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第一部分 极限和连续同步练习题1.1参考答案一、选择题1.C2.A3. A 二、填空题4. [4,2][2,4]-- 。
5. π。
6.3cos x 。
三、解答题7.2,1,tan ,12y u u v v w z z x ==+==-。
8.222112111()1()2()1()()21xf x f x x x x x x =++=++→=++。
同步练习题1.2参考答案一、选择题1.D2.C3.D4. C5.B6.C7.C 二、填空题8.2,3 9. 1 10. 0 11. 2-三、解答题12 (1)2121230113lim lim 230332433nn n n n n n n ++→∞→∞⎛⎫+ ⎪++⎝⎭===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
(2) 221...111lim lim 1...111n n n n n n a a a a b b b b b a b a →∞→∞++++---=⨯=++++---。
(3)111lim ...1335(21)(21)111111111lim 1...lim 12335(21)(21)2(21)2n n n n n n n n →∞→∞→∞⎡⎤++⎢⎥⨯⨯-+⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-=-=⎢⎥⎢⎥-++⎣⎦⎣⎦(4)1lim[ln(1)ln]lim ln(1)ln1xx xx x x ex→+∞→+∞+-=+==。
(5)1114x xx→→→===(6)16x x→→==。
(7)22lim2x xx x→→==--(8)0001(1)11lim lim lim()112x x x x x xx x xe e e e e ex x x x---→→→------==+=+=-。
13.100lim(1)lim[(1)]nmn mnx mxx xmx mx e→→+=+=。
14. ()lim(1)lim[(1)]txt x xt tf x et tπππππ→∞→∞=+=+=,(ln3)3fπ=。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）理 科 数 学第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合A ={1, 2, 3, 4, 5}，B ={(x ,y )| x ∈A , y ∈A , x -y ∈A }，则B 中所含元素的个数为（ ）A. 3B. 6C. 8D. 102. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A. 12种B. 10种C. 9种D. 8种3. 下面是关于复数iz +-=12的四个命题中，真命题为（ ）P 1: |z |=2， P 2: z 2=2i ，P 3: z 的共轭复数为1+i ，P 4: z 的虚部为-1 .A. P 2，P 3B. P 1，P 2C. P 2，P 4D. P 3，P 44. 设F 1，F 2是椭圆E : 12222=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23ax =上的一点，12PF F △是底角为30º的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A.21B.32 C.43 D.54 5. 已知{a n }为等比数列，a 4 + a 7 = 2，a5 a6 = 8，则a 1 + a 10 =（ ）A. 7B. 5C. -5D. -76. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N （N ≥2）和实数a 1， a 2，…，a N ，输入A 、B ，则（ ） A. A +B 为a 1， a 2，…，a N 的和B.2B A +为a 1， a 2，…，a N 的算术平均数C. A 和B 分别是a 1， a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是a 1， a 2，…，a N 中最小的数和最大的数 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A. 6B. 9C. 12D. 188. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |=34，则C 的实轴长为（ ） A.2B. 22C. 4D. 89. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是（ ）A. 15[,]24B. 13[,]24C. 1(0,]2D. (0,2]10. 已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为（ ）A.B.C.D.11. 已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC =2，则此棱锥的体积为（ ） A.62B. 63C. 32D. 22 12. 设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为（ ） A. 2ln 1-B.)2ln 1(2-C. 2ln 1+D. )2ln 1(2+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知向量a ，b 夹角为45º，且1=||a ，102=-||b a ，则=||b .14. 设x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x ，则2z x y =-的取值范围为 . 15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布N (1000，502)，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16. 数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，则}{n a 的前60项和为 . 三、解答题：（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. （本小题12分）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a .（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a =2，△ABC 的面积为3，求b ，c .18. （本小题12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. （Ⅰ）若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以（i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；（ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19. （本小题12分）如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，121AA BC AC ==，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD . （Ⅰ）证明：DC 1⊥BC ；（Ⅱ）求二面角A 1-BD -C 1的大小.20. （本小题满分12分）设抛物线:C py x 22=)0(>p 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上的一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点. （Ⅰ）若∠BFD =90º，△ABD 面积为24，求p 的值及圆F 的方程；（Ⅱ）若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 的距离的比值.C BADC 1A 1B 121. （本小题12分）已知函数121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+.（Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间；（Ⅱ）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值. 请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑. 22. （本小题10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交于△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF // AB ，证明： （Ⅰ）CD = BC ； （Ⅱ）△BCD ∽△GBD .23. （本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C 1的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ = 2. 正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π.（Ⅰ）点A ，B ，C ，D 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为C 1上任意一点，求|P A |2 + |PB |2 + |PC |2 + |PD |2的取值范围.24. （本小题10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数f (x ) = |x + a | + |x -2|.