海淀初三数学第一学期期末练习答案
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2023北京海淀初三(上)期末数 学2022.12第一部分选择题一、选择题(共16分,每题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.刺绣是中国民间传统手工艺之一.下列刺绣图案中,是中心对称图形的为2.点A (1, 2)关于原点对称的点的坐标为(A)(-1, -2) (B) ( -1,2) (C) (1, -2) (D)(2,1)3.二次函数22y x =+的图象向左平移1个单位长度,得到的二次函数解析式为(A) 23y x =+ (B) 2(1)2y x =-+(C) 21y x =+ (D) 2(1)2y x =++4.如图,已知正方形ABCD ,以点A 为圆心,AB 长为半径作⊙A , 点C 与⊙A 的位置关系为 (A)点C 在⊙A 外(B)点C 在⊙A 内 (C)点C 在⊙A 上(D)无法确定5.若点M(0,5), N(2,5)在抛物线22()3y x m =-+上,则m 的值为 (A)2 (B) 1(C)0 (D) -16.勒洛三角形是分别以等边三角形的顶点为圆心,以其边长为半径作圆弧,由 三段圆弧组成的曲边三角形.如图,该勒洛三角形绕其中心O 旋转一定角 度 a 后能与自身重合,则该角度a 可以为 (A) 30°(B ) 60°(C) 120° (D) 150°7.如图,过点A 作⊙O 的切线AB , AC ,切点分别是B , C ,连接BC.过BC 上 一点D 作⊙O 的切线,交AB , AC 于煎E ,F.若∠A =90°,△AEF 的周长 为 4,则BC 的长为 (A)2 (B) 22(C)4 (D) 428.遥控电动跑车竞速是青少年喜欢的活动.如图是某赛道的部分通行路线示意图,某赛车从入口 4驶入,行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同,则该赛车从F 口驶出的概率是(A)13 (B) 14 (C) 15 (D) 16第二部分非选择题二、填空题(共16分,每题2分)9.二次函数243y x x =-+的图象与y 轴的交点坐标为 . 10.半径为3,圆心角为120°的扇形的面积为 . 11.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.根据以上数据,估计这名球员在罚球线上投篮一次,投中的概率为 .12.若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是 13.二次函数2y ax bx =+的图象如图所示,则ab 0(填“>”“<”或“=”)14.如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,OD ⊥AB 于点E ,若⊙O 2,∠ACB =45°,则OE= .15.对于二次函数2y ax bx c =++, y 与x 的部分对应值如表所示. x 在某一范围内,y 随x 的增大而减小,写出一个符合条件的x 的取值范围 .16.如图,AB , AC ,AD 分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边.若AB= 2,下 面四个结论中,①该圆的半径为2 ; ②AC 的长为2π; ③AC 平分心∠BAD ;④连接BC , CD ,则△ABC 与的面积比为13 所有正确结论的序号是 .三、解答题(共68分,第17-20题,每题5分,第21题6分,第22-23题,每题5分,第 24-26题,每题6分,第27-28题,每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.解方程:226x x -=.18.已知抛物线22y x bx c =++过点(1, 3)和(0, 4),求该抛物线的解析式.19.已知a 为方程22310x x --=的一个根,求代数式(1)(1)3(2)a a a a +-+-的值.20.如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,AB 为直径,BC =CD .若∠A=50°,求∠B 的度数.21.为了发展学生的兴趣爱好,学校利用课后服务时间开展了丰富的社团活动.小明和小天参加 的篮球社共有甲、乙、丙三个训练场.活动时,每个学生用抽签的方式从三个训练场中随机 抽取一个场地进行训练. (1)小明抽到甲训练场的概率为 ;(2)用列表或画树状图的方法,求小明和小天在某次活动中抽到同一场地训练的概率.22.已知:如图,AB 是⊙O 的切线,A 为切点. 求作:⊙O 的另一条切线PB , B 为切点.作法:以P 为圆心,PA 长为半径画弧,交⊙O 于点B ; 作直线PB. 直线PB 即为所求.(1)根据上面的作法,补全图形(保留作图痕迹); (2)完成下面证明过程. 证明:连接OA ,OB , OP. ∵PA 是⊙O 的切线,A 为切点, ∴OA ⊥PA. ∴∠ PAO = 90°. 在△PAO 与△PBO 中,______PA PB OP OP =⎧⎪=⎨⎪⎩∴△PAO ≌△PBO ∴∠PAO=∠PBO = 90°. ∴OB ⊥PB 于点 B. ∵是⊙O 的半径,∴PB 是⊙O的切线( )(填推理的依据). 23.紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品,其制作过程需要几十种不同的工具,其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”,其形状及, 使用方法如图1.当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好 贴在壶口边界时,就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上.图2是正确使用该工具时的示意图.如图3, ⊙O 为某紫砂壶的壶口,已知A ,B 两点在⊙O 上,直线l 过点O ,且l ⊥AB 于点D ,交⊙O 于点C.若AB=30mm , CD =5mm ,求这个紫砂壶的壶口半径r 的长.24.如图,AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上.过点C 作⊙O 的切线l ,过点B 作 BD ⊥l 于点D 。
海淀九年级数学2024.1第一部分选择题一、选择题(共16分,每题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.下图为部分“卦”的符号,其中是中心对称图形的是()A.B. C. D.2.抛物线2(1)2y x =--+的顶点坐标是()A.()1,2- B.()1,2 C.()1,2-- D.()1,2-3.若关于x 的一元二次方程220x x m +-=有一个根为1,则m 的值为()A.3B.0C.2-D.3-4.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2y ax bx c =++如图所示,则关于x 的方程20ax bx c ++=的根的情况为()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有实数根D.没有实数根5.如图,在O 中,AB 为直径,C ,D 为圆上的点,若51CDB ∠=,则CBA ∠的大小为()A.51B.49C.40D.396.如图,O 的半径为2,将O 的内接正六边形ABCDEF 绕点O 顺时针旋转,第一次与自身重合时,点A 经过的路径长为()A.2B.3π C.23π D.4π7.林业部门考察某种幼树在一定条件下的移植成活率,统计数据如下:移植总数m 1027075015003500700014000成活数n 823566213353180629212628成活的频率n m(结果保留小数点后三位)0.8000.8700.8830.8900.9090.8990.902下列说法正确的是()A.若移植10棵幼树,成活数将为8棵B.若移植270棵幼树,成活数不会超过235棵C.移植的幼树越多,成活率越高D.随着移植总数的增加,幼树移植成活的频率总在0.900左右摆动,显示出一定的稳定性,可以估计该幼树在同等条件下移植成活的概率为0.9008.如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径,那么称其为该圆的“半径三角形”.给出下面四个结论:①一个圆的“半径三角形”有无数个;②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形;③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时,它的顶角可能是30,120或150;④若一个圆的半径为2,则它的“半径三角形”面积最大值为上述结论中,所有正确结论的序号是()A.①②B.②③C.①②③D.①②④第二部分非选择题二、填空题(共16分,每题2分)9.在平面直角坐标系xOy 中,将抛物线23y x =向下平移1个单位,得到的抛物线表达式为________.10.如图,由5个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线AB 和EF 前开后重组可得到矩形ABCD ,那么②可看作①通过一次________得到(填“平移”“旋转”或“轴对称”).11.若关于x 的一元二次方程216ax =有整数根,则整数a 的值可以是________(写出一个即可).12.已知y 是x 的二次函数,表中列出了部分y 与x 的对应值:x 012y1-113.“青山绿水,畅享生活”,人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具,图1所示是一个竹筒水容器,图2为该竹筒水容器的截面.已知截面的半径为10cm ,开口AB 宽为12cm ,这个水容器所能装水的最大深度是________cm .图1图214.如图,PA ,PB 是O 的两条切线,切点分别为A ,B ,60P ∠=.若O 的半径为3,则图中阴影部分的面积为________(结果保留π).15.如图,将面积为25的正方形ABCD 的边AD 的长度增加a ,变为面积为22的矩形AEGF .若正方形ABCD 和矩形AEGF 的周长相等,则a 的值是________.16.小云将9张点数分别为19~的扑克牌以某种分配方式全部放入A ,B 两个不透明的袋子中(每个袋子至少放一张扑克牌),从两个袋子中各随机抽取一张扑克牌,将两张扑克牌的点数之和为k 这一事件的概率记为k P .(1)若将点数为1和2的扑克牌放入A 袋,其余扑克牌放入B 袋,则8P =________;(2)对于所有可能的分配方式以及所有的k ,k P 的最大值是________.三、解答题(共68分,第17-19题,每题5分,20题6分,第21-23题,每题5分,第24-26题,每题6分,第27-28题,每题7分)解答写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.解方程:21x x +=.18.已知22310a a -+=,求代数式()2(3)3a a a -++的值.19.如图,在ABC △中,45B ∠=,将ABC △绕点A 逆时针旋转得到AB C ''△,使点B '在BC 的延长线上.求证:BB C B '⊥''.20.已知关于x 的方程2220x mx m n -+-=有两个不相等的实数根.(1)求n 的取值范围;(2)若n 为符合条件的最小整数,且该方程的较大根是较小根的2倍,求m 的值.21.如图,P 是O 外一点,PA 与O 相切,切点为A .画出O 的另一条切线PB ,切点为B .小云的画法是:①连接PO ,过点A 画出PO 的垂线交O 于点B ;②画出直线PB .直线PB 即为所求.(1)根据小云的画法,补全图形;(2)补全下面的证明.证明:连接OA ,OB .OA OB = ,AB PO ⊥,PO ∴垂直平分AB ,OAB OBA ∠∠=.PA ∴=①.PAB ∠∴=②.PAO PBO ∠∠∴=.PA 是O 的切线,A 为切点,OA AP ∴⊥.90PAO ∠∴= .90PBO ∠∴= .OB PB ∴⊥于点B .OB 是O 的半径,PB ∴是O 的切线(③)(填推理的依据)。
海淀区九年级第一学期期末数学测评一、选择题(本题共32分,每小题4 分) 1•若代数式.2x-1有意义,则x 的取值围是 A . x - B . x > -C . x < -D . x 工--2 2 2 22.将抛物线y x 2平移得到抛物线y x 2 5,下列叙述正 确的是A.向上平移5个单位B.向下平移5个单位3.如图,AC 与BD 相交于点E , AD // BC .若AE :EC A. 1: 2 B. 1:2C. 1:3D.1: 44•下列一元二次方程中,有两个相等的实数根的是A . 60 °B . 50 °C . 40 °D . 306.如图,平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函 数解读式可能为 11A . y-x 2 B. y (x 1)222C . y 1(x 1)2 1D . y1(x 1)2 12 27 .已知a 0,那么-v a 2 2a 可化简为C.向左平移5个单位D.向右平移5个单位 A . 2 x 2x 1B .x 2 2x 4 0 C . x 22x 5 0 D . x 2 2x 4A =40 °,则/ 等CB1:2,贝"S A ED :S CEB5.如图,00 是厶ABC 的外接圆,/A. aB.aC. 3aD. 3a8.如图,以G(0,1)为圆心,半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 、D 两点,点E 为。
G 上一 动点,CF AE 于F .当点E 从点B 出发顺时针运动 到点D 时,点F 所经过的路径长为矚慫润厲钐瘗 睞枥庑赖賃軔朧碍鳝绢。
二、填空题(本题共16分,每小题4 分) 9 .计算,3(1 . 6)=.10.若二次函数y 2x 2 3的图象上有两个点A(3,m)、B(2, n),则 m n (填“ <”或“二”或“ >”).11.如图,将半径为2cm 的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O ,贝浙痕AB 的长为 ____________ c m.聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅 锯鳗鲮。
