，即（x-1）2+（y-2）2=5； （Ⅱ）设点 A，B 对应的参数分别为 t1、t2，则|MA|=t1，|MB|=t2，设直线 l 的参数方程，（t 为参数），代入 C2 的直角坐标方程（x-1）2+（y-2）2=5 中， 整理得 t2-2（cosα+sinα）t-3=0． 由根与系数的关系得 t1+t2=2（cosα+sinα），t1t2=-3， 则|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|===≥2， 当且仅当 sin2α=-1 时，等号成立， 此时 l 的普通方程为 x+y-1=0．23. 证明：（Ⅰ）∵|x-1|-|x-2|≤|x-1-x+2|=1，∴a+b+c≥1． ∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ac， ∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca， ∴3a2+3b2+3c2≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2≥1，∴．（Ⅱ）∵a2+b2≥2ab，2（a2+b2）≥a2+2ab+b2=（a+b）2，即两边开平方得，同理可得，三式相加，得．第 8 页，共 14 页【解析】1. 解：由题意 B={x|x＜-1 或 x＞3}，所以 A∩B={x|3＜x≤5}， 故选：A． 求出集合 B，再求出即可． 本题考查一元二次不等式的解法集合的基本运算，基础题．2. 解∵i（3+z）=1+i，∴3+z=，∴z=-2-i，∴复数 z 的虚部为-1．故选：C．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题主要考查复数的四则运算，考查复数的基本概念，是基础题．3. 解：易知 f（x）在 R 上单调递增，故 a＞b．因为 a，b 的符号无法判断，故 a2 与 b2，a2 与 ab 的大小不确定，所以 A，C，D 不一定正确；B 中正确．故选：B．易知 f（x）在 R 上单调递增，可得 a＞b，再逐项判断即可．本题主要考查函数的性质以及不等式的性质，属于基础题．4. 解：从图中数据变化看，PMI 值不低于 50%的月份有 4 个，所以 12 个月的 PMI 值不低于 50%的频率为 = ，所以 A 正确；由图可以看出，PMI 值的平均值低于 50%，所以 B 正确； 12 个月的 PMI 值的众数为 49.4%，所以 C 正确； 12 个月的 PMI 值的中位数为 49.6%，所以 D 错误． 故选：D． 根据统计图中数据变化情况，分析判断选项中的命题是否正确即可． 本题主要考查了统计图表的识别以及样本的数字特征问题，也考查了数形结合思想，是 基础题．5. 解：把函数的图象向左平移 φ（φ＞0）个单位后得到函数 y=sin（2x+2φ- ）的图象，即得到的图象，∴2φ- =2kπ+ ，k∈Z，∴φ 的最小值为 ，故选：A． 由题意利用函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 本题主要考查函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．6. 【分析】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式、等比中项的性质及二次函数的单调性，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题． 利用等差数列的通项公式、等比中项的性质，列方程求基本量，再求和结合二次函数性 质即可得出． 【解答】 解：根据题意，可知{an}为等差数列，公差 d=2．由 a1，a3，a4 成等比数列，可得=a1（a1+6），解得 a1=-8．第 9 页，共 14 页所以 Sn=-8n+=-．根据单调性，可知当 n=4 或 5 时，Sn 取到最小值，最小值为-20． 故选：D．7. 解：由 cos（2019π+α）=- ，可得 cos（π+α）=- ，∴cosα= ，∴sin（ -2α）=cos2α=2cos2α-1=2× -1=- ． 故选：C． 由已知利用诱导公式可得 cosα= ，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所 求即可计算得解． 本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查 了转化思想，属于基础题．8. 解：双曲线 C： =1，a＞0，b＞0 的右顶点为 A（a，0），右焦点为 A（c，0），M 所在直线为 x=a，不妨设 M（a，b）， ∴MF 的中点坐标为（ ， ）．代入方程可得 - =1，∴= ，∴e2+2e-4=0，∴e= -1（负值舍去）．故选：A． 由题意可得过右顶点的直线，又可得 M 的坐标，进而求出 MF 的中点的坐标，代入双 曲线方程，可得 a，c 的关系，进而求出离心率． 本题主要考查双曲线的几何性质，属于中档题．9. 解：i=1，S=1．运行第一次，S=1+lg =1-lg3＞0，i=3，不成立；运行第二次，S=1+lg +lg =1-lg5＞0，i=5，不成立；运行第三次，S=1+lg +lg +lg =1-lg7＞0，i=7，不成立；运行第四次，S=1+lg +lg +lg +lg =1-lg9＞0，i=9，不成立；运行第五次，S=1+lg +lg +lg +lg +lg =1-lg11＜0，i=11，成立，输出 i 的值为 11，结束， 故选：B． 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算 S 的值并输出变量 i 的值， 模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题主要考查循环结构的框图，属于基础题．第 10 页，共 14 页10. 解：显然直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线 AB 的斜率 为 k，则直线 AB 的方程为y=kx+ ，联立方程，消去 y得：x2-2pkx-p2=0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴x1+x2=2pk， ∴， 由抛物线的性质可知：|AB|=y1+y2+p=2pk2+2p，∵AB⊥CD，∴直线 CD 的斜率为：- ，∴|CD|=2p（- ）2+2p=，∴，∴2p+2pk2=4+4k2， ∴p=2， ∴抛物线方程为：x2=4y，准线方程为：y=-1， 设点 P 到准线 y=-1 的距离为 d，由抛物线的性质可知：|PF|+|PQ|=d+|PQ|， 而当 QP 垂直于 x 轴时，d+|PQ|的值最小，最小值为 2+1=3，如图所示： ∴|PF|+|PQ|的最小值为 3， 故选：C．显然直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 y=kx+ ，与抛物线方程联立结合韦达定理可得：|AB|=y1+y2+p=2pk2+2p，因为 AB⊥CD，所以直线CD 的斜率为：- ，所以|CD|=2p（- ）2+2p=，所以，解得 p=2，设点 P 到准线 y=-1 的距离为 d，由抛物线的性质可知：|PF|+|PQ|=d+|PQ|，而当 QP 垂直于 x 轴时，d+|PQ|的值最小，最 小值为 2+1=3． 本题主要考查了抛物线的性质，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．11. 解：①幂函数 y=x3 为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，当 a=0 时，函数 f（x）=x3-1 的图象的对称中心为（0，-1），即①正确． ②由题意知，f'（x）=3x2-a． 当-1＜x＜1 时，3x2＜3， 又 a≥3，所以 f'（x）＜0 在（-1，1）上恒成立， 所以函数 f（x）在（-1，1）上单调递减，即②正确． ③由题意知，f'（x）=3x2-a， 当 a≤0 时，f'（x）≥0，此时 f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，不合题意，故 a＞0．第 11 页，共 14 页令 f'（x）=0，解得．因为 f（x）在（-1，1）上不单调，所以 f'（x）=0 在（-1，1）上有解，所以，解得 0＜a＜3，即③正确．④令 f'（x）=3x2-12=0，得 x=±2． 当 x∈[-4，5]时，f（x）在[-4，-2]和[2，5]上单调递增，在（-2，2）上单调递减，所以 f （x）max=f（-2）或 f（5）， 因为 f（-2）=15，f（5）=64，所以最大值为 64，即④错误． 故选：C． ①根据幂函数 y=x3 与 f（x）=x3-1 的图象变换即可判断正误； ②求导 f'（x）=3x2-a，当 a≥3 时，f'（x）＜0 在（-1，1）上恒成立； ③求导 f'（x）=3x2-a，首先判断 a≤0 不符合题意，其次讨论当 a＞0 时，若 f（x）在（-1， 1）上不单调，则 f'（x）=0 在（-1，1）上有解，即可得解； ④当 a=12 时，f（x）在[-4，-2]和[2，5]上单调递增，在（-2，2）上单调递减，所以 f （x）max=f（-2）或 f（5），然后比较 f（-2）和 f（5）的大小即可得解． 本题考查函数的性质及导数的应用，熟练运用导数解决函数的单调性、最值问题是解题 关键，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．12. 解：如图所示，由题意可得：ED⊥平面 ABCD 时，△ADE 的面积最大， 可得点 C 即点 D 到平面 ABE 的距离最大．此时该四棱锥的体积==．故选：B． 如图所示，由题意可得：ED⊥平面 ABCD 时，△ADE 的面积最大，可得点 C 即点 D 到平面 ABE 的距离最 大．即可得出此时该四棱锥的体积． 本题考查了空间线面位置关系、数形结合方法，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题．13. 解：由题意可得，∴，解得，∴．故答案为：3．依题意，可求得，再根据模长公式求解即可．本题主要考查向量的数量积运算及向量模的求法，属于基础题．14. 解：根据题意，画图如下，由图可知，目前（五）班已经赛了 2 场， 故答案为：2．第 12 页，共 14 页根据题意，画出图形，即可得到目前（五）班已经赛了 2 场． 本题主要考查逻辑推理，是基础题．15. 解：欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为 h，底面半径为 r，则 = ，解得 h= - r．故 S 侧=2πrh=2πr（ - r）= πr（2-r）≤ π=．当 r=1 时，S 侧的最大值为 ． 故答案为： ．欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为 h，底面半径为 r，由=，解得 h= - r．可得 S 侧=2πrh=2πr（ - r），利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了旋转体的侧面积、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题．16. 解：由圆内接四边形的性质可得∠C=π-∠A，∠D=π-∠B．连接 BD，在△ABD 中，有 BD2=AB2+AD2-2AB•ADcosA． 在△BCD 中，BD2=BC2+CD2-2BC•CDcosC， 所以，AB2+AD2-2AB•ADcosA=BC2+CD2+2BC•CDcosA，cosA===，所以 sinA===，连接 AC，同理可得 cosB===，所以 sinB===．所以==．结合圆内接四边形的性质及余弦可分别求解 cosA，cosB，然后结合同角平方关系可求 sinA，sinB，进而可求． 本题主要考查余弦定理，同角平方关系及圆内接四边形的性质的应用．17. 本题第（I）题对递推式进行转化，因式分解，根据题意可得数列{an}是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，即可得到数列{an}的通项公式；第（Ⅱ）题根据第（I）题的结果 写出数列{bn}的通项公式，然后根据[x]的特点转化为分段的通项公式，再求和即可得到 结果． 本题主要考查等比数列及数列的求和等相关基础知识．考查了方程思想，转化思想的应 用，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18. （Ⅰ）运用线面平行的判定定理即可得证；（Ⅱ）运用线面垂直的判定定理和性质，以及棱锥的体积公式计算可得所求值． 本题主要考查线面平行线面垂直等线面位置关系以及几何体的体积．19. （Ⅰ）由已知求得 与 ，得到，结合 t=lgx，可得．取 x=10 时求得 y 值得答案．（Ⅱ）（i）根据频率分布直方图，可知水果箱数在[40，80）内的天数，设这两天分别 为 a，b，求出水果箱数在[80，120）内的天数，利用枚举法结合古典概型概率公式求恰第 13 页，共 14 页有 1 天的水果箱数在[80，120）内的概率为 P= ．（ⅱ）直接由题意求这 16 天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值． 本题主要考查线性回归方程、古典概型以及样本的平均值，考查计算能力，是中档题．20. （Ⅰ）由题意可得，解得 a，b，c，进而得椭圆的方程．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 A（2，0），B（0， ），kAB=- ，设直线 CD 的方程为 y=-，C（x1，y1），D（x2，y2），联立直线 CD 与椭圆的方程得所以 x1+x2= ，即 x1= -x2．直线 AD 的斜率 k1= =，直线 BC 的斜率 k2=，代入 k1k2 化简可得结论． 本题主要考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系．21. （Ⅰ）设切点 P（x0，y0），则，即可求出 a；（Ⅱ）由 h（x）的解析式可知其至少有一个零点，又因为 h′（x）=m- +（ - ）2，讨论①m≥ ②0＜m＜ 两种情况下均只有一个零点即可．本题考查导数的综合应用，考查利用导数表示曲线上某点切线，利用导数判断函数单调 区间等，属于综合题，中档题．22. （Ⅰ）根据题意，设点 P，Q 的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ），分析可得曲线C2 的极坐标方程，变形可得答案；（Ⅱ）根据题意，设点 A，B 对应的参数分别为 t1、t2，直线 l 的参数方程，（t 为参数），与 C2 的方程联立可得 t2-2（cosα+sinα）t-3=0，由根与系数的关系分析可 得答案． 本题考查三种方程的转化，利用直线的参数方程研究直线与圆的位置关系，属于基础题．23. （Ⅰ）由已知，a+b+c≥1，再利用基本不等式即可得证；（Ⅱ）分析可知，，三式相加即可得证． 本题主要考查绝对值不等式的应用，利用基本不等式证明不等式．第 14 页，共 14 页。

2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟（三）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}{}222450,20A x x y x y B x x =+-++==>，则集合A B =U （ ）A ．[)1,+∞B ．[]0,1C ．(],1-∞D ．()0,1【答案】A【解析】通过配方求出集合A ，解不等式求出集合B ，进而可得并集. 【详解】对于集合A ：配方得()()22120,1,2x y x y -++=∴==-， 从而{}1A =.对于集合):120,0B >Q20,10>>，解得1x >，()1,B ∴=+∞，从而[)1,A B ∞=+U . 故选：A. 【点睛】本题考查集合的并集运算，考查运算能力，是基础题.2．已知z 为z 的共轭复数，若32zi i =+，则z i +=（ ）A ．24i +B ．22i -C ．D ．【答案】C【解析】先由已知求出z ，进而可得z i +，则复数的模可求. 【详解】 由题意可知3223iz i i+==-，从而23,24,z i z i i z i =+∴+=+∴+==.故选：C. 【点睛】本题考查复数的运算及共轭复数，命题陷阱：1z +易被看成绝对值，从而导致错选，另外，易疏忽共轭复数的运算.3．某地工商局对辖区内100家饭店进行卫生检查并评分，分为甲、乙、丙、丁四个等级，其中分数在[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100内的等级分别为：丁、丙、乙、甲，对饭店评分后，得到频率分布折线图，如图所示，估计这些饭店得分的平均数是（ ）A ．80.5B ．80.6C ．80.7D ．80.8【答案】A【解析】根据频率分布折线图计算该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.25⨯+⨯+⨯+⨯.【详解】由折线图可知，该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.2580.5⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：A. 【点睛】此题考查根据频率分布折线图求平均数，关键在于熟练掌握平均数的求解公式. 4．已知数列{}n a 是等比数列，4a ，8a 是方程2840x x -+=的两根，则6a =（ ） A ．4 B ．2±C ．2D ．2-【答案】C【解析】根据韦达定理，结合等比数列性质2486a a a =即可得解.【详解】∵方程2840x x -+=的两根分别为4a ，8a ，∴484880,40,a a a a +=>⎧⎨=>⎩∴480,0.a a >⎧⎨>⎩由等比数列性质可知24864a a a ==，∴62a =±.又2640a a q =>，∴62a =.故选：C. 【点睛】此题考查等比数列性质，根据韦达定理得两根之积，结合等比数列性质求解指定项，易错点在于漏掉考虑符号. 5．已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，12,x x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，131,,,042a f b f c f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】D【解析】先根据函数(1)f x +是偶函数可得出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，再由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，根据131,,42t t+的大小关系可得函数值的大小. 【详解】Q 函数(1)f x +是偶函数，∴函数(1)f x +的图象关于直线0x =对称，从而函数()f x 的图象关于直线1x =对称，由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，1744a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t >得12t t +≥，从而1731731,4242t f t f f t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>>>∴+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即b a c <<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查对知识综合运用的能力，本题的根源是函数性质的综合，将奇偶性转化成对称性，结合对称性把变量化归到同一单调区间，从而应用单调性比较函数值的大小.6．已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，若直线m α⊂，直线,,n l m l βαβ⊂⋂=⊥，则m n ⊥是αβ⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要【答案】B【解析】通过面面垂直的判定和性质分别判断充分性和必要性即可. 【详解】当//n l 时，若m n ⊥，则不能得到αβ⊥，所以m n ⊥不能推出αβ⊥； 反之，若αβ⊥，因为,,m l m l ααβ⊂⋂=⊥，可推出m β⊥.