平面向量的平行与垂直课堂练习

用向量讨论垂直与平行 同步练习【填空题】1、已知两条不同直线l 1，l 2的方向向量分别为21,s s ，判断两直线的平行与垂直: (1) )5,2,1(),1,2,1(21-=-=s s (2) )1,2,1(),1,2,1(21--=-=s s (3) )0,1,2(),5,2,1(21=-=s s (4) )10,4,2(),5,2,1(21-=-=s s(1)____________ (2) ____________ (3) ____________ (4) ____________ 2、已知两个不同平面21,ππ的法向量分别为21,n n ，判断两平面的平行与垂直: (1) )5,2,1(),1,2,1(21-=-=n n (2) )1,2,1(),1,2,1(21--=-=n n (1)____________ (2) ____________3、已知直线l 的方向向量为s ,平面π的法向量为n ，且l π∉,判断直线与平面是否平行与垂直：(1) =(1,-4,-3), =(2,0,3) (2) s =(3,2,1), n =(-1,2,-1)(1)____________ (2) ____________ 【解答题】4、已知点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),求平面ABC 的一个法向量.5、已知平面α经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面α的一个法向量.6、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M,N 分别是C 1C,B 1C 1的中点,求证7、已知,,,E F G H 分别是空间四边形ABCD 边,,,AB BC CD DA 的中点， （1）用向量法证明：,,,E F G H 四点共面； （2）用向量法证明：//BD 平面EFGH ．C ′A CB M A BCD FE G H8、已知：如下图，PO、PA分别是平面α的垂线和斜线，OA是PA在α内的射影，aα，求证：a⊥PA⇔a⊥OA.参考答案1、(1)垂直 (2)平行 (3) 垂直 (4) 平行2、(1)垂直 (2) 平行3、(1)既不平行也不垂直 (2) 平行4、由已知得-==(0,b,0)-(a,0,0)=(-a,b,0), OA OC AC -==(0,0,c)-(a,0,0)=(-a,0,c), 设平面ABC 的一个法向量为n =(x,y,z),则⋅=(x,y,z) (-a,b,0)= -ax+by=0, ⋅=(x,y,z) (-a,0,c)= -ax+cz=0,于是得x ca z xb a y ==, 不妨设x=bc,则y=ac,z=ab.因此，可取=(bc,ac,ab)为平面ABC 的一个法向量. 5、平面α的一个法向量=(2,1,0)（注：如果设n =(x,y,z),则可得x=2y,z=0 方法同上一题）6、以D 为原点,DA,DC,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则可求得)1,1,21(),21,1,0(N M ,D(0,0,0),A 1(1,0,1),B(1,1,0)于是),21,0,21(=设平面A 1BD 的法向量是=(x,y,z).则1DA ⋅=0,且DB n ⋅=0得⎩⎨⎧=+=+0y x z x取x=1,得y= -1,z= -1, )1,1,1(--=∴ 又0)1,1,1()21,0,21(=--⋅=⋅⊥∴//MN ∴平面A 1BD.7、略。

