平面向量的平行与垂直

第56课平面向量的平行与垂直第56课平面向量的平行于垂直1.理解平面向量的平行和垂直概念，并掌握平行于垂直的判定方法；2.能利用平行和垂直解决相关问题.二、基础知识回顾与梳理1．未知向量a=(4,3)，b=(6,y)且ab，谋实数y的值.【教学建议】本题是选自课本第75页练习.主要目的是帮助学生复习、回顾两个向量平行的充要条件.教学时可采用提问方法由学生回顾学过的两种形式的平行的判定条件：（1）符号语言：若a//b，a≠0，则b=λa，但在此过程需要另设未知数λ；（2）坐标语言：x1y2-x2y1=0,这种方法来的简单直接学生更易接受.同时可提问这两种方法的联系与区别，坐标法是符号语言形式推导出来的.2．将上题中的a//b，改成a⊥b，求实数y的值.【教学建议】主要目的就是协助学生备考、总结两个向量横向的充要条件，教学时可以使用回答方法.3.未知a(6,1),b（0，－7），ｃ(－2,－3),先行确认∆abc的形状.【教学建议】本题选自书上87页，旨在让学生进一步理解向量垂直的条件，并进行运用.教学时要引导学生作图进行观察，确定形状后，通过向量的运算进行确认.1、教学处置：课前由学生独立自主顺利完成4道小题，并建议将解题过程简明扼要地写下在自学笔记栏.课前抽检审阅部分同学的答疑，介绍学生的思路及主要错误.将科学知识问题化，通过问题驱动，并使教学言而有物，协助学生内化科学知识，初步构成能力.评测时必须简约，必须页面沃埃尔.2、确诊练评测题1、已知平面内a,b,c三点在同一条直线上，oa=(-2,m),ob=(n,1),oc=(5,-1)，且oa⊥ob，则实数mn的值【分析与点评】“a,b,c三点在同一条直线上”这一条件可转化为//，进而得到一个有关m,n的方程，再由⊥得另一方程，联立两个方程即可求解.【变式】：未知向量a,b,且=a+2b,bc=－5a+kb,cd=7a－2b，若a,b,d共线则k的值________.【点评】：本题所要求的与已知条件与题1的相同，培养学生从基底角度理解向量共线.题2、未知e1,e2就是夹角为π的两个单位向量，a=e1-2e2，b=ke1+e2，若a⋅b=0，则实数k的值【分析与点评】本题系2021江苏高考第10题，主要考查学生利用基底进行简单数量积运算的能力.“外心”、“内心”、“战略重点”、“正三角形”中选一个填空题)题3：p是∆abc所在平面上一点，若pa⋅pb=pb⋅pc=pc⋅pa，则p是∆abc的_____________.(在【分析与评测】怎样认知pa⋅pb=pb⋅pc=pc⋅pa就是化解本题的关键，观测等式的三边，式子相似且形式对称，通过pa⋅pb=pb⋅pc我们能得出怎样的结论？a+oc=obo+d【变式】：平面内有四边形abcd和点o，若o，则四边形abcd的形状就是__________.题4：设a,b,c,d为平面上互异的四个点，且(db+dc-2da)⋅(ab-ac)=0，ab⋅ac=0,bc=4则||=________________.【分析与点评】ab⋅ac=0怎么理解？说明ab,ac具有怎样的位置关系？引导学生画出图形.∆abc是直角三角形，一边bc=2.(db+dc-2da)⋅(ab-ac)=0须要化简，怎么化？得到ab-ac=0，说明||=||，再去解直角三角形.第42课平面向量的平行与横向第1页（1）已知两向量的坐标解决平行或垂直的问题时关键在于能根据相应的坐标运算列出等式，进行运算.（2）向量既具有数的特征又具有图形的特征，在解题时，既要对向量进行运算分析，同时配以图形辅助分析，比如诊断练习第3题,第4题.四、范例导析基准1、设立向量=(4cosα,sinα),=(sinβ,4cosβ),=(cosβ,-4sinβ)（1）若a与b-2c横向，谋tan(α+β)的值；（2+的最大值；（3）若tanαtanβ=16，求证：//.【教学处置】本题可以由学生板演，教师评测或板书时，必须归纳总结有关要点.【鼓励分析与通识科建议】1.第（1）、(3)两小题就是两向量平行或横向的充要条件的轻易应用领域：题（1）两个非零向量a⊥b⇔a⊥b⇔x1x2+y1y2=0；题（3），a//b⇔x1y2-x2y1=0，将适当的座标代入等式，进而受检.2.题（2）首先要知道向量求模公式：|a|=x+y，以下通过两种方案求解：方案一：算出b+c+的最大值；+展开平方，创建出来目标函数，进而算出其最大值.例2已知向量a=（1,2），b=（－2，1），k，t为正实数，向量x=a+(t+1)b，y=-ka+b(1)若x⊥y，求k的最小值；(2)与否存有正实数k，t并使xy？若存有，算出k的值域范围；若不存在，说明理由.【教学处置】建议学生独立思考并解题，王莎莎学生板演，老师巡查指导介绍学情；再融合板演情况展开评测.也可以在学生函数化思想时遇到困难时，教师尽早干预与学生交流或展开传授，并示范点板书.【鼓励分析与通识科建议】1、本题直接使用两向量垂直和平行的充要条件，一般做法：根据条件列出相应的等式→将等式化简变形→对未知和结论对照分析；2、第（1）题中由未知获得(-2t-1)(-k-)+(t+3)(-2k+)=0时，应当鼓励学生观测本题建议什么？(t>0)要运思考如何去做？让学生去体会函数化的思想在求最值中的作用，其次得到的函数k=t用基本不等式展开运算.3、第（2）题是一条积极探索题，通常作法：先假设问题设立→列式展开分析处置.本题就是不存有这样的实数k,t，则需要推出矛盾.基准3以原点o和a（4,2）为两个顶点并作等腰三角形oab，∠b=90︒，谋点b的座标和【教学处理】指导学生画出图形先独立思考【引导分析与精讲建议】可提出以下问题与学生交流：问题1：如果设点b(x,y)，怎样从条件中找到两个关于x,y的式子，列举方程组？问题2：尝试从不同的角度，去列出方程组？第42课平面向量的平行与横向第2页问题3：对照图形来理解，为什么会有两解？这两解有怎样的特征？五、解题反思1、处置向量平行和横向问题时，通常采用向量平行、横向的座标形式的充要条件，从而获得方程.三道例题都存有彰显.2、在例2中，通过向量垂直的充要条件得到的k,t式子中，将谁作为自变量？从中要体会函数思想方法在解题中的导引作用.3、基准3必须融合图形分析其中的几何条件特征，将几何条件转变为座标则表示，这就是数形融合的具体内容形式.第42课平面向量的平行与垂直。