又n β⊂， 所以m n ⊥，故m n ⊥是αβ⊥的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查面面垂直的判定与性质定理，以及充分条件､必要条件的判断，考察空间想象能力.7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．392B ．216+C ．20D ．206+【答案】D【解析】在正方体中，根据三视图还原几何体，分别求解各表面的面积即可得解. 【详解】由三视图可知该几何体为正方体ABCD A B C D ''''-截去一个小三棱锥D AD E -'， 如图.()112232ABCE S =⨯+⨯=，()112232CED C S ''=⨯+⨯=，12222AA D S ''=⨯⨯=V .在AED '△中，22125AE ED ==+='22AD '=可计算AD'边上的高为3，∴122362AEDS'=⨯⨯=V，从而可得该几何体的表面积为332634206++++⨯=+.故选：D.【点睛】此题考查根据三视图求几何体的表面积，关键在于准确识别三视图，借助正方体还原几何体.8．如图，已知圆的半径为1，直线l被圆截得的弦长为2，向圆内随机投一颗沙子，则其落入阴影部分的概率是（）A．1142π-B．1132π-C．113π-D．114π-【答案】A【解析】根据面积公式求解阴影部分面积，结合几何概型求解概率.【详解】由题意知222OA OB AB+=，∴2AOBπ∠=，阴影部分面积为142π-，∴所求事件概率为1114242πππ-=-.故选：A.【点睛】此题考查几何概型，利用面积关系求解概率，关键在于熟练掌握相关面积公式及求解方法.9．已知实数,a b满足,a b R+∈，且31a b+=，则()1924a b a b+++的最小值为（）A．173B．174C．163D．194【答案】C【解析】由31a b+=得()()283a b a b+++=，变形()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭，展开，利用基本不等式即可求最值. 【详解】因为31a b +=，所以393a b +=，即()()283a b a b +++=，()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭ ()()()928111610102924333a b a b a b a b ⎡⎤++=++⨯≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦，当且仅当()283a b a b +=+即51,88a b ==时取等号. 故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式，考察转化与规划思想，应用基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.10．如图，在ABC V 中，D 为AB 的中点，E ，F 为BC 的两个三等分点，AE 交CD于点M ，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则FM =u u u u r（ ）A ．171515a b -r rB ．171515a b +r rC ．241515a b -r r D ．241515a b +r r【答案】A【解析】根据共线定理由E ，M ，A 三点共线，设()1FM FE FA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r，则21233FM AB AC λλ--=+u u u u r u u u r u u u r ，同理由D ，M ，C 三点共线，可得()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，建立方程组求解．【详解】连接FA ，FD .由E ，M ，A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r，由题意知()1133FE CB AB AC ==-u u u v u u u v u u u v u u u v， ()22123333FA FB BA CB AB AB AC AB AB AC =+=-=--=--u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v ，所以21233FM AB AC λλ--=+u u u u r u u u r u u u r. 同理由D ，M ，C 三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 所以2132,36213,33λμλμ--⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得3,54,5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而171515FM a b =-u u u u r v r ． 故选：A. 【点睛】此题考查平面向量基本定理的应用，关键在于根据共线定理处理三点共线关系，建立等式求解参数．11．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点A 在第一象限，满足9A B x x =，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°【答案】C【解析】设直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合9A B x x =利用韦达定理即可求解直线斜率得到倾斜角. 【详解】由题意知，直线l 的斜率存在且大于0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 联立2,22,p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得()22222204k p k x k p p x -++=， ∴22A B p x x p k +=+，24A B p x x =.又9A B x x =，∴32A p x =，6B p x =，∴2523A B px x p p k+==+，∴23k =，3k =， ∴倾斜角为60°. 故选：C. 【点睛】此题考查直线与抛物线位置关系，根据交点坐标，结合韦达定理求解参数是解析几何中常用的处理办法.二、双空题12．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动一掰玉米，现将这20名学生平均分成甲､乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重(单位：千克)，得到如下茎叶图：已知两组数据的平均数相同，则x =_________；乙组的中位数为________. 【答案】2 22.5【解析】根据公式计算平均数，将乙组数据从小到大排序，可得中位数. 【详解】由题意，先计算甲组平均数10+12+11+23+21+20+35+30+41+47==2510x 甲，因为=x x 甲乙， 所以101320232021333032462510x ++++++++++=，解得2x =.将乙组数据从小到大排序，可知其中位数为222322.52+=. 故答案为：2；22.5. 【点睛】本题考查统计中的数字特征：平均数､中位数，考查学生的运算能力，是基础题.三、填空题13．某事业单位欲指派甲､乙､丙､丁四人下乡扶贫，每两人一组，分别分配到,A B 两地，单位领导给甲看乙，丙的分配地，给乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地，看后甲对大家说：我还是不知道自己该去哪里，则四人中可以知道自己的分配地的是_________. 【答案】乙､丁【解析】从甲还不知道自己该去哪里开始分析，可得乙､丙必定一个在A 地，一个在B 地，再根据乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地可分析出结果. 【详解】四人知道的情况是：组织分配的名额､自已看到的及最后甲说的话，根据甲说的话可以判断乙､丙必定一个在A 地，一个在B 地；所以甲、丁一个在A 地，一个在B 地. 又给乙看了丙的分配地， 所以乙知道自己的分配地；给丁看了甲的分配地，丁就知道了自己的分配地， 故填乙､丁. 故答案为：乙､丁. 【点睛】本题为简单的逻辑推理问题，考查基本知识与能力，考查学生应用所学知识解决实际问题的能力.14．已知抛物线()2:20C y px p =>，有如下性质：由抛物线焦点F 发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为120︒，过抛物线C 的焦点F ，经反射后，反射光线与xC 的方程为_________.【答案】22y x =或 26y x = 【解析】过F点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，与抛物线联立，求得y ，进而根据条件列方程可得p 的值，则抛物线方程可求. 【详解】过F点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，得y ==y ==从而1p =或3，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =. 故答案为：22y x =或26y x =. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，考查运算能力，是基础题. 15．已知函数[)21()sin ,0,2f x x x ax x =++∈+∞，满足()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为_________. 【答案】[)1,-+∞【解析】由题意可知'()cos f x x x a =++，设()cos h x x x a =++，可得'()1sin 0h x x =-≥，求出()h x 的单调性，分1a ≥-，1a <-讨论，求出()f x 的单调性和最值，进而可得答案. 【详解】由题意可知'()cos f x x x a =++， 设()cos h x x x a =++，则'()1sin 0h x x =-≥，所以()h x 在[)0,+∞上为增函数，(0)1h a =+，（1）当10a +≥，即1a ≥-时，()(0)0h x h ≥≥，从而()f x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()(0)0f x f ≥=恒成立；（2）当10a +<，即1a <-，令2x a =-，则()(2)2cos 20h a a -=+->. 又(0)10h a =+<，所以()00,x ∃∈+∞，使得0()0h x =，从而()f x 在()00,x 上为减函数，当()00,x x ∈时，()(0)0f x f <=，不合题意. 综上a 得取值范围为{}1a a ≥-. 故答案为：[)1,-+∞. 【点睛】本题考查三角函数与导函数的综合问题，考查灵活运用导数处理恒成立问题的能力，是中档题.四、解答题16．如图，ABC ∆为等边三角形，边长为3，D 为边AC 上一点且2AD DC =，过C 作CE BC ⊥交BD 的延长线于点E .（1）求sin ADB ∠的值； （2）求DE 的长. 【答案】（1）32114.（27【解析】（1）在ABD ∆中，由余弦定理求出BD ，结合正弦定理求出ADB ∠的正弦值； （2）在CDE ∆中，应用正弦定理，求出DE . 【详解】（1）由题意可知60,3,2A AB AD =︒==，由余弦定理， 得22212cos 9423272BD AB AD AB AD A =+-⋅=+-⨯⨯⨯= 从而7BD =设ADB CDE θ∠=∠=，在ABD ∆中，由正弦定理，得sin sin AB BD Aθ=，即37sin 3θ=， 得321sin 14θ=； （2）由题意知θ为锐角，所以27cos 1sin 14θθ=-=， 而()3157sin sin 30cos 2E θθθ=+︒=+=， 在CDE ∆中，由正弦定理，得sin 30sin DE CDE=︒，所以11sin 3072sin 557CD DE E ⨯⋅︒===. 【点睛】本题考查解三角形主要应用：（1）三角形固有条件；（2）正､余弦定理；（3）三角形有关公式，是基础题.17．如图，多面体ABCDE 中，CD ⊥平面ABC ，//AE CD ，F 为BE 的中点，2AB BC CA AE ====，1CD =.（1）求证：//DF 平面ABC ； （2）求点F 到平面ABD 的距离. 【答案】（1）见解析；（2）3【解析】（1）通过证明//DF GC 得证线面平行；（2）根据F ABD D ABF V V --=，利用等体积法求解点到平面距离. 【详解】（1）取AB 中点G ，连接FG ，GC ，由题意知F 为BE 中点，∴FG 为ABE △的中位线， ∴1//,2FG AE FG AE =，而1//,2CD AE CD AE =，∴FGCD 为平行四边形， ∴//DF GC ，而GC ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴//DF 平面ABC . （2）∵ABC V 为等边三角形，G 为AB 中点，∴GC AB ⊥. 又∵AE ⊥平面ABC ，GC ⊂平面ABC ，∴GC AE ⊥. 又AE AB A =I ，∴GC ⊥平面ABE .由（1）可得，DF ⊥平面ABE .由2AB AE ==，EA AB ⊥， 可得12222ABE S =⨯⨯=V ，∴1ABF S =V .在Rt BCD V 中，2BC =，1CD =，∴BD =AD =2AB =，易得2ABD S =V ，而DF CG ==F ABD D ABF V V --=，得1133ABD ABF S d S DF ⋅=⋅V V，即d =，∴点F 到平面ABD的距离是2. 【点睛】此题考查线面平行的证明和求解点到平面的距离，关键在于熟练掌握相关定理推理证明，常用换顶点的方式等体积法求解点到平面距离.18．已知椭圆22221x y a b +=()0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F，点P ⎛ ⎝⎭在椭（1）求椭圆的标准方程；（2）直线():0l y kx m k =+≠过椭圆左焦点1F ，与椭圆交于A ，B 两点，求2ABF V 面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）2 【解析】（1）根据离心率和椭圆上的点建立方程组求解； （2）联立直线和椭圆的方程，得出面积2121212ABF S F F y y =⨯⨯-=V 求解面积最值. 【详解】（1）由题意得22222131,42,a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,1,a b =⎧⎨=⎩ ∴椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）由22,440y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得()222214240k y my m k +-+-=， ∵l过()1F ，∴0m +=，即m =，∴()222140ky k +--=，∴12y y +=212214k y y k =-+，∴2121212ABF S F F y y =⨯⨯-=V== 令214k t +=，则1t >且()()()2422222214116162314t t k k t t t t k -+-++-==+，令1p t=，则01p <<，且2222231231321t t p p t t t+-=-⋅++=-++. ∵()0,1p ∈，∴当13p =时，()2max 43213p p -++=， ∴2ABF V2=. 【点睛】此题考查求椭圆的方程，关键在于准确计算基本量，利用韦达定理处理直线和曲线形成弦长问题，转化为函数问题求解面积最值.19．甲､乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始.（1）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率；（2）设第n 次由甲投掷的概率为n p ，求n p .【答案】（1）11831728.（2）1111262n n p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭【解析】（1）搞清两种状况，①第一､第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三，四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，分别计算概率；（2）由第n 次与1n +次的关系，建立递推公式115612n n p p +=+，构造等比数列数列，求出通项公式即可. 【详解】由题意知，投掷两颗骰子，共有36种结果，点数之和大于6的有()()()()()()()()1,6,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,3,4,4()()()()()()()()4,5,4,6,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1()()()()()6,2,6,3,6,4,6,5,6,6共21种.则点数之和大于6的概率为712，小于等于6的概率为512. （1）由题意可知甲成为“幸运儿”的情况有两种：①第一､第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6， 其概率为7711212⨯=， ②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三，四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，其概率为55717511212121728⨯⨯⨯=， 甲为“幸运儿”的概率为717511831217281728+=； （2）第1n +次由甲投掷这一事件，包含两类： ①第n 次由甲投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为2136n p ， ②第n 次由乙投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为()211136n p ⎛⎫--⎪⎝⎭， 从而有()1212115113636612n n n n p p p p +⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭， 1111262n n p p +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭1111111210,122262n n p p p +--=-=≠∴=-Q ∴数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，16为公比的等比数列1111226n n p -⎛⎫∴-=⨯ ⎪⎝⎭，1111262n n p -⎛⎫∴=⨯+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查递推数列在概率统计中的应用，一般考查递推公式求通项公式，虽以概率为背景，实则考查数列较多一些，是一道难度较大的题目. 20．已知函数()()212xa f x xe x =-+. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （2）当0x ≥时，不等式()222xaf x e ≥--恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）增区间为(],1-∞-，[)0,+∞，减区间为()1,0-；（2）(],1-∞- 【解析】（1）求出导函数，结合不等式得函数的单调区间； （2）将问题转化为()()222202xa x e x x --++≥恒成立，利用导函数讨论函数的单调性，分类讨论求解最值，利用最小值大于等于0求解参数取值范围. 【详解】（1）1a =时()()2112xf x xe x =-+， ()()()()()1111x x f x x e x x e =+-+=+-'，若()0f x ¢³，则1x ≤-或0x ≥，若()0f x ¢<，则10x -<<，所以()f x 的增区间为(],1-∞-，[)0,+∞，减区间为()1,0-. （2）由题意得()2202xaf x e -++≥恒成立， 即()()222202xa x e x x --++≥恒成立. 