第30讲 平面向量的平行与垂直考试要求 1.掌握向量平行与向量垂直的充要条件(B 级要求)；2.能应用向量平行与向量垂直的条件解决相关证明与应用问题(B 级要求).诊 断 自 测1.下面说法中正确的有________(填序号). ①若a ∥b ，则存在λ∈R ，使a ＝λb ；②若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1x 2＋y 1y 2＝0，则a ⊥b ；③(必修4P82习题8改编)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(2，λ).若a ∥b ，则实数λ＝23；④(必修4P81练习2改编)已知向量a ＝(5，12)，b ＝(sin α，cos α)，若a ∥b ，则tan α＝512； ⑤(必修4P99本章测试改编)设x ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(3，－2)，若a ⊥b ，则x ＝32.解析 ①当a ≠0，b ＝0时，λb 一定为0，故此时不存在λ∈R ，使a ＝λb ；②当a ＝0或b ＝0时，x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，但只有两非零向量的夹角为90°时，称为a ⊥b ； ⑤由3x －2＝0得x 应该为23.答案 ③④2.(2017·无锡高三上学期期末)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－1)，若a －b 与m a ＋b 垂直，则m 的值为________.解析 由a ＝(2，1)，b ＝(1，－1)，得a －b ＝(1，2)，m a ＋b ＝(2m ＋1，m －1)， 因为a －b 与m a ＋b 垂直，所以2m ＋1＋2(m －1)＝0，解得m ＝14.答案 143.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________. 解析 因为a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，所以u ＝(1，2)＋2(x ，1)＝(2x ＋1，4)，v ＝2(1，2)－(x ，1)＝(2－x ，3).又因为u ∥v ，所以3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12.答案 124.(必修4P97复习题改编)已知向量a ＝(－3，4)，向量b ∥a ，且|b |＝1，那么b ＝________.解析 设b ＝(x ，y )，则由已知得⎩⎨⎧4x ＝－3y ，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35，y ＝45或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝－45.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45或⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－455.(必修4P97复习题10改编)已知向量a ＝(－3，1)，b ＝(1，－2)，若(－2a ＋b )⊥(k a ＋b )，则实数k ＝________.解析 由已知，－2a ＋b ＝(7，－4)，k a ＋b ＝(－3k ＋1，k －2)，而(－2a ＋b )⊥(k a ＋b )，故7(－3k ＋1)＋(－4)(k －2)＝0，解得k ＝35.答案 35知 识 梳 理(1)两个向量平行的充要条件：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，b ≠0，则a ∥b ⇔存在λ∈R ，使a ＝λb ；或a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)两个非零向量垂直的充要条件：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0；或a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.考点一 向量的平行(共线)问题【例1】 (1)(2015·全国卷)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.(2)(2018·南京一模)设向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，则“a ∥b ”是 “tan θ＝12”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).解析 (1)∵λa ＋b 与a ＋2b 平行， ∴存在μ∈R ，使(λa ＋b )＝μ(a ＋2b )， 即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，又a ，b 不平行，故⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝12.(2)由a ∥b ，得sin 2θ－cos 2θ＝0，即cos θ＝0或2sin θ＝cos θ，∴充分性不成立.由tan θ＝sin θcos θ＝12，得2sin θ＝cos θ，∴sin 2θ－cos 2θ＝0，∴a ∥b ，∴必要性成立. 答案 (1)12(2)必要不充分规律方法 当两向量平行且没有出现坐标时，一般使用“a ∥b 且b ≠0，则存在λ∈R ，使a ＝λb ”解题；当两向量垂直且出现坐标时，一般先求出(或设出)两向量的坐标，使用“a ⊥b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝0”解题.【训练1】 设向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？解 由已知得AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，当AB →∥BC →时，A ，B ，C 三点共线； 即(4－k )(k －5)＝6×(－7)， 解得k ＝－2或11.∴当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线. 考点二 向量的垂直问题【例2】 (2018·扬州中学月考)已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为120°. (1)当k 为何值时，k a －b 与a －k b 垂直？(2)当k 为何值时，|k a －2b |取得最小值？并求出最小值. 解 (1)∵k a －b 与a －k b 垂直， ∴(k a －b )·(a －k b )＝0. ∴k a 2－k 2a ·b －b ·a ＋k b 2＝0.∴9k －(k 2＋1)×3×2·cos 120°＋4k ＝0. ∴3k 2＋13k ＋3＝0. ∴k ＝－13±1336.(2)∵|k a －2b |2＝k 2a 2－4k a ·b ＋4b 2＝9k 2－4k ×3×2·cos 120°＋4×4＝9k 2＋12k ＋16＝(3k ＋2)2＋12，∴当k ＝－23时，|k a －2b |取得最小值，最小值是2 3.规律方法 两向量垂直问题，未出现坐标时，用“a ·b ＝0”求解；出现坐标时(a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))，用“x 1x 2＋y 1y 2＝0”求解.【训练2】 (2018·盐城中学月考)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π).(1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α的值(其中k 为非零实数). (1)证明 由已知得|a |＝cos 2α＋sin 2α＝1，|b |＝cos 2β＋sin 2β＝1. ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝1－1＝0， ∴a ＋b 与a －b 互相垂直.(2)解 由已知得|a |＝1，|b |＝1，且a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β). ∵k a ＋b 与a －k b 的模相等，∴|k a ＋b |2＝|a －k b |2，即(k a ＋b )2＝(a －k b )2， ∴k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝a 2－2k a ·b ＋k 2b 2，故k 2＋2k cos(α－β)＋1＝1－2k cos(α－β)＋k 2，∵k ≠0， ∴cos(α－β)＝0，又0<α<β<π， ∴－π<α－β<0，∴α－β＝－π2，即β－α＝π2.考点三 向量平行、垂直的综合问题【例3】 (2018·苏、锡、常、镇一模)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，3，b ＝(1，4cos α)，α∈(0，π). (1)若a ⊥b ，求tan α的值； (2)若a ∥b ，求α的值.解 (1)因为a ⊥b ，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋12cos α＝0，即32sin α＋12cos α＋12cos α＝0，即32sin α＋252cos α＝0， 又由题意得cos α≠0，所以tan α＝－2533.(2)若a ∥b ，则4cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3， 即4cos α⎝⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝3，所以3sin 2α＋cos 2α＝2.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝1. 因为α∈(0，π)，所以2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2α＋π6＝π2，即α＝π6.规律方法 向量平行、垂直问题，关键是根据平行、垂直的充要条件列出等式再求解，这类问题往往与三角函数进行综合，这类综合问题的解题思路为：(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.【训练3】 (2018·南通调研)已知△ABC 是锐角三角形，向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3，n ＝(cos B ，sin B )，且m ⊥n .(1)求A －B 的值；(2)若cos B ＝35，AC ＝8，求BC 的长.解 (1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3cos B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3sin B＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3－B ＝0.又A ，B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以A ＋π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，所以A ＋π3－B ＝π2，即A －B ＝π6.(2)因为cos B ＝35，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin B ＝45.所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝sin B cos π6＋cos B sin π6 ＝45×32＋35×12＝43＋310.由正弦定理得BC ＝sin AsinB ·AC ＝43＋31045×8＝43＋3.一、必做题1.(2018·苏州一模)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x ＝________. 解析 由题意得a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝5－(x －4)＝9－x ＝0⇒x ＝9. 答案 92.已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋sin θ，若a ∥b ，则锐角θ等于________.解析 由a ∥b ，得(1－sin θ)(1＋sin θ)＝1×12，即1－sin 2θ＝12，∴cos 2θ＝12.又θ为锐角，∴cos θ＝22，θ＝45°. 答案 45°3.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.解析 ∵a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)， ∴a ＋b ＝(m －1，3)，又(a ＋b )⊥a ， ∴(a ＋b )·a ＝－(m －1)＋6＝0，解得m ＝7. 答案 74.(2017·山东卷)已知向量a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)，若a ∥b ，则λ＝________. 解析 ∵a ＝(2，6)，b ＝(－1，λ)，a ∥b ， ∴2λ－6×(－1)＝0，∴λ＝－3. 答案 －35.(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.解析 因为a ∥b ，所以m 3＝4－2，解得m ＝－6.答案 －66.(2016·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1，2)，且a ⊥b ，则x ＝________. 解析 因为a ⊥b ，所以x ＋2(x ＋1)＝0，解得x ＝－23.答案 －237.(2016·山东卷)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4).若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________.解析 因为a ⊥(t a ＋b )，所以a ·(t a ＋b )＝0，即t a 2＋a ·b ＝0，又因为a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)，所以|a |＝2，a ·b ＝1×6＋(－1)×(－4)＝10，因此可得2t ＋10＝0，解得t ＝－5. 答案 －58.(2018·苏北四市联考)已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是________.解析 AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－459.(2013·江苏卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0，1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值. (1)证明 由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0， 故a ⊥b .(2)解 因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得cos α＝cos(π－β). 由0＜β＜π，得0＜π－β＜π， 又0＜α＜π，故α＝π－β. 代入sin α＋sin β＝1， 可得sin β＝12.∴sin α＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.10.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影. 解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得asin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22. 二、选做题11.(2018·泰州中学质检)设平面向量a ＝(x ，4)，b ＝(y ，－2)，c ＝(2，1)(其中x >0，y >0)，若(a －c )⊥(b －c )，则|a ＋b |的最小值为________.解析 由a ＝(x ，4)，b ＝(y ，－2)，c ＝(2，1)(其中x >0，y >0)及(a －c )⊥(b －c )，可得(x －2)(y －2)－9＝0，即xy －2(x ＋y )－5＝0，因为x >0，y >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22≥2(x ＋y )＋5，从而x ＋y ≥10(当且仅当x ＝y 时等号成立)，又a ＋b ＝(x ＋y ，2)，x >0，y >0，所以|a ＋b |＝（x ＋y ）2＋22≥226， 故|a ＋b |的最小值为226. 答案 22612.(2017·镇江期末)已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且m ⊥n .(1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求角β.解 (1)由题意得m ·n ＝2cos α－sin α＝0， ∴2cos α＝sin α，∴sin 2α＋cos 2α＝5cos 2α＝1， ∴cos 2α＝15，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－35.(2)∵cos 2α＝15，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝55，sin α＝1－15＝255， ∵sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin αcos β－cos αsin β＝255cos β－55sin β＝1010，∴2cos β－sin β＝22，∴sin β＝2cos β－22， ∴sin 2β＋cos 2β＝5cos 2β－22cos β＋12＝1，解得cos β＝22或cos β＝－210(舍)， ∵β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β＝π4.。

