【创新设计】高中数学(苏教版选修1-2)配套练习：2.2.1椭圆的标准方程(含答案解析)

2.2.1椭圆的标准方程【新课程教学过程一】教学过程㈠创设情景情境一：复习上节课内容，重点是椭圆的定义。

上节课我们已经学习了椭圆，请大家回忆一下椭圆的定义，想一想我们是怎么画椭圆的？[平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距]情境二：展示图片一，思索：油罐的横截面是不是椭圆？情境三：展示图片二，思索：“鸟巢”顶部的椭圆型建筑如何设计？情境四：展示图片三，思索：“嫦娥奔月”中卫星如何精确定位？通过研究椭圆的方程，可以帮助我们回答这些问题。

目的：利用课件生动形象的演示提高学生学习兴趣、激活学生思维，使学生的注意、记忆、思维凝聚在一起，加强学生对椭圆形象的认识，提高参与程度，让学生认识到学习椭圆的必要性，引出课题．㈡互动探究椭圆标准方程的推导问题1：联想必修2中圆方程的推导步骤是如何的？（建立坐标系、设点的坐标、列等式、代坐标、化简方程）问题2：怎样给椭圆建立直角坐标系？设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1、F2的距离的和为2a ( 2a > 2c )．通过几何画板来画一个椭圆，让学生思考根据所画的椭圆，选取适当的坐标系．☆结合建立坐标系的一般原则——使点的坐标、几何量的表达式简单化，并且从“对称美”、“简洁美”的角度出发作一定的点拨；若学生选取适当的坐标系都一样，教师多画几个坐标系，让学生选，注意要有中心在原点，焦点在y轴的坐标系；并提问：为什么选取这样的坐标系，依据是什么．⑴建立直角坐标系：以F1、F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy ．⑵设点的坐标：设点P （x ，y ）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为()()120,0F c F c - , 、．⑶列等式：依据椭圆的定义有|PF 1| + | PF 2| = 2a .2a =．目的：教学生学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。

椭圆的标准方程江苏省靖江市第一高级中学袁静一、教学目标知识目标：①建立直角坐标系，根据椭圆的定义建立椭圆的标准方程，②能根据条件求椭圆的标准方程，③进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程根本方法，体会数形结合的数学思想。

能力目标：①让学生感知数学知识与实际生活的密切联系，培养解决实际问题的能力，②培养学生的观察能力、归纳能力、探索发现能力，③提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。

情感目标①亲身经历椭圆标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶，②通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨，③养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。

二、教学重点难点①重点：感受建立曲线方程的根本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法，②难点：椭圆的标准方程的推导。

三、教法设计在教法上，主要采用探究性教学法和启发式教学法。

以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。

探究性学习就是充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点。

让学生根据教学目标的要求和题目中的条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题。

四、学情分析①学生已初步熟悉求曲线方程的根本步骤，②学生已经掌握直线和圆的方程及圆锥曲线的概念，对曲线的方程的概念有一定的了解，③学生已经初步掌握研究直线和圆的根本方法。

五、教学程序六、板书设计我选择这样的板书设计，其目的是让学生清楚的认识到本节课的重要内容。

七、评价设计在创设情境、推导椭圆的标准方程的过程中，培养学生的实验、归纳能力，在辨析几种建系方法所得到方程的繁简，比拟两个标准方程的特点过程中培养学生的分析、判别能力，在运用标准方程中，培养学生解决实际问题的能力；另外，通过学法指导，引导学生思维向更深更广开展，以培养学生良好的思维品质，并为以后进一步学习双曲线和抛物线作好辅垫。

