江苏省苏州市第五中学高中数学2.2椭圆学案(无答案)苏教版选修21

解析几何中的定点问题探究学习目标：1．对解析几何的定点问题形成根本的解题思路2．加强学生代数恒等变形和计算的能力3．培养学生在新的问题情境中的迁移能力，提高学生的思维品质根底练习：1．无论取任何实数，直线必经过一个定点，那么此定点的坐标为．2．假设，那么直线恒过定点．例题探究：椭圆的左顶点为，过点作两条弦、交椭圆于、两点，直线、的斜率分别为、．〔1〕如果，，求直线的方程；〔2〕如果，直线是否过一定点？假设过定点，请给出证明，并求出该定点；假设不过定点，请说明理由．举一反三：椭圆．过点分别作斜率为、的椭圆的动弦、，设、分别为线段、的中点．假设，求证直线恒过定点，并求出定点坐标．反思小结：从新授课到一轮复习，再到专题强化，你对“解析几何中的定点问题〞1．是否有“更清晰的解题思路〞？2．是否有“更丰富的解题经验〞？根底练习答案：1．2．例题答案：〔1〕直线AM的斜率为1时，直线AM：，代入椭圆方程并化简得：，解之得，∴．同理，．所以直线的方程为．〔2〕因为，所以，由，消去，得，解得或，∴点，同理，有，而，∴当时，解法一：由〔1〕知假设存在定点，那么此点必为．∵，同理可计算得．∴直线MN过轴上的一定点．解法二：直线的方程为，即，即，即，得恒过定点．当时，由〔1〕知直线的方程为，此时亦过点．综上，直线恒过定点．举一反三答案：依题设，1≠2．设M,，直线AB的方程为－1=1－1，即=11－1，亦即=12，代入椭圆方程并化简得．于是，，．同理，，．当12≠0时，直线MN的斜率==．直线MN的方程为，即，亦即．此时直线过定点．当12=0时，直线MN即为轴，此时亦过点．综上，直线MN恒过定点，且坐标为．取，，那么，，此时直线方程为；再取，，那么，，此时直线方程为；假设存在定点，那么此点必为．当12≠0时，∵，同理可计算得．∵，∴∴直线MN过轴上的一定点．当12=0时，直线MN即为轴，此时亦过点．综上，直线MN恒过定点，且坐标为．。

2.2.2椭圆的几何性质1．椭圆的简单几何性质(1)定义：焦距与长轴长的比ca叫做椭圆的离心率．(2)范围：e ＝ca ∈(0,1)． (3)作用：当椭圆的离心率越接近于1时，则椭圆越扁； 当椭圆的离心率越接近于0时，则椭圆越接近于圆． 思考：(1)离心率e 能否用ba 表示？ (2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？[提示] (1)e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，所以e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. (2)不是．离心率相同的椭圆焦距与长轴的长的比值相同．1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是( ) A ．(－1,0)，(1,0) B ．(－6,0)，(6,0) C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6)D [椭圆方程可化为x 2＋y 26＝1，则长轴的端点坐标为(0，±6)．] 2．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( ) A ．5,3,0.8 B ．10,6,0.8 C ．5,3,0.6D ．10,6,0.6B [椭圆方程可化为x 29＋y 225＝1，则a ＝5，b ＝3，c ＝25－9＝4，e ＝c a ＝45，故B.]3．椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a >2)的离心率e ＝22，则实数a 的值为________． 22 [因为a >2，所以e ＝a 2－4a ＝22，解得a ＝2 2.]4．椭圆x 24＋y 2＝1被过右焦点且垂直于x 轴的直线所截得的弦长为________． 1 [右焦点为(3，0)，把x ＝3代入得34＋y 2＝1，解得y ＝±12，所以过焦点且垂直于x 轴的直线所截得的弦长为12×2＝1.]【例 (2)求椭圆81x 2＋y 2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率． [思路探究] 分清椭圆的焦点所在的轴，确定a ，b 后研究性质．(1)22 [把椭圆2x 2＋3y 2＝12化为标准方程，得x 26＋y 24＝1，易知a 2＝6，b 2＝4，∴c 2＝a 2－b 2＝2，∴c ＝2，故2c ＝2 2.](2)[解] 椭圆的方程可化为 x 2＋y 281＝1，∴a ＝9，b ＝1，∴c ＝81－1＝80＝45，∴椭圆的长轴长和短轴长分别为18,2. ∵椭圆的焦点在y 轴上，故其焦点坐标为F 1(0，－45)，F 2(0,45)， 顶点坐标为A 1(0，－9)，A 2(0,9)， B 1(－1,0)，B 2(1,0)，e ＝c a ＝459.研究椭圆几何性质的方法求椭圆的几何性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a ，b 的数值，进而求出c ，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．1．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标．[解] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1(m >0)，因为m －m m ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，所以m >m m ＋3，所以焦点在x 轴上，即a 2＝m ，b 2＝m m ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得e ＝ca ＝m ＋2m ＋3＝32，所以m ＝1. 所以椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.所以a ＝1，b ＝12，c ＝32，所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0；四个顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(1)中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是6，离心率是23；(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，在x 轴上的一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.[思路探究] 确定焦点位置→设标准方程→求出a 2，b 2→ 写出标准方程[解] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知得2a ＝6，∴a ＝3.