第34课平面向量的平行与垂直A.课时精练一、填空题1. (2018济南一模)已知向量a = (1, 1), b= (2, x)，若a+ b与3a —b平行，则实数x的值是_________ .2. _______________________________________________________________________ 已知向量 a = (2, 1), b= (3,4), c= (k, 2).若(3a—b)// c,则实数k 的值为 _____________________3. ___ 已知向量a = (1, 2), b= (2, 1)，若向量a—血与向量c= (5,—2)共线，则入的值为__________ .4. ________________________________________________________________ 已知a= (2, m), b= (1,—2),若a // (a + 2b)，则实数m 的值是______________________________5. _____ 若非零向量a, b满足|a|= 1, |b|= 2，且(a+ b)丄(3a —b)，贝U a与b的夹角B的余弦值为______ .2 n6. 已知向量a 与b 的夹角为, |a 1= 2, |b|= 3,若m= 3a —2b, n = 2a+ k b,且m± n,则实数k的值为_________ .7. 已知△ ABC的顶点分别为A(2 , 1), B(3 , 2), C(—3 , —1) , BC边上的高为AD ,那么点D的坐标为 _________ .-> 1 -> -> 2 ~-> -> -> ->8. 在厶ABC 中，AE = ^AB , AF = ^AC .设BF , CE 交于点P ,且EP= AEC , FP= ^B(入, 卩€ R),贝U H □的值为 ______ .(1) 若a 丄b , 求 tan a 的值;(2) 若 a // b , 求 a 的值.解答题 9.已知向量a = sin a+ 6 ,b = (1, 4cos a, a€ (0, 10.(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系 xOy 中,设向量a =(1)若|a + b |= C l ,求 sin( a — ®的值;5 n r.⑵设 a= —, 0< n ,且 a// (b + c ),求 ® 的值.11.已知 a = (3 , — 1) , a b =— 5, c = x a + (1 — x)b .(1) 若a 丄c ,求实数x 的值；(2) 若|b |= ,5 ,求|c |的最小值.B.滚动小练1.已知函数 f(x) = sin x + n , x € R .(1)若点P 5 , 5是角a 终边上一点，求f( a 的值;⑵ 设函数g(x)= f(x) + sinx ,求函数g(x)的单调增区间.(1)求角A 的大小；⑵若a = . 3 , b + c = 3,求b 和c 的值. 2.在厶ABC 中，a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边，且 8sin 2B + C 2 —2cos2A = 7.。

