2020-2021年上海高三长宁数学一模试卷

2020年上海市嘉定区、长宁区、金山区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B＝．2．（4分）方程2x＝3的解为．3．（4分）行列式的值为．4．（4分）计算．5．（4分）若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的母线长为．6．（4分）已知向量（，），（，），则∠BAC＝．7．（5分）2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有种．8．（5分）已知点（﹣2，y）在角α终边上，且tan（π﹣α）＝2，则sinα＝．9．（5分）近年来，人们支付方式发生巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯，某企业为了解该企业员工A、B两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况，发现样本中A、B两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了A、B两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如表：依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月A、B两种支付方式都使用过的概率为．10．（5分）已知非零向量、、两两不平行，且∥，∥，设，x，y∈R，则x+2y＝．11．（5分）已知数列{a n}满足：a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N*），记数列{a n}的前n项和为S n，若对所有满足条件的{a n}，S10的最大值为M，最小值为m，则M+m ＝．12．（5分）已知函数f（x）＝|x a|，若对任意实数a，关于x的不等式f（x）≥m在区间，上总有解，则实数m的取值范围为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知x∈R，则“x＞0”是“x＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（5分）下列函数中，值域为（0，+∞）的是（）A．y＝2x B．C．y＝lnx D．y＝cos x 15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P是棱CC1的中点，设直线AB为a，直线A1D1为b，对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；②过点P 有且只有一条直线l与a、b都成45°角，以下判断正确的是（）A．①为真命题，②为真命题B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题D．①为假命题，②为假命题16．（5分）某港口某天0时至24时的水深y（米）随时间x（时）变化曲线近似满足如下函数模型：y＝0.5sin（ωπx）+3.24（ω＞0），若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（）A．16时B．17时C．18时D．19时三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，底面为矩形的直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1满足：AA1＝4，AD＝3，CD＝2．（1）求直线A1C与平面AA1D1D所成的角θ的大小；（2）设M、N分别为棱BB1、CD上的动点，求证：三棱锥N﹣A1AM的体积V为定值，并求出该值．18．（14分）在复平面内复数z1、z2所对应的点为Z1、Z2，O为坐标原点，i是虚数单位．（1）z1＝1+2i，z2＝3﹣4i，计算z1•z2与；（2）设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），求证：|•|≤|z1•z2|，并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号．19．（14分）如图，某城市有一矩形街心广场ABCD，如图，其中AB＝4百米，BC＝3百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN种植荷花，其中点M在BC边上，点N在AB 边上，要求∠MDN．（1）若AN＝CM＝2百米，判断△DMN是否符合要求，并说明理由；（2）设∠CDM＝θ，写出△DMN面积的S关于θ的表达式，并求S的最小值．20．（16分）已知数列{a n}各项均为正数，S n为其前n项的和，且a n、S n、a n2（n∈N*）成等差数列．（1）写出a1、a2、a3的值，并猜想数列{a n}的通项公式a n；（2）证明（1）中的猜想；（3）设b n＝ta n﹣1（t＞0），T n为数列{b n}的前n项和，若对于任意n∈N*，都有T n∈{b m|m∈N*}，求实数t的值．21．（18分）已知函数f（x）＝x|x﹣a|，其中a为常数．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＜2；（2）已知g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g（x）＝f（x），若a＜0，且，求函数y＝g（x）（x∈[1，2]）的反函数；（3）若在[0，2]上存在n个不同的点x i（i＝1，2，…，n，n≥3），x1＜x2＜…＜x n，使得|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|＝8，求实数a的取值范围．2020年上海市嘉定区、长宁区、金山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B＝{2，4}．【解答】解：∵A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8}，∴A∩B＝{2，4}．故答案为：{2，4}2．（4分）方程2x＝3的解为x＝log23．【解答】解：∵2x＝3，∴指数式化为对数式得：x＝log23，故答案为：x＝log23．3．（4分）行列式的值为5．【解答】解：2×2﹣1×（﹣1）＝5，故答案为：5．4．（4分）计算2．【解答】解：2．故答案为：2．5．（4分）若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的母线长为2．【解答】解：∵圆锥的底面积为π，∴圆锥的底面半径为r，满足πr2＝π，解得r＝1又∵圆锥的侧面积为2π，∴设圆锥的母线长为l，可得πrl＝2π，π•1•l＝2π，解之得l＝2故答案为：26．（4分）已知向量（，），（，），则∠BAC＝．【解答】解：向量（，），（，），则cos∠BAC，∴∠BAC，故答案为：．7．（5分）2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有72种．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，将3位男生排成一排，有A33＝6种情况，②，3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有A42＝12种情况，则2位女生不相邻的排法有6×12＝72种；故答案为：728．（5分）已知点（﹣2，y）在角α终边上，且tan（π﹣α）＝2，则sinα＝．【解答】解：由题意可得，tan，∵tan（π﹣α）＝﹣tanα＝2，∴tanα＝﹣2，解可得，y＝4，∴sinα ．故答案为：．9．（5分）近年来，人们支付方式发生巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯，某企业为了解该企业员工A、B两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况，发现样本中A、B两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了A、B两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如表：依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月A、B两种支付方式都使用过的概率为．【解答】解：依题意，使用过A种支付方式的人数为：18+29+23＝70，使用过B种支付方式的人数为：10+24+21＝55，又两种支付方式都没用过的有5人，所以两种支付方式都用过的有（70+55）﹣（100﹣5）＝30，所以该员工在该月A、B两种支付方式都使用过的概率P．故答案为：．10．（5分）已知非零向量、、两两不平行，且∥，∥，设，x，y∈R，则x+2y＝﹣3．【解答】解：因为非零向量、、两两不平行，且∥，∥，∴m（）⇒ ；n（）⇒ ；∴⇒ ；∵，x，y∈R．∴x＝y＝﹣1；∴x+2y＝﹣3．故答案为：﹣3．11．（5分）已知数列{a n}满足：a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N*），记数列{a n}的前n项和为S n，若对所有满足条件的{a n}，S10的最大值为M，最小值为m，则M+m ＝1078．【解答】解：因为数列{a n}满足：a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…，a n}（n∈N*），∴a2﹣a1∈{a1}⇒a2﹣a1＝a1＝1⇒a2＝2；a3﹣a2∈{a1，a2}⇒a3﹣a2＝1或者a3﹣a2＝2⇒a3＝3或者a3＝4；a4﹣a3∈{a1，a2，a3}⇒a4﹣a3＝1，a4﹣a3＝2，a4﹣a3＝3，a4﹣a3＝4⇒a4最小为4，a4最大为8；所以，数列S10的最大值为M时是首项为1，公比为2的等比数列的前十项和；M1023；S10取最小值m时，是首项为1，公差为1的等差数列的前十项和；m＝10×1 55；∴M+m＝1078．故答案为：1078．12．（5分）已知函数f（x）＝|x a|，若对任意实数a，关于x的不等式f（x）≥m在区间，上总有解，则实数m的取值范围为（﹣∞，]．【解答】解：由题意，y＝x在区间，上的图象如下图所示：根据题意，对任意实数a，关于x的不等式f（x）≥m在区间，上总有解，则只要找到其中一个实数a，使得函数f（x）＝|x a|的最大值最小即可，如图，函数y＝x向下平移到一定才程度时，函数f（x）＝|x a|的最大值最小．此时只有当f（1）＝f（3）时，才能保证函数f（x）的最大值最小．设函数y＝x图象向下平移了t个单位，（t＞0）．∴t＝﹣（2﹣t），解得t．∴此时函数f（x）的最大值为．根据绝对值函数的特点，可知实数m的取值范围为：（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知x∈R，则“x＞0”是“x＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：由题意可知，x∈R，{x|x＞0}⫌{x|x＞1}∴“x＞0”是“x＞1”的必要不充分条件．故选：B．14．（5分）下列函数中，值域为（0，+∞）的是（）A．y＝2x B．C．y＝lnx D．y＝cos x【解答】解：选项A的值域为（0，+∞），选项B的值域为[0，+∞），选项C的值域为R，选项D的值域为[﹣1，1]．故选：A．15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P是棱CC1的中点，设直线AB为a，直线A1D1为b，对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；②过点P 有且只有一条直线l与a、b都成45°角，以下判断正确的是（）A．①为真命题，②为真命题B．①为真命题，②为假命题C．①为假命题，②为真命题D．①为假命题，②为假命题【解答】解：直线AB与A1D1是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取BB1的中点Q，则PQ∥A1D1，且PQ＝A1D1，设A1Q与AB交于E，则点A1、D1、Q、E、P共面，直线EP必与A1D1相交于某点F，则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交，故①为真命题；分别平移a，b，使a与b均经过P，则有两条互相垂直的直线与a，b都成45°角，故②为假命题．∴①为真命题，②为假命题．故选：B．16．（5分）某港口某天0时至24时的水深y（米）随时间x（时）变化曲线近似满足如下函数模型：y＝0.5sin（ωπx）+3.24（ω＞0），若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（）A．16时B．17时C．18时D．19时【解答】解：由题意可知，x＝0时，y＝y＝0.5sin（ωπx）+3.24＝3.75，由五点法作图可知：如果当x＝16时，函数取得最小值可得：16ωπ ，可得ω ，此时函数y＝0.5sin（x）+3.24，函数的周期为：T14，该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，满足，如果当x＝19时，函数取得最小值可得：19ωπ ，可得ω ，此时函数y＝0.5sin（x）+3.24，函数的周期为：T，x＝24时，y＝0.5sin（24）+3.24＞3，如图：该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，不满足，故选：D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，底面为矩形的直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1满足：AA1＝4，AD＝3，CD＝2．（1）求直线A1C与平面AA1D1D所成的角θ的大小；（2）设M、N分别为棱BB1、CD上的动点，求证：三棱锥N﹣A1AM的体积V为定值，并求出该值．【解答】解：（1）由直棱柱知A1A⊥ABCD，所以A1A⊥CD又因为AD⊥CD，所以直线CD⊥平面A1ADD1，所以∠CA1D即直线A1C与平面AA1D1D的所成角θ，由题意A1D＝5，CD＝2，所以所以直线A1C与平面AA1D1D的所成角．