【配套K12】泰兴市高中数学第3章不等式3.2一元二次不等式2教案苏教版必修5

第2课时 一元二次不等式的应用学 习 目 标核 心 素 养1．掌握一元二次不等式的实际应用．(重点) 2．理解三个“二次〞之间的关系． 3．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(难点)1．通过分式不等式的解法及不等式的恒成立问题的学习，培养数学运算素养． 2．借助一元二次不等式的应用培养数学建模素养．汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离〞．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．甲、乙两种车型的刹车距离s m 与车速v km/h 之间的关系分别是什么？试判断甲、乙两车有无超速现象．1．分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式 ax ＋bcx ＋d＞0(＜0) (其中a ，b ，c ，d 为常数)法一：⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ＞0＜0cx ＋d ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ＜0＞0cx ＋d ＜0法二：(ax ＋b )(cx ＋d )＞0(＜0) ax ＋bcx ＋d≥0(≤0) 法一：⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ≥0≤0cx ＋d ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ≤0≥0cx ＋d ＜0法二：⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b cx ＋d ≥0≤0cx ＋d ≠0思考1：x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？将x ＋2>0变形为(x －3)(x ＋2)>0，有什么好处？[提示] 等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式． 2．(1)不等式的解集为R (或恒成立)的条件(2)思考x －1>0的解集有什么关系？[提示]x －1>0在区间[2,3]上恒成立的几何意义是函数y ＝x －1在区间[2,3]上的图象恒在x 轴上方．区间[2,3]内的元素一定是不等式x －1>0的解，反之不一定成立，故区间[2,3]是不等式x －1>0的解集的子集．3．从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些量和未知量，找准不等关系． (2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)． (3)解不等式(或求函数最值)． (4)回扣实际问题．思考3：解一元二次不等式应用题的关键是什么？[提示] 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x ，用x 来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．1．假设集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，那么A ∩B 等于( ) A ．{x |－1≤x <0} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |0≤x <2}D ．{x |0≤x ≤1}B [∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0<x ≤1}．] 2．不等式x ＋1x≥5的解集是． ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤14 [原不等式⇔x ＋1x ≥5x x ⇔4x －1x ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 4x －1≤0，x ≠0，解得0<x ≤14．]3．关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，那么实数a 的取值X 围是． (0,8)[因为x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， 所以Δ＝a 2－4×2a <0，所以0<a <8．]4．在如下图的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分)，那么其边长x (单位：m)的取值X 围是．[10,30] [设矩形高为y m ，由三角形相似得：x 40＝40－y40，且x >0，y >0，x <40，y <40，xy ≥300，整理得y ＋x ＝40，将y ＝40－x 代入xy ≥300，整理得x 2－40x ＋300≤0，解得10≤x ≤30．]分式不等式的解法(1)x －3x ＋2<0； (2)x ＋12x －3≤1． [解] (1)x －3x ＋2<0⇔(x －3)(x ＋2)<0⇔－2<x <3，∴原不等式的解集为{x |－2<x <3}．(2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0， ∴－x ＋42x －3≤0， 即x －4x －32≥0． 此不等式等价于(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32≥0且x －32≠0， 解得x <32或x ≥4，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32或x ≥4．1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．[跟进训练]1．解以下不等式：(1)x ＋1x －3≥0；(2)5x ＋1x ＋1<3． [解] (1)根据商的符号法那么，不等式x ＋1x －3≥0可转化成不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －3≥0，x ≠3.解这个不等式组，可得x ≤－1或x >3． 即知原不等式的解集为{x |x ≤－1或x >3}． (2)不等式5x ＋1x ＋1<3可改写为5x ＋1x ＋1－3<0，即2x －1x ＋1<0．可将这个不等式转化成2(x －1)(x ＋1)<0， 解得－1<x <1．所以，原不等式的解集为{x |－1<x <1}．一元二次不等式的应用[例2] 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的X 围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%．[思路点拨] 将文字语言转换成数学语言：“税率降低x 个百分点〞即调节后税率为(8－x )%；“收购量能增加2x 个百分点〞，此时总收购量为m (1＋2x %)吨，“原计划的78%〞即为2 400m ×8%×78%．[解] 设税率调低后“税收总收入〞为y 元．y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400)(0<x ≤8)．依题意，得y ≥2 400m ×8%×78%，即－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%，整理，得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2．根据x 的实际意义，知0<x ≤8，所以x 的X 围为(0,2]．解不等式应用题的步骤[跟进训练]2．某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，假设要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的X 围．[解] 设花卉带的宽度为x m(0<x <600)，那么中间草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m ．根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋600×100≥0，即(x －600)(x －100)≥0，所以0<x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的X 围为(0,100] m ．不等式恒成立问题[探究问题]1．假设函数y ＝ax 2＋2x ＋2对一切x ∈R ，ax 2＋2x ＋2>0恒成立，如何某某数a 的取值X 围？[提示] 假设a ＝0，显然ax 2＋2x ＋2>0不能对一切x ∈R 都成立，所以a ≠0，此时只有二次函数y ＝ax 2＋2x ＋2的图象与直角坐标系中的x 轴无交点且抛物线开口向上时，才满足题意，那么⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－8a <0，解得a >12．