因式分解的提高讲座-PPT精品文档

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因式分解提公因式法ppt

工程设计
在工程设计中，因式分解可以帮助人们更好地理解问题的本质，例如在力学中，可以将一个复杂的结构表示为几个简单因式的乘积，从而更便于分析和设计。
02
提公因式法的原理及步骤
提公因式法的基本概念
公因式定义
提公因式法的理论基础
提公因式法的原理
确定多项式中的公因式。
提公因式法的步骤
步骤一
将多项式中的每个项都除以公因式，得到商和余数。
01
02
03
提公因式法在面积计算中的应用
在计算几何形状的面积时，可以使用提公因式法将面积表达式化简。
提公因式法在体积计算中的应用
在计算几何体的体积时，可以使用提公因式法将体积表达式化简。
提公因式法在几何中的应用
代数例题
例如，有一个多项式ax³+bx²+cx+d，其中a=3，b=2，c=1，x=5，求这个多项式的值。通过提公因式法，可以将这个多项式化简为3x²(x+1)+2(x+1)-3，再代入x=5得到答案。
数学术语
因式分解可以理解为求解一个方程的逆问题，即给定一个方程的解，反求方程中的未知数。
物理含义
因式分解的定义
1
因式分解的意义
2
3
通过因式分解，可以将一个复杂的多项式表示为几个简单因式的乘积，从而更便于理解和计算。
简化表达式
数学中的许多公式和定理都可以表示为因式分解的形式，这样便于记忆和应用。
便于记忆
几何例题
例如，有一个矩形ABCD，其中AB=3cm，BC=4cm，求这个矩形的面积。通过提公因式法，可以将这个矩形的面积表达式化简为3×4=12(cm²)。
提公因式法例题解析

专题(七) 因式分解的技巧PPT课件(华师大版)

(2)x(x－1)－y(y－1)．解：(x－y)(x＋y－1)
二、巧用因式分解解决问题类型一简化计算 5．(1)计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718；解：271.8
(2)已知(202X－b)×(202X－b)＝202X，求(202X－b)2＋(202X－b)2的值．解：设202X－b＝m，202X－b＝n，则mn＝202X， m－n＝(202X－b)－(202X－b)＝202X－b－202X＋b＝2， ∴(202X－b)2＋(202X－b)2＝m2＋n2＝ m2－2mn＋n2＋2mn＝(m－n)2＋2mn＝22＋2×202X＝4040
类型二求值 6．已知m＋n＝2，求m2－n2＋4n的值．
解：∵m＋n＝2，∴原式＝(m＋n)(m－n)＋4n＝2(m－n)＋4n＝2m－2n＋4n ＝2(m＋n)＝2×2＝4
7．已知a2－a－1＝0，求a3－2a＋202X的值．
解：∵a2－a－1＝0，∴a2＝a＋1，∵a3－2a＋202X＝a3－a－a－1＋202X，
八年级数学上册（华师版）第十二章整式的乘除
专题(七) 因式分解的技能
专题(七) 因式分解的技能
一、因式分解的技能类型一符号变换 1．分解因式： (1)(m＋n)(x－y)＋(m－n)(y－x)；解：2n(x－y) (2)－a2－2ab－b2. 解：－(a＋b)2
类型二系数变换 2．分解因式： (1)4x2－12xy＋9y2；解：(2x－3y)2
(2)14x2＋x3y＋19y2. 解：316(3x＋2y)2
类型三指数变换 3．分解因式： (1)x4－y4；解：(x2＋y2)(x＋y)(x－y)
(2)a4－2a2b2＋b4. 解：(a＋b)2(a－b)2