2.2.1椭圆的标准方程[学习目标] 1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程.3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．知识点一椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二椭圆的标准方程[思考]121212件不变，点的轨迹是什么？(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？答案(1)当距离之和等于F1F2时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于F1F2时，动点的轨迹不存在．(2)a，b的值及焦点所在的位置．题型一 用待定系数法求椭圆的标准方程 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离的和是10； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． 解 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上， 所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为2a ＝10，所以a ＝5.又因为c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9. 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.反思与感悟 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即先要判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x 轴上和焦点在y 轴上进行分类讨论，但要注意a >b >0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．跟踪训练1 求焦点在坐标轴上，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点的椭圆的标准方程． 解 方法一 (1)当焦点在x 轴上时， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ (3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.(2)当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，12a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.此时不符合a >b >0，所以方程组无解． 故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.方法二 设所求椭圆的方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B )，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3A ＋4B ＝1，12A ＋B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝115，B ＝15.故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.题型二 椭圆定义的应用例2 已知两定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，动点P 满足PF 1＋PF 2＝2F 1F 2. (1)求点P 的轨迹方程；(2)若∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积． 解 (1)依题意知F 1F 2＝2， PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝4>2＝F 1F 2， ∴点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点的椭圆， 且2a ＝4,2c ＝2，∴a ＝2，c ＝1，b ＝3， 故所求点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)设m ＝PF 1，n ＝PF 2，则m ＋n ＝2a ＝4.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得F 1F 22＝m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2，∴4＝(m ＋n )2－2mn (1＋cos 120°)，解得mn ＝12. ∴S △12PF F ＝12mn sin ∠F 1PF 2＝12×12sin 120°＝3 3.反思与感悟 在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多．要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系．在解题中，经常把PF 1·PF 2看作一个整体来处理．跟踪训练2 如图所示，已知过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点F 2的直线AB 垂直于x轴，交椭圆于A ，B 两点，F 1是椭圆的左焦点．求△AF 1B 的周长． 解 如题图所示，由题意知，点A ，B 在椭圆x 225＋y 216＝1上，所以a ＝5，故有AF 1＋AF 2＝2a ＝10，BF 1＋BF 2＝2a ＝10， AF 2＋BF 2＝AB ，所以△AF 1B 的周长为AF 1＋BF 1＋AB ＝AF 1＋BF 1＋AF 2＋BF 2 ＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2) ＝2a ＋2a ＝20.题型三 与椭圆有关的轨迹问题例3 已知B 、C 是两个定点，BC ＝8，且△ABC 的周长等于18.求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．解 以过B 、C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示． 由BC ＝8可知点B (－4,0)，C (4,0)．由AB ＋AC ＋BC ＝18得AB ＋AC ＝10>8＝BC ，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上． 由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．反思与感悟 利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由题意找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程．跟踪训练3 已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B (3,0)，圆P 过点B 且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程．解 如图，设圆P 的半径为r ，又圆P 过点B ， ∴PB ＝r .又∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10， ∴两圆的圆心距PA ＝10－r ， 即PA ＋PB ＝10(大于AB ＝6)．∴圆心P 的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆． ∴2a ＝10,2c ＝AB ＝6.∴a ＝5，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16. ∴圆心P 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.分类讨论思想的应用例4 设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点．P 为椭圆上的一点，已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，求PF 1PF 2的值． 分析 已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，并未指明哪个角是直角，由PF 1＞PF 2，知∠PF 2F 1＞∠PF 1F 2，因此∠PF 1F 2不会是直角，但是∠F 1PF 2与∠PF 2F 1都有可能为直角，故应分类讨论．解 由题意，得PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝2 5. 根据直角的不同位置，分两种情况：若∠PF 2F 1为直角，则PF 21＝PF 22＋F 1F 22， 即PF 21＝(6－PF 1)2＋20，解得PF 1＝143，PF 2＝43，故PF 1PF 2＝72；若∠F 1PF 2为直角，则F 1F 22＝PF 21＋PF 22， 即20＝PF 21＋(6－PF 1)2，解得PF 1＝4，PF 2＝2(由于PF 1＞PF 2， 故舍去PF 1＝2，PF 2＝4)，故PF 1PF 2＝2.综上所述，PF 1PF 2的值为72或2.解后反思 分类讨论思想在解决椭圆的有关问题时经常用到，如在求椭圆的标准方程时，常对焦点所在的坐标轴进行分类讨论．1．设F 1，F 2为定点，F 1F 2＝6，动点M 满足MF 1＋MF 2＝6，则动点M 的轨迹是________． 答案 线段解析 ∵MF 1＋MF 2＝6＝F 1F 2， ∴动点M 的轨迹是线段．2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是________． 答案 2解析 由题意得，椭圆标准方程为x 2＋y 24k＝1，又其一个焦点坐标为(0,1)，故4k －1＝1， 解得k ＝2.3．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1，F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2的面积为________． 答案 6解析 根据椭圆的定义知PF 1＋PF 2＝8. 又PF 1－PF 2＝2，所以PF 1＝5，PF 2＝3. 而F 1F 2＝4，所以F 1F 22＋PF 22＝PF 21，所以△12pF F ∆2是直角三角形， 则S △12pF F ∆＝12×3×4＝6.4．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的__________条件． 答案 充要解析 方程可化为x 21m ＋y 21n＝1.若m >n >0，则0<1m <1n ，可得方程为焦点在y 轴上的椭圆． 若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >1m>0，可得m >n >0.5．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则PF 1·PF 2＝________. 答案 48解析 依题意知，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5，F 1F 2＝2c ＝10. 由于PF 1⊥PF 2，所以由勾股定理得PF 21＋PF 22＝F 1F 22， 即PF 21＋PF 22＝100.又由椭圆定义知PF 1＋PF 2＝2a ＝14， 所以(PF 1＋PF 2)2－2PF 1·PF 2＝100， 即196－2PF 1·PF 2＝100. 解得PF 1·PF 2＝48.1.平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即MF1＋MF2＝2a，当2a>F1F2时，轨迹是椭圆；当2a＝F1F2时，轨迹是一条线段F1F2；当2a<F1F2时，轨迹不存在．2．求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的．。

课题： §2.2.1 椭圆的标准方程【学习目标】 1. 掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程；2. 能用标准方程判定曲线是否是椭圆。