海淀区九年级练习数 学 答 案第一部分 选择题一、选择题(本题共16分,每小题2分)第二部分 非选择题二、填空题(本题共16分,每小题2分)9.(0,3);10.3π; 11.0.51(答案不唯一); 12.49<m ; 13.<; 14.1;15.2x >(答案不唯一,满足32x ≥即可); 16.①③④. 三、解答题(共68分,第17-20题,每题5分,第21题6分,第22-23题,每题5分,第24-26题,每题6分,第27-28题,每题7分)17. 解:22161x x , …………………………………………………………………………………1分2(1)7.x ……………………………………………………………………………………… 3分∴ 17x . ∴ 117x ,217x . …………………………………………………………………… 5分18. 解:∵抛物线22y x bx c =++过点(1,3)和(0,4),∴ 324.b c c , ……………………………………………………………………………………… 2分 解方程组,得 34.b c , …………………………………………………………………… 4分∴抛物线的解析式是2234y x x =−+. …………………………………………………………. 5分19. 解:∵ a 为方程22310x x −−=的一个根,∴ 22310a a −−=. ………………………………………………………………………1分∴ 223 1.a a −=原式=22136a a a −+− ……………………………………………………………………3分=2461a a −− ………………………………………………………………………4分=22(23)1a a −−=211⨯−=1 . …………………………………………………………………5分20. 解:如图,连接AC. ……………………………………………………………………1分∵ BC CD =,∴ ∠DAC=∠BAC. ………………………………………… 2分∵ 50DAB ∠=, ∴ 1252BAC DAB ∠=∠=. ……………………………… 3分 ∵ AB 为直径,∴ 90ACB ∠=. ………………………………………………………………… 4分 ∴ 9065B BAC ∠=−∠=. …………………………………………………………………5分21. 解:(1)13; …………………………………………………………………… 2分 (2)根据题意,可以画出如下树状图:…………………………………… 4分由树状图可以看出,所有可能出现的结果有9种,并且这些结果出现的可能性相等.小明和小天抽到同一场地训练(记为事件A )的结果有3种,所以,P (A )31==93. …………………………………………………………………………………6分 22. (1)补全图形,如图所示:…………………………………………………………………2分(2)OA=OB , ……………………………………………………………………3分经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. …………………………………………5分23. 解:如图,连接OB . ……………………………………………………………………1分∵ l 过圆心O ,l ⊥AB ,30AB =,∴ 1152BD AB ==. ……………………………………… 3分 ∵ 5CD =,∴ 5DO r =−.∵ 222BO BD DO =+,∴ 22215(5)r r =+−. ……………………………………………………………………4分解得 25r =.∴ 这个紫砂壶的壶口半径r 的长为25mm . ……………………………………………………………5分24. 证明:(1) 如图,连接OC .∵ 直线l 与⊙O 相切于点C ,∴ OC ⊥l 于点C . ………………………………………1分∴ 90OCD ∠=︒.∵ BD l ⊥于点D ,∴ 90BDC ∠=︒.∴ 180OCD BDC ∠+∠=︒.∴ OC // BD . ………………………………………2分∴ OCB CBD ∠=∠.∵ OC OB =,∴ OBC OCB ∠=∠.∴ OBC CBD ∠=∠.∴ BC 平分ABD ∠. ………………………………………………………………………………3分(2)连接AC .∵ AB 是⊙O 的直径,∴ 90ACB ∠=︒. …………………………………………………………………………………4分∵ 60ABD ∠=︒,∴ OBC CBD ∠=∠=1302ABD ∠=︒. 在Rt △BDC 中,C∵30CBD ∠=︒,CD =3,∴ 26BC CD ==. …………………………………………………………………………………5分 在Rt △ACB 中,∵30ABC ∠=︒,∴ 2AB AC =.∵ 222AC BC AB +=,∴AB =∴12OC AB == 在Rt △OCD 中,∵222OC CD OD +=,∴OD = …………………………………………………………………………………6分25. 解:(1)答案不唯一.如图,以抛物线顶点为原点,以抛物线对称轴为y 轴,建立平面直角坐标系. ……………1分 设这条抛物线表示的二次函数为y =ax 2. ………………………………………………2分∵ 抛物线过点()5 6.25−,, ∴ 25 6.25a =−. ………………………………………………………………………………3分 ∴ 0.25a =−.∴ 这条抛物线表示的二次函数为20.25y x =−. ………………………………………………4分(2)能实现; ………………………………………………………………………………………5分a ………………………………………………………………………………………6分26. 解:(1)抛物线21y ax bx =++过点(2,1),∴22211a b ⋅+⋅+=. ………………………………………………………………………………1分∴2b a =−. ………………………………………………………………………………………2分 (2)① <; …………………………………………………………………………………………3分② 由(1)知2b a =−,∴221y ax ax =−+. ∴抛物线对称轴为1x =.抛物线过点M (﹣2,m ),N (1,n ),P (3,p ),∴81m a =+,1n a =−+,31p a =+. …………………………………………………4分 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为1x =,∴抛物线在1x =时,取得最小值n . M ,N ,P 恰有两点在x 轴上方,∴M ,P 在x 轴上方,N 在x 轴上或x 轴下方.∴ 81031010a a a +>⎧⎪+>⎨⎪−+≤⎩,解得1a ≥. ………………………………………………………5分当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为1x =,∴抛物线在1x =时,取得最大值n ,且m p <. M ,N ,P 恰有两点在x 轴上方,∴N ,P 在x 轴上方,M 在x 轴上或x 轴下方. ∴ 10310810a a a −+>⎧⎪+>⎨⎪+≤⎩,解得1138a −<≤−.综上,a 的取值范围是1138a −<≤−或1a ≥. …………………………………………………6分27.(1)线段AD 与AE 的数量关系:AD =2AE . …………………………………………………………1分证明:∵ DE ⊥AC ,∴ ∠DEA =90°. ∵ ∠BAC =120°,∴ ∠ADE =∠BAC -∠DEA =30°.∴ AD =2AE . …………………………………………………………2分(2)① 补全图形,如图. …………………………………………………………3分② 结论:△DCF 是等边三角形. …………………………………………………………4分 证明:延长BA 至点H 使AH =AB ,连接CH ,FH ,如图.∵ AB =AC , ∴ AH =AC .∵ ∠HAC =180°-∠BAC =60°, ∴ △ACH 是等边三角形.∴ HC =AC ,∠AHC =∠ACH =60°. ∵ AH =AB ,EF =BE ,∴ HF =2AE ,HF ∥AE . …………………………5分 ∴ ∠FHA =∠HAC =60°.∴ ∠FHC =∠FHA +∠AHC =120°. ∴ ∠FHC =∠DAC . ∵ AD =2AE , ∴ HF =AD . ∵ HC =AC ,∴ △FHC ≌△DAC . …………………………………………………………6分 ∴ FC =DC ,∠HCF =∠ACD . ∴ ∠FCD =∠ACH =60°.∴ △DCF 是等边三角形. ………………………………………………………7分28.(1)① P 1 ,P 3; ………………………………………………………2分②线段AB 融合点的轨迹为分别以点A ,B 为圆心,AB 长为半径的圆及两圆内区域. ……3分 当直线y =t 与两圆相切时,记为l 1,l 2.H∵A (3,0),B (5,0),∴t =2或t =-2. ………………………………………………………4分 ∴当-2≤ t ≤2时,直线y =t 上存在线段AB 的融合点. ……………………………………………5分 (21a ≤≤1a ≤≤ ……………………………………………………7分。
海淀区九年级第一学期期末练习数学试卷答案及评分参考三、解答题(本题共分,每小题分)13.计算:1 血(1)2( 3)0屈解:原式=、@19 1 2J2 ............................. ............... 4 分=7 .. 2. .................................................. 5 分214.解方程:x + 2x- 8= 0 .解法一:(x 4)(x 2) 0 . ................................................ 3 分x 4 0或x 2 0.二捲4,x2 2 . ......................................................... 5 分解法二: a 1,b 2,c 8, .......................................... 1 分22 4 1 ( 8) 36 0 . ............................................. 2 分2 ^36x . .......2 1二x! 4,x22 ...................... 15•解法一:••• a b 3,••• a2 b2 2a 8b 5=(a b)(a b) 2a 8b 5= 3(a b) 2a 8b 5= 5(a b) 5 ..............•3分5 分...............2 分............... 3分4 分= 20.解法二:••• a b 3,二 b 3 a . .......... . (1)分2 2原式=a (3 a) 2a 8(3 a) 5.26a a 2a 24 8a 5.. ...................................................... 5 分•••△ A BQ 、△ A 2B 2C 2 为所求.(注:第(1)问2分;第(2)问3分,画出一个正确的即可.) •-. ..................... 4 分AD AE•/ AC AD 2AB =6, •- AB=3.• 3= 66= AE .• AE 12. .............................. 5 分18.解法一:依题意,可得 yx 2 2x 3 = (x 1)2 4..•顶点 D (1,4) . .............. 1 分令y 0 ,可得x 3或x 1.• A ( 1,0)、B (3,0).=a 22(9 6a a ) 2a 24 8a 5= 20.16.例如:17.解:T 12,• CAB EAD . .......................... 1 分 •- C E , • △ CAB EAD . ........................ 3 分AB AC八令x 0 ,可得y 3.••• C(0,3)............... 3 分•••直线CD 的解析式为y x 3. 设直线CD 交x 轴于E . • E( 3,0).•- BE 6.…… .. ................... 4 分• △ BCD 的面积为3. A ( 1,0)、B (3,0)、C(0,3)、D(1,4).•直线BC 的解析式为y x 3.过点D 作DE // BC 交x 轴于E ,连接CE .•设过D 、E 两点的直线的解析式为 y•- D(1,4),•直线DE 的解析式为y x 5.•- E(5,0).. . .................................... 5 分0有两个不相等的实数根,• 1 分…S VBCDS VBEDS VBCE解法二:同解法一,可得• BE 2.••• DE // BC ,• •4分OC 3.…S VBCD• △ BCD S VBCE—2的面积为3. BE 四、解答题(本题共 20 分,每小题5分)2c 3m19. 解:(1):关于x 的方程x3x49 3m 0.• m 3. (2)分(2)vm 为符合条件的最大整数,• m2. (3)分23 c• x3x-0.22,3\23 /3\2x 3x ()().22 23 23(X 2)4..3 3.22,X 2 2、73 3 73 3方程的根为 X i, X 2. . (5)分2 2解:(1)m 的值为3 ;. ................... 1 分⑵•/二次函数的图象经过点(1 , 0) , (3, 0),•••设二次函数的解析式为 y a(x 1)(x 3). .. ................................. 2 分 •••图象经过点(0,3),2• ••这个二次函数的解析式为y X 4x 3. .................... .4分(3)当0 X 3时,贝y y 的取值范围为 1< y 3.. ....................... 5分解:如图所示,建立平面直角坐标系设二次函数的解析式为 y ax 2 (a 0)..… •••图象经过点(2, 2) , . ............. 2分• 2 4a ,1 a .21 2 …y x .. ....................... 3分2当 y 3 时,x「6. ........................... 4 分 答:当水面高度下降1米时,水面宽度为(1)如图,连接OD,BD ...... ..................•••在O O 中,OD OB ,•••/ 1 = / 2.•/ AB 是O O 的直径,••• ADB CDB 90 .••• E 为BC 中点,1• ED 丄 BC EB .2•••/ 3= / 4.••• BC 切O O 于点B ,20. 21. 22.••• EBA 90 .••• 1 3 2 4 90 ,即ODE 90 .•OD 丄DE .•/点D在O O上,•DE是O O的切线... ............ 