设()()()22222xa h x x e x x =--++， 则()()()11xh x x e a x '=--+，令()()()11xg x x e a x =--+，则()xg x xe a '=-.令()xF x xe a =-，则()()1xF x x e +'=.∵0x ≥，∴()0F x '>，()F x 为[)0,+∞上的增函数，①当0a ≤时，()()00F x F a ≥=-≥， 从而()g x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()()01g x g a ≥=--，当10a --≥，即1a ≤-时，()()00g x g ≥≥，从而()h x 在[)0,+∞上为增函数，∴()()00h x h ≥=恒成立.若10a --<，即10a -<≤时，由()g x 在[)0,+∞上为增函数，且()010g a =--<，()120g a =->，∴在()0,+?上，存在0x 使得()00g x =，从而()h x 在(]00,x 上为减函数， 此时()()00h x h <=，不满足题意.②0a >时，由()F x 在[)0,+∞上为增函数， 且()00F a =-<，()()10aaF a ae a a e =-=->，∴在()0,a 上，存在1x ，使得()10g x =， 从而()g x 在()10,x 上为减函数， 此时()()010g x g a <=--<，∴()h x 在()10,x 上也为减函数，此时()()00h x h <=，不满足题意， 综上所述，a 的取值范围为(],1-∞-. 【点睛】此题考查导函数的应用，利用导函数讨论函数的单调性，分类讨论求解最值，解决不等式的恒成立问题，求解参数，涉及转化与化归，分类讨论思想.21．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数，0απ≤≤)，曲线()22:24C x y -+=.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设l 与C 交于,D E 两点(异于原点)，求OD OE +的最大值.【答案】（1）4cos ρθ=.（2）【解析】（1）展开曲线C 的方程，利用cos ,sin x y ρθρθ==，从而得曲线C 的极坐标方程；（2）在极坐标系下，应用几何意义，确定线段之和，从而求出最值. 【详解】（1）曲线C 可化为2240x x y -+=，即224x y x +=，也即24cos ρρθ=，所以4cos ρθ=所以曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=；（2）由直线l 的参数方程可知，l 必过()2,0点，即圆C 的圆心， 从而2DOE π∠=设()12,,,2D E ρθρθπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其中,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭则124cos 4cos 2OD OE ρρθθπ⎛⎫+=+=++⎪⎝⎭4θπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以当4πθ=-时，OD OE +取得最大值为【点睛】本题考查三种方程间的相互转化，是该类问题的考察对象，应用极坐标求最值问题也是常见方法，要求学生必须掌握，考查了转化与化归思想，是基础题. 22．已知实数,a b 满足0,0a b >>且1a b +=. （1）证明：()()2222119a b a b --≥；（2≤【答案】（1）答案见解析.（2）答案见解析【解析】（1）应用,a b 关系，用一个表示另一个，达到减少变量的目的，从而进行作差比较；另外可应用“1”的代换思想，构造式子，变形为基本不等式的形式，进行证明；（2）设t =1a b +=可得23t =+，利用基本不等式求得最大值，即可证明.【详解】（1）解法1： ()()2222911a b a b ---222281a b a b =++-()()22228111a a a a =-++-- ()3224851a a a a =-+- ()()22121a a a =--10,1,01b a a a =->∴<∴<<Q()()221210a a a ∴--≤从而可得()()2222119a b a b --≥； 解法2：220,0,0a b a b >>∴>Q∴原不等式可化为2211119a b ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1a b +=Q 且0,0a b >>221111a b ⎛⎫⎛⎫∴-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()222222a b a a b b a b +-+-=⨯222222b b a a a a b b ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭225a b b a=++59≥= 当且仅当12a b ==时取等号，得证；（2）设t =，则()()211t a b =++++1a b +=Q22130,0,24a b t a b ab +⎛⎫∴=+>>∴≤=⎪⎝⎭2336 t∴=+≤+=t ∴≤12a b==时等号成立，得证.【点睛】本题考查不等式的证明，考察转化与化归思想，不等式证明问题多与基本不等式有关，用基本不等式证明应思考等号成立的条件，是中档题.。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤5}，B ＝{x |x 2﹣2x ＞3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |3＜x ≤5}B ．|x |﹣1≤x ≤5|C ．{x |x ＜﹣1或x ＞3}D ．R【解答】解：由题意B ＝{x |x ＜﹣1或x ＞3}， 所以A ∩B ＝{x |3＜x ≤5}， 故选：A ．2．（5分）已知复数z 满足i （3+z ）＝1+i ，则z 的虚部为（ ） A ．﹣iB ．iC ．﹣1D ．1【解答】解∵i （3+z ）＝1+i ，∴3+z =1+ii=1−i ， ∴z ＝﹣2﹣i ，∴复数z 的虚部为﹣1． 故选：C ．3．（5分）已知函数f(x)={(x −1)3，x ≤1lnx ，x ＞1，若f （a ）＞f （b ），则下列不等关系正确的是（ ） A ．1a +1＜1b +1B ．√a 3＞√b 3C ．a 2＜abD ．ln （a 2+1）＞ln （b 2+1）【解答】解：易知f （x ）在R 上单调递增，故a ＞b ．因为a ，b 的符号无法判断，故a 2与b 2，a 2与ab 的大小不确定， 所以A ，C ，D 不一定正确；B 中√a 3＞√b 3正确． 故选：B ．4．（5分）国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数（PMI ）如图所示．则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3%【解答】解：从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个， 所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为412=13，所以A 正确；由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，所以B 正确； 12个月的PMI 值的众数为49.4%，所以C 正确； 12个月的PMI 值的中位数为49.6%，所以D 错误． 故选：D ．5．（5分）已知函数f(x)=sin(2x −π4)的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到函数g(x)=sin(2x +π4)的图象，则φ的最小值为（ ） A ．π4B ．3π8C ．π2D ．5π8【解答】解：把函数f(x)=sin(2x −π4)的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到函数y ＝sin （2x +2φ−π4）的图象，即得到g(x)=sin(2x +π4)的图象， ∴2φ−π4=2k π+π4，k ∈Z ，∴φ的最小值为π4，故选：A ．6．（5分）已知数列{a n }满足a n +1﹣a n ＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列．若{a n }的前n 项和为S n ，则S n 的最小值为（ ） A ．﹣10B ．﹣14C ．﹣18D ．﹣20【解答】解：根据题意，可知{a n }为等差数列，公差d ＝2． 由a 1，a 3，a 4成等比数列，可得(a 1+4)2=a 1（a 1+6），解得a 1＝8． 所以S n ＝﹣8n +n(n−1)2×2=(n −92)2−814． 根据单调性，可知当n ＝4或5时，S n 取到最小值，最小值为﹣20． 故选：D ．7．（5分）已知cos （2019π+α）=−√23，则sin （π2−2α）＝（ ）A ．79B ．59C ．−59D ．−79【解答】解：由cos （2019π+α）=−√23，可得cos （π+α）=−√23，∴cos α=√23，∴sin （π2−2α）＝cos2α＝2cos 2α﹣1＝2×29−1=−59．故选：C ．8．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M 点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A ．√5−1B ．√2C ．√3D ．√5【解答】解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1，a ＞0，b ＞0的右顶点为A （a ，0），右焦点为F（c ，0），M 所在直线为x ＝a ，不妨设M （a ，b ）， ∴MF 的中点坐标为（a+c 2，b2）．代入方程可得(a+c 2)2a −(b 2)2b =1，∴(a+c)24a 2=54，∴e 2+2e ﹣4＝0，∴e =√5−1（负值舍去）．故选：A ．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（ ）A ．S ＞﹣1？B ．S ＜0？C ．S ＜﹣1？D ．S ＞0？【解答】解：i ＝1，S ＝1．运行第一次，S ＝1+lg 13=1﹣lg 3＞0，i ＝3，不成立；运行第二次，S ＝1+lg 13+lg 35=1﹣lg 5＞0，i ＝5，不成立；运行第三次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57=1﹣lg 7＞0，i ＝7，不成立；运行第四次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57+lg 79=1﹣lg 9＞0，i ＝9，不成立；运行第五次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57+lg 79+lg 911=1﹣lg 11＜0，i ＝11，成立，输出i 的值为11，结束， 故选：B ．10．（5分）过抛物线E ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，Q （1，2）．若1|AB|+1|CD|=14，则|PF |+|PQ |的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：显然直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝kx +p2，联立方程{y =kx +p2x 2=2py ，消去y 得：x 2﹣2pkx ﹣p 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴x1+x2＝2pk，∴y1+y2=k(x1+x2)+p=2pk2+p，由抛物线的性质可知：|AB|＝y1+y2+p＝2pk2+2p，∵AB⊥CD，∴直线CD的斜率为：−1 k，∴|CD|＝2p（−1k）2+2p=2pk2+2p=2p+2pk2k2，∴1|AB|+1|CD|=12pk2+2p+k22p+2pk2=k2+12p+2pk2=14，∴2p+2pk2＝4+4k2，∴p＝2，∴抛物线方程为：x2＝4y，准线方程为：y＝﹣1，设点P到准线y＝﹣1的距离为d，由抛物线的性质可知：|PF|+|PQ|＝d+|PQ|，而当QP垂直于x轴时，d+|PQ|的值最小，最小值为2+1＝3，如图所示：∴|PF|+|PQ|的最小值为3，故选：C．11．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣ax﹣1，以下结论正确的个数为（）①当a＝0时，函数f（x）的图象的对称中心为（0，﹣1）；②当a≥3时，函数f（x）在（﹣1，1）上为单调递减函数；③若函数f（x）在（﹣1，1）上不单调，则0＜a＜3；④当a＝12时，f（x）在[﹣4，5]上的最大值为15．A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：①幂函数y ＝x 3为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，当a ＝0时，函数f （x ）＝x 3﹣1的图象的对称中心为（0，﹣1），即①正确．②由题意知，f '（x ）＝3x 2﹣a ． 当﹣1＜x ＜1时，3x 2＜3，又a ≥3，所以f '（x ）＜0在（﹣1，1）上恒成立， 所以函数f （x ）在（﹣1，1）上单调递减，即②正确． ③由题意知，f '（x ）＝3x 2﹣a ，当a ≤0时，f '（x ）≥0，此时f （x ）在（﹣∞，+∞）上为增函数，不合题意，故a ＞0． 令f '（x ）＝0，解得x =±√3a3．因为f （x ）在（﹣1，1）上不单调，所以f '（x ）＝0在（﹣1，1）上有解， 所以0＜√3a3＜1，解得0＜a ＜3，即③正确． ④令f '（x ）＝3x 2﹣12＝0，得x ＝±2．当x ∈[﹣4，5]时，f （x ）在[﹣4，﹣2]和[2，5]上单调递增，在（﹣2，2）上单调递减，所以f （x ）max ＝f （﹣2）或f （5），因为f （﹣2）＝15，f （5）＝64，所以最大值为64，即④错误． 故选：C ．12．（5分）已知四棱锥E ﹣ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，ED ＝1，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ） A ．√26B ．13C ．√23D ．1【解答】解：如图所示，由题意可得：ED ⊥平面ABCD 时，△ADE 的面积最大，可得点C 即点D 到平面ABE 的距离最大．此时该四棱锥的体积=13×12×1=13． 故选：B ．二、填空题：本题共4小题．每小题5分．共20分．13．（5分）已知向量a →=（1，1），|b →|=√3，（2a →+b →）•a →=2，则|a →−b →|＝ 3 ． 【解答】解：由题意可得|a →|=√2，(2a →+b →)⋅a →=a →⋅b →+2a →2=a →⋅b →+4， ∴a →⋅b →+4=2，解得a →⋅b →=−2，∴|a →−b →|=√a →2−2a →⋅b →+b →2=3． 故答案为：3．14．（5分）为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三5个班进行班级间的拔河比赛．每两班之间只比赛1场，目前（一）班已赛了4场，（二）班已赛了3场，（三）班已赛了2场，（四）班已赛了1场．则目前（五）班已经参加比赛的场次为 2 ． 【解答】解：根据题意，画图如下，由图可知，目前（五）班已经赛了2场， 故答案为：2．15．（5分）将底面直径为4，高为√3的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为 √3π ．【解答】解：欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为h ，底面半径为r ， 则√3−ℎ√3=r 2，解得h =√3−√32r ． 故S 侧＝2πrh ＝2πr （√3−√3r ）=√3πr （2﹣r ）≤√3π(r+2−r )2=√3π．当r ＝1时，S 侧的最大值为√3π． 故答案为：√3π．16．（5分）如图，已知圆内接四边形ABCD ，其中AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，则2sinA+2sinB=4√103．【解答】解：由圆内接四边形的性质可得∠C ＝π﹣∠A ，∠D ＝π﹣∠B ． 连接BD ，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2+AD 2﹣2AB •AD cos A ． 在△BCD 中，BD 2＝BC 2+CD 2﹣2BC •CD cos C ，所以，AB 2+AD 2﹣2AB •AD cos A ＝BC 2+CD 2+2BC •CD cos A ，cos A =AB 2+AD 2−BC 2−CD 22(AB⋅AD+BC⋅CD)=62+52−32−422(6×5+3×4)=37，所以sin A =√1−cos 2A =√1−(37)2=2√107， 连接AC ，同理可得cos B =AB 2+BC 2−AD 2−CD 22(AB⋅BC+AD⋅CD)=62+32−52−422(6×3+5×4)=119，所以sin B =√1−cos 2B =√1−(119)2=6√1019． 所以2sinA+2sinB=2√10+6√10=4√103． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n }的各项都为正数，a 1＝2，且a n+1a n=2a n a n+1+1．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝[lg （log 2a n ）]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1，求数列{b n }的前2020项和． 【解答】解：（I ）由题意，且a n+1a n=2a n a n+1+1，即a n+12−a n +1a n ﹣2a n 2=0，整理，得（a n +1+a n ）（a n +1﹣2a n ）＝0． ∵数列{a n }的各项都为正数，∴a n +1﹣2a n ＝0，即a n +1＝2a n ．∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2n ．（Ⅱ）由（I ）知，b n ＝[lg （log 2a n ）]＝[lg （log 22n ）]＝[lgn ]，故b n ={0，1≤n ＜101，10≤n ＜1002，100≤n ＜10003，1000≤n ＜2020，n ∈N *．∴数列{b n }的前2020项的和为1×90+2×900+3×1021＝4953．18．（12分）如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面A 1ACC 1，CC 1＝2，△ABC ，△ACC 1，均为正三角形，E 为AB 的中点． （Ⅰ）证明：AC 1∥平面B 1CE ；（Ⅱ）求斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1截去三棱锥B 1﹣﹣CBE 后剩余部分的体积．【解答】解：（Ⅰ）如图，连接BC 1，交B 1C 于点M ，连接ME ，则ME ∥AC 1． 因为AC 1⊄平面B 1CE ，ME ⊂平面B 1CE ，所以AC 1∥平面B 1CE ．（Ⅱ）因为B 1C 1∥平面ABC ，所以点B 1到平面ABC 的距离等于点C 1到平面ABC 的距离． 如图，设O 是AC 的中点，连接OC 1，OB ．因为△ACC 1为正三角形，所以OC 1⊥AC ，又平面ABC ⊥平面A 1ACC 1，平面ABC ∩平面A 1ACC 1＝AC ， 所以OC 1⊥平面ABC ．所以点C 1到平面ABC 的距离OC 1=√3， 故三棱锥B 1﹣BCE 的体积为VB 1−BCE=13S △BCE •OC 1=13×12×1×√3×√3=12， 而斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为V ＝S △ABC •OC 1=12AB •CE •OC 1=12×2×√3×√3=3， 所以剩余部分的体积为3−12=52．