1．(2019·广西桂林一中期中)若a ＝(2，3，m)，b ＝(2n ，6，8)，且a ，b 为共线向量，则m ＋n 的值为( )A ．7 B.52 C ．6 D ．8答案 C解析 由a ，b 为共线向量，得22n ＝36＝m8，解得m ＝4，n ＝2，则m ＋n ＝6.故选C.2．若平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，－1，0)，则平面α和平面β的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交但不垂直 C ．垂直 D ．重合 答案 C解析 由(1，2，0)·(2，－1，0)＝1×2＋2×(－1)＋0×0＝0，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直．3．已知平面α内有一个点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量是n ＝(6，－3，6)，则下列点P 在平面α内的是( ) A ．P(2，3，3) B ．P(－2，0，1) C ．P(－4，4，0) D ．P(3，－3，4) 答案 A解析 ∵n ＝(6，－3，6)是平面α的法向量，∴n ⊥MP →，在选项A 中，MP →＝(1，4，1)，∴n ·MP →＝0.4．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A ．(33，33，－33) B ．(33，－33，33) C ．(－33，33，33) D ．(－33，－33，－33) 答案 D解析 AB →＝(－1，1，0)，AC →＝(－1，0，1)，设平面ABC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1，1，1)． 单位法向量为：±n|n |＝±(33，33，33)．5．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z)，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( ) A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2，4 D ．4，407，－15答案 B解析 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP⊥AB ，BP ⊥BC ，又∵BC →＝(3，1，4)，则⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）＋5y ＋6＝0，3（x －1）＋y －12＝0，解得⎩⎨⎧x ＝407，y ＝－157.6.(2019·成都调研)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行C ．垂直D ．MN 在平面BB 1C 1C 内 答案 B解析 MN →＝MA 1→＋A 1A →＋AN →＝13BA 1→＋A 1A →＋13AC →＝13(B 1A 1→－B 1B →)＋B 1B →＋13(AB →＋AD →)＝23B 1B →＋13B 1C 1→∴MN →、B 1B →、B 1C 1→共面．又MN ⊄平面B 1BCC 1，∴MN ∥平面BB 1C 1C.7．直线l 的方向向量a ＝(1，－3，5)，平面α的法向量n ＝(－1，3，－5)，则有( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l 与α斜交 D ．l ⊂α或l ∥α 答案 B解析 因为a ＝(1，－3，5)，n ＝(－1，3，－5)，所以a ＝－n ，a ∥n . ∴l ⊥平面α.选B.8．(2019·长沙模拟)如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( ) A ．(1，1，1) B ．(23，23，1) C ．(22，22，1) D ．(24，24，1) 答案 C解析 ∵面ABCD ⊥面ACEF ，面ABCD ∩面ACEF ＝AC ，∴EC ⊥CA ， ∴CE ⊥平面ABCD. 建立如图空间直角坐标系．设AC ∩BD ＝O ，连接OE. ∵AM ∥平面BDE ， 面BDE ∩面ACEF ＝OE ， ∴AM ∥OE.∵O 是AC 的中点，∴M 为EF 中点． ∴M 点坐标为(22，22，1)．选C. 9．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的是________． 答案 ①②③解析 ∵AB →·AP →＝0，AD →·AP →＝0，∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP.则①②正确．从而③正确，又BD →＝AD →－AB →＝(4，2，0)－(2，－1，－4)＝(2，3，4)．∵－12≠23.∴AP →与BD →不平行．∴④不正确．10．(2019·石家庄市高三一检)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为梯形，AD ∥BC ，CD ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝BC ＝3，PA ＝4，M 为AD 的中点，N 为PC 上的点，且PC ＝3PN.求证：MN ∥平面PAB. 证明 方法一：(传统法)如图，在平面PBC 内作NH ∥BC 交PB 于点H ，连接AH ，在△PBC 中，NH ∥BC ，且NH ＝13BC ＝1，AM ＝12AD ＝1，又AD ∥BC ，∴NH ∥AM 且NH ＝AM ，∴四边形AMNH 为平行四边形， ∴MN ∥AH ，又AH ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB. 方法二：(向量法)在平面ABCD 内作AE ∥CD 交BC 于点E ，则AE ⊥AD.分别以AE ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．则P(0，0，4)，M(0，1，0)，C(22，2，0)，N(223，23，83)，B(22，－1，0)，A(0，0，0)，MN →＝(223，－13，83)，AP →＝(0，0，4)，AB →＝(22，－1，0)．设MN →＝mAB →＋nAP →，∴(223，－13，83)＝m(22，－1，0)＋n(0，0，4)，∴m ＝13，n ＝23，∴MN →，AB →，AP →共面．∴MN →∥平面PAB.又MN ⊄平面PAB ， ∴MN ∥平面PAB. 方法三：(法向量) 建系写点坐标如方法二．设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面PAB 的一个法向量，则由m ⊥AP →，m ⊥AB →得⎩⎨⎧4z 1＝0，22x 1－y 1＝0，∴⎩⎨⎧z 1＝0，y 1＝22x 1. 令x 1＝1，则m ＝(1，22，0)． ∴MN →·m ＝223·1－13·22＋83·0＝0.∴m ⊥MN →，∴MN →∥平面PAB. 又MN ⊄平面PAB.∴MN ∥平面PAB. 方法四：(基底法)设BE →＝13BC →.由题知PC →＝3PN →.MN →＝AN →－AM → ＝AP →＋PN →－BE → ＝AP →＋13PC →－13BC →＝AP →－13(CP →－CB →)＝AP →－13BP →＝AP →－13(AP →－AB →)＝23AP →＋13AB →， ∴MN →，AP →，AB →三向量共面． ∴MN →∥平面APB.又MN ⊄平面PAB. ∴MN ∥平面PAB.11．(2019·沧州七校联考)如图所示的空间几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，EG ∥AD ，EF ＝EG ＝1，AE ＝3.