2分(2)v OD 丄DE,FDO 90.(注:直接等分不给分,在等距平行线上有正确痕迹的给分,作出一个给1分.)⑵①设0A•「OF’OD r'FD2OD〜、2 .22• (r2) 4r .解得r3.• OA OD 3,FB•/ F F,FDO• △ FDO FBE• FD ODFB BE .• BE 6.••• E为BC中点,• BC2BE12.…FBE 90 ,5 分22分,第23题7分,第24题8分,第25题7 分)8.五、解答题(本题共23.解:(1)2, DF=4, AF =2,4 分7 分224.解:(1)解法一:•••抛物线y mx (m 3)x 3(m 0)与y轴交于点C,••• C(0, 3). ........................... 1 分•••抛物线与x轴交于A、B两点,OB=OC ,•B (3,0)或B (-3,0).•••点A在点B的左侧,m 0,•抛物线经过点B(3,0). ........................... 2 分•0 9m 3(m 3) 3.•m 1.•抛物线的解析式为y x2 2x 3. ........................ 3分解法二:令y 0,2•mx (m 3)x 3=0.•(x 1)(mx 3) 0 .3d•x 1,x=.mQ m 0 ,点A在点B的左侧,•A( 1,0),B(3,0). ...................... 1 分m令x 0,可得y 3.• C(0, 3).• OC 3. ........... .......... 2 分QOB OC,33.m• m1.• y x2 2x 3.................... 3 分(2)①由抛物线y x22x3可知对称轴为x 1. (4)•••点P(X1,b)与点Q(X2,b)在这条抛物线上,且x.x, PQ n,‘ n , n• x 1 , X2 1................... 5分2 2• 2x1 2 n ,2X22n.•原式=(2 n)2(2n)n6n 3 7. …•…............. 6 分②4 b 2或b 0. ...................... 8 分(注:答对一部分给1分•)25.解:(1)① 1 ;.................. 1 分k②k;..................... 2分2(2)解:连接AE.••• ABC, DEF均为等腰直角三角形,••• EF 2,BC 1, DEF 90 , 4 5••• DF 2 2, AC 2, EFB 90 .•DF 2AC,AD ,2.•••点A为CD的中点 (3)•EA DF , EA平分DEF .•MAE 90 , AEF 45 , AE .2.BEM 45 ,•1+ 2= 3+ 2=45 .•1= 3.•AEM s FEB.AM AE• •4BF EF2AM2DM AD AM2巨22AM1. ............... ........... 5分DM(3)过B作BE的垂线交直线EM于点G,连接AG、BG .•EBG 90 .•/ BEM 45 ,•EGB BEM 45 .•BE BG.•••△ ABC为等腰直角三角形,•BA BC, ABC 90 .• 1 2.•△ ABG◎△ CBE . …• AG EC k, 3 4.•••3+ 6 5+ 4=45 ,••• 6 5.••• AG // DE .• △ AGM s\ DEM .AM AG k 八•- . .................. 7 分DM DE 2(注:本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分.)。
北京海淀区202X202X学年度初三数学上册期末海淀区九年级第一学期期末练习数学试卷答案及评分参考说明: 与参***不同, 但解答正确相应给分.一、选择题(本题共32分,每小题4分)1. b 5. b 6. c 8. c二、填空题(本题共16分,每小题4分)9. x =0或x =4 10. 15 11. 1 12. (2分); (2分)三、解答题(本题共29分,第13题~第15题各5分,第16题4分,第17题、第18题各5分)13.解法一: a=1, b=-8, c=11分2分3分5分解法二:.1分2分3分5分14.证明: 在△aed和△acb中,∵ ∠a=∠a, ∠aed =∠c2分∴ △aed∽△acb3分4分5分15.(1)① (-2 ,0), (1, 0);② 8; ③增大 (每空1分3分(2)依题意设抛物线解析式为 y=a (x+2) (x-1).由点 (0, -4)在函式图象上,得-4=a(0+2) (0-14分解得 a =2∴ y=2 (x+2) (x-15分即所求抛物线解析式为y=2x2+2x-4.16.(1)正确画图(1分)标出字母(1分2分(2)正确画图(1分),结论(1分4分17.解:由题意得1分由①得2分由②得4分∵为正整数,5分18.解法一:由题意画树形图如下:3分从树形图看出,所有可能出现的结果共有9个,这些结果出现的可能性相等,标号之和等于4的结果共有3种4分所以p(标号之和等于45分解法二:3分由上表得出,所有可能出现的结果共有9个,这些结果出现的可能性相等,标号之和等于4的结果共有3种4分所以p(标号之和等于45分四、解答题(本题共21分, 第19题、第20题各5分, 第21题6分,第22题5分)19.(12分.(2∵, a =-20)的图象与x轴交于点 (x1, 0)和(x2, 0),∴ 令,即 x2+(3-)x-3=01分(x+3)( x-1)=0.∵m>0,∴.解得或2分∵ x1 3分(2)由(1),得.由是方程mx2+(3-)x-3=0的根,得x12+(3-)x1=3.∴mx12 +x12 +(3-) x1+ 6x1+9 =x12 +(3-) x1+(x1+3)2=3. ………5分21.解:(1)证明:∵,∴ .∵ cd平分, bc=bd,∴ , .1分∴ ∥.∴ .∵ ab是⊙o的直径,∴ bd是⊙o的切线2分(2)连线ac,∵ ab是⊙o直径,∴ .∵,可得 .3分在rt△ceb中,∠ceb=90, 由勾股定理得……………4分∴ .∵ , ∠efc =∠bfd,∴ △efc∽△bfd5分∴ .∴ .∴ bf=106分22.(1)画图: 图略(1分); 填空: (1分2分(2) (1分), (2分5分五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分) 23.(1)∵a(a, -3)在的图象上,∴.解得1分∴反比例函式的解析式为2分(2)过a作ac⊥y轴于c.∵ a(-1, -3),∴ ac=1,oc=3.∵ ∠abo=135,∴ ∠abc=45.可得 bc=ac=1.∴ ob=2.∴ b (0, -23分由抛物线与y轴交于b,得c= -2.∵ a= -1,∴.∵ 抛物线过a(-1,-3),∴ .∴ b=0.∴ 二次函式的解析式为4分(3)将的图象沿x轴翻折,得到二次函式解析式为. ……………5分设将的图象向右平移后的二次函式解析式为 (m>0).∵ 点p(x0, 6)在函式上,∴∴.∴的图象过点.∴.可得(不合题意,捨去∴ 平移后的二次函式解析式为6分∵ a=1>0,∴ 当时,; 当时,.∴ 当时7分∴ 平移后的二次函式y的取值範围为24. (1)cd=af+be1分(2)解:(1)中的结论仍然成立.证明:延长ea到g,使得ag=be,连结dg.∵ 四边形abcd是平行四边形,∴ ab=cd, ab∥cd,ad=bc.∵ ae⊥bc于点e,∴ ∠aeb=∠aec=90.∴∠aeb=∠dag=90.∴ ∠dag=90.∵ ae=ad,∴ △abe≌△dag3分∴∠1=∠2, dg=ab.∴∠gfd=90-∠3.∵ df平分∠adc,∴∠3=∠4.∴∠gdf=∠2+∠3=∠1+∠4=180-∠fad-∠3=90-∠3.∴∠gdf=∠gfd4分∴ dg=gf∴ cd=gf=af+ag= af + be.即 cd = af +be5分(3)或或7分25. 解:(1)∵ 抛物线过原点和a(),∴ 抛物线对称轴为.。
2022北京海淀初三(上)期末数学一、选择题(共16分,每题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个. 1.在平面直角坐标系xOy中,下列函数的图象经过点(0,0)的是()A.1y x=+B.2y x=C.2(4)y x=−D.1 yx =2.下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的,其中是中心对称图形的是() A.B.C.D.3.抛物线2(2)1y x=−+的顶点坐标为()A.(2,1)B.(2,1)−C.(2,1)−−D.(2,1)−4.在ABC∆中,CA CB=,点O为AB中点.以点C为圆心,CO长为半径作C,则C与AB的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定5.小明将图案绕某点连续旋转若干次,每次旋转相同角度α,设计出一个外轮廓为正六边形的图案(如图),则α可以为()A.30︒B.60︒C.90︒D.120︒6.把长为2m的绳子分成两段,使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积.设较长一段的长为x m,依题意,可列方程为( ) A .22(2)x x =−B .22(2)x x =+C .2(2)2x x −=D .22x x =−7.如图,A ,B ,C 是某社区的三栋楼,若在AC 中点D 处建一个5G 基站,其覆盖半径为300m ,则这三栋楼中在该5G 基站覆盖范围内的是( )A .A ,B ,C 都不在B .只有BC .只有A ,CD .A ,B ,C8.做随机抛掷一枚纪念币的试验,得到的结果如下表所示:①当抛掷次数是1000时,“正面向上”的频率是0.512,所以“正面向上”的概率是0.512;②随着试验次数的增加,“正面向上”的频率总在0.520附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“正面向上”的概率是0.520;③若再次做随机抛掷该纪念币的试验,则当抛掷次数为3000时,出现“正面向上”的次数不一定是1558次. 其中所有合理推断的序号是( ) A .②B .①③C .②③D .①②③二、填空题(共16分,每题2分)9.已知y 是x 的函数,且当0x >时,y 随x 的增大而减小.则这个函数的表达式可以是 .(写出一个符合题意的答案即可)10.在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球,这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,则取出红球的概率是 .11.若点1(1,)A y −,2(2,)B y 在二次函数22y x =的图象上,则1y ,2y 的大小关系为:1y 2y (填“> ”,“ = ”或“<” ).12.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点(2,0)A −,点(0,1)B .将线段BA 绕点B 旋转180︒得到线段BC ,则点C 的坐标为 .13.若关于x 的方程220x x k −+=有两个不相等的实数根,则k 的取值范围为 .14.如图,PA ,PB 分别切O 于点A ,B ,Q 是优弧AB 上一点,若40P ∠=︒,则Q ∠的度数是 .15.小明烘焙了几款不同口味的饼干,分别装在同款的圆柱形盒子中,为区别口味,他打算制作“**饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面.为了获得较好的视觉效果,粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为90︒(如图).已知该款圆柱形盒子底面半径为6cm ,则标签长度l 应为 cm .(π取3.1)16.给定二元数对(,)p q ,其中0p =或1,0q =或1.三种转换器A ,B ,C 对(,)p q 的转换规则如下:;(2)在图2所示的“①C −−②”组合转换器中,若当输入(1,1)和(0,0)时,输出结果均为0,则该组合转换器为“ C −− ”.(写出一种组合即可).三、解答题(共68分,第17-21题,每题5分,第22题6分,第23题5分,第24-26题,每题6分,第27-28题,每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.(5分)解方程:2680−+=.x x18.(5分)已知a是方程2−−=的一个根,求代数式(27)5x x2710a a−+的值.19.(5分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线2=−−经过点(2,1).y a x(3)1(1)求该抛物线的表达式;(2)将该抛物线向上平移个单位后,所得抛物线与x轴只有一个公共点.20.(5分)如图,在Rt ABCBAC∠=︒,30∠=︒,将线段CA绕点C逆时针旋转60︒,得到线段CD,ACB∆中,90连接AD,BD.(1)依题意补全图形;(2)若1BC=,求线段BD的长.21.(5分)“化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一.即:求作一个方形,使其面积等于给定圆的面积.这个问题困扰了人类上千年,直到19世纪,该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的,如果借用一个圆形纸片,我们就可以化圆为方,方法如下:已知:O(纸片),其半径为r.求作:一个正方形,使其面积等于O的面积.作法:①如图1,取O的直径AB,作射线BA,过点A作AB的垂线l;②如图2,以点A为圆心,AO长为半径画弧交直线l于点C;③将纸片O沿着直线l向右无滑动地滚动半周,使点A,B分别落在对应的A',B'处;④取CB'的中点M,以点M为圆心,MC长为半径画半圆,交射线BA于点E;⑤以AE为边作正方形AEFG.正方形AEFG即为所求.根据上述作图步骤,完成下列填空:(1)由①可知,直线l为O的切线,其依据是.(2)由②③可知,AC r =,AB r π'=,则MC = ,MA = (用含r 的代数式表示).(3)连接ME ,在Rt AME ∆中,根据222AM AE EM +=,可计算得2AE = (用含r 的代数式表示). 由此可得OAEFG S S=正方形.22.(6分)已知关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +−+−=. (1)求证:该方程总有两个实数根;(2)若0m <,且该方程的两个实数根的差为3,求m 的值. 23.(5分)如图,ABC ∆内接于O ,高AD 经过圆心O . (1)求证:AB AC =;(2)若8BC =,O 的半径为5,求ABC ∆的面积.24.(6分)邮票素有“国家名片”之称,方寸之间,包罗万象.