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数列高考复习含答案———综合训练篇一、选择题：1． 在等差数列{}n a 中，12031581=++a a a ，则1092a a -的值为 （ D ）A ．18B ．20C ．22D ．242．等差数列{}n a 满足：30,8531==+S a a ，若等比数列{}n b 满足,,4311a b a b ==则5b 为（ B ） A ．16B ．32C ．64D ．273．等差数列{}n a 中,,27,39963741=++=++a a a a a a 则数列{}n a 的前9项之和S 9等于 （ C ）A ．66B ．144C ．99D ．2974．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比q ≠1，且2a ，321a ，1a 成等差数列，则5443a a a a ++为（A ） A ．215- B ．215+ C ．251- D ．215+或215-5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若,336=S S 则=69S S（ B ） A. 2 B.73 C. 83D.3 6．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且210S =，555S =，则过点(,)n P n a 和2(2,)()n Q n a n N *++∈的直线的一个方向向量的坐标是 ( B )A.1(2,)2B.1(,2)2-- C.1(,1)2-- D.(1,1)-- 7．设a 、b 、c 为实数,3a 、4b 、5c 成等比数列,且a 1、b 1、c 1成等差数列，则a c c a +的值为（ C ） A ．1594B ．1594±C ．1534 D ．1534±8． 已知数列{}n a 的通项,1323211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=--n n n a 则下列表述正确的是 ( A ) A ．最大项为,1a 最小项为3a B ．最大项为,1a 最小项不存在 C ．最大项不存在，最小项为3a D ．最大项为,1a 最小项为4a9.已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（B ）A ．21B ．20C ．19D ．189．一系列椭圆都以一定直线l 为准线，所有椭圆的中心都在定点M ，且点M 到l 的距离为2，若这一系列椭圆的离心率组成以43为首项，31为公比的等比数列，而椭圆相应的长半轴长为a i =(i=1，2，…，n)，设b n =2（2n+1）·3n －2·a n ，且C n =11+n n b b ，T n =C 1+C 2+…+C n ，若对任意n ∈N*，总有T n >90m 恒成立，则m 的最大正整数为（ B ）A ．3B ．5C ．6D ．9二、填空题：10．已知等差数列{}n a 前n 项和S n =－n 2+2tn ，当n 仅当n=7时S n 最大，则t 的取值范围是 (6.5，7.5) .11． 数列{}n a 的通项公式是⎪⎩⎪⎨⎧=)(2)(2为偶数为奇数n n na nn ，则数列的前2m （m 为正整数）项和是 2m+1+m 2－2 .12．已知数列{}n a 满足：434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈则2009a =________；2014a =_________.【答案】1，0【解析】本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意，得2009450331a a ⨯-==，2014210071007425210a a a a ⨯⨯-====.∴应填1，0.13．在数列{}n a 和{}n b 中，b n 是a n 与a n +1的等差中项，a 1 = 2且对任意*N n ∈都有3a n +1－a n = 0，则数列{b n }的通项公式 nn b 34= . 14． 设P 1，P 2，…P n …顺次为函数)0(1>=x xy 图像上的点（如图），Q 1，Q 2，…Q n …顺次为x 轴上的点，且n n n Q P Q Q P O Q OP 122111,,-∆∆∆ ，…，均为等腰直解三角形（其中P n 为直角顶点）.设Q n 的坐标为（*)0)(0,N x n ∈，则数列{a n }的通项公式为n x n 2=*)N n ∈ .三、解答题：15．已知}{n a 是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6，成等比数列.15. [解法1]由已知.21,2,26361311741q q q a q a a a a a =+∴=+=+………………（2分）当66663124373124126361,2()2()2()2q S S S S a a a S a q a q a q S S q ≠-=+++=++= 时…………（4分）.1)1(1)1()1()1(266616318633S S qq a S q q a q S S q =⋅--=⋅--⋅+=+=………………（8分）当,)(2,6,6,3,126612316121613S S S S a S S a S a S q =-=-===同样有时……（10分）所以，61263,,2S S S S -成等比数列.………………………………………………（12分） [解法2]由已知636131174121,2,2q q q a q a a a a a =+∴=+=+，……………（2分）当,36)12(32)(2,1231314122a a a a S S S q =-⨯=-=时∴==.36)6(232126a a S ∴=-.)(2266122S S S S 61263,,2S S S S -成等比数列.…（6分）当,221)1(2111212,1633636q q q q S S q ⋅=+=--⋅=≠时…………………………（8分） ∴61263,,2S S S S -成等比数列.……………………………………………………（11分）综上，61263,,2S S S S -成等比数列.………………………………………………（12分）16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意自然数n 总有p a p S n n (),1(-=为常数，且q q n b b p p n n (2}{),1,0+=≠≠中有数列为常数）。