平面向量的平行投影和垂直投影的证明平面向量是平面上的有向线段，可以表示为有大小和方向的箭头。

在研究平面向量的性质时，我们经常需要考虑它的投影，即将向量在某个方向上的分量，这可以帮助我们更好地理解和应用向量。

本文将证明平面向量的平行投影和垂直投影的相关性质，以帮助读者更深入地理解这一概念。

1. 平行投影的证明对于平面上的两个向量a和a，它们的平行投影表示将向量a投影到与向量a平行的方向上，记为a(a, a)。

这个投影可以用以下公式表示：a(a, a) = (a·a/|a|^2) ·a证明：为了证明这一公式，我们可以先将向量a拆解为平行于向量a的分量a₁和垂直于向量a的分量a₂。

根据向量的加法性质，我们有a = a₁ + a₂。

假设a(a, a)为向量a，它与向量a平行。

根据向量的投影性质，我们知道向量a₁与向量a的夹角为0，即a₁与a共线。

因此，可以表示为a₁ = aa (其中a为实数)。

将上述等式代入a = a₁ + a₂，得到a = aa + a₂。

我们希望将向量a投影到与向量a平行的方向上，即与向量a平行的方向上。

由于a₂与a平行，则a与a₂的夹角也为0，即a与a₂共线。

因此，可以表示为a₂ = aa (其中a为实数)。

将上述等式代入a = aa + aa，得到a = (a+a)a。

根据向量相等的性质，我们可以得出(a+a)a = a。

将其与之前得到的投影公式a(a, a) = (a·a/|a|^2) ·a比较，可得出：(a·a/|a|^2) ·a = (a+a)a由于a与a平行，我们可以继续推导出：a = a(a, a) = (a·a/|a|^2) ·a至此，我们完成了平面向量的平行投影的证明。