2．假设函数y ＝x 2－ax －3对x ∈[－3，－1]上恒有x 2－ax －3<0成立，如何求a 的X 围？ [提示] 要使x 2－ax －3<0在[－3，－1]上恒成立，那么必使函数y ＝x 2－ax －3在[－3，－1]上的图象在x 轴的下方，由函数y ＝x 2－ax －3的图象可知，此时a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧－32＋3a －3<0，－12＋a －3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋6<0，a －2<0，解得a <－2．故当a ∈(－∞，－2)时，有x 2－ax －3<0在x ∈[－3，－1]时恒成立．3．假设函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意a ∈[－3,1]时，y <0恒成立，如何求x 的取值X 围？[提示] 由于此题中a 的取值X 围求x ，所以我们可以把函数y ＝f (x )转化为关于自变量是a 的函数，求参数x 的取值问题，那么令y ＝g (a )＝2x ·a ＋x 2－4x ＋4．要使对任意a ∈[－3,1]，y <0恒成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋x 2－4x ＋4<0，－3×2x ＋x 2－4x ＋4<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4<0，x 2－10x ＋4<0.因为x 2－2x ＋4<0的解集是空集，所以不存在实数x ，使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意a ∈[－3,1]，y <0恒成立． [例3] y ＝x 2＋ax ＋3－a ，假设x ∈[－2,2]，y ≥0恒成立，求a 的取值X 围． [思路点拨] 对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．[解] 设函数y ＝x 2＋ax ＋3－a 在x ∈[－2,2]时的最小值为m ，那么(1)当对称轴x ＝－a 2<－2，即a >4时，m ＝7－3a ≥0，解得a ≤73，与a >4矛盾，不符合题意．(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，m ＝3－a －a 24≥0，解得－6≤a ≤2，此时－4≤a ≤2．(3)当－a2>2，即a <－4时，m ＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，此时－7≤a <－4． 综上，a 的取值X 围为－7≤a ≤2．1．(变结论)本例条件不变，假设y ≥2恒成立，求a 的取值X 围．[解] 假设x ∈[－2,2]，y ≥2恒成立可转化为：当x ∈[－2,2]时，函数的最小值m ≥2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2<－2，m ＝7－3a ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－a2≤2，m ＝3－a －a24≥2或⎩⎪⎨⎪⎧－a 2>2，m ＝7＋a ≥2，解得a 的取值X 围为[－5，－2＋22]．2．(变条件)将例题中的条件“y ＝x 2＋ax ＋3－a ，x ∈[－2,2]，y ≥0恒成立〞变为“不等式x 2＋2x ＋a 2－3>0的解集为R 〞，求a 的取值X 围．[解] 法一：∵不等式x 2＋2x ＋a 2－3>0的解集为R ， ∴函数y ＝x 2＋2x ＋a 2－3的图象应在x 轴上方，∴Δ＝4－4(a 2－3)<0，解得a >2或a <－2．法二：令y ＝x 2＋2x ＋a 2－3，要使x 2＋2x ＋a 2－3>0的解集为R ，那么a 满足函数的最小值m ＝a 2－4>0，解得a >2或a <－2．法三：由x 2＋2x ＋a 2－3>0，得a 2>－x 2－2x ＋3，即a 2>－(x ＋1)2＋4，要使该不等式在R 上恒成立，必须使a 2大于－(x ＋1)2＋4的最大值，即a 2>4，故a >2或a <－2．1．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时，b ＝0，c >0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.2．不等式ax 2＋bx ＋c <0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a ＝0时，b ＝0，c <0； 当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.3．y ≤a 恒成立⇔a ≥M (函数的最大值为M )，y ≥a 恒成立⇔a ≤m (函数的最小值为m )．1．解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为一元二次不等式(组)求解．当不等式含有分母时，分母不为零．2．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论：(1)假设关于x 的函数有最大值M ，那么a >y 恒成立⇔a >M ；(2)假设关于x 的函数有最小值m ，那么a <y 恒成立⇔a <m ．1．思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)不等式1x>1的解集为x <1．( )(2)求解m >x 2＋mx 恒成立时，可转化为求解函数y ＝x 2＋mx 的最大值，从而求出m 的X 围．( )[提示] (1)1x >1⇒1x －1>0⇒x －1x<0⇒{x |0<x <1}．故(1)错．(2)错．因为参数m 没有完全分离出来． [答案] (1)× (2)× 2．不等式x ＋12x －3x ＋2<0的解集为( )A ．{x |－2<x <－1或－1<x <3}B ．{x |－2<x <3}C ．{x |－1<x <3}D ．{x |－3<x <2}A [原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3<0，x ＋1≠0，∴－2<x <3且x ≠－1．]3．设x 2－2x ＋a －8≤0对于任意x ∈(1,3)恒成立，那么a 的取值X 围是．(－∞，5] [原不等式x 2－2x ＋a －8≤0转化为a ≤－x 2＋2x ＋8对任意x ∈(1,3)恒成立，设y ＝－x 2＋2x ＋8，易知该函数在[1,3]上的最小值为5．∴a ∈(－∞，5]．]4．某文具店购进一批新型台灯，假设按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；假设售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？[解] 设每盏台灯售价x 元，那么x ≥15，并且日销售收入为x [30－2(x －15)]，由题意知，当x ≥15时，有x [30－2(x －15)]>400，解得15≤x <20．所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定这批台灯的销售价格为x ∈[15,20)．。

第2课时 一元二次不等式的应用1．掌握含字母参数的一元二次不等式的解法．(重点) 2．会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．(难点)3．会以一元二次不等式为数学模型，求解相应的实际问题．(重点)[小组合作型](1)解关于x 的不等式：x 2＋(1－a )x －a <0.(2)解关于x 的不等式：ax 2－(a －1)x －1<0(a ∈R )．【精彩点拨】【自主解答】 (1)方程x 2＋(1－a )x －a ＝0的解为x 1＝－1，x 2＝a ，函数y ＝x 2＋(1－a )x －a 的图象开口向上，则当a <－1时，原不等式解集为{x |a <x <－1}；当a ＝－1时，原不等式解集为∅；当a >－1时，原不等式解集为{x |－1<x <a }．(2)原不等式可化为： (ax ＋1)(x －1)<0， 当a ＝0时，x <1；当a >0时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)<0，∴－1a<x <1；当a ＝－1时，x ≠1；当－1<a <0时，－1a>1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)>0，∴x >－1a或x <1；当a <－1时，－1a<1，∴x >1或x <－1a.