（2）记点N到平面A1AM的距离为d，三角形A1AM的面积为，则，由已知d＝3，，所以V＝4为定值．18．（14分）在复平面内复数z1、z2所对应的点为Z1、Z2，O为坐标原点，i是虚数单位．（1）z1＝1+2i，z2＝3﹣4i，计算z1•z2与；（2）设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），求证：|•|≤|z1•z2|，并指出向量、满足什么条件时该不等式取等号．【解答】解：（1）z1•z2＝（1+2i）•（3﹣4i）＝11+2i，∵，，，，∴；（2）证明：，，，，∴，，z1•z2＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，，∴（ac﹣bd）2+（ad+bc）2﹣（ac+bd）2＝（ad）2+2ad•bc+（bc）2﹣4ad•bc＝（ad﹣bc）2≥0，∴，当ad＝bc时取“＝”，此时．19．（14分）如图，某城市有一矩形街心广场ABCD，如图，其中AB＝4百米，BC＝3百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN种植荷花，其中点M在BC边上，点N在AB 边上，要求∠MDN．（1）若AN＝CM＝2百米，判断△DMN是否符合要求，并说明理由；（2）设∠CDM＝θ，写出△DMN面积的S关于θ的表达式，并求S的最小值．【解答】解：（1）由题意某城市有一矩形街心广场ABCD，如图，其中AB＝4百米，BC ＝3百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN种植荷花，其中点M在BC边上，点N在AB边上，要求∠MDN．AN＝CM＝2百米，可得BN＝2，BM＝1，所以，，，所以∠，所以∠，△DMN不符合要求，（2）∠CDM＝θ，∠，所以，，，，所以，S的最小值为．20．（16分）已知数列{a n}各项均为正数，S n为其前n项的和，且a n、S n、a n2（n∈N*）成等差数列．（1）写出a1、a2、a3的值，并猜想数列{a n}的通项公式a n；（2）证明（1）中的猜想；（3）设b n＝ta n﹣1（t＞0），T n为数列{b n}的前n项和，若对于任意n∈N*，都有T n∈{b m|m∈N*}，求实数t的值．【解答】解：（1）由已知，由2a1＝a1+a12所以a1＝1，同理可得，a2＝2，a3＝3，猜想a n＝n，（2）证明：当n＝1时，显然成立；当n≥2时，，所以得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）＝0，因为＞∈，所以a n﹣a n﹣1＝1，数列{a n}为等差数列，又由（1）a1＝1，a2＝2，所以∈；（3）解：由（2）知b m＝mt﹣1，．若b m＝T n，则，因为m，n都是整数，所以对于任意n∈N*，都是整数，进而是整数所以，∈，此时，因为n的任意性，不妨设b m＝T2，则m＝3﹣k＞0，所以k＝1或2，①当k＝1时，对于任意n∈N*，∈，②当k＝2时，对于任意n∈N*，∈，所以实数t取值的集合为，．21．（18分）已知函数f（x）＝x|x﹣a|，其中a为常数．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＜2；（2）已知g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g（x）＝f（x），若a＜0，且，求函数y＝g（x）（x∈[1，2]）的反函数；（3）若在[0，2]上存在n个不同的点x i（i＝1，2，…，n，n≥3），x1＜x2＜…＜x n，使得|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|＝8，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）解不等式x|x﹣1|＜2，当x≥1时，x2﹣x﹣2＜0，所以1≤x＜2，当x＜1时，x2﹣x+2＞0，所以x＜1，综上，该不等式的解集为（﹣∞，2）；（2）当0≤x≤1时，g（x）＝x|x﹣a|，因为g（x）是以2为周期的偶函数，所以，由g（），且a＜0，得a＝﹣2，所以当0≤x≤1时，g（x）＝x（x+2）所以当1≤x≤2时，g（x）＝g（﹣x）＝g（2﹣x）＝（2﹣x）（4﹣x）∈[0，3]．所以函数y＝g（x）（x∈[1，2]）的反函数为∈，．（3）①当a≤0时，在[0，2]上f（x）＝x（x﹣a），是[0，2]上的增函数，所以|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|＝f（x n）﹣f（x1）≤f （2）所以f（2）＝2（2﹣a）≥8，得a≤﹣2；②当a≥4时，在[0，2]上f（x）＝x（a﹣x），是[0，2]上的增函数，所以|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|＝f（x n）﹣f（x1）≤f （2）所以f（2）＝2（a﹣2）≥8，得a≥6；③当0＜a＜4时，f（x）在[0，2]上不单调，所以|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|≤2f（x）max＜，f（2）＝2|2﹣a|＜4，在[0，2]上，，＜．|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|≤2f（x）max＜8，不满足．综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．③当2≤a＜4时，则＜，所以f（x）在，上单调递增，在，上单调递减，于是|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|令，解得a≤﹣4或a≥4，不符合题意；④当0＜a＜2时，f（x）分别在，、[a，2]上单调递增，在，上单调递减，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|令，解得或，不符合题意．综上，所求实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．。

平面向量汇编一、填空题【徐汇2】已知(2,3)a m =--，(1,)b m =-，若a b ，则m =_______【宝山4】设(1,2),(2,1)a b ==，则a 和b 的夹角大小为 ．（结果用反三角函数表示）. 【嘉定9】在ABC △中，2,1==AC AB ，CA CB CE 3261+=，则=⋅BC AE ____________．【浦东新区9】正方形ABCD 的边长为2，点E 和F 分别是边BC 和AD 上的动点，且CE AF =，则AE AF 的取值范围为___________.【徐汇10】在ABC 中，45A ︒∠=，M 是AB 的中点，若2AB BC ==，D 在线段AC 上运动，则DB DM ⋅的最小值为___________【长宁10】在ABC ∆中，3AB =，2AC =，点D 在边BC 上. 若1AB AD ⋅=， 53AD AC ⋅=，则AB AC ⋅的值为 .【松江11】已知向量1a b c ===，若12a b ⋅=，且c xa yb =+，则x y +的最大值为 ．【杨浦11】如图所示，矩形ABCD 中，2,1AB AD ==，分别将边BC 与DC 等分成8份，并将等分点自下而上依次记作127,,,E E E 自左到右依次记作127,,F F F ，满足*2(,,1,7)i j AE AF i j N i j ≤∈≤≤的有序数对(,)i j 共有_______________对。

【闵行11】已知平面向量a 、b 、c ，对任意实数t ，都有||||b ta b a -≥-、||||b tc b c -≥-成立，若||3a =，||2c =，||7a c -=，则||b =【崇明12】已知点D 为圆O ：224x y +=的弦MN 的中点，点A 的坐标为()10，，且1AM AN =则OA OD ⋅的取值范围为_________【青浦12】已知向量e 的模长为1，平面向量,m n 满足：|2|2,||1m e n e -=-=，则m n ⋅的取值范围是_________．【宝山13】直线310x y +-=的一个法向量可以是（ ）A. (3,1)-B. (3,1)C. (1,3)D. (1,3)-二、填空题【长宁14】对任意向量a 、b ，下列关系式中不恒成立的是（ ）. 【A 】()22a b a b +=+； 【B 】()()22a b a b a b +⋅-=-； 【C 】a b a b ⋅≤⋅；【D 】a b a b -≤-.【奉贤14】设d 是直线1111:0l a x b y c ++=的一个方向向量，n 是直线2222:0l a x b y c ++=的一个法向量，设向量d 与向量n 的夹角为θ，则cos θ为（ ）【A【B 】222221212121||b a b a b b a a ++- 【C【D【虹口14】在ABC ∆中，若02=+⋅，则ABC ∆的形状一定是（ ） .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰三角形， .D 等腰直角三角形复数汇编一、填空题【杨浦2】设复数12z i =- (i 是虚数单位)，则z =____________【闵行2】已知复数z 满足i 2i z =+（i 为虚数单位），则z =【崇明3】已知复数z 满足(2)1z i -=，ⅈ是虚数单位，则z =____________【松江3】已知复数z 满足(1i)1i z ⋅-=+（i 为虚数单位），则z = ．【嘉定4】已知复数z 满足()2i 1=⋅+z （i 为虚数单位），则=z ___________．【青浦4】已知复数z 满足40z z+=，则||z = .【浦东新区5】已知复数z 满足()14z i -=（i 为虚数单位），则||z = .二、选择题【长宁13】设复数i z a b =+（其中a b ∈R 、，i 为虚数单位），则“0a =”是“z 为纯虚数”的（ ）.A. 充分非必要条件；B. 必要非充分条件 ；C. 充要条件；D. 既非充分又非必要条件.【徐汇14】若2i -是关于x 的实系数方程20x ax b ++=的一根，则a b +等于（ ）A.1B.1-C. 9D.9-。

2020年上海市长宁区高考一模数学一、填空题(共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分) 1.设集合A={x||x-2|＜1，x ∈R}，集合B=Z ，则A ∩B=____. 解析：|x-2|＜1，即-1＜x-2＜1，解得1＜x ＜3，即A=(1，3)， 集合B=Z ， 则A ∩B={2}. 答案：{2}2.函数sin()3y x πω=-(ω＞0)的最小正周期是π，则ω=____.解析：∵sin()3y x πω=-(ω＞0)，∴||2T ππω==， ∴ω=2. 答案：23.设i 为虚数单位，在复平面上，复数()232i -对应的点到原点的距离为____.解析：复数()()()()233433912343434252i i i i i i ++===--+-对应的点9125()225，到原点的距离=35=. 答案：354.若函数f(x)=log 2(x+1)+a 的反函数的图象经过点(4，1)，则实数a=____. 解析：函数f(x)=log 2(x+1)+a 的反函数的图象经过点(4，1)， 即函数f(x)=log 2(x+1)+a 的图象经过点(1，4)， ∴4=log 2(1+1)+a ∴4=1+a ， a=3. 答案：35.已知(a+3b)n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n=____.解析：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n又各项二项式系数的和为2n据题意得4642nn ＝，解得n=6.答案：66.甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有____种.解析：根据题意，采用间接法：①由题意可得，所有两人各选修2门的种数2255100C C =，②两人所选两门都相同的有为2510C =种，都不同的种数为225330C C =，故只恰好有1门相同的选法有100-10-30=60种. 答案：607.若圆锥的侧面展开图是半径为2cm ，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为____cm 3.解析：设此圆锥的底面半径为r ，由题意，得：3222r ππ=⨯，解得32r =.故圆锥的高2h ==∴圆锥的体积2313V r h cm π==..8.若数列{a n }23n n =+(n ∈N*)，则1221limn n a a a n n →∞++⋯++()=______.23n n=+(n∈N*)，∴n=14=，解得a 1=16. n ≥22(1)3(1)n n =-+-22n =+，∴a n =4(n+1)2.4(1)1na n n =++. ∴1222(21)412lim()lim 2231n n n n n a a a n n n→∞→∞++⨯++⋯+==+. 答案：2.9.如图，在△ABC 中，∠B=45°，D 是BC 边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB 的长为______.解析：在△ADC 中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得2221cos 22AD DC AC ADC AD DC +-∠==-⋅， ∴∠ADC=120°，∠ADB=60°在△ABD 中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°， 由正弦定理得sin sin AB ADADB B∠＝，∴2AB =10.有以下命题：①若函数f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)的值域为{0}； ②若函数f(x)是偶函数，则f(|x|)=f(x)；③若函数f(x)在其定义域内不是单调函数，则f(x)不存在反函数；④若函数f(x)存在反函数f -1(x)，且f -1(x)与f(x)不完全相同，则f(x)与f -1(x)图象的公共点必在直线y=x 上；其中真命题的序号是______.