19．（12分）近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x （单位：十箱）与成本y （单位：千元）的关系如下：x 1 3 4 6 7 y56.577.58y 与x 可用回归方程y ^=b lgx +a ^（其中a ^，b ^为常数）进行模拟．（Ⅰ）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元．|．（Ⅱ）据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图．（i ）若从箱数在[40，120）内的天数中随机抽取2天，估计恰有1天的水果箱数在[80，120）内的概率；（ⅱ）求这16天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值．（每组用该组区间的中点值作代表）参考数据与公式：设t ＝lgx ，则t y ∑ 5i=1(t i −t)(y i −y)∑ 5i=1(t i −t)20.546.81.530.45线性回归直线y ^=b lgx +a ^中，b =∑ n i=1(t i −t)(y i −y)∑ n i=1(t i −t)2，a ^=y −b t ．【解答】解（Ⅰ）根据题意，b=∑ni=1(t i−t)(y i−y)∑n i=1(t i−t)2=1.530.45=3.4，a=y−b t=6.8−3.4×0.54=4.964，∴y=3.4t+4.964．又t＝lgx，∴y=3.4lgx+4.964．∴x＝10时，y=3.4+4.964=8.364（千元），即该新奇水果100箱的成本为8364元，故该新奇水果100箱的利润15000﹣8364＝6636．（Ⅱ）（i）根据频率分布直方图，可知水果箱数在[40，80）内的天数为1320×40×16=2．设这两天分别为a，b，水果箱数在[80，120）内的天数为1160×40×16=4，设这四天分别为A，B，C，D．∴随机抽取2天的基本结果为：（AB），（AC），（AD），（Aa），（Ab），（BC），（BD），（Ba），（Bb），（CD），（Ca），（Cb），（Da），（Db），（ab）共15种．满足恰有1天的水果箱数在[80，120）内的结果为：（Aa），（Ab），（Ba），（Bb），（Ca），（Cb），（Da），（Db）共8种，所以估计恰有1天的水果箱数在[80，120）内的概率为P=8 15．（ⅱ）这16天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值为：60×1320×40+100×1160×40+140×180×40+180×1320×40=125（箱）．20．（12分）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，M是椭圆E上的一个动点，且△MF1F2的面积的最大值为√3．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若A （a ，0），B （0，b ），四边形ABCD 内接于椭圆E ，AB ∥CD ，记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可知，当M 为椭圆E 的上顶点或下顶点时，△MF 1F 2的面积取得最大值√3．所以{c =112×2c ×b =√3a 2=b 2+c 2，所以a ＝2，b =√3，故椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1．（Ⅱ）根据题意可知A （2，0），B （0，√3），k AB =−√32因为AB ∥CD ，设直线CD 的方程为y =−√32x +m ，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）由{x 24+y 23=1y =−√32x +m，消去y 可得6x 2﹣4√3mx +4m 2﹣12＝0，所以x 1+x 2=2√3m 3，即x 1=2√3m3−x 2． 直线AD 的斜率k 1=y 1x 1−2=−√32x 1+m x 1−2，直线BC 的斜率k 2=−√32x 2+m−√3x 2， 所以k 1k 2=−√32x 1+m x 1−2•−√32x 2+m−√3x 2，=34x 1x 2−√32m(x 1+x 2)+32x 1+m(m−√3)(x 1−2)x 2，=34x 1x 2−√32m⋅2√3m 3+32(2√3m 3−x 2)+m(m−√3)(x 1−2)x 2，=34x 1x 2−32x 2(x 1−2)x 2=34．故k 1k 2为定值．21．（12分）已知直线y ＝x ﹣1是曲线f （x ）＝alnx 的切线． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若t ≤3﹣4ln 2，证明：对于任意m ＞0，ℎ(x)=mx −√x +f(x)+t 有且仅有一个零点．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，f ′（x ）=ax ，设直线y ＝x ﹣1与曲线相切于点P （x 0，y 0）根据题意，可得{ax 0=1alnx 0=x 0−1，解之得x 0＝a ＝1，因此f （x ）＝lnx ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知h （x ）＝mx −√x +lnx +t （x ＞0）， 则当x →0时，h （x ）＜0，当x →+∞时，h （x ）＞0， 所以h （x ）至少有一个零点． h ′（x ）=1x 2x +m ＝m −116+（√x −14）2 ①m ≥116，则h ′（x ）≥0，h （x ）在（0，+∞）上单调递增，所以h （x ）有唯一零点． ②若0＜m ＜116，令h ′（x ）＝0得h （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）， 所以1√x 1＞14，即0＜x 1＜16．可知h （x ）在（0，x 1）上单调递增，在（x 1，x 2）上单调递减，在（x 2，+∞）上单调递增．所以极大值为h （x 1）＝mx 1−√x 1+lnx 1+t ＝（12√x 1−1x 1）x 1−√x 1+lnx 1+t =−√x12−1+lnx 1+t ，又h ′（x 1）=4x +1x 1=4−√x14x 1＞0，所以h （x 1）在（0，16）上单调递增，则h （x 1）＜h （16）＝ln 16﹣3+t ≤ln 16﹣3+3﹣4ln 2＝0，所以h （x ）有唯一零点． 综上可知，对于任意m ＞0时，h （x ）有且仅有一个零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ+8sin θ，P 是C 1上一动点，OP →=2OQ →，Q 的轨迹为C 2． （Ⅰ）求曲线C 2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点M （0，1），直线l 的参数方程为{x =tcosαy =1+tsinα（t 为参数），直线l 与曲线C 2的交点为A ，B ，当|MA |+|MB |取最小值时，求直线l 的普通方程．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，设点P ，Q 的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ）， 则有ρ=12ρ0＝2cos θ+4sin θ，故曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ+4sin θ， 变形可得：ρ2＝2ρcos θ+4ρsin θ，故C 2的直角坐标方程为x 2+y 2＝2x +4y ，即（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5；（Ⅱ）设点A ，B 对应的参数分别为t 1、t 2，则|MA |＝t 1，|MB |＝t 2， 设直线l 的参数方程{x =tcosαy =1+tsinα，（t 为参数）， 代入C 2的直角坐标方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5中， 整理得t 2﹣2（cos α+sin α）t ﹣3＝0．由根与系数的关系得t 1+t 2＝2（cos α+sin α），t 1t 2＝﹣3，则|MA |+|MB |＝|t 1|+|t 2|＝|t 1﹣t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√4(cosα+sinα)2+12=√4sin2α+16≥2√3，当且仅当sin2α＝﹣1时，等号成立， 此时l 的普通方程为x +y ﹣1＝0．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知a ，b ，c ∈R +，∀x ∈R ，不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣2|≤a +b +c 恒成立． （Ⅰ）求证：a 2+b 2+c 2≥13；（Ⅱ）求证：√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2． 【解答】证明：（Ⅰ）∵|x ﹣1|﹣|x ﹣2|≤|x ﹣1﹣x +2|＝1， ∴a +b +c ≥1．∵a 2+b 2≥2ab ，b 2+c 2≥2bc ，c 2+a 2≥2ac ， ∴2a 2+2b 2+2c 2≥2ab +2bc +2ca ，∴3a 2+3b 2+3c 2≥a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca ＝（a +b +c ）2≥1， ∴a 2+b 2+c 2≥13．（Ⅱ）∵a 2+b 2≥2ab ，2（a 2+b 2）≥a 2+2ab +b 2＝（a +b ）2，即a 2+b 2≥(a+b)22两边开平方得√a 2+b 2≥√22|a +b|=√22(a +b)，同理可得√b 2+c 2≥√22(b +c)，√c 2+a 2≥√22(c +a)，三式相加，得√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2．。

绝密★启用前2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟（三）数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．已知集合{}{}222450,20A x x y x y B x x =+-++==+>，则集合A B =U （ ）A ．[)1,+∞B ．[]0,1C ．(],1-∞D ．()0,1答案：A通过配方求出集合A ，解不等式求出集合B ，进而可得并集. 解：对于集合A ：配方得()()22120,1,2x y x y -++=∴==-， 从而{}1A =.对于集合):120,0B >Q20,10>>，解得1x >，()1,B ∴=+∞，从而[)1,A B ∞=+U . 故选：A. 点评：本题考查集合的并集运算，考查运算能力，是基础题. 2．已知z 为z 的共轭复数，若32zi i =+，则z i +=（ ）A ．24i +B ．22i -C ．D ．答案：C先由已知求出z ，进而可得z i +，则复数的模可求.由题意可知3223iz i i+==-， 从而2223,24,2425z i z i i z i =+∴+=+∴+=+=.故选：C. 点评：本题考查复数的运算及共轭复数，命题陷阱：1z +易被看成绝对值，从而导致错选，另外，易疏忽共轭复数的运算.3．某地工商局对辖区内100家饭店进行卫生检查并评分，分为甲、乙、丙、丁四个等级，其中分数在[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100内的等级分别为：丁、丙、乙、甲，对饭店评分后，得到频率分布折线图，如图所示，估计这些饭店得分的平均数是（ ）A ．80.5B ．80.6C ．80.7D ．80.8答案：A根据频率分布折线图计算该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.25⨯+⨯+⨯+⨯.解：由折线图可知，该组数据的平均数为650.15750.4850.2950.2580.5⨯+⨯+⨯+⨯=. 故选：A. 点评：此题考查根据频率分布折线图求平均数，关键在于熟练掌握平均数的求解公式. 4．已知数列{}n a 是等比数列，4a ，8a 是方程2840x x -+=的两根，则6a =（ ） A ．4 B ．2±C ．2D ．2-答案：C根据韦达定理，结合等比数列性质2486a a a =即可得解.∵方程2840x x -+=的两根分别为4a ，8a ， ∴484880,40,a a a a +=>⎧⎨=>⎩∴480,0.a a >⎧⎨>⎩由等比数列性质可知24864a a a ==，∴62a =±.又2640a a q =>，∴62a =.故选：C. 点评：此题考查等比数列性质，根据韦达定理得两根之积，结合等比数列性质求解指定项，易错点在于漏掉考虑符号. 5．已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，12,x x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，131,,,042a f b f c f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c <<答案：D先根据函数(1)f x +是偶函数可得出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，再由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，根据131,,42t t+的大小关系可得函数值的大小. 解：Q 函数(1)f x +是偶函数，∴函数(1)f x +的图象关于直线0x =对称，从而函数()f x 的图象关于直线1x =对称，由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，1744a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t >得12t t +≥，从而1731731,4242t f t f f t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>>>∴+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即b a c <<.本题考查函数的奇偶性与单调性，考查对知识综合运用的能力，本题的根源是函数性质的综合，将奇偶性转化成对称性，结合对称性把变量化归到同一单调区间，从而应用单调性比较函数值的大小.6．已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，若直线m α⊂，直线,,n l m l βαβ⊂⋂=⊥，则m n ⊥是αβ⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要答案：B通过面面垂直的判定和性质分别判断充分性和必要性即可. 解：当//n l 时，若m n ⊥，则不能得到αβ⊥，所以m n ⊥不能推出αβ⊥； 反之，若αβ⊥，因为,,m l m l ααβ⊂⋂=⊥，可推出m β⊥.又n β⊂， 所以m n ⊥，故m n ⊥是αβ⊥的必要不充分条件. 故选：B. 点评：本题考查面面垂直的判定与性质定理，以及充分条件､必要条件的判断，考察空间想象能力.7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．392B ．216C ．20D ．206答案：D在正方体中，根据三视图还原几何体，分别求解各表面的面积即可得解. 解：由三视图可知该几何体为正方体ABCD A B C D ''''-截去一个小三棱锥D AD E -'， 如图.()112232ABCE S =⨯+⨯=，()112232CED C S ''=⨯+⨯=，12222AA D S ''=⨯⨯=V .在AED '△中，22125AE ED ==+='，22AD '=， 可计算AD '边上的高为3， ∴122362AED S '=⨯⨯=V ， 从而可得该几何体的表面积为332634206++++⨯=+. 故选：D. 点评：此题考查根据三视图求几何体的表面积，关键在于准确识别三视图，借助正方体还原几何体.8．如图，已知圆的半径为1，直线l 被圆截得的弦长为2，向圆内随机投一颗沙子，则其落入阴影部分的概率是（ ）A ．1142π-B ．1132π- C ．113π- D ．114π-答案：A根据面积公式求解阴影部分面积，结合几何概型求解概率. 解：由题意知222OA OB AB +=，∴2AOB π∠=，阴影部分面积为142π-， ∴所求事件概率为1114242πππ-=-. 故选：A. 点评：此题考查几何概型，利用面积关系求解概率，关键在于熟练掌握相关面积公式及求解方9．已知实数,a b 满足,a b R +∈，且31a b +=，则()1924a b a b +++的最小值为（ ） A ．173B ．174C ．163D ．194答案：C由31a b +=得()()283a b a b +++=，变形()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭，展开，利用基本不等式即可求最值. 解：因为31a b +=，所以393a b +=，即()()283a b a b +++=，()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭ ()()()928111610102924333a b a b a b a b ⎡⎤++=++⨯≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当()283a b a b +=+即51,88a b ==时取等号. 故选：C. 点评：本题考查基本不等式，考察转化与规划思想，应用基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.10．如图，在ABC V 中，D 为AB 的中点，E ，F 为BC 的两个三等分点，AE 交CD于点M ，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则FM =u u u u r（ ）A ．171515a b -r rB ．171515a b +r rC ．241515a b -r rD ．241515a b +r r答案：A21233FM AB AC λλ--=+u u u u r u u u r u u u r ，同理由D ，M ，C 三点共线，可得()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，建立方程组求解．解：连接FA ，FD .由E ，M ，A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r，由题意知()1133FE CB AB AC ==-u u u v u u u v u u u v u u u v ，()22123333FA FB BA CB AB AB AC AB AB AC =+=-=--=--u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v ，所以21233FM AB AC λλ--=+u u u u r u u u r u u u r. 同理由D ，M ，C 三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r， 所以2132,36213,33λμλμ--⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得3,54,5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而171515FM a b =-u u u u r v r ． 故选：A. 点评：此题考查平面向量基本定理的应用，关键在于根据共线定理处理三点共线关系，建立等式求解参数．11．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点A 在第一象限，满足9A B x x =，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°答案：C设直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合9A B x x =利用韦达定理即可求解直线斜率得到倾斜角. 解：p ⎛⎫联立2,22,p yk x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得()22222204k p k x k p p x -++=， ∴22A B p x x p k +=+，24A B p x x =.又9A B x x =，∴32A p x =，6B p x =，∴2523A B px x p p k+==+，∴23k =，3k =， ∴倾斜角为60°. 故选：C. 点评：此题考查直线与抛物线位置关系，根据交点坐标，结合韦达定理求解参数是解析几何中常用的处理办法.二、双空题12．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动一掰玉米，现将这20名学生平均分成甲､乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重(单位：千克)，得到如下茎叶图：已知两组数据的平均数相同，则x =_________；乙组的中位数为________. 答案：2 22.5根据公式计算平均数，将乙组数据从小到大排序，可得中位数. 解：由题意，先计算甲组平均数10+12+11+23+21+20+35+30+41+47==2510x 甲，因为=x x 甲乙， 所以101320232021333032462510x ++++++++++=，解得2x =.2223+。