（Ⅰ）当a =-3时，求不等式f (x ) ≥ 3的解集；（Ⅱ）若f (x ) ≤ | x -4 |的解集包含[1, 2]，求a 的取值范围.G2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）理 科 数 学【参考答案】一、选择题： 1．【答案：D 】解析：要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x ，小的是y ，共2510C =种选法. 2．【答案：A 】解析：只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共有1224C C 种安排方案. 3．【答案：C 】解析：经计算2221,||(1)21z i z z i i i==--∴==---+ =，复数z 的共轭复数为1i -+，z 的虚部为1-，综上可知P 2，P 4正确.4．【答案：C 】解析：由题意可得，21F PF △是底角为30º的等腰三角形可得212PF F F =，即32()22a c c -=， 所以34c e a ==. 5．【答案：D 】解析：472∵a a +=，56478a a a a ==-，4742a a ∴==-，或4724a a =-=，，14710∵，，，a a a a 成等比数列，1107a a ∴+=-.6．【答案：C 】解析：由程序框图判断x >A 得A 应为a 1，a 2，…，a N 中最大的数，由x <B 得B 应为a 1，a 2，…，a N 中最小的数. 7．【答案：B 】解析：由三视图可知，此几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形（俯视图），高为3的三棱锥，故其体积为113932V =⨯⨯=. 8．【答案：C 】解析：抛物线的准线方程是x =4，所以点A (4,-在222x y a -=上，将点A 代入得24a =，所以实轴长为24a =.9．【答案：A 】 解析：由322,22442k k k ππππππωπωπ+≤+<+≤+∈Z 得，1542,24k k k ω+≤≤+∈Z ，15024∵，∴ωω>≤≤.10．【答案：B 】解析：易知ln(1)0y x x =+-≤对(1,0)(0,)x ∈-+∞恒成立，当且仅当0x =时，取等号，故的值域是(-∞, 0). 所以其图像为B. 11．【答案：A 】解析：易知点S 到平面ABC 的距离是点O 到平面ABC 的距离的2倍.显然O -ABC 是棱长为113O ABC V -==，2S ABC O ABC V V --==. 12．【答案：B 】 解析：因为12xy e =与ln(2)y x =互为反函数，所以曲线12x y e =与曲线ln(2)y x =关于直线y =x 对称，故要求|PQ |的最小值转化为求与直线y =x 平行且与曲线相切的直线间的距离，设切点为A ，则A 点到直线y =x 距离的最小值的2倍就是|PQ |的最小值. 则11()122x x y e e ''===，2x e ∴=，即ln 2x =，故切点A 的坐标为(ln 2,1)，因此，切点A 点到直线y =x距离为d ==，所以||2ln 2)PQ d ==-. 二、填空题： 13．【答案：解析：由已知得222222|2|(2)444||4||||cos45||a b a b a a b b a a b b -=-=-⨯+=-⋅+24|||10b b =-+=，解得||32b =.14．【答案：[3,3]-】解析：画出可行域，易知当直线2Z x y =-经过点(1,2)时，Z 取最小值-3；当直线2Z x y =-经过点(3,0)时，Z 取最大值3. 故2Z x y =-的取值范围为[3,3]-. 15．【答案：38】解析：由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为12，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2113[1(1)]228--⨯=. 16．【答案：1830】解析：由1(1)21nn n a a n ++-=-得2212124341①②k k k k a a k a a k -+-=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩，由②-①得,21212k k a a +-+=③ 由①得, 2143656059()()()()奇偶S S a a a a a a a a -=-+-+-++-(1117)30159********+⨯=++++==.由③得, 3175119()()()奇S a a a a a a =++++++5957()21530a a ++=⨯=，所以60()217702301830奇奇奇偶偶S S S S S S =+=-+=+⨯=.三、解答题：17．解析：（Ⅰ）由cos sin 0a C C b c --=及正弦定理可得sin cos sin A C A Csin sin 0B C --=，sin cos sin sin()sin 0A C A C A C C -+-=sin cos sin A C A C -sin 0C -=，sin 0C >，cos 10A A --=，2sin()106A π∴--=，1sin()62A π-=，0A π<<，5666A πππ∴-<-<，66A ππ∴-=，3A π∴=.（Ⅱ）ABCS=，1sin 24bc A ∴==4bc ∴=，2,3a A π==，222222cos 4a b c bc A b c bc ∴=+-=+-=，228b c ∴+=，解得2b c ==.18．解析：（Ⅰ）当n ≥16时，y =16×(10-5)=80，当n ≤15时，y =5n -5×(16-n )=10n -80，得1080,(15)()80,(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩ .（Ⅱ）（ⅰ）X 可能取60，70，80. P (X =60)=0.1，P (X =70)=0.2，P (X =80)=0.7， X 的分布列为：X X 的方差D (X ) =(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. （ⅱ）若花店计划一天购进17枝玫瑰花，X 的分布列为X因为76.4>76，所以应购进17枝玫瑰花. 19．解析：（Ⅰ） 证明：设112AC BC AA a ===，直三棱柱111C B A ABC -，1DC DC ∴==， 12CC a =，22211DC DC CC∴+=，1DC DC ∴⊥.又1DC BD ⊥，1DC DC D =，1DC ∴⊥平面BDC . BC ⊂平面BDC ，1DC BC ∴⊥.（Ⅱ）由 (Ⅰ)知，1DC =，1BC =，又已知BD DC ⊥1，BD ∴=. 在Rt ABD △中，BD =，,90AD a DAB =∠=，AB ∴=. 222AC BC AB ∴+=，C BADC 1 A 1 B 1AC BC ∴⊥.法一：取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ，已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角. 在1Rt C DE △中，1111sin 2C E C DE C D ∠===，130C DE ∴∠=. 即二面角11C BD A --的大小为30.法二：以点C 为坐标原点，为x 轴，CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立空间直角坐标系C xyz -.则()()()()11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2A a a B aD a a C a . (),,DB a a a =--，()1,0,DC a a =-,设平面1DBC 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1111110n DB ax ay az n DC ax az ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，不妨令11x =，得112,1y z ==，故可取1(1,2,1)n =.同理,可求得平面1DBA 的一个法向量2(1,1,0)n =. 设1n 与2n 的夹角为θ，则12123cos ||||6n n n n θ⋅===⋅⨯, 30θ∴=. 由图可知，二面角的大小为锐角，故二面角11C BD A --的大小为30.20．解析：（Ⅰ） 由对称性可知，BFD △为等腰直角三角形，斜边上的高为p ，斜边长2BD p =. 点A 到准线l 的距离d FB FD===.由ABD S =△得，11222BD d p ⨯⨯=⨯= 2p ∴=. 圆F 的方程为22(1)8x y +-=. （Ⅱ） 由对称性，不妨设点(,)A A A x y 在第一象限，由已知得线段AB 是圆F 的在直径，90oADB ∠=，2BDp ∴=，32A y p ∴=，代入抛物线:C py x22=得A x =.直线m 的斜率为AF k ==.直线m 的方程为02x +=. 由pyx 22= 得22x y p=,x yp '=. 由3x y p '==得, x p =.故直线n 与抛物线C的切点坐标为)6p，直线n的方程为0x -=. 所以坐标原点到m ，n 3=.21．解析：（Ⅰ） 1()(1)(0)x f x f e f x -''=-+，令x =1得，f (x )=1，再由121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+，令0x =得(1)f e '=. 所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+，∴()1xf x e x '=-+，易知()1xf x e x '=-+是R 上的增函数，且(0)0f '=.