(写出所有真命题的序号)解析：①若函数f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0，为常数函数，所以f(x)的值域是{0}， 所以①正确.②若函数为偶函数，则f(-x)=f(x)，所以f(|x|)=f(x)成立，所以②正确. ③因为函数1()f x x=在定义域上不单调，但函数f(x)存在反函数，所以③错误. ④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x 对称，但不一定在直线y=x 上，比如函数y =y=x 2-1(x ≤0)的交点坐标有(-1，0)，(0，1)， 显然交点不在直线y=x 上，所以④错误. 答案：①②.11.设向量OA u u u r =(1，-2)，OB uuu r =(a ，-1)，OC u u u r=(-b ，0)，其中O 为坐标原点，a ＞0，b ＞0，若A 、B 、C 三点共线，则12a b +的最小值为______.解析：向量OA u u u r =(1，-2)，OB uuu r =(a ，-1)，OC u u u r=(-b ，0)，其中O 为坐标原点，a ＞0，b ＞0，∴1()1AB OB OA a =-=-u u u r u u u r u u u r ，，1()2AC OC OA b =-=--u u u r u u u r u u u r，， ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB AC λ=u u u r u u u r， ∴()1112a b λλ⎧⎪⎨⎪-⎩--＝＝， 解得2a+b=1， ∴()1212422248b a a b a b a b a b +=++=+++⎛⎫ ⎪⎝+⎭≥=，当且仅当a=14，b=12，取等号， 故12a b+的最小值为8. 答案：812.如图，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为2cm ，高为5cm ，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A 1点的最短路线的长为______cm.解析：将正三棱柱ABC-A 1B 1C 1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值.由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理13d ==. 答案：13二、选择题(共4小题，每小题5分，满分20分)13.“x ＜2”是“x 2＜4”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件解析：由x 2＜4，解得：-2＜x ＜2，故x ＜2是x 2＜4的必要不充分条件. 答案：B.14.若无穷等差数列{a n }的首项a 1＜0，公差d ＞0，{a n }的前n 项和为S n ，则以下结论中一定正确的是( ) A.S n 单调递增 B.S n 单调递减 C.S n 有最小值 D.S n 有最大值 解析：()2111222n n n d d S na d n a n -=+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭-， ∵2d＞0，∴S n 有最小值. 答案：C.15.给出下列命题：(1)存在实数α使3sin cos 2αα+＝. (2)直线2x π-＝是函数y=sinx 图象的一条对称轴.(3)y=cos(cosx)(x ∈R)的值域是[cos1，1].(4)若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tan α＞tan β. 其中正确命题的题号为( ) A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)解析：(1)∵3sin cos (4)in 2πααα++＜，∴(1)错误； (2)∵y=sinx 图象的对称轴方程为2()x k k Z ππ+∈＝，k=-1，2x π-＝，∴(2)正确；(3)根据余弦函数的性质可得y=cos(cosx)的最大值为y max =cos0=1，y min =cos(cos1)，其值域是[cos1，1]，(3)正确； (4)不妨令94απ＝，3πβ＝，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tan α＜tanβ，(4)错误. 答案：B.16.如果对一切实数x 、y ，不等式29cos sin 4y x a x y-≥-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞，43] B.[3，+∞)C.[-D.[-3，3]解析：∀实数x 、y ，不等式29cos sin 4y x a x y-≥-恒成立⇔29sin 1sin 4y a x x y+≥+-恒成立， 令9()4y f y y=+，则asinx+1-sin 2x ≤f(y)min ，当y ＞0时，9()34y f y y =+≥=(当且仅当y=6时取“=”)，f(y)min =3；当y ＜0时，9()34y f y y =+≤-=-(当且仅当y=-6时取“=”)，f(y)max =-3，f(y)min 不存在；综上所述，f(y)min =3.所以，asinx+1-sin 2x ≤3，即asinx-sin 2x ≤2恒成立.①若sinx ＞0，2sin sin a x x ≤+恒成立，令sinx=t ，则0＜t ≤1，再令2()g t t t=+(0＜t ≤1)，则a ≤g(t)min.由于22()10g t t '=-＜， 所以，2()g t t t=+在区间(0，1]上单调递减，因此，g(t)min =g(1)=3， 所以a ≤3；②若sinx ＜0，则2sin sin a x x≥+恒成立，同理可得a ≥-3； ③若sinx=0，0≤2恒成立，故a ∈R ； 综合①②③，-3≤a ≤3. 答案：D.三、解答题(共5小题，满分76分)17.如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD 与平面BCD 所成的角为30°，且AB=BC=2； (1)求三棱锥A-BCD 的体积；(2)设M 为BD 的中点，求异面直线AD 与CM 所成角的大小(结果用反三角函数值表示).解析：(1)由AB ⊥平面BCD ，得CD ⊥平面ABC ，由此能求出三棱锥A-BCD 的体积.(2)以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD 与CM 所成角的大小. 答案：(1)如图，因为AB ⊥平面BCD ，所以AB ⊥CD ，又BC ⊥CD ，所以CD ⊥平面ABC ，因为AB ⊥平面BCD ，AD 与平面BCD 所成的角为30°，故∠ADB=30°，由AB=BC=2，得AD=4，AC =∴BD ==CD ==则11122366A BCD BCD V S AB BC CD AB -=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=V .(2)以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴， 建立空间直角坐标系，则A(0，2，2)，D(，0，0)，C(0，0，0)，B(0，2，0)，，1，0)，22)AD =--u u u r ，，0)CM =u u u u r ，，设异面直线AD 与CM 所成角为θ，则cos 6AD CM AD CM θ⋅===⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r. arccos6θ=. ∴异面直线AD 与CM所成角的大小为18.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且28sin 2cos 272B CA +-＝. (I)求角A 的大小；(II)若b+c=3，求b 和c 的值.解析：(I)在△ABC 中有B+C=π-A ，由条件可得：4[1-cos(B+C)]-4cos 2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A 的值.(II)由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-＝＝及，b+c=3，解方程组求得b 和c 的值. 答案：(I)在△ABC 中有B+C=π-A ，由条件可得：4[1-cos(B+C)]-4cos 2A+2=7， 又∵cos(B+C)=-cosA ，∴4cos 2A-4cosA+1=0.解得cosA ＝12，又A ∈(0，π)，∴3A π＝. (II)由cosA ＝12知222122b c a bc +-＝，即(b+c)2-a 2＝3bc. 又ab+c ＝3，代入得bc ＝2.由312 2b c b bc c ⎧⎧⇒⎨+⎨⎩⎩＝＝＝＝或21b c ⎧⎨⎩＝＝.19.某地要建造一个边长为2(单位：km)的正方形市民休闲公园OABC ，将其中的区域ODC 开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D 的坐标为(1，2)，曲线OD 是函数y=ax2图象的一部分，对边OA 上一点M 在区域OABD 内作一次函数y=kx+b(k ＞0)的图象，与线段DB 交于点N(点N 不与点D 重合)，且线段MN 与曲线OD 有且只有一个公共点P ，四边形MABN 为绿化风景区：(1)求证：28k b =-；(2)设点P 的横坐标为t ，①用t 表示M 、N 两点坐标；②将四边形MABN 的面积S 表示成关于t 的函数S=S(t)，并求S 的最大值.解析：(1)根据函数y=ax 2过点D ，求出解析式y=2x 2；由22y kx b y x⎩+⎧⎨＝＝ 消去y ，利用△=0证明结论成立；(2)①写出点P 的坐标(t ，2t 2)，代入直线MN 的方程，用t 表示出直线方程， 利用直线方程求出M 、N 的坐标；②将四边形MABN 的面积S 表示成关于t 的函数S(t)， 利用基本不等式即可求出S 的最大值.答案：(1)证明：函数y=ax 2过点D(1，2)， 代入计算得a=2，∴y=2x 2；由22y kx b y x⎩+⎧⎨＝＝，消去y 得2x 2-kx-b=0， 由线段MN 与曲线OD 有且只有一个公共点P ，得△=(-k)2-4×2×b=0，解得28k b =-；(2)解：设点P 的横坐标为t ，则0＜t ＜1，∴点P(t ，2t 2)；①直线MN 的方程为y=kx+b ，即28k y kx =-过点P ，∴2228k kt t -=， 解得k=4t ；y=4tx-2t 2令y=0，解得x=2t ，∴M(2t，0)； 令y=2，解得122t x t =+，∴N(122t t+，2)；②将四边形MABN 的面积S 表示成关于t 的函数为[111222()4()22]222t t S S t t t t==⨯-⨯⨯++=-+（），其中0＜t ＜1；由122t t +≥=12t t =，即t ==”成立，所以4S ≤-S的最大值是4-20.已知函数()9233xxf x a =-⋅+：(1)若a=1，x ∈[0，1]时，求f(x)的值域； (2)当x ∈[-1，1]时，求f(x)的最小值h(a)；(3)是否存在实数m 、n ，同时满足下列条件：①n ＞m ＞3；②当h(a)的定义域为[m ，n]时，其值域为[m 2，n 2]，若存在，求出m 、n 的值，若不存在，请说明理由.解析：(1)设t=3x ，则φ(t)=t 2-2at+3=(t-a)2+3-a 2，φ(t)的对称轴为t=a ，当a=1时，即可求出f(x)的值域；(2)由函数φ(t)的对称轴为t=a ，分类讨论当a ＜13时，当13≤a ≤3时，当a ＞3时，求出最小值，则h(a)的表达式可求；(3)假设满足题意的m ，n 存在，函数h(a)在(3，+∞)上是减函数，求出h(a)的定义域，值域，然后列出不等式组，求解与已知矛盾，即可得到结论. 答案：(1)∵函数()9233xxf x a =-⋅+，设t=3x，t ∈[1，3]，则φ(t)=t 2-2at+3=(t-a)2+3-a 2，对称轴为t=a.当a=1时，φ(t)=(t-1)2+2在[1，3]递增， ∴φ(t)∈[φ(1)，φ(3)]， ∴函数f(x)的值域是：[2，6]； (Ⅱ)∵函数φ(t)的对称轴为t=a ， 当x ∈[-1，1]时，t ∈[13，3]， 当a ＜13时，min 1282()393ay h a ϕ===-（）； 当13≤a ≤3时，y min =h(a)=φ(a)=3-a 2； 当a ＞3时，y min =h(a)=φ(3)=12-6a.故228219331()3331263aa h a a a a a -=-≤≤-⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，＜，，＞；(Ⅲ)假设满足题意的m ，n 存在，∵n ＞m ＞3，∴h(a)=12-6a ， ∴函数h(a)在(3，+∞)上是减函数.又∵h(a)的定义域为[m ，n]，值域为[m 2，n 2]，则22126126m n n m--⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，两式相减得6(n-m)=(n-m)·(m+n)，又∵n ＞m ＞3，∴m-n ≠0，∴m+n=6，与n ＞m ＞3矛盾. ∴满足题意的m ，n 不存在.21.已知无穷数列{a n }的各项都是正数，其前n 项和为S n ，且满足：a 1=a ，rS n =a n a n+1-1，其中a ≠1，常数r ∈N ；(1)求证：a n+2-a n 是一个定值；(2)若数列{a n }是一个周期数列(存在正整数T ，使得对任意n ∈N*，都有a n+T =a n 成立，则称{a n }为周期数列，T 为它的一个周期，求该数列的最小周期；(3)若数列{a n }是各项均为有理数的等差数列，c n =2·3n-1(n ∈N*)，问：数列{c n }中的所有项是否都是数列{a n }中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例.解析：(1)由rS n =a n a n+1-1，利用迭代法得：ra n+1=a n+1(a n+2-a n )，由此能够证明a n+2-a n 为定值. (2)当n=1时，ra=aa 2-1，故21raa a+=，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项，再由r ＞0和r=0两种情况进行讨论，能够求出该数列的周期. (3)因为数列{a n }是一个有理等差数列，所以12a a r r a +==+⎛⎫ ⎪⎝⎭，化简2a 2-ar-2=0，解得a 是有理数，由此入手进行合理猜想，能够求出S n . 答案：(1)证明：∵rS n =a n a n+1-1，① ∴rS n+1=a n+1a n+2-1，②②-①，得：ra n+1=a n+1(a n+2-a n )， ∵a n ＞0，∴a n+2-a n =r.(2)解：当n=1时，ra=aa 2-1，∴21raa a+=， 根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：a ，r+1a ，a+r ，2r+1a ，a+2r ，3r+1a，…. 当r ＞0时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列， ∴r=0时，数列写出数列的前几项：a ，1a ，a ，1a，…. 所以当a ＞0且a ≠1时，该数列的周期是2，(3)解：因为数列{an}是一个有理等差数列，a+a+r=2(r+1a)， 化简2a 2-ar-2=0，a =是有理数.，是一个完全平方数，则r 2+16=k 2，r ，k 均是非负整数r=0时，a=1，a n =1，S n =n. r ≠0时(k-r)(k+r)=16=2×8=4×4可以分解成8组， 其中只有35r k ⎧⎨⎩＝＝，符合要求， 此时a=2，312n n a +=，()354n n n S +=，∵123n n c -=⋅(n ∈N*)，a n =1时，不符合，舍去.312n n a +=时，若131232n k -+⋅=，则：3k=4×3n-1-1，n=2时，113k =，不是整数， 因此数列{c n }中的所有项不都是数列{a n }中的项.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

