2018年高三最新 广东省六校2018届高三第二次联考数学(文科)科试卷新课程 精品

广东省六校2018届高三第二次联考数学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}{}2|430,|,0xA x x xB y y e x =-+<==≤，则A B = （ ）A.(),1-∞B.()0,3C.()1,3D.()3,+∞2.已知()(47)5m ni i ++=，其中,m n 是实数，则复平面内，复数z m ni =+所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11+x x=求得x =（ ） A.3C. 6D. 4.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3 C.a n ＋1a n D.S n ＋1S n5.已知命题p ⌝:存在x ∈(1,2)使得0x e a ->,若p 是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A.(-∞,e )B.(-∞, e ]C.(2e ,+∞)D.[2e ,+∞)6.直线y x =与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C 的离心率为( )A.－1＋52B.1＋52C.3－52D.127.已知数列{}n a 满足7128,38,n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩若对于任意的*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是( )A.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.11,32⎛⎫⎪⎝⎭ D. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭8.将函数()2cos 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间[0,]3a 和7[2,]6a π上均单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.[,]32ππB.[,]62ππC.[,]63ππD.3[,]48ππ9.在平行四边形ABCD 中，4,2,,3AB AD A M π==∠=为DC 的中点，N为平面ABCD-=-，则=⋅AN AM （ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 610.若函数()1sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦11．在正方体1111ABCD A BC D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．给出下列四个结论，错误的是（ ） A ．存在点E ，使得11C A //平面F BED 1； B ．对于任意的点E ，平面⊥D C A 11平面F BED 1； C ．存在点E ，使得⊥D B 1平面F BED 1； D ．对于任意的点E ，四棱锥F BED B 11-的体积均不变.12．若曲线()()()2111ln 1f x e x e a x =-<<-+和()()320g x x x x =-+<上分别存在点,A B ，使得AOB ∆是以原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点y 轴上，则实数a 的取值范围是（ ） A.()2,e eB. 2,2e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()21,eD.[)1,e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018届广东省东莞市高三毕业班第二次综合考试文科数学试卷（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，得，则.故选C.2. 已知为纯虚数，则实数的值为( )A. 4B. 2C. 1D. -2【答案】B【解析】因为为纯虚数，所以，即.故选B.3. 已知点在直线上，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意，得，即，又因为，所以.故选D.4. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出结果为( )A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】B【解析】由程序框图，得；；；；.故选B.5. 已知变量满足约束条件则目标函数的最小值为( )A. B. C. 0 D. 2【答案】A【解析】将化为，作出可行域和目标函数基准直线（如图所示），当直线向左上方平移时，直线在轴上的截距增大，即减小，由图象，得当直线过点时，联立，得，取得最小值.故选A.6. 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. 18B. 12C. 10D. 8【答案】D【解析】由三视图得该几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2、3的矩形，垂直于底面的侧棱长为4，所以其体积为.故选D.7. 已知函数的图象上的两点关于原点对称，则函数( )A. 在内单调递增B. 在内单调递减C. 在内单调递减D. 在在内单调递增【答案】A【解析】易知函数为奇函数，因为其图象上的两点关于原点对称，所以，解得，即，解得，即，则在在内单调递增.故选A.8. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的值不可能为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，，若时，，即函数在上单调递增；若时，，即函数在上单调递增；若时，，即函数在上先减后增.故选C.9. 已知四边形是矩形,，点是线段AC上一点，，且，则实数的取值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由平面向量的平行四边形法则，得，，因为，所以，即，解得.故选B.10. 已知双曲线的离心率为2，过右焦点的直线交双曲线的两条渐近线于两点，且，则直线的斜率的值等于( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因为双曲线的离心率为2，所以，则双曲线的两条渐近线方程为，设过右焦点的直线的方程为，联立，得，联立，得，由，得，即，解得，即直线的斜率的值等于.故选A.11. 在中，若，则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，即，即，即，由正弦定理，得，由余弦定理，得，即（当且仅当时取等号），又易知，即.故选D.12. 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】显然，当时，不等式不恒成立，设过原点的直线与函数相切于点，因为，所以该切线方程为，因为该切线过原点，所以，解得，即该切线的斜率，由图象，得.故选C.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 某机构对某镇的学生的身体素质状况按年级段进行分层抽样调查，得到了如下表所示的数据，则__________．年级段小学初中高中总人数800样本中人数16 15【答案】37500【解析】由分层抽样的特点，得，即，则.故填37500.14. 已知函数,，则__________．【答案】3【解析】由题意，得，即，解得，即.故填3.15. 已知几何体是平面截半径为4的球所得较大部分，是截面圆的内接三角形，，点是几何体的表面上一动点，且在圆上的投影在圆的圆周上，，则三棱锥的体积的最大值为__________．【答案】10【解析】因为在圆上的投影在圆的圆周上，所以点所在的圆周面和圆面关于球心对称，即点到平面的距离为，设截面圆的半径为，其内接的一个锐角为，因为，所以，则，所以三棱锥的体积的最大值为.故填10.16. 已知直线于圆交于两点，圆在点处的切线相交于点，则四边形的面积为__________．【答案】5【解析】由平面几何知识，得点与圆心的连线与直线垂直，则，解得，则，因为圆心到直线的距离为，所以，则四边形的面积为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等比数列与等差数列成等差数列，成等比数列.(Ⅰ)求，的通项公式；(Ⅱ)设分别是数列，的前项和，若,求的最小值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)7.【解析】试题分析：(Ⅰ)设数列的公比为，数列的公差为，利用等差中项和等比中项进行求解；(Ⅱ)先利用分组求和法进行求和，再利用数列的单调性和验证法进行求解.试题解析：(Ⅰ)设数列的公比为，数列的公差为，则解得（舍）或.(Ⅱ)由(Ⅰ)易知.由，得,是单调递增数列，且,的最小值为7.18. 如图，平面平面，四边形是平行四边形为直角梯形，，，且.(Ⅰ)求证：平面；(Ⅱ)若,求该几何体的各个面的面积的平方和.【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)取的中点，利用四边形的对边平行且相等证明该四边形为平行四边形，进而利用线面平行的判定定理进行证明；(Ⅱ)先判定每个表面的形状，再分别求和.试题解析：(Ⅰ)取的中点，连接.∵四边形为直角梯形，是的中点，，且.∵四边形是平行四边形，，且A，，且，四边形是平行四边形，.平面平面，平面.(Ⅱ)在中，,，,.,且,又,即，...∴该几何体的各个面的面积的平方和为.19. 近几年来，“精准扶贫”是政府的重点工作之一，某地政府对240户贫困家庭给予政府资金扶助，以发展个体经济，提高家庭的生活水平.几年后，一机构对这些贫困家庭进行回访调查，得到政府扶贫资金数、扶贫贫困家庭数（户）与扶贫后脱贫家庭数（户）的数据关系如下：政府扶贫资金数（万元） 3 5 7 9政府扶贫贫困家庭数（户）20 40 80 100扶贫后脱贫家庭数（户）10 30 70 90(Ⅰ)求几年来该地依靠“精准扶贫”政策的脱贫率是多少；（答案精准到0.1%）(Ⅱ)从政府扶贫资金数为3万元和7万元并且扶贫后脱贫的家庭中按分层抽样抽取8户，再从这8户中随机抽取两户家庭，求这两户家庭的政府扶贫资金总和为10万元的概率.