(圆锥曲线)全国高中数学联赛试题一试

全国卷高考数学圆锥曲线大题（带答案）1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|.(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程．(Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足：①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ⋅= 求点G 的横坐标的取值范围．2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是,425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1:22222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0.（Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若=. 求证：.0=•4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa.（1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα;（2）若2<tanα<3，求椭圆率心率e的取值范围.5. 已知椭圆2222byax+（a＞b＞0）的离心率36=e，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为23（1）求椭圆的方程（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由6. 在直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，平面内两点M G ,同时满足下列条件： ①0=++GC GB GA MCMB MA ==GM ∥AB（1）求ABC ∆的顶点C 的轨迹方程；（2）过点)0,3(P 的直线l 与（1）中轨迹交于F E ,两点，求PF PE ⋅的取值范围7. 设R y x ∈,，j i,为直角坐标平面内x 轴．y 轴正方向上的单位向量，若jy i x b j y i x a)2(,)2(-+=++=，且8||||=+b a（Ⅰ）求动点M(x,y)的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设曲线C 上两点A ．B ，满足(1)直线AB 过点（0，3），(2)若OB OA OP +=，则OAPB 为矩形，试求AB 方程．8. 已知抛物线C ：)0,0(),(2>≠+=n m n x m y 的焦点为原点，C 的准线与直线 )0(02:≠=+-k k y kx l 的交点M 在x 轴上，l 与C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N （p ，0）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程； （Ⅱ）求实数p 的取值范围；（Ⅲ）若C 的焦点和准线为椭圆Q 的一个焦点和一条准线，试求Q 的短轴的端点的轨迹方程．9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴AA 1在x 轴上.以A 、A 1为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、D 1、C 1四点，且|CD|＝21|AA 1|.椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设λ=EC AE ，当4332≤≤λ时，求双曲线的离心率e 的取值范围.x10. 已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; 若角A 为090，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.11. 如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于,A B两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.(1) 设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明:()QP QA QB λ⊥-;(2) 设直线AB 的方程是2120x y -+=，过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.12. 已知动点P （p ，-1），Q （p ，212p +），过Q 作斜率为2p 的直线l ，P Q 中点M 的轨迹为曲线C.（1）证明：l 经过一个定点而且与曲线C 一定有两个公共点； （2）若（1）中的其中一个公共点为A ，证明：AP 是曲线C 的切线； （3）设直线AP 的倾斜角为α，AP 与l 的夹角为β，证明：βα+或βα-是定值.13. 在平面直角坐标系内有两个定点12F F 、和动点P ，12F F 、坐标分别为)0,1(1-F 、)0,1(F 2，动点P 满足22|PF ||PF |21=，动点P 的轨迹为曲线C ，曲线C 关于直线y x =的对称曲线为曲线'C ，直线3-+=m x y 与曲线'C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，△ABO 的面积为7，（1）求曲线C 的方程；（2）求m 的值。

以下是一道高中数学竞赛试题圆锥曲线：题目：已知椭圆 C：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为√3/3，过点 A(0,b) 和 B(a,0) 的直线与原点的距离为√3。

(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 设 P 是椭圆 C 上的任意一点，F1，F2 是椭圆 C 的两个焦点，求∠F1PF2 的最大值；(3) 已知过点 E(1/3,0) 的直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个交点，求直线 l 的方程。