求证：平面CFG ⊥平面ACE. 答案 略解析 建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，E(0，0，3)，G(0，1，3)，F(1，0，3)．∴AE →＝(0，0，3)，AC →＝(2，2，0)，FG →＝(－1，1，0)，FG →·AC →＝－2＋2＋0＝0，FG →·AE →＝0＋0＋0＝0. ∴FG ⊥AC ，FG ⊥AE. 又∵AE ∩AC ＝A ， ∴FG ⊥平面ACE.又FG ⊂平面CFG ，∴平面CFG ⊥平面ACE.12.如右图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD.答案 略证明 方法一：取BC 的中点O ，连接AO. ∵△ABC 为正三角形，∴AO ⊥BC.∵在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，∴AO ⊥平面BCC 1B 1. 取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，OB →，OO 1→，OA →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A(0，0，3)，B 1(1，2，0)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0)．则n ⊥BA 1→，n ⊥BD →，故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0.∴⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－ 3. 故n ＝(1，2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量，而AB 1→＝(1，2，－3)，∴AB 1→＝n ，即AB 1→∥n ，∴AB 1⊥平面A 1BD.方法二：设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →.令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a ·c ＝0，b ·c ＝2，以它们为空间的一组基底，则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→＝a －c ，m ＝λBA 1→＋μBD →＝(λ＋12μ)a ＋μb ＋λc ，AB 1→·m ＝(a －c )·[(λ＋12μ)a ＋μb ＋λc ]＝4(λ＋12μ)－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，结论得证．方法三：基向量的取法同上．∵AB 1→·BA 1→＝(a －c )·(a ＋c )＝|a |2－|c |2＝0，AB 1→·BD →＝(a －c )·(12a ＋b )＝12|a |2＋a ·b －12a ·c －b ·c ＝0，∴AB 1→⊥BA 1→，AB 1→⊥BD →，即AB 1⊥BA 1，AB 1⊥BD ，由直线和平面垂直的判定定理，知AB 1⊥平面A 1BD. 13.已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，2AB ＝2AD ＝CD ，侧面PAD 是正三角形且垂直于底面ABCD ，E 是PC 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PCD ；(2)在PB 上是否存在一点F ，使AF ∥平面BDE? 答案 (1)略 (2)F 为PB 中点时，AF ∥平面BDE解析 (1)以AD 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB ＝AD ＝2，则有B(1，2，0)，C(－1，4，0)，D(－1，0，0)，P(0，0，3)，E(－12，2，32)．∴BE →＝(－32，0，32)，PC →＝(－1，4，－3)，CD →＝(0，－4，0)．∴BE →·PC →＝(－32，0，32)·(－1，4，－3)＝0，BE →·CD →＝(－32，0，32)·(0，－4，0)＝0.即BE ⊥PC ，BE ⊥CD.又PC ∩CD ＝C ，∴BE ⊥平面PCD. (2)设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z)， ∵n ⊥BE →，n ⊥DE →，∴n ·BE →＝0，n ·DE →＝0. ∴⎩⎨⎧－32x ＋32z ＝0，12x ＋2y ＋32z ＝0.令y ＝－1，则x ＝1，z ＝ 3.∴平面BDE 的一个法向量为n ＝(1，－1，3)． 取PB 中点F ，则有F(12，1，32)．又A(1，0，0)，∴AF →＝(－12，1，32)．∵AF →·n ＝(－12，1，32)·(1，－1，3)＝－12－1＋32＝0，∴AF →⊥n .又n 是平面BDE 的法向量，且AF ⊄平面BDE ， ∴AF ∥平面BDE.故存在PB 中点F 使AF ∥平面BDE.14．(2019·湖北襄阳模拟)如图，多面体ABCDEF 中，DE ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°，四边形BDEF 是正方形．(1)求证：CF ∥平面AED ；(2)在线段EC 上是否存在点P ，使得AP ⊥平面CEF ？若存在，求出EPPC 的值；若不存在，说明理由．答案 (1)略 (2)不存在点P解析 (1)因为四边形ABCD 是菱形，所以BC ∥AD. 又BC ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ， 所以BC ∥平面ADE ，又四边形BDEF 是正方形，所以BF ∥DE. 因为BF ⊄平面ADE ，DE ⊂平面ADE ， 所以BF ∥平面ADE ，因为BC ⊂平面BCF ，BF ⊂平面BCF ，BC ∩BF ＝B ， 所以平面BCF ∥平面AED ，因为CF ⊂平面BCF ，所以CF ∥平面AED. (2)因为四边形ABCD 为菱形，且∠BAD ＝60°， 所以△BCD 为等边三角形，取BD 的中点O ，连接CO ，所以CO ⊥BD ， 取EF 的中点G ，连接OG ，则OG ∥DE ， 因为DE ⊥平面ABCD ，所以OG ⊥平面ABCD ， 故可建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz.则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(1，0，0)，C(0，3，0)，E(－1，0，2)，F(1，0，2)， 所以AF →＝(1，3，2)，FE →＝(－2，0，0)，FC →＝(－1，3，－2)． 设平面ECF 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE →＝0，n ·FC →＝0，得⎩⎨⎧－2x ＝0，－x ＋3y －2z ＝0.x ＝0，令y ＝1，则n ＝(0，1，32)． 又EC →＝(1，3，－2)，AE →＝(－1，3，2)， 设P(x ，y ，z)，EP →＝λEC →， 由AP →＝AE →＋EP →＝AE →＋λEC →， 得AP →＝(λ－1，3λ＋3，2－2λ)， 又平面CEF 的一个法向量为n ＝(0，1，32)． 若AP ⊥平面CEF ，则AP →∥n ，令AP →＝μn . 得⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝0，3λ＋3＝μ，2－2λ＝32μ.方程组无解，不符合题意．综上，线段EC 上不存在点P ，使得AP ⊥平面CEF.。

