一种新型灰色Gom pertz模型

2002年12月系统工程理论与实践第12期　文章编号:100026788(2002)1220111205一种新型灰色Gom pertz模型同小军1,宋中民1,周　龙2(1.华中科技大学控制系,湖北武汉430074;2.武汉工业学院电气系,湖北武汉430021)摘要:　给出了背景函数为x(0)(t)=b e-a(t+1)+c的精确级差格式,基于理想状态时的绝对误差提出了一种全新的灰色模型——灰色Gompertz模型Λ该模型具有良好的抗噪性,并且计算简单Λ实例表明了该模型具有良好的效果Λ关键词:　灰色Gompertz模型;级差格式;贫信息;误差中图分类号:　O159 文献标识码:　A A N ew Gray Gom pertz M odelTON G X iao2jun1,SON G Zhong2m in1,ZHOU L ong2(1.D epartm en t of Con tro l Science and Engineering,H uazhong U n iversity of Science and T echno logy,W uhan430074, Ch ina;2.E lectrical and Info rm ati on Engineering D epartm en t,W uhan Po lytech inc U n iversity,W uhan430021,Ch ina)Abstract:　T he p recisi on grade difference fo rm at that background functi on is x(0)(t)=b e-a(t+1)+c,inthe basis of ideal ab so lu te erro r,the gray Gompertz model,w h ich is a new gray model is ex lained anddiscu ssed.T he model has n ice an ti2in terference,and its calcu lati on is very si m p le;the examp le m an ifestthe model has good effect.Key words:　the gray Gompertz model;the grade difference fo rm at;poo r info rm ati on;erro r1　引言从一个动态系统中得出的实际数据,往往带有一定的波动Λ若在建模中仅仅追求与原始数据的拟合,则在模型中势必承袭这种误差,而忽视对系统总体的拟合Λ只从数学角度得出的理论模型,常常会沿袭这种误差Λ对于G M(1,1)模型,正如文献[1]中所述,系统行为数据列往往是没有规律的Λ但是,一种模型,脱离了严密的数学论证,很难经得起实际长期的考验Λ文献[2-7]给出了G M(1,1)模型的应用Λ文献[8]给出系统的理论G M(1,1)模型的成功和失败,正说明了这一点Λ诸多改进[9-12](本文只列出了部分文献),虽在一定的范围内优于G M(1,1)模型,但也在很多方面却不及G M(1,1)模型,这主要因为只考虑了模型函数的数学关系,忽视了实际数据的波动性Λ本文以严密的数学推理为基础,考虑到了实际数据带有误差,以绝对误差为标准,得出了背景函数为x(0)(t)=b e-a(t-1)+c的灰色模型,以此为基础提出了灰色Gom p ertz模型,用文献[13]的实例,与文献[13]复杂算法求得的结果对比,本文的结果为优Λ2　灰色模型的级差格式在此只考虑单因子被研究对象,获得的少量离散数据列记为x(0)={x(0)(k) x(0)(k)Ε0,k=1,2,…,n}(1) 定义2.1[1]　称(1)式中于非负时间数据序列为原始序列,若对x(0)进行累加生成运算(A ccum lated收稿日期:2001203226资助项目:国家自然科学基金(79970025,69874018) 作者简介:同小军(1967-),男,陕西富中人,副教授,博士生,主要从事偏微分方程,模糊与灰色系统理论与应用研究Generating O p erati on,简称为A GO)得到x(1)={x(1)(k) x(1)(k)Ε0,k=1,2,…,n}(2)其中x(1)(k)=A GO x(0)(k)=6k m=1x(0)(m),则称x(1)为累加生成序列Ζ定义2.2　对(2)式中进行x(1)趋势关联分析[7],若辨明x(1)隐含指数型时序,称x(1)(k+1)-x(1)(k)≈f(x(1),a,u)(3)级差格式Ζ定义2.3　称x(1)(k+1)-x(1)(k)=f(x(1),a,u)(4)为精确级差格式;若f还与另一参数p有关,且当p→∞时,(3)式精确成立,则称(3)式为渐进精确级差格式.定义2.3　称f(x(1),a,u)=6n i=1f i(a)x(1)(i)+6n i=1g i(u)x(1)(i)(5)为线形级差格式,否则称为非线形级差格式Ζ3　灰色Gom pertz模型定理3.1　若(1)式中x(0)隐含非齐次指数型x(0)(t)=b e-at+c时序,作如下数据处理x=x(0)(2)x(0)(3)x(0)(n), <-x(1)(1)11-x(1)(2)21-x(1)(n-1)n-11,　A=a1a2a3=(<T <)-1<T x其中a=-ln(1+a1),a2=a1c,a3=b+c.