【分析】(1)利用椭圆的离心率和原点到直线的距离，列出方程组，求出$a，b$，即可求椭圆C的方程；(2)设$\angle F_{1}PF_{2}$为$\theta $，利用余弦定理和基本不等式，即可求$\angle F_{1}PF_{2}$的最大值；(3)当直线$l$的斜率不存在时，直线$l$的方程为$x = \frac{1}{3}$；当直线$l$的斜率存在时，设直线$l$的方程为$y = k(x - \frac{1}{3})$，与椭圆C 联立消去$y$得$(3k^{2} + 1)x^{2} - \frac{2k^{2}}{3}x -\frac{7k^{2}}{9} = 0$，利用根的判别式和韦达定理即可求直线$l$的方程．【解答】(1)由题意知：$\{\begin{matrix} \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3} \\ \frac{ab}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} = \sqrt{3} \\a^{2} = b^{2} + c^{2} \\\end{matrix}$，解得：$\{\begin{matrix} a = \sqrt{3} \\b = 1 \\c = 1 \\\end{matrix}$，所以椭圆C的方程为$\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$；(2)由$(1)$知：$F_{1}( - 1,0)，F_{2}(1,0)$，设$P(m,n)$是椭圆C上的任意一点，则$\frac{m^{2}}{3} + n^{2} = 1$．则${|F_{1}P|}^{2} = (m +1)^{2} + n^{2}$$= m^{2} + n^{2} + 2m + 1$$= - 2mn + m^{2} + n^{2} + 1$$= - 2mn + 4$，${|F_{2}P|}^{2} = (m - 1)^{2} + n^{2}$$= m^{2} +n^{2} - 2m + 1$$= - 2mn + m^{2} + n^{2} + 1$$= - 2mn + 4$，所以${|F_{1}P|}^{2} + {|F_{2}P|}^{2}$$= - 4mn + 8 = {|F_{1}P|}^{2}$．又${|F_{1}P|}^{2} + {|F_{2}P|}^{2}$$= {|PF_{1}|}^{2} +{|PF_{2}|}^{2}$，所以$\cos\theta$$= \frac{{|PF_{1}|}^{2} +{|PF_{2}|}^{2}}{{|F_{1}P|}^{2}}$$= \frac{{|F_{1}P|}^{2} +{|F_{2}P|}^{2}}{{|F_{1}P|}^{2}}$$= \frac{- 4mn + 8}{4}$$= - mn +2$．因为$- 3 \leqslant m \leqslant \sqrt{3}$，所以$- \sqrt{3}\leqslant n \leqslant \sqrt{3}$，所以${|F_{1}P|}^{2}$$+{|F_{2}P|}^{4}$$= - 4mn + 8$$= m^{2} - n^{4} + m^{4}$$= m^{4}$$+m^{2}$$+ 1。

1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB的交点为Q 。

（1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112||||PC PD PQ +=.2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==⋅ （1）动点N 的轨迹方程；（2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=⋅AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围.3. 如图，椭圆134:221=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角.4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W .（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围；（Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。

6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=(1)求点P 的轨迹方程； (2)若2·1cos PM PN MPN-∠＝,求点P 的坐标.7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线1222=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3MON π∠=，双曲线的焦距为4。

1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|， 设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与 的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，0MA AP ⋅=u u ur u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。

（一）数学全国1卷设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x=1.由已知可得，点A 的坐标为或(1,.所以AM 的方程为y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++.则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.综上，OMA OMB∠=∠.已知椭圆C：2222=1x ya b+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，P4（1，C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.解：（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过3P，4P两点.又由222211134a b a b+>+知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此222111314ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241ab⎧=⎪⎨=⎪⎩.故C的方程为2214xy+=.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知0t≠，且||2t<，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则121k k+-=-，得2t=，不符合题设.从而可设l：y kx m=+（1m≠）.将y kx m=+代入2214xy+=得222(41)8440k x kmx m+++-=由题设可知22=16(41)0k m∆-+>.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2841kmk-+，x1x2=224441mk-+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-） 数学全国1卷设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E. （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1于M,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（I ）13422=+y x （0≠y ）；（II ）)38,12[ 【解析】试题分析：（I ）利用椭圆定义求方程；（II ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。