2. 垂直投影的证明接下来，我们将证明平面向量的垂直投影，即将向量a投影到与向量a垂直的方向上，记为a(a, a)。

这个投影可以用以下公式表示：a(a, a) = a - a(a, a)证明：我们已经证明了平面向量的平行投影公式为a(a, a) =(a·a/|a|^2) ·a。

平面向量"的平行与"垂直基础知识回顾:1.平行（共线）向量定义:方向相同或相反的非零向量叫平行向量。

记作a// b；2.垂直向量定义:若两个非零向量所或角为90° ,则称这两个向量垂直。

记作日丄b一、基础训练1.已知平面向量a = (3,l),b = (x,-3),a//b,Mx 等于「92.已知平面向量a二(1,-3) ,b= (4,-2),篇+B与2垂直，则兄是 ______3.若耳,©是两个不共线的向量已知厢=2&+応，西二£+3©丽二2彳-若AB,D三点共线，则k=-8设A (4, 1) , B (-2, 3) , C (k, -6),若△ABC为直角三角形且ZB二90°求k的值。

解：当ZB = 90° ,BA= (6-2), BC = (k + 2-9)•/ ZB = 90° /. IX丄BC,BA- BC = 6(k + 2) + (-2)(-9) =0.\k = -5.如图所示，已知A(4,5)J B(1>2),C(12J), D(11,6)及P(6,4),求证:B、P、D三点共线，A、P、C 三点共线。

解：丽= (5,2), SB = (10,4) = 2莎AP = (2,-1), AC = (8, -4)二 4丽又丽、而共起点B ,丽、疋共起点A, 则B、P、D三点共线，A、P、C三点共线。

a> b是不共线的两个非零向S,OM=ma ,ON=nb OP = «a + ,其中m、n、仅、0 w R，且nm H 0,若M、P、N三点共线，则纟+炉=1 m n -- •P是ZVLBC所在平面上一点，若口4 • PB = PB • PC=PC•币，则P是厶ABC的________ 心.解析：由题知有丙• (PA~PC) = PB • CA = O.即PB_AC.同理可得PA1BC,PC_AB. :.P是厶ABC的垂心.答案：垂例4：设向量a =(4cosa,sina),b =(sin0,4cos0),—►c = (cos0Tsin0) ⑴若a与B -2c垂直，求tan(<z + 0)的值；(2)若tanciftan p = 16,求证:a//b.⑴由feb-2c垂直,aH^-2c) = aEb-2a^ = 0? 即4 sin(cr +0) — 8 cos(cr + 0) = 0,.・.tan(a + 0) = 2;(2)由tan a tan (3 = 16得sin a sin p = 16 cos a cos 0,艮卩4cosa4cos0-sinasiii0 = 0・・・a //b悸例3)已知平面向量。

平面向量的平行与垂直【考点及要求】1.理解平面向量的坐标表示；2.掌握平面向量的加减及数乘的坐标运算；3.理解向量平行的等价条件的坐标形式．【基础知识】1.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，i、j为x轴、y轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝x i＋y j成立，即向量a 的坐标是________2.平面向量的坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝___________，a－b＝____________。

3.平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的____坐标减去____坐标.4.实数与向量积的坐标表示：若a＝(x，y)，则λa＝____________5. 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，由a∥b⇔x1 y2－x2 y1＝_______【典型例题讲练】例1、已知平行四边形ABCD三个顶点A、B、C坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。

变式引申：已知平面上三点的坐标分别A(-2,1),B(-1,3),C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。