【学习重点】熟练掌握椭圆的标准方程，能由椭圆定义求椭圆的方程【学习难点】根据定义推导椭圆标准方程【学习过程】一、问题情境1.用几何画板模拟下面的实验：取一条定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的21,F F 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？2.椭圆的定义：平面内到两个定点21,F F 的距离的和等于常数(大于 21F F )的点的轨迹叫做椭圆, 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.a PF PF 221=+(02221>=>c F F a )注意：(1)c a 22>表示椭圆；(2)c a 22=表示线段12F F ；(3)c a 22<没有轨迹；二、建构数学1. 根据定义推导椭圆标准方程： 设椭圆的两个焦点分别为12,F F ，122F F c =，且椭圆上任意一点P 到12,F F 的距离之和为2(22)a a c >PFF2． 椭圆的标准方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程是12222=+by a x (0>>b a ).其中 222c b a +=. 3.注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是12222=+bx a y (0>>b a ). 其中 222c b a +=. 三、数学运用例1．判断下列方程是否表示椭圆，若是，求出c b a ,,的值 ①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12422=-y x ；④369422=+x y例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）4,3a b ==，焦点在x 轴上；（2）1,b c =，焦点在y 轴上；（3）两个焦点分别是12(2,0),(2,0)F F -，且过点53(,)22P -；（4）经过点(2,0)P -和(0,3)Q -。

[A 基础达标]1．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且F 1F 2＝23，若PF 1与PF 2的等差中项为F 1F 2，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1 B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1 D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：选B.由已知2c ＝F 1F 2＝23，所以c ＝ 3.因为2a ＝PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝43，所以a ＝23，所以b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.2．“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.要使方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，应满足⎩⎪⎨⎪⎧5－m >0，m ＋3>0，5－m ≠m ＋3，解得－3<m <5且m ≠1，因此“－3<m <5”是“方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．3．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则ON 等于( )A ．2B ．4C ．6 D.32解析：选B.设椭圆的另一个焦点为F 2，因为椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，即MF 1＝2，又MF 1＋MF 2＝2a ＝10，所以MF 2＝8.因为N 是MF 1的中点，O 是F 1F 2的中点， 所以ON ＝12MF 2＝4.4．已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且MF 1－MF 2＝1，则△MF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：选B.由椭圆定义知MF 1＋MF 2＝2a ＝4，因为MF 1－MF 2＝1，所以MF 1＝52，MF 2＝32.又F 1F 2＝2c ＝2，所以MF 21＝MF 22＋F 1F 22，即∠MF 2F 1＝90°，所以△MF 1F 2为直角三角形． 5．椭圆x 216＋y 27＝1的左，右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为________．解析：由椭圆方程知2a ＝8，由椭圆的定义知AF 1＋AF 2＝2a ＝8，BF 1＋BF 2＝2a ＝8，所以△ABF 2的周长为16.答案：166．已知椭圆C 1：mx 2＋y 2＝8与椭圆C 2：9x 2＋25y 2＝100的焦距相等，则m 的值为________．解析：将椭圆C 1化成标准方程为x 28m ＋y 28＝1，C 2化成标准方程为x 21009＋y 24＝1.设椭圆C 2的焦距为2c ，则c 2＝1009－4＝649.当椭圆C 1的焦点在x 轴上时，因为椭圆C 1与椭圆C 2的焦距相等．所以8m －8＝649，解得m ＝917.当椭圆C 1的焦点在y 轴上时，因为椭圆C 1与椭圆C 2的焦距相等．所以8－8m ＝649，解得m ＝9.综上可知，m ＝9或m ＝917.答案：9或9177．