高中数学每周一测.圆锥曲线２０１２.１０.１２一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于 ( )A ．4B ．5C ．8D ．102．双曲线221102x y -=的焦距为 ( )A ．32B ．3C ．22D ． 23．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2-=x ，则抛物线的方程是 ( )A ．x y 82-=B ．x y 82=C ．x y 42-=D ．x y 42=4．抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离是 ( )A ．18B ．14C ．116D ．15．已知点M (3，0)，椭圆x24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则ΔABM 的周长为( )A ．4B ．8C ．12D ．166．设椭圆x 2m 2＋y2n 2＝1(m >0，n >0)的右焦点与抛物线x y 82=的焦点相同，离心率为21，则此椭圆的方程为 ( )A ．x 212＋y 216＝1B ．x 216＋y 212＝1C ．x 248＋y 264＝1D ．x 264＋y 248＝17．已知双曲线x 22－y 22＝1的准线经过椭圆x 24＋y 2b2＝1(b ＞0)的焦点，则b ＝( )A ．3 B. 5 C. 3 D. 28．已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为 ( )A ．x 25－y 24＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 23－y 26＝1D ．x 26－y 23＝19．已知点P 是抛物线y 2＝－8x 上一点，设P 到此抛物线准线的距离是d 1，到直线x ＋y －10＝0的距离是d 2，则d 1＋d 2的最小值是 ( )A ． 3B ．2 3C ．6 2D ．310．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为 ( )A ．95B ．3C ．977D ．9411．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝48，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝16xB ．y 2＝8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝42x12．已知双曲线x 29－y 216＝1，其右焦点为F ，P 为其上一点，点M 满足|MF →|＝1，MF →·MP →＝0，则|MP →|的最小值为 ( )A ． 3B ．3C ．2D . 2 ∵x 0≤－3或x 0≥3，∴|MP →|2min ＝3，∴|MP →|m i n ＝ 3.二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷对应横线上)13．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 2－y 23＝1的右焦点重合，则p 的值为________．14．若点P (2,0)到双曲线x 2a 2－y2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为________．15．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点作圆x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．16．设M 是椭圆x 24＋y 23＝1上的动点，A 1和A 2分别是椭圆的左、右顶点，则MA 1→·MA 2→的最小值等于________．三、解答题(本大题共2小题，共20分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．18．（本小题满分12分）已知椭圆C :2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)圆4322=+y x 的切线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，求△AOB面积的最大值(O 为坐标原点).高中数学每周一测.圆锥曲线(参考答案)1．D 解析：∵a 2＝25，∴a ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.2．B 解析：由双曲线方程得22210,212==∴=a b c ，于是2==c c B 3．B 解析：∵,22-=-p∴p ＝4，∴抛物线的方程x px y 822==. 4．A 解析：由y x 412=知，p ＝18，所以焦点到准线的距离为p ＝18.5．B 解析：M (3，0)是椭圆的焦点，而y ＝k (x ＋3)过椭圆的另一个焦点(－3，0)，所以ΔABM 的周长为4a ＝8.6．B 解析：抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝42m ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝16n 2＝12，7．C 解析：已知双曲线的准线方程为x ＝±a 2c ＝±22＋2＝±1，∴椭圆的焦点坐标为(±1,0)，即c ＝1. ∴b 2＝4－1＝3，∴b ＝ 3.故选C. 8．A 解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，圆C 的圆心C (3,0)，半径r ＝2，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝93b a 2＋b2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝4a 2＝5.9．C 解析：抛物线y 2＝－8x 的焦点F (－2,0)，根据抛物线的定义知，d 1＋d 2＝|PF |＋d 2， 显然当由点F 向直线x ＋y －10＝0作垂线与抛物线的交点为P 时，d 1＋d 2取到最小值， 即|－2＋0－10|2＝6 2. 10．D 解析：设椭圆短轴的一个端点为M .由于a ＝4，b ＝3，∴c ＝7<b .∴∠F 1MF 2<90°，∴只能∠PF 1F 2＝90°或∠PF 2F 1＝90°. 令x ＝±7得y 2＝9⎝⎛⎭⎫1－716＝9216，∴|y |＝94. 即P 到x 轴的距离为94.11．C 解析：由AF →＝FB →及|AF →|＝|AC →|知在R t △ACB 中，∠CBF ＝30°，|DF |＝p 2＋p2＝p ，∴AC ＝2p ，BC ＝23p ，BA →·BC →＝4p ·23p ·c o s 30°＝48，∴p ＝2.抛物线方程为y 2＝4x .12．A 解析：∵|MF →|＝1，F 为定点，∴点M 在以F 为圆心，1为半径的圆上，又P 在双曲线上，设P (x 0，y 0)，则x 209－y 2016＝1，∴y 20＝169x 20－16，∵MF →·MP →＝0，∴MF ⊥MP ， ∴|MP →|2＝|PF |2－|MF |2＝(x 0－5)2＋y 20－1＝(x 0－5)2＋169x 20－17＝259x 20－10x 0＋8＝259(x 0－95)2－1，13．答案：4解析： 双曲线x 2－y 23＝1的右焦点为(2,0)，由题意，p2＝2，∴p ＝4.14．答案：2 解析：由于双曲线渐近线方程为bx ±ay ＝0，故点P 到直线的距离d ＝2ba 2＋b 2＝2,∴a ＝b ，即双曲线为等轴双曲线，故其离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 2.15．答案：22解析：因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以b a ＝22， 所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即e ＝22.16．答案：－1解析： 设M (x 0，y 0)，则MA 1→＝(－2－x 0，－y 0)， MA 2→＝(2－x 0，－y 0)∴MA 1→·MA 2→＝x 20＋y 20－4＝x 20＋⎝⎛⎭⎫3－34x 20－4＝14x 20－1， 显然当x 0＝0时，MA 1→·MA 2→取最小值为－1.17解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋bx 2＝4y得x 2－4x －4b ＝0(*)∵直线l 与抛物线相切, ∴△＝(－4)2－4×(－4b )＝0, ∴b ＝－1(2)由(1)知b ＝－1，方程(*)为x 2－4x ＋4＝0 解得x ＝2，代入x 2＝4y 中得，y ＝1，∴A (2,1) ∵圆A 与抛物线准线y ＝－1相切, ∴r ＝|1－(－1)|＝2. 所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.18.解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1b ∴=，∴所求椭圆方程为2213x y +=．（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，．（1）当AB x ⊥轴时，AB = （2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+．2=，得223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程， 整理得222(31)6330k x kmx m +++-=， 122631kmx x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+． 22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠+=++⨯+++≤．当且仅当2219k k=，即3k =时等号成立．当0k =时，AB =， 综上所述ma x2AB =．∴当AB 最大时，A O B △面积取最大值m a 132S A B =⨯=．。