例2已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，且CACN2＝，求M，N＝，CBCM3的坐标和MN的坐标.变式:若向量jiBC+＝，其中i，j分别为x轴，y轴正方向上的单miAB2-＝，j位向量，求使A，B，C三点共线的m值.【课堂小结】设：(x 1, y 1)、b(x 2, y 2)（1）加减法：a ±b =(x 1±x 2,y 1±y 2)(其中a =(x 1,y 2)、b =(x 2,y 2)). （2）数乘：若a =(x,y),则λa =(λx,λy)（3）a∥b(b ≠0)12210a b x y x y λ⇔=⇔-=注：充要条件不能写成：1122x y x y =或1122xy x y =，但在解题中，当分母不为0时常使用；【课堂检测】1．若向量a =(x －2,3)与向量b =(1,y +2)相等，则（ ） A ．x =1,y =3 B ．x =3,y =1 C ．x =1,y =－5D ．x =5,y =－12．已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ，则αtan = （ ）A ．43 B ．43-C ．34 D ．34-3．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则AB -2BC = 4．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= 5．已知A B C D 中A(3，-2)，B(5，2)，C(-1，4)，则D 的坐标为____________6.设向量a =（1,-3），b =（-2,4），c =（-1,-2），若表示向量4a 、4b -2c 、2（a -c ）、d的有向线段依次首尾相接能构成四边形，则向量d 为（ ） A.（2,6）B.（-2,6）C.（2,-6）D.（-2,-6）7.平面上A （-2，1），B （1，4），D （4，-3），C 点满足21AC =→--→--CB，连DC 并延长至E ，使|→--CE |=41|→--ED |，则点E 坐标为： ( )A 、（-8，35-） B 、（311,38-） C 、（0，1） D 、（0，1）或（2，311）8．若向量a =(x －2,3)与向量b =(1,y +2)相等，则（ ） A ．x =1,y =3 B ．x =3,y =1 C ．x =1,y =－5 D ．x =5,y =－19．已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ，则αtan = （ ） A ．43 B ．43-C ．34 D ．34-10．若向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x= 11．已知三点P (1,1)、A (2,-4)、B (x ,-9)在一条直线上，求x 的值.12．已知向量a =(2x －y +1,x +y －2), b=(2,－2),x 、y 为何值时，(1)a b = ； (2) //a b13．平面内给定三个向量()()()1,4,2,1,2,3=-==c b a ，回答下列问题： （1）求满足c n b m a +=的实数m,n ； （2）若()()a b c k a -+2//，求实数k ；14.(2005湖北)．已知向量||).,5(),2,2(b a k b a +=-=若不超过5，则k 的取值范围是15.设→--OA =（3，1），→--OB =（-1，2），→--OC ⊥→--OB ，→--BC ∥→--OA ，O 为坐标原点，则满足→--OD +→--OA =→--OC 的→--OD 的坐标是＿＿＿＿。

