2019中考数学第一轮复习 第2章第8讲 一元二次方程(共25张PPT)-精品

命题点2一元二次方程根的判别式
4．关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋(k2－1)＝0无实数根， 则k的取值范围为__ __．
k＞ 5 4
5 k＞4
根据题意，得Δ
＝(2k－1)2－4(k2－1)＜0，解得
5 k＞4.
猜押预测►2.[2017·商河县一模]关于 x 的一元二次方程 kx2＋3x－1＝0
典型例题运用 类型1一元二次方程的解法
【例1】 [2018·新泰模拟]用适当的方法解方程： (1)3x2－6x＝－3； (2)4(x－2)2－(3x－1)2＝0； (3)x(3x－2)－6x2＝0；(4)(x＋2)(x－5)＝1.
【思路分析】 (1)移项化为一般形式以后左边是完全平方式 ，可以用直接开平方法求解；(2)等号左边可以利用平方差公 式分解，因而可以用因式分解法求解；(3)方程左边可以提公 因式分解，因而用因式分解法求解；(4)化为一般形式以后， 利用求根公式法解方程．
C ∵(x＋1)2－2(x－1)2＝7，∴x2＋2x＋1－2(x2－2x＋1)＝7.整理，得－ x2＋6x－8＝0，∴x2－6x＋8＝0，即(x－4)(x－2)＝0，解得 x1＝4，x2＝2， 故方程有两个正根．
3．方程(2x＋1)(x－1)＝8(9－x)－1的根为____．
9 或-8 2
92或－8 原方程可化为 2x2＋7x－72＝0，∵b2－4ac＝72－4×2×(－72)＝625＞0，∴x＝
使一元二次方程的左右两边相等的未知数的 值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次 方程的根
考点2 一元二次方程的解法
直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法 叫做直接开平方法．直接开平方法适用于解形如(x＋a)2＝ b的一元二次方程．根据平方根的定义可知，x＋a是b的平 方根．当b≥0时，x＋a＝± b ，x＝①_－a±b __；当b<0 时，方程没有实数根
(2)3x(x－1)＝2(x－1)，移项，得 3x(x－1)－2(x－1)＝0.提公因式 (x－1)，
得(x－1)(3x－2)＝0.解得 x＝1 或 x＝23.
(3)(x＋3)2＝(1－2x)2，两边开平方，得 x＋3＝±(1－2x)． ∴x＋3＝1－2x， 或 x＋3＝－1＋2x.解得 x＝－23或 x＝4.
6．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一 周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价 格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降 价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个， 但售价不得低于进价)，单价降低x元销售，销售一周后， 商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售 出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅 游纪念品的销售价格为多少元？
考点3一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
根的判别式
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，①__b2 －4ac__叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的根的判别式，通常用“Δ ”来表示，即Δ ＝b2 －4ac.当Δ ②__>__0时，方程有两个③__不相等 __的实数根；当Δ ＝0时，方程有两个④__相等 __的实数根；当Δ ⑤__<__0时，方程无实数根， 反之亦成立
真题全练 命题点1 一元二次方程的解法
1．一元二次方程x2－6x－6＝0配方后化为( A ) A．(x－3)2＝15 B．(x－3)2＝3 C．(x＋3)2＝15 D．(x＋3)2＝3
2．一元二次方程(x＋1)2－2(x－1)2＝7的根的情况是( C )
A．无实数根
B．有一正根一负根
C．有两个正根 D．有两个负根
变式运用►3. [2018·谷城模拟]一幅长20cm，宽12cm的图案 ，如图，其中有一横两竖的彩条，横，竖彩条的宽度比为 3∶2.若图案中三条彩条所占面积是图案面积的 2 ，求横，竖
5
彩条的宽度．
3 解：设竖彩条的宽度为 xcm，则横彩条的宽度为2xcm.根据题意，得 20×23x＋2×12·x－2×32x·x＝52×20×12，整理，得 x2－18x＋32＝0， 解得 x1＝2，x2＝16(舍去)． ∴23x＝3.∴横彩条的宽度为 3cm，竖彩条的宽度为 2cm.
配方法
将ax2＋bx＋c＝0(a≠0)配方为a(x＋h)2＝k(a≠0，k≥0) 的形式，然后利用直接开平方法求解的方法就是配方法.