2000-2010年全国高中数学联赛试题一试(答案)解析几何圆锥曲线部分一、选择题2000、已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 【答】（ ） (A)33 (B) 233 (C) 33 (D) 63 2002．直线x 4+y 3=1与椭圆x 216+y 29=1相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得ΔPAB 面积等于3．这样的点P 共有【答】（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2003. 设,,0,a b R ab ∈≠那么直线0ax y b -+=和曲线22bx ay ab +=的图形是【答】（ ）2003. 过抛物线()282y x =+的焦点F 作倾斜角为60︒的直线. 若此直线与抛物线交于A ，B两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于 【答】（ ）（A ）163 (B)832004、已知M={}32|),(22=+y x y x ，N={}b mx y y x +=|),(，若对于所有的R m ∈，均有,φ≠⋂N M 则b 的取值范围是【答】（ ）A ．[26,26-] B 。

（26,26-）C 。

（332,332-） D 。

[332,332-]2005. 方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是【答】（ ）A. 焦点在x 轴上的椭圆B. 焦点在x 轴上的双曲线C. 焦点在y 轴上的椭圆D. 焦点在y 轴上的双曲线2007. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是【答】（ ）二、填空题2000、在椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若该椭圆的离心率是215-，则∠ABF =_________. 2003．设12,F F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12:2:1PF PF =，则12PF F ∆的面积等于_____________.2005.若正方形ABCD 的一条边在直线172-=x y 上，另外两个顶点在抛物线2x y =上.则该正方形面积的最小值为 .2006. 已知椭圆221164x y +=的左右焦点分别为1F 与2F ，点P 在直线l：80x ++=上. 当12F PF ∠取最大值时，比12PF PF 的值为 .2009.椭圆22221x y ab+=（0a b >>）上任意两点P ，Q ，若OQ OP ⊥，则乘积||||OQ OP ⋅的最小值为_____________．2009．已知直线L ：90x y +-=和圆M ：22228810x y x y +---=，点A 在直线L 上，B 、C 为圆M 上两点，在△ABC 中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为2010.双曲线221x y -=的右半支与直线100x =围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 ．三、解答题2000、已知C 0:x 2+y 2=1和C 1:12222=+by a x (a ＞b ＞0)。