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)利用所给频数分布表和频率公式进行估计；(Ⅱ)先利用分层抽样得到两层所抽取的数据，再列出所有可能基本事件，再利用古典概型的概率公式进行求解.试题解析：(Ⅰ)几年来该地依靠“精准扶贫”政策的脱贫率是.(Ⅱ)由题意可知，从政府扶贫资金数为3万元和7万元并且扶贫后脱贫的家庭中分别抽取1户和7户，设从政府扶贫资金数为3万元并且扶贫后脱贫的家庭中抽取的1户为，从政府扶贫资金数为7万元并且扶贫后脱贫的家庭中抽取的7户分别为，再从这8户中随机抽取两户的所有可能情况为，共28种，符合题意的情况有共7种，故所求概率为.20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过原点且斜率为1的直线交椭圆于两点，四边形的周长与面积分别为8与 .(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设直线交椭圆于两点，且，求证：到直线的距离为定值.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ) 见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用四边形的周长和椭圆的定义得到，再利用四边形的面积公式和点在椭圆上求出椭圆的标准方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、平面向量的数量积为0进行求解.试题解析：(Ⅰ)不妨设点是第一象限的点，依题可得.∵.∵.∵点在椭圆上，，解得，或（舍）,∴椭圆的标准方程为.(Ⅱ)当直线斜率存在时，设直线的方程为,由消去得,设则,∵,即,即,到直线的距离为.当直线的斜率不存在时，设直线的方程为.由椭圆的对称性易知到直线的距离为.到直线的距离为定值.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系.在研究直线和圆锥曲线的位置关系时，往往要先利用题意设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线的方程，利用根与系数的关系进行求解，但要注意讨论直线的斜率是否存在，如本题中，直线不存在斜率的直线符合题意.21. 已知函数.(Ⅰ)求曲线在处的切线方程；(Ⅱ)设，若有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)求导，利用导数的几何意义进行求解；(Ⅱ)求导，通过讨论的取值，研究函数的单调性和极值，通过函数的零点个数判定极值的符号进行求解.试题解析：(Ⅰ)由题易知,,在处的切线方程为.(Ⅱ)由题易知.当时，在上单调递增，不符合题意.当时，令，得，在上，，在上,在上单调递减，在上单调递增，.有两个零点，,即,∵,解得,∴实数的取值范围为.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为.(Ⅰ)求曲线的极坐标方程；(Ⅱ)若点在曲线上，,求的大小.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)或.【解析】试题分析：(Ⅰ)先将圆的标准方程转化为一般方程，再利用互化公式进行转化；(Ⅱ)利用曲线的极坐标方程的几何意义和三角恒等变换进行求解.试题解析：(Ⅰ)∵曲线的普通方程为，即,曲线的极坐标方程为.(Ⅱ)，且,或或，或.23. 选修4-5：不等式选讲已知，且对任意的恒成立.(Ⅰ)求实数的取值范围；(Ⅱ)若正实数满足，求证.【答案】(Ⅰ).(Ⅱ) 见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用三角不等式求最值，再利用不等式恒成立问题确定的取值；(Ⅱ)利用分析法进行证明.试题解析：(Ⅰ), ∴实数的取值范围为.(Ⅱ)依题意，.要证，即证,即证,即证，此式显然成立，∴原不等式成立.。

惠州市2018届高三第二次调研考试文科数学2017.10全卷满分150分，时间120分钟．一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{}25A x x =≤≤，{}*21，B x x n n N ==-∈，则A B =（ ）(A) {}1,3(B) {}1,7 (C) {}3,5(D) {}5,72．已知复数z 的共轭复数为z ，若()12z i i -=（i 为虚数单位），则z =（ ） (A) i (B) 1i - (C) 1i -- (D) i -3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23415a a a ++=，713a =，则5S =（ ） (A) 28 (B) 25 (C) 20(D) 184．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为12y x =±，则双曲线C 的离心率为 ( )(A)2(B)2(C)(D)5．若0.52a =，log 3b π=，22log sin5c π=，则（ ） (A) b c a >> (B) b a c >> (C) c a b >> (D) a b c >>6．已知1tan 2α=，且3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 2πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （ ）(A) 5-(B) 5(C) 5 (D) 5- 7．某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （℃）之间的关系，随机统计由表中数据算出线性回归方程y bx a =+$中的2b =-，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）件． (A) 46 (B) 40 (C) 38 (D) 588．如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形， 且直角边长都等于1，则该几何体的外接球的体积为（ ）(A)12π(B) (C) 3π (D) 43π 9．已知等边三角形△ABC 的边长为2，其重心为G ，则BG CG ⋅=（ ）(A) 2 (B) 14-(C) 23-(D) 3 10．设12,F F 为椭圆22195x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为（ ）(A)514 (B) 59 (C) 49 (D) 51311．将函数()2sin(2)6f x x π=+的图象向左平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到 ()g x 的图象，若12()()9g x g x ⋅=，且12,[2,2]x x ππ∈-，则122x x -的最大值为（ ） (A)256π (B) 4912π (C) 356π (D) 174π12．已知函数()1,0()ln ,0kx x f x x x ->⎧⎪=⎨--<⎪⎩，若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（ ）(A) (,0)-? (B) 1(0,)2(C) (0,)+? (D) (0,1)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试卷（二）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.421ii-=+（ ） A ．3i - B ．3i + C ．13i + D ．13i - 2.已知()1,3a =-，(),4b m m =-，若//a b ，则m =（ ） A ．1 B ．2- C ．3 D ．63.已知x R ∈，集合{}0,1,2,4,5A =，集合{}2,,2B x x x =-+，若{}0,2A B =，则x =（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．24.空气质量指数（简称：AQI ）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：[)0,50为优，[)50,100为良，[)100,150为轻度污染，[)150,200为中度污染，[)200,250为重度污染，[)250,300为严重污染.下面记录了北京市22天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是（ ）A ．在北京这22天的空气质量中，按平均数来考察，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量B ．在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度C. 在北京这22天的空气质量中，12月29日空气质量最好 D ．在北京这22天的空气质量中，达到空气质量优的天数有6天5.如图，AD 是以正方形的边AD 为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（ ）A ．16π B ．316 C.4πD ．14 6.已知等比数列{}n a 的首项为1，公比1q ≠-，且()54323a a a a +=+，则5a =（ ） A ．9- B ．9 C.81- D ．817.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为()4,0，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（ ）A ．22188x y -=B ．2211616x y -= C. 22188y x -= D ．22188x y -=或22188y x -= 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．86π+B ．66π+ C.812π+ D ．612π+9.在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达依尔.国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍.请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒.当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求.那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（ ）A． B． C. D．10.已知三棱锥D ABC-的外接球的球心O恰好是线段AB的中点，且AC BC BD AD====2=，则三棱锥D ABC-的体积为（）A．3B．3C.3D．1311.已知数列{}n a的前n项和为n S，115a=，且满足112325n na an n+=+--，已知*,n m N∈，n m>，则n mS S-的最小值为（）A．494- B．498- C.14- D．28-12.已知函数()()ln3xf x e x=-+，则下面对函数()f x的描述正确的是（）A．()0,x∀∈+∞，()2f x≤ B．()0,x∀∈+∞，()2f x>C. ()0,x∃∈+∞，()00f x= D．()()min0,1f x∈第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.将函数()()()2sin20f x xϕϕ=+<的图象向左平移3π个单位长度，得到偶函数()g x的图象，则ϕ的最大值是．14.设x，y满足约束条件2,1,1,yy xy x≤⎧⎪≥-+⎨⎪≥-⎩则3412z x y=--的最大值为．15.设函数()2logf x a x=+在区间[]1,a上的最大值为6，则a=．16.已知抛物线()220y px p=>与圆()2211x y+-=，则该抛物线的焦点到准线的距离为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知60B =，8c =.（1）若点M 是线段BC 的中点，ANBM=b 的值； （2）若12b =，求ABC ∆的面积.18.经销商第一年购买某工厂商品的单价为a （单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如下表：.已知某经销商下一年购买该商品的单价为X （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率. （1）求X 的平均估计值.（2）为了鼓励经销商提高销售额，计划确定一个合理的年度销售额m （单位：万元），年销售额超过m 的可以获得红包奖励，该工厂希望使62%的经销商获得红包，估计m 的值，并说明理由. 19.如图：在五面体ABCDEF 中，四边形EDCF 是正方形， 90ADE ∠=， （1）证明：FCB ∆为直角三角形；（2）已知四边形ABCD 是等腰梯形，且60DAB ∠=，1AD DE ==，求五面体ABCDEF 的体积.20.已知椭圆()2212:108x y C b b+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点2F 也为抛物线21:8C y x =的焦点. （1）若M ，N 为椭圆1C 上两点，且线段MN 的中点为()1,1，求直线MN 的斜率；（2）若过椭圆1C 的右焦点2F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A ，B 和C ，D ，设线段AB ，CD 的长分别为m ，n ，证明11m n+是定值. 21.已知函数()xmf x nx e =+. （1）若函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为32y x =-+，求m ，n 的值；（2）当1n =时，在区间(],1-∞上至少存在一个0x ，使得()00f x <成立，求实数m 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3,4x y a ⎧=⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数），圆C 的标准方程为()()22334x y -+-=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）若射线()03πθρ=>与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知()32f x mx x n =+-+.（1）当2m =，1n =-时，求不等式()2f x <的解集；（2）当1m =，0n <时，()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于24，求n 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DABCD 6-10:BABCA 11、12：CB 二、填空题 13.6π-14.9- 15.416.6三、解答题17.解：（1）若点M 是线段BC的中点，AMBM=BM x =，则AM =， 又60B =，8AB =，在ABM ∆中，由余弦定理得2236428cos60x x x =+-⨯， 解得4x =（负值舍去），则4BM =，8BC =. 所以ABC ∆为正三角形，则8b =. （2）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b cB C=，得8sin 2sin 12c BC b⨯===又b c >，所以B C >，则C 为锐角，所以cos C =则()1sin sin sin cos cos sin 23236A B C B C B C =+=+=+⨯=，所以ABC ∆的面积1sin 482S bc A ===18. 解：（1）由题可知：0.20.90.30.850.240.80.120.750.10.70.040.873a a a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）因为后4组的频率之和为0.040.10.120.240.50.62+++=<， 而后5组的频率之和为0.040.10.120.240.30.80.62++++=>， 所以100200m ≤≤. 由0.120.3200100m =-，解得160m =. 所以年销售额标准为160万元时，62%的经销商可以获得红包.19.（1）证明：由已知得AD DE ⊥，DC DE ⊥，,AD CD ⊂平面ABCD ，且AD CD D =，所以DE ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，所以BC ED ⊥.又因为//ED FC ，所以FC BC ⊥，即FCB ∆为直角三角形. （2）解：连结AC ，AF ，ABCDEF A CDEF F ACB V V V --=+.过A 作AG CD ⊥交CD 于G ，又因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE AG ⊥， 且CDDE D =，所以AG ⊥平面CDEF ，则AG 是四棱锥A CDEF -的高.因为四边形ABCD 是底角为60的等腰梯形，1AD DE ==，所以2AG =,2AB =，136A CDEF CDEF V AG S -=⋅=因为DE ⊥平面ABCD ，//FC DE ，所以FC ⊥平面ABCD ，则FC 是三棱锥F ACB -的高.13F ACB ACB V FC S -∆=⋅=.所以ABCDEF A CDEF F ACB V V V --=+=20.解：因为抛物线22:8C y x =的焦点为()2,0，所以284b -=，故2b =.所以椭圆221:184x y C +=. （1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221,841,84x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得()()()()12121212084x x x x y y y y +-+-+=，又MN 的中点为()1,1，所以122x x +=，122y y +=. 所以212112y y x x -=--.显然，点()1,1在椭圆内部，所以直线MN 的斜率为12-. （2）椭圆右焦点()22,0F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时，118m n +==当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为()2y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程得()222,28,y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()2222128880k x k x k +-+-=， 因为()()()()222228412883210kk k k ∆=--+-=+>，所以2122812k x x k +=+，()21228112k x x k-=+. 所以)22112k m k+==+，同理可得)2212k n k +=+.所以222211122118k km n k k⎫+++=+=⎪++⎭为定值.21.解：（1）因为()'xmf x ne=-+，让你以()'0f n m=-，即3n m-=-.又因为()0f m=，所以切点坐标为()0,m，因为切点在直线32y x=-+上，所以2m=，1n=-.（2）因为()xmf x xe=+，所以()'1xx xm e mf xe e-=-+=.当0m≤时，()'0f x>，所以函数()f x在(],1-∞上单调递增，令x a=<，此时()00amf x ae=+<，符合题意；当0m>时，令()'0f x=，则lnx m=，则函数()f x在(),ln m-∞上单调递减，在()ln,m+∞上单调递增.①当ln1m<，即0m e<<时，则函数()f x在(),ln m-∞上单调递减，在(]ln,1m上单调递增，()()minln ln10f x f m m==+<，解得10me<<.②当ln1m≥，即m e≥时，函数()f x在区间(],1-∞上单调递减，则函数()f x在区间(],1-∞上的最小值为()110mfe=+<，解得m e<-，无解.综上，1me<，即实数m的取值范围是1,e⎛⎫-∞⎪⎝⎭.22. 解：（1）在直线l的参数方程中消去t，可得，34x y a--+=，将cosxρθ=，sinyρθ=代入以上方程中，所以，直线l的极坐标方程为3cos sin04aρθρθ--+=.同理，圆C的极坐标方程为26cos6sin140ρρθρθ--+=.