专题三 平面向量的平行与垂直1．平面向量平行(共线)的充要条件的两种形式(1)平面向量平行(共线)充要条件的非坐标形式：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λb ．(2)平面向量平行充要条件的坐标形式：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0； 至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的用(2)．这是代数运算，用它解决平面向量平行(共线)问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．当x 2y 2≠0时，a ∥b ⇔x 1x 2＝y 1y 2，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．公式x 1y 2－x 2y 1＝0无条件x 2y 2≠0的限制，便于记忆；公式x 1x 2＝y 1y 2有条件x 2y 2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．乘积形式可总结为：“相异坐标的乘积的差为0”．2．三点共线的充要条件的三种形式(1)A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)(2)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )(3)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．3．非零向量垂直的充要条件的两种形式(1)平面向量垂直的非坐标形式：a ⊥b ⇔ a ·b ＝0．(2)平面向量垂直的坐标形式：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，数量积的运算a ·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b ．一般情况涉及坐标的用(2)．坐标形式可总结为：“相应坐标的乘积的和为0”．考点一 平面向量的平行【方法总结】两平面向量平行的充要条件既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当然也可解决三点共线的问题．高考试题中一般是考查已知两向量平行或三点共线求参数，并且以给出向量的坐标为主．解决此类问题的方法是借助两平面向量平行的充要条件列出方程(组)，求出参数的值．注意方程思想和待定系数法的运用．【例题选讲】[例1] (1)设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2BF →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直答案 A 解析 由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA ＋AE ＝BA ＋13AC ，CF ＝CB ＋BF ＝CB ＋13BA ，因此AD ＋BE ＋CF ＝CB ＋13(BC ＋AC －AB )＝CB ＋23BC ＝－13BC ，故AD ＋BE ＋CF 与BC 反向平行．(2)已知向量m ＝(1，7)与向量n ＝(k ，k ＋18)平行，则k 的值为( )A ．－6B ．3C ．4D ．6答案 B 解析 因为m ∥n ，所以7k ＝k ＋18，解得k ＝3．故选B ．(3)(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．答案 12 解析 2a ＋b ＝(4，2)，因为c ＝(1，λ)，且c ∥(2a ＋b )，所以1×2＝4λ，即λ＝12． (4)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( )A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线答案 B 解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴BD →，AB →共线，又有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．故选B ．(5)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案 －54解析 AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54． (6)已知向量a ＝(1，1)，点A (3，0)，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB →∥a ，则点B 的坐标为________．答案 (－3，－6) 解析 设B (x ，2x )，则AB →＝(x －3，2x )．∵AB →∥a ，∴x －3－2x ＝0，解得x ＝－3，∴B (－3，－6)．【对点训练】1．已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________．1．答案 6 解析 ∵a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，∴－2m －4×3＝0，∴m ＝－6．2．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，c ＝(λ，－1)，若c ∥(2a ＋b )，则λ等于( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．122．答案 A 解析 ∵a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)，∴2a ＋b ＝(4，2)，又c ＝(λ，－1)，c ∥(2a ＋b )，∴2λ＋4 ＝0，解得λ＝－2，故选A ．3．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________．3．答案 5 解析 因为a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，7)，所以a －c ＝(3－k ，－6)．因为(a －c )∥b ，所 以1×(－6)＝3×(3－k )，解得k ＝5．4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________．4．答案 1 解析 ∵a －2b ＝(3，3)，且a －2b ∥c ，∴3×3－3k ＝0，解得k ＝1．5．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝( )A ．4B ．－5C ．6D ．－65．答案 D 解析 a ＋2b ＝(－3，3＋2k )，3a －b ＝(5，9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6．故选D ．6．已知向量a ＝(λ＋1，1)，b ＝(λ＋2，2)，若(a ＋b )∥(a －b )，则λ＝________．6．答案 0 解析 因为a ＋b ＝(2λ＋3，3)，a －b ＝(－1，－1)，且(a ＋b )∥(a －b )，所以2λ＋3－1＝3－1，所 以λ＝0．7．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，c ＝(2，3)，若a ＋λb 与c 共线，则实数λ＝( )A ．25B ．－25C ．35D ．－357．答案 B 解析 解法一：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2，3)，因为a ＋λb 与c 共线，所以必定存在唯一实数μ，使得a ＋λb ＝μc ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－λ＝2μ，4＋λ＝3μ，解得⎩⎨⎧μ＝65，λ＝－25.解法二：a ＋λb ＝(2－λ，4＋λ)，c ＝(2，3)，由a ＋λb 与c 共线可知3(2－λ)＝2(4＋λ)，得λ＝－25． 8．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋n b 与a －3b 共线，则m n＝________． 8．答案 －13 解析 由2－1≠32，所以a 与b 不共线，又a －3b ＝(2，3)－3(－1，2)＝(5，－3)≠0．那么 当m a ＋n b 与a －3b 共线时，有m 1＝n －3，即得m n ＝－13． 9．在平面直角坐标系xOy 中，已知点O (0，0)，A (0，1)，B (1，－2)，C (m ，0)．若OB →∥AC →，则实数m的值为( )A ．－2B ．－12C ．12D ．2 9．答案 C 解析 因为OB →＝(1，－2)，AC →＝(m ，－1)．又因为OB →∥AC →，所以m 1＝－1－2，m ＝12．故选C ． 10．已知A (1，1)，B (3，－1)，C (a ，b )，若A ，B ，C 三点共线，则a ，b 的关系式为________．10．答案 a ＋b ＝2 解析 由已知得AB →＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →．∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2．11．已知点A (0，1)，B (3，2)，C (2，k )，且A ，B ，C 三点共线，则向量AC →＝( )A ．⎝⎛⎭⎫2，23B ．⎝⎛⎭⎫2，53C ．⎝⎛⎭⎫23，2D ．⎝⎛⎭⎫53，2 11．答案 A 解析 AB →＝(3，1)，AC →＝(2，k －1)，因为A ，B ，C 三点共线，所以可设AB →＝λAC →，即(3，1)＝λ(2，k －1)，所以2λ＝3，即λ＝32，所以AC →＝1λAB →＝⎝⎛⎭⎫2，23． 12．已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0．若a ∥b ，则m n＝________． 12．答案 －2 解析 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴m n＝－2． 13．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．13．答案 12 解析 ∵λa ＋b 与a ＋2b 平行，∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得 ⎩⎨⎧ λ＝12，t ＝12.14．已知点A (4，0)，B (4，4)，C (2，6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．14．答案 (3，3) 解析 法一 由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4，4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2，6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3，3)，所以点P 的坐标为(3，3)． 法二 设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4，4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y ．又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2，6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3，3)．15．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(1，1)，且a ∥b ，则向量a 的坐标是__________．15．答案 ⎝⎛⎭⎫22，22或⎝⎛⎭⎫－22，－22 解析 a ＝(x ，y )，因为平面向量a ，b 满足|a|＝1，b ＝(1，1)，且 a ∥b ，所以x 2＋y 2＝1，且x －y ＝0，解得x ＝y ＝±22．所以a ＝⎝⎛⎭⎫22，22或⎝⎛⎭⎫－22，－22． 16．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与AB →同方向的单位向量是__________．16．答案 ⎝⎛⎭⎫35，－45 解析 AB →＝OB →－OA →＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，∴与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝⎝⎛⎭⎫35，－45 17．