2013年全国高中数学联赛一试圆锥曲线集锦1.设椭圆与x 轴交于A 、B 两点，已知对于椭圆上不同于A 、B 的任意一点P ，直线AP 与BP 的斜率之积均为12-，则椭圆的离心率为（ ）A ．B C ．12 D 2.设双曲线22221(0,0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两条渐近线于A 、B 两点，P 是l 与双曲线的一个交点，设O 为坐标原点，若有实数m 、n 使得2,9OP mOA nOB mn =+= 且，则该双曲线的离心率为（ ）A B ．98 C D 3.设抛物线24y x =的焦点为F ，顶点为O ，M 是抛物线上的动点，则MO MF 的最大值是（ ）A B C ．43 D4.已知F 1、F 2分别为双曲线:C 221927x y -=的左、右焦点，点A 的坐标为129(2F AF ∠则的平分线与x 轴交点M 的坐标为（ ）A ．（2，0）B ．（-2，0）C ．（4，0）D ．（-4，0）5.已知ABCDEF 是边长为2的正六边形，一条抛物线经过A 、B 、C 、D 四点则该抛物线的焦点到准线的距离是6.任作椭圆2222153x y +=的一条切线，与椭圆的两条对称轴分别交于点A 、B ，则线段AB 长度的最小值是7.椭圆2222153x y +=的内接正方形面积是 8.过原点O 的直线l 与椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>交于M 、N 两点，P 是椭圆C 上异于M 、N 的任一点，若直线PM 、PN 的斜率之积为13-，则椭圆C 的离心率为 9.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是10.如果双曲线的两个焦点坐标分别是F 1(-2,0)和F 2(2,0)，双曲线的一条切线交x 轴于1(,0)2Q ，且斜率为2（1）求双曲线的方程；（2）设该切线与双曲线的切点为P ，求证：12F PQ F PQ ∠=∠11.已知焦点在x 轴上的椭圆E ：22218x y b+=内含圆C ：2283x y +=,圆C 的切线l 与椭圆E 交于A 、B 两点，满足OA OB ⊥ （O 为坐标原点）.（1）求b 2的值；（2）求|AB|的取值范围。

全国高中数学联赛江苏赛区初赛分类一：二项式，复数9．(x3x2)3的展开式中，x5的系数为 27 1． 复数44(1i)(1i)++-= ． 答案：－8 二：指数。

对数 2. 函数3log 3xy =的图像大致是（A ）(A ) (B )(C ) (D)8. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于4.解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，， 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，；2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.4．已知＝，则实数x ＝． 填1．解：即＝32x －4×3x ＋3＝03x ＝1(舍去)，3x ＝3x ＝1．1．方程9135xx+-=的实数解为．o 1 1 x y o11 xyo 1 1 x y o11 xy提示与答案：x ＜0无解; 当0x ≥时，原方程变形为32x+3x －6=0，解得3x=2，x=log32． 2. 设)(x f y =为指数函数xa y =. 在P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，⎪⎭⎫ ⎝⎛41,21N 四点中，函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图像的公共点只可能是点 答：[D]A. PB. QC. MD. N 解 取161=a ，把坐标代入检验，4116121=⎪⎭⎫ ⎝⎛ ，而2116141=⎪⎭⎫⎝⎛，∴公共点只可能是点N.选D.三：不等式。