所以()00f x x '>⇔>，()00f x x '<⇔<，所以函数)(x f 的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞.（Ⅱ） 若b ax x x f ++≥221)(恒成立，即21()()(1)02x h x f x x ax b e a x b =---=-+-≥ 恒成立，()(1)x h x e a '=-+.(1)当10a +<时，()0h x '>恒成立，()h x 为R 上的增函数，且当x →-∞时，()h x →-∞，不合题意；(2)当10a +=时，()0h x >恒成立，则0b ≤，(1)0a b +=；(3)当10a +>时，()(1)xh x e a '=-+为增函数，由()0h x '=得ln(1)x a =+，故()0ln(1)f x x a '>⇔>+，()0ln(1)f x x a '<⇔<+，当ln(1)x a =+时，()h x 取最小值(ln(1))1(1)ln(1)h a a a a b +=+-++-. 依题意有(ln(1))1(1)ln(1)0h a a a a b +=+-++-≥，即1(1)ln(1)b a a a ≤+-++，10a +>，22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a ∴+≤+-++，令22()ln 0u x x x x x =-> ()，则()22ln (12ln )u x x x x x x x '=--=-，()00()0u x x u x ''>⇔<<<x ⇔>x =()u x取最大值2eu =.故当1a b +==(1)a b +取最大值2e. 综上，若b ax x x f ++≥221)(，则 b a )1(+的最大值为2e .22．解析：（Ⅰ） ∵D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，∴DE //BC . ∵CF //AB ，DF //BC ，∴CF //BD 且CF =BD ，∵又D 为AB 的中点，∴CF //AD 且CF =AD ，∴CD =AF . ∵CF //AB ，∴BC =AF ，∴CD =BC . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC //GF ，∴GB =CF =BD ，∠BGD =∠BDG =∠DBC =∠BDC ，∴△BCD ∽△GBD .23．解析：（Ⅰ）依题意，点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ. 所以点A ，B ，C ，D的直角坐标分别为、(、(1,-、1)-. （Ⅱ） 设()2cos ,3sin P ϕϕ，则222222||||||||(12cos )3sin )PA PB PC PD ϕϕ+++=-+222222(2cos )(13sin )(12cos )(3sin )2cos )(13sin )ϕϕϕϕϕϕ++-+--+++--[]22216cos 36sin 163220sin 32,52ϕϕϕ=++=+∈.所以2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围为[]32,52.G24．解析：（Ⅰ） 当3a =-时，不等式3)(≥x f ⇔|3||2|3x x -+-≥()()2323x x x ≤⎧⎪⇔⎨----≥⎪⎩或()()23323x x x <<⎧⎪⎨-++-≥⎪⎩或()()3323x x x ≥⎧⎪⎨-+-≥⎪⎩⇔或4x ≥. 所以当3a =-时，不等式3)(≥x f 的解集为{1x x ≤或}4x ≥.（Ⅱ）()|4|f x x ≤-的解集包含]2,1[，即|||2||4|x a x x ++-≤-对[]1,2x ∈恒成立，即||2x a +≤对[]1,2x ∈恒成立，即22a x a --≤≤-对[]1,2x ∈恒成立，所以2122a a --≤⎧⎨-≥⎩，即30a -≤≤. 故a 的取值范围为[]3,0-.。
南昌大学 2012～2013学年第二学期期末考试试卷 一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设:020202x y z Ω≤≤≤≤≤≤，，，则三重积分xyzdV Ω=⎰⎰⎰ _____.2. 交换二次积分的顺序2 22 0(,)yy dy f x y dx ⎰⎰= _________.3. 函数22(,)4()f x y x y x y =---的极大值为_______.4. 将1()6f x x =-展开成x 的幂级数为________.5. 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离为__________.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 函数xy x yz +=arcsin 的定义域是（ ）（A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ；（B ）{}0,|),(≠≥x y x y x ；（C ）{}(,)|0,0x y x y x ≥≥≠{}0,0|),(≠≤≤x y x y x ； （D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x .2.设∑为由曲面22y x z +=及平面1=z所围成的立体的表面，则曲面积分22()x y dS ∑+⎰⎰= （ ）（A ）π22； （B ）π221+； （C ）2π； （D ）0.3.级数∑∞=+111n p n 发散，则（ ）（A ）0≤p ；（B ）0>p ；（C ）1≤p ；（D ）1<p .4.设函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则在点（0，0）处 （ ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。
5.设123,,y y y 是常系数线性非齐次方程()y py qy f x '''++=的三个线性无关的解，则0y py qy '''++=的通解为 （ ）（A ）1122C y C y +； （B ）1223C y C y +；（C ）1122C y C y +33C y +；（D ）1122C y C y +123()C C y -+.三、计算题(共24分，每小题8分)1、设arctan x yz x y +=-，求z x ∂∂和2z x y ∂∂∂.2、判断级数1313n n n ∞=-∑的敛散性.3、求微分方程71212y y y x '''-+=的通解 四、解答题（一）(共24分，每小题8分) 1、设方程(,)0f xz yz =可确定z 是,x y 的函数，且(,)f u v 具有连续偏导数，求dz .2、计算曲线积分22(sin 2)()L x y dx x y dy --+⎰，其中L 为由点(0,2)A 到(0,0)O 的左半圆周222x y y +=.3、求级数12nn n x n ∞=⋅∑的收敛域与和函数.五、解答题（二）(共16分，每小题8分)1、求椭球面2222349x y z ++=上点（1，1，1 ） 处的切平面方程和法线方程.2、利用高斯公式计算曲面积分()()()x y dydz y z dzdx z x dxdy ∑+++++⎰⎰,其中∑为平面0,0,0,1,1,1x y z x y z ====== 所围成的立体的表面的外侧.六、证明题(本题满分6分)设数列{}n a 单调减少，0n a >（1,2,n =）且1(1)nn n a ∞=-∑发散，证明11()1nn n a ∞=+∑收敛.南昌大学 2012～2013学年第二学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设:020202x y z Ω≤≤≤≤≤≤，，，则三重积分xyzdV Ω=⎰⎰⎰8.2. 交换二次积分的顺序2 22 0(,)yy dy f x y dx ⎰⎰=()402,dx f x y dy ⎰⎰.3. 函数22(,)4()f x y x y x y =---的极大值为8.4. 将1()6f x x =-展开成x 的幂级数为()10666n n n x x ∞+=-<<∑.5. 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离为.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 函数xy x yz +=arcsin 的定义域是（ C ）（A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ；（B ）{}0,|),(≠≥x y x y x ；（C ）{}(,)|0,0x y x y x ≥≥≠{}0,0|),(≠≤≤x y x y x ； （D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x .2.设∑为由曲面22y x z +=及平面1=z所围成的立体的表面，则曲面积分22()x y dS ∑+⎰⎰= （ B ） （A ）π22； （B ）π221+； （C ）2π； （D ）0.3.级数∑∞=+111n p n 发散，则（A ）（A ）0≤p ；（B ）0>p ；（C ）1≤p ；（D ）1<p .4.设函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则在点（0，0）处 （ C ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。
第 1 页 共 3 页2012年全国高考2卷理科数学试题及答案一．选择题：（共12个小题,每小题5分，满分60分） 1. 复数131ii-++= （A) 2+i（B) 2-i（C) 1+2i（D)1-2i2.已知集合A ={1，，B ={1,m ｝，A ∪B =A ,则m = (A ） 0（B) 0或3(C) 1（D ） 1或33。