则微分方程x(0)(t)=b e-a(t-1)+c的精确级差格式为(称为前级差格式):x(1)(k+1)-x(1)(k)=-(1-e-a)x(1)(k)+(1-e-a)ck+b+c即x(0)(k+1)=a1x(1)(k)+a2k+a3(6) 证明x(0)(k+1)=x(1)(k+1)-x(1)(k)=e-a x(1)(k)-x(1)(k)+(1-e-a)ck+b+c=-(1-e-a)x(1)(k)+(1-e-a)ck+b+c 定理3.2　若(1)式中x(0)隐含非齐次指数型x(0)(t)=b e-at+c时序,作如下数据处理x=x(0)(2)x(0)(3)x(0)(n), <-x(1)(2)11-x(1)(3)21-x(1)(n)n-11,　A=a′1a′2a′3=(<T <)-1<T x则有后级差格式:x(1)(k+1)-x(1)(k)=(1-e)a x(1)(k+1)-(1-e a)ck-b-c即x(0)(k+1)=a′1x(1)(k+1)+a′2k+a′3(7)其中a=ln(1-a′1),a′2=a′1c,a′3=-b-c.推论3.1　条件如定理3.1和定理3.2,则对任意Α∈R,则序列x(0)的精确级差格式为x(0)(k+1)=(1-Α)a1x(1)(k)+Αa′1x(1)(k+1)+((1-Α)a2+Αa′2)k+(1-Α)a3+Αa′3 =-(1-Α)(1-e-a x(1)(k)　+Α(1-e a)x(1)(k+1)+c(1-e-a)(e aΑ+1-Α)k+(b+c)(1-2Α)(8) 是否可由公式(8)得到下面的更一般的背景函数为x(0)(t)=b e-a(t-1)+c的灰色模型的计算法:x(0)(k+1)=p1x(1)(k)+p2x(1)(k+1)+p3211系统工程理论与实践2002年12月利用最小二乘法可求得p1,p2,p3,然后求解方程组可得a,Α,c,u呢?可以证明此时恰好有p1=-1,p2=1,p3=0很明显,Α的选取可影响预测效果,而Α又难以根据具体情况而定,人为的选取,又无根据,对此,我们容易得出下面的结论:定理3.3　条件如定理3.1和定理3.2,则对任意a∈R,则背景函数为x(0)(t)=b e-a(t-1)+c的精确级差格式为x(0)(k)=-(1-Α)(e2a-e a)x(1)(k+1)+Α(1-e a)x(1)(k)　+c(e a-1)(e a-eΑΑ+Α)k+c+b(Α-e2a(1-Α))=p1x(1)(k)+p2x(1)(k+1)+p3k+p4(9)p1=Α(1-e a)p2=-(1-Α)(e2a-e a)p3=c(e a-1)(e a-e aΑ+Α)p4=c+b(Α-e2a(1-Α))(10)或者x(0)(k+1)=(1-Α)(e-2a-e-a)x(1)(k-1)+Α(e-a-1)x(1)(k)　-(e-a-1)(e-aΑ+Α-e-a)ck+Α(b+c)+(1-Α)e-a(b+c e-a)=p1x(1)(k-1)+p2x(1)(k)+p3k+p4(11)p1=-(1-Α)(e2a-e a)p2=Α(1-e-a)p3=-(e-a-1)(e-aΑ+Α-e a)cp4=Α(b+c)(1-Α)e-a(12) 定理3.3是没有考虑误差得出得的结论,对于满足指数率且带有一绝对误差或带有一相对误差非负时间数据序列,下面是考虑理想状态下的误差(拟合曲线恰好通过原始数据的中间或者相对误差对称地分布于轴的两侧,即绝对误差和相对误差是e,-e,…),以下只对式(9),(10)给出两个性质,对式(11),(12)也同样具有,略去Ζ定理3.4　对于非负时间数据序列x(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)}={b+c+Ε,b e-a+c-Ε,…,b e-a(k-1)+c+(-1)k-1Ε,…,b e-(n-1)a+c+(-1)(n-1)Ε}Ε为任何非零实数,则对于数据序列x(0)利用定理3.5可以得到x(0)(k)的函数表达式为xδ(0)(k)=b′e-a(k-1) +c′Ζ证明　由式(12),(13)可知,为了求a,需求方程组x(1)(1)x(1)(2)11 x(1)(2)x(1)(3)21x(1)(n-1)x(1)(n)n-11p1p2p3p4=x(0)(1)x(0)(2)x(0)(n-1)的最小二乘解,只要取p2-p1=-2,p2=-e a,p3=c(e a-1)(e aΑ+Α),p4+(1+p2)c=b(Α-e2a(1-Α))其中Α=p2(e a-1),所以只要直接验证这样的p1,p2,p3,p4是方程组的最小二乘解即可Ζ由定理3.4我们可得到下面的灰色Gom p ertz模型. 令原始数据为y(0),y(0)(i)>0,i=1,2,…,n,对于y(0)采用对数变换进行生成处理,即令x(0)(i)=ln[y(0)(i)],i=1,2,…,n对序列x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))进行如下处理:311第12期一种新型灰色Gompertz模型x(0)(k )-2x (1)(k )=p 2(x (1)(k )+x (1)(k +1))+p 3k +p 4(13)其中p 2=-e a .