10.已知 ,则x2+y2的最大值是 9 12. 已知平面上两个点集{(,)||1|,M x y x y x y =++≥∈R}, {(,)||||1|1,,N x y x a y x y =-+-≤∈R}. 若 MN ≠∅, 则 a 的取值范围是.12.[1+由题意知M 是以原点为焦点、直线 10x y ++= 为准线的抛物线上及其凹口 内侧的点集，N 是以 (,1)a 为中心的正方形及其内部的点集(如图)．考察 MN =∅ 时,a 的取值范围:令 1y =, 代入方程|1|x y ++=得 2420x x --=，解出得2x = 所以，当211a <= 时,M N =∅． …………③令 2y =，代入方程|1|x y ++=得 2610x x --=. 解出得3x =±．所以，当3a >+时, MN =∅． …………④因此, 综合 ③与 ④ 可知，当13a -≤≤，即[13a ∈时,M N ≠∅．故填[1+.3.设 0a b >>, 那么 21()a b a b +- 的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 5≥0 ≥0≥0 333y x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩3,C 由 0a b >>, 可知22210()()424a ab a b b a <-=--≤ 所以， 222144()a a b a b a+≥+≥-.故选 C ．2．关于x 的不等式02022<--a ax x 任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值 的和是（ C ）.（A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1-解：方程02022=--a ax x 的两根是14x a =-，25x a =，则由关于x 的不等式22200x ax a --<任意两个解的差不超过9，得9|9|||21≤=-a x x ，即11≤≤-a . 故选（C ）．7．集合A={x ∣x=3n ，n ∈N ，0<n<10}，B={y ∣y=5m ，m ∈N ，O≤m≤6}, 则集合AUB 的所有元素之和为 2256. 设集合[]{}{}222<==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则{}3,1-=B A .解 ∵2<x ，[]x 的值可取1,0,1,2--.当[x]=2-，则02=x 无解；当[x]=1-，则12=x ，∴x=1-；当[x]=0，则22=x 无解； 当[x]=1，则32=x ，∴3=x .所以31或-=x .12. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．四．三角函数1.函数 ()y f x = 的图像按向量 (,2)4a π= 平移后, 得到的图像的解析式为sin()24y x π=++. 那么 ()y f x = 的解析式为A. sin y x =B. cos y x =C. sin 2y x =+D. cos 4y x =+ 1,B sin[()]44y x ππ=++, 即 cos y x =.故选 B ． 9.函数 ∈+=x x x y (|2cos ||cos |R) 的最小值是.9,22令 |cos |[0,1]t x =∈，则 2|21|y t t =+-．当212t ≤≤ 时， 2219212()48y t t t =+-=+-，得 222y ≤≤； 当 20t ≤<时，2219212()48y t t t =-++=--+，得298y ≤≤ 又 y 可取到22, 故填22．8．设COS2θ=23，则COS4θ+sin4θ的值是11181．已知函数2sin y x =，则（ B ）.（A ） 有最小正周期为π2（B ） 有最小正周期为π （C ） 有最小正周期为2π（D ） 无最小正周期 解：)2cos 1(21sin 2x x y -==，则最小正周期π=T . 故选（B ）． 1．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝． 填0．解：由于|sinα|≤1，|cosβ|≤1，现sinαcosβ＝1，故sinα＝1，cosβ＝1或sinα＝－1，cosβ＝－1， ∴α＝2kπ＋，β＝2lπ或α＝2kπ－，β＝2lπ＋πα＋β＝2(k ＋l)π＋(k ，l ∈Z)． ∴cos(α＋β)＝0．6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，.10103cos ,21tan ==B A 若△ABC 最长的边为1，则最短边的长为（ ） A ．55B ．355C ． 455D ． 556．解：由10103cos =B 知B 为锐角.31tan =∴B 故1tan tan 1tan tan )tan()tan(tan -=⋅-+-=+-=--=BA BA B A B A C π由（1）知︒=∠135C ，故c 边最长，即c=1，又B A tan tan >，故b 边最短∴==22sin ,1010sin C B 由正弦定理CcB b sin sin =得 55sin sin ==C B c b 即最短边的长为55.11．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin 3A B C B C B C =+=+=±．故sin 2ABC AC ABS A ∆⋅==． 4. 如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是222C B A ∆的三个内角的正弦值，那么答：[B]A. 111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形B. 111C B A ∆是锐角三角形，222C B A ∆是钝角三角形C. 111C B A ∆是钝角三角形，222C B A ∆是锐角三角形D. 111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形解 两个三角形的内角不能有直角；111C B A ∆的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若222C B A ∆是锐角三角形，则不妨设cos 1A =sin 2A =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-12A π， cos 1B =sin 2B =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-22A π， cos 1C =sin 2C =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-12C π. 则212A A -=π，212B B -=π，212C C -=π，即)(23222111C B A C B A ++-=++π，矛盾. 选B. 10. 