综上，原不等式的解集是： 当a ＝0时，{x |x <1}；当a >0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1a<x <1；当a ＝－1时，{x |x ≠1}； 当－1<a <0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1或x >－1a ；当a <－1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1a或x >1.含字母参数的一元二次不等式分类讨论的顺序：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．[再练一题]1．解关于x 的不等式2x 2＋ax ＋2>0(a ∈R )． 【解】 Δ＝a 2－16，下面分情况讨论：(1)当Δ<0，即－4<a <4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R . (2)当Δ≥0，即a ≥4或a ≤－4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两个根为x 1＝14(－a －a 2－16)， x 2＝14(－a ＋a 2－16)．当a ＝－4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}；当a >4或a <－4时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ x <14－a －a 2－16，⎭⎬⎫或x >14－a ＋a 2－16；当a ＝4时 ，原不等式的解集为 {x |x ∈R ，且x ≠－1}.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？【精彩点拨】 (1)利用“年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量”． (2)解“y >(12－10)×10 000”即可．【自主解答】 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000×(1＋0.6x )(0<x <1)，整理得y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧y －－，0<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x >0，0<x <1，解得0<x <13，所以投入成本增加的比例应在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13范围内．解不等式应用题的一般步骤：(1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系； (2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化； (3)求解不等式； (4)还原实际问题．[再练一题]2．某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．【解】 设花卉带的宽度为x m ，则中间草坪的长为(800－2x )m ，宽为(600－2x )m.根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋600×100≥0，即(x －600)(x －100)≥0，所以0<x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100]m.[探究共研型]探究1 【提示】 ⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0.探究2 不等式f (x )≤a 恒成立，x ∈[m ，n ]的等价条件是什么？ 【提示】 f (x )≤a ，x ∈[m ，n ]恒成立⇔f (x )的最大值≤a ，x ∈[m ，n ]．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 【精彩点拨】 (1)分m ＝0和m ≠0两类，结合函数图象求解． (2)利用函数最值或分离变量m ，求范围． 【自主解答】 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0.若m ≠0，⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.∴－4<m ≤0.(2)法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立．就要使m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )是增函数， ∴g (x )的最大值为g (3)＝7m －6<0， ∴0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )是减函数，∴g (x )的最大值为g (1)＝m －6<0，得m <6， ∴m <0. 综上所述，m <67.法二 当x ∈[1,3]时，f (x )<－m ＋5恒成立， 即当x ∈[1,3]时，m (x 2－x ＋1)－6<0恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又m (x 2－x ＋1)－6<0， ∴m <6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34.又x ∈[1,3]，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥⎝ ⎛⎭⎪⎫3－122＋34＝7， ∴m <67.有关不等式恒成立求参数的取值范围问题，通常处理方法有两种：(1)考虑能否分离参数，若能，则构造关于变量的函数，转化为求函数的最大(小)值，从而建立参数的不等式；(2)若参数不能分离，则应构造关于变量的函数(如一次、二次函数)，并结合图象建立参数的不等式求解．[再练一题]3．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 【解】 由题意可知当m ＋1＝0，即m ＝－1时，原不等式可化为2x －6<0，不符合题意，应舍去；当m ＋1≠0时，由(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ＝m －2－m ＋m －，解得m <－1311.综上所述，实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1311. [构建·体系]1．若a <0，则关于x 的不等式(x －5a )(x ＋a )>0的解集为________.【导学号：91730057】【解析】 ∵a <0，∴－a >5a ， ∴(x －5a )(x ＋a )>0的解集为 {x |x >－a 或x <5a }． 【答案】 {x |x >－a 或x <5a }2．关于x 的不等式x (x ＋m )－2<0的解集为(－1，n )，则实数m ，n 的值分别为__________． 【解析】 不等式x (x ＋m )－2<0，即x 2＋mx －2<0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋n ＝－m ，－1×n ＝－2，解得m ＝－1，n ＝2.【答案】 －1,23．如果关于x 的不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是________．【解析】 当k ＝0时，－38<0显然成立．当k ≠0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2＋3k <0，即－3<k <0.综上可知－3<k ≤0. 【答案】 (－3,0]4．已知不等式ax 2＋2x －4>0的解集为空集，则a 的取值范围是__________．【解析】 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4＋16a ≤0对x ∈R 恒成立，解得a ≤－14.【答案】 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－14 5．已知a >0，解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)>0.【解】 当a >0时，原不等式化为(x －2)·⎝⎛⎭⎪⎫x －2a >0.(1)当0<a <1时，两根的大小顺序为2<2a，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2a或x <2； (2)当a ＝1时 ,2＝2a，原不等式的解集为{x |x ≠2}；(3)当a >1时，两根的大小顺序为2>2a，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a或x >2. 