椭圆的中心在原点,焦距为4，一条准线为x = - 4，则该椭圆的方程为(A ） 221612y +x =1(B) 22168y +x =1（C ） 2284y +x =1（D)22124y +x =14。
已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB = 2，CC 1E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为： (A) 2(B ）(C ）(D) 15。
已知等差数列{a n ｝的前n 项和为S n ，a 5 = 5，S 5 =15，则数列｛11n n a a +｝的前100项和为（A) 100101(B ）99101(C)99100（D)1011006.△ABC 中，AB 边的高为CD ，CB = a ，CA = b ,a •b = 0，｜ a ｜ = 1,｜ b ｜ = 2，则AD = (A)13a -13b （B)23a -23b (C ）35a -35b (D)45a -45b7.已知α 为第二象限的角，sin α +cos α，则cos2α = (A)（B ）(C)（D ）8.已知F 1、F 2为双曲线C :x 2-y 2 =2的左、右焦点，点P 在C 上，｜PF 1|=2｜PF 2|，则cos ∠F 1PF 2 = (A ） 14(B)35（C ）34(D ）459.已知x = ln π，y =log 5 2，z =12e -，则（A) x < y 〈 z（B) z 〈 x 〈 y(C ） z 〈 y < x（D) y〈z〈x10.已知函数y =x 3-3x + c的图像与x轴恰有两个公共点，则c =(A) -2或2 （B）-9或3 (C）-1或1 (D）-3或111.将字母a，a，b，b, c, c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同，则不同点排列方法共有(A）12种（B）18种(C) 24种（D）36种12。
实用文档文案大全2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={(x,y)| x∈A, y∈A, x-y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A. 3B. 6C. 8D. 102. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A. 12种B. 10种C. 9种D. 8种3. 下面是关于复数iz???12的四个命题中，真命题为（）P1: |z|=2， P2: z2=2i， P3: z的共轭复数为1+i， P4: z的虚部为-1 .A. P2，P3B. P1，P2C. P2，P4D. P3，P44. 设F1，F2是椭圆E: 12222??byax)0(??ba的左右焦点，P为直线23ax?上的一点，12PFF△是底角为30o的等腰三角形，则E的离心率为（）A.21B.32C.43D.545. 已知{a n}为等比数列，a4 + a7 = 2，a5 a6 = 8，则a1 + a10 =（）A. 7B. 5C. -5D. -76. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a N，输入A、B，则（）A. A+B为a1， a2，…，a N的和B.2BA?为a1， a2，…，a N的算术平均数C. A和B分别是a1， a2，…，a N中最大的数和最小的数D. A和B分别是a1， a2，…，a N中最小的数和最大的数7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 18实用文档文案大全8. 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=34，则C的实轴长为（）A.2B. 22C. 4D. 89. 已知0??，函数)4sin()(????xxf在),2(??单调递减，则?的取值范围是（）A. 15[,]24B. 13[,]24C. 1(0,]2D. (0,2]10. 已知函数xxxf???)1ln(1)(，则)(xfy?的图像大致为（）A. B. C. D.11. 已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A.62B. 63C. 32D. 2212. 设点P在曲线x ey21?上，点Q在曲线)2ln(xy?上，则||PQ的最小值为（）A. 2ln1?B.)2ln1(2? C. 2ln1? D. )2ln1(2?第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知向量a，b夹角为45o，且1?||a，102??||ba，则?||b .14. 设x，y满足约束条件??????????????0031yxyxyx，则2zxy??的取值范围为. 15. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3 1 1y xo 1 1y x o 1 1y x o 1 1y x o实用文档文案大全正常工作，则部件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布N(1000，502)，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .16. 数列}{n a满足12)1(1?????naa nnn，则}{n a的前60项和为 .三、解答题：（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. （本小题12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，0sin3cos????cbCaCa.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为3，求b，c.18. （本小题12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. （Ⅰ）若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n ∈N）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. （i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.19. （本小题12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，121AABCAC??，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD. （Ⅰ）证明：DC1⊥BC；（Ⅱ）求二面角A1-BD-C1的大小.20. （本小题满分12分）设抛物线:C pyx22?)0(?p 的焦点为F，准线为l，A为C上的一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点. （Ⅰ）若∠BFD=90o，△ABD面积为24，求p的值及圆F的方程；（Ⅱ）若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n的距离的比值.元件1元件2元件3C BADC1A1 B1实用文档文案大全21. （本小题12分）已知函数121()(1)(0)2x fxfefxx?????. （Ⅰ）求)(xf的解析式及单调区间；（Ⅱ）若baxxxf???221)(，求ba)1(?的最大值. 请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑. 22. （本小题10分）【选修4-1：几何证明选讲】如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交于△ABC的外接圆于F，G两点，若CF // AB，证明：（Ⅰ）CD = BC；（Ⅱ）△BCD∽△GBD.23. （本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C1的参数方程是2cos3sinxy???????（?为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ = 2. 正方形ABCD 的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为)3,2(?.（Ⅰ）点A，B，C，D的直角坐标；（Ⅱ）设P为C1上任意一点，求|PA|2 + |PB|2 + |PC|2 + |PD|2的取值范围.24. （本小题10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数f (x) = |x + a| + |x-2|.（Ⅰ）当a =-3时，求不等式f (x) ≥ 3的解集；（Ⅱ）若f (x) ≤ | x-4 |的解集包含[1, 2]，求a的取值范围.FGDEABC．实用文档文案大全2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）理科数学【参考答案】一、选择题：1．【答案：D】解析：要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x，小的是y，共2510C?种选法. 2．【答案：A】解析：只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共有1224CC种安排方案. 3．【答案：C】解析：经计算2221,||2(1)21zizziii??????????? =，，复数z的共轭复数为1i??，z的虚部为1?，综上可知P2，P4正确.4．