天一大联考2020届高三年级下学期第一次模拟考试文科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤5}，B ＝{x |x 2﹣2x ＞3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |3＜x ≤5}B ．|x |﹣1≤x ≤5|C ．{x |x ＜﹣1或x ＞3}D ．R2．已知复数z 满足i （3+z ）＝1+i ，则z 的虚部为（ ） A ．﹣iB ．iC ．﹣1D ．13．已知函数f (f )={(f −1)3，f ≤1fff，f＞1，若f （a ）＞f （b ），则下列不等关系正确的是（ ）A ．1f 2+1＜1f 2+1 B ．√f 3＞√f 3C ．a 2＜abD ．ln （a 2+1）＞ln （b 2+1）4．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数（PMI ）如下图所示．则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13 B ．12个月的PMI 值的平均值低于50% C ．12个月的PMI 值的众数为49.4% D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3%5．已知函数f (f )=fff (2f −f4)的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到函数f (f )=fff (2f +f4)的图象，则φ的最小值为（ ）A ．f4B ．3f8C ．f2D ．5f 86．已知数列{a n }满足a n +1﹣a n ＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列．若{a n }的前n 项和为S n ，则S n 的最小值为（ ） A ．﹣10B ．﹣14C ．﹣18D ．﹣207．已知cos （2019π+α）=−√23，则sin （f2−2α）＝（ ） A ．79B ．59C ．−59D ．−798．已知双曲线f：f 2f2−f 2f2=1(f＞0，f＞0)的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M 点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A ．√5−1B ．√2C ．√3D ．√59．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（ ）A ．S ＞﹣1？B ．S ＜0？C ．S ＜﹣1？D ．S ＞0？10．过抛物线E ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，Q （1，2）．若1|ff |+1|ff |=14，则|PF |+|PQ |的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数f （x ）＝x 3﹣ax ﹣1，以下结论正确的个数为（ ） ①当a ＝0时，函数f （x ）的图象的对称中心为（0，﹣1）； ②当a ≥3时，函数f （x ）在（﹣1，1）上为单调递减函数； ③若函数f （x ）在（﹣1，1）上不单调，则0＜a ＜3； ④当a ＝12时，f （x ）在[﹣4，5]上的最大值为15． A ．1B ．2C ．3D ．412．已知四棱锥E ﹣ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，ED ＝1，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ）A ．√26B ．13C ．√23D ．1二、填空题：本题共4小题．每小题5分．共20分．13．已知向量f →=（1，1），|f →|=√3，（2f →+f →）•f→=2，则|f →−f →|＝ ． 14．为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三5个班进行班级间的拔河比赛．每两班之间只比赛1场，目前（一）班已赛了4场，（二）班已赛了3场，（三）班已赛了2场，（四）班已赛了1场．则目前（五）班已经参加比赛的场次为．15．将底面直径为4，高为√3的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为．16．如图，已知圆内接四边形ABCD，其中AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5，则2ffff +2ffff=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的各项都为正数，a1＝2，且f f+1f f =2f ff f+1+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝[lg（log2a n）]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1，求数列{b n}的前2020项和．18．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面A1ACC1，CC1＝2，△ABC，△ACC1，均为正三角形，E 为AB的中点．（Ⅰ）证明：AC1∥平面B1CE；（Ⅱ）求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1截去三棱锥B1﹣﹣CBE后剩余部分的体积．19．近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x（单位：十箱）与成本y （单位：千元）的关系如下：x 1 3 4 6 7y 5 6.5 7 7.5 8y与x可用回归方程f^=f f fff+f^（其中f^，f^为常数）进行模拟．（Ⅰ）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元．|．（Ⅱ）据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图．（i ）若从箱数在[40，120）内的天数中随机抽取2天，估计恰有1天的水果箱数在[80，120）内的概率； （ⅱ）求这16天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值．（每组用该组区间的中点值作代表）参考数据与公式：设t ＝lgx ，则f f∑ 5f =1(f f −f )(f f −f )∑ 5f =1(f f −f )20.546.8 1.530.45线性回归直线f^=ff fff +f ^中，f f =∑ f f =1(f f −f )(f f −f )∑ f f =1(f f −f )2，f^=f −f f f ．20．已知椭圆f：f 2f 2+f 2f 2=1(f＞f＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2，M 是椭圆E 上的一个动点，且△MF 1F 2的面积的最大值为√3． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若A （a ，0），B （0，b ），四边形ABCD 内接于椭圆E ，AB ∥CD ，记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．21．已知直线y ＝x ﹣1是曲线f （x ）＝alnx 的切线． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若t ≤3﹣4ln 2，证明：对于任意m ＞0，ℎ(f )=ff −√f +f (f )+f 有且仅有一个零点． （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以直角坐标系xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ+8sin θ，P 是C 1上一动点，ff→=2ff →，Q 的轨迹为C 2． （Ⅰ）求曲线C 2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点M （0，1），直线l 的参数方程为{f =fffff f =1+fffff （t 为参数），直线l 与曲线C 2的交点为A ，B ，当|MA |+|MB |取最小值时，求直线l 的普通方程． [选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分10分）23．已知a ，b ，c ∈R +，∀x ∈R ，不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣2|≤a +b +c 恒成立． （Ⅰ）求证：f 2+f 2+f 2≥13（Ⅱ）求证：√2+2+√2+2+√2+2≥√2．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．由题意B ＝{x |x ＜﹣1或x ＞3}， 所以A ∩B ＝{x |3＜x ≤5}， 故选：A ．2．解∵i （3+z ）＝1+i ，∴3+z =1+f f=1−f ，∴z ＝﹣2﹣i ， ∴复数z 的虚部为﹣1． 故选：C ．3．易知f （x ）在R 上单调递增，故a ＞b ．因为a ，b 的符号无法判断，故a 2与b 2，a 2与ab 的大小不确定， 所以A ，C ，D 不一定正确；B 中√f 3＞√f 3正确． 故选：B ．4．从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个， 所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为412=13，所以A 正确； 由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，所以B 正确； 12个月的PMI 值的众数为49.4%，所以C 正确； 12个月的PMI 值的中位数为49.6%，所以D 错误． 故选：D ．5．把函数f (f )=fff (2f −f4)的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到函数y ＝sin （2x +2φ−f4）的图象，即得到f (f )=fff (2f +f4)的图象， ∴2φ−f 4=2k π+f 4，k ∈Z ，∴φ的最小值为f4，故选：A ．6．根据题意，可知{a n }为等差数列，公差d ＝2．由a 1，a 3，a 4成等比数列，可得(f 1+4)2=a 1（a 1+6），解得a 1＝8． 所以S n ＝﹣8n +f (f −1)2×2=(f −92)2−814．根据单调性，可知当n ＝4或5时，S n 取到最小值，最小值为﹣20． 故选：D ．7．由cos （2019π+α）=−√23，可得cos （π+α）=−√23， ∴cos α=√23，∴sin （f 2−2α）＝cos2α＝2cos 2α﹣1＝2×29−1=−59． 故选：C ． 8．双曲线C ：f 2f 2−f 2f2=1，a ＞0，b ＞0的右顶点为A （a ，0），右焦点为A （c ，0），M 所在直线为x ＝a ，不妨设M （a ，b ），∴MF 的中点坐标为（f +f 2，f2）． 代入方程可得(f +f 2)2f 2−(f 2)2f 2=1，∴(f +f )24f 2=54，∴e 2+2e ﹣4＝0，∴e =√5−1（负值舍去）．故选：A ． 9．i ＝1，S ＝1．运行第一次，S ＝1+lg 13=1﹣lg 3＞0，i ＝3，不成立； 运行第二次，S ＝1+lg 13+lg 35=1﹣lg 5＞0，i ＝5，不成立； 运行第三次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57=1﹣lg 7＞0，i ＝7，不成立； 运行第四次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57+lg 79=1﹣lg 9＞0，i ＝9，不成立； 运行第五次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57+lg 79+lg 911=1﹣lg 11＜0，i ＝11，成立， 输出i 的值为11，结束， 故选：B ．10．显然直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝kx +f2，联立方程{f =ff +f2f 2=2ff，消去y 得：x 2﹣2pkx ﹣p 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∴x 1+x 2＝2pk ，∴f 1+f 2=f (f 1+f 2)+f =2ff 2+f ， 由抛物线的性质可知：|AB |＝y 1+y 2+p ＝2pk 2+2p ， ∵AB ⊥CD ，∴直线CD 的斜率为：−1f ，∴|CD |＝2p （−1f ）2+2p =2f f 2+2f=2f +2ff 2f 2， ∴1|ff |+1|ff |=12ff 2+2f +f 22f +2ff 2=f 2+12f +2ff 2=14，∴2p +2pk 2＝4+4k 2， ∴p ＝2，∴抛物线方程为：x 2＝4y ，准线方程为：y ＝﹣1，设点P 到准线y ＝﹣1的距离为d ，由抛物线的性质可知：|PF |+|PQ |＝d +|PQ |， 而当QP 垂直于x 轴时，d +|PQ |的值最小，最小值为2+1＝3，如图所示： ∴|PF |+|PQ |的最小值为3， 故选：C ．11．①幂函数y ＝x 3为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，当a ＝0时，函数f （x ）＝x 3﹣1的图象的对称中心为（0，﹣1），即①正确． ②由题意知，f '（x ）＝3x 2﹣a ． 当﹣1＜x ＜1时，3x 2＜3，又a≥3，所以f'（x）＜0在（﹣1，1）上恒成立，所以函数f（x）在（﹣1，1）上单调递减，即②正确．③由题意知，f'（x）＝3x2﹣a，当a≤0时，f'（x）≥0，此时f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，不合题意，故a＞0．令f'（x）＝0，解得f=±√3f3．因为f（x）在（﹣1，1）上不单调，所以f'（x）＝0在（﹣1，1）上有解，所以0＜√3f3＜1，解得0＜a＜3，即③正确．④令f'（x）＝3x2﹣12＝0，得x＝±2．当x∈[﹣4，5]时，f（x）在[﹣4，﹣2]和[2，5]上单调递增，在（﹣2，2）上单调递减，所以f（x）max＝f（﹣2）或f（5），因为f（﹣2）＝15，f（5）＝64，所以最大值为64，即④错误．故选：C．12．如图所示，由题意可得：ED⊥平面ABCD时，△ADE的面积最大，可得点C即点D到平面ABE的距离最大．此时该四棱锥的体积=13×12×1=13．故选：B．二、填空题：本题共4小题．每小题5分．共20分．13．由题意可得|f→|=√2，(2f→+f→)⋅f→=f→⋅f→+2f→2=f→⋅f→+4，∴f→⋅f→+4=2，解得f→⋅f→=−2，∴|f→−f→|=√f→2−2f→⋅f→+f→2=3．故答案为：3．14．根据题意，画图如下，由图可知，目前（五）班已经赛了2场， 故答案为：2．15．欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为h ，底面半径为r ， 则√3−f √3=f 2，解得h =√3−√32r ．故S 侧＝2πrh ＝2πr （√3−√32r ）=√3πr （2﹣r ）≤√3π(f +2−f 2)2=√3f ．当r ＝1时，S 侧的最大值为√3f ． 故答案为：√3f ．16．由圆内接四边形的性质可得∠C ＝π﹣∠A ，∠D ＝π﹣∠B ． 连接BD ，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2+AD 2﹣2AB •AD cos A ． 在△BCD 中，BD 2＝BC 2+CD 2﹣2BC •CD cos C ，所以，AB 2+AD 2﹣2AB •AD cos A ＝BC 2+CD 2+2BC •CD cos A ， cos A =ff 2+ff 2−ff 2−ff 22(ff ⋅ff +ff ⋅ff )=62+52−32−422(6×5+3×4)=37，所以sin A =√2=√1−(37)2=2√107， 连接AC ，同理可得cos B =ff 2+ff 2−ff 2−ff 22(ff ⋅ff +ff ⋅ff )=62+32−52−422(6×3+5×4)=119，所以sin B =√1−fff 2f =√1−(119)2=6√1019． 所以2ffff +2ffff =+=4√103． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（I ）由题意，且f f +1f f=2f fff +1+1，即f f +12−a n +1a n ﹣2f f 2=0，整理，得（a n +1+a n ）（a n +1﹣2a n ）＝0． ∵数列{a n }的各项都为正数， ∴a n +1﹣2a n ＝0，即a n +1＝2a n ．∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2n．（Ⅱ）由（I ）知，b n ＝[lg （log 2a n ）]＝[lg （log 22n）]＝[lgn ]，故b n ={0，1≤f＜101，10≤f＜1002，100≤f＜10003，1000≤f＜2020，n ∈N *．∴数列{b n }的前2020项的和为1×90+2×900+3×1021＝4953． 18．（Ⅰ）如图，连接BC 1，交B 1C 于点M ，连接ME ，则ME ∥AC 1． 因为AC 1⊄平面B 1CE ，ME ⊂平面B 1CE ，所以AC 1∥平面B 1CE ．（Ⅱ）因为B 1C 1平面ABC ，所以点B 1到平面ABC 的距离等于点C 1到平面ABC 的距离． 如图，设O 是AC 的中点，连接OC 1，OB ． 因为△ACC 1为正三角形，所以OC 1⊥AC ，又平面ABC ⊥平面A 1ACC 1，平面ABC ∩平面A 1ACC 1＝AC ， 所以OC 1⊥平面ABC ．所以点C 1到平面ABC 的距离OC 1=√3， 故三棱锥B 1﹣BCE 的体积为Vf 1−fff=13S △BCE •OC 1=13×12×1×√3×√3=12，而斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为V ＝S △ABC •OC 1=12AB •CE •OC 1=12×2×√3×√3=3， 所以剩余部分的体积为3−12=52．19．解（Ⅰ）根据题意，ff =∑ f f =1(f f −f )(f f −f )∑ f f =1(f f −f )2=1.530.45=3.4，ff =f −f f f =6.8−3.4×0.54=4.964， ∴ff =3.4f +4.964． 