平行与垂直的练习题平行和垂直是几何中经常见到的概念。

在平面几何中，我们经常需要判断两条线的关系，确定它们是否平行或垂直。

本文将为您提供一些平行和垂直的练习题，以帮助您掌握这些概念。

1. 判断直线的关系给定两条直线L1和L2，判断它们之间的关系。

如果直线L1与L2平行，则在答案框中填写“平行”；如果直线L1与L2垂直，则填写“垂直”；如果两条直线既不平行也不垂直，则填写“既不平行也不垂直”。

示例题1:L1: y = 2x - 3L2: y = -0.5x + 2答案: 既不平行也不垂直示例题2:L1: 3x - 2y = 4L2: 6x - 4y = 8答案: 平行示例题3:L1: 2x + 3y = 5L2: 3x - 2y = 4答案: 垂直2. 求平行线的斜率给定直线L1的斜率为k，求与直线L1平行的直线L2的斜率。

示例题1:直线L1的斜率k = -1/3直线L2与直线L1平行答案: 直线L2的斜率k = -1/3示例题2:直线L1的斜率k = 2直线L2与直线L1平行答案: 直线L2的斜率k = 23. 求垂直线的斜率给定直线L1的斜率为k，求与直线L1垂直的直线L2的斜率。

示例题1:直线L1的斜率k = 3/4直线L2与直线L1垂直答案: 直线L2的斜率k = -4/3示例题2:直线L1的斜率k = -2直线L2与直线L1垂直答案: 直线L2的斜率k = 1/2通过以上练习题，我们可以更好地理解平行和垂直的概念，并熟练应用相关的定理和方法进行判断和计算。