【答案：C】解析：由题意可得，21FPF△是底角为30o的等腰三角形可得212PFFF?，即32()22acc??，所以34cea??. 5．【答案：D】解析：472∵aa??，56478aaaa???，4742aa????，或4724aa???，，14710∵，，，aaaa 成等比数列，1107aa????.6．【答案：C】解析：由程序框图判断x>A得A应为a1，a2，…，a N中最大的数，由x<B得B应为a1，a2，…，a N中最小的数. 7．【答案：B】解析：由三视图可知，此几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形（俯视图），高为3的三棱锥，故其体积为1132323932V??????. 8．【答案：C】解析：抛物线的准线方程是x=4，所以点A(43)?在222xya??上，将点A代入得24a?，所以实轴长为24a?.9．【答案：A】解析：由322,22442kkk??????????????????Z得，1542,24kkk??????Z，15024∵，∴?????.10．【答案：B】实用文档文案大全解析：易知ln(1)0yxx????对(1,0)(0,)x????U恒成立，当且仅当0x?时，取等号，故的值域是(-∞, 0). 所以其图像为B. 11．【答案：A】解析：易知点S到平面ABC的距离是点O到平面ABC的距离的2倍.显然O-ABC是棱长为1的正四面体，其高为63，故136234312OABC V?????，226SABCOABC VV????. 12．【答案：B】解析：因为12x ye?与ln(2)yx?互为反函数，所以曲线12x ye?与曲线ln(2)yx?关于直线y=x对称，故要求|PQ|的最小值转化为求与直线y=x平行且与曲线相切的直线间的距离，设切点为A，则A点到直线y=x距离的最小值的2倍就是|PQ|的最小值.则11()122xx yee?????，2x e??，即ln2x?，故切点A的坐标为(ln2,1)，因此，切点A点到直线y=x距离为|ln21|1ln222d????，所以||22(1ln2)PQ d???. 二、填空题：13．【答案：32】解析：由已知得222222|2|(2)444||4||||cos45||ababaabbaabb???????????o rrrrrr rrrrrr2422||||10bb????rr，解得||32b?r.14．【答案：[3,3]?】解析：画出可行域，易知当直线2Zxy??经过点(1,2)时，Z取最小值-3；当直线2Zxy??经过点(3,0)时，Z取最大值3. 故2Zxy??的取值范围为[3,3]?.15．【答案：38】解析：由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为12，所以该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2113[1(1)]228????. 16．【答案：1830】解析：由1(1)21nnn aan?????得2212124341①②kkkk aakaak?????????????LL，由②?①得,21212kk aa????③由①得, 2143656059()()()()奇偶SSaaaaaaaa??????????L(1117)3015911717702?????????L.由③得, 3175119()()()奇Saaaaaa???????AB C O实用文档文案大全5957()21530aa?????L，所以60()217702301830奇奇奇偶偶SSSSSS?????????.三、解答题：17．解析：（Ⅰ）由cos3sin0aCaCbc????及正弦定理可得sincos3sinsinACAC?sinsin0BC???，sincos3sinsinsin()sin0ACACACC?????，3sinsincossinACAC?sin0C??，sin0C?Q，3sincos10AA????，2sin()106A?????，1sin()62A???，0A???Q，5666A????????，66A?????，3A???.（Ⅱ）3ABC S?V Q，13sin324bcAbc???，4bc??，2,3aA???Q，222222cos4abcbcAbcbc????????，228bc???，解得2bc??.18．解析：（Ⅰ）当n≥16时，y=16×(10-5)=80，当n≤15时，y=5n-5×(16-n)=10n-80，得1080,(15)()80,(16)nnynNn????????. （Ⅱ）（ⅰ）X可能取60，70，80. P(X=60)=0.1，P(X=70)=0.2，P(X=80)=0.7，X的分布列为：X60 70 80 P0.10.20.7X的数学期望E(X) =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76，X的方差D(X) =(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. （ⅱ）若花店计划一天购进17枝玫瑰花，X的分布列为X55 65 75 85 P0.10.20.160.54X的数学期望E(X) =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4，因为76.4?76，所以应购进17枝玫瑰花. 19．解析：（Ⅰ）证明：设112ACBCAAa???，直三棱柱111CBAABC?，2DCDa???，12CCa?，22211DCDC CC???，1DCDC??.又1DCBD?Q，1DCDCD?I，1DC??平面BDC. BC?Q平面BDC，1DCBC??. （Ⅱ）由 (Ⅰ)知，12DCa?，15BCa?，又已知BDDC?1，3BDa??. 在RtABD△中，3BDa?，,90ADaDAB???o，2ABa??. 222ACBCAB???，C BADAB1实用文档文案大全ACBC??.法一：取11AB的中点E，则易证1CE?平面1BDA，连结DE，则1CE?BD，已知BDDC?1，BD??平面1DCE，BD??DE，1CDE??是二面角11CBDA??平面角. 在1RtCDE△中，111221sin22CEaCDECDa????，130CDE???. 即二面角11CBDA??的大小为30.法二：以点C为坐标原点，为x轴，CB为y轴,1CC为z轴,建立空间直角坐标系Cxyz?.则????????11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2AaaBaDaaCa.??,,DBaaa???uuur，??1,0,DCaa??uuur,设平面1DBC的法向量为1111(,,)nxyz?r，则11111100nDBaxayaznDCaxaz????????????????uuurruuurr，不妨令11x?，得112,1yz??，故可取1(1,2,1)n?r.同理,可求得平面1DBA的一个法向量2(1,1,0)n?r. 设1nr与2nr的夹角为?，则121233cos||||262nnnn???????rrrr, 30???. 由图可知，二面角的大小为锐角，故二面角11CBDA??的大小为30.20．解析：（Ⅰ）由对称性可知，BFD△为等腰直角三角形，斜边上的高为p，斜边长2BDp?. 点A到准线l的距离2dFBFDp???. 由42ABD S?△得，11224222BDdpp??????，2p??. 圆F的方程为22(1)8xy???. （Ⅱ）由对称性，不妨设点(,)AA Axy在第一象限，由已知得线段AB是圆F的在直径，90o ADB??，2BDp??，32A yp??，代入抛物线:C pyx22?得3A xp?.直线m的斜率为333AF pkp??.直线m的方程为332pxy???. 由pyx22?得22xyp?,xyp??. 由33xyp???得, 33xp?.故直线n与抛物线C的切点坐标为3(,)36pp，直线n的方程为3306pxy???.所以坐标原点到m，n的距离的比值为333412：pp?.实用文档文案大全21．解析：（Ⅰ）1()(1)(0)x fxfefx??????，令x=1得，f (x)=1，再由0x?得(1)fe??. 所以)(xf的解析式为121()(1)(0)2x fxfefxx?????，令21()2x fxexx???，∴()1x fxex????，易知()1x fxex????是R上的增函数，且(0)0f??.所以()00fxx????，()00fxx????，所以函数)(xf的增区间为(0,)??，减区间为(,0)??.（Ⅱ）若baxxxf???221)(恒成立，即21()()(1)02x hxfxxaxbeaxb?????????恒成立，()(1)x hxea????Q.(1)当10a??时，()0hx??恒成立，()hx为R上的增函数，且当x???时，()hx???，不合题意；(2)当10a??时，()0hx?恒成立，则0b?，(1)0ab??；(3)当10a??时，()(1)x hxea????为增函数，由()0hx??得ln(1)xa??，故()0ln(1)fxxa?????，()0ln(1)fxxa?????，当ln(1)xa??时，()hx取最小值(ln(1))1(1)ln(1)haaaab???????. 依题意有(ln(1))1(1)ln(1)0haaaab????????，即1(1)ln(1)baaa?????，10a??Q，22(1)(1)(1)ln(1)abaaa???????，令22()ln0uxxxxx??? ()，则()22ln(12ln)uxxxxxxx??????，()00,()0uxxeux???????xe??，所以当xe?时，()ux取最大值()2eue?. 故当1,2eaeb???时，(1)ab?取最大值2e. 综上，若baxxxf???221)(，则ba)1(?的最大值为2e.22．解析：（Ⅰ）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，∴DE//BC. ∵CF//AB，DF//BC，∴CF//BD且CF=BD，∵又D为AB的中点，∴CF//AD且CF=AD，∴CD=AF. ∵CF//AB，∴BC=AF，∴CD=BC. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC//GF，∴GB=CF=BD，∠BGD=∠BDG=∠DBC=∠BDC，∴△BCD∽△GBD.23．解析：（Ⅰ）依题意，点A，B，C，D的极坐标分别为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636????. 所以点A，B，C，D的直角坐标分别为(1,3)、(3,1)?、(1,3)??、(3,1)?. （Ⅱ）设??2cos,3sin P??，则222222||||||||(12cos)(33sin)PAPBPCPD?????????222222(32cos)(13sin)(12cos)(33sin)(32cos)(13sin)??????????????????????FGDEABC．实用文档文案大全??22216cos36sin163220sin32,52?????????.所以2222||||||||PDPCPBPA???的取值范围为??32,52.24．解析：（Ⅰ）当3a??时，不等式3)(?xf?|3||2|3xx????????2323xxx????????????或????23323xxx????????????或????3323xxx???????????或4x?. 所以当3a??时，不等式3)(?xf的解集为?1xx?或?4x?.（Ⅱ）()|4|fxx??的解集包含]2,1[，即|||2||4|xaxx?????对??1,2x?恒成立，即||2xa??对??1,2x?恒成立，即22axa?????对??1,2x?恒成立，所以2122aa????????，即30a???. 故a的取值范围为??3,0?.。
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合A={1, 2, 3, 4, 5} ，B={( x,y)| x∈A, y∈A, x- y∈A}，则B 中所含元素的个数为（）A. 3B. 6C. 8D. 102. 将2 名教师，4 名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（）A. 12 种B. 10 种C. 9 种D. 8 种3. 下面是关于复数z21 i的四个命题中，真命题为（）2P1: |z|=2，P2: z =2i，P3: z 的共轭复数为1+i，P4: z 的虚部为- 1 .A. P2，P3B. P1，P2C. P2，P4D. P3，P42 2x y 4.设F1，F2 是椭圆E: 12 2a b (a b 0) 的左右焦点，P 为直线3ax 上的一点，2△F2PF 是底角为30o的等腰三角形，则E 的离心率为（）1A. 12B.23C.34D.455. 已知{ a n}为等比数列，a4 + a7 = 2，a5 a6 = 8，则a1 + a10 =（）A. 7B. 5C. - 5D. - 76. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，⋯，a N，输入A、B，则（）A. A+B 为a1，a2，⋯，a N 的和B. A B 为a1，a2，⋯，a N 的算术平均数2C. A 和B 分别是a1，a2，⋯，a N 中最大的数和最小的数D. A 和B 分别是a1，a2，⋯，a N 中最小的数和最大的数7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 182012 年高考数学试题（理）第1页【共10 页】8. 等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y2=16 x 的准线交于A，B 两点，|AB|=4 3 ，则 C 的实轴长为（）A. 2B. 2 2C. 4D. 89. 已知0 ，函数 f (x) sin( x ) 在, )( 单调递减，则的取值范围是（）4 2A.1 5[ , ]2 4B.1 3[ , ]2 4C.1(0, ]2D. (0,2]10. 已知函数f1(x) ，则y f (x) 的图像大致为（）ln( x 1) xy y y y1o 1 x 1o 1 x1o 1 x1ox 1A. B. C. D.11. 已知三棱锥S- A BC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为 1 的正三角形，SC为球O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（）A.26B.36C.23D.2212. 设点P 在曲线y 12xe 上，点Q 在曲线y ln( 2x) 上，则| PQ |的最小值为（）A. 1 ln 2B. 2(1 ln 2)C. 1 ln 2D. 2(1 ln 2)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13 题～第21 题为必考题，每个试题考生必须做答.第22 题～第24 题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分.）13. 已知向量 a ，b 夹角为45o，且|a| 1，|2a b| 10 ，则|b| .x y 1x y 3，则z x 2y的取值范围为.14. 设x，y 满足约束条件x 0y 02012 年高考数学试题（理）第2页【共10 页】15.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部元件1件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命（单位：小2)，且各元件能否正时）服从正态分布N(1000，50 元件2元件3常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000 小时的概率为.n16.数列{a n} 满足a n 1 ( 1) a n 2n 1，则{a n} 的前60 项和为.三、解答题：（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题12 分）已知 a ，b，c 分别为△ABC 三个内角A，B ，C 的对边，a cos C3asin Cbc 0 .（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，△ABC 的面积为 3 ，求b，c.18.（本小题12 分）某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（Ⅰ）若花店某天购进16 枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n∈N）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20频数10 20 16 16 15 13 10 以100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.（i）若花店一天购进16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；（ii ）若花店计划一天购进16 枝或17 枝玫瑰花，你认为应购进16 枝还是17 枝？请说明理由. C1 B1 19.（本小题12 分）如图，直三棱柱ABC - A1B1C1 中，A11AC ，D 是棱AA1 的中点，DC1⊥BD.BC AA12D（Ⅰ）证明：DC1⊥BC；C B（Ⅱ）求二面角A1- BD- C1 的大小.A2 ( p 0) 的焦点为F，准线为l，A 为C 上20.（本小题满分12 分）设抛物线C : x 2py的一点，已知以 F 为圆心，FA 为半径的圆 F 交l 于B，D 两点.（Ⅰ）若∠BFD =90 o，△ABD 面积为4 2 ，求p 的值及圆 F 的方程；（Ⅱ）若A、B、F 三点在同一直线m上，直线n与m 平行，且n 与C 只有一个公共m，n 的距离的比值.点，求坐标原点到2012 年高考数学试题（理）第3页【共10 页】21.（本小题12 分）已知函数x1 1 2f (x) f (1)e f (0) x x .2（Ⅰ）求 f (x) 的解析式及单调区间；12（Ⅱ）若 f (x) x ax b ，求(a 1)b 的最大值.2请考生在第22、23、24 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.22.（本小题10 分）【选修4-1：几何证明选讲】A 如图，D，E 分别为△ABC边A B，AC 的中点，直线D E 交于△ABC 的外接圆于F，G 两点，若CF // AB，证明：（Ⅰ）CD = BC；G DEF （Ⅱ）△BCD ∽△GBD .B C23.（本小题10 分）【选修4- 4：坐标系与参数方程】已知曲线C1 的参数方程是xy2cos3sin（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程是ρ= 2. 正方形ABCD 的顶点都在C2 上，且A，B，C，D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为)(2, .3（Ⅰ）点A，B，C，D 的直角坐标；2 （Ⅱ）设P为C1 上任意一点，求|PA |2+ |PB|2+ |PC |2 的取值范围.+ |PD |24.（本小题10 分）【选修4- 5：不等式选讲】已知函数 f (x) = |x + a| + |x- 2|.（Ⅰ）当 a =- 3 时，求不等式 f (x) ≥3 的解集；（Ⅱ）若 f (x) ≤| x- 4 |的解集包含[1, 2] ，求 a 的取值范围.2012 年高考数学试题（理）第4 页【共10 页】2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）理科数学【参考答案】一、选择题：1．