又t ＝lgx ，∴ff =3.4fff +4.964． ∴x ＝10时，f f =3.4+4.964=8.364（千元），即该新奇水果100箱的成本为8364元，故该新奇水果100箱的利润15000﹣8364＝6636． （Ⅱ）（i ）根据频率分布直方图，可知水果箱数在[40，80）内的天数为1320×40×16=2．设这两天分别为a ，b ，水果箱数在[80，120）内的天数为1160×40×16=4， 设这四天分别为A ，B ，C ，D ．∴随机抽取2天的基本结果为：（AB ），（AC ），（AD ），（Aa ），（Ab ），（BC ），（BD ），（Ba ），（Bb ）， （CD ），（Ca ），（Cb ），（Da ），（Db ），（ab ）共15种．满足恰有1天的水果箱数在[80，120）内的结果为：（Aa ），（Ab ），（Ba ），（Bb ），（Ca ），（Cb ），（Da ），（Db ）共8种，所以估计恰有1天的水果箱数在[80，120）内的概率为P =815． （ⅱ）这16天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值为：60×1320×40+100×1160×40+140×180×40+180×1320×40=125（箱）．20．（Ⅰ）设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可知，当M 为椭圆E 的上顶点或下顶点时，△MF 1F 2的面积取得最大值√3．所以{f =112×2f ×f =√3f 2=f 2+f 2，所以a ＝2，b =√3，故椭圆E 的标准方程为f 24+f 23=1．（Ⅱ）根据题意可知A （2，0），B （0，√3），k AB =−√32 因为AB ∥CD ，设直线CD 的方程为y =−√32f +f ，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）由{f 24+f 23=1f =−√32f +f，消去y 可得6x 2﹣4√3ff +4m 2﹣12＝0，所以x 1+x 2=2√3f3，即x 1=2√3f3−x 2． 直线AD 的斜率k 1=f 1f 1−2=−√32f 1+ff 1−2，直线BC 的斜率k 2=−√32f 2+f −√3f 2， 所以k 1k 2=−√32f 1+f f 1−2•−√32f 2+f −√3f 2， =34f 1f 2−√32f (f 1+f 2)+32f 1+f (f −√3)(f 1−2)f 2， =34f 1f 2−√32f ⋅2√3f 3+32(2√3f 3−f 2)+f (f −√3)(f 1−2)f 2，=34f 1f 2−32f 2(f 1−2)f 2=34．故k 1k 2为定值．21．（Ⅰ）根据题意，f ′（x ）=f f，设直线y ＝x ﹣1与曲线相切于点P （x 0，y 0）根据题意，可得{ff 0=1ffff 0=f 0−1，解之得x 0＝a ＝1，因此f （x ）＝lnx ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知h （x ）＝mx −√f +lnx +t （x ＞0）， 则当x →0时，h （x ）＜0，当x →+∞时，h （x ）＞0， 所以h （x ）至少有一个零点．h ′（x ）=1f 2f m ＝m −116+（√f14）2①m ≥116，则h ′（x ）≥0，h （x ）在（0，+∞）上单调递增，所以h （x ）有唯一零点． ②若0＜m ＜116，令h ′（x ）＝0得h （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）， 所以√f 14，即0＜x 1＜16．可知h （x ）在（0，x 1）上单调递增，在（x 1，x 2）上单调递减，在（x 2，+∞）上单调递增． 所以极大值为h （x 1）＝mx 1−√f 1+lnx 1+t ＝（2√f 1f 1）x 1−√f 1+lnx 1+t =−√f 12−1+lnx 1+t ，又h ′（x 1）=4√f 1f 1=4−√f 14f 1＞0， 所以h （x 1）在（0，16）上单调递增，则h （x 1）＜h （16）＝ln 16﹣3+t ≤ln 16﹣3+3﹣4ln 2＝0，所以h （x ）有唯一零点． 综上可知，对于任意m ＞0时，h （x ）有且仅有一个零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（Ⅰ）根据题意，设点P ，Q 的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ），则有ρ=12ρ0＝2cos θ+4sin θ，故曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ+4sin θ， 变形可得：ρ2＝2ρcos θ+4ρsin θ，故C 2的直角坐标方程为x 2+y 2＝2x +4y ，即（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5； （Ⅱ）设点A ，B 对应的参数分别为t 1、t 2，则|MA |＝t 1，|MB |＝t 2，设直线l 的参数方程{f =ffffff =1+fffff ，（t 为参数），代入C 2的直角坐标方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5中， 整理得t 2﹣2（cos α+sin α）t ﹣3＝0．由根与系数的关系得t 1+t 2＝2（cos α+sin α），t 1t 2＝﹣3，则|MA |+|MB |＝|t 1|+|t 2|＝|t 1﹣t 2|=√(f 1+f 2)2−4f 1f 2=√4(ffff +ffff )2+12=√4fff2f+16≥2√3，当且仅当sin2α＝﹣1时，等号成立，此时l的普通方程为x+y﹣1＝0．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分10分）23．证明：（Ⅰ）∵|x﹣1|﹣|x﹣2|≤|x﹣1﹣x+2|＝1，∴a+b+c≥1．∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ac，∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca，∴3a2+3b2+3c2≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝（a+b+c）2≥1，∴f2+f2+f2≥13．（Ⅱ）∵a2+b2≥2ab，2（a2+b2）≥a2+2ab+b2＝（a+b）2，即f2+f2≥(f+f)22两边开平方得√f2+f2≥√22|f+f|=√22(f+f)，同理可得√f2+f2≥√22(f+f)，√f2+f2≥√22(f+f)，三式相加，得√f2+f2+√f2+f2+√f2+f2≥√2．。

天一大联考2020届高三年级下学期第一次模拟考试文科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |﹣1≤x ≤5}，B ＝{x |x 2﹣2x ＞3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |3＜x ≤5}B ．|x |﹣1≤x ≤5|C ．{x |x ＜﹣1或x ＞3}D ．R2．已知复数z 满足i （3+z ）＝1+i ，则z 的虚部为（ ） A ．﹣iB ．iC ．﹣1D ．13．已知函数f (f )={(f −1)3，f ≤1fff，f＞1，若f （a ）＞f （b ），则下列不等关系正确的是（ ）A ．1f 2+1＜1f 2+1 B ．√f 3＞√f 3C ．a 2＜abD ．ln （a 2+1）＞ln （b 2+1）4．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数（PMI ）如下图所示．则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13 B ．12个月的PMI 值的平均值低于50% C ．12个月的PMI 值的众数为49.4% D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3%5．已知函数f (f )=fff (2f −f4)的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到函数f (f )=fff (2f +f4)的图象，则φ的最小值为（ ）A ．f4B ．3f8C ．f2D ．5f 86．已知数列{a n }满足a n +1﹣a n ＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列．若{a n }的前n 项和为S n ，则S n 的最小值为（ ） A ．﹣10B ．﹣14C ．﹣18D ．﹣207．已知cos （2019π+α）=−√23，则sin （f2−2α）＝（ ） A ．79B ．59C ．−59D ．−798．已知双曲线f：f 2f2−f 2f2=1(f＞0，f＞0)的右焦点为F ，过右顶点A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M 点，MF 的中点恰好在双曲线C 上，则C 的离心率为（ ） A ．√5−1B ．√2C ．√3D ．√59．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（ ）A ．S ＞﹣1？B ．S ＜0？C ．S ＜﹣1？D ．S ＞0？10．过抛物线E ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ，设P 为抛物线上的一动点，Q （1，2）．若1|ff |+1|ff |=14，则|PF |+|PQ |的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．已知函数f （x ）＝x 3﹣ax ﹣1，以下结论正确的个数为（ ） ①当a ＝0时，函数f （x ）的图象的对称中心为（0，﹣1）； ②当a ≥3时，函数f （x ）在（﹣1，1）上为单调递减函数； ③若函数f （x ）在（﹣1，1）上不单调，则0＜a ＜3； ④当a ＝12时，f （x ）在[﹣4，5]上的最大值为15． A ．1B ．2C ．3D ．412．已知四棱锥E ﹣ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，ED ＝1，平面ECD ⊥平面ABCD ，当点C 到平面ABE 的距离最大时，该四棱锥的体积为（ ）A ．√26B ．13C ．√23D ．1二、填空题：本题共4小题．每小题5分．共20分．13．已知向量f →=（1，1），|f →|=√3，（2f →+f →）•f→=2，则|f →−f →|＝ ． 14．为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三5个班进行班级间的拔河比赛．每两班之间只比赛1场，目前（一）班已赛了4场，（二）班已赛了3场，（三）班已赛了2场，（四）班已赛了1场．则目前（五）班已经参加比赛的场次为．15．将底面直径为4，高为√3的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为．16．如图，已知圆内接四边形ABCD，其中AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5，则2ffff +2ffff=．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的各项都为正数，a1＝2，且f f+1f f =2f ff f+1+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝[lg（log2a n）]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1，求数列{b n}的前2020项和．18．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面A1ACC1，CC1＝2，△ABC，△ACC1，均为正三角形，E 为AB的中点．（Ⅰ）证明：AC1∥平面B1CE；（Ⅱ）求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1截去三棱锥B1﹣﹣CBE后剩余部分的体积．19．近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x（单位：十箱）与成本y （单位：千元）的关系如下：x 1 3 4 6 7y 5 6.5 7 7.5 8y与x可用回归方程f^=f f fff+f^（其中f^，f^为常数）进行模拟．（Ⅰ）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元．|．（Ⅱ）据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图．（i ）若从箱数在[40，120）内的天数中随机抽取2天，估计恰有1天的水果箱数在[80，120）内的概率； （ⅱ）求这16天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值．（每组用该组区间的中点值作代表）参考数据与公式：设t ＝lgx ，则f f∑ 5f =1(f f −f )(f f −f )∑ 5f =1(f f −f )20.546.8 1.530.45线性回归直线f^=ff fff +f ^中，f f =∑ f f =1(f f −f )(f f −f )∑ f f =1(f f −f )2，f^=f −f f f ．20．已知椭圆f：f 2f 2+f 2f 2=1(f＞f＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝2，M 是椭圆E 上的一个动点，且△MF 1F 2的面积的最大值为√3． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若A （a ，0），B （0，b ），四边形ABCD 内接于椭圆E ，AB ∥CD ，记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．21．已知直线y ＝x ﹣1是曲线f （x ）＝alnx 的切线． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）若t ≤3﹣4ln 2，证明：对于任意m ＞0，ℎ(f )=ff −√f +f (f )+f 有且仅有一个零点． （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以直角坐标系xOy 的原点为极坐标系的极点，x 轴的正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ+8sin θ，P 是C 1上一动点，ff→=2ff →，Q 的轨迹为C 2． （Ⅰ）求曲线C 2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点M （0，1），直线l 的参数方程为{f =fffff f =1+fffff （t 为参数），直线l 与曲线C 2的交点为A ，B ，当|MA |+|MB |取最小值时，求直线l 的普通方程． [选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分10分）23．已知a ，b ，c ∈R +，∀x ∈R ，不等式|x ﹣1|﹣|x ﹣2|≤a +b +c 恒成立． （Ⅰ）求证：f 2+f 2+f 2≥13（Ⅱ）求证：√2+2+√2+2+√2+2≥√2．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．由题意B ＝{x |x ＜﹣1或x ＞3}， 所以A ∩B ＝{x |3＜x ≤5}， 故选：A ．2．解∵i （3+z ）＝1+i ，∴3+z =1+f f=1−f ，∴z ＝﹣2﹣i ， ∴复数z 的虚部为﹣1． 故选：C ．3．易知f （x ）在R 上单调递增，故a ＞b ．因为a ，b 的符号无法判断，故a 2与b 2，a 2与ab 的大小不确定， 所以A ，C ，D 不一定正确；B 中√f 3＞√f 3正确． 故选：B ．4．从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个， 所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为412=13，所以A 正确； 由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，所以B 正确； 12个月的PMI 值的众数为49.4%，所以C 正确； 12个月的PMI 值的中位数为49.6%，所以D 错误． 故选：D ．5．把函数f (f )=fff (2f −f4)的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到函数y ＝sin （2x +2φ−f4）的图象，即得到f (f )=fff (2f +f4)的图象， ∴2φ−f 4=2k π+f 4，k ∈Z ，∴φ的最小值为f4，故选：A ．6．根据题意，可知{a n }为等差数列，公差d ＝2．由a 1，a 3，a 4成等比数列，可得(f 1+4)2=a 1（a 1+6），解得a 1＝8． 所以S n ＝﹣8n +f (f −1)2×2=(f −92)2−814．根据单调性，可知当n ＝4或5时，S n 取到最小值，最小值为﹣20． 故选：D ．7．由cos （2019π+α）=−√23，可得cos （π+α）=−√23， ∴cos α=√23，∴sin （f 2−2α）＝cos2α＝2cos 2α﹣1＝2×29−1=−59． 故选：C ． 8．双曲线C ：f 2f 2−f 2f2=1，a ＞0，b ＞0的右顶点为A （a ，0），右焦点为A （c ，0），M 所在直线为x ＝a ，不妨设M （a ，b ），∴MF 的中点坐标为（f +f 2，f2）． 代入方程可得(f +f 2)2f 2−(f 2)2f 2=1，∴(f +f )24f 2=54，∴e 2+2e ﹣4＝0，∴e =√5−1（负值舍去）．故选：A ． 9．i ＝1，S ＝1．运行第一次，S ＝1+lg 13=1﹣lg 3＞0，i ＝3，不成立； 运行第二次，S ＝1+lg 13+lg 35=1﹣lg 5＞0，i ＝5，不成立； 运行第三次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57=1﹣lg 7＞0，i ＝7，不成立； 运行第四次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57+lg 79=1﹣lg 9＞0，i ＝9，不成立； 运行第五次，S ＝1+lg 13+lg 35+lg 57+lg 79+lg 911=1﹣lg 11＜0，i ＝11，成立， 输出i 的值为11，结束， 故选：B ．10．显然直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝kx +f2，联立方程{f =ff +f2f 2=2ff，消去y 得：x 2﹣2pkx ﹣p 2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∴x 1+x 2＝2pk ，∴f 1+f 2=f (f 1+f 2)+f =2ff 2+f ， 由抛物线的性质可知：|AB |＝y 1+y 2+p ＝2pk 2+2p ， ∵AB ⊥CD ，∴直线CD 的斜率为：−1f ，∴|CD |＝2p （−1f ）2+2p =2f f 2+2f=2f +2ff 2f 2， ∴1|ff |+1|ff |=12ff 2+2f +f 22f +2ff 2=f 2+12f +2ff 2=14，∴2p +2pk 2＝4+4k 2， ∴p ＝2，∴抛物线方程为：x 2＝4y ，准线方程为：y ＝﹣1，设点P 到准线y ＝﹣1的距离为d ，由抛物线的性质可知：|PF |+|PQ |＝d +|PQ |， 而当QP 垂直于x 轴时，d +|PQ |的值最小，最小值为2+1＝3，如图所示： ∴|PF |+|PQ |的最小值为3， 故选：C ．11．①幂函数y ＝x 3为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，当a ＝0时，函数f （x ）＝x 3﹣1的图象的对称中心为（0，﹣1），即①正确． ②由题意知，f '（x ）＝3x 2﹣a ． 