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本文题目：高三数学复习教案：高考数学数列复习教案【知识图解】【方法点拨】1.学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证.2.强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧.3.在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差(比)数列的比较简单的数列进行化归与转化.4.一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习.如错位相减法、迭加法、迭乘法等.5.增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解.第1课数列的概念【考点导读】1. 了解数列(含等差数列、等比数列)的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数;2. 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系;3. 能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前项和的问题。
【基础练习】1.已知数列满足，则 = 。
分析:由a1=0, 得由此可知: 数列是周期变化的,且三个一循环,所以可得:2.在数列中，若，，则该数列的通项 2n-1 。
3.设数列的前n项和为，，且，则 ____2__.4.已知数列的前项和，则其通项 .【范例导析】例1.设数列的通项公式是，则(1)70是这个数列中的项吗?如果是，是第几项?(2)写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象;(3)这个数列所有项中有没有最小的项?如果有，是第几项? 分析：70是否是数列的项，只要通过解方程就可以知道;而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点;判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。
解：(1)由得：或所以70是这个数列中的项，是第13项。
数列、数列极限、数学归纳法综合复习一、填空题1、已知)(1562*∈+=N n n na n ，则数列{}n a 的最大项是 2、在等差数列{}n a 中，若46101290a a a a +++=，则101413a a -= 3、已知等比数列{}n a ，若151,4a a ==，则3a 的值为 4、数列{}n a 中，23=a ，15=a ，则数列1{}1n a +是等差数列，则=11a 5、在数列{}n a 和{}n b 中，n b 是n a 与1n a +的等差中项，12a =且对任意n N *∈都有031=-+n n a a ，则数列{}n b 的通项公式为 ___ _______6、设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =，k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =7、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤,则4a 的最大值为8、正数数列{}n a 中，已知12a =，且对任意的,s t N *∈,都有s t s t a a a ++=成立，则12231111n n a a a a a a ++++9、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且42358,26a a a a -=+=，记2nn S T n =，如果存在正 整数M ，使得对一切正整数n ，n T M ≤都成立．则M 的最小值是__________ 10、已知无穷等比数列12{},lim[3()]4,n n n a S a a a S →∞+++-=中，各项的和为且 则实数1a 的范围11、设正数数列{}n a 的前n项和为n S ，且存在正数t ，使得对于所有自然数n ，有2n a t+=成立，若n nt →∞<，则实数t 的取值范围为12、数列{n a }的通项公式为12(12)1()(3,)3n n nn a n n N -*⎧≤≤⎪=⎨≥∈⎪⎩，则=∞→n n S lim13、已知数列{}n a 的通项公式为121n n a -=+，则0121231nn n n n n a C a C a C a C ++++=14、数列{}n a 满足112(0)2121(1)2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若761=a ，则2007a 的值为____15、在数列{}n a 中，如果对任意n N *∈都有211()n n n na a k k a a +++-=-为常数，则称{}n a 为等 差比数列，k 称为公差比. 现给出下列命题：⑴等差比数列的公差比一定不为0； ⑵等差数列一定是等差比数列；⑶若32nn a =-+,则数列{}n a 是等差比数列；⑷若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比. 