《因式分解》ppt全文课件

思路点拨：因式分解法解一元二次方程的步骤是： (1)化方程为一般形式； (2)将方程左边因式分解； (3)至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程； (4)两个一元一次方程的解就是原方程的解．但要具体情况具体分析．
解：(1)方程可变形为 y(y＋7)＝0， ∴y＋7＝0 或 y＝0.∴y1＝－7，y2＝0. (2)∵方程可变形为 t(2t－1)－3(2t－1)＝0， ∴(2t－1)(t－3)＝0. ∴2t－1＝0 或 t－3＝0.∴t1＝12，t2＝3.
∴(3x＋2)(15x＋10－3x)＝0.
∴3x＋2＝0 或 12x＋10＝0.∴x1＝－23，x2＝－56.
《因式分解》上课实用课件（PPT优秀课件）
《因式分解》上课实用课件（PPT优秀课件）
4．我们已经学习了一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
《因式分解》上课实用课件（PPT优秀课件）
《因式分解》上课实用课件（PPT优秀课件）
2．用因式分解法解下列方程： (1)(x－4)(x＋1)＝0； (2)(5x－1)(x＋1)＝(6x＋1)(x＋1)．解：(1)(x－4)(x＋1)＝0，即 x－4＝0 或 x＋1＝0. ∴x1＝4，x2＝－1. (2)(5x－1)(x＋1)＝(6x＋1)(x＋1)， ∴(5x－1)(x＋1)－(6x＋1)(x＋1)＝0， (x＋1)(5x－1－6x－1)＝0. ∴(x＋1)(－x－2)＝0. 即 x＋1＝0 或－x－2＝0.∴x1＝－1，x2＝－2.
《因式分解》上课实用课件（PPT优秀课件）
《因式分解》上课实用课件（PPT优秀课件）
【跟踪训练】

因式分解ppt(共22张PPT)

3．（随堂练习p3１、２）
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.

中考复习讲座分解因式27页PPT

例9：因式分解 (a 2)a2 8(2a)2
解：（原 a式 2)a (28a1)6
((aa22))(aa (44))22
例10：观察某同学把多项式（x 2 3x 4）(x 2 3x 3) 8分
解因式的过程：解：设x 2 3x y, 则原式 (y 4)(y 3) 8 ---------------- ①
y 2 y - 20 ----------------------- ② (y 5)(y - 4) ----------------------③ (x 2 3x 5)(x 2 3x 4) --④
回答： ①这位同学运用的解题方法是换元法； ②第三步运用了因式分解的十字相乘方法； ③这位同学因式分解的结果是否完整，如果完整，请说明理由，如果不完整，请直接写出分解因式的最后结果
B a 2 1 2 a (a 1 )a ( 1 ) 2 a
Cxy 2yxy (y1) x
D a 2 4 a 2 1 (a 7 )a ( 3 )
知识要点2 掌握因式分解的基本方法，
能熟练地进行多项式的因式分解。
因式分解的基本方法
① 提公因式法
② 公式法
③ 十字相乘法
④ 分组分解法
⑤ 求根法
A(x2)x(3) B(x2)x (3)
C(x2)(x3) D(x2)x (3)
练习：因式分解（2x2x2)4(2x2x)3
解：（原 2x 2式 x3） 22( x1) （ (x 33x )-） (1 x1 )2( ()2 2 x x (2 -x1 x x 1 )
在实数范围内分解二次三项式
因式分解的一般步骤为：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式。

《因式分解》ppt课件

因式分解涉及多次运算，强调计算的准确性，避免后续步骤
出错。
常见错误及纠正方法
分解不彻底
有些学生在因式分解时，不能完全将多项式转化为整式的积的形式。应指导学生检查每一步的分解是否正确，并确保所有项都已正确分解。
误用公式
学生在使用公式法进行因式分解时，可能会误用公式。应确保学生理解并记住正确的公式，并能够正确应用。
在几何图形中，通过因式分解可以计算图形的面积和周长，特别是在处理一些不规则图形时。
分割与拼接图形
通过因式分解的方法，可以将一个几何图形分割成若干个简单图形，或者将若干个简单图形拼接成一个复杂的图形。
解决几何问题
因式分解在解决一些几何问题中也有应用，如证明勾股定理、解决几何图形的面积和体积等问题。
在解方程中的应用
分解因式解方程
对于一些一元二次方程，可以通过因式分解的方法来求解，简化计算过程。
判断根的性质
通过因式分解，可以判断一元二次方程根的性质，如根的和与积、根的判别式等。
解决代数问题
因式分解在解代数方程中有着广泛的应用，如求解一元一次方程、分式方程等。
在几何图形中的应用
面积与周长的计算
THANK YOU
感谢各位观看
题目2：把下列多项式分解因式：3x^2 - 6xy + 3y^2。
题目3：把下列多项式分解因式：4a^2 - 8ab + 4b^2。
进阶练习题
提升技巧难度
题目2：把下列多项式分解因式：(2a + b)^2 - (a b)^2。
题目1：把下列多项式分解因式：(x + 2y)^2 - (x y)^2。
重要性
总结词
因式分解在数学中具有重要意义，是解决许多数学问题的关键步骤。