（2）在极坐标系中，由已知可设1,3Mπρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,3Aπρ⎛⎫⎪⎝⎭，3,3Bπρ⎛⎫⎪⎝⎭.联立2,36cos6sin140,πθρρθρθ⎧=⎪⎨⎪--+=⎩可得(23140ρρ-++=，所以233ρρ+=+因为点M恰好为AB的中点，所以132ρ+=，即3Mπ⎫⎪⎪⎝⎭.把3,23M π⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭代入3cos sin 04a ρθρθ--+=，得(313024a +-+=，所以94a =. 23. 解：（1）当2m =，1n =-时，()2321f x x x =+--.不等式()2f x <等价于()()3,223212,x x x ⎧<-⎪⎨⎪-++-<⎩ 或()()31,2223212,x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++-<⎩ 或()()1,223212,x x x ⎧>⎪⎨⎪+--<⎩解得32x <-或302x -≤<，即0x <.所以不等式()2f x <的解集是(),0-∞. （2）由题设可得，()3,3,3233,3,23,,2x n x n f x x x n x n x n x n x ⎧⎪+-<-⎪⎪=+-+=++-≤≤-⎨⎪⎪-+->-⎪⎩所以函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为3,03n A +⎛⎫-⎪⎝⎭，()3,0B n -，,322nn C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 所以三角形ABC 的面积为()2613332326n n n n -+⎛⎫⎛⎫-+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 由题设知，()26246n ->，解得6n <-.。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1、 答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2、 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求做大的答案无效。

4、 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、 考生必须保持答题卡得整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合22{|20,},{|20,}S x x x x R T x x x x R =+=∈=-=∈，则S T = ( )()A {0} ()B {0,2} ()C {,}-20 ()D {,,}-2022．函数lg(1)1x y x +=-的定义域是( )()A (,)-1+∞ ()B [1,)-+∞()C (,)(,)-111+∞U ()D [1,1)(1,)-+∞3. 若()34,,,i x yi i x y R +=+∈则复数x yi +的模是( )()A 2 ()B 3 ()C 4 ()D 54. 已知51sin(),25πα+= 那么cos α= ( ) ()A 25- ()B 15- ()C 15()D 255. 执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值为( )()A 1 ()B 2 ()C 4 ()D 76. 某三棱锥的三视图如图2所示，则该三棱锥的体积为( )()A 16 ()B 13 ()C 23()D 1 7．垂直于直线1y x =+且与圆221x y +=相切于第1象限的直线方程是( )()A 0x y +=()B 10x y ++= ()C 10x y +-=+(i-1) 112 1 2 1 侧视图正视图俯视图图2()D 0x y +=8.设l 为直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )()A 若//,//,l l αβ则//.αβ ()B 若,,l l αβ⊥⊥则//.αβ ()C 若,//,⊥l l αβ则//.αβ ()D 若//,,⊥l ααβ则.⊥l β9.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F （1，0），离心率等于12，则C 的方程是（ ）()A 22134+=x y ()B 2214=x ()C 22142+=x y ()D 22143+=x y 10.设a 是已知的平面向量且0a ≠，关于向量a 的分解，有如下四个命题：1) 给定向量b ，总存在向量c ，使得a b c =+； 2) 给定向量b 和c ，总存在实数,λμ，使得a b c λμ=+；3) 给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使得a b c λμ=+；4) 给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使得a b c λμ=+。

惠州市2018届高三第二次调研考试数学（文科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1．【解析】由题意{}3,5A B =I ,故选C . 2．【解析】211iz i i==-+-，则1z i =--，故选C . 3．【解析】由等差数列可知2432a a a +=，得35a =，所以15355()522522a a a S +⨯===，故选B . 4．【解析】双曲线的渐近线b y x a =±，得12b a =，又222a bc +=，得到2254a c =所以，2c e a ==，故选A . 5．【解析】依题意，1a >，01b <<，而由2sin 15π<得0c <，故选D . 6．【解析】由sin 1tan cos 2ααα==，得cos 2sin αα=，且22sin cos 1αα+=，3(,)2αππ∈所以，sin α=，又cos()sin 2παα-==，故选A . 7．【解析】计算得10,38x y ==，回归直线过点(,)x y ，且2b =-，代入得58a =，则回归方程为$258y x =-+，则6x =时$46y =，故选A .8．【解析】还原几何体为一个三棱锥A BCD -，放入棱长为1的正方体中，如图所示，外接球的半径为2R =，则3432V R π==，故选B . 9．【解析】如图建立平面直角坐标系，则(0,A ，(1,0)B -，(1,0)C ，得重心(0,)3G ,则向量(1,)3BG =u u u r，(1,3CG =-u u u r所以211333BG CG ⋅=-⨯+⨯=-u u u r u u u r ，故选C . （也可以1233BG AC AB =-u u u r u u u r u u u r ，1233CG AB AC =-u u u r u u u r u u u r由向量数量积的定义计算得出）AB CD10．【解析】如图，设线段1PF 的中点M 在y 轴上，点O 是12F F所以2//OM PF ，可得2PF x ⊥轴，2253b PF a ==， 121323PF a PF =-=，21513PF PF =，故选D . 11．【解析】由题意可得，()2sin(2)13g x x π=++，所以max ()3g x =，又12()()9g x g x ⋅=，所以12()()3g x g x ==，由()2sin(2)133g x x π=++=，得22()32x k k Z πππ+=+∈，因为12,[2,2]x x ππ∈-，所以12max 49(2)2()(2)1212x x πππππ-=⨯+--=，故选B .12．【解析】依题意，函数图象上存在关于原点对称的点，可作函数ln()(0)y x x =--<关于原点对称的函数ln (0)y x x =>的图象，使得它与直线1(0)y kx x =->的交点个数为2即可， 当直线1y kx =-与ln y x =的图象相切时，设切点为(),ln m m ， 又ln y x =的导数为1y x '=，则11ln ,km m k m-==，解得1,1m k ==，可得切线的 斜率为1，结合图象可知()0,1k ∈时函数ln y x =与直线1y kx =-有两个交点，即原函数图象上有两个点关于原点对称，故选D .二、填空题：（每小题5分，共20分）13． 4- 14. 53-15. 17 16. 258 13【解析】由已知得1()12f a a a =+-=，即13a a+=，所以 11()11314f a a a a a ⎛⎫-=---=-+-=--=- ⎪⎝⎭， 也可()()2f x f x +-=-得出. 14【解析】画出可行域平移直线可知在点12,33⎛⎫⎪⎝⎭取得最小值，代入目标函数得53z =-.15【解析】由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为01234512020202120217⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.16【解析】当1n =时11122a S a ==-，得12a =，当2n ≥时1122(22)n n n n n a S S a a --=-=---，得12n n a a -=，则数列{}n a 为等比数列，公比为2，2n n a =，得2n n na n =⋅，由错位相减法求和得5258T =.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17.解：（1）设BD x =，则2BC x =，由余弦定理，在△ABD 中，有222cos 2AB BD AD ABD AB BD +-∠=⋅29723x x+-=⨯ ……………………2分在△ABC 中，有222cos 2AB BC AC ABC AB BC +-∠=⋅29413232x x +-=⨯⨯ ……………………4分且ABD ABC ∠=∠，即29723x x +-⨯29413232x x+-=⨯⨯，得2x = ……………………6分∴ 4BC = ……………………7分（2） 由（1）可知，1cos 2B =-，(0,)B π∈，得sin B = ……………………9分∴ 1sin 2ABC S AB BC B =⋅⋅⋅V 1342=⨯⨯= ……………………12分 18．