2021上海市长宁区⾼三数学⼀模答案2020学年第⼀学期⾼三数学质量检测试卷参考答案与评分标准⼀．填空题（本⼤题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考⽣应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．()1,2- 2．π 3．0 4．3.05．15 6．127．1- 8．[]1,1- 9．1 10．3- 11．19 12．45⼆．选择题(本⼤题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有⼀个正确选项．考⽣应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的⼩⽅格涂⿊．13. B 14. D 15. C 16 . A三、解答题（本⼤题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤．17．（本题满分14分，第1⼩题满分6分，第2⼩题满分8分）解：（1）OP ⊥底⾯OAB由题意⾼h =2r =，所以母线4l = ………………2分圆锥的侧⾯积=S lr 2142221=ππ8= ………………6分（2）取OA 的中点为N ，因为M 为AB 的中点所以//MN OB ，PMN ∠就是直线PM 与直线OB 所成的⾓ ………………2分因为OB OA ⊥，OB OP ⊥，所以OB ⊥平⾯POA ，MN ⊥平⾯POA ，MN PN ⊥ ………………4分在Rt △PNM 中，PN ==112MN OB == …………6分所以PMN ∠即直线PM 与直线OB ………………8分18．（本题满分14分，第1⼩题满分7分，第2⼩题满分7分）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，（1）()1,0F ，得1n = …………2分直线l 的⽅程1x my =+代⼊24y x =得，2440y myx --= 所以124y y m +=，124y y =- …………4分AB ==()2418m =+=所以1m =± …………7分（2）抛物线24y x =的准线⽅程为1x =- …………1分设()31,C y -，由OA 的⽅程为11y y x x =，得13114y y x y =-=- …………4分由（1）知124y y =-，即214y y =-…………6分所以32y y =，BC 平⾏于x 轴 …………7分19．（本题满分14分，第1⼩题满分6分，第2⼩题满分8分）解：（1）连接BD ，由题意ABD ?是等边三⾓形，所以20BD =⼜因为105ADC ∠=，所以45DBC ∠= …………2分在BCD ?中，sin sin BC BD BDC C=∠∠， …………4分得BC=3620≈16（⽶） …………6分（2）设θ=∠ADC ，则3BDC πθ∠=-，23CBD πθ∠=-，在BCD ?中，sin sin sin CD BC BD CBD BDC C ==∠∠∠，所以3BC πθ??=-，23DC πθ??=- …………4分所需板材的长度=40+??? ??-3sin 3340πθ+??? ??-θπ32sin 3340 =θsin 334040+， …………6分答：当2ADC π∠=时，所需板材最长为334040+≈73（⽶）. …………8分20．（本题满分16分，第1⼩题满分4分，第2⼩题满分6分，第3⼩题满分6分）解：（1）当0=a 时，()32f x x x =-，()32f x x x -=-+ 所以()()f x f x =--，()y f x =为奇函数. …………2分当0≠a 时，()11f a =-，()11f a -=+,因为()()11f f -≠±，所以()x f 既不是奇函数也不是偶函数. …………4分（2）原问题可化为122a x x >+在区间??1,21有解，…………1分函数122y x x =+在区间??1,21单调递减, …………3分所以min 52y =, …………4分所以a 的取值范围是5(,)2+∞ …………6分（3）假设存在对称中⼼(),m n ，则()()()3232222222x ax x m x a m x m x n +-+-+---=恒成⽴得()()2232621248442m a x m a x m am m n +-+++-=恒成⽴…………2分所以23262012408442m a m am m am m n +=??+=??+-=?…………4分得3a m =-，322273a a n =+ 所以函数()y f x =有对称中⼼322(,)3273a a a -+ …………6分21．（本题满分18分，第1⼩题满分4分，第2⼩题满分6分，第3⼩题满分8分）解（1）数列{}n a 的通项为n a n =，22a =，33a =， …………2分因为23292a a =不是正整数，所以不是数列{}n a 的项，所以数列{}n a 不是“X 数列”. …………4分（2）数列{}n a 的前n 项和()21n n S n =-∈*N ,所以12n n a -=. …………2分当3n ≥时，取1k m =-，2l m =-， …………4分则221122k l n k n la a a ---===，所以数列{}n a 是“Y 数列”. …………6分（3）证明：记21a q a =，因为数列{}n a 是各项均为正数的递增数列，所以1q >,且当k l >时, 1k la a >. …………1分若k l > ,2k k n k k l l la a a a a a a a ==?>>，则n k l >>.① ………2分因为数列{}n a 是“X 数列”，所以存在i j >,且23i ja a a =，由①知,31i j >>≥，所以2,1i j == 即222311a a a q a ==，即1a ，2a ，3a 成等⽐数列. …………4分因为数列{}n a 是“X 数列”，存在正整数k 、l ()k l >，使得24k l a a a =，由①得，4k l >>,所以3k l ≥>，进⽽22141k l k la a a q a --==，记421n k l =--∈*N . 因为数列{}n a 是“Y 数列”存在正整数m ，使得233312m a a q a a q a ==?=，由1q >，得3m a a >. …………6分若43411n a a q a q =<，再由2314a a q a =<，得423n <<，与4n ∈*N ⽭盾；若341m a a q a >=，则34m a a a <<，与数列{}n a 递增⽭盾，所以341a a q =,即1a ，2a ，3a ，4a 成等⽐数列. …………8分。

长宁区-第一学期高三级质量调研考试 数学试卷 .12考生注意：1．本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分．2．作答前，在试卷与答题纸正面填写学校、班级、考生号、姓名等．3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分． 4．用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B =U 2. 已知1312x -=，则x =3. 在61()x x+的二项展开式中，常数项为 （结果用数值表示）4. 已知向量(3,)a m =r ，(1,2)b =-r，若向量a r ∥b r ，则实数m =5. 若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为6. 已知幂函数()a f x x =的图像过点2(2,)2，则()f x 的定义域为 7. 已知(,)2a ππ∈，且tan 2a =-，则sin()a π-=8. 已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()0()f xg x ≥的解集是9. 如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD 的高度，D 为楼顶，线段AB 的长度为600m ，在A 处测得30DAB ∠=︒，在B 处测得105DBA ∠=︒，且此时看楼顶D 的仰角 30DBC ∠=︒，已知楼底C 和A 、B 在同一水平面上，则此楼高度CD = m（精确到1m ）10. 若甲、乙两位同学随机地从6门课程中选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的 概率为11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n a a ++=，若数列{}n S 收敛于常数A ，则首项1a 取值的集合为12. 已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程123123||||||||||||x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中最多有 个元素二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知x ∈R ，则“0x ≥”是“3x >”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14. 有一批种子，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，下表是 不同发芽天数的种子数的记录：发芽天数 1 2 3 4 5 6 7 8≥种子数82622241242统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（ ） A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 415. 已知向量a r 和b r 夹角为3π，且||2a =r ，||3b =r ，则(2)(2)a b a b -⋅+=r r r r （ ）A. 10-B. 7-C. 4-D. 1- 16. 某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题： 已知函数()y f x =的定义域为D ，12,x x D ∈，① 若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数； ② 若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数. 下列判断正确的是（ ）A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ①和②都是假命题D. ①是假命题，②是真命题三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 求下列不等式的解集： （1）|23|5x -<； （2）442120x x -⋅->18. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四 个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢 结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD . （1）已知4AD CD m ==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15︒，求立柱PD 的长； （精确到0.01m ）（2）求证：四面体PDBC 为鳖臑.19. 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，复数1i z a b =+，2cos icos z A B =+，（其中i 是虚数单位），且123i z z ⋅=.（1）求证：cos cos a B b A c +=，并求边长c 的值； （2）判断△ABC 的形状，并求当3b =时，角A 的大小.20. 已知函数2()1f x x mx =-++，()2sin()6g x x πω=+.（1）若函数()2y f x x =+为偶函数，求实数m 的值；（2）若0ω>，2()()3g x g π≤，且函数()g x 在[0,]2π上是单调函数，求实数ω的值； （3）若1ω=，若当1[1,2]x ∈时，总有2[0,]x π∈，使得21()()g x f x =，求实数m 的取值 范围.21. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2a a =. （1）若数列{}n a 是等差数列，且815a =，求实数a 的值；（2）若数列{}n a 满足22n n a a +-=（n *∈N ），且191019S a =，求证：{}n a 是等差数列；（3）设数列{}n a 是等比数列，试探究当正实数a 满足什么条件时，数列{}n a 具有如下性质M ：对于任意的2n ≥（n *∈N ），都存在m *∈N ，使得1()()0m n m n S a S a +--<，写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数a 的集合.长宁区-第一学期高三级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．}6,4,3,2,1{ 2．1 3．20 4．6-5．π33 6．),0(+∞ 7．552 8．)2,1[ 9．212 10．209 11．⎭⎬⎫⎩⎨⎧31 12．3二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．B 14．B 15．D 16．C三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由5|32|<-x 得 5325<-<-x ，……………………4分 解得 41<<-x ．所以原不等式的解集是 )4,1(-．…………………………………6分 （2）原不等式可化为()()22260x x +->， ……………………4分 因为220x+>，所以62>x， ……………………………………5分 解得 6log 2>x ． ………………………………………7分所以原不等式的解集是()2log 6,+∞． ……………………………8分 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）解：因为侧棱⊥PD 底面ABCD ，则侧棱PB 在底面ABCD 上的射影是DB ，所以PBD ∠就是侧棱PB 与底面ABCD 所成的角，即︒=∠15PBD ．……2分 在PDB ∆中，)(24,9022m CD AD DB PDB =+=︒=∠， ………3分由DB PDPBD =∠tan 得 2415tan PD =︒，解得 )(52.1m PD =． ………5分 所以立柱PD 的长约为 m 52.1． ………………………………6分（2）由题意知底面ABCD 是长方形，所以BCD ∆是直角三角形． ………………………2分 因为侧棱⊥PD 底面ABCD ， 得BC PD DB PD DC PD ⊥⊥⊥,,，所以PDC ∆、PDB ∆是直角三角形． …………………………4分因为DC BC ⊥，PD BC ⊥，又D DC PD =I ，PD DC ,≠⊂平面PDC ， 所以⊥BC 平面PDC ． …………………………………………6分 又因为PC ≠⊂平面PDC ，所以PC BC ⊥，所以PBC ∆ 为直角三角形． …………………………………7分 由鳖臑的定义知，四面体PDBC 为鳖臑． ………………………8分 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）证明：由余弦定理得 bc a c b A ac b c a B 2cos ,2cos 222222-+=-+=，则 bca cb b ac b c a a A b B a 22cos cos 222222-+⋅+-+⋅=+ca cbc b c a 22222222-++-+=c = 所以 c A b B a =+cos cos ． ……………………………3分 由题意得 (i)(cos icos )3i a b A B +⋅+=， 即 3i )i cos cos ()cos -cos (=++A b B a B b A a ，由复数相等的定义可得0cos -cos =B b A a ，且3cos cos =+A b B a ，………………………5分 即 3=c ． ………………………………………………6分（2）由（1）得 0cos -cos =B b A a ． ………………………1分 由正弦定理得 0cos sin cos sin =⋅-⋅B B A A ，即 B A 2sin 2sin =． ……………………………………………………2分 因为 ),0(π∈A 、),0(π∈B ， 所以 B A 22= 或 π=+B A 22， 即 B A =或2π=+B A ，即B A =或2π=C ．所以 ABC ∆知等腰三角形或直角三角形．………………………………4分当B A =时，32cos 2cA b == ，所以6A π=； ……………………6分当2π=C 时，3sin 3b A c ==，所以3arcsin 3A = ． ……………8分20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）设()()2h x f x x =+，则()()221h x x m x =-+++ 由于()h x 是偶函数，所以对任意R ∈x ，()()h x h x -=成立．……2分 即 1)2(1))(2()(22+++-=+-++--x m x x m x 恒成立． 即 0)2(2=+x m 恒成立， …………………………………3分 所以 02=+m ，解得 2-=m ．所以所求实数m 的值是 2-=m ． …………………………………4分 （2）由()2()3g x g π≤， 得22,362k k Z πππωπ⋅+=+∈ ，即132k ω=+()k Z ∈ ………2分 当[0,]2x π∈时，[,]6626x ππωππω+∈+()0ω>，因为sin y x =在区间[,]62ππ的单调递增， 所以262ωπππ+≤，再由题设得203ω<< …………………………5分所以12ω=． ……………………………………6分（3）设函数()f x 在[]1,2上的值域为A ，()g x 在[]0,π上的值域为B ， 由题意和子集的定义，得A B ⊆．………………………………………2分 当],0[π∈x 时，]67,6[6πππ∈+x ，]2,1[)(-∈x g ． ………………3分 所以当[]1,2x ∈时，不等式2112x mx -≤-++≤恒成立，由[]1,1,2m x x x ≤+∈恒成立，得2m ≤， 由[]2,1,2m x x x≥-∈恒成立，得1m ≥，综上，实数m 的取值范围为[]1,2 ． ………………6分 其它做法，对应给分。

2020年上海市长宁区、嘉定区高考一模数学一、填空题1.已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A ∩B=_____. 解析：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}， ∴A ∩B={2，4}. 答案：{2，4}2.不等式1x x ≤+的解集为_____.解析：∵01x x ≤+，∴010x x ≤⎧⎨+⎩＞或010x x ≥⎧⎨+⎩＜， 解得：﹣1＜x ≤0， 答案：(﹣1，0]3.已知4sin 5α＝，则()cos 2πα+=_____.解析：∵sinα=45， ∴cos(2π+α)=﹣sinα=﹣45.答案：﹣454.131lim 31nn n +→∞-+=_____. 解析：()()1113311lim lim331133n nn nn n +→∞→∞--==++，∴1311lim 331n n n +→∞-=+.答案：135.已知球的表面积为16π，则该球的体积为_____. 解析：一个球的表面积是16π，所以球的半径为：2， 所以这个球的体积为：3432233ππ⨯=.答案：323π6.已知函数f(x)=1+log a x ，y=f ﹣1(x)是函数y=f(x)的反函数，若y=f ﹣1(x)的图象过点(2，4)，则a 的值为_____.解析：∵y=f ﹣1(x)的图象过点(2，4)， ∴函数y=f(x)的图象过点(4，2)，又f(x)=1+log a x ， ∴2=1+log a 4，即a=4. 答案：47.若数列{a n }为等比数列，且a 5=3，则2738a a a a -=_____.解析：根据题意，2738a a a a -=a 2·a 8﹣a 3·(﹣a 7)=a 2·a 8+a 3·a 7，又由数列{a n }为等比数列，且a 5=3， 则有a 2·a 8=a 3·a 7=9， 则2738a a a a -=9+9=18；答案：188.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a+b+c)(a ﹣b+c)=ac ，则B=_____. 解析：△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∵(a+b+c)(a ﹣b+c)=ac ，即a 2+c 2﹣b 2=﹣ac ，又2221cos 22a cb B ac +-==-，∴B=23π.答案：23π9.若()12nx x+的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为_____.解析：由题意可知，2n=256，解得n=8.∴()()8112=2n x x x x ++，其展开式的通项()()8882188122rr r r rr r T C x C x x---+⋅⋅=⋅⋅＝，令8﹣2r=0，得r=4.∴该展开式中常数项的值为445821120T C ⋅＝＝.答案：112010.已知函数f(x)是定义在R 上且周期为4的偶函数，当x ∈[2，4]时，()()43log 2f x x -＝，则()12f 的值为_____.解析：∵函数f(x)是定义在R 上且周期为4的偶函数， ∴()()()()111742222f f f f -==-=，又当x ∈[2，4]时，()()43log 2f x x -＝，∴()()()44lg 2lg 217731log log 22222lg 42lg 22f f ==-=＝＝＝.答案：1211.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，2S n =a n ·a n+1(n ∈N *).若()1211nn n n n b a a ++=-⋅，则数列{b n }的前n 项和T n =_____.解析：∵2S n =a n ·a n+1(n ∈N *). 当n ≥2时，2S n ﹣1=a n ﹣1·a n ， ∴2a n =2S n ﹣2S n ﹣1=a n (a n+1﹣a n ﹣1)， ∵a 1=1， ∴a n ≠0∴a n+1﹣a n ﹣1=2，∴(a n+1﹣a n )+(a n ﹣a n ﹣1)=2， ∴a n ﹣a n ﹣1=1，∴数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n =1+(n ﹣1)=n ， ∴()()()()()121211111111n n nnn n n n b a a n n n n +++=-=-=-⋅+⋅++，数列{b n }的前n 项和()()()()()111111111223341nn T nn =+++-⋅++-+⋯++﹣，当n 为偶数时，11n T n =+-1+， 当n 为奇数时，()1111111n T nnn n =-+=--++-1+，综上所述()11nn T n -=+-1+，答案：()11nn -+-1+12.若不等式x 2﹣2y 2≤cx(y ﹣x)对任意满足x ＞y ＞0的实数x 、y 恒成立，则实数c 的最大值为_____.解析：∵不等式x 2﹣2y 2≤cx(y ﹣x)对任意满足x ＞y ＞0的实数x 、y 恒成立，∴2222222x y x y c xy x x x y y ⎛⎫ --⎪⎝⎭⎛⎫=⎝--⎪⎭≤， 令1x t y=＞， ∴()222t c f t t t -≤=-， ()()(()222222242t t t t f t t t t t --+-+'==--，当t＞2(t)＞0，函数f(t)单调递增；当1＜t＜2(t)＜0，函数f(t)单调递减.∴当t=2f(t)取得最小值，(24f +＝.∴实数c的最大值为4.答案：4二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13.设角α的始边为x轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件解析：∵角α的始边为x轴正半轴，∴“α的终边在第一、二象限”⇒“sinα＞0”，“sinα＞0”⇒“α的终边在第一、二象限或α的终边在x轴正半轴”，∴“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的充分非必要条件.答案：A14.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交解析：A.l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B.l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C.l可以和l1，l2都相交，如下图：∴该选项错误；D.“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确.答案：D15.对任意两个非零的平面向量αu r和βu r，定义||||cos ααβθβ⊗u r u ru r u r ＝，其中θ为αu r和βu r 的夹角，若两个非零的平面向量a r 和b r 满足：①||||a b ≥r r ；②a r 和b r 的夹角()04πθ∈，；③a b ⊗r r 和b a ⊗r r 的值都在集合{}2|n x x n N ∈＝，中，则a b ⊗r r 的值为( )A.52 B.32C.1D.12解析：∵|||||||cos c 2|os 2a b a b b a b n m a θθ⊗=⊗==r rr r r r r r ＝，，m ∈N ，由αu r 与βu r 的夹角θ∈(0，4π)，知2cos 4mn θ=∈(12，1)，故mn=3，m ，n ∈N ，∵||||a b ≥r r ，∴012b ma ⊗=r r ＜＜，∴m=1，n=3，∴32a b ⊗r r ＝， 答案：B16.已知函数()120212212x x f x x x ⎧≤≤⎪⎨⎪-≤⎩，＝，＜，且f 1(x)=f(x)，f n (x)=f(f n ﹣1(x))，n=1，2，3，….