第三讲因式分解PPT课件

① x2-5x+6
1
-2
1
-3
解：原式=（x-2)(x-3)
② a2-a-2
1
1
1
-2
解：原式=(a+1)(a-2)
【例 4】 (2011·台湾)下列四个多项式，是 2x2＋5x－3 的因式的只能为
( A)
A．2x－1
B．2x－3
C．x－1
D．x－3
2x²-5x-3
4x²+10x+6
⑷分组分解法： a3 a2 a 1
（1）、提公因式法：公因式的确定：
ma + mb + mc = m（a+b+c）系数取所有系数的最大公约数，
字母取相同的字母，指数取最低指数。
练习：把下列各式分解因式
① 6x3y2-9x2y3+3x2y2
）②p（y-x）-2（x-y）
解：原式=3x2y2(2x-3y+1)
解：原式=p(y-x)+2(y-x) =(y-x)(p+2)
综合运用多种方法分解因式
知能迁移 4 (1)分解因式：a5－a (2)分解因式：(x＋2)(x＋4)＋x2－4 (3)(解2012(·x＋临2沂)(x)＋分4解)＋因x式22－：4a－6ab＋9ab2＝ ________＝．x22＋6x＋8＋x22－4 (4)在＝实2x数22＋范6x围＋内4 分解因式：x4－4
（2）运用公式法：
例题精析
【例 1】 (1)(2013·广东湛江)分解因式：x2－4＝___x_2－__4_＝__(_x_＋__2_)(_x_－__2_)____． (2)(2013·江苏苏州)分解因式：a2＋2a＋1＝___a_2＋__2_a_＋__1_＝__(_a_＋__1_)2_____． (3)(2013·山东滨州)分解因式：5x2－20＝__5_x_2_－__2_0_＝__5_(_x_＋__2_)(_x_－__2_)_． (4)(2013·湖南益阳)分解因式：xy2－4x＝___x_y2_－__4_x_＝__x_(_y＋__2_)_(_y_－__2_) __．

因式分解优秀课件PPT

2 2 2
（ 1） 103 - 97
2 2
（2） 2017 - 4034 2015 2015
（3） 87 87 13
（ 1 ）已知x y 8, x y 6 求x y 2 x的值
2 2
智力大闯关
（2）已知x y 2, x y 12
2 2
求x y的值
想一想，谈一谈
a(a+1)=_________
a2+a
左边的整式乘法与右边的因式分解有什么关系？
a2+a=( a
) ( a+1 )
a2－b2 (a+b)(a-b)=__________ a2 - b2= ( a+b ) ( a-b )
2+2a+1 a 2 (a+1) = __________
a2+2a+1=
创设情景,导入新课
42能被哪些数整除？在小学我们已经知道，要解决这个问题，需要把42分解成质数乘积的形式。 42=2×3×7 类似地，在式的变形中，有时也要将一个多项式写成几个整式乘积的形式
你能发现这两组等式之回顾多项式的乘法，间的联系和区别吗?它们的左右两边有何特点？口算：
a(a+1)=_________
解:
2012 — 2002
= (201+200)(201 — 200)
= 401
利用了a b (a b)(a b)
2 2
问题2:
682+68×32 又该怎么算呢？
解：682+68×32 =68×(68+32)
=68×100
=6800 利用a2+ab=a(a+b)

因式分解的提高讲座共22页文档

46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
因式分解的提高讲座
26、机遇对于有准备的格中最必要的力量泉源之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中，徒劳无功。- -查士德斐尔爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯潘。

初高中数学衔接知识因式分解精品PPT课件

那么 ax2 bx c 就可以分解成 (a1x c1)(a2 x c2 )
ax2 bx c (a1x c1)(a2x c2 )
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
注意：分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．
2019年7月31日星期三
2019年7月31日星期三
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．
因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法、分组分解法、配方法、拆(添)项法等等．
这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，
才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查
2019年7月31日星期三
高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查
① 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；
② 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。
2019年7月31日星期三
第二步：上课认真听讲，做好笔记，课后及时复习并做好老师布置的作业
做到“三个一遍” 上课要认真听一遍，课后要动手推一遍，考试前要想一遍这就是所谓的“重复是学习之母”。
第三步：至少要有一本课外书，并将课外书的例题、习题进行解答（这相当于自己请了一位老师），在做题中学会一些技巧与方法。
2019年7月31日星期三