又e ＝c a ＝23，∴c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或y 29＋x 25＝1. (2)由题意知焦点在x 轴上，故可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且两焦点为F ′(－3，0)，F (3,0)． 如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18.∴椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.由椭圆的几何性质求方程的方法步骤1．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法．2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论．一般步骤是：①求出a 2，b 2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程．2．已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A (5,0)，求该椭圆的标准方程．[解] 法一：若椭圆的焦点在x 轴上，则设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝5×2b ，25a 2＋0b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝1，故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，则设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝25，b ＝5，故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1. 法二：设椭圆的标准方程为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25m ＋0n＝1，2m ＝5×2n或⎩⎪⎨⎪⎧25m ＋0n ＝1，2n ＝5×2m ，解得⎩⎨⎧ m ＝25，n ＝1或⎩⎨⎧m ＝25，n ＝625.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1.【例3】 1和上顶点B ，则该椭圆的离心率为________．(2)已知椭圆C 的中心在坐标原点，连接椭圆的长轴的一个端点A 和短轴的一个端点B ，∠OAB ＝30°，则椭圆的离心率为________．[思路探究] (1)求出直线l 与x 、y 轴交点，找出a ，b ，进而求出离心率e ； (2)在直角三角形OAB 中，由∠OAB ＝30°，可得a ，b 的关系，利用这个a ，b 的关系可求离心率．(1)255 (2)63 [(1)在直线l 的方程x －2y ＋2＝0中令y ＝0得x ＝－2，令x ＝0得y ＝1，故F 1(－2,0)，B (0,1)，所以c ＝2，b ＝1，故a 2＝b 2＋c 2＝5.所以a ＝5，因此离心率e ＝c a ＝25＝255.(2)如图所示，不妨设椭圆的焦点在x 轴上，由条件得∠OAB ＝30°，OA ＝a ，OB ＝b ，∴b a ＝tan 30°＝33， ∴e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝1－13＝23，∴e ＝63.]求椭圆的离心率，关键是寻找a 与c 的关系，一般地： 1．若已知a ，c ，则直接代入e ＝ca 求解； 2．若已知a ，b ，则由e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2求解； 3．若已知a ，b ，c 的关系，则可转化为a ，c 的齐次式，再转化为含e 的方程求解即可．3．A 为y 轴上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，△AF 1F 2为正三角形，且AF 1的中点B 恰好在椭圆上，求此椭圆的离心率．[解] 如图，连接BF 2. ∵△AF 1F 2为正三角形， 且B 为线段AF 1的中点， ∴F 2B ⊥BF 1.又∵∠BF 2F 1＝30°，|F 1F 2|＝2c ， ∴|BF 1|＝c ，|BF 2|＝3c . 据椭圆定义得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 即c ＋3c ＝2a ，∴ca ＝3－1. ∴椭圆的离心率e ＝3－1.[1．直线与椭圆有几种位置关系？能否像判断直线与圆的位置关系那样判断？如何判断直线与椭圆的位置关系？[提示] (1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种位置关系，其几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件．但不能像判断直线与圆的位置关系那样进行判断．(2)判断直线与椭圆的位置关系可使用代数法，即先将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y (或x )，得到关于x (或y )的一个一元二次方程．利用一元二次方程根的判别式Δ，根据Δ>0，Δ<0还是Δ＝0，即可判断方程组解的个数，从而得出直线与椭圆的交点情况．2．直线与椭圆相交时，若交点为A ，B ，则线段AB 是椭圆的弦，如何计算弦AB 的长呢？[提示] 将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x (或y )的一元二次方程，然后运用根与系数的关系，再求弦长．设直线y ＝kx ＋m 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长公式为： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.3．与弦的中点有关的问题称为中点弦问题，若已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的弦AB 的中点坐标为(x 0，y 0)，能否确定直线AB 的斜率？[提示] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，所以1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0， 变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0， 即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.