其中正确的命题的序号为二、选择题16、等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项的和为n S ，当首项1a 和d 变化时1182a a a ++是一个定值，则下列各数中也为定值的是 （ ）7.A S 8.B S 13.C S15.D S17、在等差数列}{n a 中，15100,517a a a >=，则数列}{n a 前n 项和n S 取最大值时，n的值为（ ）.12A .11B .10C .9D18、设}{n a 为等差数列，若11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时，n =（ ）.11A .17B .19C .20D19、等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且56S S <,678S S S =>,则下列结论中错误的是（ ） .0A d < 7.0B a =95.C S S > 67.n D S S S 和均为的最大值20、已知数列{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列{}n c 的前10项和等于（ ）.A 55 .70B .85C .100D21、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若OB ＝1200a OA a OC ＋，且,,A B C 三点共线 （该直线不过原点O ），则200S =（ ）.A 100 .B 101 .C 200 .D 20122、已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是（ ） .2A .3B .4C .5D三、解答题23、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1a a =，13n n n a S +=+，*n N ∈．（1）设3nn n b S =-，求{}n b 的通项公式；（2）若1n n a a +≥，*n N ∈，求a 的取值范围．24、数列{}n a 满足a a =1，a a -=2（0>a ），且{}n a 从第二项起是公差为6的等差数列，n S 是{}n a 的前n 项和．（1）当2≥n 时，用a 与n 表示n a 与n S ；（2）若在6S 与7S 两项中至少有一项是n S 的最小值，试求a 的取值范围；25、数列{}n a 中，112a =，点1(,2)n n n a a +-在直线y x =上，其中n N *∈； （1）设11,n n n b a a +=--{}n b 求证:数列是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项； （3）设分别为数列、n n T S {}n a 、{}n b 的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，试求出λ；若不存在，则说明理由。
1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝8，则S 7＝( ) A ． 28 B ．32 C ．56 D ．24 【答案】A【解析】S 7＝7×（a 1＋a 7）2＝7×（a 3＋a 5）2＝28.故选A. 2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S 4＝S 5＋S 6，则数列{a n }的公比q 的值为( ) A ．－2或1 B ．－1或2 C ．－2 D ．1【答案】C3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】由题意，不妨设a 6＝9t ，a 5＝11t ，则公差d ＝－2t ，其中t >0，因此a 10＝t ，a 11＝－t ，即当n ＝10时，S n 取得最大值．【答案】B4．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a m ＋1·a m －1＝2a m (m ≥2)，数列{a n }的前n 项积为T n ，若T 2m －1＝512，则m 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B【解析】由等比数列的性质可知a m ＋1·a m －1＝a 2m ＝2a m (m ≥2)，∴a m ＝2，即数列{a n }为常数列，a n ＝2，∴T 2m －1＝22m －1＝512＝29，即2m －1＝9，所以m ＝5.5．已知等比数列{a n }的各项都是正数，且3a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D【解析】∴3a 1，12a 3，2a 2成等差数列， ∴a 3＝3a 1＋2a 2，∴q 2－2q －3＝0，∴q ＝3或q ＝－1(舍去)． ∴a 8＋a 9a 6＋a 7＝a 1q 7＋a 1q 8a 1q 5＋a 1q 6＝q 2＋q 31＋q＝q 2＝32＝9. 6．各项均不为零的等差数列{a n }中，a 1＝2，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S 2 016＝________．【答案】4 032【解析】由于a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，即a 2n －2a n ＝0，∴a n ＝2，n ≥2，又a 1＝2，∴a n ＝2，n ∈N *，故S 2 016＝4 032.7．设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________．【答案】1 1218．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 2n 成等差数列，则a n ＝________．【答案】n【解析】∵a n ，S n ，a 2n 成等差数列，∴2S n ＝a n ＋a 2n .当n ＝1时，2a 1＝2S 1＝a 1＋a 21. 又a 1>0，∴a 1＝1.当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1，∴(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0，∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)－(a n ＋a n －1)＝0， 又a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1，∴{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝n (n ∈N *)．9．已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式．