【答案：D】解析：要在1，2，3，4，5 中选出两个，大的是x，小的是y，共 2C5 10 种选法. 2．【答案：A】解析：只需选定安排到甲地的 1 名教师2名学生即可，共有 1 2C C 种安排方案.2 43．【答案：C】22 2解析：经计算，，复数z 的共轭复数为z 1 i, | z| 2 z ( 1 i) =2i1 i1 i ，z的虚部为1，综上可知P2，P4正确.4．【答案：C】解析：由题意可得，△F PF 是底角为30o 的等腰三角形可得2 1 PF F F ，即2 1 23a2( c ) 2c，所以2 eca34.5．【答案：D】解析：∵a4 a7 2，a5a6 a4a7 8，a4 4，a7 2或a4 2，a7 4，∵a，a ，a ，a 成等比数列，1 4 7 10a1 a10 7 .6．【答案：C】解析：由程序框图判断x>A 得A应为a1，a2，⋯，a N 中最大的数，由x<B 得B应为a1，a2，⋯，a N 中最小的数.7．【答案：B】解析：由三视图可知，此几何体为底面是斜边为 6 的等腰直角三角形（俯视图），高为3 的三棱锥，故其体积为1 1V 3 2 3 2 3 9.3 28．【答案：C】解析：抛物线的准线方程是x=4，所以点A( 4,2 3) 在 2 2 2x y a 上，将点 A 代入得2 4a ，所以实轴长为2a 4 .9．【答案：A】3解析：由 2 2 ,k k k Z得，2 2 4 4 21 5∵0，∴.2 4 1 54k 2k, k Z，2 42012 年高考数学试题（理）第5页【共10 页】10．【答案： B 】解析： 易知 y ln( x 1) x 0 对 x ( 1,0) U (0, ) 恒成立， 当且仅当 x 0时， 取等号，故的值域是 (-∞, 0). 所以其图像为 B. 11．【答案： A 】解析：易知点 S 到平面 ABC 的距离是点 O 到平面 ABC 的距离的 2 倍.显然 O- ABC 是棱长为 1 的正四面体，其高为6 3，故1 3 6 2V ，22VV.O ABCS ABCO ABC3 43 12 612．【答案： B 】解析： 因为1x y e 与 y ln(2 x)互为反函数，所以曲线 21 xy e 与曲线 y ln(2 x)关于 2 直线 y=x 对称，故要求 |PQ |的最小值转化为求与直线y=x 平行且与曲线相切的直线间的距离，设切点为 A ，则 A 点到直线 y=x 距离的最小值的 2 倍就是 |PQ |的最小值 . 则11xxxy ( e )e 1， e2 ，即 x ln 2 ，故切点 A 的坐标为 (ln 2,1)，因此， 2 2切点 A 点到直线 y=x 距离为| ln 2 1|1 ln 2d，所以 | PQ|2d 2(1 ln2) .22二、填空题： 13．【答案： 3 2 】r r r r rr rrrrrr22222o2|2a b| (2a b)4a 4a b b4|a| 4| a| | b |cos45 |b| 解析： 由已知得rrr24 2 2 | b | |b | 10 ，解得 |b | 3 2.14．【答案： [ 3,3]】解析：画出可行域， 易知当直线 Zx 2y 经过点 (1,2) 时，AC Z 取最小值 - 3；当直线 Zx 2y 经过点 (3,0) 时， Z 取最大值 3. 故 Z x 2y 的取值范围为 [ 3,3].OB15．【答案： 3 8】解析： 由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000 小时的概率均为 1 2，所以该部件的使用寿命超过1000 小时的概率为1 1 32[1 (1 ) ]2 2 8.16．【答案：1830】解析：由na 1 ( 1) a 2n 1 得n n a a 4k 3L2k 2k 1a a 4k 1L2k 1 2k①②，由②①得,a2k 1 a2k 1 2 ③由①得, S S (a a ) (a a ) (a a ) L (a a )偶奇2 1 43 6 5 60 59 2012 年高考数学试题（理）第6页【共10 页】(1 117) 301 5 9 117 1770L . 由③得, S (a3 a1) (a7 a5) (a11 a9)奇2L (a a ) 2 15 30 ，所以59 57 S60 S S奇(S S奇) 2S奇1770 2 30 1830.偶偶三、解答题：17．解析：（Ⅰ）由 a c osC 3a s inC b c 0及正弦定理可得sin A cosC 3sin AsinC sinB sinC 0，sinAcosC 3sinAsinC sin(A C) sinC 0，3sin AsinC cosAsinC sin C 0 ，Q sin C 0 ，3sin A cos A 1 0 ，2sin( A ) 1 0 ，61sin( A ) ，Q 0 A ，6 25A ，6 6 6A ，6 6A .3（Ⅱ）Q S 3 ，V ABC 1 3bc sin A bc 3 ，bc 4 ，Q a 2, A ，2 4 32 2 2 2 cos 2 2 4a b c bc A b c bc ，2 2 8b c ，解得b c 2 .18．解析：（Ⅰ）当n≥16 时，y=16×(10- 5)=80，当n≤15 时，y=5n- 5×(16 - n)=10 n- 80，得10n 80,(n 15)y (n N)80, (n 16).（Ⅱ）（ⅰ）X 可能取60，70，80. P (X =60)=0.1，P (X =70)=0.2，P(X=80)=0.7 ，X 的分布列为：X 60 70 80P 0.1 0.2 0.7 X 的数学期望E(X) =60 ×0.1+70 ×0.2+80 ×0.7=76，X 的方差D(X) =(60-76) 2×0.1+(70-76) 2×0.2+(80-76) 2×0.7=44.（ⅱ）若花店计划一天购进17 枝玫瑰花，X 的分布列为X 55 65 75 85P 0.1 0.2 0.16 0.54 X 的数学期望E(X) =55 ×0.1+65 ×0.2+75 ×0.16+85 ×0.54=76.4，因为76.4 76，所以应购进17 枝玫瑰花.119 ．解析：（Ⅰ）证明：设1AC BC AA a ，直三棱柱2 ABC A1B C ，1 1DC1 DC 2a ，CC1 2a ， 2 2 2DC DC CC ，DC1 DC . 又1 1Q DC BD ，1 DC I DC D ，DC1 平面B D C .1C1 B1Q BC 平面BDC ，DC1 BC . A1（Ⅱ）由(Ⅰ) 知，D C1 2 a，BC1 5a ，又已知DC B 2012 年高考数学试题（理）第7页【共10 页】ADC o ，1 ，BD 3a . 在Rt△ABD 中，BD 3a ，AD a, DAB 90BDAB 2a . 2 2 2AC BC AB ，AC BC .法一：取A B的中点 E ，则易证C1E 平面BDA1 ，连结DE ，则C1E BD ，已知1 1DC 1 ，BD 平面DC1E ，BD DE ，C1DE 是二面角A1 BD C1 BD平面角. 在Rt△C DE 中，1 sin C DE1C E 2a 2 11C D 2a12，C1DE 30 . 即二面角A1 BD C1的大小为30 .法二：以点 C 为坐标原点，为x 轴，CB 为y 轴,CC 为z轴,建立空间直角坐标系1u u u rC xyz . 则A1 a,0,2 a ,B 0,a,0 ,D a,0, a ,C1 0,0,2 a . DB a, a, a，uuurrDC1 a ,0, a 1 ( 1, 1, 1), 设平面 D B C的法向量为n x y z，则1u u u rrn D B a x a 0y a zr 1 1 1x1 1，得y1 2, z1 1，故可取n1 (1,2,1) u u u r，不妨令. rn D C a x 0 a z1 1 1r r r同理, 可求得平面D BA 的一个法向量n2 (1,1, 0). 设n1 n与的夹角为，则1 2cosr rn n 3 31 2r r , 30 . 由图可知，二面角的大小为锐角，故| | | | 6 2 2n n1 2二面角A1 BD C 的大小为30 .120．解析：（Ⅰ）由对称性可知，△BFD 为等腰直角三角形，斜边上的高为p ，斜边长BD 2p . 点A 到准线l 的距离d FB FD 2 p. 由S ABD 4 2△得，1 1BD d 2 p 2p 4 2 ，p 2 . 圆F 的方程为2 ( 1)2 8 x y .2 2（Ⅱ）由对称性，不妨设点A( x A , y A ) 在第一象限，由已知得线段AB 是圆F 的在直o径，ADB 90 ，BD 2p ，32y p ，代入抛物线 C : x 2pyA2得x A 3p .直线m 的斜率为kAF p3p33. 直线m 的方程为3px 3y 0 . 由22x 2py y得2x2p,yxp. 由yxp33得 ,3x p n.C3的切点坐标为3p p( , )3 6，直线n 的方程为 3 3p0x y . 所以坐标原点到m，62012 年高考数学试题（理）第8页【共10 页】n的距离的比值为3p3p：4 123 .21．解析：（Ⅰ）x 1f (x) f (1e) f (0) x，令x=1 得，f (x)=1，再由x1 1 2f (x) f (1)e f (0)x x ，2令x 0 得 f (1) e. 所以 f (x) 的解析式为1x 2 xf (x) e x x ，∴f (x) e 1 x ，2x易知 f ( x) e 1 x是R 上的增函数，且 f (0) 0 .所以 f ( x) 0 x 0，f (x) 0 x 0 ，所以函数 f ( x) 的增区间为(0, )，减区间为( ,0) .12（Ⅱ）若f (x) x ax b 恒成立，即212 xh( x) f (x) x ax b e (a 1)x b 02x 恒成立，Q h(x) e (a 1).(1) 当a 1 0 时，h (x) 0 恒成立，h(x) 为R 上的增函数，且当x 时，h(x) ，不合题意；(2)当a 1 0 时，h( x) 0恒成立，则b0，(a 1)b 0 ；x(3) 当a 1 0 时，h (x) e (a 1) 为增函数，由h (x) 0 得x ln( a 1) ，故f ( x) 0 x ln( a 1)，f (x) 0 x ln( a 1)，当x ln( a 1)时，h( x) 取最小值h(ln(a 1)) a 1 (a 1)ln( a 1) b . 