方程x 2m 2＋y 2（m －1）2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0（m －1）2>0（m －1）2>m 2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0m ≠1m <12.故所求实数m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12.答案：(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 8．已知P 是椭圆x 225＋y 216＝1上任意一点，F 1，F 2是两个焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△PF 1F 2的面积．解：由x 225＋y 216＝1得a ＝5，b ＝4，所以c ＝3.所以F 1F 2＝2c ＝6，PF 1＋PF 2＝2a ＝10. 因为∠F 1PF 2＝30°，所以在△F 1PF 2中， 由余弦定理得F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 30°，即62＝PF 21＋2PF 1·PF 2＋PF 22－2PF 1·PF 2－3·PF 1·PF 2，所以(2＋3)PF 1·PF 2＝(PF 1＋PF 2)2－36＝100－36＝64， 即PF 1·PF 2＝642＋3＝64×(2－3)， 所以S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2·sin 30°＝12×64×(2－3)×12＝16(2－3)．9.如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点分别为F 1、F 2.过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为M (2，1)，求椭圆C 的方程．解：因为直线l ⊥x 轴，M (2，1)，所以F 2的坐标为(2，0)，由题意知椭圆的焦点在x 轴上，标准方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝22a 2＋1b2＝1，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝2，所以所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.[B 能力提升]1．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则PM ＋PN 的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B.由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且PF 1＋PF 2＝10，从而PM ＋PN 的最小值为PF 1＋PF 2－1－2＝7.2．已知椭圆的方程为x 2m ＋y 2＝1(m >0，m ≠1)，则该椭圆的焦点坐标为________．解析：当0<m <1时，此时焦点在y 轴上，a 2＝1，b 2＝m ，所以c 2＝a 2－b 2＝1－m ， 所以c ＝1－m ，故所求方程的焦点坐标为(0，1－m )，(0，－1－m )； 当m >1时，此时焦点在x 轴上，a 2＝m ，b 2＝1， 所以c 2＝a 2－b 2＝m －1，所以c ＝m －1，故所求方程的焦点坐标为(m －1，0)，(－m －1，0)． 答案：(0，1－m )，(0，－1－m )或(m －1，0)， (－m －1，0)3.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，若△POF 2为面积是3的正三角形，试求椭圆的标准方程．解：由△POF 2为面积是3的正三角形得，PO ＝PF 2＝OF 2＝2，所以c ＝2.连结PF 1，在△POF 1中，PO ＝OF 1＝2，∠POF 1＝120°，所以PF 1＝2 3.所以2a ＝PF 1＋PF 2＝2＋23，所以a ＝1＋3， 所以b 2＝a 2－c 2＝4＋23－4＝2 3.所以所求椭圆的标准方程为x 24＋23＋y 223＝1.4．(选做题)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，B 为椭圆上的点且坐标为(0，－1)．(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1·PF 2的最大值； (2)若C 为椭圆上异于B 的一点，且BF →1＝λ CF →1，求λ的值； (3)设P 是该椭圆上的一个动点，求△PBF 1的周长的最大值． 解：(1)因为椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，所以a ＝2，b ＝1，c ＝3，即F 1F 2＝23， 又因为PF 1＋PF 2＝2a ＝4，所以PF 1·PF 2≤⎝⎛⎭⎫PF 1＋PF 222＝⎝⎛⎭⎫422＝4， 当且仅当PF 1＝PF 2＝2时取“＝”， 所以PF 1·PF 2的最大值为4.(2)设C (x 0，y 0)，B (0，－1)，F 1(－3，0)， 由BF →1＝λ CF →1，得x0＝3（1－λ）λ，y0＝－1λ.又x204＋y2＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，解得λ＝－7或λ＝1，C异于B点，故λ＝1舍去．所以λ＝－7.(3)因为PF1＋PB＝4－PF2＋PB≤4＋BF2，所以△PBF1的周长≤4＋BF2＋BF1＝8，所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8.由Ruize收集整理。