综上所述，当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2a 或x <2； 当a ＝1时，原不等式的解集为{}x |x ≠2；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <2a 或x >2.我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十六) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若实数a ，b 满足a ＋b <0，则不等式x ＋ab －x<0的解集为________． 【解析】 原不等式等价于(x ＋a )(b －x )<0⇔(x －b )(x ＋a )>0. 又a ＋b <0，∴b <－a .∴原不等式的解集为{x |x >－a 或x <b }． 【答案】 {x |x >－a 或x <b }2．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a >0在1<x <4内有解，则实数a 的取值范围是________．【解析】 令f (x )＝2x 2－8x －4－a ＝2(x －2)2－12－a 数形结合知只需f (4)>0即可， 即2×42－8×4－4－a >0，解得a <－4. 【答案】 (－∞，－4)3．若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】 令f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4， 则x ∈(0,1]时，f (x )min ＝f (1)＝12－4×1＝－3，∴m ≤－3.【答案】 (－∞，－3]4．若f (x )＝kx 2－6kx ＋8的定义域为R ，则实数k 的取值范围是________.【导学号：91730058】【解析】 由题意知，kx 2－6kx ＋8≥0对任意实数x 恒成立． 当k ＝0时，8≥0显然成立， 当k ≠0时，需满足：⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝－6k 2－4×k ×8≤0，解得0<k ≤89，综上，0≤k ≤89.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，89 5．不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集为∅，则实数a 的取值范围是__________． 【解析】 ∵x 2－2x －(a 2－2a －4)≤0的解集为∅， ∴Δ＝4＋4(a 2－2a －4)<0， ∴a 2－2a －3<0，∴－1<a <3. 【答案】 (－1,3)6．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量为________台．【解析】 y －25x ＝－0.1x 2－5x ＋3 000≤0，∴x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．【答案】 1507．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0(k ≠0)的解，则k 的取值范围是________． 【解析】 因为x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0(k ≠0)的解，所以k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2且k ≠0.【答案】 k ≥4或k ≤2且k ≠08．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则a 的取值范围是__________.【导学号：91730059】【解析】 由题意可知，(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )·(1－x －a )， ∴原不等式可化为(x －a )(1－x －a )<1. 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立， 所以只需Δ＝(－1)2－4(－a 2＋a ＋1)<0. 解得－12<a <32.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 二、解答题9．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，求实数a 的取值范围．【解】 ①a ＝－2时，原不等式⇔－1≥0无解．②当⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0，Δ＝a ＋2－a 2－－⇔－2<a <65.由①②知－2≤a <65.10．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }． (1)求a ，b 的值；(2)解不等式x －cax －b>0(c 为常数)． 【解】 (1)由题知a >0，且1，b 为方程ax 2－3x ＋2＝0的两根， 即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，1＋b ＝3a，∴a ＝1，b ＝2，(2)不等式等价于(x －c )(x －2)>0， 当c >2时 ，其解集为{x |x >c 或x <2}， 当c <2时，其解集为{x |x >2或x <c }， 当c ＝2时，其解集为{x |x ≠2}．[能力提升]1．关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥a 2，x －4<2a 有解，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a 2＋1，x <2a ＋4，若不等式组有解，∴2a ＋4>a 2＋1， 即a 2－2a －3<0， ∴－1<a <3. 【答案】 (－1,3)2．对任意a ∈[－2,3]，不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0恒成立，则x 的取值范围为________．【解析】 设f (a )＝x 2＋(a －6)x ＋9－3a ＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9， 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧f －＝－2x ＋6＋x 2－6x ＋9>0，f＝3x －9＋x 2－6x ＋9>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－8x ＋15>0，x 2－3x >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x <3或x >5，x <0或x >3，∴x <0或x >5.【答案】 (－∞，0)∪(5，＋∞)11 3．若a ＋1>0，则不等式x ≥x 2－2x －a x －1的解集为________． 【解析】 ∵x ≥x 2－2x －a x －1＝x －2－a ＋x －1＝x －1－a ＋1x －1， ∴1≥－a ＋1x －1， ∴x ＋a x －1≥0，∴(x ＋a )(x －1)≥0. 又a ＋1>0，∴1>－a ，∴原不等式的解集为{x |x ≥1或x ≤－a }．【答案】 {x |x ≥1或x ≤－a }4．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每一小时可获得的利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．【解】 (1)根据题意，得200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000，即5x －14－3x≥0，又1≤x ≤10，所以5x 2－14x －3≥0，解得3≤x ≤10.(2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112.故当x ＝6时，y max ＝457 500，即甲厂以6千克/小时的速度生产该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元．。

第课时：§一元二次不等式〔〕【三维目标】：一、知识与技术. 经过函数图像认识一元二次不等式与相应函数、方程的联系；. 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，试一试设计求解的程序框图；. 掌握利用因式分解和谈论来求解一元二次不等式的方法及这种方法的实行运用；. 培养数形结合、分类谈论、等价转变的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思想能力；经过看图象找解集，培养学生从“从形到数〞的转变力，“由详尽到抽象〞、“从特别到一般〞的概括概括能力。

