1.4平行线之间的距离盛2

浙教版七下《1.4平行线之间的距离》教学设计中学数学（浙教版）八年级上册第一章教学目标：知识目标：理解“平行线之间的距离”的概念及“平行线之间的距离处处相等”这一性质； 能力目标：通过把平行线之间的距离转化为点到直线的距离，使学生初步体验转化的数学思想；能够度量两条平行线之间的距离；能运用性质解决有关问题，培养学生应用数学的意识与能力。

情感目标：经历“平行线之间的距离处处相等”这一性质的发现过程，通过观察和动手操作，丰富学生从事数学活动的经验，体验在数学学习活动中获得的成功，培养学生严谨、科学的学习态度，勇于探索、创新的精神。

教学重难点：重点：理解平行线之间的距离的概念，其实就是转化为点到直线的距离问题。

难点：例题涉及图形平移变换的有关概念，学生在认识平移距离和平行线之间的距离的关系时具有一定的困难。

教学过程：（一）复习回顾，引入新课问题：如图，a AC ⊥，垂足为C ,B 为a 上一点①点A 与点B 的距离指线段___________的长度。

② 点A 到直线a 的距离是指_________________的长度。

通过以上问题回顾两种已经学过的距离：两点之间的距离——连结两点的线段的长度。

点到直线的距离——直线外一点到这条直线的垂线段．．．的长度 （注:初中阶段，学生所接触到得距离主要包含了三类：两点之间的距离，点到直线的距离，两条平行线之间的距离，而两条平行线之间的距离最终可以转化为点到直线的距离，故有必要让学生回忆前面两种学过的距离，为更好的理解两条平行线之间的距离作准备）本堂课师生着重研究两条平行线之间的距离。

（二）实践交流，探究新知1.合作交流，完成以下问题：请任意画两条互相平行的直线b a ,，⑴在直线a 上，任意取两点,,B A 分别作D b BD C b AC 于点，于点⊥⊥，量出线段BD AC 、的长度，你得到什么结果？⑵把一把三角尺的一条直角边沿着直线b 移动，观察三角尺的另一条直角边与直线a 交点处的刻度，刻度改变吗？通过上述实验，你发现了什么？（注:以上操作中的（1），线段BD AC 、的长度其实就是点A 到直线b 的距离以及点B 到直线b 的距离,这是为下一步从“两条平行线之间的距离”到“点到直线的距离”的转化作铺垫，教师在学生操作完成后启发学生注意到这点；（2）则比（1）更加直观鲜明的让学生体会到了两条平行线之间的距离处处相等，这两步操作都为性质的引出作足了准备。