这些基本的几何概念在解决实际问题时起着重要的作用，帮助我们更好地理解和分析几何形状及其属性。

希望本文的练习题能够帮助您提升对平行和垂直的理解和运用能力。

在实际应用中，几何概念常常与其他数学概念相结合，为我们提供更多的思考和解决问题的方式。

祝您几何学习顺利，数学进步！。

平面向量垂直练习题平面向量垂直是高中数学中一个重要的概念，涉及到向量的性质和几何关系。

本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解平面向量垂直的概念。

在开始练习题之前，我们先来回顾一下平面向量的定义和性质。

平面向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。

两个平面向量的垂直性可以通过它们的数量积来判断。

设向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们的数量积定义为AB = x1x2 + y1y2。

如果AB = 0，则向量A 和B垂直。

现在，让我们来解决一些关于平面向量垂直的练习题吧！题目一：已知向量A(3, -1)和B(2, 5)，判断向量A和向量B是否垂直。

解答一：我们通过计算向量A和向量B的数量积来判断它们是否垂直。

设向量A与向量B的数量积为AB = x1x2 + y1y2。

计算得出AB = (3)(2) + (-1)(5) = 6 - 5 = 1。

由于AB ≠ 0，所以向量A和向量B不垂直。

题目二：已知向量C(4, -2)和D(1, 8)，求向量C的一个垂直向量。

解答二：我们可以通过找出向量C的一个垂直向量来说明平面向量垂直的性质。

设向量C(4, -2)的一个垂直向量为E(x, y)。

由于向量C和向量E垂直，所以C·E = 0。

根据数量积的性质，我们可以得到4x + (-2)y = 0。

这是一个线性方程，求解得到x = 1/2y。

因此，向量C(4, -2)的一个垂直向量可以表示为E(1/2y, y)，其中y为任意实数。

题目三：已知向量F(2, -3)和G(-6, -4)，求向量F与向量G的夹角。

解答三：我们可以通过向量的数量积来求解向量的夹角。

设向量F与向量G的夹角为θ，则有|F||G|cosθ = FG = x1x2 + y1y2。

代入已知数据，计算得到(2)(-6) + (-3)(-4) = -12 + 12 = 0。

由于FG = 0，所以向量F与向量G 垂直。

根据三角函数的性质，当两个向量垂直时，它们的夹角为90度。

专题三 平面向量的平行与垂直1．平面向量平行(共线)的充要条件的两种形式(1)平面向量平行(共线)充要条件的非坐标形式：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ．(2)平面向量平行充要条件的坐标形式：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0； 至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的用(2)．这是代数运算，用它解决平面向量平行(共线)问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．公式x 1y 2－x 2y 1＝0无条件x 2y 2≠0的限制，便于记忆；公式x 1x 2＝y 1y 2有条件x 2y 2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．乘积形式可总结为：“相异坐标的乘积的差为0”．2．三点共线的充要条件的三种形式(1)A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)(2)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )(3)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．3．非零向量垂直的充要条件的两种形式(1)平面向量垂直的非坐标形式：a ⊥b ⇔ a ·b ＝0．(2)平面向量垂直的坐标形式：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，数量积的运算a ·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b ．一般情况涉及坐标的用(2)．坐标形式可总结为：“相应坐标的乘积的和为0”．考点一 平面向量的平行【方法总结】两平面向量平行的充要条件既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当然也可解决三点共线的问题．高考试题中一般是考查已知两向量平行或三点共线求参数，并且以给出向量的坐标为主．解决此类问题的方法是借助两平面向量平行的充要条件列出方程(组)，求出参数的值．注意方程思想和待定系数法的运用．【例题选讲】[例1] (1)设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2BF →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直答案 A 解析 由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA ＋AE ＝BA ＋13AC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋13BA ，因此AD ＋BE ＋CF ＝CB ＋13(BC ＋AC －AB )＝CB ＋23BC ＝－13BC ，故AD ＋BE ＋CF 与BC 反向平行．(2)已知向量m ＝(1，7)与向量n ＝(k ，k ＋18)平行，则k 的值为( )A ．－6B ．3C ．4D ．6答案 B 解析 因为m ∥n ，所以7k ＝k ＋18，解得k ＝3．故选B ．(3)(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．答案 12 解析 2a ＋b ＝(4，2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以1×2＝4λ，即λ＝12． (4)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线答案 B 解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴BD →，AB →共线，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．故选B ．(5)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案 －54解析 AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54． (6)已知向量a ＝(1，1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB →∥a ，则点B 的坐标为________．答案 (－3，－6) 解析 设B (x ，2x )，则AB →＝(x －3，2x )．∵AB →∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3，∴B (－3，－6)．【对点训练】1．已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________．2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．123．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________．4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________．5．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝( )A ．4B ．－5C ．6D ．－66．已知向量a ＝(λ＋1，1)，b ＝(λ＋2，2)，若(a ＋b )∥(a －b )，则λ＝________．7．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，c ＝(2，3)，若a ＋λb 与c 共线，则实数λ＝( )A ．25B ．－25C ．35D ．－358．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －3b 共线，则m n＝________． 9．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0，0)，A (0，1)，B (1，－2)，C (m ，0)．若OB →∥AC →，则实数m的值为( )A ．－2B ．－12C ．12D ．2 10．已知A (1，1)，B (3，－1)，C (a ，b )，若A ，B ，C 三点共线，则a ，b 的关系式为________．11．已知点A (0，1)，B (3，2)，C (2，k )，且A ，B ，C 三点共线，则向量AC →＝( )A ．⎝⎛⎭⎫2，23B ．⎝⎛⎭⎫2，53C ．⎝⎛⎭⎫23，2D ．⎝⎛⎭⎫53，2 12．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0．若a ∥b ，则m n＝________． 13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．14．已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．15．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(1，1)，且a ∥b ，则向量a 的坐标是__________．16．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是__________．17．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D18．已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B ．43C ．12D ．1319．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．220．设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(2m ，－1)，OC →＝(－2n ，0)，m ，n ∈R ，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点 共线，则m ＋n 的最大值为( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3考点二 两个非零向量的垂直【方法总结】两平面向量垂直的充要条件既可以判定两向量垂直，也可以由垂直求参数．高考试题中一般是考查已知两向量垂直求参数，如果已知向量的坐标，根据两平面向量垂直的充要条件(2)，列出相应的关系式，进而求解参数．如果未知向量的坐标，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量，根据两平面向量垂直的充要条件(1)，列出相应的关系式，进而求解参数．如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标从而把问题转化为已知向量的坐标求参数的问题．注意方程思想和等价转化思想的运用．【例题选讲】[例1](1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC答案 D 解析 在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB ＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b|cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，故选D ．(2)(2017·全国Ⅰ)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________．答案 7 解析 因为a ＋b ＝(m －1，3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7．(3)(2018·北京)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________．答案 －1 解析 由题意得，m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1．(4)(2020·全国Ⅲ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________．答案 22解析 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0．因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22． (5)(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos<m ，n >＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－94答案 B 解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0，∴t|m ||n |cos<m ，n >＋|n |2＝0．又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4．故选B ． (6)如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，若E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且满足BE BC ＝AF AB＝λ，则当AE →·DF →＝0时，λ的值所在的区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫18，14B ．⎝⎛⎭⎫14，38C ．⎝⎛⎭⎫38，12D ．⎝⎛⎭⎫12，58 答案 B 解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，可得<AD →，BC →>＝60°，所以<AB →，AD →>＝60°，<AB →，BC →>＝120°，所以AB →·AD →＝4×2×12＝4，AB →·BC →＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4，AD →·BC →＝2×2×12＝2，又BE BC ＝AF AB＝λ，所以BE →＝λBC →，AF →＝λAB →，则AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →，DF →＝AF →－AD →＝λAB →－AD →，所以AE →·DF →＝(AB →＋λBC →)·(λAB →－AD →)＝λAB →2－AB →·AD →＋λ2AB →·BC →－λAD →·BC →＝0，即2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝7＋334(舍去)或λ＝7－334∈⎝⎛⎭⎫14，38． 【对点训练】1．已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为( )A ．－23B ．23C ．43D ．632．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．83．设向量a ＝(1，m )，b ＝(m －1，2)，且a ≠b ，若(a －b )⊥a ，则实数m ＝( )A ．12B ．13C ．1D ．2 4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－15．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D ．1526．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－17．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ的值为( )A ．－311B ．－113C ．12D ．358．在△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A (3，t )，B (t ，－1)，C (－3，－1)，若△ABC 是以B 为直角顶点 的直角三角形，则t ＝________．9．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________．10．(2013·全国Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________．11．已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为() A ．2215 B ．103 C ．6 D ．127。