二、过程与方法经历从实质情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和经过函数图象研究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；三、感情、态度与价值观. 激发学生学习数学的热情，培养勇于研究的精神，培养学生的合作意识和创新精神，同时领悟事物之间宽泛联系的辩证思想；经过等与不等的对峙一致关系的认识，对学生进行辨证唯物主义教育 .. 创立问题情况，激发学生观察、解析、研究的学习激情、增强学生参加意识及主体作用。

【授课重点与难点】：重点：从实质情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

【学法与授课用具】：.学法：. 授课方法：诱思引探授课法.授课用具：多媒体、实物投影仪.【授课种类】：新授课【课时安排】：课时【授课思路】：一、创立情况，揭穿课题观察函数 y 5x210x 4.8 的图象，能够看出，一元二次不等式5x20 的解集就是二次函数y 5x210 x 4.8 的图象〔抛物线〕位于 x 轴下方的点所对应的x 值的集合．因此，求解一元二次不等式能够先解相应的一元二次方程，确定抛物线与x 轴交点的横坐标，再依照图象写出不等式的解集．第一步：解方程5x210 x 4.8 0 ，得 x10.8, x2 1.2 ；第二步：画出抛物线y 5x210x 4.8 的草图；第三步：依照抛物线的图象，可知5x210 x 4.8 0 的解集为 { x | 0.8 x 1.2} ．二、研探新知求解一元二次不等式ax 2 bx c 0(a0) 的过程，可用以以下图所示和流程图来描述：开始输入 a,b, cb 2 4acx 1b b , x 22a输出“解集为 Φ〞2a输出“解集 { x | x 1 x x 2} 〞结束一元二次不等式ax 2bx c 0(a0) 与相应的函数 y ax 2 bx c( a0) 、相应的方程 ax 2bx c 0( a 0) 之间的关系：鉴识式0 0b 2 4ac二次函数y ax 2bx（ a 0 〕的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根ax 2bx cb(x 1 x 2 )x 1 x 2a0 的根x 1 , x 2 2a无实根ax 2 bx c 0x 1或x x 2b(a 0)的解集 x xx x2aax 2bx c 0x x 2(ax x 10)的解集三、思疑争论，排难解惑，睁开思想例解以下不等式：〔〕 x27x120；〔〕x22x 3 0；〔〕 x22x10 ；〔〕 x22x 2 0 ．解：〔〕方程 x27x12 0 的解为 x13, x2 4 ．依照 y x27 x12的图象，可得原不等式 x27 x120 的解集是 { x | x 3或x4} ．〔〕不等式两边同乘以1，原不等式可化为x22x30．方程 x22x 3 0 的解为 x13, x21．依照 y x22x 3 的图象，可得原不等式x22x30 的解集是{ x | 3x 1} ．〔〕方程 x22x10 有两个相同的解x1x21．依照 y x22x1的图象，可得原不等式 x22x10 的解集为．〔〕因为0 ，因此方程x22x20 无实数解，依照y x22x2的图象，可得原不等式 x22x20 的解集为．思虑：〔〕求解一元二次不等式ax2bx c0(a0) 的过程，怎样用流程图来描述？〔〕求解一元二次不等式ax2bx c0(a0) 的过程，怎样用流程图来描述？〔〕不等式 ax2bx c 0(a0) 和 ax2bx c0( a0) 的解法？结论：. 一元二次不等式的解集：〔〕不等式〔〕不等式a( x x )( x x)0( a0) 的解集为 { x | x x x}1212a( x x1 )( x x2 )0(a0) 的解集为 { x | x x1或 x x2 } 〔其中 x1x2〕. 概括解一元二次不等式的步骤：〔〕二次项系数化为正数；〔〕解对应的一元二次方程；〔〕依照一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；〔〕写出不等式的解集．即：一化正→二算→三求根→四写解集例关于 x 的不等式 x2mx n 0 的解集是 { x | 5x 1} ，求实数m, n之值．解：不等式 x2mx n0 的解集是 { x | 5x 1} ，x15, x2 1 是x 2mx n 0的两个实数根，由韦达定理知： 5 1 m m 45 1 nn．5例不等式 ax 2bx c 0 的解集为 { x | 2x 3} 求不等式 cx 2bx a 0 的解集．23ba b5ac ，解：由题意2 3即 c6a ． 代 入 不 等 式 cx 2bx a 0 得 ：aaa 06a x 2 5 a x a 0 ( a 0．)即 6x 25x 1 0 ，所求不等式的解集为{ x | 1x1} ．32例一元二次不等式(m 2) x 22( m 2) x 4 0 的解集为 R ，求 m 的取值范围．解：y (m 2) x 2 2( m2) x 4 为二次函数，m 2二次函数的值恒大于零，即( m 2) x 2 2(m2) x 40 的解集为 R ．m 2m 2，解得：m 2， 即4(m 2)2 16(m 2)2 m6m 的取值范围为 { m | 2 m6} 〔 m2 适合〕．拓展 ：．二次函数 y(m 2) x 2 2( m 2) x 4 的值恒大于零，求m 的取值范围．．一元二次不等式(m2) x 2 2( m 2) x4 0 的解集为, 求 m 的取值范围．．假设不等式 (m 2) x 2 2(m2) x 40 的解集为, 求 m 的取值范围．结论： 一元二次不等式恒成立的情况：〔〕 ax2bx c0 (a0) 恒成立a0 ；〔〕 ax 2 bx c 0 ( a 0) 恒成立a 0例 假设不等式 mx 22x 1 m0 对满足 2 m 2 的所有 m 都成立，求实数x 的取值范围解：不等式可化为(x 2 1)m (1 2x)0 ．设 f (m)( x21)m(1 2 x) ，这是一个关于m 的一次函数〔或常数函数〕，从图象上看，要使 f ( m)0在2m 2 时恒成立，其等价条件是：f (2)2( x21)(1 2x)0,即2x22x30,解得1713f (2)2( x21)(12x)0,2x22x10.2x．2因此，实数 x 的取值范围是127 ,13．2四、坚固深入，反应更正. 选择题：以下不等式中，解集为实数集Ｒ的是〔〕()x 1 20〔Ｂ〕 x0()x380〔Ｄ〕 x22x 3 0 .以下命题中正确的有①假设x1, x2是方程 ax2bx c0 的两个实数根，且x1x2，那么不等式ax2bx c0 的解集是 { x | x1x x2 } ；②当b24ac0 时，二次不等式ax2bx c0 的解集是；③ x2x10 与 x2x x 1x 的解集相同．. 解以下不等式：①x43x2100；②x x 6 ；③x2 2 x30五、概括整理，整体认识．一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系，掌握一元二次不等式的解法；．掌握利用因式分解和谈论来求解一元二次不等式的方法及这种方法的实行运用；．掌握将分式不等式转变成一元二次不等式求解．. 解一元二次不等式的步骤：概括为：一化正→二算→三求根→四写解集六、承上启下，留下悬念七、板书设计〔略〕八、课后记：学习是一件增添知识的工作，在茫茫的学海中，或许我们困苦过，在困难的竞争中，或许我们疲倦过，在失败的阴影中，或许我们无望过。

§3.2一元二次不等式（二） 第 23 课时一、学习目标（1）经历从实际情景抽象出一元二次不等式模型的过程，从中体会由实际问题建立数学模型的方法；（2）利用二次函数图象求解含字母的一元二次不等式；（3）让学生充分体会数学知识、数学思想方法在问题解决中的重要作用，进一步提高学习数学的兴趣．二、学法指导解一元二次不等式的一般步骤：当0a ＞时，解形如20(0)ax bx c ++≥＞或20(0)ax bx c ++≤＜的一元二次不等式，一般可分为三步：（1）确定对应方程20ax bx c ++=的解；（2）画出对应函数2y ax bx c =++图象的简图；（3）由图象得出不等式的解集。