空间几何中的平行关系在空间几何中，平行关系是一个重要的概念。

平行线、平面和空间中的平行物体之间的关系在很多数学和物理问题中都有着重要的应用。

本文将对空间几何中的平行关系进行讨论和说明。

1. 平行线的定义和性质平行线是指在同一个平面内永远不相交的直线。

在空间几何中，平行线有以下重要性质：1.1 平行线之间的距离始终相等。

1.2 平行线的夹角始终相等。

1.3 平行线与平面之间的关系：平面内的一条直线与该平面内与之平行的另一条直线平行。

1.4 平行线与空间中的平行立体之间的关系：空间中的一条直线与该空间中与之平行的另一条直线平行。

2. 平面的平行关系在空间几何中，平面也可以存在平行关系。

平行平面是指永远不相交的两个平面。

平行平面的性质如下：2.1 平行平面之间的距离始终相等。

2.2 平行平面的夹角始终相等。

2.3 平行平面与平行线之间的关系：平行与同一个平面的两条直线将同时平行于该平面内的任一平行线。

2.4 平行平面与空间中的平行立体之间的关系：空间中的一个平面与该空间中与之平行的另一个平面平行。

3. 空间中的平行关系除了平行线和平行平面外，空间中的其他物体也可以存在平行关系。

例如，空间中的两个平行四边形、两个平行正方体等物体之间也可以存在平行关系。

3.1 平行四边形的特点：两对相对边分别平行且长度相等。

3.2 平行四边形的性质：对角线相交于它们的交点，并且对角线长度相等。

3.3 平行四边形与平行平面之间的关系：平行平面将同时平行于其内包含的平行四边形。

3.4 平行正方体的特点：六个面都是正方形，相邻面之间平行。

3.5 平行正方体的性质：相邻面之间的距离始终相等。

3.6 平行正方体与平行线之间的关系：平行线将同时平行于平行正方体的两个相邻面。

3.7 平行正方体与平行平面之间的关系：平行平面将同时平行于其中的两个相邻面。

4. 应用举例平行关系在实际问题中有广泛应用。

例如：4.1 建筑学中的平行关系应用：在设计建筑时，需要考虑平行线和平行平面的关系，以确保建筑结构的稳定性。

平行线与垂直线的性质及判定方法平行线和垂直线是几何学中常见的重要概念。

对于这两种线相互之间的性质以及如何准确判定它们的方法，本文将进行详细介绍。

一、平行线的性质及判定方法平行线是指在同一个平面内永远不会相交的两条直线。

关于平行线的性质和判定方法，我们可以从以下几个方面进行说明。

1. 平行线的性质1.1 不同于同一直线上的两点，同一平面上不同直线上的两点无法连线。

1.2 平行线之间的距离始终相等。

1.3 平行线对应的内角、外角相等。

1.4 平行线的斜率相等或者不存在。

2. 平行线的判定方法2.1 通过观察法判定平行线：如果两条直线的方向相同或者相互平行，它们就是平行线。

可以通过观察直线的倾斜角度或者倾斜方向来判断。

2.2 通过斜率判定平行线：计算两条直线的斜率，如果它们的斜率相等或者不存在，那么这两条直线即为平行线。

2.3 通过平行线定理判定平行线：平行线定理是指如果有一直线与两条平行线相交，那么这两条直线也是平行线。

二、垂直线的性质及判定方法垂直线是指在同一个平面上与另一条直线相交时，两条直线之间的角度为90度。

下面我们来介绍垂直线的性质和判定方法。

1. 垂直线的性质1.1 垂直线之间相交的角度为90度。

1.2 垂直线上的两条线段的长度相等。

1.3 垂直线的斜率的乘积为-1，其中一个垂直线的斜率不存在。

2. 垂直线的判定方法2.1 通过观察法判定垂直线：如果两条直线的交角为90度，它们就是垂直线。

可以通过观察直线之间的交角来判断。

2.2 通过斜率判定垂直线：计算两条直线的斜率，如果斜率的乘积为-1，其中一个直线的斜率不存在，那么这两条直线即为垂直线。

2.3 通过垂直线定理判定垂直线：垂直线定理是指如果两条直线相互垂直，则它们的斜率乘积为-1。

综上所述，平行线与垂直线在几何学中有着重要的性质和判定方法。

对于平行线来说，我们可以通过观察法、斜率以及平行线定理来判定。

而对于垂直线来说，我们可以通过观察法、斜率以及垂直线定理来判定。

第1章从自然数到有理数第2章有理数的运算第3章实数第4章代数式1.1从自然数到分数 2.1有理数的加法 3.1平方根 4.1用字母表示数1.2有理数 2.2有理数的减法 3.2实数 4.2代数式1.3数轴2.3有理数的乘法3.3立方根4.3代数式的值1.4绝对值 2.4有理数的除法 3.4用计算器进行数的开方 4.4整式1.5有理数的大小比较2.5有理数的乘方3.5实数的运算4.5合并同类项2.6有理数的混合运算 4.6整式的加减2.7准确数和近似数2.8计算器的使用第5章一元一次方程第6章数据与图表第7章图形的初步知识5.1一元一次方程6.1数据的收集与整理7.1几何图形5.2一元一次方程的解法6.2统计表7.2线段、射线和直线5.3一元一次方程的应用6.3条形统计图和折线统计图7.3线段的长短比较5.4问题解决的基本步骤6.4扇形统计图7.4角与角的度量7.5角的大小比较7.6余角和补角7.7相交线7.8平行线七年级下册第1章三角形的初步知识第2章图形和变换第3章事件的可能性1.1 认识三角形2.1 轴对称图形3.1 认识事件的可能性1.2 三角形的角平分线和中线2.2 轴对称变换3.2 可能性的大小1.3 三角形的高2.3 平移变换3.3 可能性和概率1.4 全等三角形2.4 