为宣传北京2022年冬奥会,中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票,其中有一套展现雪上运动的邮票,如图所示:某班级举行冬奥会有奖问答活动,答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品.(1)在抢答环节中,若答对一题,可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品,则恰好抽到“冬季两项”的概率是 ; (2)在抢答环节中,若答对两题,可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品,请用列表或画树状图的方法,求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率.25.(6分)如图,AB 为O 的直径,弦CD AB ⊥于E ,连接AC ,过A 作AF AC ⊥,交O 于点F ,连接DF ,过B 作BG DF ⊥,交DF 的延长线于点G . (1)求证:BG 是O 的切线;(2)若30DFA ∠=︒,4DF =,求FG 的长.26.(6分)在平面直角坐标系xOy 中,点(4,3)在抛物线23(0)y ax bx a =++>上. (1)求该抛物线的对称轴;(2)已知0m >,当222m x m −+时,y 的取值范围是13y −.求a ,m 的值;(3)在(2)的条件下,是否存在实数n ,使得当2n x n −<<时,y 的取值范围是3335n y n −<<+.若存在,直接写出n 的值;若不存在,请说明理由.27.(7分)如图,在ABC ∆中,90BAC ∠=︒,1AB AC ==,延长CB ,并将射线CB 绕点C 逆时针旋转90︒得到射线l ,D 为射线l 上一动点,点E 在线段CB 的延长线上,且BE CD =,连接DE ,过点A 作AM DE ⊥于M . (1)依题意补全图,用等式表示线段DM 与ME 之间的数量关系,并证明; (2)取BE 的中点N ,连接AN ,添加一个条件:CD 的长为 ,使得12AN DE =成立,并证明.28.(7分)在平面直角坐标系xOy 中,图形W 上任意两点间的距离有最大值,将这个最大值记为d .对点P 及图形W 给出如下定义:点Q 为图形W 上任意一点,若P ,Q 两点间的距离有最大值,且最大值恰好为2d .则称点P 为图形W 的“倍点”.(1)如图1,图形W 是半径为1的O .①图形W 上任意两点间的距离的最大值d 为 ;②在点1(0,2)P ,2(3,3)P ,3(3,0)P −中,O 的“倍点”是 ; (2)如图2,图形W 是中心在原点的正方形ABCD ,点(1,1)A −.若点(,3)E t 是正方形ABCD 的“倍点”,求t 的值; (3)图形W 是长为2的线段MN ,T 为MN 的中点,若在半径为6的O 上存在线段MN 的“倍点”,直接写出所有满足条件的点T 组成的图形的面积.参考答案一、选择题(共16分,每题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征,一次函数图象上点的坐标特征,二次函数函数图象上点的坐标特征判断即可.【解答】解:A 、直线1y x =+不经过点(0,0),故不符合题意;B 、抛物线2y x =经过点(0,0),故符合题意;C 、抛物线2(4)y x =−不经过点(0,0),故不符合题意;D 、双曲线1y x=不经过点(0,0),故不符合题意; 故选:B .【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,一次函数图象上点的坐标特征,二次函数函数图象上点的坐标特征,熟练掌握各函数图象上点的坐标特征是解题的关键.2.【分析】根据中心对称图形的概念求解.在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转180度,旋转后的图形能和原图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.这个旋转点,就叫做中心对称点.【解答】解:选项A 、B 、D 均不能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合,所以不是中心对称图形,选项C 能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合,所以是中心对称图形, 故选:C .【点评】此题主要考查了中心对称图形的概念.中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合. 3.【分析】抛物线的顶点式为:2()y a x h k =−+,其顶点坐标是(,)h k ,可以确定抛物线的顶点坐标. 【解答】解:抛物线2(2)1y x =−+是以抛物线的顶点式给出的, 其顶点坐标为:(2,1). 故选:A .【点评】本题考查的是抛物线的性质,根据抛物线的顶点式确定抛物线的顶点坐标.4.【分析】连接CO ,根据等腰三角形的性质得到OC AB ⊥,于是得到点C 到AB 的距离等于C 的半径,根据切线的判定定理即可得到结论. 【解答】解:连接CO , CA CB =,点O 为AB 中点, OC AB ∴⊥,以点C 为圆心,CO 长为半径作C , ∴点C 到AB 的距离等于C 的半径, C ∴与AB 的位置关系是相切,故选:B .【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,等腰三角形的性质,熟练掌握切线的判定方法是解题的关键. 5.【分析】根据旋转的定义确定两个对应点的位置,求得其与O 点连线的夹角即可求得旋转角. 【解答】解:如图,当经过一次旋转后点C 旋转至点B 的位置上,此时360660COB ∠=︒÷=︒, 故选:B .【点评】本题考查了利用旋转设计图案,解题的关键是能够找到一对对应点确定旋转角,从而确定旋转角的度数,难度不大.6.【分析】由较长一段的长为x m 可得出较短一段的长为(2)x m −,根据较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积,即可得出关于x 的一元二次方程,此题得解. 【解答】解:较长一段的长为x m , ∴较短一段的长为(2)x m −.依题意得:22(2)x x =−. 故选:A .【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键. 7.【分析】根据勾股定理的逆定理证得ABC ∆是直角三角形,可以根据直角三角形斜边中线的性质求得BD 的长,然后与300m 比较大小,即可解答本题.【解答】解:300AB cm =,400BC cm =,500AC cm =,222AB BC AC ∴+=, ABC ∴∆是直角三角形, 90ABC ∴∠=︒,点D 是斜边AC 的中点, 250AD CD cm ∴==,12502BD AC cm ==, 250300<,∴点A 、B 、C 都在圆内,∴这三栋楼中在该5G 基站覆盖范围内的是A ,B ,C .故选:D .【点评】本题考查点和圆的位置关系,勾股定理的逆定理,解题的关键是求出三角形三个顶点到D 点的距离.8.【分析】根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断.【解答】解:①当抛掷次数是1000时,“正面向上”的频率是0.512,但“正面向上”的概率不一定是0.512,本小题推断不合理;②随着试验次数的增加,“正面向上”的频率总在0.520附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“正面向上”的概率是0.520,本小题推断合理;③若再次做随机抛掷该纪念币的试验,则当抛掷次数为3000时,出现“正面向上”的次数不一定是1558次,本小题推断合理; 故选:C .【点评】本题考查利用频率估计概率,大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率.二、填空题(共16分,每题2分)9.【分析】反比例函数的图象在每个象限内,函数值y 随自变量x 的增大而增大,则反比例函数的反比例系数0k <;反之,只要0k <,则反比例函数在每个象限内,函数值y 随自变量x 的增大而增大. 【解答】解:只要使反比例系数大于0即可.如1(0)y x x =>,答案不唯一.故答案为:1(0)y x x=>,答案不唯一.【点评】本题主要考查了反比例函数(0)ky k x=≠的性质:①0k >时,函数图象在第一,三象限.在每个象限内y 随x 的增大而减小;②0k <时,函数图象在第二,四象限.在每个象限内y 随x 的增大而增大.10.【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.【解答】解:在一个不透明袋子中有3个红球和2个黑球,共5个球, ∴取出红球的概率是35.故答案为:35.【点评】本题考查概率的求法:如果一个事件有n 种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A 出现m 种结果,那么事件A 的概率P (A )m n=. 11.【分析】由抛物线开口向上可得距离对称轴越远的点y 值越大,从而求解. 【解答】解:由22y x =可得抛物线开口向上,对称轴为y 轴, |1||2|−<, 12y y ∴<,故答案为:<.【点评】本题考查二次函数的性质,解题关键是掌握二次函数的性质,掌握比较函数值大小的方法. 12.【分析】设(,)C m n .利用中点坐标公式构建方程组求解即可.【解答】解:设(,)C m n .线段BA 绕点B 旋转180︒得到线段BC ,AB BC ∴=,点(2,0)A −,点(0,1)B , ∴202m −+=,012n +=, 2m ∴=,2n =,(2,2)C ∴.【点评】本题考查坐标与图形变化−旋转,中点坐标公式等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题即可.13.【分析】利用根的判别式进行计算,令△0>即可得到关于k 的不等式,解答即可. 【解答】解:关于x 的方程220x x k −+=有两个不相等的实数根,∴△0>,即440k −>,1k <.故答案为:1k <.【点评】本题考查了根的判别式,要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△0>⇔方程有两个不相等的实数根;(2)△0=⇔方程有两个相等的实数根;(3)△0<⇔方程没有实数根.14.【分析】连接OA 、OB ,根据切线的性质得到OA PA ⊥,OB PB ⊥,根据四边形内角和等于360︒求出AOB ∠,根据圆周角定理计算即可.【解答】解:连接OA 、OB , PA ,PB 分别切O 于点A ,B ,OA PA ∴⊥,OB PB ⊥,360909040140AOB ∴∠=︒−︒−︒−︒=︒,111407022Q AOB ∴∠=∠=⨯︒=︒, 故答案为:70︒.【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.15.【分析】利用弧长公式求解即可. 【解答】解:标签长度90639.3()180l cm ππ⋅⋅===,故答案为:9.3. 【点评】本题考查弧长的计算,解题的关键是记住弧长公式180n r l π=. 16.【分析】(1)根据题中的转换规则计算即可得到结果;(2)根据输入的二元数,由A 确定出第一个数,由C 确定出第二个数,再由B 确定出结果即可.【解答】解:(1)在图1所示的“A B C −−”组合转换器中,若输入(1,0),则输出结果为1;故答案为:1;(2)若当输入(1,1)和(0,0)时,输出结果均为0,则该组合转换器为“B C A −−”.(写出一种组合即可). 故答案为:B ,A .【点评】此题考查了代数式求值,以及有理数的混合运算,弄清转换器中的规则是解本题的关键.三、解答题(共68分,第17-21题,每题5分,第22题6分,第23题5分,第24-26题,每题6分,第27-28题,每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.【分析】把方程左边分解得到(2)(4)0x x −−=,则原方程可化为20x −=或40x −=,然后解两个一次方程即可.【解答】解:2680x x −+=(2)(4)0x x −−=,20x ∴−=或40x −=, 12x ∴= 24x =.【点评】本题考查了解一元二次方程−因式分解法:先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).18.【分析】根据一元二次方程的解的定义得到22710a a −−=,则2271a a −=,再把(27)5a a −+变形为2275a a −+,然后利用整体代入的方法计算.【解答】解:a 是方程22710x x −−=的一个根,22710a a ∴−−=,2271a a ∴−=,2(27)5275156a a a a ∴−+=−+=+=.【点评】本题考查一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根,所以,一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.19.【分析】(1)把点(2,1)代入抛物线的解析式即可得出答案;(2)求出抛物线的顶点坐标,根据纵坐标即可得出答案.【解答】解:(1)把点(2,1)代入2(3)1y a x =−−中,得:21(23)1a =−−,解得2a =,22(3)1y x ∴=−−;(2)由(1)知抛物线的顶点坐标为(3,1)−,∴把该抛物线向上平移1个单位后,与x 轴的交点个数位1,故答案为:1.【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质,关键是要或用待定系数法求函数的解析式.20.【分析】(1)根据题意,利用旋转的性质即可补全图形;(2)根据含30度角的直角三角形和旋转的性质可得AD AC ==90DAB ∠=︒,再利用勾股定理即可解决问题.【解答】解:(1)如图,即为补全的图形;(2)在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,30BAC ∠=︒,1BC =,22AB BC ∴==,AC ∴由旋转可知:60DAC ∠=︒,AD AC ==90DAB DAC AC ∴∠=∠+∠∠=︒,BD ∴===.【点评】本题考查了作图−旋转变换,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,掌握旋转的性质是解决本题的关键.21.【分析】(1)利用已知条件结合切线的判定定理解答即可;(2)利用中点的定义和线段和差的意义解答即可;(3)利用勾股定理将(2)中的数据代入即可得出结论.