这种方法叫平方差法，也叫点差法． 【例4】 已知椭圆x 24＋y 2＝1.(1)当m 为何值时，直线y ＝x ＋m 与椭圆有两个不同的交点？ (2)当m ＝2时，求直线y ＝x ＋m 被椭圆截得的线段长．[思路探究] 联立，消去y 得一元二次方程→Δ判别式→m 的范围→根与系数的关系→由弦长公式求弦长[解] (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋m消去y ，得5x 2＋8mx ＋4(m 2－1)＝0.(*)∵Δ＝64m 2－80(m 2－1)>0，∴－5<m <5，∴当－5<m <5时，直线与椭圆有两个不同的交点． (2)当m ＝2时，方程(*)化为5x 2＋16x ＋12＝0，设线段端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝－165，x 1x 2＝125，又k ＝1，∴AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝45 2.直线与椭圆位置关系的判定及弦长公式1．直线与椭圆公共点个数问题，一般转化为方程根的问题，由判别式进行判断．2．求直线被圆锥曲线截得的弦长，一般用弦长公式AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2进行求解，也可利用AB ＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝1＋1k 2· (y 1＋y 2)2－4y 1y 2进行求解．4.如图，已知一直线与椭圆4x 2＋9y 2＝36相交于A 、B 两点，弦AB 的中点坐标为M (1,1)，求直线AB 的方程．[解] 设通过点M (1,1)的直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋1，代入椭圆方程，整理得(9k 2＋4)x 2＋18k (1－k )x ＋9(1－k )2－36＝0. 设A ，B 的横坐标分别为x 1，x 2，则x1＋x22＝－18k(1－k)2(9k2＋4)＝1，解得k＝－49.故直线AB的方程为y＝－49(x－1)＋1，即4x＋9y－13＝0.1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式．2．根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法．在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距．3．求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用．4．解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b)的长轴长为a，短轴长为b.()(2)椭圆的离心率越大，则椭圆越接近于圆．()(3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称．()[答案](1)×(2)×(3)√2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是()A.x23＋y24＝1 B.x24＋y23＝1C.x 24＋y 22＝1D.x 24＋y 23＝1D [右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上，c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.]3．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．32 [由题意知0<m <2，且e 2＝1－b 2a 2＝1－m 2＝14. 所以m ＝32.]4．椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1(0，－c )，F 2(0，c )(c >0)，离心率e ＝32，焦点到椭圆上点的最短距离为2－3，求椭圆的方程．[解] 由题意知⎩⎨⎧ c a ＝32，a －c ＝2－3，解得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以所求椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.。

2．2.2椭圆的几何性质(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能掌握椭圆的范围、对称性、顶点，掌握椭圆基本量的几何意义以及其相互关系，初步学习利用方程研究曲线性质的方法．2．过程与方法利用曲线的方程来研究曲线性质的方法是学习解析几何以来的第一次应用，通过初步尝试，使学生经历知识产生与形成的过程，不仅注意对研究结果的掌握和应用，更重视对研究方法的思想渗透及分析问题和解决问题能力的培养；以自主探究为主，通过体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力．3．情感、态度与价值观通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会椭圆方程结构的和谐美和椭圆曲线的对称美，培养学生的审美习惯和良好的思维品质．●重点难点重点：从知识上来讲，要掌握如何利用椭圆标准方程的结构特征研究椭圆的几何性质；从学生的体验来说，需要关注学生在探究椭圆性质的过程中思维的过程展现，如思维角度和思维方法．难点：椭圆几何性质的形成过程，即如何从椭圆标准方程的结构特征中抽象出椭圆的几何性质．通过本节课的教学力求使一个平淡的性质陈述过程成为一个生动而有价值的学生主动交流合作、大胆探究的过程．(教师用书独具)●教学建议本节课采用创设问题情景——学生自主探究——师生共同辨析研讨——归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案，通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气．根据学生的认知情况和学生的情感发展来调整整个学习活动的梯度与层次，逐步形成敢于发现、敢于质疑的科学态度．使用实物投影及多媒体辅助教学．借助实物投影展示学生的解题思维及解题过程，突出学生的思维角度与思维认识，遵循学生的认知规律，提高学生的思维层次，●教学流程通过复习和预习，知道由对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？⇒由范围、对称性、顶点及离心率等研究椭圆的几何性质．既要数形结合直观感知，又要根据标准方程严格推证．⇒采用类比教学的方法，由焦点在x轴上的情形得出焦点在y轴上的情形．