(1)解：当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋5(a 1＋a 2)＝8(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1， 整理得a 4＝4a 3－a 24，又a 2＝32，a 3＝54，11．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n （a n ＋1）2(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }是等差数列； (2)设b n ＝1S n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .(1)证明： S n ＝a n （a n ＋1）2(n ∈N *)，① S n －1＝a n －1（a n －1＋1）2(n ≥2)．② ①－②得：a n ＝a 2n ＋a n －a 2n －1－a n －12(n ≥2)， 整理得：(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝(a n ＋a n －1)(n ≥2)．∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n＋a n－1≠0，。
高三（文科数学）第二轮专题复习数列及其应用一、基本概念：1. 数列的定义及表示方法.2. 数列的项与项数.3. 有穷数列与无穷数列.4. 递增（减）、摆动、循环数列.5. 数列{a n }的通项公式a n .6. 数列的前n 项和公式S n .7. 等差数列、公差d 、等差数列的结构.8. 等比数列、公比q 、等比数列的结构.9. 无穷递缩等比数列的意义及公比q 的取值范围.二、基本公式：1. 一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2(,)1(,11n s s n s a n nn . 2.等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d ， a n =a k +(n-k)d (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项) 当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式；当d=0时，a n 是一个常数.3.等差数列的前n 项和公式： (1)d n n na s n 2)1(1-+=, (2)2)(1n n a a n s +=. 当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式.4.等差中项公式：2b a A +=（有唯一的值）. 5.等比数列的通项公式：（1）a n = a 1 q n-1 , （2）a n = a k q n-k . .(其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项，a n ≠0).6.等比数列的前n 项和公式：（1）当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)；（2）当q ≠0时，（1）qq a s n n --=1)1(1, (2)q q a a s n n --=11. 7.等比中项公式： ab G ±=(ab>0,有两个值).三、有关等差、等比数列的结论1.等差数列{a n }中，若m+n=p+q ，则 q p n m a a a a +=+.2. 等比数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a •=•. 3.等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等差数列.4.等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等比数列.5.两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n +b n }、{a n -b n }仍为等差数列.6.两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n ·b n } 、 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1 ，仍为等比数列. 7.等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列.8.等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列.9.三个数成等差的设法：a-d,a,a+d ；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d .10.三个数成等比的设法：q a , a, aq ；四个数成等比的错误设法：3qa , q a , aq, aq 3 . 四、数列求和其他方法1.拆项法求数列的和，如a n = 2n+3n ;2.错位相减法求和，如a n = (2n-1) 2n ;3.分裂项法求和，如a n = )1(1 n n ; 4.反序相加法求和，如a n =n n C 100;5.公式法求和;6.观察规律求和.五.数列的综合应用数列的综合应用主要归结为等差、等比和递推数列的应用.主要题型有：产量的增减、价格的升降、细胞的繁植、求利率、增长率等.解决此类问题的关键是数列的建模问题.六、数列实际应用例题1.从盛满a 升(a >1)纯酒精的容器里倒出一升酒精,然后用水填满后搅匀,再倒出一升混合溶液后再用水填满,如此继续进行下去.(1)每次用水填满后的酒精浓度是否依次成等差数列或等比数列?试证明你的结论.(2)若a =2,至少倒几次后(每次倒过后都用水加满搅匀)才能使酒精浓度低于10％?例题2.资料表明,2000年我国荒漠化土地占国土陆地总面积960万平方公里的17％,近二十年来,我国荒漠化土地每年以2460平方公里的速度扩展,若这二十年间我国治理荒漠化土地的面积占前一年荒漠化土地面积的1％,试问:二十年前我国荒漠化土地的面积有多少平方公里?( 精确到1平方公里)例题3.某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房,共需1150万元.购买当天先付150万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率1％.(1)若交付150万元后的第一个月算开始分期付款的第一个月,问分期付款的第十个月应该付多少钱?(2)全部款项付清后,买这40套住房实际花了多少钱?。