【解答】解:(1)l OA ⊥于点A ,OA 为O 的半径,∴直线l 为O 的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线). 故答案为:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线;(2)以点A 为圆心,AO 长为半径画弧交直线l 于点C ,AC r ∴=.纸片O 沿着直线l 向右无滑动地滚动半周,使点A ,B 分别落在对应的A ',B '处,22r AB r ππ'∴==, (1)CB CA AB r r r ππ∴'=+'=+=+. M 为CB '的中点,1(1)22r MC CB π+∴='=. (1)(1)22r r MA MC AC r ππ+−∴=−=−=. 故答案为:(1)2r π+;(1)2r π−; (3)连接ME ,如图,则(1)2r ME MC π+==. 在Rt AME ∆中,222AM AE EM +=,222AE EM AM ∴=−22(1)(1)[][]22r r ππ+−=− (1)(1)(1)(1)[][]2222r r r r ππππ+−+−=+− r r π=⨯2r π=.O AEFG S S ∴=正方形.故答案为:2r π.【点评】本题主要考查了圆的切线的判定,圆的周长与面积,正方形的面积,勾股定理,本题是操作型题目,根据题干中的作图步骤转化成几何语言是解题的关键.22.【分析】(1)利用根的判别式进行求解即可;(2)设方程的较大的实数根为1x ,较小的实数根为2x ,则有123x x −=,122x x m +=−,121x x m =−,从而可进行求解.【解答】(1)证明:△22(2)41(1)0m m m =−−⨯⨯−=,∴原方程有两个相等的实数根或两个不等的实数根,即该方程总有两个实数根;(2)设方程的较大的实数根为1x ,较小的实数根为2x ,依题意得:123x x −=,122x x m +=−,121x x m =−,2212()3x x ∴−=,22112229x x x x −+=,2212129292(1)112x x x x m m +=+=+−=−,2212()(2)x x m +=−,2221122244x x x x m m ∴++=−+,21122(1)44m m m m ∴−+−=−+,整理得:29m =,解得:3m =或3m =−,0m <,3m ∴=−.【点评】本题主要考查根与系数的关系,解答的关键是对根与系数的关系的掌握并灵活运用.23.【分析】(1)根据垂径定理得到AB AC =,根据圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论;(2)连接OB ,根据垂径定理求出BD ,根据勾股定理求出OD ,根据三角形 的面积公式计算,得到答案.【解答】(1)证明:OD BC ⊥,∴AB AC =,AB AC ∴=;(2)解:连接OB ,OD BC ⊥,8BC =,118422BD DC BC ∴===⨯=,在Rt ODB ∆中,3OD ===,538AD ∴=+=,188322ABC S ∆∴=⨯⨯=.【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心,掌握垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题的关键.24.【分析】(1)直接由概率公式求解即可;(2)画树状图,共有12种等可能结果,其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有2种结果,再由概率公式求解即可.【解答】解:(1)恰好抽到“冬季两项”的概率是14,故答案为:14; (2)“越野滑雪”、“高山滑雪”、“冬季两项”、“自由式滑雪”分别记为甲、乙、丙、丁,画树状图如下:共有12种等可能结果,其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有2种结果,∴恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率为:21126=. 【点评】此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.25.【分析】(1)由题意根据切线的判定证明半径OB BG ⊥,即可证明BG 是O 的切线;(2)根据题意连接CF ,根据圆周角定理和中位线性质得出12EO DF =,进而依据等边三角形和四边形BEDG 是矩形,由矩形的性质可得出FG 的长.【解答】(1)证明:C ,A ,D ,F 在O 上,90CAF ∠=︒,90D CAF ∴∠=∠=︒. AB CE ⊥,BG DF ⊥,90BED G ∴∠=∠=︒.∴四边形BEDG 中,90ABG ∠=︒.∴半径OB BG ⊥.BG ∴是O 的切线.(2)解:连接CF ,90CAF ∠=︒,CF ∴是O 的直径.OC OF ∴=.直径AB CD ⊥于E ,CE DE ∴=.OE ∴是CDF ∆的中位线.122OE DF ∴==. AD AD =,30AFD ∠=︒,30ACD AFD ∴∠=∠=︒.9060CAE ACE ∴∠=︒−∠=︒.OA OC =,AOC ∴∆是等边三角形.CE AB ⊥,E ∴为AO 的中点,24OA OE ∴==,4OB =.6BE OB OE ∴=+=.90BED D G ∠=∠=∠=︒,∴四边形BEDG 是矩形.6DG BE ∴==.2FG DG DF ∴=−=.【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题.26.【分析】(1)利用对称点与对称轴的关系:对称点的横坐标之和等于对称轴的2倍,即可求出该抛物线的对称轴.(2)分别讨论222m x m −+的取值范围与对称轴的位置,分别求出不同情况下y 取最大值与最小值时,对应的x 的取值,进而求出a ,m 的值.(3)由于y 的取值范围是3335n y n −<<+,取不到最大值和最小值,故不包含对称轴,分别讨论2n x n −<<在对称轴的左右两侧即可.【解答】解:(1)抛物线23y ax bx =++,0x ∴=时,3y =,∴抛物线23y ax bx =++过点(0,3),抛物线23y ax bx =++过点(4,3),∴该抛物线的对称轴为直线2x =.(2)抛物线23y ax bx =++的对称轴为直线2x =,22b a∴−=,即4b a =−①. 0m >,2222m m ∴−<<+.0a >,抛物线开口向上,∴当2x =时,函数值在222m x m −<<+上取得最小值1−.即4231a b ++=−②.联立①②,解得1a =,4b =−.∴抛物线的表达式为243y x x =−+,即2(2)1y x =−−.0m >,∴当22m x −时,y 随x 的增大而减小,当2x m =−时取得最大值,当222x m +时,y 随x 的增大而增大,当22x m =+时取得最大值,对称轴为2x =,2x m ∴=−与2x m =+时的函数值相等.2222m m <+<+,∴当22x m =+时的函数值大于当2x m =+时的函数值,即2x m =−时的函数值.∴当22x m =+时,函数值在2222m m −<<+上取得最大值3.代入有2413m −=,舍去负解,得1m =.(3)存在,1n =.当2n x n −<<时,y 的取值范围是3335n y n −<<+,y 无法取到最大值与最小值,∴关于x 的取值范围一定不包含对称轴,①当2n 时,2n x n −<<在对称轴的左侧,二次函数开口向上,2x n ∴=−时,y 有最大值,x n =时,y 有最小值,由题意可知:22(2)4(2)3354333n n n n n n ⎧−−−+=+⎨−+=−⎩,解得:1n =, 故1n =,②当22n −时,2n x n −<<在对称轴的右侧,二次函数开口向上,2x n ∴=−时,y 有最小值,x n =时,y 有最大值,由题意可知:22(2)4(2)3334335n n n n n n ⎧−−−+=−⎨−+=+⎩,此时n 无解, 故不符合题意,1n ∴=.【点评】本题是二次函数综合题,考查了二次函数的性质,二次函数的最值,解方程组,待定系数法,正确进行分类讨论是解题的关键.27.【分析】(1)根据要求作出图形即可.结论:DM EM =.证明()ABE ACD SAS ∆≅∆,推出AE AD =,可得结论;(2)当CD =时,12AN DE =成立.过点A 作AT BC ⊥于点T ,AH DC ⊥交DC 的延长线于点H 则四边形ATCH 是正方形.分别求出AN ,DE ,即可判断.【解答】解:(1)图形如图所示,结论:DM EM =.理由:连接AE ,AD .AB AC =,90BAC ∠=︒,45ABC ACB ∴∠=∠=︒,CD CB ⊥,90DCB ∴∠=︒,135ABE ACD ∴∠=∠=︒,BA CA =,BE CD =,()ABE ACD SAS ∴∆≅∆,AE AD ∴=,AM DE ⊥,DM ME ∴=.(2)当CD =12AN DE =成立. 理由:过点A 作AT BC ⊥于点T ,AH DC ⊥交DC 的延长线于点H 则四边形ATCH 是正方形. 1AB AC ==,90BAC ∠=︒,BC ∴==AT CB ⊥,AT TB TC ∴===,CD BE ==EN BN =,BN ∴,2AN ∴===,AH CH AT ==DH ∴==AD ∴==, ABE ACD ∆≅∆, EAB CAD ∴∠=∠,90EAD BAC ∴∠=∠=︒,AE AD ∴==DE ∴=12AN DE ∴=. 【点评】本题考查作图−旋转变换,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意,正确寻找全等三角形解决问题,属于中考常考题型.28.【分析】(1)①根据定义解答可;②分别找出1PQ 、2P Q 、3P Q 的最大值,再根据定义判断即可;(2)正方形ABCD 上的任意两点间的距离最大值为E 是正方形ABCD 的“倍点”,则点E 到ABCD 上点的最大距离好为(3)分线段MN 在O 内部和在O 外两种情况讨论即可求解.【解答】解:(1)①图形W 是半径为1的O ,图形W 上任意两点间的距离的最大值d 为2.故答案为:2;②如图1,连接2P O 并延长交O 于点E ,23P O ==212P E d ∴=+≠,2P ∴不是O 的“倍点”;1P 到O 上各点连线中最大距离为2132d +=≠, 1P ∴不是O 的“倍点”; 3P 到O 上各点连线中最大距离为3142d +==,3P ∴是O 的“倍点”.故答案为:3P .(2)如图2,在正方形ABCD 中,正方形ABCD 上任意两点之间距离的最大距离d =,∴2d =由图可知当点E 在如图所示的位置时,E 是正方形ABCD 的“倍点“,∴OE =,t ∴的值为:3或3−.(3)MN 上2d =,24d =,当线段MN 在O 外部时,4EM =,1TM =,21 / 21ET ∴==∴大O的半径为6+同理,小O的半径为6,点T所构成的图形是圆环,它的面积22(6(6ππ⋅+−⋅=.故答案为:.【点评】此题考查了圆的性质和新定义等知识,解题的关键是理解题意,学会寻找特殊位置解决数学问题,属于中考压轴题.。
B CD EA海淀区九年级第一学期期末练习数 学 2017.1一、选择题(本题共30分,每小题3分)下面各题均有四个选项,其中只有一个..是符合题意的.请将正确选项填涂在答题卡相应的位置. 1.抛物线2(1)3y x =-+的顶点坐标是A .(1,3)B .(1-,3)C .(1-,3-)D .(1,3-) 2.如图,在△ABC 中,D 为AB 中点,DE ∥BC 交AC 于E 点,则△ADE 与△ABC 的面积比为 A .1:1 B .1:2 C .1:3D .1:43.方程20x x -=的解是A .0x =B .1x =C .1201x x ==,D .1201x x ==-,4.如图,在△ABC 中,∠A =90°.若AB =8,AC =6,则cos C 的值为A .35 B .45 C .34D .435.下列各点中,抛物线244y x x =--经过的点是A .(0,4)B .(1,7-)C .(1-,1-)D .(2,8) 6.如图,O 是△ABC 的外接圆,40OCB ∠=︒,则A ∠的大小为A .40︒B .50︒C .80︒D .100︒7.一个扇形的圆心角是120°,面积为3πcm 2,那么这个扇形的半径是A .1cmB .3cmC .6c mD .9cm8.反比例函数3y x=的图象经过点(1-,1y ),(2,2y ),则下列关系正确的是 A .12y y <B .12y y >C .12y y =D .不能确定9.抛物线()21y x t =-+与x 轴的两个交点之间的距离为4,则t 的值是A .1-B .2-C .3-D .4-10.当温度不变时,气球内气体的气压P (单位:kPa )是气体体积V (单位:m 3)的函数,下表记录了一CA BAB CO组实验数据:V (单位:m 3)11.522.53P (单位:kPa ) 96 64 48 38.4 32P 与V 的函数关系可能是 A .96P V =B .16112P V =-+C .21696176P V V =-+D .96P V=二、填空题(本题共18分,每小题3分)11.已知A ∠为锐角,若sin 22A =,则A ∠的大小为 度.12.请写出一个图象在二,四象限的反比例函数的表达式 .13.如图,比例规是一种画图工具,它由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成,利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短.如果把比例规的两脚合上,使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA =3OD ,OB =3OC ),然后张开两脚,使A ,B 两个尖端分别在线段l 的两个端点上,若 3.2CD =cm ,则AB 的长为 cm .14.如图,在平面直角坐标系xOy 中,以原点为位似中心,线段AB 与线段A B ''是位似图形,若A (1-,2),B (1-,0),A '(2-,4),则B '的坐标为 .15.若关于x 的方程20x mx m -+=有两个相等实根,则代数式2281m m -+的值为 .16.下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程.如图1,已知圆上一点A ,画过A 点的圆的切线.BACA B DA画法:(1)如图2,将三角板的直角顶点放在圆上任一点C (与点A 不重合)处, 使其一直角边经过点A ,另一条直角边与圆交于B 点,连接AB ;(2)如图3,将三角板的直角顶点与点A 重合,使一条直角边经过点B , 画出另一条直角边所在的直线AD .所以直线AD 就是过点A 的圆的切线.请回答:该画图的依据是______________________________________________________.