当﹣1＜x ＜1时，3x 2＜3，又a≥3，所以f'（x）＜0在（﹣1，1）上恒成立，所以函数f（x）在（﹣1，1）上单调递减，即②正确．③由题意知，f'（x）＝3x2﹣a，当a≤0时，f'（x）≥0，此时f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，不合题意，故a＞0．令f'（x）＝0，解得f=±√3f3．因为f（x）在（﹣1，1）上不单调，所以f'（x）＝0在（﹣1，1）上有解，所以0＜√3f3＜1，解得0＜a＜3，即③正确．④令f'（x）＝3x2﹣12＝0，得x＝±2．当x∈[﹣4，5]时，f（x）在[﹣4，﹣2]和[2，5]上单调递增，在（﹣2，2）上单调递减，所以f（x）max＝f（﹣2）或f（5），因为f（﹣2）＝15，f（5）＝64，所以最大值为64，即④错误．故选：C．12．如图所示，由题意可得：ED⊥平面ABCD时，△ADE的面积最大，可得点C即点D到平面ABE的距离最大．此时该四棱锥的体积=13×12×1=13．故选：B．二、填空题：本题共4小题．每小题5分．共20分．13．由题意可得|f→|=√2，(2f→+f→)⋅f→=f→⋅f→+2f→2=f→⋅f→+4，∴f→⋅f→+4=2，解得f→⋅f→=−2，∴|f→−f→|=√f→2−2f→⋅f→+f→2=3．故答案为：3．14．根据题意，画图如下，由图可知，目前（五）班已经赛了2场， 故答案为：2．15．欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为h ，底面半径为r ， 则√3−f √3=f 2，解得h =√3−√32r ．故S 侧＝2πrh ＝2πr （√3−√32r ）=√3πr （2﹣r ）≤√3π(f +2−f 2)2=√3f ．当r ＝1时，S 侧的最大值为√3f ． 故答案为：√3f ．16．由圆内接四边形的性质可得∠C ＝π﹣∠A ，∠D ＝π﹣∠B ． 连接BD ，在△ABD 中，有BD 2＝AB 2+AD 2﹣2AB •AD cos A ． 在△BCD 中，BD 2＝BC 2+CD 2﹣2BC •CD cos C ，所以，AB 2+AD 2﹣2AB •AD cos A ＝BC 2+CD 2+2BC •CD cos A ， cos A =ff 2+ff 2−ff 2−ff 22(ff ⋅ff +ff ⋅ff )=62+52−32−422(6×5+3×4)=37，所以sin A =√2=√1−(37)2=2√107， 连接AC ，同理可得cos B =ff 2+ff 2−ff 2−ff 22(ff ⋅ff +ff ⋅ff )=62+32−52−422(6×3+5×4)=119，所以sin B =√1−fff 2f =√1−(119)2=6√1019． 所以2ffff +2ffff =+=4√103． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（I ）由题意，且f f +1f f=2f fff +1+1，即f f +12−a n +1a n ﹣2f f 2=0，整理，得（a n +1+a n ）（a n +1﹣2a n ）＝0． ∵数列{a n }的各项都为正数， ∴a n +1﹣2a n ＝0，即a n +1＝2a n ．∴数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝2n．（Ⅱ）由（I ）知，b n ＝[lg （log 2a n ）]＝[lg （log 22n）]＝[lgn ]，故b n ={0，1≤f＜101，10≤f＜1002，100≤f＜10003，1000≤f＜2020，n ∈N *．∴数列{b n }的前2020项的和为1×90+2×900+3×1021＝4953． 18．（Ⅰ）如图，连接BC 1，交B 1C 于点M ，连接ME ，则ME ∥AC 1． 因为AC 1⊄平面B 1CE ，ME ⊂平面B 1CE ，所以AC 1∥平面B 1CE ．（Ⅱ）因为B 1C 1平面ABC ，所以点B 1到平面ABC 的距离等于点C 1到平面ABC 的距离． 如图，设O 是AC 的中点，连接OC 1，OB ． 因为△ACC 1为正三角形，所以OC 1⊥AC ，又平面ABC ⊥平面A 1ACC 1，平面ABC ∩平面A 1ACC 1＝AC ， 所以OC 1⊥平面ABC ．所以点C 1到平面ABC 的距离OC 1=√3， 故三棱锥B 1﹣BCE 的体积为Vf 1−fff=13S △BCE •OC 1=13×12×1×√3×√3=12，而斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为V ＝S △ABC •OC 1=12AB •CE •OC 1=12×2×√3×√3=3， 所以剩余部分的体积为3−12=52．19．解（Ⅰ）根据题意，ff =∑ f f =1(f f −f )(f f −f )∑ f f =1(f f −f )2=1.530.45=3.4，ff =f −f f f =6.8−3.4×0.54=4.964， ∴ff =3.4f +4.964． 又t ＝lgx ，∴ff =3.4fff +4.964． ∴x ＝10时，f f =3.4+4.964=8.364（千元），即该新奇水果100箱的成本为8364元，故该新奇水果100箱的利润15000﹣8364＝6636． （Ⅱ）（i ）根据频率分布直方图，可知水果箱数在[40，80）内的天数为1320×40×16=2．设这两天分别为a ，b ，水果箱数在[80，120）内的天数为1160×40×16=4， 设这四天分别为A ，B ，C ，D ．∴随机抽取2天的基本结果为：（AB ），（AC ），（AD ），（Aa ），（Ab ），（BC ），（BD ），（Ba ），（Bb ）， （CD ），（Ca ），（Cb ），（Da ），（Db ），（ab ）共15种．满足恰有1天的水果箱数在[80，120）内的结果为：（Aa ），（Ab ），（Ba ），（Bb ），（Ca ），（Cb ），（Da ），（Db ）共8种，所以估计恰有1天的水果箱数在[80，120）内的概率为P =815． （ⅱ）这16天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值为：60×1320×40+100×1160×40+140×180×40+180×1320×40=125（箱）．20．（Ⅰ）设椭圆E 的半焦距为c ，由题意可知，当M 为椭圆E 的上顶点或下顶点时，△MF 1F 2的面积取得最大值√3．所以{f =112×2f ×f =√3f 2=f 2+f 2，所以a ＝2，b =√3，故椭圆E 的标准方程为f 24+f 23=1．（Ⅱ）根据题意可知A （2，0），B （0，√3），k AB =−√32 因为AB ∥CD ，设直线CD 的方程为y =−√32f +f ，C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）由{f 24+f 23=1f =−√32f +f，消去y 可得6x 2﹣4√3ff +4m 2﹣12＝0，所以x 1+x 2=2√3f3，即x 1=2√3f3−x 2． 直线AD 的斜率k 1=f 1f 1−2=−√32f 1+ff 1−2，直线BC 的斜率k 2=−√32f 2+f −√3f 2， 所以k 1k 2=−√32f 1+f f 1−2•−√32f 2+f −√3f 2， =34f 1f 2−√32f (f 1+f 2)+32f 1+f (f −√3)(f 1−2)f 2， =34f 1f 2−√32f ⋅2√3f 3+32(2√3f 3−f 2)+f (f −√3)(f 1−2)f 2，=34f 1f 2−32f 2(f 1−2)f 2=34．故k 1k 2为定值．21．（Ⅰ）根据题意，f ′（x ）=f f，设直线y ＝x ﹣1与曲线相切于点P （x 0，y 0）根据题意，可得{ff 0=1ffff 0=f 0−1，解之得x 0＝a ＝1，因此f （x ）＝lnx ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知h （x ）＝mx −√f +lnx +t （x ＞0）， 则当x →0时，h （x ）＜0，当x →+∞时，h （x ）＞0， 所以h （x ）至少有一个零点．h ′（x ）=1f 2f m ＝m −116+（√f14）2①m ≥116，则h ′（x ）≥0，h （x ）在（0，+∞）上单调递增，所以h （x ）有唯一零点． ②若0＜m ＜116，令h ′（x ）＝0得h （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）， 所以√f 14，即0＜x 1＜16．可知h （x ）在（0，x 1）上单调递增，在（x 1，x 2）上单调递减，在（x 2，+∞）上单调递增． 所以极大值为h （x 1）＝mx 1−√f 1+lnx 1+t ＝（2√f 1f 1）x 1−√f 1+lnx 1+t =−√f 12−1+lnx 1+t ，又h ′（x 1）=4√f 1f 1=4−√f 14f 1＞0， 所以h （x 1）在（0，16）上单调递增，则h （x 1）＜h （16）＝ln 16﹣3+t ≤ln 16﹣3+3﹣4ln 2＝0，所以h （x ）有唯一零点． 综上可知，对于任意m ＞0时，h （x ）有且仅有一个零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（Ⅰ）根据题意，设点P ，Q 的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ），则有ρ=12ρ0＝2cos θ+4sin θ，故曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ+4sin θ， 变形可得：ρ2＝2ρcos θ+4ρsin θ，故C 2的直角坐标方程为x 2+y 2＝2x +4y ，即（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5； （Ⅱ）设点A ，B 对应的参数分别为t 1、t 2，则|MA |＝t 1，|MB |＝t 2，设直线l 的参数方程{f =ffffff =1+fffff ，（t 为参数），代入C 2的直角坐标方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5中， 整理得t 2﹣2（cos α+sin α）t ﹣3＝0．由根与系数的关系得t 1+t 2＝2（cos α+sin α），t 1t 2＝﹣3，则|MA |+|MB |＝|t 1|+|t 2|＝|t 1﹣t 2|=√(f 1+f 2)2−4f 1f 2=√4(ffff +ffff )2+12=√4fff2f+16≥2√3，当且仅当sin2α＝﹣1时，等号成立，此时l的普通方程为x+y﹣1＝0．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分10分）23．证明：（Ⅰ）∵|x﹣1|﹣|x﹣2|≤|x﹣1﹣x+2|＝1，∴a+b+c≥1．∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ac，∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca，∴3a2+3b2+3c2≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝（a+b+c）2≥1，∴f2+f2+f2≥13．（Ⅱ）∵a2+b2≥2ab，2（a2+b2）≥a2+2ab+b2＝（a+b）2，即f2+f2≥(f+f)22两边开平方得√f2+f2≥√22|f+f|=√22(f+f)，同理可得√f2+f2≥√22(f+f)，√f2+f2≥√22(f+f)，三式相加，得√f2+f2+√f2+f2+√f2+f2≥√2．。

2020届天一大联考高三高考全真模拟卷（四）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，(){}2lg B x y x x ==-，则A B =（ ）A ．{}()01,+∞ B ．(](),01,-∞+∞ C ．[)0,+∞D ．()1,+∞【答案】D【解析】求函数定义域确定集合,A B ，然后由集合交集定义求解． 【详解】由题意{}0A x x =≥，()(),01,B =-∞+∞.根据交集的定义得()1,A B =+∞.故选：D ． 【点睛】本题主要考查集合的交集运算.，掌握对数函数性质是解题关键．2．已知复数z 满足()123z i i ⋅+=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ）A ．52B ．52-C ．52i D ．52i -【答案】B【解析】由复数除法运算计算出z ，再由复数概念得结论． 【详解】由()123z i i ⋅+=-知2315122i z i i -==--+，故复数z 的虚部为52-. 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的有关概念及复数的运算．对于复数(),z a bi a R b R =+∈∈，复数z 的虚部为b ，不是bi .3．某高中有1300名高一学生，1200名高二学生，1500名高三学生，其性别比例如图所示，则该校女生人数是（ ）A ．1660B ．1960C ．2040D ．2340【答案】A【解析】根据图表中比例分别计算各年级女生人数后相加即得． 【详解】思路点拨女生人数130040%120045%150040%1660n =⨯+⨯+⨯=. 故选：A ． 【点睛】本题考查统计图中的扇形图，属于基础题．4．已知双曲线C ：()222210y x a b a b-=>>的两条渐近线的夹角为23π，则该双曲线C的离心率e 为（ ） A ．23B 3C 233D ．32【答案】A【解析】由渐近线的夹角得,a b 的关系式，从而可得,a c 的关系式，求得离心率e ． 【详解】由双曲线C ：()222210y x a b a b-=>>的方程，可知渐近线方程为a y x b =±.由0a b >>得tan 33a b π==所以3a b ，即()222233a b c a ==-，所以2234c a =，即2243c a =，所以离心率33e =. 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的渐近线和离心率，解题时直接求出,a c 的关系式即可，如果忽略条件中的0a b >>，则导致结果有两种可能，从而错选C.5．执行如图所示的程序框图，若输人的[]1,1x ∈-，则输出的y 的取值范围为（ ）A ．(][),01,e -∞B ．(]1,0,1e ⎡-∞⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)11,0,e⎡⎤⎢-⎥⎦∞⎣-+D ．[][),10,e --+∞【答案】B【解析】由程序框图，确定函数()f x 的解析式，然后可求得值域． 【详解】由程序框图可知，,10,ln ,01x e x y x x ⎧-≤≤=⎨<≤⎩，函数xy e =在区间[]1,0-上单调递增，值域为1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；函数ln y x =在区间(]0,1上也单调递增，值域为(],0-∞，所以当[]1,1x ∈-时，y 的取值范围为(]1,0,1e ⎡-∞⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B ． 【点睛】本题考查程序框图及分段函数的值域. 本题可以画出分段函数,10,ln ,01x e x y x x ⎧-≤≤=⎨<≤⎩的图象，借助函数的图象求分段函数的值域.函数的值域为函数图象上所有点的纵坐标组成的集合.分段函数的值域为各段上函数值域的并集.6．已知圆锥的底面半径为2，高为4，有一个半径为1的圆柱内接于此圆锥，则该圆柱的侧面积是（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】D【解析】作出轴截面，在轴截面中由相似三角形可求解． 【详解】如图，设圆柱的高为h ，由题意可得142h =，所以2h =，从而圆柱的侧面积2124S ππ=⨯⨯=侧，故选：D.【点睛】本题考查圆柱侧面积的计算公式，对旋转体解题时可作出轴截面，在轴截面中计算． 7．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且20190S >，20200S <，则使0n a <成立的最小自然数n 为（ ） A ．1009 B ．1010C ．1011D ．1012【答案】C【解析】由等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=结合等差数列的性质确定项的正负． 【详解】因为20190S >，所以120190a a +>，即101020a >，10100a >.因为20200S <，所以120200a a +<，即101010110a a +<，所以10110a <. 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查等差数列的性质，由等差数列只要确定数列相邻两项一正一负即可得结论．8．设满足约束条件10,20,220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩的变量x ，y 形成的区域为D ，有下列四个命题：1p ：(),x y D ∃∈，30x y ++≥；2p ：(),x y D ∃∈，30x y ++≤；. 3p ：()x y D ∀∈,，30x y ++≥；4p ：()x y D ∀∈,，30x y ++≤.其中正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】作出可行域，再作直线30x y ++=，观察此直线与可行域的关系，根据存在命题与全称命题的概念判断． 【详解】思路点拨约束条件10,20,220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的可行域为图中三角形区域，直线30x y ++=经过三角形的一个顶点()2,1--，根据题意可知1p ：(),x y D ∃∈，30x y ++≥正确，2p ：(),x y D ∃∈，30x y ++≤正确，可行域均在直线30x y ++=的上方，故3p ：()x y D ∀∈,，30x y ++≥正确，4p ：()x y D ∀∈,，30x y ++≤错误，故选：C.【点睛】本题考查线性规划与简易逻辑，解题关键是作出可行域，作出直线30x y ++=，由直线与可行域的关系得出结论．9．2019年9月8日，中华人民共和国第十一届少数民族体育运动会在河南郑州开幕，现从我省曾获得乒乓球奖牌的2男1女三名运动员与获得跳远奖牌的1男2女三名远动员中各选1人作为运动会的火炬手，则选出的2名运动员性别恰好相同的概率是（ ）A ．13B ．49C ．59D ．23【答案】B【解析】把6人编号，然后写出各选1人的所有基本事件，从中可得2人性别相同的基本事件的个数，从而计算出概率． 【详解】由题意，记获得乒乓球奖牌的三名运动员分别为1A ，2A ，1B ， 获得跳远奖牌的三名运动员分别为3A ，2B ，3,B 则从中各选1人的基本事件有：()13,A A ，()12,A B ，()13,A B ，()23,A A ，()22,A B ，()23,A B ，()13,B A ，()12,B B ，()13,B B ，共9个，而2人性别相同的基本事件有：()13,A A ，()23,A A ，()12,B B ，()13,B B ，共4个，故所求的概率为49P =. 故选：B ． 【点睛】考查目标本题考查古典概型的计算．求古典概型概率的关键是求问题中基本事件的总数和子事件所包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法，列表法和树状图法，具体应用则可根据需要灵活选择. 10．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3A π=，且ABC 的ABC 周长的最大值是（ ） A ．12 B ．6C ．10D ．9【答案】D【解析】由正弦定理求出a ，由余弦定理及基本不等式求出b c +的最大值，即得周长最大值． 【详解】由正弦定理2sin sin a b R A B ==，得2sin 32a R A ===.由余弦定理2222cos abc bc A =+-，得22221922b c bc b c bc =+-⨯=+-，所以()293b c bc =+-()()2221324b c b c b c ⎛⎫ ⎪⎝=⎭+≥+-+，6b c +≤，当且仅当3==b c 时等号成立，所以ABC 周长的最大值为369+=.