解：（1）设全部30人中的肥胖学生共n 名，则4,83015n n =∴=，∴ 常喝碳酸饮料且肥胖的学生有6名． ……………………2分列联表如下：AH O MDCB A4分（2）∵()2230618248.5231020228K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， ……………………6分又8.5237.879> ……………………7分 ∴有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关． ……………………8分（3）设常喝碳酸饮料且肥胖的4名男生为,,,A B C D ，2名女生为,e f ，则从中随机抽取2名的情形有,,,,AB AC AD Ae Af ；,,,BC BD Be Bf ；,,CD Ce Cf ；,De Df ；ef 共15种， …………………10分其中一名男生一名女生的情形共有8种， ……………………11分 ∴正好抽到一名男生和一名女生的概率为815． ……………………12分19.（1）证明：∵△CMD 是等腰直角三角形，90CMD ︒∠=，点O 为CD 的中点，∴OM CD ⊥．∵ 平面CMD ⊥平面BCD ，平面CMD I 平面BCD CD =，OM ⊂平面CMD ，∴OM ⊥平面BCD ． …………4分∵ AB ⊥平面BCD ,∴ OM ∥AB ． …………5分 ∵ AB ⊂平面ABD ,OM ⊄平面ABD ,∴ OM ∥平面ABD ． …………6分 （2）法1：由（1）知OM ∥平面ABD ,∴ 点M 到平面ABD 的距离等于点O 到平面ABD 的距离． …………7分∵ 2AB BC ==，△BCD 是等边三角形,点O 为CD 的中点∴234834321212=⋅=⋅⋅==∆∆BC S S BCD BOD …………8分 ∴OBD A ABD ABD M V V V ---==0 …………10分332233131=⋅⋅=⋅=∆AB S BOD …………12分 法2：由（1）知OM ∥平面ABD ,∴ 点M 到平面ABD 的距离等于点O 到平面ABD 的距离． …………7分 过O 作OH BD ⊥，垂足为点H ，∵ AB ⊥平面BCD ,OH ⊂平面BCD , ∴ OH AB ⊥． ∵ AB ⊂平面ABD ,BD ⊂平面ABD ,AB BD B =I ，∴ OH ⊥平面ABD ．…………9分 ∵ 2AB BC ==，△BCD 是等边三角形， ∴ 2BD =，1OD =，sin 602OH OD ︒=⋅=． …………10分 ∴ A BDM M ABD V V --=1132AB BD OH =⨯⨯⋅⋅112232=⨯⨯⨯=．∴ 三棱锥A BDM - …………12分 20. 解: (1)由2()(2)ln f x x a x a x =-++可知，函数定义域为{}0x x >， 且()2(2)a f x x a x '=-++，依题意，(2)4(2)12af a '=-++= 解得 2a = ……………………………………… 4分（2）依题意，(2)(1)()2(2)a x a x f x x a x x --'=-++=()0x > 令()0f x '=，得 121,2ax x ==① 当0a ≤时，02a≤，由()0f x '>，得1x >；由()0f x '<，得01x <<则函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞ ……… 6分② 当012a <<，即02a <<时，由()0f x '>，得02ax <<或1x > 由()0f x '<，得12ax <<则函数()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞ 函数()f x 的单调递减区间为,12a ⎛⎫⎪⎝⎭………………… 8分 ③ 当12a=，即2a =时，()0f x '≥恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞ ……………………………………… 10分 ④ 当12a>，即2a >时，由()0f x '>，得01x <<或2a x >，由()0f x '<，得12a x <<则函数()f x 的单调递增区间为()0,1，,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭函数()f x 的单调递增区间为1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭………………… 12分21、解：（Ⅰ）（解法1）当直线AB 垂直于x 轴时，22,2221-==y y ,因此821-=y y (定值) ……………………2分 当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为)2(-=x k y由⎩⎨⎧=-=xy x k y 4)2(2得0842=--k y ky821-=∴y y 因此有821-=y y 为定值 …………………… 4分（解法2）设直线AB 的方程为2-=x my由⎩⎨⎧=-=xy x my 422得0842=--my y 821-=∴y y 因此有821-=y y 为定值 ……………………（4分） (Ⅱ)设存在直线l ：a x =满足条件，则 AC 的中点)2,22(11y x E +，2121)2(y x AC +-= 因此以AC 为直径的圆的半径421)2(2121212121+=+-==x y x AC r E 点到直线a x =的距离|22|1a x d -+=……………………7分 所以所截弦长为212122)22()4(4122a x x dr -+-+=- 2121)22(4a x x -+-+=2148)1(4a a x a -+--=……………………10分当01=-a 即1=a 时，弦长为定值2，这时直线方程为1=x …………………… 12分22.解：（1）曲线C ：2cos 3sin x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩可化为22143y x +=，其轨迹为椭圆，焦点为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）． ……………………2分 经过A （0，）和F 2（1，0）的直线方程为13x +=330x y +-= ∴ 3cos sin 30ρθρθ+-=. ……………………5分 （2）由（1）知，直线AF 2的斜率为3 因为l ⊥AF 2，所以l 330°， 所以l 的参数方程为3112x y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数），代入椭圆C 的方程中，得213123360t t --=． ……………………8分 因为M ，N 在点F 1的两侧，所以|MF1|﹣|NF1|=|t1+t2|=123 13．……………………10分23.【解析】解：（1）当5m=时，()()()521()311521x xf x xx x+<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，……………………3分由()2f x>得不等式的解集为3322x x⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. ……………………5分（2）由二次函数2223(1)2y x x x=++=++，该函数在1x=-取得最小值2，因为()()()21()21121m x xf x m xm x x+<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩，在1x=-处取得最大值2m-，………8分所以要使二次函数223y x x=++与函数()y f x=的图象恒有公共点，只需22m-≥，即4m≥. ……………10分。

秘密★启用前试卷类型：A2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）文科数学2018．4 本试卷共5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3．作答填空题和解答题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,0,1,2M =-，{0N x x =<或}1x >，则M N 中的元素个数为A ．1B ．2C ．3D ．42．若a 为实数，且(1i)(i)=2a a +-A ．1-B ．0C ．1D ．23A ．2log 31-B ．21log 3-C ．21log 3-D 4．若双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的一条渐近线方程为2y x =，则C 的离心率为 AB C D 5．根据下图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是A ．2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B ．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增大C ．2008年我国实际利用外资同比增速最大D ．2010年我国实际利用外资同比增速最大 6．已知命题:p x ∀∈R,210x x +->；命题:q x ∃∈R ，23x x >，则下列命题中为真命题的是A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ⌝∧⌝ 7．设,x y 满足约束条件11,13,x x y -⎧⎨+⎩≤≤≤≤则3z x y =-的取值范围是A ．[]1,3-B ．[]1,3C ．[]7,1-D ．[]7,3-8．若函数()()sin f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间是A ．,63k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )B ．5,36k k ππ⎡⎤π+π+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )C ．2,263k k ππ⎡⎤π-π+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )D ．52,236k k ππ⎡⎤π+π+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )9．设{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若22223478a a a a +=+，721S =-，则10a =A ．