图1 图2 图3xy–1–2–3–4123–112345BA'A OECA D BI /AR /Ω49O三、解答题(本题共72分,第17~26题,每小题5分,第27题7分,第28题7分,第29题8分) 17.计算:22sin 30(2)-°0(π3)3--+-.18.如图,在△ABC 中,∠C =90°,E 是BC 上一点,ED ⊥AB ,垂足为D . 求证:△ABC ∽△EBD .19.若二次函数2y x bx c =++的图象经过点(0 1),和(1 2)-,两点,求此二次函数的表达式. 20.已知蓄电池的电压U 为定值,使用蓄电池时,电流I (单位:A )与电阻R (单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示. (1)求这个反比例函数的表达式;(2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10A ,那么用电器的可变电阻R 应控制在什么范围?请根据图象,直接写出结果 .21.已知矩形的一边长为x ,且相邻两边长的和为10.(1)求矩形面积S 与边长x 的函数关系式,并写出自变量的取值范围; (2)求矩形面积S 的最大值.22.如图,热气球探测器显示,从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°,看这栋楼底部C 处的俯角为60°,热气球与楼的水平距离AD 为100米,试求这栋楼的高度BC . 23.在矩形ABCD 中,AB =3,BC =6,P 为BC 边上一点,△APD 为等腰三角形. (1)小明画出了一个满足条件的△APD ,其中P A =PD ,如图1所示,则tan BAP ∠的值为 ;(2)请你在图2中再画出一个满足条件的△APD(与小明的不同),并求此时tan BAP ∠的值.图1 图24.如图,直线4(0)y ax a =-≠与双曲线ky x=只有一个公共点A (1,2-). (1)求k 与a 的值;(2)若直线+(0)y ax b a =≠与双曲线ky x=有两个公共点,请直接写出b 的取值范围.1yxOAFNM25.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,AM 是△ACD 的外角∠DAF 的平分线. (1)求证:AM 是⊙O 的切线;(2)若∠D = 60°,AD = 2,射线CO 与AM 交于N 点,请写出求ON 长的思路. 26.有这样一个问题:探究函数1(1)(2)(3)2y x x x x =---+的性质.(1)先从简单情况开始探究:① 当函数为1(1)2y x x =-+时,y 随x 增大而 (填“增大”或“减小”); ② 当函数为1(1)(2)2y x x x =--+时,它的图象与直线y x =的交点坐标为 ;(2)当函数为1(1)(2)(3)2y x x x x =---+时,下表为其y 与x 的几组对应值.x (1)2- 0 1 32 2 52 3 4 92 … y…11316-3-12716237163717716…①如图,在平面直角坐标系xOy 中,描出了上表中各对对应值为坐标的点,请根据描出的点,画出该函数的图象;②根据画出的函数图象,写出该函数的一条性质: .27.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2443y mx mx m =-++的顶点为A .(1)求点A 的坐标;(2)将线段OA 沿x 轴向右平移2个单位得到线段O A ''.①直接写出点O '和A '的坐标;②若抛物线2443y mx mx m =-++与四边形AOO A ''有且只有两个公共点,结合函数的图象,求m 的取值范围.x y –11234567–1–2–3–4–5–6–71234567891011O28.在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =α,点P 是△ABC 内一点,且2PAC PCA α∠+∠=.连接PB ,试探究P A ,PB ,PC 满足的等量关系.PAB C P'AB C P(1)当α=60°时,将△ABP 绕点A 逆时针旋转60°得到ACP '△,连接PP ',如图1所示.由ABP △≌ACP '△可以证得'APP △是等边三角形,再由30PAC PCA ∠+∠=︒可得∠APC 的大小为 度,进而得到CPP '△是直角三角形,这样可以得到P A ,PB ,PC 满足的等量关系为 ;(2)如图2,当α=120°时,请参考(1)中的方法,探究P A ,PB ,PC 满足的等量关系,并给出证明; (3)P A ,PB ,PC 满足的等量关系为 . 29.定义:点P为△ABC内部或边上的点,若满足△P AB ,△PBC ,△P AC 至少有一个三角形与△ABC 相似(点P 不与△ABC 顶点重合),则称点P 为△ABC 的自相似点.例如:如图1,点P 在△ABC 的内部,∠PBC =∠A ,∠PCB =∠ABC ,则△BCP ∽△ABC ,故点P 为△ABC 的自相似点. 在平面直角坐标系xOy 中,(1)点A 坐标为(2,23), AB ⊥x 轴于B 点,在E (2,1),F (32,32),G (12,32),这三个点中,其中是△AOB 的自相似点的是 (填字母); (2)若点M 是曲线C :k y x=(0k >,0x >)上的一个动点,N 为x 轴正半轴上一个动点;① 如图2,33k =,M 点横坐标为3,且NM = NO ,若点P 是△MON 的自相似点,求点P 的坐标; ② 若1k =,点N 为(2,0),且△MON 的自相似点有2个,则曲线C 上满足这样条件的点M 共有 个,请在图3中画出这些点(保留必要的画图痕迹).xy123456123456OPB CA图1图2y 12345图1 图2海淀区九年级第一学期期末练习数学答案2017.1一、选择题(本题共30分,每小题3分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A D C A B B B A D D二、填空题(本题共18分,每小题3分)11.45;12.1yx=-(答案不唯一);13.9.6;14.(2-,0);15.1;16.90°的圆周角所对的弦是直径,经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 三、解答题(本题共72分,第17~26题,每小题5分,第27题7分,第28题7分,第29题8分)17.解:原式=221132-⨯-+,-------------------------------------------------------------------------------4分=3.---------------------------------------------------------------------------------------------5分18.证明:∵ED⊥AB,∴∠EDB=90°.-------------------------------------------1分∵∠C=90°,-----------------------------------------------2分∴∠EDB=∠C.------------------------------------------3分∵∠B=∠B,---------------------------------------------4分∴ABC△∽EBD△.----------------------------------5分19.解:∵二次函数2y x bx c=++的图象经过(0,1)和(1,2-)两点,∴121cb c=⎧⎨-=++⎩,.---------------------------------------------------------------2分解得41bc=-⎧⎨=⎩,.-----------------------------------------------------------------4分∴二次函数的表达式为241y x x=-+.---------------------------------5分20.(1)解:设反比例函数的表达式为()0I UU R=≠, 由图象可知函数()0I UU R=≠的图象经过点(9,4), ∴49U =. ------------------------------------------------------------1分∴36U =. ---------------------------------------------------------------2分∴反比例函数的表达式为36I R=(0R >). ----------------------------3分(2) 3.6R ≥.(答 3.6R >得1分,其它错误不得分) -------------------------------------5分 21.解:(1)()10S x x =-, -------------------------------------------------------------2分其中010x <<; ----------------------------------------------------3分(2)()10S x x =-=()2525x --+. ---------------------------------------4分∴当5x =时,S 有最大值25. ---------------------------------------5分22.解:∵90ADB ADC ∠=∠=°,30BAD ∠=°,60CAD ∠=°,AD =100, ------------2分∴在Rt ABD △中,tan 10033BD AD BAD =⋅∠=, --------------3分 在Rt ACD △中,tan 1003CD AD CAD =⋅∠=. --------------4分 ∴40033BC BD CD =+=. ------------------------------------------5分 23.(1)1. -------------------------------------------------------------------------------2分(2)解法一:B P CA D------------------------------------------------3分∵矩形ABCD , ∴90B ∠=°.∵AP =AD =6,AB =3,∴在Rt ABP △中,2233BP AP AB =-=. -------------------------4分 ∴tan 3BAP BPAB∠==. --------------------------------------------5分 解法二:B P CA D---------------------------------------------3分∵矩形ABCD , ∴90B C ∠=∠=°.∵PD =AD =BC =6,AB =CD =3,∴在Rt CPD △中,2233CP PD CD =-=. ------------------------4分 ∴633BP BC CP =-=-.∴在Rt ABP △中,tan 23BAP BPAB∠==-. ---------------------5分 24.(1)∵直线4y ax =-与双曲线y kx=只有一个公共点A (1,2-), ∴2421a k-=--=⎧⎪⎨⎪⎩,. --------------------------------------------------------1分 ∴22a k ==-⎧⎨⎩,.(2)4b <-或4b >.(答对一个取值范围得1分) --------------------------------------------5分 25.(1)证明:∵AB ⊥CD ,AB 是⊙O 的直径,∴BC BD =.∴112CAD ∠=∠.∵AM 是∠DAF 的角平分线,∴212DAF ∠=∠.∵180CAD DAF ∠+∠=°, ∴1290OAM ∠=∠+∠=°. ∴OA ⊥AM .∴AM 是⊙O 的切线.-----------------------------------------------2分(2)思路:①由AB ⊥CD ,AB 是⊙O 的直径,可得BC BD =,AC AD =, 21MNFAC D EBO--------------------------------------------------------------------------------------------------2分 ----------------------------------------------------------------------------------------------3分1132CAD AC AD ∠=∠=∠=,;②由60D ∠=°,=2AD ,可得ACD △为边长为2的等边三角形,1330∠=∠=°;③由OA OC =,可得3430∠=∠=°;④由3120CAN OAN ∠=∠+∠=°,可得5430∠=∠=°,2AN AC ==;⑤由OAN △为含有30°的直角三角形,可求ON 的长.(本题方法不唯一) -------------------------------------------------------------5分26.(1)①增大; ----------------------------------------------------------------------1分②(1,1),(2,2); ----------------------------------------------------------3分(2)①yx1234567–11234567891011–1–2–3–4–5–6–7O ----------------------------------------------4分54321MNFAC DEBO(2)该函数的性质:①y 随x 的增大而增大;②函数的图象经过第一、三、四象限; ③函数的图象与x 轴y 轴各有一个交点. ……(写出一条即可) ----------------------------------------------5分27.(1)∵()()2244323y m x x m x =-++=-+,∴抛物线的顶点A 的坐标为(2,3). ----------------------------------------2分 (2)O '(2,0), -------------------------------------------------------------------3分A '(4,3). -------------------------------------------------------------------4分 (3)依题意,0m <. --------------------------------------5分 将(0,0)代入2443y mx mx m =-++中,得34m =-. --------------------------------------------6分∴304m -<<. --------------------------------------7分28.