则满足方程f n (x)=x 的根的个数为( )A.2n 个B.2n 2个 C.2n个D.2(2n﹣1)个解析：当x ∈[0，12]时，f 1(x)=f(x)=2x=x ，解得x=0； 当x ∈(12，1]时，f 1(x)=f(x)=2﹣2x=x ，解得x=23，∴f 的1阶根的个数是2. 当x ∈[0，14]时，f 1(x)=f(x)=2x ，f 2(x)=4x=x ，解得x=0； 当x ∈(14，12]时，f 1(x)=f(x)=2x ，f 2(x)=2﹣4x=x ，解得x=25； 当x ∈(12，34]时，f 1(x)=2﹣2x ，f 2(x)=﹣2+4x=x ，解得x=23；当x ∈(34，1]时，f 1(x)=2﹣2x ，f 2(x)=4﹣4x=x ，解得x=45. ∴f 的2阶根的个数是22.依此类推∴f 的n 阶根的个数是2n. 答案：C三.解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分) 17.如图，设长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=3，AA 1=4. (1)求四棱锥A 1﹣ABCD 的体积；(2)求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)解析：(1)A 1到平面ABCD 的距离d=AA 1=4，S 正方体ABCD =AB ×BC=9，由此能求出四棱锥A 1﹣ABCD 的体积.(2)由A 1B ∥D 1C ，知∠D 1CB 1是异面直线A 1B 与B 1C 所成角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线A 1B 与B 1C 所成角.答案：(1)∵A 1到平面ABCD 的距离d=AA 1=4，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=3， ∴S 正方体ABCD =AB ×BC=3×3=9， ∴四棱锥A 1﹣ABCD 的体积111491233ABCD V AA S =⨯⨯=⨯⨯正方体＝. (2)∵A 1B ∥D 1C ，∴∠D 1CB 1是异面直线A 1B 与B 1C 所成角(或所成角的补角)，∵11B D =B 1C=D 1=5，∴2221111111125251816cos 225525B C D C B D D CB B C D C +-+-∠===⨯⨯⨯⨯， ∴∠D 1CB 1=arccos 1625.∴异面直线A 1B 与B 1C 所成角为arccos 1625.18.已知复数z满足z =z 2的虚部为2.(1)求复数z ；(2)设z 、z 2、z ﹣z 2在复平面上的对应点分别为A 、B 、C ，求△ABC 的面积.解析：(1)设z=a+bi(a ，b ∈R)，由已知列关于a ，b 的方程组，求解可得复数z ； (2)分类求得A 、B 、C 的坐标，再由三角形面积公式求解. 答案：(1)设z=a+bi(a ，b ∈R)，由已知可得：22ab ⎪⎩＝2221a b ab =⎩+⎧⎨＝，解得11a b ⎧⎨⎩＝＝或11a b ⎧⎨⎩＝-＝-. ∴z=1+i 或z=﹣1﹣i ；(2)当z=1+i 时，z 2=2i ，z ﹣z 2=1﹣i ， ∴A(1，1)，B(0，2)，C(1，﹣1)， 故△ABC 的面积S=12×2×1=1； 当z=﹣1﹣i 时，z 2=2i ，z ﹣z 2=﹣1﹣3i ， ∴A(﹣1，﹣1)，B(0，2)，C(﹣1，﹣3)， 故△ABC 的面积S=12×2×1=1. ∴△ABC 的面积为1.19.一根长为L 的铁棒AB 欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m. (1)设∠BOD=θ，试将L 表示为θ的函数； (2)求L 的最小值，并说明此最小值的实际意义.解析：(1)利用直角三角形中的边角关系，求得L 的解析式.(2)求导，分析导函数的符号，进而可得L 的最值，进而得到最值的含义. 答案：(1)∵走廊的宽AC=BD=2m. ∠BOD=∠BAC=θ，∴22sin cos L θθ+＝；(2)∵22sin cos L θθ+＝∴222cos 2sin sin cos L θθθθ-'+＝.∵θ∈(0，4π)，L′＜0，L 为减函数； θ∈(,42ππ)，L′＞0，L 为增函数； ∴θ=4π时，L取最小值该最小值表示：超过.20.已知函数f(x)=2x +2﹣x.(1)求证：函数f(x)是偶函数；(2)设a ∈R ，求关于x 的函数y=22x +2﹣2x﹣2af(x)在x ∈[0，+∞)时的值域g(a)表达式；(3)若关于x 的不等式mf(x)≤2﹣x+m ﹣1在x ∈(0，+∞)时恒成立，求实数m 的取值范围. 解析：(1)利用奇偶性的定义，可得函数f(x)是偶函数；(2)令t=f(x)=2x +2﹣x .则t ≥2，22x +2﹣2x =t 2﹣2，y=22x +2﹣2x ﹣2af(x)=t 2﹣2at ﹣2，结合二次函数的性质分类讨论，可得不同情况下，函数的值域；(3)若关于x 的不等式mf(x)≤2﹣x +m ﹣1在x ∈(0，+∞)时恒成立，即21221xxxm ---≤+-在x ∈(0，+∞)时恒成立，求出21221xx x ---+-的最小值，可得答案. 答案：(1)∵函数f(x)=2x +2﹣x的定义域关于原点对称，且f(﹣x)=2﹣x +2x =2x +2﹣x=f(x)， 故函数f(x)是偶函数；(2)令t=f(x)=2x +2﹣x.则t ≥2，22x +2﹣2x =t 2﹣2 y=22x +2﹣2x ﹣2af(x)=t 2﹣2at ﹣2，当a ≤2时，当t=2时，函数取最小值2﹣4a ，无最大值； 此时函数的值域为[2﹣4a ，+∞)，a ＞2时，当t=a 时，函数取最小值﹣a 2﹣2，无最大值；此时值域为[﹣a 2﹣2，+∞)；(3)若关于x 的不等式mf(x)≤2﹣x+m ﹣1在x ∈(0，+∞)时恒成立即m(2x +2﹣x )≤2﹣x+m ﹣1在x ∈(0，+∞)时恒成立即()2212111221221221x x x x x x x x m ------≤=-=-+-+--+在x ∈(0，+∞)时恒成立当x=1时，2﹣x=12，此时(2﹣x )2﹣2﹣x+1取最小值34， 故()21221xx---+取最大值43， 故()211221xx ----+取最小值13-故13m ≤-.21.已知数列{a n }满足：a 1=1，11n a +，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且满足212211683n n n n S S n n a a +++--＝，试确定b 1的值，使得数列{b n }为等差数列；(3)将数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的部分项按原来顺序构成新数列{c n }，且c 1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{c n }.解析：(1)由a 1=1，两边平方化简可得22111n n a a +-=4，则数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以4为公差的等差数列，根据等差数列的通项公式即可求得21n a ，即可求得数列{a n }的通项公式；(2)由(1)可得化简整理14143n n S S n n +-+-=1，得利用等差数列的通项公式可得：43nS n -=b 1+n ﹣1，即S n =(b 1+n ﹣1)(4n ﹣3)，当n ≥2时，b n =S n ﹣S n ﹣1，化为b n =4b 1+8n ﹣11，取n=1即可得出；(3)解法1：令等比数列{c n }的公比q=4m (m ∈N *)，则c n =c 1q n ﹣1=5×4m(n ﹣1)，设k=m(n ﹣1)，可得5×4m(n ﹣1)=3[5(1+4+42+…+4k ﹣1)+2]﹣1，….因为5(1+4+42+…+4k ﹣1)+2为正整数，可得数列{c n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，进而证明结论. 解法2：设c 2=4k 2﹣3(k 2≥3)，所以公比q=2435k -，由等比数列{c n }的各项为整数，则q 为整数，取q=4m+1，故c n =5·(4m+1)n ﹣1，利用等差数列定义可得k n 是正整数，因此以数列{c n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，即可证明. 答案：(1)11n a +，则22111n n a a +-=4，n ∈N * ∴数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以4为公差的等差数列，则21n a =1+4(n ﹣1)=4n ﹣3，∴n a =，∴数列{a n }的通项公式n a =； (2)由(1)可得n a =， ∵212211683n n n n S S n n a a +++--＝，∴(4n ﹣3)S n+1=(4n+1)S n +16n 2﹣8n ﹣3， ∴14143n n S Sn n +-+-=1， ∴数列43n S n ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为S 1，公差为1.∴43nS n -=b 1+n ﹣1， ∴S n =(b 1+n ﹣1)(4n ﹣3)，当n ≥2时，b n =S n ﹣S n ﹣1=(b 1+n ﹣1)(4n ﹣3)﹣(b 1+n ﹣2)(4n ﹣7)，化为b n =4b 1+8n ﹣11， 若数列{b n }为等差数列，则上式对于n=1时也成立， ∴b 1=4b 1﹣3，解得b 1=1.∴b n =8n ﹣7为等差数列. ∴b 1=1，数列{b n }为等差数列； (3)证明：由(1)可得21n a =4n ﹣3.解法1：令等比数列{c n }的公比q=4m(m ∈N *)，则c n =c 1qn ﹣1=5×4m(n ﹣1)，设k=m(n ﹣1)，因为1+4+42+…+4k ﹣1=413k -，所以5×4m(n ﹣1)=5×[3(1+4+42+…+4k ﹣1)+1]，=3[5(1+4+42+…+4k ﹣1)+2]﹣1，因为5(1+4+42+…+4k ﹣1)+2为正整数，所以数列{c n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m (m ∈N *)有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列{c n }有无数个.解法2：设c 2=4k 2﹣3(k 2≥3)，所以公比q=2435k . 因为等比数列{b n }的各项为整数，所以q 为整数，取k 2=5m+2(m ∈N*)，则q=4m+1，故c n =5·(4m+1)n ﹣1， 由4k n ﹣3=5·(4m+1)n ﹣1得，k n =14[5(4m+1)n ﹣1+3](n ∈N*)， 而当n ≥2时，k n ﹣k n ﹣1=54[(4m+1)n ﹣1﹣(4m+1)n ﹣2]=5m(4m+1)n ﹣2， 即k n =k n ﹣1+5m(4m+1)n ﹣2，又因为k 1=2，5m(4m+1)n ﹣2都是正整数，所以k n 也都是正整数， 所以数列{c n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m+1(m ∈N *)有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故无穷等比数列{c n }有无数个.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

2020学年第二学期高三数学教学质量检测试卷考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 设集合()1,3A =-，[)0,4B =，则AB = . 2. 复数z 满足11iz =+（i 为虚数单位），则z = . 3. 已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的标准差是 .4. 若向量()1,0,1a =，()0,1,1b =-，则向量a 与b 的夹角为__________．5. 若实数x y 、满足002x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为 .6. 函数()sin 2111x f x =的最小正周期为__________． 7. 在公差不为零的等差数列{}n a 中，3a 是1a 与9a 的等比中项，则1299a a a a ++⋯+= ． 8. 在二项式()51x +的展开式中任取两项，则所取两项中至少有一项的系数为偶数的概率是 .9. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1n n a S +=，则12111lim ()n na a a →+∞++⋅⋅⋅+= . 10. 定义域为R 的奇函数()y f x =，在(],0-∞上单调递减. 设()()g x xf x =，若对于任意[]1,2x ∈，都有()()2g x g ax +≤，则实数a 的取值范围为 .11. 设12F F 、分别为椭圆22:13x y Γ+=的左、右焦点，点A B 、在椭圆Γ上，且不是椭圆的顶点. 若120F A F B λ+=，且0λ>，则实数λ的值为 ．12. 在ABC ∆中，2AC =，211tan tan A B+=，若ABC ∆的面积为2，则AB = .二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 设()f x x α=（11{2,1,,,1,2}32α∈--），则“()y f x =图像经过点()1,1-”是“()y f x =是偶函数”的（ ）.A. 充分非必要条件；B. 必要非充分条件 ；C. 充要条件；D. 既非充分又非必要条件.14. 直线的参数方程是()122x t t y t =+⎧∈⎨=-⎩R ，则l 的方向向量d 可以是（ ）. A ．(1,2)； B ．(2,1)-； C ．(2,1)； D ．(1,2)-.15. 设正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，高为2，平面α经过顶点A ，且与棱AB 、AD 、1AA 所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面α共有（ ）个.A ．