依题意有h(ln(a 1)) a 1 (a 1)ln(a 1) b 0，即b a 1 (a 1)ln( a 1)，Q a 1 0， 2 2(a 1)b (a 1) (a 1) ln( a 1) ，令2 2u(x) x x lnx (x 0) ，则u (x) 2x 2x ln x x x(1 2ln x) ，u (x) 0 0 x e,u (x) 0e ex e ，所以当x e时，u( x) 取最大值()u e . 故当a 1 e,b 时，2 2e (a 1)b 取最大值212.综上，若 f (x) x ax b ，则2e (a 1)b 的最大值为.222．解析：（Ⅰ）∵D，E 分别为△ABC边A B，AC 的中点，∴DE // BC. GDAEF∵CF //AB，DF // BC，∴CF// BD 且CF =BD，∵又 D 为AB 的中点，B C ∴CF //AD 且CF =AD，∴CD =AF. ∵CF //AB，∴BC=AF ，∴CD =B C.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC //GF ，∴GB=CF=BD，∠BGD =∠BDG =∠DBC =∠BDC，∴△BCD∽△GBD .23．解析：（Ⅰ）依题意，点A，B，C，D 的极坐标分别为5 4 11 (2, ),(2, ),(2, ),(2, )3 6 3 6.所以点A，B，C，D 的直角坐标分别为(1, 3) 、( 3,1)、( 1,3) 、( 3, 1). 2012 年高考数学试题（理）第9 页【共10 页】（Ⅱ）设P 2cos ,3sin ，则| P A|2 | PB|2 | P C|2 | P D|2 (1 2cos )2 ( 3 3sin )22 2 2 2 2 2( 3 2cos ) (1 3sin ) ( 1 2cos ) ( 3 3sin ) ( 3 2cos ) ( 1 3sin )2 2 216cos 36sin 16 32 20sin 32,52 .所以 2 | | | |2 | |22| PA| PB PC PD 的取值范围为32,52 .x 224．解析：（Ⅰ）当 a 3时，不等式 f (x) 3 | x 3| | x 2 | 3x 3 x 2 3或2x 3x 3 x 2 3 或x 3x 3 x 2 3或x 4 . 所以当 a 3时，不等式f ( x) 3的解集为x x 1或x 4 .（Ⅱ）f (x) |x4|的解集包含[1,2 ]，即| x a | | x 2|| x4| 对x1,2 恒成立，即| x a| 2 对x 1,2 恒成立，即 2 a x 2 a 对x 1,2 恒成立，所以2 a 1，即 3 a 0 . 故a的取值范围为3,0 . 2 a 22012 年高考数学试题（理）第10页【共10 页】。
2012高考理科数学全国2卷试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）与第Ⅱ卷（非选择题）两局部，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
考试完毕，务必将试卷与答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题（1）复数131i i-+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i +（D ）12i -（2）已知集合{A =，{1,}B m =，A B A =，则m = （A ）0（B ）0或3 （C ）1或（D ）1或3（3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的间隔 为（A ）2 （B）（C）（D ）1（5）已知等差数列{}n a 的前n 项与为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项与为 （A ）100101 （B ）99101 （C ）99100（D ）101100（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a =，CA b =，0a b ⋅=，||1a =，||2b =，则AD =（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b -（7）已知α为第二象限角，sin cos 3αα+=，则cos2α=（A ）3-（B ）9- （C ）9（D （8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34（D ）45（9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x <<（D ）y z x << （10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1（D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不一样，每列的字母也互不一样，则不同的排列方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种（D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==。
2012高考理科数学全国2卷试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
考试结束,务必将试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题(1）复数131i i-+=+ （A)2i + (B ）2i - (C)12i + （D ）12i -（2）已知集合{A =，{1,}B m =,A B A =，则m =(A ）0（B ）0或3 （C)1(D ）1或3（3）椭圆的中心在原点，焦距为4,一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += (C ）22184x y += （D ）221124x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为(A ）2 （B（D)1（5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =,515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为(A ）100101 （B ）99101 (C ）99100 （D ）101100（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ,若CB a =,CA b =，0a b ⋅=,||1a =，||2b =,则AD =（A ）1133a b - （B)2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b - （7)已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos2α= （A）3- （B）9- （C)9 （D）3(8)已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B)35 （C)34 （D ）45(9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则(A ）x y z << （B ）z x y << (C)z y x << (D)y z x <<（10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点,则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C)1-或1 （D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）理 科 数 学第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1。
已知集合A =｛1, 2, 3， 4, 5}，B ={(x ，y ）| x ∈A , y ∈A ， x —y ∈A }，则B 中所含元素的个数为（ )A. 3B 。
6C. 8D 。
102. 将2名教师,4名学生分成两个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( ） A. 12种B. 10种C 。
9种D. 8种3。
下面是关于复数iz +-=12的四个命题中，真命题为（ ）P 1: |z ｜=2， P 2: z 2=2i ， P 3： z 的共轭复数为1+i ， P 4: z 的虚部为—1 。
A. P 2，P 3B 。
P 1，P 2C 。
P 2，P 4D 。
P 3，P 44. 设F 1,F 2是椭圆E : 12222=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点，P 为直线23ax =上的一点,12PF F △是底角为30º的等腰三角形,则E 的离心率为( ) A.21B 。
32 C.43 D.54 5. 已知｛a n ｝为等比数列，a 4 + a 7 = 2，a5 a6 = 8,则a 1 + a 10 =( ）A 。
7B. 5C. —5D 。
-76。
如果执行右边的程序框图,输入正整数N （N ≥2）和实数a 1, a 2，…，a N ，输入A 、B ，则（ ） A. A +B 为a 1， a 2，…，a N 的和B.2B A +为a 1， a 2，…，a N 的算术平均数C. A 和B 分别是a 1， a 2，…，a N 中最大的数和最小的数 D 。
A 和B 分别是a 1， a 2，…,a N 中最小的数和最大的数 7。