8B ．9C ．10D ．12 10．某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A ．18+π B ．182+π C ．16+π12π7π12D ．162+π11．已知直线l 与曲线31y x x =-+有三个不同交点()11,A x y ，()()2233,,,B x y C x y ，且AB AC=，则()31i i i x y =+=∑A ．0B ．1C ．2D ．3 12的三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，2=PA ，120ABC ︒∠=，则球O 的体积的最小值为ABC ．3π D ．3π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量a与b的夹角为4π，2,==a b ，则-=a b .14．已知函数()f x =e 2x x -的图象在点()()1,1f 处的切线过点()0,a ，则a = .15．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16,…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：①361521=+；②491831=+；③642836=+；④813645=+中符合这一规律的等式是 ．（填写所有正确结论的编号）……16．设点P 是抛物线24=x y 上的动点，点P 到x 轴的距离为d ，点1P 是圆()()22211x y -++=上的动点，当1d PP +最小时，点P 的坐标为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sin2sin=.b A a B（1）求A；，求△ABC的周长.（2）若2=a，△ABC18．（本小题满分12分）A药店计划从甲，乙两家药厂选择一家购买100件某种中药材，为此A药店从这两家药厂提供的100件该种中药材中随机各抽取10件，以抽取的10件中药材的质量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示．已知A药店根据中药材的质量（单位：克）的稳定性选择药厂．（1）根据样本数据，A药店应选择哪家药厂购买中药材？(不必说明理由)（2）若将抽取的样本分布近似看作总体分布，药店与所选药厂商定中药材的购买价格如下表：（ⅰ）估计A 药店所购买的100件中药材的总质量； （ⅱ）若A 药店所购买的100件中药材的总费用不超过7000元，求a 的最大值．19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111-ABC A B C 中，,M N 分别是1AB 和BC 的中点．（1）证明：MN ∥平面11AAC C ；（2）若12,1AA AB AC ===，90BAC ︒∠=，求棱锥1C AMN -的高．20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，右焦点为()2,0F ，短轴长为4.（1）求椭圆C 的方程； （2）若直线:l y =k x 与椭圆C 相交于不同的两点,M N ，点P 为线段MN 的中点，OP FM ∥，求直线l 的方程.21．（本小题满分12分）已知函数()f x =()1ln a x x --.（1）若函数()f x 的极小值不大于k 对任意0a >恒成立，求k 的取值范围；（2）证明：∀n ∈N *，2231231111e 2222n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+⋅+⋅⋅+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（其中e 为自然对数的底数）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11,2(,2x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). 以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()()2212sin 0a a ρθ+=>．（1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程； （2）若l 与C 相交于A ，B 两点，且AB=，求a 的值．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()2121f x x x =++-，不等式()2f x ≤的解集为M .（1）求M ；（2）证明：当,a b M ∈时，1a b a b ++-≤．。

2018届六校（惠州一中、珠海一中、东莞中学、中山纪念中学、深圳实验中学、广州二中）高三联合考试试卷（文）命题：广州二中 2018.12.23本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

一、选择题:(每小题5分，共50分)1．若A=04|{2<-x x x }，B={0，1，2，3}，则AB =A ． {0，1，2，3} B.{1，2，3} C.{1，2，3，4} D. {0，1，2，3，4} 2. 已知平面向量(3,1),(,3)a b x ==-，且a b ⊥，则x = A ．3-B.1-C.1D. 33. 等比数列}{n a 中,已知4,242==a a ,则=6aA. 6B. 8C. 10D. 16 4. 下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是 A. 3y x = B. cos y x = C. x y tan = D . ln y x = 5.在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则B sin = A.33 B. 33±C. D. 36± 6、已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则椭圆的离心率等于（ ）． A ．31 B ．32 C ．322 D ．310 7. 已知2z x y =-，式中变量x ，y 满足约束条件,1,2,y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z 的最大值为___________.A. 0B.5C.6D. 108．为了了解某地区学生的身体情况，抽查了该地区100名年龄为高三男生体重（kg ），得到频率分布直方图如下图，根据上图可得这100名学生中体重在［56.5，64.5］的学生人数是（ ） A ．20 B ．30C ．40D ．509. 方程 03log 3=-+x x 的解所在的区间是（ ）A ． （0,1） B. (1,2) C.(2,3) D. (3,4) 10、已知过点（1，2）的二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，给出下列论断：①0>abc ，②0<+-c b a ,③1<b ， ④21>a 其中正确论断是（ ） A ． ①③ B. ②④ C. ②③ D. ②③④二、填空题：（每小题5分，共30分，把正确答案填写在答卷相应地方上）11. 已知}{n a 是等差数列，12,3432=+=a a a ，则}{n a 的前n 项和n S =______12. 图中的三个直角三角形是一个体积为320cm的几何体的三视图，则h=_________cm13. 如下图所示，程序框图（算法流程图）的输出值x =________。

2018年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{x|x＜0或x＞1}，则M∩N中的元素个数为（）A．1B．2C．3D．42．（5分）若a为实数，且（1+ai）（a﹣i）＝2，则a＝（）A．﹣1B．0C．1D．23．（5分）执行如图的程序框图，若输出y＝，则输入x的值为（）A．log23﹣1或B．1﹣log23或C．1﹣log23D．4．（5分）若双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则C的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）根据如图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是实际利用外资规模实际利用外资同比增速（）A．2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加C．2008年我国实际利用外资同比增速最大D．2010年我国实际利用外资同比增速最大6．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x﹣1＞0；命题q：∃x∈R，2x＞3x，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）7．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．[1，3]C．[﹣7，1]D．[﹣7，3]8．（5分）若函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）D．[2kπ，2kπ+]（k∈Z）9．（5分）设{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若＝，S7＝﹣21，则a10＝（）A．8B．9C．10D．1210．（5分）某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．18+πB．18+2πC．16+πD．16+2π11．（5分）已知直线l与曲线y＝x3﹣x+1有三个不同交点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且|AB|＝|AC|，则（x i+y i）＝（）A．0B．1C．2D．312．（5分）体积为的三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，P A⊥平面ABC，P A＝2，∠ABC＝120°，则球O的体积的最小值为（）A．πB．πC．πD．π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量与的夹角为，||＝2，||＝，则||＝．