在ABC ∆中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB ，则222c b a += 3 .解 切割化弦，已知等式即CB CB C A C A B A B A cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin +=，亦即C B A C B A cos )sin(sin sin sin +=，即C C B A 2sin cos sin sin =1，即1cos 2=c C ab . 所以，122222=-+c c b a ，故3222=+cb a .2．函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是.提示与答案：与f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同，[,],2422k k k ππππ++∈Z ． 4． 已知1cos45θ=，则44sin cos θθ+=．答案：45五：向量 7.设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 2π得向量 OB , 且 2(7,9)OA OB +=, 则 向量 OB =. 7,1123(,)55-设 (,)OA m n =, 则 (,)OB n m =-, 所以 2(2,2)(7,9)OA OB m n n m +=-+=即 27,29.m n m n -=⎧⎨+=⎩ 解得 23,511.5m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此，23111123(,),(,)5555OA OB ==-. 3. 已知向量a 、b ，设AB =a 2+b ，5BC =-a 6+b ，7CD =a 2-b ，则一定共线 的三点是（ A ）.（A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D 解：2BD BC CD =+=a 4+b 2AB =，所以A 、B 、D 三点共线. 故选（A ）． 8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC·→AO ＝． 填－．解：设|→AO|＝|→BO|＝|→OC|＝R ．则→BC·→AO ＝(→BO ＋→OC)·→AO ＝→BO·→AO ＋→OC·→AO ＝R2cos(π－2C)＋R2cos2B＝R2(2sin2C －2sin2B)＝(2RsinB)2－(2RsinC)2＝(122－132)＝－．3．在△ABC 中，已知4AB AC ⋅=，12AB BC ⋅=-，则AB ＝.提示与答案：216AB AC AB BC AB ⋅-⋅==，得4AB =． 5． 已知向量a ，b 满足π2,,3==<>=a b a b ，则以向量2+a b与3-a b 表示的有向线段 为邻边的平行四边形的面积为． 答案：六：圆锥曲线1. 如果实数m ，n ，x ，y 满足a n m =+22，b y x =+22，其中a ，b 为常数，那么mx+ny的最大值为答：[B]BA. 2b a +B. abC. 222b a + D. 222b a +解 由柯西不等式ab y x n m ny mx =++≤+))(()(22222；或三角换元即可得到ab ny mx ≤+，当2a n m ==，2by x ==时，ab ny mx =+. 选B.3. 已知抛物线y2=2px ，o 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P 共有( B ) (A)0个 (B)2个 (C)4个 (D)6个10．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是2．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即 22(3)(1)x y ++-=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝． 填－1＋52． 解：由(2b)2＝2c×2a a2－c2＝ac e2＋e －1＝0e ＝－1＋52．9. 与圆0422=-+x y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为)0(82>=x x y 或)0(0<=x y .解 由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、2-=x 为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x 轴负半轴上.所以轨迹方程为)0(82>=x x y ，或)0(0<=x y .5．在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点O 、半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中()4,0A =、()6,8B =、()2,4C =，则R 的取值范围为．提示与答案：画图观察，R 最小时圆与直线段AC 相切，R 最大时圆过点B ．[855，10]．2． 已知直线10x my -+=是圆22:4450C x y x y +-+-=的一条对称轴，则实数m =.答案：32-七：函数4.设f （x ）是定义在R 上单调递减的奇函数．若x1+x2>O ，x2+x3>O ，x3十x1>O ，则 ( B )(A)f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 (B)f(x1)+f(x2)+f(x3)<O (C)f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 (D)f(x1)+f(x2)>f(x3)4．函数()()()221f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是，最小值是．提示与答案：极小值－4，端点函数值f(2)=0，f(0)=－2，最小值－4，最大值0． 6．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.提示与答案：f(2k1)=0，k ∈Z. 又可作一个函数()f x 满足问题中的条件，且()f x 的 一个零点恰为21x k =-，k ∈Z. 所以至少有50个零点. 6．已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ），且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有（ D ）.（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个 解：由题设知()f x 为偶函数，则考虑在11≤≤-x 时，恒有()2(1232007)20082007f x =⨯++++=⨯．