灰色Gom p ertz 模型的计算法为:1.令原始数据为y (0),y (0)(i )>0,i =1,2,…,n ,对于y (0)采用对数变换进行生成处理,即令x (0)(i )=ln [y (0)(i )],　i =1,2,…,n 2.对于原数据序列x (0)={x (0)(1),x (0)(2),…,x (0)(n )},一般利用下述方程组的最小二乘解x (1)(2)+x (1)(3)21x(1)(3)+x (1)(4)31x (1)(n -1)+x (1)(n )n -11p 2p 3p 4=x(0)(2)x(0)(3)x (0)(n -1)-2x (1)(2)x(1)(3)x (1)(n -1)由p 2,p 3,p 4及p 2=-e a ,解得参数a ;3.利用x (0)(k )=b e -ak +c 通过线性拟合得到参数b ,c Ζ从而,得还原模型为y δ(0)(k )=ec +b e -ak 注　不难发现灰色Gom p ertz 模型有以下特点:1)是精确级差格式;2)该级差格式和两项x (1)(k ),x (1)(k +1)或者x (1)(k -1),x (1)(k )相关,从而更有利于信息的综合利用;3)类似地,x (0)(k +1)的级差格式也可以表达为关于x (1)(k -1),x (1)(k +1)的关系,只是为了求参数a 这时需要解三次方程,计算量增大;4)通过大量的实验发现,该模型具有较强的抗干扰性①Ζ3　计算实例例[13]　表1是1970-1981年我国缝纫机产量数据(如表1)Ζ表1编号123456789101112产量(万台)235.2249.9263.2293.6318.9356.7363.8424.2486.5586.87681019.8使用文献[12]所用的两个指标进行对比模型(结果如表2)ΖQ =6ni =1(x (0)(i )-xδ(0)(i ))2,R S M E =Q N -1　(N 为样本数)表2模型拟合函数Q R S M E 文献[13]中的三合法x (0)(t )=176.198×1.3521.171(t -1)4270.944719.7045文献[13]中的差分法x (0)(t )=235.2×1.352(1.171(t -1)-1)3311.644017.3510灰色Gompertz 模型x(0)(t )=204.825×e 0.148992e0.197926t1375.2211.1813由上述实例可以得出:411系统工程理论与实践2002年12月①我们是这样做的实验:随机产生一指数函数x (0)(k )=b e -a (k -1),取k =1,2,3,4,5,在一区间上随机产生5个实数加在x (0)(k )上,在a ,b 较小时,区间分别取为[-1,1],[-0.1,0.1],[-0.01,0.01],[-0.001,0.001],在a ,b 较大时,可取较长的区间;对比模型值和真值的残差及残差百分比Λ1)灰色Gom p ertz 模型的两个指标远远优于文献[13]的方法Ζ2)文献[13]的算法,计算量大;灰色Gom p ertz 模型计算简单,快速Ζ参考文献:[1]　邓聚龙.灰色预测与决策[M ].武汉:华中工学院出版社,1986.[2]　陈绵云.镗床控制系统的灰色动态[J ].华中工学院学报,1982,10(6):7-11.[3]　邓聚龙.灰色系统理论的G M 模型[J ].模糊数学,1986,(2):23-31.[4]　邓聚龙,陈绵云,彭国忠,陈毓斌.灰色模块理论与长期预测模型[A ].未来学论文集[C ],(I ),1984,41-46.[5]　陈绵云.灰色系统理论是一个新的研究方向[A ].未来学论文集(I )[C ],1984,26-32.[6]　M ian 2yun Chen .P rinci p le of grey dynam ic modeling [J ].SAM S ,1996,26,69-79.[7]　陈绵云.制订城市总体规划的灰色系统方法[J ].华中理工大学学报,1990,18(3),1-7.[8]　M ian 2yun Chen .System cloud and its grey model [A ].P roceedings of the 4th Japanese Sino Sappo ro In ternati onalConference on Compu ter A pp licati on s [C ],Japan ,Sappo ro ,1990.38-41.[9]　景行.G M (1,1)的严格微分拟合法及应用[J ],系统工程,1993,(6):31-36.[10]　王义闹,刘光珍,刘开第.G M (1,1)的一种逐步优化直接迭代建模法[J ].系统工程理论与实践,2000,(9):99-104.[11]　王铮,和莹,灰色系统建模方法的理论困难及其克服[J ].系统工程理论与实践,1990,10(5):17-20.[12]　同小军,宋中民,张曙红,陈绵云.一种新的G M (1,1)的建模方法一迭代加速法[J 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