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例题讲解：
例3 分解因式：x3-4x2+6x-4。分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．解法用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4) =x2(x-2)-2x(x2)+2(x-2) =(x-2)(x2-2x+2)．
因式分解的提高讲座
中小学电脑辅导家教中心奥数教练欧阳文丰主讲于2009年11月21日
一、双十字相乘法：
用双十字相乘法对多项式 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是： (1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)； (2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
1 2 3 2 1 2 1 2
四、构造法：
常用的公式补充: (1)、an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn2+bn-1)其中n为正整数； (2)、an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2bn-1)，其中n为偶数； (3)、an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn2+bn-1)，其中n为奇数．
x 2 y 5
例题讲解：
例题5因式分解2x2+3xy－9y2+14x－3y+20
解：∵2x2+3xy－9y2＝（2x－3y）(x+3y), 用待定系数法，可设 2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y＋a)(x+3y＋b），。 a,b是待定的系数，比较右边和左边的x和y两项的系数，得∴2x2+3xy－9y2+14x －3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5) 又解：原式＝2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20) 这是关于x的二次三项式常数项可分解为－（3y－4)(3y+5）,用待定系数法，可设 2x2+(3y+14)x－(9y2+3y－20)＝［mx－（3y－4）］［nx+ （3y+5）］比较左、右两边的x2和x项的系数，得m=2, n=1 ∴2x2+3xy－9y2+14x－3y+20＝（2x－3y+4）(x+3y+5)
三、待定系数法：在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．
例题讲解：
例题7因式分解x15+x14+x13+…+x2+x+1 。解：原式=(x15+x14+x13+…+x2+x+1 ) ×(x-1) ／ (x-1) =(x16-1) ／ (x-1) =(x8+1) (x4+1) (x2+1) (x+1) (x-1) ／ (x-1) = =(x8+1) (x4+1) (x2+1) (x+1) (评注:此题是运用公式(1)、an-bn=(a-b)(an-1+an2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；来进行构造的。)
例题讲解：
例题6因式分解2x3－13x2+3 。分析：用最高次项的系数 2的约数±1，±2分别去除
常数项3的约数±1，±3得商±1，±2，± ，± ，再分别以这些商代入原式求值，可知只有当x= 时，原式值为0。故可知有因式2x-1。解：∵x= 时，2x3－13x2+3＝0，∴原式有一次因式 2 x －1 ，设2x3－13x2+3＝（2x－1)(x2+ax－3），（a是待定系数）比较右边和左边x2的系数得 2a－1＝－13， a=－6 ∴2x3－13x+3＝分解因式 (x2+x+1)(x2+x+2)-12 ; 解：设x2+x+1=y; 则原式=y(y+1)-12=y2+y-12 = (y+4) (y-3)=(x2+x+1+4) (x2+x+1-3)= (x2+x-2) (x2+x+5) = (x2+x+5) (x+2)(x-1) (2)、分解因式 x10+x5-2 ; 解：设x5=y; 则原式= y2+y-2=(y+2)(y-1) =(x5+2)(x5-1) =(x5+2)(x4+ x3+ x2+ x+1)
例题讲解：
例题1分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3 解:原式= (x+2y-3)(2x-11y+1)．
x 2y 2x -11y -3
1
例题讲解：
例题2分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3 解:原式= (x+2y+3)(x+y+1)．
二、求根法：
定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0 成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．定理2 若即约分数是整系数多项式f(x)=a0xn+a1xn1+a2xn-2+……+an-1x+an的根，则必有p是a0的约数， q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x) 的整数根均为an的约数．
例题讲解：
例题4因式分解： x3－5x2+9x－6 。解与分析：以x=±1,±2,±3,±6（常数6的约数）分别代入原式，若值为0，则可找到一次因式，然后用除法或待定系数法，求另一个因式。解：∵x=2时，x3－5x2+9x－6＝0，∴原式有一次因式x -2，∴x3－5x2+9x－6＝（x -2) (x2-3x+3）