14．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣x2的图象在点（1，f（1））处的切线过点（0，a），则a ＝．15．（5分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：①36＝15+21；②49＝18+31；③64＝28+36；④81＝36+45中符合这一规律的等式是．（填写所有正确结论的编号）16．（5分）设点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P到x轴的距离为d，点P1是圆（x﹣2）2+（y+1）2＝1上的动点，当d+|PP1|最小时，点P的坐标为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）A药店计划从甲，乙两家药厂选择一家购买100件某种中药材，为此A药店从这两家药厂提供的100件该种中药材中随机各抽取10件，以抽取的10件中药材的质量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示．已知A药店根据中药材的质量（单位：克）的稳定性选择药厂．（1）根据样本数据，A药店应选择哪家药厂购买中药材？（不必说明理由）（2）若将抽取的样本分布近似看作总体分布，药店与所选药厂商定中药材的购买价格如表：（ⅰ）估计A药店所购买的100件中药材的总质量；（ⅱ）若A药店所购买的100件中药材的总费用不超过7000元，求a的最大值．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是AB1和BC的中点．（1）证明：MN∥平面AA1C1C；（2）若AA1＝2，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，求棱锥C1﹣AMN的高．20．（12分）已知椭圆C的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），短轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y＝kx+3与椭圆C相交于不同的两点M，N，点P为线段MN的中点，OP∥FM，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx．（1）若函数f（x）的极小值不大于k对任意a＞0恒成立，求k的取值范围；（2）证明：∀n∈N*，（1+）•（1+）•（1+）…（1+）＜e2．（其中e为自然对数的底数）（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）＝a（a＞0）．（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若l与C相交于A，B两点，且|AB|＝，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣1|，不等式f（x）≤2的解集为M．（1）求M；（2）证明：当a，b∈M时，|a+b|+|a﹣b|≤1．2018年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{x|x＜0或x＞1}，则M∩N中的元素个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：集合M＝{﹣1，0，1，2}，N＝{x|x＜0或x＞1}，则M∩N＝{﹣1，2}，∴集合M∩N中元素的个数为2．故选：B．2．（5分）若a为实数，且（1+ai）（a﹣i）＝2，则a＝（）A．﹣1B．0C．1D．2【解答】解：∵a为实数，且（1+ai）（a﹣i）＝2a+（a2﹣1）i＝2，∴2a＝2，即a＝1．故选：C．3．（5分）执行如图的程序框图，若输出y＝，则输入x的值为（）A．log23﹣1或B．1﹣log23或C．1﹣log23D．【解答】解：当x≤1时，由y＝2x＝得：x＝log23﹣1，当x＞1时，由y＝2﹣log2x＝得：x＝，综上可得：若输出y＝，则输入x的值为log23﹣1或，故选：A．4．（5分）若双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，可得，，故选：B．5．（5分）根据如图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是实际利用外资规模实际利用外资同比增速（）A．2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B．2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加C．2008年我国实际利用外资同比增速最大D．2010年我国实际利用外资同比增速最大【解答】从图表中可以看出，2000年以来我国实际利用外资规模基本上是逐年上升的，因此实际利用外资规模与年份正相关，选项A错误；我国实际利用外资规模2012年比2011年少，所以选项B错误；从图表中的折线可以看出，2008年实际利用外资同比增速最大，所以选项C正确；2008年实际利用外资同比增速最大，所以选项D错误；故选：C．6．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+x﹣1＞0；命题q：∃x∈R，2x＞3x，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）【解答】解：∵判别式△＝1﹣4（﹣1）＝5＞0，∴∀x∈R，x2+x﹣1＞0不成立，即命题p 是假命题，当x＝﹣1时，2﹣1＞3﹣1，即命题q：∃x∈R，2x＞3x，是真命题，则（￢p）∨q是真命题，其余为假命题，故选：C．7．（5分）设x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．[1，3]C．[﹣7，1]D．[﹣7，3]【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，可知A（﹣1，4），化目标函数z＝3x﹣y为y＝3x﹣z，由图可知，当直线y＝3x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣7．B（1，0），由图可知，当直线y＝3x﹣z过点B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为3．∴z＝3x﹣y的取值范围是[﹣7，3]．故选：D．8．（5分）若函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间是（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ，kπ+]（k∈Z）C．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）D．[2kπ，2kπ+]（k∈Z）【解答】解：根据函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象，可得•＝﹣，∴ω＝2，再根据五点法作图可得2×+φ＝0，求得φ＝﹣，∴f（x）＝sin（2x﹣）．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），故选：A．9．（5分）设{a n}是公差不为零的等差数列，其前n项和为S n，若＝，S7＝﹣21，则a10＝（）A．8B．9C．10D．12【解答】解：设{a n}是公差d不为零的等差数列，∵＝，S7＝﹣21，∴+＝+，7a1+d＝﹣21，∴2a1+9d＝0，a1+3d＝﹣3，解得a1＝﹣9，d＝2．则a10＝﹣9+2×9＝9．故选：B．10．（5分）某几何体由长方体和半圆柱体组合而成，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是该几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．18+πB．18+2πC．16+πD．16+2π【解答】解：由三视图可知长方体的棱长为2，2，1，半圆柱的底面半径为1，高为1，∴长方体的表面积为（2×2+2×1+2×1）×2＝16，半圆柱的侧面积为π×1×1+2×1＝π+2，∴几何体的表面积为16+π+2＝18+π．故选：A．11．（5分）已知直线l与曲线y＝x3﹣x+1有三个不同交点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且|AB|＝|AC|，则（x i+y i）＝（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵y＝x3﹣x是奇函数，故y＝x3﹣x的图象关于原点对称，∴y＝x3﹣x+1的函数图象关于点（0，1）对称，∵直线l与曲线y＝x3﹣x+1有三个不同交点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且|AB|＝|AC|，∴A为函数的对称点，即A（0，1），且B，C两点关于点A（0，1）对称，∴x1+x2+x3＝0，y1+y2+y3＝3．于是（x i+y i）＝3．故选：D．12．（5分）体积为的三棱锥P﹣ABC的顶点都在球O的球面上，P A⊥平面ABC，P A＝2，∠ABC＝120°，则球O的体积的最小值为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：∵V P﹣ABC＝S△ABC•P A＝＝，∴AB•BC＝6，∵P A⊥平面ABC，P A＝2，∴O到平面ABC的距离为d＝P A＝1，设△ABC的外接圆半径为r，球O的半径为R，R＝＝．由余弦定理可知AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos120°＝AB2+BC2+6≥2AB•BC+6＝18，当且仅当AB＝BC＝时取等号．∴AC≥3．由正弦定理可得2r＝≥＝2，∴r≥．∴R≥．∴当R＝时，球O的体积取得最小值V＝＝．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量与的夹角为，||＝2，||＝，则||＝．【解答】解：∵向量与的夹角为，||＝2，||＝，∴•＝||•||•cos＝2××＝2，∴||2＝||2+||2﹣2•＝4+2﹣4＝2，∴||＝，故答案为：14．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣x2的图象在点（1，f（1））处的切线过点（0，a），则a ＝1．