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是( )A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D17．答案 B 解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．18．已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23B ．43C ．12D ．1318．答案 A 解析 AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →共线，所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23． 19．设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．219．答案 B 解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ．又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∵a ，b 不共线，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1．20．设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(2m ，－1)，OC →＝(－2n ，0)，m ，n ∈R ，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则m ＋n 的最大值为( )A ．－3B ．－2C ．2D ．320．答案 A 解析 由题意易知，AB →∥AC →，其中AB →＝OB →－OA →＝(2m －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－2n －1，2)，所以(2m －1)×2＝1×(－2n －1)，得：2m ＋1＋2n ＝1．2m ＋1＋2n ≥22m＋n ＋1，所以2m ＋n ＋1≤2－2，即m ＋n ≤－3．考点二 两个非零向量的垂直【方法总结】两平面向量垂直的充要条件既可以判定两向量垂直，也可以由垂直求参数．高考试题中一般是考查已知两向量垂直求参数，如果已知向量的坐标，根据两平面向量垂直的充要条件(2)，列出相应的关系式，进而求解参数．如果未知向量的坐标，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量，根据两平面向量垂直的充要条件(1)，列出相应的关系式，进而求解参数．如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标从而把问题转化为已知向量的坐标求参数的问题．注意方程思想和等价转化思想的运用．【例题选讲】[例1](1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC答案 D 解析 在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB ＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b|cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，故选D ．(2)(2017·全国Ⅰ)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________．答案 7 解析 因为a ＋b ＝(m －1，3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7．(3)(2018·北京)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝________．答案 －1 解析 由题意得，m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，所以m ＝－1．(4)(2020·全国Ⅲ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________．答案 22解析 由题意知(k a －b )·a ＝0，即k a 2－b ·a ＝0．因为a ，b 为单位向量，且夹角为45°，所以k ×12－1×1×22＝0，解得k ＝22． (5)(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos<m ，n >＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－94答案 B 解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋|n |2＝0，∴t|m ||n |cos<m ，n >＋|n |2＝0．又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4．故选B ． (6)如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，若E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且满足BE BC ＝AF AB＝λ，则当AE →·DF →＝0时，λ的值所在的区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫18，14B ．⎝⎛⎭⎫14，38C ．⎝⎛⎭⎫38，12D ．⎝⎛⎭⎫12，58 答案 B 解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，可得<AD →，BC →>＝60°，所以<AB →，AD →>＝60°，<AB →，BC →>＝120°，所以AB →·AD →＝4×2×12＝4，AB →·BC →＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4，AD →·BC →＝2×2×12＝2，又BE BC ＝AF AB＝λ，所以BE →＝λBC →，AF →＝λAB →，则AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →，DF →＝AF →－AD →＝λAB →－AD →，所以AE →·DF →＝(AB →＋λBC →)·(λAB →－AD →)＝λAB →2－AB →·AD →＋λ2AB →·BC →－λAD →·BC →＝0，即2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝7＋334(舍去)或λ＝7－334∈⎝⎛⎭⎫14，38． 【对点训练】1．已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为( )A ．－23B ．23C ．43D ．631．答案 B 解析 因为a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，所以a －b ＝(－2，m )－(1，3)＝(－3，m －3)．由 (a －b )⊥b ，得(a －b )·b ＝0，即(－3，m －3)·(1，3)＝－3＋3m －3＝3m －6＝0，解得m ＝23，故选B ．2．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．82．答案 D 解析 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，所以a ＋b ＝(4，m －2)．因为(a ＋b )⊥b ，所以 (a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a ·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝83．设向量a ＝(1，m )，b ＝(m －1，2)，且a ≠b ，若(a －b )⊥a ，则实数m ＝( )A ．12B ．13C ．1D ．2 3．答案 C 解析 因为a ＝(1，m )，b ＝(m －1，2)，且a ≠b ，所以a －b ＝(1，m )－(m －1，2)＝(2－m ， m －2)，又(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝0，可得(2－m )×1＋m (m －2)＝0，解得m ＝1或m ＝2．当m ＝2时，a ＝b ，不符合题意，舍去，故选C ．4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－14．答案 A 解析 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0， 解得k ＝－3．5．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D ．1525．答案 C 解析 ∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0．∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3， －6)．∴(2k －3，－6)·(2,1)＝0，即(2k －3)×2－6＝0．∴k ＝3．6．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．－16．答案 A 解析 因为a ＋2b 与c 垂直，所以(a ＋2b )·c ＝0，即a ·c ＋2b ·c ＝0，所以3k ＋3＋23＝0， 解得k ＝－3．7．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(1，0)，c ＝(3，4)，若λ为实数，(b ＋λa )⊥c ，则λ的值为( )A ．－311B ．－113C ．12D ．357．答案 A 解析 b ＋λa ＝(1，0)＋λ(1，2)＝(1＋λ，2λ)，又c ＝(3，4)，且(b ＋λa )⊥c ，所以(b ＋λa )·c＝0，即3(1＋λ)＋2λ×4＝3＋3λ＋8λ＝0，解得λ＝－311． 8．在△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A (3，t )，B (t ，－1)，C (－3，－1)，若△ABC 是以B 为直角顶点 的直角三角形，则t ＝________．8．答案 3 解析 由已知，得BA →·BC →＝0，则(3－t ，t ＋1)·(－3－t ，0)＝0，∴(3－t )(－3－t )＝0，解得t＝3或t ＝－3，当t ＝－3时，点B 与点C 重合，舍去．故t ＝3．9．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________．9．答案 1 解析 ∵a 与b 为两个不共线的单位向量，∴|a|＝|b |＝1，又a ＋b 与k a －b 垂直，∴(a ＋b )·(k a －b )＝0，即k a 2＋k a ·b －a ·b －b 2＝0，∴k －1＋k a ·b －a ·b ＝0，即k －1＋k cos θ－cos θ＝0(θ为a 与b 的夹角)，∴(k －1)(1＋cos θ)＝0．又a 与b 不共线，∴cos θ≠－1，∴k ＝1．10．(2013·全国Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ，若b ·c ＝0，则t ＝________．10．答案 2 解析 因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a ·b ＝12， 由b ·c ＝0得b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a ·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2． 11．已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( )A ．2215B ．103C ．6D ．12711．答案 A 解析 因为AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，所以有AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AB →·AC →＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0，解得λ＝2215．。