三、课前预习1.一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>之间有什么关系？2.解不等式: (1) 234x x ->； (2)0322>-+-x x ；(3) 2(1)(30)0x x x --->； (4)2212311x x x -≥+-． 3．归纳解一元二次不等式的步骤：四、课堂探究例1．用一根长为100m 的绳子能围成一个面积大于2600m 的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？ 解：设矩形一边的长为()x m ，则另一边的长为50()x m -，050x <<．由题意，得(50)600x x ->，即2506000x x -+<．解得2030x <<．所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于2600m 的矩形．用S 表示矩形的面积，则2(50)(25)625(050)S x x x x =-=--+<<．当25x =时，S 取得最大值，此时5025x -=．即当矩形的长、宽都为25m 时，所围成的矩形的面积最大．例2．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p 元／件之间的关系为1602p x =-，生产x 件所需成本为50030C x =+元，问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元？解：由题意，得(16002)(50030)1300x x x --+≥，化简得2659000x x -+≤，解之得2045x ≤≤．因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元．例3．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离()s m 与车速(/)x km h 之间分别有如下关系：220.10.01,0.050.005s x x s x x =+=+乙甲．问：甲、乙两车有无超速现象？分析：根据汽车的刹车距离可以估计汽车的车速．解：由题意知，对于甲车，有20.10.0112x x +>，即21012000x x +->，解得3040x x ><-或（不合实际意义，舍去），这表明甲车的车速超过30km/h ．但根据题意刹车距离略超过12m ，由此估计甲车车速不会超过限速40km/h ．对于乙车，有20.050.00510x x +>，即21020000x x +->，解得4050x x ><-或（不合实际意义，舍去），这表明乙车的车速超过40km/h ，超过规定限速．例4．解关于x 的不等式2(2)20x a x a -++<.例5．已知：{}{}22|320,|(1)0A x x x B x x a x a =-+≤=-++≤， (1)若A B ⊂≠，求a 的取值范围； (2)若B A ⊆，求a 的取值范围；(3)若A B 为一元集，求a 的取值范围；(4)若A B B =，求a 的取值范围；解：由题意 {|12}A x x =≤≤，{|(1)()0}B x x x a =--≤（1）A B ⊂≠，2a ∴>； （2）B A ⊆，12a ∴≤≤；（3）A B 只有一个元素，1a ∴≤五、巩固训练求下列不等式的解集:（1）22120x ax a --<； （2）2106511x x -≤+-≤．六、回顾小结：1．有关一元二次不等式的实际问题，在于理清各个量之间的关系，建立数学模型；2．利用二次函数图象求解含字母的一元二次不等式．七、课外作业：课本第71页 练习 第1题；习题3.2 第4题； 第94页 复习题 第1（3）、（4），2题．补充：1．求不等式24318x x ≤-<的整数解；2．解不等式：（1）2223513134x x x x --≥-+； （2）223()0x a a x a -++>． 3．求不等式220x x a -+≤的解集．。

江苏省泰兴中学高一数学教学案(92)必修5_03一元二次不等式的解法班级 姓名目标要求1、通过函数图象了解一元二次不等式与对应函数、方程的关系2、会解一元二次不等式重点难点重点： 一元二次不等式的解法难点：准确把握分类讨论的标准典例剖析例1．解不等式（1）22211x x -<--+≤； （2）1302x x -≤+例2．解关于x 的不等式：22540()x mx m m R -+>∈例3．解关于x 的不等式：20()x x a a R -+≤∈例4．已知2()3f x x ax a =++-，若[2,2]x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围。

学习反思1、求解一元二次不等式时应根据结构特征灵活选择方法，例如配方、因式分解等2、对于简单的含参数的一元二次不等式要特别注意二次项为负数的情形，此时应将二次项系数变为正数，原不等式的方向要改变3、对于分式不等式0x a x b-≥-要特别注意0x b -≠ 课堂练习1、不等式241290x x ++≤的解集为______________.2、不等式(2)(3)0x x +->的解集为 .3、已知函数y =R ，则实数k 的取值范围是 .4、关于x 的不等式(1)(2)0(1)x a x a a ---><的解集为_________________.5、不等式11x x x x >++的解集为_________________ . 6、不等式1)22lg(2<++x x 的解集为___________________.7、解下列不等式（组）：（1）225121x x x +≤++ （2）0,()1t x t R x ->∈- （3）230201x x x x ⎧-≤⎪⎨->⎪+⎩江苏省泰兴中学高一数学作业(92)班级 姓名 得分1、不等式223434x x x x -->-+的解集为__________________.2、已知集合2{|320},{|}A x x x B x x m =-+≥=≥，若A B R ⋃=，则实数m 的取值范围是3、若关于x 的不等式20x mx n -+≤的解集为{|51}x x -≤≤，则m n -的值为4、若10<<a ,则不等式0)1)((<--a x a x 的解集为__________________. 5、已知集合22{|10},{|30}E x x F x x x =-<=-<，则E F ⋂等于6、已知0,0a b ><，则关于x 的不等式1b a x<<的解集为_________________________ 7、若实数a 、b 满足0a b +<，则关于x 的不等式0b x x a -<+的解集为_____________________ 8、解下列不等式：（1）425140x x --> （2）(3)(1)0(0)x mx m -->≥9、若对任何实数x ，2sin 2cos 220x k x k +--<恒成立，求实数k 的取值范围。

3.3.2 从函数观点看一元二次不等式第1课时一元二次不等式及其解法学习目标核心素养1．掌握一元二次不等式的解法．(重点)2．能根据“三个二次〞之间的关系解决简单问题．(难点) 通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养．2022年，冬季奥运会将在中国举行，跳台滑雪是其中最具有观赏性的项目之一，一位跳台滑雪运动员在90 m级跳台滑雪时，想使自己的飞行距离超过68 m．他假设以自身体重从起滑台起滑，经助滑道于台端飞起时的初速度最快为110 km/h．那么他能实现自己的目标吗？1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为一元二次不等式．思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？[提示]此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．2．三个“二次〞的关系设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0方程ax2＋bx＋c＝0的根有两个相异的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有根实数二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象ax 2＋bx ＋c ＞0的解集{x |x ＜x 1或x ＞x 2}⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－b 2a Rax 2＋bx ＋c ＜0的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅ ∅思考2：假设一元二次不等式ax 2＋x ＋1>0的解集为R ，那么实数a 应满足什么条件？ [提示] 结合二次函数图象可知，假设一元二次不等式ax 2＋x ＋1>0的解集为R ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4a <0，解得a >14，所以a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞使不等式ax 2＋x ＋1>0的解集为R ．1．不等式3＋5x －2x 2≤0的解集为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞3或x ＜－12 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12≤x ≤3 C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥3或x ≤－12 D ．RC [3＋5x －2x 2≤0⇒2x 2－5x －3≥0⇒(x －3)(2x ＋1)≥0⇒x ≥3或x ≤－12．]2．不等式3x 2－2x ＋1＞0的解集为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜1 C ．∅D ．RD [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x 2－2x ＋1＞0的解集为R ．]