旋转变换1.5 三角形全等的条件2.5 相似变换1.6 作三角形2.6 图形变换的简单应用第4章二元一次方程组第5章整式的乘除第6章因式分解4.1 二元一次方程5.1 同底数幂的乘法6.1 因式分解4.2 二元一次方程组5.2 单项式的乘法6.2 提取公因式法4.3 解二元一次方程组5.3 多项式的乘法6.3 用乘法公式分解因式4.4 二元一次方程组的应用5.4 乘法公式6.4 因式分解的简单应用5.5 整式的化简5.6 同底数幂的除法5.7 整式的除法第7章分式7.1 分式7.2 分式的乘除7.3 分式的加减7.4 分式方程第1章平行线第2章特殊三角形第3章直棱柱1.1同位角、内错角、同旁内角2.1等腰三角形3.1认识直棱柱1.2平行线的判定2.2等腰三角形的性质3.2直棱柱的表面展开图1.3平行线的性质2.3等腰三角形的判定3.3三视图1.4平行线之间的距离2.4等边三角形3.4由三视图描述几何体2.5直角三角形2.6探索勾股定理2.7直角三角形全等的判定第4章样本与数据分析初步第5章一元一次不等式第6章图形与坐标4.1抽样5.1认识不等式6.1探索确定位置的方法4.2平均数5.2不等式的基本性质6.2平面直角坐标系4.3中位数和众数5.3一元一次不等式6.3坐标平面内的图形变换4.4方差和标准差 5.4一元一次不等式组4.5统计量的选择与应用第7章一次函数7.1常量与变量7.2认识函数7.3一次函数7.4一次函数的图象7.5一次函数的简单应用八年级下册第1章二次根式第2章一元二次方程第3章频数及其分布第4章命题与证明1.1 二次根式 2.1 一元二次方程 3.1 频数与频率 4.1 定义与命题1.2 二次根式的性质2.2 一元二次方程的解法3.2 频数分布直方图4.2 证明1.3 二次根式的运算2.3 一元二次方程的应用3.3 频数分布折线图4.3 反例与证明4.4 反证法第5章平行四边形第6章特殊平行四边形与梯形5.1 多边形6.1 矩形5.2 平行四边形6.2 菱形5.3 平行四边形的性质6.3 正方形5.4 中心对称6.4 梯形5.5 平行四边形的判定5.6 三角形的中位线5.7 逆命题和逆定理第1章反比例函数第2章二次函数第3章圆的基本性质1.1 反比例函数 2.1 二次函数 3.1 圆1.2 反比例函数的图象和性质2.2 二次函数的图象● 阅读材料3.2 圆的轴对称性1.3 反比例函数的应用用计算机画二次函数的图象 3.3 圆心角2.3 二次函数的性质3.4 圆周角● 阅读2.4 二次函数的应用材料生活离不开圆3.5 弧长及扇形的面积3.6 圆锥的侧面积和全面积第4章相似三角形4.1 比例线段4.2 相似三角形4.3 两个三角形相似的判定4.4 相似三角形的性质及其应用4.5 相似多边形4.6 图形的位似九年级下册第1章解直角三角形第2章简单事件的概率1.1 锐角三角函数2.1 简单事件的概念1.2 有关三角函数的计算2.2 估计概率1.3 解直角三角形● 课题学习会徽中的数学2.3 概率的简单应用第3章直线与圆、圆与圆的位置关系第4章投影与三视图3.1 直线与圆的位置关系4.1 视角与盲区3.2 三角形的内切圆4.2 投影3.3 圆与圆的位置关系4.3 简单物体的三视图。

初中数学各版本新教材目录体系比较对于北师版，其优点主要体现在以下几个方面：1.教材设立了“做一做”、“议一议”、“想一想”等栏目，使学生能够通过自主探索与合作交流形成新的知识，建立符合个体认知特点的知识结构；2.依据学生已有的知识背景和活动经验，教材提供了大量的操作、思考与交流的平台和机会；3、教材要求学生在学习数学和解决问题的过程中充分借助计算器及电脑，培养他们远用现代信息技术解决实际问题的意识和能力；4.练习题安排层次分明，对于实际应用有很好的指导意义。

对于人教版，其优点主要体现在一下几个方面：1.教材以提出问题、思考问题、探究问题、归纳总结、练习巩固的由浅入深的顺序呈现知识要点，从粗略简单的问题说起、通过一步步探究，逐步引导出精确、定量和抽象的结论、体现了数学学习的过程和规律；2.例题有很好的示例作用；3.练习题题量适中，利于教和学的巩固提高。

对于北师版，其缺点主要体现在：1.属同一内容的知识点分解过于繁琐，前后时间跨度大、显得既简单又重复；2.练习题难度和题量不够，不利于培养学生分析、解决问题的综合能力；3.阅读材料的难度较高，而且相关的说明也不够简单明了,对于人教版，其主要缺点表现在：1.知识点呈现的密度过大；2.理论阐述文字过长，图形不够丰富显得过于抽象，学生在学习中易产生疲劳；3.练习题难度和题量不够，不利于培养学生分析、解决问题的能力。

人教版更加具有逻辑严密性，北师版更加强调与生活实际相结合的思想。

七年级上册人教版与北师大版七年级上册教材对比分析：人教版重难点：第一章有理数、第二章整式的加减和第三章一元一次方程北师大版重难点：第二章有理数及其运算第五章一元一次方程七年级下册人教版与北师大版七年级下册教材对比分析：人教版重难点：除最后一章都是重点北师大版重难点：第一章整式的运算、第二章平行线与相交线、第四章概率、第五章三角形和第七章生活中的轴对称八年级上册人教版与北师大版八年级上册教材对比分析：人教版重难点：全是重点北师大版重难点：除第五章位置的确定都是重点八年级下册人教版与北师大版八年级下册教材对比分析：人教版重难点：前四章都较为重要，“第二十章数据的分析”较为简单北师大版重难点：相比这一学期的人教版，该版本多了命题与证明类知识。