选择题1．【全13-6】已知数列{}n a满足12430,3n na a a++==-，则{}n a的前10项和等于（A）()10613---（B）()101139--（C）()10313--（D）()1031+3-2.【全14-10】等比数列{}na中，452,5a a==，则数列{lg}na的前8项和等于（）A．6 B．5 C．4 D．33.【A2012-5】已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为(A)(B) (C) (D)4.【B2012-5】已知{na}为等比数列，2aa74=+，865-=⋅aa，则=+101aa( ) （A）7 （B）5 （C）-5 （D）-75.【A2013-7】设等差数列{}n a的前n项和为n S，若21-=-mS，0=mS，31=+mS，则=m （A）3 （B）4 （C）5 （D）66.【A2013-12】设nnnCBA△的三边长分别为na,nb,nc，nnnCBA△的面积为nS，3,2,1=n……若1b＞1c，1112acb=+，nnaa=+1，2n1acb nn+=+，2n1abc nn+=+，则（A）{}n S为递减数列（B）{}n S为递增数列（C）{}12-n S为递增数列，{}n S2为递减数列（D）{}12-n S为递减数列，{}n S2为递增数列7.【B2013-3】等比数列{}n a的前n项和为n S，已知12310aaS+=，95=a，则1a＝（）（A）31（B）31-（C）91（D）91-8.【A2015-4】等比数列｛a n｝满足a1=3，135a a a++=21，则357a a a++=( ) A．21 B．42 C．63 D．849.【A2016-3】已知等差数列{}n a前9项的和为27，10=8a，则100=a（A）100 （B）99 （C）98 （D）9710.【C2016-12】定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个1210010199101991001011002k m≤12,,,ka a a解答题5.【B2015-17】（本小题满分12分）[来源:Z&xx&]nS为数列{na}的前n项和.已知na＞0，2n na a+=43nS+.（Ⅰ）求{na}的通项公式：（Ⅱ）设 ,求数列}的前n项和6.【B2016-17]（本题满分12分）为等差数列的前n项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的前1 000项和．7.【C2016-17】（本小题满分12分）已知数列的前n项和，其中．（I）证明是等比数列，并求其通项公式；（II）若，求．基础知识思路方法nS{}n a17=128.a S=，[]=lgn nb a[]x x[][]0.9=0lg99=1，111101b b b，，{}nb{}na1n nS aλ=+0λ≠{}na53132S=λ。
高考数学第二轮专题复习数列教案二、高考要求1．理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项. 2．理解等差〔比〕数列的概念，掌握等差〔比〕数列的通项公式与前n项和的公式. 并能运用这些知识来解决一些实际问题.3．了解数学归纳法原理，掌握数学归纳法这一证题方法，掌握“归纳—猜想—证明〞这一思想方法.三、热点分析1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式、极限的四那么运算法那么、无穷递缩等比数列所有项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.2.有关数列题的命题趋势〔1〕数列是特殊的函数，而不等式那么是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点〔2〕数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。
〔3〕加强了数列与极限的综合考查题3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。
等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非常广泛，且十分灵活，主动发现题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁优美.如a2a4+2a3a5+a4a6=25，可以利用等比数列的性质进行转化：a2a4=a32，a4a6=a52，从而有a32+2aa53+a52=25，即〔a3+a5〕2=25.4.对客观题，应注意寻求简捷方法解答历年有关数列的客观题，就会发现，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下：①借助特殊数列. ②灵活运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加准确、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有灵活、简捷的解法5.在数列的学习中加强能力训练数列问题对能力要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法灵活多变，而解答题更是考查能力的集中表达，尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平时要加强对能力的培养。