2.2.1 椭圆的标准方程(二)一、基础过关1． 椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标为__________．2． 椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则PF 2＝________.3． 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是____________________．4． 曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1 (0<k <9)的关系说法正确的是________(填序号)． ①有相等的焦距，相同的焦点；②有相等的焦距，不同的焦点；③有不相等的焦距，不同的焦点．5． 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－2 3，0)，且a ＝2b ，则该椭圆的标准方程是______________．6． 设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．7． 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，PF 1＝43，PF 2＝143.求椭圆C 的方程． 8． △ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，且a >b >c ，A ，C 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B 的轨迹方程．二、能力提升9． 设F 1、F 2分别是椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝________.10．已知A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B 是圆F ：⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为____________________________________．11． 曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2 (a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2. 其中，所有正确结论的序号是__________．12．已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．13．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2 ＝1 (a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程．三、探究与拓展14．在面积为1的△PMN 中，tan ∠PMN ＝12，tan ∠MNP ＝－2，建立适当的平面直角坐标系，求以M ，N 为焦点，且经过点P 的椭圆的方程．答案1． ⎝⎛⎭⎫0，±320 2． 72 3． 椭圆 4．② 5． x 216＋y 24＝1 6． ⎝⎛⎭⎫π4，π2 7． 解 因为点P 在椭圆C 上，所以2a ＝PF 1＋PF 2＝6，a ＝3.在Rt △PF 1F 2中，F 1F 2＝PF 22－PF 21＝25，故椭圆的半焦距c ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 24＝1. 8． 解 由已知得b ＝2，又a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ＝4，即AB ＋BC ＝4，∴点B 到定点A 、C 的距离之和为定值4，由椭圆定义知B 点的轨迹为椭圆的一部分，其中a ′＝2，c ′＝1.∴b ′2＝3.又a >b >c ，∴顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1 (－2<x <0)． 9． 6 10．x 2＋43y 2＝1 11．②③12．解 设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上， ∴x 2036＋y 209＝1. ∵M 是线段PP ′的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝y 2.把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝y 2代入x 2036＋y 209＝1， 得x 236＋y 236＝1，即x 2＋y 2＝36， ∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.13．解 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y ) ＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 又P 点在椭圆上，∴⎝⎛⎭⎫－x 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b 2＝1， ∴Q 的轨迹方程为x 24a 2＋y 24b 2＝1 (a >b >0)． 14．解如图所示，以MN 所在的直线为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，M (－c,0)，N (c,0)，P (x 0，y 0)．由tan ∠PMN ＝12，tan ∠PNx ＝tan(π－∠MNP )＝2，得直线PM ，PN 的方程分别是y ＝12(x ＋c )，y ＝2(x －c )．联立解得⎩⎨⎧x0＝53c ，y 0＝43c ，即点P ⎝⎛⎭⎫53c ，43c .又∵S △PMN ＝12MN ·|y 0|＝12×2c ×43c ＝43c 2，∴43c 2＝1，即c ＝32，∴点M ⎝⎛⎭⎫－32，0，N ⎝⎛⎭⎫32，0，P ⎝⎛⎭⎫536，233.∴2a ＝PM ＋PN ＝⎝⎛⎭⎫536＋322＋⎝⎛⎭⎫2332＋⎝⎛⎭⎫536－322＋⎝⎛⎭⎫2332＝15，即a ＝152.∴b 2＝a 2－c 2＝154－34＝3.∴所求椭圆的方程为x 2154＋y 23＝1.。