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握由椭圆方程求其几何性质的方法，首先将方程化为标准方程，由方程得出基本量a，b，c，再写出相应的几何性质．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握由椭圆的几何性质求其方程的方法，由几何性质得出基本量a，b，c，从而求出其标准方程．注意焦点位置的两种情形．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握椭圆离心率或其范围的求解方法，求椭圆的离心率，即找基本量a，b，c的等式关系；求椭圆的离心率的取值范围，即找基本量a，b，c的不等式关系．⇒通过例4及变式训练，使学生掌握直线与椭圆位置关系的研究方法，会讨论公共点个数，会求弦长，弦中点等问题．体会方程思想的应用．⇒通过易错易误辨析，体会椭圆范围的应用，注意椭圆上点的坐标不是在整个实数范围内，解题时应作为一个隐含条件考虑，否则将会导致错误．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力．图中椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．1．椭圆具有对称性吗？【提示】有，椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴，y轴为对称轴的轴对称图形．2．可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？【提示】可以，令y＝0得x＝±a，故A1(－a,0)，A2(a，0)，同理可得B1(0，－b)，B2(0，b)．3．椭圆方程中x，y的取值范围是什么？【提示】x∈[－a，a]，y∈[－b，b]．4．当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？【提示】b越小，椭圆越扁．1．椭圆的简单几何性质当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆.求椭圆x 2＋9y 2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．【思路探究】化为标准方程→求a，b→求几何性质【自主解答】把已知方程化成标准方程x281＋y29＝1，于是a＝9，b＝3，c＝81－9＝62，所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝ca ＝223，焦点为F1(－62，0)，F2(62，0)，顶点为A1(－9，0)，A2(9,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．将方程变形为y＝±1381－x2，根据y＝1381－x2算出椭圆在第一象限内的几个点的坐标(如下表所示)：1．由椭圆方程求其几何性质，首先应将方程化为标准形式．2．画椭圆时，应充分利用椭圆的对称性，可简化作图过程，增强准确度．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．【解】 把椭圆的方程化为标准方程x 29＋y 24＝1.可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a ＝3，短半轴长b ＝2，故半焦距c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.因此，椭圆的长轴长2a ＝6，短轴长2b ＝4；离心率e ＝c a ＝53，两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．为画此椭圆的图形，将椭圆方程变形为 y ＝±239－x 2(－3≤x ≤3)．由y ＝239－x 2(0≤x ≤3)，可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标(x ，y )，列表如下：称性画出整个椭圆，如图所示．求符合下列条件的椭圆标准方程：(1)焦距为8，离心率为0.8；(2)焦点与长轴较接近的端点的距离为10－5，焦点与短轴两端点的连线互相垂直； (3)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)． 【思路探究】由几何性质→寻求a ，b ，c 关系→求a ，b →得方程 【自主解答】 (1)由题意：∵2c ＝8，∴c ＝4. 又∵ca＝0.8，∴a ＝5，∴b 2＝9，焦点在x 轴上时椭圆标准方程为：x 225＋y 29＝1；焦点在y 轴上时椭圆标准方程为：y 225＋x 29＝1.(2)由题意：a －c ＝10－5，b ＝c ，a 2＝b 2＋c 2， ∴解得a 2＝10，b 2＝5，焦点在x 轴上时椭圆标准方程为：x 210＋y 25＝1；焦点在y 轴上时椭圆标准方程为：y 210＋x 25＝1.(3)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1.又过点(2，－6)，因此有22a 2＋(－6)2b 2＝1或(－6)2a 2＋22b2＝1. 由已知a ＝2b ，得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13.故所求的方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1.1．利用椭圆的几何性质求标准方程，通常采用待定系数法．其步骤是：首先确定焦点的位置，其次根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求得参数．2．当椭圆焦点位置不完全确定时，其标准方程有两种形式，不要漏掉焦点在y 轴上的情形．求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A (2,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3. 【解】 (1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆过点A (2,0)，∴4a 2＝1，a ＝2，∵2a ＝2·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 24＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上， 设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆过点A (2,0)，∴02a 2＋4b2＝1，∴b ＝2,2a ＝2·2b ，∴a ＝4，∴方程y 216＋x 24＝1.综上所述，椭圆方程为x 24＋y 2＝1或y 216＋x 24＝1.