1；B ．2；C ．3；D ．4.16. 已知函数()y f x =与()y g x =满足：对任意12,x x ∈R ，都有()()()()1212f x f x g x g x -≥-.命题p ：若()y f x =是增函数，则()()y f x g x =-不是减函数；命题q ：若()y f x =有最大值和最小值，则()y g x =也有最大值和最小值.则下列判断正确的是（ ）.A. p 和q 都是真命题B. p 和q 都是假命题C. p 是真命题，q 是假命题D. p 是假命题，q 是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，1AA 是圆柱的一条母线，AB 是圆柱的底面直径，C 在圆柱下底面圆周上，M 是线段1AC 的中点. 已知14AA AC ==，3BC =.（1）求圆柱的侧面积；（2）求证：BC AM ⊥18．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）设()sin 2cos(2)6f x x x π=++([0,])2x π∈. （1）若3sin 5x =，求()f x 的值； （2）设02πϕ<<，若方程()12f x ϕ-=有两个解，求ϕ的取值范围.19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某种生物身体的长度()f x （单位：米）与其生长年限x （单位：年）大致关系如下： ()4101x f x t-=+（其中0.5t e -=（e 为自然对数的底2.71828…），该生物出生时0x =）. （1）求需要经过多少年，该生物身长才能超过8米（精确到0.1）；（2）该生物出生x 年后的一年里身长生长量()g x 可以表示为()()()1g x f x f x =+-，求()g x 的最大值（精确到0.01）.20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 设双曲线22:13x y Γ-=的上焦点为F ，M 、N 是双曲线Γ上的两个不同的点． （1）求双曲线Γ的渐近线方程；（2）若2FM =，求点M 纵坐标的值；（3）设直线MN 与y 轴交于点()0,Q q ，M 关于y 轴的对称点为`M . 若`M 、F 、N 三点共线，求证：q 为定值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）数列{}n a 满足：11a =，n a ∈*N ，且对任意n ∈*N ，都有1n n a a +<，2124n n n a a a -+=. （1）求2a ，3a ，4a ；（2）设1n n n d a a +=-，求证：对任意*n ∈N ，都有1n d ≠；（3）求数列{}n a 的通项公式n a .。

2020年上海市长宁（金山）区高三一模数学试卷（含答案）（精校Word 版）考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}2,4,6,8B =，则AB =_______.2. 方程23x=的解为_______. 3．行列式2112-的值为_______．4. 计算2lim1n nn →∞=+_______.5．若圆锥的侧面面积为π2，底面面积为π，则该圆锥的母线长为_______.6. 已知向量1(2AB =，31()2AC =，则BAC ∠=_______. 7. 2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有_______种．8. 已知点()2,y -在角α终边上，且()tan πα-=sin α=_______.9. 近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯．某企业为了解该企业员工A 、B 两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况.发现样本中A ，B 两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了A 、B 两种方式支付的员工，支付金额和相应人数方式都使用过的概率为_______.10. 已知非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()//a b c +，()//b a c +，设c xa yb =+，,x y ∈R ，则2x y +=_______.11. 已知数列{}n a 满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅（*n ∈N ），记数列{}n a 的前n 项和为n S .若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M 、最小值为m ，则M m +=_______.12. 已知函数()1f x x a x=++，若对任意实数a ，关于x 的不等式()f x m ≥在区间1[,3]2上总有解，则实数m 的取值范围为_______. 二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．已知R ∈x ，则“0x > ”是“1x > ”的 （ ）.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 14. 下列函数中，值域为()0,+∞的是（ ）.A.2xy = B.12y x = C.ln y x = D.cos y x =15. 已知正方体1111ABCD A B C D -,点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11A D 为b .对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都相交；②过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都成45角.以下判断正确的是（ ）. A.①为真命题，②为真命题； B.①为真命题，②为假命题；C.①为假命题，②为真命题；D.①为假命题，②为假命题.16. 某港口某天0时至24时的水深y （米）随时间x （时）变化曲线近似满足如下函数模型：0.5sin() 3.24(06)y x πωπω=++>.若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（ ）. A ．16时 B ．17时 C ．18时 D ．19时三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，底面为矩形的直棱柱1111ABCD A B C D -满足：14AA =，3AD =，2CD =.（1）求直线1A C 与平面11AA D D 所成的角θ的大小； （2）设M 、N 分别为棱1BB 、CD 上的动点，AD1A1B1C1DMNDB 1求证：三棱锥1N A AM -的体积V 为定值，并求出该值. 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112i z =+，234i z =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅；（2）设1i z a b =+，2i z c d =+（,,,a b c d ∈R ），求证：2121OZ OZ z z ⋅≤⋅，并指出向量1OZ 、2OZ 满足什么条件时该不等式取等号.19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，某城市有一矩形街心广场ABCD ，如图. 其中4AB =百米，3BC =百米.现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN 种植荷花，其中点M 在BC 边上，点N 在AB 边上，要求4MDN π∠=．（1）若2AN CM ==百米，判断DMN ∆是否符合要求，并说明理由；（2）设CDM θ∠=,写出DMN ∆面积的S 关于θ的表达式,并求S 的最小值．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知数列{}n a 各项均为正数，n S 为其前n 项的和，且2,,n n n a S a (*N n ∈)成等差数列.（1）写出1a 、2a 、3a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式n a ； （2）证明（1）中的猜想；（3）设()10n n b ta t =->，n T 为数列{}n b 的前n 项和.若对于任意*n N ∈,都有{}*n m T b m N ∈∈, 求实数t 的值.AB CDMN21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数()||f x x x a =-，其中a 为常数. （1）当1a =时，解不等式()2f x <；（2）已知()g x 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有()()g x f x =. 若0a <，且35()24g =，求函数()[]()1,2y g x x =∈的反函数； （3）若在[0,2]上存在n 个不同的点(1,2,,.3)i x i n n =≥，12n x x x <<<，使得()()()()()()122318n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=，求实数a 的取值范围.参考答案与评分标准一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．{2,4} 2．2log 3x = 3．5 4．25．2 6．6π7．72 8．39．31010．3- 11．1078 12．2(,]3-∞二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．B 14．A 15．B 16．D三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由直棱柱知1A A ABCD ⊥，所以1A A CD ⊥又因为AD CD ⊥，所以直线CD ⊥平面11A ADD ， ……………2分所以1CA D ∠即直线1A C 与平面11AA D D 的所成角θ ……………4分 由题意15A D =，2CD =，所以2tan 5θ=所以直线1A C 与平面11AA D D 的所成角2arctan5θ=． ……………6分 （2）记点N 到平面1A AM 的距离为d ，三角形1A AM 的面积为1A AM S ∆，则1113N A AM A AM V V d S -∆==⋅⋅， ………………3分由已知3d =，14A AM S ∆=， ………………6分 所以4V =为定值. ………………8分 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+ ……………3分()11,2OZ =，()23,4OZ =-所以125OZ OZ ⋅=- ……………6分 证明（2）()1,OZ a b =，()2,OZ c d =-12OZ OZ ab cd ⋅=+，()2212OZ OZ ab cd ⋅=+ ……………3分 ()()22212z z ac bd ad bc ⋅=-+-()22212120z z OZ OZ ab cd ⋅-⋅=-≥所以 1212OZ OZ z z ⋅≤⋅ ……………6分 当ab cd =时取“=”，此时12//OZ OZ . ……………8分 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意MN =，DN =DN =， …………3分所以cos2MDN ∠==≠ 所以4MDN π∠≠，DMN ∆不符合要求 ……………6分（2）CDM θ∠=，=4ADN πθ∠-，所以3cos DM θ=，4cos()4DN πθ=-1sin 24cos cos()4S DN DM ππθθ=⋅⋅=-， …………3分()cos cos()cos sin 42πθθθθθ-=+)11sin 2cos 21sin(2)242πθθθ=++=+≤所以)121S ≥，S的最小值为)121. …………8分20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）（1）解：由已知22n nn a a S +=， …………1分所以11a =，22a =，33a =， …………3分 猜想n a n = …………4分证明（2）当2n ≥时，22n n n a a S +=，21112n n n a a S ---+=所以2211122n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=- 得()()1110n n n n a a a a --+--=， …………3分因为()*0n a n >∈N ，所以11n n a a --=数列{}n a 为等差数列，又由（1）11a =，22a =所以()*n a n n =∈N …………6分 （3）解：由（2）知1m b mt =-，()12n n n T t n +=-. 