(1)150, -----------------------------------------------------1分222PA PC PB +=. ----------------------------------3分(2)如图,作120PAP '∠=°,使AP AP '=,连接PP ',CP '.过点A 作AD ⊥PP '于D 点. ∵120BAC PAP '∠=∠=°, 即BAP PAC PAC CAP '∠+∠=∠+∠, ∴BAP CAP '∠=∠. ∵AB =AC ,AP AP '=,∴BAP CAP '△≌△. --------------------------------4分 ∴P C PB '=,180302APD AP D PAP '∠=∠='-∠=°.∵AD ⊥PP ', ∴90ADP ∠=°.∴在Rt APD △中,cos 32PD AP APD AP =⋅∠=. ∴23PP PD AP '==. ∵60PAC PCA ∠+∠=°,xy–112345–1–2–3–4123O'A'A O DP'PB CA精品文档∴180120APC PAC PCA ∠=∠-∠=-°.∴90P PC APC APD '∠=∠-∠=°. ∴在Rt P PC '△中,222P P PC P C ''+=.∴2223PA PC PB +=. ----------------------------------------------------------6分(3)22224sin 2PA PC PB α+=. --------------------------------------------------7分29.(1)F ,G .(每对1个得1分) -------------------------------------------------2分 (2)①如图1,过点M 作MH ⊥x 轴于H 点. ∵M 点的横坐标为3,∴3333y ==. ∴33M (,).∴23OM =,直线OM 的表达式为33y x =. ∵MH ⊥x 轴,∴在Rt △MHN 中,90MHN ∠=°,222NH MH MN +=.设NM =NO =m ,则3NH OH ON m =-=-. ∴()()22233m m -+=.∴ON =MN =m =2. --------------------------------------------3分如图2, 1PON △∽NOM △,过点1P 作1PQ ⊥x 轴于Q 点, ∴11PO P N =,112OQ ON ==. ∵1P 的横坐标为1,∴33133y =⨯=. ∴1313P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,. ------------------------------------------------4分如图3,2P NM NOM △∽△, ∴2P N MNON MO=. ∴2233P N =. xy123456123456HNM O图1xy123456123456P 1Q HN MO图2 xy123456123456P 2HNM O图3精品文档∵2P 的纵坐标为233, ∴23333x =. ∴2x =.∴22323P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,. -----------------------------------------------------5分综上所述,313P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,或2323⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,.②4. ----------------------------------------------------------------------6分xy1234512345M 4M 3M 2M 1NO(每标对两个点得1分) ----------------------------------------------8分。
海淀区初三第一学期期末学业水平调研 2022.1参考答案及评分标准 第一部分 选择题一、选择题 (共16分,每题2分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCABBADC第二部分 非选择题二、填空题(共16分,每题2分) 9.不唯一,例如,等 10.11.< 12.(2,2) 13. 14.70°15.9.316.(1)1,(2)不唯一,A/A 或B/A 均可三、解答题(共68分,第17-21题,每题5分,第22题6分,第23题5分,第24-26题,每题6分,第27-28题,每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.(本题满分5分)解:,.18.(本题满分5分)解: = .∵ a 是方程的根, ∴ .∴ . ∴ 原式 = 6.y x =-21y x =-351k <2691x x -+=()231x -=31x -=±14x =22x =(27)5a a -+2275a a -+22710x x --=22710a a --=2271a a -=(1)解:∵ 抛物线经过点(2,1),∴ . 解得:.∴ 该抛物线的表达式为.(2)1.20.(本题满分5分)(1)如图所示:(2)解:∵ ∠ACB =90°,∠BAC =30°,BC =1,∴ AB =2BC =2.∴ .∵ 线段CA 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CD , ∴ CA =CD 且∠ACD =60°. ∴ △ACD 是等边三角形.∴ AD =AC ,∠DAC =60°.∴ ∠DAB =∠DAC +∠CAB =90°.∴ 在Rt △ABD 中,.21.(本题满分5分)(1)经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线; (2),; (3) .()231y a x =--11a -=2a =()2231y x =--AC ==BD ==()12rπ+()12rπ-2r π(1)证明:依题意,得==.∵, ∴.∴ 该方程总有两个实数根. (2)解:解方程,得,.∵ , ∴ .∵该方程的两个实数根的差为3, ∴ .∴.23.(本题满分5分)(1)证明:在⊙O 中,∵ OD ⊥BC 于D , ∴ BD =CD . ∴ AD 垂直平分BC . ∴ AB =AC .(2)解:连接OB ,∵ BC =8,又由(1)得BD =CD , ∴ . ∵ ,∴ .∴ . ∴ △ABC 的面积.()()2241m m ∆=---24444m m m -+-+2m 20m ≥0∆≥11x =-21x m =-0m <11m ->-1(1)3m ---=3m =-142BD BC ==5OA OB ==3OD ==8AD AO OD =+=1322ABC S BC AD =⋅=(1);(2)解:直接使用图中的序号代表四枚邮票. 方法一:由题意画出树状图由树状图可知,所有可能出现的结果共有12种,即①②,①③,①④,②①,②③,②④,③①,③②,③④,④①,④②,④③,并且它们出现的可能性相等. 其中,恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”(记为事件A )的结果有2种,即②④或④②.∴ .方法二:由题意列表第二枚 第一枚① ② ③ ④ ① ①② ①③ ①④ ② ②① ②③ ②④ ③ ③① ③② ③④ ④④①④②④③由表可知,所有可能出现的结果共有12种,即①②,①③,①④,②①,②③,②④,③①,③②,③④,④①,④②,④③,并且它们出现的可能性相等. 其中,恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”(记为事件A )的结果有2种,即②④或④②.∴ .25.(本题满分6分)(1)证明:∵ C ,A ,D ,F 在⊙O 上,∠CAF =90°, ∴ ∠D =∠CAF =90°. ∵ AB ⊥CE ,BG ⊥DF , ∴ ∠BED =∠G =90°.14()21126P A ==()21126P A ==∴ 四边形BEDG 中,∠ABG =90°. ∴ 半径OB ⊥BG .∴ BG 是⊙O 的切线. (2)解:连接CF ,∵ ∠CAF =90°, ∴ CF 是⊙O 的直径. ∴ OC =OF .∵ 直径AB ⊥CD 于E , ∴ CE =DE .∴ OE 是△CDF 的中位线.∴ .∵ ,∠AFD =30°, ∴ ∠ACD =∠AFD =30°. ∴ . ∵ OA =OC ,∴ △AOC 是等边三角形. ∵ CE ⊥AB , ∴ E 为AO 中点, ∴ OA =2OE =4,OB =4. ∴ . ∵ ∠BED =∠D =∠G =90°, ∴ 四边形BEDG 是矩形. ∴ DG =BE =6.∴ . 26.(本题满分6分)(1)解:依题意,∵ 抛物线过点(0,3),(4,3), ∴ 该抛物线的对称轴为直线.(2)解:∵ 抛物线对称轴为直线,∴ ,即 ①. 122OE DF ==AD AD =9060CAE ACE ∠=︒-∠=︒6BE BO OE =+=2FG DG DF =-=23y ax bx =++2x =23y ax bx =++2x =22ba-=4b a =-A∵ ,∴ . ∵ ,抛物线开口向上,∴ 当时,函数值在上取得最小值. 即 ②.联立①②,解得,.∴ 抛物线的表达式为,即. ∵,∴ 当时,y 随x 的增大而减小,当时取得最大值, 当时,y 随x 的增大而增大,当时取得最大值, ∵对称轴为,∴与时的函数值相等. ∵,∴ 当时的函数值大于当时的函数值,即时的函数值. ∴ 当时,函数值在上取得最大值3. 代入有,舍去负解,得.(3)存在,. 27.(本题满分7分)(1)补全图形如下图,DM 与ME 之间的数量关系为DM =ME .证明:连接AE ,AD , ∵ ∠BAC =90°,AB =AC ,0m >2222m m -<<+0a >2x =222m x m -≤≤+1-4231a b ++=-1a =4b =-243y x x =-+()221y x =--0m >22m x -≤≤2x m =-222x m ≤≤+22x m =+2x =2x m =-2x m =+2222m m <+<+22x m =+2x m =+2x m =-22x m =+222m x m -≤≤+2413m -=1m =1n =∴ ∠ABC =∠ACB =45°. ∴ ∠ABE =180°-∠ABC =135°. ∵ 由旋转,∠BCD =90°, ∴ ∠ACD =∠ACB +∠BCD =135°. ∴ ∠ABE =∠ACD . ∵ AB =AC ,BE =CD , ∴ △ABE ≌ △ACD .∴ AE =AD . ∵ AM ⊥DE 于M ,∴ DM =EM . (2)证明:连接AD ,AE ,BM. ∵ AB =AC =1,∠BAC =90°, ∴ ∵ , ∴ .∵ 由(1)得DM =EM , ∴ BM 是△CDE 的中位线.∴ ,BM ∥CD .∴ ∠EBM =∠ECD =90°.∵ ∠ABE =135°, ∴ ∠ABM =135°=∠ABE . ∵ N 为BE 中点,∴ .∴ BM =BN . ∵ AB =AB ,∴ △ABN ≌ △ABM . ∴ AN =AM .∵ 由(1),△ABE ≌ △ACD ,∴ ∠EAB =∠DAC ,AD =AE . ∵ ∠BAC =∠DAC +∠DAB =90°, ∴ ∠EAD =90°.CD =BC =BE CD ==BE BC =12BM CD =1122BN BE CD ==E∵ DM =EM , ∴ . ∴ .28.(本题满分7分)(1)① 2;② ;(2)解:如图所示,正方形ABCD 上的任意两点间距离的最大值为依题意,若点E (t ,3)是正方形ABCD 的“倍点”,则点E 到ABCD 上的点的最大距离恰好为当时,点E 到ABCD 上的点的最大距离为EC 的长. 取点H(1,3),则CH ⊥EH 且CH =4,此时可求得EH =4,从而点E 的坐标为,即;当时,点E 到ABCD 上的点的最大距离为ED 的长.由对称性可得点E 的坐标为,即.当时,显然不符合题意. 综上,t 的值为3或.(3)π.12AM DE =12AN DE =3P 0t <()13,3E -3t =-0t >()23,3E 3t =0t =3-。