2021年高中数学 2.2.1椭圆的标准方程同步练习（含解析）苏教版选修1-1课时目标 1.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程.2.理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念.3.能由椭圆定义推导椭圆的方程，初步学会求简单的椭圆的标准方程．椭圆的标准方程：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为______________ (a>b>0)，焦点坐标为________________，焦距为________；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为________________ (a>b>0)．注：(1)以上方程中a ，b 的大小为a>b>0，其中c 2＝__________；(2)在x 2a 2＋y 2b 2＝1和y 2a 2＋x2b2＝1两个方程中都有a>b>0的条件，要分清焦点的位置，只要看x 2和y 2的分母的大小即可．例如椭圆x 2m ＋y 2n＝1 (m>0，n>0，m≠n)，当m>n 时表示焦点在______轴上的椭圆；当m<n 时表示焦点在______轴上的椭圆．一、填空题1．设F 1，F 2为定点，F 1F 2＝6，动点M 满足MF 1＋MF 2＝6，则动点M 的轨迹是________．2．椭圆x 216＋y27＝1的左右焦点为F 1，F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为________．3．平面内一动点M 到两定点F 1、F 2距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为________________________________________________________________________．4．设α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围为________．5．方程x 22m －y2m －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________．6．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n 千米，远地点距地面m 千米，地球半径为R ，那么这个椭圆的焦距为________千米．7．椭圆E ：x 216＋y24＝1内有一点P(2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为____________．8．椭圆x 29＋y22＝1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若PF 1＝4，则PF 2＝______，∠F 1PF 2的大小为______． 二、解答题9．根据下列条件，求椭圆的标准方程．(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.10.已知点A(0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且PM ＝PA ，求动点P 的轨迹方程．能力提升12.若点O 和点F 分别为椭圆的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) 12.如图△ABC 中底边BC ＝12，其它两边AB 和AC 上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A 的轨迹方程．1．椭圆的定义中只有当距离之和2a>F1F2时轨迹才是椭圆，如果2a＝F1F2，轨迹是线段F1F2，如果2a<F1F2，则不存在轨迹．2．椭圆的标准方程有两种表达式，但总有a>b>0，因此判断椭圆的焦点所在的坐标轴要看方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上．3．求椭圆的标准方程常用待定系数法，一般是先判断焦点所在的坐标轴进而设出相应的标准方程，然后再计算；如果不能确定焦点的位置，有两种方法求解，一是分类讨论，二是设椭圆方程的一般形式，即mx2＋ny2＝1 (m，n为不相等的正数)．§2.2椭圆2．2.1 椭圆的标准方程知识梳理x2 a2＋y2b2＝1 F1(－c，0)，F2(c,0) 2cy2a2＋x2b2＝1(1)a2－b2(2)x y作业设计1．线段解析∵MF1＋MF2＝6＝F1F2，∴动点M的轨迹是线段．2．16解析由椭圆方程知2a＝8，由椭圆的定义知AF1＋AF2＝2a＝8，BF1＋BF2＝2a＝8，所以△ABF2的周长为16.3．椭圆或线段或无轨迹解析当2a>F1F2时，点M的轨迹是椭圆，当2a＝F1F2时，点M的轨迹是线段，当2a<F1F2时无轨迹.4.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2解析 因椭圆的焦点在x 轴上， 所以sin α>cos α>0，又因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4<α<π2.5.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 解析 据题意⎩⎪⎨⎪⎧m －1<02m>0－m －1>2m ，解之得0<m<13.6．m －n解析 设a ，c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝m ＋Ra －c ＝n ＋R ，则2c ＝m －n.7．x ＋2y －4＝0解析 设弦的两个端点为M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 214＝1x 2216＋y 224＝1，两式相减，得x 1＋x 2x 1－x 216＋y 1＋y 2y 1－y 24＝0.又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k MN ＝－12，由点斜式可得弦所在直线的方程为y ＝－12(x －2)＋1，即x ＋2y －4＝0.8．2 120° 解析∵PF 1＋PF 2＝2a ＝6， ∴PF 2＝6－PF 1＝2. 在△F 1PF 2中， cos ∠F 1PF 2＝ PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝16＋4－282×4×2＝－12，∴∠F 1PF 2＝120°. 9．解 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b2＝1 (a>b>0)．∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4. ∴b 2＝a 2－c 2＝52－42＝9.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y29＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x2b 2＝1 (a>b>0)．由椭圆的定义知，2a ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＝3102＋102＝210，∴a＝10.又∵c＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.故所求椭圆的标准方程为y 210＋x26＝1.10．解 ∵PM＝PA ，PM ＋PO 1＝4， ∴PO 1＋PA ＝4，又∵O 1A ＝23<4，∴点P 的轨迹是以A 、O 1为焦点的椭圆， ∴c＝3，a ＝2，b ＝1，∴动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1.11．6解析 由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x 0，y 0)， 则OP →·FP →＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝x 20＋x 0＋y 20.∵P 为椭圆上一点，∴x 204＋y 203＝1.∴OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3(1－x 204)＝x 204＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2， ∴OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值为6. 12.解 以BC 边所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示坐标系， 则B(6,0)，C(－6,0)，CE 、BD 为AB 、AC 边上的中线，则BD ＋CE ＝30. 由重心性质可知GB ＋GC ＝23(BD ＋CE)＝20. ∵B、C 是两个定点，G 点到B 、C 距离和等于定值20，且20>12， ∴G 点的轨迹是椭圆，B 、C 是椭圆焦点． ∴2c＝BC ＝12，c ＝6,2a ＝20，a ＝10， b 2＝a 2－c 2＝102－62＝64，故G 点的轨迹方程为x 2100＋y264＝1 (x≠±10)．去掉(10,0)、(－10,0)两点．又设G(x′，y′)，A(x ，y)，则有x′2100＋y′264＝1.由重心坐标公式知⎩⎪⎨⎪⎧x′＝x 3，y′＝y3.故A 点轨迹方程为x 32100＋y 3264＝1.即x 2900＋y2576＝1 (x≠±30)．40691 9EF3 黳'Q{25679 644F 摏4^29697 7401 琁37119 90FF 郿X23531 5BEB 寫qN9。