平行线间的距离公式设平行线为l1和l2，它们的距离公式可以通过以下两种方法得到：方法一：利用向量表示法在平面几何中，我们可以使用向量来表示平行线。

设向量v1和v2分别与l1和l2平行，并且相等。

取l1上的一点P1和l2上的一点P2，它们分别与l1和l2所对应的向量相等。

设向量P1P2为向量v0，向量P1P2的长度即为两条平行线的距离。

令v0=P2-P1，表示P1指向P2的向量。

则有v1=v0和v2=v0，因为v1和v2与l1和l2平行，并且相等。

由向量加减法可知，向量v1和v2分别与向量v0相等。

再设向量n为与l1和l2都垂直的向量，即n与v1和v2都正交。

所以可以把P1P2向量分解为n和v0在n上的投影。

设向量P1P2在n方向上的投影为h，向量v0在n方向上的投影为d。

由于n与v1和v2都正交，所以向量v0在n方向上的投影为0，即有d=0。

根据向量投影的概念，向量P1P2可以分解为h和d的和，即v0=h+d，而d=0，所以v0=h。

由于v0=P2-P1，所以有P2-P1=h，即h=P2-P1则有P1P2=，h，即向量P1P2的长度为，h。

因此，根据以上推导，我们可以得到平行线的距离公式为：两条平行线的距离=，h，=，P2-P1方法二：利用直线方程在平行线上任取两个点A和B，设点A在l1上，点B在l2上。

设直线l1的方程为y=k1x+b1，直线l2的方程为y=k2x+b2由于l1和l2平行，所以它们的斜率k1和k2相等，即k1=k2设点A的坐标为(x1,y1)，点B的坐标为(x2,y2)。

我们可以知道，点A在直线l1上，所以有y1=k1x1+b1，点B在直线l2上，所以有y2=k2x2+b2联立y1=k1x1+b1和y2=k2x2+b2，可以求解x1和x2的值。

则两条平行线的距离为两点A(x1,y1)和B(x2,y2)之间的距离即可。

因此，根据以上推导，我们可以得到平行线的距离公式为：两条平行线的距离=，AB，=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。

注重有效引导促进学生成才临近期末，本册书本内容已经结束，接着就是如何做好期末复习。

怎样做好有效复习呢？这个问题一直萦绕在我的脑海。

通过新课的教学，经过单元复习、期中复习后，学生对课本的顺次复习、重复旧课已不感兴趣，如果教师再这样做，不但浪费时间，而且会使学生感到索然无味，降低学生的学习兴趣，徒劳而无益；也有一些老师会印发一些试卷让学生盲目解题，这样不分主次，既达不到复习的目的，也会降低学生学习数学的热情。

复习课的一个主要目的是“查缺补漏”，需针对性地对学生较薄弱的概念性、知识性和方法性模块进行“补偿性”教学，以巩固“双基”，提高教学的有效性。

基于此目的，我拿出教科书和作业本查阅了本章内容和知识点，以及在前面诸多环节中学生们没有掌握好的知识点。

本章共有四节内容：1.1同位角、内错角、同旁内角，1.2平行线的判定，1.3平行线的性质，1.4平行线之间的距离。

对于前三节内容在前面的学习中应该做的比较多，而对平行线之间的距离学生应该会有理解不透彻的地方。

于是我决定把重点、难点放在第四节。

我接着翻开学生的作业本（作业和测试是学生学习质量优劣的直接反映，暴露出来的问题是反思教学的重要资源，记录着学生作业的错误情况，对其作错因分析，可以提高教学的针对性和预见性），心中有了思绪。

上课了，我告诉同学们：“学期已接近尾声，书本的内容我们已经上完了，从今天开始我们进入复习阶段，先来复习第一章——“平行线”。

请同学们打开课本第一章目录，分析一下这一章共有哪些内容？”于是我们用最快的速度回顾了前三节的知识点，确认没有问题后，开始回顾第四节的知识点有：两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线的距离处处相等。

即平行线间的距离处处相等及平行线之间的距离这一概念。

这时我预设的难点是：（1）两平行线之间距离的概念；（2）准确画出两平行线之间的距离；（3）平行线间的距离处处相等的运用。

于是产生了以下几个问题。

问题1：已知直线l和直线外一点a，画点a到直线l的距离。