海淀区九年级第一学期期末数学练习答案及评分标准2022.1一、选择题〔此题共30分,每题3分〕二、填空题〔此题共18分,每题3分〕三、解答题〔此题共72分,第17~26题,每题5分,第27题6分,第28题8分,第29题8分〕17.〔本小题总分值5分〕解:原式2122⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ ……………………………3分 1122=+ ……………………………4分 =.……………………………5分18.〔本小题总分值5分〕 解法一:522=+x x .15122+=++x x . ……………………………2分6)1(2=+x . ……………………………3分 61±=+x . 16-±=x .∴161-=x ,162--=x . ……………………………5分解法二:521-===c b a ,,.∆=ac b 42-)5(1422-⨯⨯-=204+==240>. …………………………2分∴2x a=221-±=⨯ ……………………………3分1=-±.∴161-=x ,162--=x .………………………………5分19.〔本小题总分值5分〕 证明:∵DE //AB ,∴∠CAB =∠EDA .………………………………3分 ∵∠B =∠DAE ,∴△ABC ∽△DAE .………………………………5分 20.〔本小题总分值5分〕解:∵m 是方程210x x +-=的一个根,∴210m m +-=.………………………………1分 ∴21m m +=.∴22211m m m =+++-原式………………………………3分2=.………………………………5分21.〔本小题总分值5分〕解:∵二次函数28y x bx =++的图象与x 轴交于点A (2,0)-, ∴0428b =-+.………………………………1分∴6b =.………………………………2分∴二次函数解析式为268y x x =++.………………………………3分 即(2)(4)y x x =++.∴二次函数(2)(4)y x x =++与x 轴的交点B 的坐标为(4,0)-.……5分 22.〔本小题总分值5分〕解:〔1〕216y x x =-+;………………………………2分〔2〕∵216y x x =-+,∴2(8)64y x =--+.………………………………4分∵016x <<,∴当8x =时,y 的最大值为64.答:矩形ABCD 的最大面积为64平方米.………………………………5分 23.〔本小题总分值5分〕解:解法一:如图,〔1〕∵DE ⊥AB ,∴∠DEA =90°. ∴∠A+∠ADE =90°. ∵∠ACB =90︒, ∴∠A+∠B =90°.∴∠ADE =∠B .………………………………1分 在Rt △ABC 中,∵AC =12,BC =5, ∴AB =13. ∴5cos 13BC B AB ==. ∴5cos cos 13ADE B ∠==.………………………………2分 〔2〕由〔1〕得5cos 13DE ADE AD ∠==,设AD 为x ,那么513DE DC x ==.………………………………3分∵12AC AD CD =+=,∴51213x x +=. .………………………………4分 解得263x =.∴263AD =. …………………………5分 解法二:(1) ∵90DE AB C ⊥∠=︒,, ∴90DEA C ∠=∠=︒. ∵A A ∠=∠, ∴△ADE ∽△ABC .∴ADE B ∠=∠. ………………………… 1分 在Rt △ABC 中,∵12,5AC BC ==,A∴13.AB = ∴5cos .13BC B AB == ∴5cos cos .13ADE B ∠==…………………………2分 (2) 由(1)可知 △ADE ∽△ABC . ∴.DE AD BC AB=………………………………3分设AD x =,那么12DE DC x ==-. ∴12513x x-=. .………………………………4分 解得263x =.∴263AD =.…………………………5分24.〔本小题总分值5分〕解:〔1〕∵直线2-=kx y 过点A 〔3,1〕,∴132k =-. ∴1k =.∴直线的解析式为2y x =-.………………………………2分 ∵双曲线xmy =过点A 〔3,1〕, ∴3m =.∴双曲线的解析式为3y x=.………………………………3分 〔2〕3,22⎛⎫⎪⎝⎭或1,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭.………………………………5分 25.〔本小题总分值5分〕 解:如图,依题意,可得10==AB CD ,5.1==AC FG ,︒=∠90EFC .在Rt △EFD 中,∵β=50︒,2.1tan ==FDEFβ, ∴FD EF 2.1=.在Rt △EFC 中,∵α=45︒,∴FD EF CF 2.1==. ………………………2分G∵10=-=FD CF CD , ∴50=FD .∴602.1==FD EF . ……………………4分 ∴5.615.160=+=+=FG EF EG .答:塔的高度为5.61米.………………………………5分 26.〔本小题总分值5分〕解:如图,〔1〕连接BO 并延长交⊙O 于点M ,连接MC .∴∠A =∠M ,∠MCB =90°. ∴∠M +∠MBC =90°. ∵DE 是⊙O 的切线, ∴∠CBE +∠MBC =90°. ∴M CBE ∠=∠.∴A CBE ∠=∠.………………………………2分 (2) 过点C 作CN DE ⊥于点N . ∴90CNF ∠=︒.由(1)得,M CBE A ∠=∠=∠. ∴tan tan tan 2M CBE A =∠==. 在Rt △BCM 中,∵5tan 2BM M ==,, ∴25BC =.………………………………3分 在Rt △CNB 中,∵25tan 2BC CBE =∠=,, ∴42CN BN ==,..………………………………4分 ∵2BF =,∴4FN BF BN =+=. 在Rt △FNC 中, ∵4,4FN CN ==,∴42CF =.…………………………5分 27.〔本小题总分值6分〕解:〔1〕①〔2,12〕;………………………………1分 ②7;………………………………2分〔2〕11y x=+;………………………………4分 〔3〕如图.………………………………6分 28.〔本小题总分值8分〕解:〔1〕3;………………………………1分〔2〕①如图,△EDF 即为所求;………………………………3分②在AD 上截取AH ,使得AH =DE ,连接OA 、OD 、OH . ∵点O 为正方形ABCD 的中心,∴OA OD =,90AOD ∠=︒,1245∠=∠=︒. ∴△ODE ≌△OAH .………………………………4分 ∴DOE AOH ∠=∠,OE OH =. ∴90EOH ∠=︒.∵△EDF 的周长等于AD 的长, ∴EF HF =.………………………………5分 ∴△EOF ≌△HOF .∴45EOF HOF ∠=∠=︒.………………………………6分 ③223.………………………………8分 29.〔本小题总分值8分〕解:〔1〕〔3,0〕; ……………………1分〔2〕点A 、点B 的位置如下列图;…………………………3分 〔3〕①如图,∵特征点C 为直线4y x =-上一点, ∴4b a =-.∵抛物线2y ax bx =+的对称轴与x 轴交于点D ,∴对称轴22bx a=-=. ∴点D 的坐标为2,0().……………………………4分 ∵点F 的坐标为〔1,0〕,∴1DF =.∵特征直线y =ax +b 交y 轴于点E , ∴点E 的坐标为0,b (). ∵点C 的坐标为,a b (), ∴CE ∥DF . ∵DE ∥CF ,∴四边形DECF 为平行四边形.∴1CE DF ==.………………………………5分∴1a =-.∴特征点C 的坐标为1,4-().………………………………6分 ②102b -≤<或548b <<.………………………………8分。
海淀区九年级第一学期期末练习数学试卷答案及评分参考一、选择题(本题共32分,每小题4分)三、解答题(本题共30分,每小题5分)13. 计算:2011()(3)3π-+---解:原式191-+-- …………………………………………4分=7- …………………………………………5分 14. 解方程:2280xx .解法一:(4)(2)0x x +-=. …………………………………………3分40x +=或20x -=.∴ 124,2x x =-=. …………………………………………5分解法二: 1,2,8a b c ===-, …………………………………1分2241(8)360∆=-⨯⨯-=>. ……………………………………2分∴ x =. …………………………………………3分∴ 124,2x x =-=. …………………………………………5分15.解法一:∵3a b +=,∴ 22285a b a b -+++=()()285a b a b a b +-+++ ………………………2分 =3()285a b a b -+++ ………………………3分 =5()5a b ++ ………………………4分 =535⨯+=20. ………………………5分 解法二:∵3a b +=,∴3b a =-. .…………………………1分原式= 22(3)28(3)5a a a a --++-+.…………………………2分=22(96)22485a a a a a --+++-+ .…………………………3分 =582426922+-++-+-a a a a a .…………………………4分=20. ………………………5分16.例如:∴△111A B C 、△222A B C 为所求.(注:第(1)问2分;第(2)问3分,画出一个正确的即可.) 17. 解:∵12∠=∠,∴CAB EAD ∠=∠. ………………………1分 ∵C E ∠=∠,∴△CAB ∽△EAD . ………………………3分∴AB ACAD AE=. ………………………4分 ∵AC AD =2AB ==6, ∴=3AB . ∴36=6AE. ∴12AE =. ………………………5分18. 解法一:依题意,可得223y x x =-++=214x --+(). ∴顶点(1,4)D . ……………1分令0y =,可得3x =或1x =-.∴A (1,0)-、B (3,0). ……………2分令0x =,可得3y =.∴(0,3)C . ……………3分∴直线CD 的解析式为3y x =+. 设直线CD 交x 轴于E . ∴(3,0)E -.∴6BE =. …….………….…………4分 ∴3BCDBEDBCESSS=-=.∴△BCD 的面积为3. …….………….…………5分解法二:同解法一,可得A (1,0)-、B (3,0)、(0,3)C 、(1,4)D . ……………3分∴直线BC 的解析式为3y x =-+. 过点D 作DE ∥BC 交x 轴于E ,连接CE . ∴设过D 、E 两点的直线的解析式为y x b =-+. ∵(1,4)D ,∴直线DE 的解析式为5y x =-+. ∴(5,0)E .∴2BE =. ….…………4分 ∵DE ∥BC , ∴132BCDBCESSBE OC ==⨯⨯=. ∴△BCD 的面积为3. . .………….………………5分 四、解答题(本题共20分,每小题5分)19.解:(1)∵关于x 的方程04332=++mx x 有两个不相等的实数根, ∴∆930m =->. …………………………1分 ∴3m <. .…………………………2分 (2)∵m 为符合条件的最大整数,∴2m =. .…………………………3分∴23302x x ++=. 2223333()()222x x ++=-+.233()24x +=.2331-=x ,2332--=x . ∴方程的根为2331-=x ,2332--=x . .…………………………5分 20.解:(1)m 的值为3; .…………………………1分(2) ∵二次函数的图象经过点(1,0),(3,0),∴设二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =--. .…………………………2分 ∵图象经过点(0,3),∴1a =. .…………………………3分∴这个二次函数的解析式为243y x x =-+. .…………………………4分 (3) 当03x <<时,则y 的取值范围为 1-≤3<y . .…………………5分 21. 解:如图所示,建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为2y ax =(0)a ≠. .…………………1分 ∵图象经过点(2,2)-, .…………………2分 ∴24a -=,12a =-.∴212y x =-. .…………………3分当3y =-时,6x =±. .…………………4分答:当水面高度下降1米时,水面宽度为26米. .…………………5分 22.(1)如图,连接,OD BD . ………………1分∵在⊙O 中,OD OB =,∴∠1=∠2.∵AB 是⊙O 的直径, ∴90ADB CDB ∠=∠=︒. ∵E 为BC 中点, ∴12ED BC EB ==. ∴∠3=∠4.∵BC 切⊙O 于点B ,∴90EBA ∠=︒.∴132490∠+∠=∠+∠=︒, 即90ODE ∠=︒. ∴OD ⊥DE . ∵点D 在⊙O 上,∴DE 是⊙O 的切线. ……………2分 (2)∵OD ⊥DE , ∴90FDO ∠=︒. 设OA OD r ==.∵222OF FD OD =+, DF =4,AF =2, ∴222(2)4r r +=+.解得3r =. ……………………………………3分 ∴3,8OA OD FB ===. ∵,90F F FDO FBE ∠=∠∠=∠=︒,∴△FDO ∽△FBE . ……………………………………4分∴FD ODFB BE =. ∴ 6.BE =∵E 为BC 中点,∴212.BC BE ==……………………………………5分五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题8分,第25题7分) 23. 解:(1)……………………2分(注:直接等分不给分,在等距平行线上有正确痕迹的给分,作出一个给1分.) (2)① ②……………………4分 ……………………7分24.解:(1)解法一:∵抛物线2(3)3(0)y mx m x m =+-->与y 轴交于点C ,∴(0,3)C -. ……………………1分∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点,OB=OC ,∴B (3,0)或B (-3,0).∵点A 在点B 的左侧,0m >,∴抛物线经过点B (3,0). ……………………2分 ∴093(3)3m m =+--. ∴1m =.∴抛物线的解析式为322--=x x y . ……………………3分 解法二:令0y =, ∴2(3)3=0mx m x +--. ∴(1)(3)0x mx +-=. ∴31,=x x m=-. 0m >,点A 在点B 的左侧,∴3(1,0),(,0)A B m-. ……………………1分令0x =,可得3y =-. ∴(0,3)C -.∴3OC =. ……………………2分 OB OC =,∴33m =. ∴1m =.∴322--=x x y . ……………………3分(2)①由抛物线322--=x x y 可知对称轴为1x =. ……………4分 ∵点P 1(,)x b 与点Q 2(,)x b 在这条抛物线上,且12x x <,PQ n =, ∴121,122n nx x =-=+. ……………………5分 ∴1222,22x n x n =-=+.∴原式=736)2()2(2=+++--n n n n . ……………………6分②42b -<<-或0b =. ……………………8分 (注:答对一部分给1分.) 25.解:(1)①1;……………………1分②2k;……………………2分 (2)解:连接AE .∵ABC DEF ∆∆,均为等腰直角三角形,2,1DE AB ==,∴2,1,90,4545.EF BC DEF ==∠=︒∠=∠=︒ ∴22,2,90.DF AC EFB ==∠=︒ ∴2, 2.DF AC AD ==∴点A 为CD 的中点. ……………………3分 ∴,.EA DF EA DEF ⊥∠平分 ∴90,45MAE AEF ∠=︒∠=︒, 2.AE =∵45,BEM ∠=︒ ∴1+2=3+2=45∠∠∠∠︒.∴1= 3.∠∠∴AEM ∆∽FEB ∆. ∴.AM AEBF EF= ……………………4分 ∴2AM =. ∴22222DM AD AM =-=-=. ∴1AMDM=. ……………………5分(3) 过B 作BE 的垂线交直线EM 于点G ,连接AG 、BG . ∴90EBG ∠=︒. ∵45BEM ∠=︒,∴45EGB BEM ∠=∠=︒. ∴BE BG =.∵△ABC 为等腰直角三角形, ∴90.BA BC ABC =∠=︒,∴12∠=∠.∴△ABG ≌△CBE . ……………………6分 ∴34AG EC k ==∠=∠,.∵3+65+4=45∠∠=∠∠︒, ∴65∠=∠. ∴AG ∥DE .∴△AGM ∽△DEM . ∴.2AM AG kDM DE == ……………………7分(注:本卷中许多问题解法不唯一,请老师根据评分标准酌情给分.)。