配方法的一般 过程：
公式法
因式分解法
(1)转化：将一元二次方程化为②__一般形式__； (2)移项：常数项移到方程③__右边__； (3)系数化为1：④__二次项__系数化为1； (4)配方：等号左右两边同时加上⑤__一次项系数一半__的 平方；(5)求解：用⑥__直接开平方__法求解
得分要领►列一元二次方程解应用题，首先要审清题意，设未 知数，再列出方程，然后解所列方程，检验和作答即可．
2 x1＝0，x2＝－3；
(4)(x＋2)(x－5)＝1，整理，得 x2－3x－11＝0.∵a＝1，b＝－3，
c＝－11，
－b± b2－4ac 3± 9＋44 3± 53
∴x＝
2a
＝ 2 ＝2.
3＋ 53
3－ 53
∴解得 x1＝ 2 ，x2＝ 2 .
技法点拨►如果题目没有指明用什么方法，解一元二次方程 通常是先考虑能不能用直接开平方法，再看能不能用因式分解 法，最后考虑公式法或配方法．
第二章 方程(组)与不等式(组) 第8讲 一元二次方程
考点梳理 考点1一元二次方程的有关概念
定义
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 ①__2__的整式方程叫做一元二次方程
一般形式 解
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2叫做二次项， ②__a__叫做二次项系数；bx叫做一次项，③ __b__叫做一次项系数；c叫做④__常数项__
x12
+x
2 2
的Hale Waihona Puke 值．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ
＝(2k＋1)2－4k2＝4k＋1>0，解得
1 k>－4.
(2)当 k＝1 时，方程为 x2＋3x＋1＝0.
∵x1＋x2＝－3，x1x2＝1， ∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝9－2＝7.
类型3 一元二次方程的应用 【例3】 [2017·深圳中考]一个矩形(即长方形)周长为56厘米． (1)当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？ (2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
【自主解答】 (1)证明：∵x2－(m－3)x－m＝0，
∴Δ ＝[－(m－3)]2－4×1×(－m)＝m2－2m＋9＝(m－1)2＋8>0.
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)∵方程 x2－(m－3)x－m＝0 的两实根为 x1，x2，且 x21＋x22－x1x2＝7，
∴(x1＋x2)2－3x1x2＝7.∴(m－3)2－3×(－m)＝7，解得 m1＝1，m2＝2，即 m
类型2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 【例2】 [2018·南充中考]已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x －m＝0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两实根为x1，x2，且 x12 +x22 －x1x2＝7，求m的值．
【思路分析】(1)要证明方程有两个不相等的实数根，只要 证明Δ 的值大于0即可；(2)根据根与系数的关系可以得到 关于m的方程，解m的值即可．
变式运用►1. [2017·莱芜模拟]用适当的方法解下列
方程：
(1)x2－4x＋2＝0；
(2)3x(x－1)＝2(x－1)；
(3)(x＋3)2＝(1－2x)2.
解：(1)x2－4x＋2＝0，移项，得 x2－4x＝－2.配方，得 x2－4x＋4
＝－2＋4，
即(x－2)2＝2.解得 x＝2＋ 2或 x＝2－ 2.
的值是 1 或 2.
技法点拨►解答这类问题的关键是明确题意，找出所求问题 需要的条件，利用方程的思想求解．
变式运用►2.[2018·黄冈中考]已知关于x的一元二次方程x2＋(2k
＋1)x＋k2＝0①有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)设方程①的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1时，求
公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解 一元二次方程的一般方法．一元二次方程ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)的求根公式：x＝⑦ -b___b2-4ac _(b2－4ac≥0)
2a
因式分解法就是利用因式分解的手段，将方程化为两个一 次因式的乘积等于零的形式，得到两个⑧__一元一次__方 程，进而求出方程的解的方法
(2)不能．理由如下： 设矩形的长为y厘米，则宽为(28－y)厘米．依题意，得 y(28－y)＝200，即y2－28y＋200＝0. ∵Δ ＝282－4×200＝－16<0， ∴原方程无解． ∴不能围成面积为200平方厘米的矩形．
技法点拨►用到的知识点为：矩形的宽＝周长的一半－长． 解题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合 适的等量关系，列出方程，再求解．
解：由题意，得 200×(10－6)＋(10－x－6)(200＋50x)＋(4－6)[600－
200－(200＋50x)]＝1250，即 800＋(4－x)(200＋50x)－2(200－50x)＝
1250.
整理，得 x2－2x＋1＝0.解得 x1＝x2＝1.
∴10－1＝9(元)．
∴第二周的销售价格为 9 元.
(x1＋x2)2－4x1x2；(3)
x1 + x2 =（x1+x2）2 -2x1x2
x2 x1
x1x2
.
失分警示
当方程有两个实数根时，一元二次方程根的判别式大于或等于0，解决 这类问题易忽视等号出错失分．