2．2.1 椭圆的标准方程[对应学生用书P20]在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，D (0，－2)．问题1：若动点P 满足PA ＋PB ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足的关系式是什么？ 提示：由两点间距离公式得 (x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝6， 化简得x 29＋y 25＝1.问题2：若动点P 满足PC ＋PD ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x 、y 满足什么关系？ 提示：由两点间距离公式得x 2＋(y －2)2＋x 2＋(y ＋2)2＝6，化简得y 29＋x 25＝1.椭圆的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 焦点坐标(±c,0)(0，±c )a 、b 、c 的关系c 2＝a 2－b 21．标准方程中的两个参数a 和b ，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．a ，b ，c 三者之间a 最大，b ，c 大小不确定，且满足a 2＝b 2＋c 2.2．两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值．当椭圆焦点在x 轴上时，含x 项的分母大；当椭圆焦点在y 轴上时，含y 项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意a >b >0这个条件．[对应学生用书P20]待定系数法求椭圆标准方程[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点．[思路点拨] (1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(其中A >0，B >0，A ≠B )，直接求A ，B .(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点(3，－5)代入，即可求出a ，b ，则标准方程易得．[精解详析] (1)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1b 2＝18，1a 2＝14.即a 2＝4，b 2＝8，则a 2<b 2，与题设中a >b >0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在椭圆上，所以()－52a 2＋(3)2b2＝1，即5a 2＋3b2＝1.②由①②得b 2＝4，a 2＝20， 所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. [一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为：1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)经过两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12. 解：(1)由已知得：c ＝4，a ＝5.b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故所求椭圆方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1.(A >0，B >0，A ≠B ) 由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧19A ＋19B ＝1，14B ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧B ＝4，A ＝5，故所求椭圆方程为y 214＋x 215＝1.2．求适合下列条件的椭圆的方程．(1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧22a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10. 又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2，故c ＝8， ∴b 2＝a 2－c 2＝36， ∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.椭圆标准方程的讨论[例2] 已知方程x 2·sin α－y 2·c os α＝1(0≤α≤2π)表示椭圆． (1)若椭圆的焦点在x 轴上，求α的取值范围． (2)若椭圆的焦点在y 轴上，求α的取值范围．[思路点拨] (1)已知的方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．(2)对于椭圆方程x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0，m ≠n )可由m ，n 的大小确定椭圆焦点的位置，列出三角不等式后求α的范围．[精解详析] 将椭圆方程x 2·sin α－y 2·cos α＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为x 21sin α＋y 21－cos α＝1(0≤α≤2π)． (1)若方程表示焦点在x 轴上的椭圆， 则1sin α>－1cos α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α>－1，所以34π<α<π.即α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，2π.(2)若方程表示焦点在y 轴上的椭圆， 则－1cos α>1sin α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α<－1，所以π2<α<3π4.即α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.[一点通] 对于讨论椭圆方程中参数的取值范围问题，一般的解题方法是根据题设条件给出的焦点位置，结合对应的标准方程应满足的条件，建立一个含参数的不等式组，通过求解不等式组得到参数的取值范围．3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．解析：由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)>0a >－6.解得a >3或－6<a <－2.答案：(3，＋∞)∪(－6，－2) 4．已知方程x 2k －5＋y 23－k＝－1表示椭圆，求k 的取值范围．解：方程x 2k －5＋y 23－k＝－1可化为x 25－k＋y 2k －3＝1，由椭圆的标准方程可得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，得3<k <5，且k ≠4.所以满足条件的k 的取值范围是{k |3<k <5，且k ≠4}.椭圆的定义及标准方程的应用[例3] 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思路点拨] 根据椭圆的标准方程知PF 1＋PF 2＝4，结合面积公式和余弦定理找到PF 1和PF 2的关系求解．[精解详析] 由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得PF 22＝PF 21＋F 1F 22－2PF 1·F 1F 2cos 120°，即PF 22＝PF 21＋4＋2PF 1.① 由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝4， 即PF 2＝4－PF 1.② ②代入①解得PF 1＝65.∴S △PF 1F 2＝12PF 1·F 1F 2·sin 120°＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是3 35.[一点通] 在椭圆中，由三条线段PF 1，PF 2，F 1F 2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出PF 1＋PF 2＝2a ，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．5．已知两定点F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则动点P 的轨迹方程是________．解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴F 1F 2＝2. ∵F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项， ∴2F 1F 2＝PF 1＋PF 2，即PF 1＋PF 2＝4，∴点P 在以F 1，F 2为焦点的椭圆上， ∵2a ＝4，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝3. ∴椭圆的方程是x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝16．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于________．解析：由x 29＋y 24＝1，得a ＝3，b ＝2，∴c 2＝a 2－b 2＝5.∴c ＝ 5.∴F 1F 2＝2 5. 由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＋PF 2＝6，PF 1∶PF 2＝2∶1，得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＝4，PF 2＝2.∴PF 21＋PF 22＝F 1F 22. ∴△F 1PF 2为直角三角形． ∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝4.答案：47．如图，已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 236＝1的两个焦点．(1)若椭圆上一点P 到焦点F 1的距离等于15，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是多少？ (2)过F 1作直线与椭圆交于A ，B 两点，试求△ABF 2的周长． 解：由椭圆的标准方程可知a 2＝100，所以a ＝10.(1)由椭圆的定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝20，又PF 1＝15，所以PF 2＝20－15＝5，即点P 到焦点F 2的距离为5.(2)△ABF 2的周长为AB ＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋BF 1)＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)． 由椭圆的定义可知AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，故AB ＋AF 2＋BF 2＝4a ＝40.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．[对应课时跟踪训练(八)]1．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为________．解析：由椭圆定义知，a ＝5，P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，因此，到另一个焦点的距离为5.答案：52．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是________．解析：椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，故焦点在y 轴上，其中a 2＝116，b 2＝125，所以c2＝a 2－b 2＝116－125＝9400，故c ＝320.所以该椭圆的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，±320.答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，±3203．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________． 解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为x 21k 2－1＋y 213＝1. 由椭圆焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧k 2－1>0，1k 2－1<13.解之得k >2或k <－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)4．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：85．已知P 为椭圆x 225＋4y275＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．解析：在△F 1PF 2中，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°，即25＝PF 21＋PF 22－PF 1·PF 2.① 由椭圆的定义，得 10＝PF 1＋PF 2.②由①②，得PF 1·PF 2＝25，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin 60°＝25 34.答案：25 346．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； (2)以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过M (2，6)． 解：(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5. ∴b 2＝a 2－c 2＝144. ∴所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1. (2)法一：由9x 2＋5y 2＝45， 得y 29＋x 25＝1，c 2＝9－5＝4， 所以其焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)．设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由点M (2，6)在椭圆上，所以MF 1＋MF 2＝2a ，即2a ＝(2－0)2＋(6－2)2＋(2－0)2＋(6＋2)2＝43， 所以a ＝23，又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝8， 所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1. 法二：由法一知，椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)，则设所求椭圆方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ＞0)，将M (2，6)代入，得6λ＋4＋4λ＝1(λ＞0)， 解得λ＝8或λ＝－2(舍去)． 所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.7．如图，设点P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝45PD ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程．解：设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )，由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝x ，y P ＝54y .∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25.即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.8．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r ， 则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ， ∴|MA |＋|MB |＝8，且8>|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8， ∴a ＝4，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.。