综合测评(三) 数 列(时间：120分钟；满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．方程x 2－6x ＋4＝0的两根的等比中项是( ) A ．3 B ．±2 C ．±6 D ．22．在等差数列{a n }中，若前5项和S 5＝20，则a 3等于( ) A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－23．(2010年高考浙江卷)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．－11B ．－8C ．5D ．114．在数列{a n }中，a 1＝3，且对于任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1)在直线x －y －6＝0上，则a 3－a 5＋a 7的值为( )A ．27B ．6C ．81D ．95．已知数列{a n }对于任意m 、n ∈N *，有a m ＋a n ＝a m ＋n ，若a 1＝14，则a 40等于( )A ．8B ．9C ．10D ．116．(2010年高考广东卷)已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．297．若数列{a n }中，a 1＝13，且对任意的正整数p 、q 都有a p ＋q ＝a p a q ，则a n ＝( )A ．(13)n －1B ．2(13)nC ．(13)n D.13(12)n －18．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝10，a 2＝9，那么下列不等式中成立的是( ) A ．a 10－a 11<0 B ．a 20＋a 22>0 C ．S 20－S 21<0 D ．S 40＋a 41<09．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝q n －1(q >0，且q 为常数)，某同学得出如下三个结论：①{a n }的通项是a n ＝(q －1)·q n －1；②{a n }是等比数列；③当q ≠1时，S n S n ＋2<S 2n ＋1.其中正确结论的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 10．据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟11．(2010年山东泰安中学质检)已知正项数列{a n }的前n 项的乘积等于T n ＝(14)n 2－6n (n∈N *)，b n ＝log 2a n ，则数列{b n }的前n 项和S n 中的最大值是( )A ．S 6B ．S 5C ．S 4D ．S 312．设a 1，a 2，…，a 50是在－1,0,1这三个整数中取值的数列，若：a 1＋a 2＋…＋a 50＝9，且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有( )A ．11个B ．12个C ．15个D ．25个二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则a n ＝________.14．已知a 2008与a 2009是首项为正数的等差数列{a n }相邻的两项，且函数y ＝(x －a 2008)·(x －a 2009)的图象如图所示，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是________．15．在等差数列{a n }中前n 项的和为S n ，且S 6<S 7，S 7>S 8，有下列四个命题：(1)此数列的公差d <0；(2)S 9一定小于S 6；(3)a 7是各项中最大的一项；(4)S 7一定是S n中的最大值．其中正确命题的序号是________．16．数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＝1－1a n －1(n ＝2,3,4，…), 则a 4＝________；若{a n }有一个形如a n ＝A sin(ωn ＋φ)＋B 的通项公式，其中A ，B ，ω，φ均为实数，且A >0，ω>0，|φ|<π2，则此通项公式可以为a n＝________________________________________________________________________________________(写出一个即可)．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .18．(本小题满分12分)(2010年大连八中模拟)数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝5，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{a n ＋1－a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)求数列{a n }的前n 项和S n .19.(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3(n ∈N *)．其中m 为常数，m ≠－3，且m ≠0.(1)求证：{a n }是等比数列；(2)若数列{a n }的公比满足q ＝f (m )且b 1＝a 1，b n ＝32f (b n －1)(n ∈N *，n ≥2)，求证：{1b n }为等差数列，并求b n .20．(本小题满分12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3且2a n ＋1＝a n ＋2＋a n (n ∈N *)．数列{b n }的前n 项和为S n ，其中b 1＝－32，b n ＋1＝－23S n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a nb n，求T n 的表达式．21.(本小题满分12分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2nS n(n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”．(1)若数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，试判断数列{b n }是否为“和等比数列”；(2)若数列{c n }是首项为c 1，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，试探究d 与c 1之间的等量关系．