【解答】解：函数f（x）＝e x﹣x2的导数为f′（x）＝e x﹣2x，函数f（x）＝e x﹣x2的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为e﹣2，切点为（1，e﹣1），由切线过点（0，a），可得：e﹣2＝，解得a＝1，故答案为：1．15．（5分）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等式：①36＝15+21；②49＝18+31；③64＝28+36；④81＝36+45中符合这一规律的等式是①③④．（填写所有正确结论的编号）【解答】解：由已知条件可得如下规律等式4＝1+3，9＝3+6，16＝6+10，25＝10+15，36＝15+2149＝21+2864＝28+36，81＝36+45，．．故答案为①③④16．（5分）设点P是抛物线x2＝4y上的动点，点P到x轴的距离为d，点P1是圆（x﹣2）2+（y+1）2＝1上的动点，当d+|PP1|最小时，点P的坐标为（﹣2+2，3﹣2）．【解答】解：抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y＝﹣1．圆的圆心为M（2，﹣1），∴d＝PF﹣1，故当FP1PM四点共线且P，P1在M，F之间时，d+|PP1|取得最小值，此时直线MF的方程为：y＝﹣x+1，联立方程组，得：x2+4x﹣4＝0，解得x＝﹣2，或x＝﹣2﹣2（舍），∴y＝3﹣2．故答案为（﹣2+2，3﹣2）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．（1）求A；（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（1）知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin2A＝a sin B．则：2b sin A cos A＝a sin B，由于：sin A sin B≠0，则：cos A＝，由于：0＜A＜π，所以：A＝．（2）利用余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，由于：a＝2，所以：4＝b2+c2﹣bc，△ABC的面积为，则：，解得：bc＝4．故：b2+c2＝8，所以：（b+c）2＝8+2•4＝16，则：b+c＝4．所以：三角形的周长为2+4＝6．18．（12分）A药店计划从甲，乙两家药厂选择一家购买100件某种中药材，为此A药店从这两家药厂提供的100件该种中药材中随机各抽取10件，以抽取的10件中药材的质量（单位：克）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示．已知A药店根据中药材的质量（单位：克）的稳定性选择药厂．（1）根据样本数据，A药店应选择哪家药厂购买中药材？（不必说明理由）（2）若将抽取的样本分布近似看作总体分布，药店与所选药厂商定中药材的购买价格如表：（ⅰ）估计A药店所购买的100件中药材的总质量；（ⅱ）若A药店所购买的100件中药材的总费用不超过7000元，求a的最大值．【解答】解：（1）根据样本数据知，A药店应选择乙药厂购买中药材；（2）（ⅰ）从乙药厂所抽取的每件中药材的质量平均数为＝×（7+9+11+12+12+17+18+21+21+22）＝15；估计A药店所购买的100件中药材的总质量为100×15＝1500克；（ⅱ）乙药厂所提供的每件中药材的质量n＜15的概率为＝0.5，15≤n≤20的概率为＝0.2，n＞20的概率为＝0.3，则A药店所购买的100件中药材的总费用为100×（50×0.5+0.2a+100×0.3）；依题意得100×（50×0.5+0.2a+100×0.3）≤7000，解得a≤75，∴a的最大值为75．19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是AB1和BC的中点．（1）证明：MN∥平面AA1C1C；（2）若AA1＝2，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，求棱锥C1﹣AMN的高．【解答】（1）证明：连结A1B，CA1，∵四边形ABB1A1是平行四边形，M是AB1的中点，∴M是A1B的中点，又N是BC的中点，∴MN∥A1C，又MN⊄平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1，∴MN∥平面AA1C1C．（2）解：以A1为原点，以A1B1，A1A，A1C1为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则C1（0，0，1），A（0，2，0），M（，1，0），N（，2，），∴＝（，1，﹣1），＝（﹣，1，0），＝（，0，），设平面AMN的法向量为＝（x，y，z），则，＝0，∴，令y＝1，得＝（2，1，﹣2），∴cos＜，＞＝＝＝．设直线C1M与平面AMN的夹角为θ，则sinθ＝，∴C1到平面AMN的距离d＝|C1M|sinθ＝×＝．∴棱锥C1﹣AMN的高为．20．（12分）已知椭圆C的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），短轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y＝kx+3与椭圆C相交于不同的两点M，N，点P为线段MN的中点，OP∥FM，求直线l的方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为＝1（a＞b＞0），由题意可知c＝2，2b＝4，即b＝2，∴a＝＝2．∴椭圆方程为＝1．（2）联立方程组，消去y得：（1+2k2）x2+12kx+28＝0，△＝288k2﹣112（1+2k2）＝64k2﹣112＞0，解得k2＞．设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），则x1+x2＝﹣，x1x2＝，x0＝＝﹣，y0＝kx0+3＝，∴k OP＝＝﹣，∵OP∥FM，∴k FM＝k OP＝﹣，∴直线FM的方程为y＝﹣（x﹣2），解方程组，得，即M（，），∵M在椭圆上，∴（）2+2（）2＝8，解得k2＝2，即k＝．∴直线l的方程为y＝x+3或y＝﹣x+3．21．（12分）已知函数f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx．（1）若函数f（x）的极小值不大于k对任意a＞0恒成立，求k的取值范围；（2）证明：∀n∈N*，（1+）•（1+）•（1+）…（1+）＜e2．（其中e为自然对数的底数）【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），由f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx，得f′（x）＝a﹣，当a＞0时，令f′（x）＝0，解得：x＝，则x∈（0，）时，f′（x）＜0，x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；当x＝时，函数f（x）取得极小值，其值为f（）＝a（﹣1）﹣ln＝1﹣a+lna，令g（a）＝1﹣a+lna（a＞0），则g′（a）＝﹣，当0＜a＜1时，g′（a）＞0，当a＞1时，g′（a）＜0，故g（a）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，当a＝1时，g（a）取最大值，其值为g（1）＝0，应用函数f（x）的极小值不大于k对任意a＞0恒成立，则k≥0，故k的范围是[0，+∞），（2）证明：由（1）可知，当a＝1时，函数f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，当x＝1时，函数f（x）取最小值为f（1）＝0，故x＞0时，f（x）≥0，即x﹣1﹣lnx≥0，得lnx≤x﹣1，∀n∈N*，令x＝1+，得ln（1+）≤，故ln（（1+）+ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）≤+++…+，令S n＝+++…+①，s n＝+++…+②，①﹣②得s n＝+++…+﹣，＝﹣＝1﹣故S n＝2﹣＜2，故ln[（1+）（1+）（1+）…（1+）]＜2，故（1+）（1+）（1+）…（1+）]＜e2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）＝a（a＞0）．（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若l与C相交于A，B两点，且|AB|＝，求a的值．【解答】（1）解：由消去参数t，得直线l的普通方程为y＝﹣（x﹣1）．即+y﹣＝0，由ρ2（1+2sin2θ）＝a，即ρ2+2ρ2sin2θ＝a，把ρ2＝x2+y2，ρsinθ＝y代入上式得x2+3y2＝a．所以C的直角坐标方程为x2+3y2＝a．（2）解：由消去y，得10x2﹣18x+9﹣a＝0（1），设A（x1，y1），B（x2，y2），得x1+x2═，x1x2＝．|AB|＝•|x2﹣x1|＝．又由已知|AB|＝，得＝，解得a＝，此时（1）式的判别式△＝4﹣4×5×（2﹣2×）＝12＞0．所以a的值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣1|，不等式f（x）≤2的解集为M．（1）求M；（2）证明：当a，b∈M时，|a+b|+|a﹣b|≤1．【解答】解：（1）f（x）≤2，即|2x+1|+|2x﹣1|≤2，当x≤﹣时，得﹣（2x+1）+（1﹣2x）≤2，解得：x≥﹣，故x＝﹣，当﹣＜x＜时，得（2x+1）﹣（2x﹣1）≤2，即2≤2，故﹣＜x＜，当x≥时，得（2x+1）+（2x﹣1）≤2，解得：x≤，故x＝，故不等式f（x）≤2的解集M＝{x|﹣≤x≤}；（2）证明：法一：当a，b∈M时，即﹣≤a≤，﹣≤b≤，得|a|≤，|b|≤，当（a+b）（a﹣b）≥0时，|a+b|+|a﹣b|＝|a+b+a﹣b|＝2|a|≤1，当（a+b）（a﹣b）＜0时，|a+b|+|a﹣b|＝|a+b﹣a+b|＝2|b|≤1，故|a+b|+|≤1；法二：当a，b∈M时，即﹣≤a≤，﹣≤b≤，得|a|≤，|b|≤，（|a+b|+|a﹣b|）2＝2（a2+b2）+2|a2﹣b2|＝，由于a2≤，b2≤，则4a2≤1，4b2≤1，故（|a+b|+|a﹣b|）2≤1，故|a+b|+|a﹣b|≤1．。