3．不等式x 2－2x －5>2x 的解集是．{x |x >5或x <－1} [由x 2－2x －5>2x ，得x 2－4x －5>0， 因为x 2－4x －5＝0的两根为－1,5， 故x 2－4x －5>0的解集为{x |x <－1或x >5}．] 4．不等式－3x 2＋5x －4>0的解集为． ∅ [原不等式变形为3x 2－5x ＋4<0．因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x 2－5x ＋4＝0无解．由函数y ＝3x 2－5x ＋4的图象可知，3x 2－5x ＋4<0的解集为∅．]一元二次不等式的解法[例1] 解以下不等式： (1)2x 2＋7x ＋3>0； (2)－4x 2＋18x －814≥0；(3)－2x 2＋3x －2<0．[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12．又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－12或x <－3． (2)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94． (3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R ．解不含参数的一元二次不等式的一般步骤1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. 2判别式.对不等式左侧因式分解，假设不易分解，那么计算对应方程的判别式. 3某某根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. 4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. 5写解集.根据图象写出不等式的解集.[跟进训练] 1．解以下不等式 (1)2x 2－3x －2>0； (2)x 2－4x ＋4>0； (3)－x 2＋2x －3<0；(4)－3x 2＋5x －2>0．[解] (1)∵Δ>0，方程2x 2－3x －2＝0的根是x 1＝－12，x 2＝2，∴不等式2x 2－3x －2>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－12或x >2． (2)∵Δ＝0，方程x 2－4x ＋4＝0的根是x 1＝x 2＝2， ∴不等式x 2－4x ＋4>0的解集为{}x |x ≠2．(3)原不等式可化为x 2－2x ＋3>0， 由于Δ<0，方程x 2－2x ＋3＝0无解， ∴不等式－x 2＋2x －3<0的解集为R ． (4)原不等式可化为3x 2－5x ＋2<0，由于Δ>0，方程3x 2－5x ＋2＝0的两根为x 1＝23，x 2＝1，∴不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <1．含参数的一元二次不等式的解法[思路点拨] ①对于二次项的系数a 是否分a ＝0，a <0，a >0三类进行讨论？②当a ≠0时，是否还要比较两根的大小？[解] 当a ＝0时，原不等式可化为x >1． 当a ≠0时，原不等式可化为(ax －1)(x －1)<0．当a <0时，不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，∵1a <1，∴x <1a或x >1．当a >0时，原不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0．假设1a <1，即a >1，那么1a<x <1；假设1a＝1，即a ＝1，那么x ∈∅；假设1a >1，即0<a <1，那么1<x <1a．综上所述，当a <0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >1；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a<x <1．解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．[跟进训练]2．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0)． [解] 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0， 化简为(x ＋1)(ax －2)≥0．∵a <0，∴(x ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫x －2a ≤0．当－2<a <0时，2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，x ＝－1； 当a <－2时，－1≤x ≤2a．综上所述，当－2<a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a ．三个“二次〞的关系[探究问题]1．利用函数y ＝x 2－2x －3的图象说明当y >0、y <0、y ＝0时x 的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？[提示]y ＝x 2－2x －3的图象如示．函数y ＝x 2－2x －3的值满足y >0时自变量x 组成的集合，亦即二次函数y ＝x 2－2x －3的图象在x 轴上方时点的横坐标x 的集合{x |x <－1或x >3}；同理，满足y <0时x 的取值集合为{x |－1<x <3}，满足y ＝0时x 的取值集合，亦即y ＝x 2－2x －3的图象与x 轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)是函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y ＝0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)就转化为方程，当y >0或y <0时，就转化为一元二次不等式．2．方程x 2－2x －3＝0与不等式x 2－2x －3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？[提示] 方程x 2－2x －3＝0的解集为{－1,3}．不等式x 2－2x －3>0的解集为{x |x <－1或x >3}，观察发现不等式x 2－2x －3>0解集的端点值恰好是方程x 2－2x －3＝0的根．3．设一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，那么x 1＋x 2，x 1x 2为何值？[提示] 一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba，x 1x 2＝ca ，即不等式的解集的端点值是相应方程的根．[例3] 关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．[思路点拨][解] 法一：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知b a ＝－5，c a ＝6．由a <0知c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >12．法二：由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >12．1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集． [解] 由根与系数的关系知ba ＝－5，c a＝6且a <0．∴c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2－bx ＋a >0，即x 2－b c x ＋a c <0，即x 2＋56x ＋16<0．解得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13．以a，b，c为参数的不等式如ax2＋bx＋c＞0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：1根据解集来判断二次项系数的符号；2根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；3约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.1．解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；③由图象得出不等式的解集．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．当m<n时，假设(x－m)(x－n)＞0，那么可得{x|x＞n或x＜m}；假设(x－m)(x－n)＜0，那么可得{x|m＜x＜n}．有口诀如下：大于取两边，小于取中间．