所以当21321a a -≤-+≤，且111a -≤-≤时，恒有2(32)(1)f a a f a -+=-．由于不等式21321a a -≤-+≤a ≤≤ 111≤-≤-a 的解集为20≤≤a ．因此当2253≤≤-a 时，恒有 2(32)(1)f a a f a -+=-. 故选（D ）．9．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-，．解： 因为 (2lg 6201x x -+>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为[21)x ∈-，． 2.如果二次方程 20(,x px q p q --=∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个2,C 由 240,0p q q ∆=+>-<, 知方程的根为一正一负．设 2()f x x px q =--，则 2(3)330f p q =-->, 即39p q +<.由于 ,p q ∈N*， 所以 1,5p q =≤ 或 2,2p q =≤. 于是共有7组 (,)p q 符合题意． 故选 C ．7． 设函数2()2f x x =-．若f(a)＝f(b)，且0＜a ＜b ，则ab 的取值范围是． 答案：(0,2)八：立几4.设四棱锥 P ABCD - 的底面不是平行四边形, 用平面 α 去截此四棱锥, 使得 截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 αA. 不存在B. 只有1个C. 恰有4个D. 有无数多个4,D 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m 、n , 直线 m 、n 确定了一个平面 β作与 β 平行的平面 α, 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面 α 有无数多个．故选 D ．10.在长方体 1111ABCD A B C D - 中, 12,1AB AA AD ===, 点 E 、F 、G 分别是棱 1AA 、11C D 与 BC 的中点, 那么四面体 1B EFG - 的体积是. 10,138B EFG V -=在 11D A 的延长线上取一点 H ，使 114A H =. 易证,1||HEB G ， ||HE 平面1B FG ． 故 1111B EFG E B FG H B FG G B FH V V V V ----===．而 198B FH S ∆=，G 到平面 1B FH 的距离为 1． 故填 138B EFG V -=． 12．长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB1=4，AD1=3，则对角线AC1 的取值范围为. AC1∈(4,5)5．过空间一定点P 的直线中，与长方体ABCD 一A1B1C1D1的12条棱所在直线成等角的直线共有( C ) (A)0条 (B)1条 (C)4条 (D)无数多条4．设α、β、γ为平面，m 、n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是（ D ）. （A ）αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ （B ）m αγ=，αγ⊥，βγ⊥（C ）αβ⊥，βγ⊥，m α⊥ （D ）n α⊥，n β⊥，m α⊥解：（A ）选项缺少条件m α⊂；（B ）选项当//αβ，βγ⊥时，//m β；（C ）选项当α、β、γ两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），m βγ=时，m β⊂；（D ）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行．本选项为真命题. 故选（D ）．5. 设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α⊆a ，β⊆b ，且βα⊥”的平面α，β 答： [D]A. 不存在B. 有且只有一对C. 有且只有两对D. 有无数对解 任作a 的平面α，可以作无数个. 在b 上任垂线确定的平面β垂直于α. 选D. 8.已知点O在ABC∆内部022=++OC OB OA .OCB ABC ∆∆与的面积之比为5：1.解 由图，ABC ∆与OCB ∆的底边相同，高是5：1.故面积比是5：1.5．如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD ．R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为．填14． 解：A 、B 到平面PQR 的距离分别为三棱锥APQR 与BPQR 的以三角形PQR 为底的高．故其比值等于这两个三棱锥的体积比．V APQR ＝V APQD ＝×13V APCD ＝×13×13V ABCD ＝V ABCD ；又，SBPQ ＝SBCD －SBDQ －SCPQ ＝(1－13－23×13)SBCD ＝49SBCD ，VRBPQ ＝49VRBCD ＝×49V ABCD ＝418V ABCD ．∴A 、B 到平面PQR 的距离的比＝1∶4．又，可以求出平面PQR 与AB 的交点来求此比值：在面BCD 内，延长PQ 、BD 交于点M ，则M 为面PQR 与棱BD 的交点． 由Menelaus 定理知，··＝1，而＝，＝，故＝4．在面ABD 内，作射线MR 交AB 于点N ，则N 为面PQR 与AB 的交点． 由Menelaus 定理知，··＝1，而＝4，＝1，故＝14．∴A 、B 到平面PQR 的距离的比＝1∶4．6．设f(x)＝log3x －4－x ，则满足f(x)≥0的x 的取值范围是． 填[3，4]．解：定义域(0，4]．在定义域内f(x)单调增，且f(3)＝0．故f(x)≥0的x 的取值范围为[3，4]．7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水cm3．填78000．解：设净水器的长、高分别为x ，ycm ，则 xy ＝300，V ＝30(20＋x)(60＋y)＝30(1200＋60x ＋20y ＋xy) ≥30(1200＋260x×20y ＋300)＝30(1500＋1200)＝30×2700．BCDAPQR MNR Q PADCB∴ 至少可以存水78000cm3．7．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为． 提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是． 答案：4 39．在三棱锥A BCD -中，已知ACB CBD ∠=∠，ACD ADC BCD BDC ∠=∠=∠=∠θ=，且cos 10θ=．已知棱AB的长为，则此棱锥的体积为． 提示与答案：4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 ． 九：排列。