若m n b T =，则()112n n n m t+-=-，因为,m n 都是整数，所以对于任意*n N ∈，1n t -都是整数，进而1t是整数 所以1,t k Z k=∈，此时()()112n n m k n +=--， ………2分 设2m b T =，则30m k =->，所以1k =或2 ………4分 ①当1k =时，对于任意*n N ∈，()*112n n m N -=+∈ ②当2k =时，对于任意*n N ∈，()*322n n m N -=+∈ 所以实数t 取值的集合为1{,1}2………6分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1）解不等式12x x -<当1x ≥时，220x x --<，所以12x ≤< 当1x <时，220x x -+>，所以1x <，综上，该不等式的解集为(),2-∞ ………4分（每行1分） （2）当01x ≤≤时，()g x x x a =-， 因为()g x 是以2为周期的偶函数， 所以31111()()()22222g g g a =-==-， 由35()24g =，且0a <，得2a =-， ………2分 所以当01x ≤≤时，()(2)g x x x =+ 所以当12x ≤≤时，()()()()()[]2240,3g x g x g x x x =-=-=--∈ ………4分所以函数()[]()1,2y g x x =∈的反函数为[])30,3y x =∈ ………6分（3）①当0a ≤时，在[]0,2上()()f x x x a =-，是[]0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+⋅⋅⋅+-=-≤所以()()2228f a =-≥，得2a ≤-； ………2分 ②当4a ≥时，在[]0,2上()()f x x a x =-，是[]0,2上的增函数，所以()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+⋅⋅⋅+-=-≤所以()()2228f a =-≥，得6a ≥； ………4分 ③当04a <<时，()f x 在[]0,2上不单调，所以()()()()()()()12231max 2n n f x f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-≤2()424a a f =<，()2224f a =-<， 在[]0,2上，()()max max{(),2}42af x f f =<.()()()()()()()12231max 28n n f x f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-≤<，不满足.综上，a 的取值范围为(][),26,-∞-+∞. ………8分③当42<≤a 时，则221<≤a ，所以)(x f 在]2,0[a 上单调递增，在]2,2[a上单调递减， 于是)()()()()()(13221n n x f x f x f x f x f x f -+⋅⋅⋅+-+--242)0()2(2)(222max a a f a f x f =⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-=≤ 令 822≥a ，解得 4-≤a 或4≥a ，不符合题意； ④当20<<a 时，)(x f 分别在]2,0[a 、]2,[a 上单调递增，在],2[a a上单调递减，)()()()()()(13221n n x f x f x f x f x f x f -+⋅⋅⋅+-+--()422)2(242)2()2(2)()2()0()2(222+-=-+⨯=+=-+⎪⎭⎫⎝⎛-≤a a a a f a f a f f f a f 令84222≥+-a a ，解得322-≤a 或322+≥a ，不符合题意． 综上，所求实数a 的取值范围为(][),26,-∞-+∞.。

【数学】上海市长宁区嘉定区2021届高三上学期质量调研(一模)数【数学】上海市长宁区、嘉定区2021届高三上学期质量调研(一模)数2022-2022学年长宁区和嘉定区高三第一次质量调查数学试卷一、填空（本专业共有12道题，满分54分，1-6题4分，7-12题5分）。

考生应直接在答题纸的相应位置填写结果1．已知集合a?{1,2,3,4}，b?{2,4,5}，则a?b?______________.2．不等式十、0的解集是______x？14，那是因为52？？3.已知的罪？？3n？1?_____________. 4.limn？1n？？3.15.已知球的表面积为16？，那么球的体积是6。

已知函数f（x）？1.洛格克斯，y？F1（x）是函数y吗？F（x）的反函数，如果y？F图1（x）像过点(2,4)，则a的值为_____________.7.如果序列{an}是等比序列，A5？3.那么a2a3?a7a8?__________.8.在△ ABC，角度a、B和C的对边分别是a、B和C，如果（a？B？C）（a？B？C）？AC，然后是B_____1??9．若?2x??的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的十、价值是_____10．已知函数f(x)是定义在r上且周期为4的偶函数．当x?[2,4]时，n3？？1.f（x）？log4？十、那么f？？价值在于____2??2??11．已知数列{an}的前n项和为sn，且a1?1,2sn?anan?1（n?n），若bn?(?1)则数列{bn}的前n项和tn?_______________.*n2n？1.anan?112．若不等式x2?2y2?cx(y?x)对满足x?y?0的任意实数x，y恒成立，则实数c的最大值为_____二．选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.角度设置？如果的起始边是X轴的正半轴，那么第一象限和第二象限中“？”的终止边是。

2020-2021学年一模汇编—三角比和三角函数一、填空题【长宁2】函数πsin(2)6y x =-的最小正周期为 .【松江4】若1sin 3α=，则cos(2)πα-=___________ 【普陀3】若2παπ<<且1cos 3α=-，则tan α=_______.【杨浦6】已知sin ,22ππαα⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______________【闵行4】若tan()34πα+=-，则tan α=________.【虹口3】行列式ααααααcos sin cos cos sin sin +-的值等于 ．【嘉定5】已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点)4,3(P ，则=+)2πtan(α____________．【虹口9】已知），（πα0∈，且有αα2cos 2sin 21=-，则=αcos __________． 【徐汇6】函数arccos y x =，[1,0]x ∈-的反函数1()f x -=____.【松江9】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 2201c a B+=，则角A = .【浦东新区6】在ABC △中，若2AB =，512B π∠=，4C π∠=，则BC =__________. 【宝山8】方程cos2sin 0x x -=在区间[0,]π上的所有解的和为 ．【奉贤6】已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线4x π=对称，则ϕ=____．【徐汇10】在ABC 中，45A ︒∠=，M 是AB 的中点，若2AB BC ==，D 在线段AC 上运动，则DB DM ⋅的最小值为___________【闵行11】已知平面向量a 、b 、c ，对任意实数t ，都有||||b ta b a -≥-、||||b tc b c -≥-成立， 若||3a =，||2c =，||7a c -=，则||b =_____【宝山11】设函数()sin 2cos2(,)f x a x b x a b R =⋅+⋅∈，给出下列的结论： ①当0,1a b ==时，()f x 为偶函数；②当1,0a b ==时，(2)f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数；③当1a b ==-时，2x f ⎛⎫⎪⎝⎭在区间(2,2)ππ-上恰有3个零点；④当1a b == 时，设()f x 在区间,()4t t t R π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为()t ϕ ，最小值为()t ψ，则()()t t ϕψ-≤则所有正确结论的序号是_________二、选择题【宝山14】“函数()sin()f x ωx =（,x ωR ∈，且0ω≠）的最小正周期为2”，是“ωπ=”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【虹口15】已知函数)0,0(,)sin()(>>+=ωϕωA x A x f 的图像与直线)0(A b b y <<=的三个相邻交点的横坐标依次是1,2,4，下列区间是函数)(x f 单调递增区间的是（ ）．.A []3,0 .B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,23 .C []6,3 .D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡29,3【徐汇15】方程8cos log x x =的实数解的个数是（ ）A.4B.3C.2D.1【青浦15】已知顶点在原点的锐角α绕原点逆时针转过π6后，终边交单位圆于1(,)3P y -，则s in α的值为（ ）．A.三、解答题【普陀17】 设a 为常数，函数()sin 2cos(22)1f x a x x π=+-+（x ∈R ）.（1）设a =()y f x =的单调递增区间及频率f ； （2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域.【浦东新区18】已知函数()sin(),6f x x πωω=+>（0)的最小正周期为π（1）求ω与()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，若()12Af =，求sin sin B C +的取值范围.【松江18】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知函数2()cos cos 1f x x x x =++． （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若对任意的x R ∈，2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，求实数k 的取值范围．【闵行18】已知函数2()cos 222x x xf x =+[0,]x π∈.（1）求函数()f x 的值域；（2）若方程()f x ω=0ω>）在区间[0,]π上至少有两个不同的解，求ω的取值范围.【嘉定18】已知函数)(cos )(x x f ω= （0>ω）的最小正周期为π．（1）求ω的值及函数)()4π(3)(x f x f x g --=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2π,0x 的值域； （2）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，若⎪⎭⎫⎝⎛∈2π,0A ，21)(-=A f ，ABC △的面积为33，2=-c b ，求a 的值．【宝山19】（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设函数()sin()0,22ππf x ωx φωφ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，且()f x 的图像过坐标原点.（1）求ωφ、的值；（2）在ABC ∆中，若2222()3()2()()()()f B f C f A f B f C f A +=⋅⋅+，且三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，试求()b f B C c⋅+的值.【崇明18】已知函数21()sin 22f x x x = （1）求函数()y f x =的最小正周期；（2）在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若锐角A 满足，()6f A C π==2c =，求ΔABC 的面积.【杨浦18】设常数k R ∈，2()cos cos ,f x k x x x x R =+∈ （1）若()f x 是奇函数，求实数k 的值；（2）设1k =，ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()1,3f A a b ===，求ABC ∆的面积S .进博会期间，有一个边长80m的正方形展厅OABC，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以O为圆心，60m为半径的扇形ODE作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地PGBF，矩形有两条边分别落在边AB和BC上，设POAα∠=5 1212ππα⎛⎫≤≤⎪⎝⎭．（1）用α表示矩形PGBF的面积，并求出当矩形PGBF为正方形时的面积（精确到21m）；（2）当α取何值时，矩形PGBF的面积PGBFS最大？并求出最大面积（精确到21m）．【奉贤19】在①3ac=；②sin3c A=；③三边成等比数列．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形不存在，请说明理由．问题：是否存在ABC∆，它的内角A B C、、的对边分别为a b c、、，且sin3sinA B=，6Cπ=注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.CEABO DFGP如图，矩形ABCD 是某个历史文物展览厅的俯视图，点E 在AB 上，在梯形DEBC 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在△ADE 区域内参观．在AE 上点P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE （含端点）上，且点M 在点N 的右下方．经测量得知：6AD =米，6AE =米，2AP =米，4MPN π∠=．记EPM θ∠=（弧度），监控摄像头的可视区域△PMN 的面积为S 平方米．（1）分别求线段PM 、PN 关于θ的函数关系式，并写出θ的取值范围； （2）求S 的最小值．【徐汇20】设()x μ表示不小于x 的最小整数，例如(0.3)1,( 2.5)2μμ=-=-.（1）解方程(1)3x μ-=；（2）设()(())f x x x μμ=⋅，n N *∈，试分别求出()f x 在区间(]0,1、(]1,2以及(]2,3上的值域；若()f x 在区间(]0,n 上的值域为n M ，求集合n M 中的元素的个数；（3）设实数0a >，()()2x g x x a xμ=+⋅-，2sin 2()57x h x x x π+=-+，若对于任意12,(2,4]x x ∈都有12()()g x h x >，求实数a 的取值范围.。