故选：D ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及均值不等式的应用．属于中档题．11．设曲线()4ln f x x =在点()1,0处的切线上有一动点P ，曲线()232ln g x x x =-.上有一点Q ，则线段PQ 长度的最小值为（ ）A ．17B ．17C ．17D ．17【答案】C【解析】求出曲线()f x 在(1,0)处的切线l 方程，再同曲线()g x 的与直线l 平行的切线方程，两平行线间的距离就是所求的最小值． 【详解】()10f =，()4f x x'=，∴切线斜率()14k f '==，故曲线()f x 在()1,0处的切线方程为440x y --=.又()26g x x x'=-，令264x x -=，则1x =或13x =-（舍去）.又()13g =，故g （x ）在()1,3处的切线方程为410x y --=，与直线440x y --=平行，这两条平行线间的距离为d =，故线段PQ 故选：C ． 【点睛】本题考查求一般曲线的切线问题，两条平行线间的距离的应用，考查转化与化归思想．解题关键是把两点间距离的最小值转化为平行线间的距离．12．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线1AF 与椭圆的另一个交点为C ，若14ABC BCF S S =△△，则椭圆的离心率为（ ）A B ．5C D 【答案】C【解析】由AB x ⊥轴，可得出A 点坐标（不妨设A 在第一象限），由14ABC BCF S S =△△得14AC CF =，从而可表示出C 点坐标，把C 点坐标代入椭圆方程得,,a b c 的关系式，变形后可求得e ． 【详解】因为AB x ⊥轴，所以不妨设2,b A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭因为14ABC BCF S S =△△，所以14AC CF =，即113AF CF =.因为()1,0F c -， 113AF FC =，2(2,)3(,)C C b c x c y a --=+，∴53C c x =-，23C b y a=-， 即25,33c b C a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程可得222225199c b a a +=，2222259c a c a +-=，223a c =，所以e =故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆的定义及基本性质，求离心率，关键是列出关于,,a b c 的等式，本题根据三角形面积关系得出14AC CF =，从而表示出C 点坐标是解题关键．二、填空题13．已知向量()1,a x x =-，3,21b x ⎛=+⎫⎪⎝⎭.若//a b ，则x 的值为__________. 【答案】2或12-【解析】根据向量共线的坐标表示求出x ． 【详解】因为a 与b 共线，所以()32101x x x --⨯=+得2x =或12-.【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，属于基础题． 14．已知定义在区间()(),00,-∞+∞上的函数()f x 满足()()0f x f x --=，当0x >时，()ln f x x =，则函数()()g x f x e =-的所有零点的乘积为__________.【答案】1【解析】由解方程的思想求出0x >时，()g x 的零点，在根据偶函数性质得出0x <时的零点，计算乘积即可． 【详解】当0x >时，由()ln f x x =知，()()g x f x e =-的零点有两个，分别为1ex e =和2e x e -=.由题意()()f x f x -=可知函数()f x 为偶函数，所以当0x <时，()g x 还有两个零点，即3e x e =-，4ex e -=-，所以0121e e x x e e e -⋅=⋅==，()()0341eex x e ee-⋅=-⋅-==，从而12341x x x x =.【点睛】标本题考查函数的奇偶性，考查函数的零点.解题时根据零点定义直接求出零点是解题的基本方法．15．已知函数()sin f x x =与()()()1cos 202g x x ϕϕ=++≤<π的图象有一个横坐标为6π的交点，则()g x 在0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为__________.【答案】10,2⎡⎢⎣⎦【解析】由交点横坐标得交点坐标，代入()g x 可求得ϕ，再由正弦函数的单调性可求得值域． 【详解】由题意知交点坐标为1,62π⎛⎫⎪⎝⎭，代入()g x 的解析式可以得到11cos 322ϕπ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈.因为0ϕπ≤<，所以6π=ϕ，所以()1cos 262g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 的值域为10,2⎡+⎢⎣⎦.故答案为：⎡⎢⎣⎦．【点睛】考查目标本题考查三角函数的图象与性质，求函数值域时，先关注定义域，再判断函数的单调性，从而求得值域.16．四面体ABCD 的四个顶点都在半径为1的球面上，若ABC 为直角三角形，则该四面体体积的最大值为__________. 【答案】3281【解析】ABC 为直角三角形，不妨设斜边BC 是所在截面圆的直径，当且仅当ABC 为等腰直角三角形时，ABC 的面积最大，当D 到平面ABC 的距离最大时，四面体ABCD 体积最大．由此可得解法．BC 中点是1O ，设1OO x =，把体积表示为x 的函数，再由导数的知识求得最大值． 【详解】设过A ，B ，C 三点的平面截已知球O 所得的圆为圆1O ，因为ABC 为直角三角形，不妨设AB AC ⊥，则BC 为圆1O 的直径，设圆1O 的半径为r ，则当且仅当ABC 为等腰直角三角形时，ABC 的面积最大，连接1O O 并延长交球面于一点，若使得四面体ABCD 的体积最大，则该交点应为点D ，1DO 即为四面体ABCD 的高，设1OO x =，则有221x r +=，则()23211111111333333ABC ABCD V S DO r x x x x =⋅≤⨯⨯+=--++△四面体.令()()321111013333f x x x x x =--++≤<， 则()()()2211131333f x x x x x '=--+=-+-， 所以()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当13x =时，()f x 取得最大值，()f x 的最大值为132381f ⎛⎫=⎪⎝⎭.故答案为：3281． 【点睛】本题考查多面体外接球问题．解题关键是分析出多面体体积最大时，多面体的结构特征．然后引入参数1OO x =，体积可表示为x 的函数，由函数知识求得最大值．三、解答题17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且3510a a +=-，105S =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令1n n n b a a +=，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项.【答案】（1）317n a n =-（2）12-【解析】（1）由已知条件列出d 与1a 的关系式，求解，得{}n a 的通项公式.（2）由（1）得出{}n b 的通项公式，由通项公式得出满足0n b <时的那一项，即1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由3510a a +=-，105S =-，得112610,10455,a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得114,3,a d =-⎧⎨=⎩ 所以317n a n =-.（2）由1n n n b a a +=，可得()()317314n b n n =--，*n N ∈， 当4n ≤或6n ≥时，0n b >，此时10nb >， 当5n =时，520b =-<，所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭最小项为5112b =-.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，数列中的最值问题．基本量法是解决等差数列通项公式和前n 项和的基本方法．18．在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒且11AB BC CC ===，M 为棱11A C 的中点（1）求证：1AC ⊥平面1B CM ； （2）求三棱锥1A B CM -的体积 【答案】（1）证明见解析（2）16【解析】（1）欲证线面垂直，先证线线垂直，证明同一平面内的两条相交直线垂直时，要注意应用平面几何的知识解决.（2）注意应用等体积转化的思想，即求1B MAC -的体积． 【详解】（1）由题意知，1CC ⊥底面111A B C .11CC B M ∴⊥. 又AB BC =，90ABC ∠=︒，2AC ∴=111A B C ∴∆为等腰直角三角形且11190A B C ∠=︒，112AC ∴=. M 为11A C 的中点，111B M AC ∴⊥.又111CC AC C =，1B M ∴⊥平面11ACC A .1AC ⊂平面11ACC A ，11B M AC ∴⊥.在四边形11ACC A 中，2AC =11CC =，122C M =，1190ACC CC M ∠=∠=︒， 1ACC ∴△与1CC M △相似，11CMC AC C ∴∠=∠.1190AC M AC C ∴∠+∠=︒，1190CMC AC M ∴∠+∠=︒，1AC CM ∴⊥.又1B M CM M =，1AC ∴⊥平面1B CM .（2）由题意知111111212133226A B CM B ACM ACM V V S B M --==⋅=⨯⨯=△. 【点睛】本题考查立体几何中线面垂直问题的证明，证明时注意线面垂直与线线垂直的相互转化．应用等体积转化求三棱锥的体积19．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆C 与圆222x y c +=（c 为椭圆的半焦距）在第一象限内的交点为()3,4M .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求1ABF 面积的最大值【答案】（1）2214520x y +=（2）30【解析】（1）由点()3,4M 在圆222x y c +=上，得5c =.再根据椭圆的定义求出a ，然后再求得b ，从而求出椭圆的标准方程.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为5x my =+，与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理，求出12y y -，先求出三角形面积，再利用换元法，构造均值不等式求三角形面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知点()3,4M 在圆上，22234c ∴+=，即5c =，∴两焦点坐标分别为()15,0F -，()25,0F .由122MF MF a +=，得35a =，222452520b a c =-=-=，故所求椭圆C 的标准方程为2214520x y +=.（1）由题意可设直线AB 的方程为5x my =+，225,49180,x my x y =+⎧⎨+=⎩ 设()11,A x y ，()22,B x y ，可得()224940800m y my ++-=， 则1224049m y y m +=-+，1228049y y m -=-+，12y y -==22245549m m +=+，1121221249ABF S F F y y m =⋅-=+△，t =，则[)1,t ∈+∞，故有1304ABF S t t ==≤=+△， 当且仅当54t t =，即t = 1ABF ∴面积的最大值为30.【点睛】本题考查椭圆的定义及简单的几何性质，应用函数思想，解决三角形面积的最大值问题．合理恰当地设出直线AB 的方程对解决该问题起到化繁为简的作用，直线与椭圆相交问题中设而不求思想方法是基本方法．20．某网站为了解某新闻的传播总人数y （千人）随时间x （小时）的变化情况，统计数据如下：（1）试根据以上数据画出散点图，并判断函数y a bx =+与kxy ce =中，哪一个适合作为传播总人数y 关于时间x 的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 与x 的回归方程； （3）若该网站的平均收益M （万元）与x ，y 满足关系69.3ln M y x=+，试求平均收益的最小值. 附：参考数据：z()521ii zz=-∑()()51ii i zz x x =--∑3.1884.806 6.930表中ln z y =，5115i i z z ==∑.参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121nii i nii uu v vu u β==--=-∑∑，v u αβ=+.【答案】（1）作图见解析；kxy ce =比较适合（2）0.6931109x y e +=．（3）14.969万元 【解析】（1）由表中数据描点即可.根据散点图确定函数kx y ce =更适合．（2）由题中数据计算α，β，代入公式即得回归方程. （3）求出平均收益M 后用均值不等式计算最值．【详解】（1）题目中所给数据的散点图如图所示，由散点图容易判断方程kxy ce =比较适合.（2）由kxy ce =，两边取对数可得ln ln y kx c =+，即ln z kx c =+.由题意可知，1234535x ++++==，()52110ii x x =-=∑， 1(ln 6ln12ln 25ln 49ln 95) 3.195z =++++=，所以()()()515216.9300.69310ii i i i zz x x x x β==-===--∑∑， 3188069331109α=-⨯=...，所以z 关于x 的回归方程为06931109z x =+..，所以y 关于x 的回归方程为0.6931109x y e +=．. （3）由（2）知网站的平均收益69.369.369.3ln 06931109 1.1092069314.969M y x x x x x=+=++≥+⋅=.．.， 当且仅当69.30693x x=.，即10x =时取等号， 故平均收益的最小值为14.969万元. 【点睛】本题考查散点图，求非线性回归方程及其应用．解题根据所给数据和公式计算即可．本题还考查了学生的数据处理能力． 21．已知函数()212xx f x e ae ax =-+有两个极值点. （1）求a 的取值范围；（2）设()f x 的两个极值点分别为1x ，2x ，若不等式()()()1212xx f x f x e eλ+<+恒成立，求λ的最小值.【答案】（1）4a >（2）2ln 23-【解析】（1）求导数．()0f x '=有两个不等实根，换元后转化为一元二次方程有两个不等正根，得a 的取值范围；（2）利用根与系数的关系可以得到12x x e e a +=，12x x e e a ⋅=，先转化炎关于a 的不等式恒成立，最后转化为关于a 的函数求最值. 【详解】 （1）因为()212xx f x e ae ax =-+有两个极值点1x ，2x ， 所以()2xx f x eae a '=-+有两个不同的零点，即方程20t at a -+=（其中0x t e =>）有两个不同的正根，所以240,0,20,a a aa ⎧->⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩，所以4a >. （2）由（1）知1x ，2x 是()2x xf x e ae a '=-+的两个根，由根与系数的关系得12x x e e a +=，12x x e e a ⋅=，所以12ln x x a +=， 所以()()()()()121222121212x x x x f x f x e e e e x a a x +=+⋅++- ()()()()()1212121212212x x x x x x x x e e e e a e e a x x e e λ-=+-+++<+， 所以221ln 2a a a a a a λ--+<. 因为4a >，所以1ln 12a a λ--<. 设()1ln 12g a a a =--，则()1102g a a '=-<， 所以g （a ）在()4,+∞上单调递减，所以()()42ln 23g a g <=-， 故λ的最小值为2ln 23-.【点睛】本题考查函数极值点的定义以及不等式恒成立问题．考查转化与化归思想，函数有零点极值点，转化方程根的分布问题，不等式恒成立问题转化为求函数的最值．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1,1x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）求曲线1C 与2C 交点的极坐标.【答案】（1）2cos 24ρθ=-；228x y +=（2）3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，23π⎛⎫ ⎪⎝⎭，34π⎛⎫⎪⎝⎭，35π⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）由曲线C 的参数方程通过将两个式子两边分别平方再相减可消去参数t ，得到曲线C 的普通方程，再由公式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化为极坐标方程即可.对于曲线2C 利用公式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩直接化为直角坐标方程即可.（2）把曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的极坐标联立即可求得交点的极坐标. 【详解】（1）由题意，将1x t t =-与1y t t=+-两式平方相减可得224x y -=-.因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以2222cos sin 4ρθρθ-=-， 即曲线1C 的极坐标方程为2cos 24ρθ=-.将曲线2C的极坐标方程ρ=228x y +=.（2）由题意得2cos 24,ρθρ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，故1cos 22θ=-，所以223πθ=或43π或83π或310π，即3πθ=或23π或43π或53π.所以两曲线交点的极坐标为3π⎛⎫ ⎪⎝⎭，23π⎛⎫ ⎪⎝⎭，34π⎛⎫ ⎪⎝⎭，35π⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查两曲线交点的极坐标的求法.．极坐标与直角坐标之间由关系式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩相互转化．23．已知实数a ，b ，c ，均大于零，且满足2a b c ++=. （1）求ab bc ac ++的最大值； （2）求22223a b c ++的最小值. 【答案】（1）43（2）2411【解析】（1）利用基本不等式解决. （2）利用柯西不等式解决. 【详解】（1）因为()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++，又2222222,2,2,a b ab a c ac b c bc ⎧+≥⎪+≥⎨⎪+≥⎩所以222a b c ab bc ac ++≥++， 故有()()23a b c ab bc ca ++≥++，所以()2433a b c ab bc ac ++++≤=，当且仅当“a b c ==”时等号成立，所以ab bc ac ++的最大值为43． （2）由题意，利用柯西不等式可得：()()222211231423a b c a b c ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭， 所以222242311a b c ++≥，当且仅当“23a b c ==”时等号成立，所以22223a b c ++的最小值为2411. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查用柯西不等式的应用．掌握基本不等式和柯西不等式是解题基础．。