22．(本小题满分15分)在直角坐标平面上有一点列P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )，…，对一切正整数n ，点P n 位于函数y ＝3x ＋134的图象上，且P n 的横坐标构成以－52为首项，－1为公差的等差数列{x n }．(1)求点P n 的坐标；(2)设抛物线列C 1，C 2，C 3，…，C n ，…中的每一条对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线C n 的顶点为P n ，且过点D n (0，n 2＋1)，记与抛物线C n 相切于D n 的直线的斜率为k n ，求：1k 1k 2＋1k 2k 3＋…＋1k n －1k n ； (3)设S ＝{x |x ＝2x n ，n ∈N *}，T ＝{y |y ＝4y n ，n ∈N *}，等差数列{a n }的任一项a n ∈S ∩T ，其中a 1是S ∩T 中的最大数，－265<a 10<－125，求{a n }的通项公式．综合测评(三)1．【解析】选B.设两根为x 1，x 2，则x 1x 2＝4.故其等比中项为±4＝±2.故应选B. 2．【解析】选A.S 5＝5a 3＝20，∴a 3＝4.3．【解析】选A.设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，依题意知8a 1q ＋a 1q 4＝0，a 1≠0，则q 3＝－8，故q ＝－2，所以S 5S 2＝1－q 51－q 2＝1＋321－4＝－11.4．【解析】选A.由题意得a n －a n －1－6＝0，即a n －a n －1＝6，得数列{a n }是等差数列，且首项a 1＝3，公差d ＝6，而a 3－a 5＋a 7＝a 7－2d ＝a 5＝a 1＋4d ＝3＋4×6＝27.5．【解析】选C.令n ＝1，有a m ＋a 1＝a m ＋1，故a m ＋1－a m ＝14，∴{a n }是以14为首项，14为公差的等差数列.a n ＝14＋(n －1)×14＝n 4，∴a 40＝14＋(40－1)×14＝10，故选C.6．【解析】选C.设数列{a n }的公比为q ，a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1⇒a 4＝2，a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54⇒q ＝12，故a 1＝a 4q 3＝16，S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝31.7．【解析】选C.特殊化处理，设q ＝1可得a p ＋1＝13a p ，所以{a n }是公比为13的等比数列，即有a n ＝(13)n .8．【解析】选D.公差d ＝a 2－a 1＝－1， ∴a n ＝11－n ，∴a 10－a 11>0，a 20＋a 22<0，故A 、B 错误．S n ＝n (a 1＋a n )2＝－n 22＋212n .∴S 20>S 21，即S 20－S 21>0，故C 错．由a n 及S n 知，S 40<0，a 41<0， ∴S 40＋a 41<0，故D 正确．9．【解析】选C.a n ＝S n －S n －1＝q n －1－(q n －1－1)(n ≥2)，即a n ＝(q －1)q n －1(n ≥2)，而a 1＝S 1＝q －1，得a n ＝(q －1)·q n －1(n ≥1)，①正确；当q ＝1时，{a n }不是等比数列，②错误；当q ≠1时，令t ＝S n S n ＋2－S 2n ＋1＝(q n －1)(q n ＋2－1)－(q n ＋1－1)2，则t ＝－q n (q －1)2，显然t <0，即S n S n ＋2<S 2n ＋1，③正确．10．【解析】选C.设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n (n －1)d2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15，故选C.11．【解析】选D.法一：由于S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝log 2(a 1a 2…a n )＝log 2T n ＝12n －2n 2＝－2(n －3)2＋18，所以当n ＝3时，S n 取得最大值．法二：由于a n ＝T n T n －1＝(14)2n －7，于是b n ＝log 2a n ＝14－4n ，显然{b n }为等差数列，且b 3>0，b 4<0，故当n ＝3时，S n 取得最大值．12．【解析】选A.(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝a 21＋a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11(个)，故选A. 13．【解析】由a 6＝S 3＝12可得， ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，3a 1＋3×2×d2＝12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.故易得a n ＝2n .【答案】2n14．【解析】由题意知，等差数列中，从第1项开始到第2008项都是正数，且从第2009项开始为负数，S 4016＝2008(a 1＋a 4016)＝2008(a 2008＋a 2009)＜0，S 4015＝4015(a 1＋a 4015)2＝4015×a 2008＞0，故n 的最大值为4015.【答案】401515．【解析】∵S 7>S 6，即S 6<S 6＋a 7，∴a 7>0，同理可知a 8<0，∴d ＝a 8－a 7<0. 又∵S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8<0，∴S 9<S 6.因为数列{a n }为递减数列，且a 7>0，a 8<0，所以可知S 7为S n 中的最大值． 【答案】(1)(2)(4)16．【解析】∵数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝1－1a n －1，∴a 2＝1－12＝12，a 3＝1－2＝－1，a 4＝1＋1＝2.