第2课 平面向量的平行与垂直一、教学目标1. 理解平面向量的平行和垂直概念，并掌握平行于垂直的判定方法；2. 能利用平行和垂直解决相关问题.二、基础知识回顾与梳理 1.已知向量(4,3)a = ，(6,)b y = 且//，求实数y 的值.2．将上题中的a //b ，改成a ⊥b ，求实数y 的值.3.已知A(6,1), B （0，－7），Ｃ(－2,－3),试确定ABC ∆的形状.三、诊断练习题1、 已知向量)4,3(),0,1(),2,1(===→→→c b a ，若λ为实数，→→→+c b a //)(λ，_____=λ 【变式】：已知向量a,b ,且AB =a +2b , BC =－5a +k b , CD =7a －2b ，若A,B,D 共线则k 的值为________.题2、 已知),1,2(),4,3(-==→→b a 若向量→→+b a λ与-→b 垂直，则________=λ 题3：P 是ABC ∆所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ ，则P 是ABC ∆ 的_____________.(在“外心”、“内心”、“重心”、“垂心”中选一个填空)【变式】：平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA OC OB OD +=+ ，则四边形ABCD 的形状是__________. 题4：设A,B,C,D 为平面上互异的四个点，且(2)()0DB DC DA AB AC +-⋅-= ，0AB AC ⋅= ,42=则||AB =________________.四、范例导析例1、已知：a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =1)-,（1）若2c a = ，且//c a ，求c 的坐标；（2）若127a b + 与a b - 垂直，且b 与a 的夹角为120°，求b .例2 已知向量a =（1,2），b =（－2，1），k ，t 为正实数，向量2=(1)t x a ++b ，1=k t-y a +b (1) 若⊥x y ，求k 的最小值；(2) 是否存在正实数k ，t 使x //y ？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由.五、解题反思1、处理向量平行和垂直问题时，通常使用向量平行、垂直的坐标形式的充要条件，从而得到方程.三道例题都有体现.2、例2要结合图形分析其中的几何条件特征，将几何条件转化为坐标表示，这是数形结合的具体形式.3、在例3中，通过向量垂直的充要条件得到的,k t 式子中，将谁作为自变量？从中要体会函数思想方法在解题中的导引作用.六、课后练习：1、 已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →的最大值为________．2、 线段AD ，BE 分别是边长为2的等边三角形ABC 在边BC ，AC 边上的高，则AD →·BE →＝3、已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为4、在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________.5、在平面直角坐标系xOy 中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长(2)设实数t 满足(t -)·=0，求t 的值（1）(3,5),(1,1)AB AC ==-。