第57课 平面向量的平行与垂直1. 理解平面向量的平行和垂直概念，并掌握平行与垂直的判定方法.2. 能利用平面向量的平行和垂直解决相关问题.1. 阅读：必修4第70～88页.2. 解悟：①平行向量与共线向量；②平面直角坐标系下的向量平行与垂直；③第80页例5，如果是填空题，你有更简捷的做法吗？④重解第87页例4，体会方法和规范.3. 践习：在教材空白处，完成第97～98页复习第9、12、13、18、21题.基础诊断1. 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(m ，4)，且 a ∥(2a ＋b)，则实数m 的值为 2 .解析：由题意得2a ＋b ＝(2＋m ，8).因为a ∥(2a ＋b)，所以1×8－2×(2＋m )＝0，解得m ＝2，故实数m 的值为2.2. 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(0，－1)，c ＝(，－2)，若(a －2b)⊥c ，则实数的值为 8 . 解析：由题意得a －2b ＝(1，4).因为(a －2b)⊥c ，所以(a －2b)·c ＝0，即(1，4)·(，－2)＝0，即－8＝0，解得＝8，故实数的值为8.3. 已知向量OA →＝(，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－，10)，且A ，B ，C 三点共线，O 为坐标原点，则实数的值为 －23.解析：由题意得AB →＝(4－，－7)，BC →＝(－－4，5).因为A ，B ，C 三点共线，所以5(4－)＝(－7)×(－－4)，解得＝－23.故实数的值为－23.4. 已知向量a ＝(2，3)，b ＝(2，－1)，向量a ，t (a －b)，2b 的起点相同，终点在一条直线上，则实数t 的值为 2 Ｗ.解析：由题意得a ，t (a －b)，2b 共线，所以t (a －b)＝(1－λ)a ＋2λb ，整理得(t －1＋λ)a －(t ＋2λ)·b＝0.因为a 与b 是非零向量，所以⎩⎨⎧t －1＋λ＝0，t ＋2λ＝0，解得⎩⎨⎧λ＝－1，t ＝2，所以实数t 的值为2.范例导航考向❶ 与三角函数的结合例1 已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，3，b ＝(1，4cos α)，α∈(0，π).(1) 若a ⊥b ，求tan α的值； (2) 若a ∥b ，求α的值. 解析：(1) 因为a ⊥b ，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋12cos α＝0，即32sin α＋12cos α＋12cos α＝0， 即32sin α＋252cos α＝0. 又cos α≠0，所以tan α＝－2533.(2) 若a ∥b ，则4cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3，即4cos α⎝⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝3，所以3sin2α＋cos2α＝2， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝1.因为α∈(0，π)，所以2α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2α＋π6＝π2，即α＝π6.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，b ＝(2cos θ，2sin θ)，0<θ<π.(1) 若a ∥b ，求角θ的大小； (2) 若|a ＋b|＝|b|，求sin θ的值.解析：(1) 因为a ∥b ，所以－12·2sin θ＝32·2cos θ，即－sin θ＝3cos θ， 所以tan θ＝－ 3. 又0<θ<π，所以θ＝2π3.(2) 因为|a ＋b|＝|b|，所以(a ＋b)2＝b 2，化简得a 2＋2a ·b ＝0.又a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，b ＝(2cos θ，2sin θ)，则a 2＝1，a ·b ＝－cos θ＋3sin θ， 所以3sin θ－cos θ＝－12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝－14<0.又0<θ<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝154，所以sin θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6·cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6sin π6＝15－38.考向❷ 与解三角形相结合例2 已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ，b )，q ＝(sin B ，sin A )，n ＝(b －2，a －2).(1) 若p ∥q ，求证：△ABC 为等腰三角形； (2) 若p ⊥n ，边长c ＝2，∠C ＝π3，求△ABC 的面积.解析：(1) 因为p ∥q ，所以a sin A ＝b sin B ，所以a ·a 2R ＝b ·b2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径)，所以a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形.(2) 因为p ⊥n ，所以a (b －2)＋b (a －2)＝0. 所以ab ＝a ＋b . 因为c ＝2，∠C ＝π3，所以4＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即4＝(a ＋b )2－3ab ，所以ab ＝4或ab ＝－1(舍去)， 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ，c －a ).若p ∥q ，则角C 的大小为π2.解析：因为p ∥q ，所以(a ＋c )(c －a )－b 2＝0，即c 2＝a 2＋b 2，所以△ABC 是直角三角形，C ＝π2.考向❸ 在多边形中的应用例3 在平面直角坐标系中，已知三点A(4，0)，B(t ，2)，C(6，t)，t ∈R ，O 为坐标原点.(1) 若△ABC 是直角三角形，求t 的值；(2) 若四边形ABCD 是平行四边形，求|OD →|的最小值.解析：(1) 由条件得AB →＝(t －4，2)，AC →＝(2，t )，BC →＝(6－t ，t －2). 若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝0， 即2(t －4)＋2t ＝0，解得t ＝2； 若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝0，即(t －4)(6－t )＋2(t －2)＝0，解得t ＝6±22； 若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝0， 即2(6－t )＋t (t －2)＝0，无解.故满足条件的t 的值为2或6±2 2. (2) 若四边形ABCD 是平行四边形， 则AD →＝BC →.设点D 的坐标为(，y ). 即(－4，y )＝(6－t ，t －2)，所以⎩⎨⎧x －4＝6－t ，y ＝t －2.即点D (10－t ，t －2).|OD →|＝（10－t ）2＋（t －2）2＝2（t －6）2＋32， 所以当t ＝6时，|OD →|的最小值为4 2.自测反馈1. 已知向量a ，b 满足||a ＝1，(a ＋b)·(a －2b)＝0，则|b|的最小值为2. 解析：由题意知，b ≠0.设a 与b 的夹角为θ.因为(a ＋b)·(a －2b)＝a 2－a ·b －b 2＝0.因为|a|＝1，所以1－|b|·cos θ－2b 2＝0，即cos θ＝1－2b 2|b|，所以－1≤1－2b 2|b|≤1，解得12≤|b|≤1，所以|b|的最小值为12.2. 已知平面内A ，B ，C 三点在同一条直线上，OA →＝(－2，m)，OB →＝(n ，1)，OC →＝(5，－1)，且OA →⊥OB →，则实数mn 的值为 2或18 .解析：因为A ，B ，C 三点在同一条直线上，所以AC →∥BC →.因为AC →＝OC →－OA →＝(7，－1－m)，BC →＝OC →－OB →＝(5－n ，－2)，所以7×(－2)＝(－1－m)(5－n)，化简得mn －5m ＋n ＋9＝0.又因为OA →⊥OB →，所以(－2，m)·(n ，1)＝0，即－2n ＋m ＝0，联立方程组，得⎩⎨⎧mn －5m ＋n ＋9＝0，m －2n ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝6，n ＝3或⎩⎨⎧m ＝3，n ＝32，所以mn ＝18或92.3. 已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8，x 2，b ＝(，1)，其中>0，若(a －2b)∥(2a ＋b)，则实数的值为 4 .解析：由题意得a －2b ＝⎝⎛⎭⎪⎫8－2x ，x2－2，2a ＋b ＝(16＋，＋1).因为(a －2b)∥(2a ＋b)，所以(8－2)(＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2·(16＋)，解得＝±4.因为>0，所以＝4.4. 已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1，1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1y ，其中>0，y >0.若a ⊥b ，则＋4y 的最小值为 9 .解析：因为a ⊥b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1，1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1y ＝0，即1x ＋1y ＝1，所以＋4y ＝(＋4y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝1＋x y ＋4y x ＋4.因为>0，y >0，所以5＋x y＋4yx≥5＋2x y ·4y x ＝9，当且仅当x y ＝4y x ，即＝3，y ＝32时，等号成立，故＋4y 的最小值为9.1. 处理向量平行和垂直问题时，通常使用向量平行、垂直的坐标形式的充要条件，从而得到方程.三道例题都有体现.2. 例3要结合图形分析其中的几何条件特征，将几何条件转化为坐标表示，这是数形结合的具体形式.3. 你还有哪些体悟，写下;：。