2.2.2 椭圆的几何性质双基达标 (限时15分钟)1．一个极点的坐标为(0，2)，焦距的一半为3的椭圆的标准方程为__________．解析 由椭圆中a >b ，a >c ＝3，且一个极点坐标为(0，2)知b ＝2，b 2＝4，且椭圆核心在x 轴上，a 2＝b 2＋c 2＝13.故所求椭圆的标准方程为x 213＋y 24＝1. 答案x 213＋y 24＝1 2．中心在原点，核心在x 轴上，焦距为2，离心率为13，那么椭圆的标准方程为____________．解析 ∵c ＝1，e ＝13，∴a ＝3，b 2＝32－1＝8.∵核心在x 轴上，∴椭圆方程为x 29＋y 28＝1.答案x 29＋y 28＝1 3．以椭圆的焦距为直径并过两核心的圆，交椭圆于四个不同的点，按序连结这四个点和两个核心恰好组成一个正六边形，那么那个椭圆的离心率为________． 解析 2a ＝c ＋3c ，e ＝ca＝3－1.答案3－14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右核心别离为F 1、F 2.过F 1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点P ，且PF 2⊥x 轴，那么此椭圆的离心率e 为________． 解析 由题意得|PF 2|＝b 2a，|PF 1|＝2b 2a ，由椭圆概念得3b 2a＝2a ，3b 2＝3a 2－3c 2＝2a 2，那么此椭圆的离心率e 为33.答案335．已知椭圆G 的中心在座标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个核心的距离之和为12，那么椭圆G 的方程为________． 解析 由题意得2a ＝12，ca ＝32，因此a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x 236＋y 29＝1. 答案x 236＋y 29＝1 6．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、核心坐标、极点坐标． 解 椭圆方程可化为x 2m＋y 2mm ＋3＝1，∴m >0.又m －m m ＋3＝m （m ＋2）m ＋3>0，∴m >mm ＋3，∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m （m ＋2）m ＋3.∵e ＝ca＝32，∴m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴a 2＝1，b 2＝mm ＋3＝11＋3＝14，∴a ＝1，b ＝12. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，核心坐标为(±32，0)极点坐标为(1，0)，(－1，0)，(0，12)，(0，－12)．综合提高限时30分钟7．如下图，A 、B 、C 别离为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的极点与核心，假设∠ABC ＝90°，那么该椭圆的离心率为________． 解析 由(a ＋c )2＝2a 2＋b 2， ∵b 2＝a 2－c 2， ∴c 2＋ac －a 2＝0，∵e ＝c a ，∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝－1＋52.答案－1＋528．已知椭圆的中心在原点，核心在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5，4)，那么椭圆的方程为________．解析 设椭圆的方程为x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)，将点(－5，4)代入得25a 2＋16b2＝1， 又离心率e ＝ca ＝55，即e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，解之得a 2＝45，b 2＝36， 故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.答案x 245＋y 236＝1 9．以等腰直角△ABC 的两个极点为核心，而且通过另一极点的椭圆的离心率为________． 解析 当以两锐角极点为核心时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b ＝c ，现在可求 得离心率e ＝c a＝c b 2＋c 2＝c2c＝22；同理，当以一直角极点和一锐角极点为核心时，设直角边长为m ，故有2c ＝m ，2a ＝(1＋2)m ，因此，离心率e ＝c a ＝2c2a ＝m（1＋2）m＝2 －1.答案 22或2－110．如下图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等分，过每一个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部份于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个核心，那么P 1F ＋P 2F ＋…＋P 7F解析由方程可知，a＝5，b＝4，设椭圆的另一核心为M，别离连接M与各个分点，由对称性可知：P1M＝P7F，P2M＝P6F，P3M＝P5F，P4F＝a，由椭圆概念知：P1F＋P2F＋…＋P7F＝(P1F＋P1M)＋(P2F＋P2M)＋(P3F＋P3M)＋P4F＝2a＋2a＋2a＋a ＝答案 3511．已知椭圆的对称轴是坐标轴，以短轴的一个端点和两核心为极点的三角形是正三角形，且核心到椭圆的最短距离是3，求此椭圆方程，并写出其中核心在y 轴上的椭圆的核心坐标、离心率．解 由题设条件及椭圆概念知2a ＝4c ，且a －c ＝ 3.∴c ＝3，a ＝23，b 2＝a 2－c 2＝9.当核心在x 轴上时，所求的方程为 x 212＋y 29＝1； 当核心在y 轴上时，所求的方程为x 29＋y 212＝1. 对后一个方程，离心率e ＝c a ＝12，核心坐标为(0，±3)．12．如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右核心，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上极点，H 是直线x ＝－a 2c(c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交点，假设PF ⊥OF ，HB ∥OP ，试求椭圆的离心率e . 解 依题意知H (－a 2c，0)，F (c ，0)，B (0，b )．设P (x P ，y P )，且x P ＝c ，代入到椭圆的方程， 得y P ＝b 2a.∴P (c ，b 2a)．∵HB ∥OP ，∴k HB ＝k OP ，即b －00＋a 2c＝b 2a c.∴ab ＝c 2. ∴e ＝c a ＝b c，∴e 2＝a 2－c 2c 2＝e －2－1.∴e 4＋e 2－1＝0.∵0<e <1，∴e ＝5－12.13．(创新拓展)已知F 1、F 2是椭圆x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两个核心，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆上，且知足OA →＋OB →＝0(O 是坐标原点)，AF 2⊥F 1F 2.假设椭圆的离心率等于22，△ABF 2的面积等于42，求椭圆的方程．解 如图，由OA →＋OB →＝0知，直线AB 通过原点，∵e ＝c a＝22，∴b 2＝12a 2，设A (x ，y )，由AF 2⊥F 1F 2知x ＝c ， ∴A (c ，y )代入椭圆方程得c 2a 2＋y 2b 2＝1，∴y ＝b 2a＝a 2，连结AF 1，BF 1，AF 2，BF 2， 由椭圆的对称性可知S △ABF 2＝S △ABF 1＝S △AF 1F 2，因此12·2c ·12a ＝42，又由c ＝22a ，解得a 2＝16，b 2＝12×16＝8，故椭圆方程为x 216＋y 28＝1.。