2．含参数的一元二次型的不等式在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏〞，讨论需从如下三个方面进行考虑(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0．(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)．(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2．3．由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标．1．思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．( )(2)假设a>0，那么一元二次不等式ax2＋1>0无解．( )(3)假设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，那么一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}．( )(4)不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R ．( )[提示] (1)当m ＝0时，是一元一次不等式；当m ≠0时，是一元二次不等式． (2)因为a >0，所以不等式ax 2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R ． (3)当a >0时，ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x |x 1<x <x 2}，否那么不成立． (4)因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x 2－2x ＋3>0的解集为R ． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．设a <－1，那么关于x 的不等式a (x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a <0的解集为．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a [因为a <－1，所以a (x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0．又a <－1，所以1a >a ，所以x >1a或x <a ．]3．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－2或x >－12，那么ax 2－bx ＋c >0的解集为．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2 [由题意知－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根且a <0，故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－b a，－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝c a ，解得a ＝c ，b ＝52a ．所以不等式ax 2－bx ＋c >0，即为2x 2－5x ＋2<0，解得12<x <2，即不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2．] 4．解以下不等式： (1)x (7－x )≥12； (2)x 2>2(x －1)．[解] (1)原不等式可化为x 2－7x ＋12≤0，因为方程x 2－7x ＋12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4，word所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．(2)原不等式可以化为x2－2x＋2>0，因为判别式Δ＝4－8＝－4<0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R．- 11 - / 11。

§3.2 一元二次不等式(二) 课时目标 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.会解与一元二次不等式有关的恒成立问题．1．一元二次不等式的解集： 判别式 Δ＝b 2－4ac Δ>0 (x 1<x 2) Δ＝0Δ<0 ax 2＋bx ＋c >0(a >0)ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)2.解分式不等式的同解变形法则：(1)f (x )g (x )>0⇔__________； (2)f (x )g (x )≤0⇔__________； (3)f (x )g (x )≥a ⇔f (x )－ag (x )g (x )≥0. 3．处理不等式恒成立问题的常用方法：(1)一元二次不等式恒成立的情况：ax 2＋bx ＋c >0 (a ≠0)恒成立⇔__________；ax 2＋bx ＋c ≤0 (a ≠0)恒成立⇔__________.(2)一般地，若函数y ＝f (x )，x ∈D 既存在最大值，也存在最小值，则： a >f (x )，x ∈D 恒成立⇔____________；a <f (x )，x ∈D 恒成立⇔____________.一、填空题1．不等式x －2x ＋3>0的解集是________________． 2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是________．3．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为________． 4．不等式x ＋5(x －1)2≥2的解集是________． 5．设集合A ＝{x |(x －1)2<3x ＋7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中元素个数为________．6．若关于x 的不等式x －a x ＋1>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a ＝________. 7．若不等式－x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是________．8．若全集I ＝R ，f (x )、g (x )均为x 的二次函数，P ＝{x |f (x )<0}，Q ＝{x |g (x )≥0}，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0，g (x )<0的解集可用P 、Q 表示为________． 9．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围为________．10．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，则x 的取值范围是________．二、解答题。

3.2 一元二次不等式（2）
教学目标：
1. 进一步巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；会解简单的分式不等式，简单的含参数的不等式；掌握简单的含有参数的一元二次不等式恒成立问题；
2. 渗透数形结合，分类讨论的数学思想.
教学重点：
初步掌握含有参数的一元二次不等式的求解和恒成立问题.
教学难点：
解含有参数的一元二次不等式．
教学方法：
合作探究.
教学过程：
一、问题情境
1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系；
2．问题：写出关于x 的不等式102
x x -<-解集； 3．问题：写出关于x 的不等式()(1)0x a x --<解集.
二、学生活动
1.学生合作探究，给出结论，教师点评，并给出新问题：
（1）解关于x 的不等式213x x
-≤-； （2）解关于x 的不等式()
2()0x a x a --<． 三、建构数学
1. 学生合作探究，并给出具体思路；
2. 呈现课题：简单的含参数的一元二次不等式.
四、数学运用
1．例题.
例2. 关于x 的不等式220mx mx --<恒成立，求实数m 的取值范围.
2．练习.
（1）函数()
22lg 21y x x k =-+-的定义域为R ，求实数k 的取值范围. （2）若关于x 的不等式232
x ax >+的解集为{}2x x b <<，求实数,a b . 五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容： 1. 解简单的分式不等式以及含有参数的一元二次不等式，进一步巩固了一元二次不等式、一元二次方程以及二次函数的关系；
2．含有参数的一元二次不等式的恒成立问题的处理.。