若{a n }有一个形如a n ＝A sin(ωn ＋φ)＋B 的通项公式，且数列{a n }的周期为3，所以3＝2πω，ω＝2π3， 将前三项代入可得，A ＝3，B ＝12，φ＝－π3，所以a n ＝3sin(2π3n －π3)＋12. 【答案】2 3sin(2π3n －π3)＋1217．【解】(1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0.又q ≠0，从而q ＝－12.(2)由已知可得a 1－a 1(－12)2＝3，故a 1＝4.从而S n ＝4[1－(－12)n ]1－(－12)＝83[1－(－12)n ].18．【解】(1)证明：由题意知a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ∴a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝2，故数列{a n ＋1－a n }是等比数列． (2)由(1)知数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，以2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3·2n －1.∵a 2－a 1＝3×20，a 3－a 2＝3×21，a 4－a 3＝3×22，…，a n －a n －1＝3·2n －2，∴a n －a 1＝3(1－2n －1)1－2＝3(2n －1－1)，即a n ＝3·2n －1－1.(3)∵a n ＝3·2n －1－1，∴S n ＝3·1－2n1－2－n ＝3·2n －n －3.19．【解】(1)证明：由(3－m )S n ＋2ma n ＝m ＋3， 得(3－m )S n ＋1＋2ma n ＋1＝m ＋3，两式相减，得(3＋m )a n ＋1＝2ma n (m ≠－3)， ∴a n ＋1a n ＝2m m ＋3，∵m 是常数，且m ≠－3，m ≠0， 故2m m ＋3是不为0的常数，∴{a n }是等比数列． (2)证明：由b 1＝a 1＝1，q ＝f (m )＝2mm ＋3，n ∈N *且n ≥2，b n ＝32f (b n －1)＝32·2b n －1b n －1＋3，得b n b n －1＋3b n ＝3b n －1⇒1b n －1b n －1＝13.∴{1b n }是1为首项，13为公差的等差数列， ∴1b n ＝1＋n －13＝n ＋23，故有b n ＝3n ＋2. 20．【解】(1)∵2a n ＋1＝a n ＋2＋a n ， ∴数列{a n }是等差数列，∴公差d ＝a 2－a 1＝2，∴a n ＝2n －1.∵b n ＋1＝－23S n ，∴b n ＝－23S n －1(n ≥2)．∴b n ＋1－b n ＝－23b n ，则b n ＋1＝13b n .又∵b 2＝－23S 1＝1，b 2b 1＝－23≠13，∴数列{b n }从第二项开始是等比数列， ∴b n ＝⎩⎨⎧－32(13)n －2(n ＝1)，(n ≥2).(2)∵n ≥2时，a n b n＝(2n －1)·3n －2，∴T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝－23＋3×30＋5×31＋7×32＋…＋(2n －1)×3n －2，∴3T n ＝－2＋3×31＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)×3n －1，错位相减并整理得T n ＝－23＋(n －1)×3n －1.21．【解】(1)因为数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，所以2b n ＝2·4n －1＝22n－1，因此b n ＝2n －1.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n 2，T 2n ＝4n 2，所以T 2nT n＝4，因此数列{b n }为“和等比数列”．(2)设数列{c n }的前n 项和为R n ，且R 2nR n＝k (k 为常数，且k ≠0)，因为数列{c n }是等差数列，所以R n ＝nc 1＋n (n －1)2d ，R 2n ＝2nc 1＋2n (2n －1)2d ，所以R 2nR n ＝2nc 1＋2n (2n －1)d 2nc 1＋n (n －1)2d＝k 对于n ∈N *都成立，化简得(k －4)dn ＋(k －2)(2c 1－d )＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧(k －4)d ＝0，(k －2)(2c 1－d )＝0.因为d ≠0，所以k ＝4，d ＝2c 1， 因此d 与c 1之间的等量关系为d ＝2c 1.22．【解】(1)由题意得，x n ＝－52＋(n －1)×(－1)＝－n －32，∴y n ＝3·x n ＋134＝－3n －54.∴P n (－n －32，－3n －54)(n ∈N *)．(2)∵C n 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为P n ，∴设C n 的方程为y ＝a (x ＋2n ＋32)2－12n ＋54.把D n (0，n 2＋1)代入上式，得a ＝1.∴C n 的方程为y ＝x 2＋(2n ＋3)x ＋n 2＋1.k n ＝y ′|x ＝0＝2n ＋3，∴当n ≥2时，1k n －1k n ＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12(12n ＋1－12n ＋3)．∴1k 1k 2＋1k 2k 3＋…＋1k n －1k n ＝12[(15－17)＋(17－19)＋…＋(12n ＋1－12n ＋3)] ＝12(15－12n ＋3)＝110－14n ＋6. (3)S ＝{x |x ＝－(2n ＋3)，n ∈N *}，T ＝{y |y ＝－(12n ＋5)，n ∈N *}＝{y |y ＝－2(6n ＋1)－3，n ∈N *}，∴S ∩T ＝T ，T 中最大数a 1＝－17.设{a n }的公差为d ，则a 10＝(－17＋9d )∈(－265，－125)，由此得－2489<d <－12，又∵a n ∈T ，∴d ＝－12m (m ∈N *)． ∴d ＝－24，∴a n ＝7－24n (n ∈N *)．。