平面向量坐标平行和垂直的公式哎呀，说起平面向量坐标，那可是数学里的小宝贝！想象一下，你有一个大大的画布，上面画着好多小点，这些小点就是向量。

你想让它们动起来，就像动画片里的角色一样，有的跑得快，有的慢悠悠。

这就要用到坐标了，就像是给每个角色标上名字，好让它们知道该往哪走。

我们来聊聊平行的问题。

想象一下，两个向量A和B，它们的方向差不多，但是走得不是一条直线。

就像两个好朋友，虽然经常见面，但不一定天天在一起，有时候还会分开一段时间。

这时候，我们就可以说向量A和B是平行的。

平行的向量啊，就像是在画布上找两个好朋友的位置，他们虽然走得不远，但总是能找到对方。

再来说说垂直的问题。

想象一个直角三角形，两条直角边就是那两个朋友，斜边就是向量AB。

如果这两个朋友走得笔直，那他们的夹角就是90度，这就是垂直啦！垂直的向量啊，就像是在画布上找两个朋友的位置，他们不仅走得直，而且走得正好。

那么，问题来了，你知道怎么判断一个向量是不是平行或者垂直吗？别急，我来给你支招。

看它们的叉积。

叉积就像是两个人之间的“友谊”测试，如果叉积为0，那就意味着他们走得近得像一对儿；如果叉积不为0，那就意味着他们走得远得像两兄弟。

叉积为零的时候，我们就说向量是平行的；叉积不为零的时候，我们就说向量是垂直的。

看看他们的点积。

点积就像是两个人之间“感情”的体现，如果点积为0，那就意味着他们没有太多共同点；如果点积不为0，那就意味着他们有很多共同点。

点积为零的时候，我们就说向量是平行的；点积不为零的时候，我们就说向量是垂直的。

别忘了看看他们的模长。

模长就像是一个人的高度，如果两个向量的模长得差不多，那就意味着他们长得很像；如果两个向量的模长差得远，那就意味着他们长得不一样。

模长得差不多的时候，我们就说向量是平行的；模长得差得很远的时候，我们就说向量是垂直的。

怎么样，通过这些方法，你是不是能轻松地找到平行和垂直的向量了呢？记住哦，数学的世界虽然复杂，但只要用对方法，一切都会变简单。