(2)由已知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2c a －c ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23c ＝3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.(1)(2012·江西高考)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2.若AF1，F1F2，F1B成等比数列，则此椭圆的离心率为________．(2)已知F1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆上一点，∠F1PF2＝90°，求椭圆离心率的最小值．【思路探究】(1)用a，c表示出AF1，F1B，依据AF1，F1F2，F1B成等比数列，建立a，c间的关系式．(2)法一，利用勾股定理及基本不等式寻求基本量a，c间的不等关系；法二，利用短轴端点对两焦点张角为椭圆上任一点对两焦点张角最大值；法三，利用圆半径c≥b求解．【自主解答】(1)椭圆的顶点为A(－a,0)，B(a,0)，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，所以AF1＝a－c，F1B＝a＋c，F1F2＝2c.因为AF1，F1F2，F1B成等比数列，所以有4c2＝(a－c)(a＋c)＝a2－c2，即5c2＝a2，所以a＝5c，所以离心率为e＝ca ＝55.【答案】5 5(2)法一设PF1＝m，PF2＝n，∴m2＋n2＝4c2，又2a＝m＋n，∴4a2＝m2＋n2＋2mn≤2(m2＋n2)＝8c2.即：a2≤2c2，∴e＝ca≥22.∴e min＝22.法二 设椭圆与y 轴上方交点为B .∵∠F 1BF 2≥90°，∴cos ∠F 1BF 2＝a 2＋a 2－4c 22a 2≤0，即：a 2≤2c 2.∴e ＝c a ≥22，∴e min ＝22. 法三 以F 1F 2为直径的圆的方程为：x 2＋y 2＝c 2， 由题意c ≥b ，∴c 2≥a 2－c 2，∴2c 2≥a 2，∴c a ≥22，∴e ＝c a ≥22，∴e min ＝22.1．求椭圆的离心率，就是由题意求基本量a ，b ，c 的等式关系．2．求椭圆离心率的取值范围，就是求基本量a ，b ，c 间的不等关系，然后利用定义或列出关于e 的不等式进行求解，应注意e 还应受到0<e <1的限制．(2013·辽宁高考改编)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．【解析】 在△ABF 中，|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |·cos ∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则|AF |＝6.由|AB |2＝|AF |2＋|BF |2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝|OF |＝|AB |2＝5.设椭圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以|BF |＝|AF 1|＝8.由椭圆的性质可知|AF |＋|AF 1|＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝ca ＝57. 【答案】 57已知椭圆x 24＋y 2＝1，(1)当m 为何值时，直线y ＝x ＋m 与椭圆有两个不同的交点？(2)当m ＝2时，求直线被椭圆截得的线段长． 【思路探究】联立，消y 得一元二次方程→Δ判别式→m 的范围→根与系数的关系→由弦长公式求弦长【自主解答】 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝x ＋m 消去y 得，5x 2＋8mx ＋4(m 2－1)＝0(Ⅰ)．∵Δ＝64m 2－80(m 2－1)>0， ∴－5<m <5，∴当－5<m <5时直线与椭圆有两个不同交点． (2)当m ＝2时，方程(Ⅰ)化为：5x 2＋16x ＋12＝0， 设线段端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理得 x 1＋x 2＝－165，x 1x 2＝125，又k ＝1，∴AB ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝452.1．直线与椭圆公共点个数问题，一般转化为方程根的问题，由Δ判别式进行判别． 2．求直线被圆锥曲线截得的弦长，一般用弦长公式AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2进行求解，也可利用AB ＝1＋1k2|y 1－y 2|＝1＋1k2· (y 1＋y 2)2－4y 1y 2进行求解．焦点分别为(0,52)和(0，－52)的椭圆截直线y ＝3x －2所得椭圆的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆方程． 【解】 设x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，且a 2－b 2＝(52)2＝50.①由⎩⎪⎨⎪⎧x 2b 2＋y 2a 2＝1y ＝3x －2， ∴(a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋4b 2－a 2b 2＝0， ∵x 1＋x 22＝12，∴6b 2a 2＋9b 2＝12， ∴a 2＝3b 2，② 此时Δ>0，由①②得：a 2＝75，b 2＝25， ∴x 225＋y 275＝1.忽略椭圆的范围导致错误设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e ＝32，已知点P (0，32)到椭圆的最远距离是7，求椭圆的标准方程． 【错解】 依题意可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a2＝34，所以b 2a 2＝14，即a ＝2b . 设椭圆上的点(x ，y )到点P 的距离为d ，则d 2＝x 2＋(y －32)2＝a 2(1－y 2b 2)＋y 2－3y ＋94＝－3(y ＋12)2＋4b 2＋3.所以当y ＝－12时，d 2有最大值，从而d 也有最大值，所以4b 2＋3＝(7)2，由此解得b 2＝1，a 2＝4.于是所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.【错因分析】 错解中“当y ＝－12时，d 2有最大值”这一步的推理是错误的，没有考虑椭圆方程中y 的取值范围．事实上，由于点(x ，y )在椭圆上，所以有－b ≤y ≤b ，因此在求d 2的最大值时，应分类讨论．【防范措施】 涉及到椭圆上点的坐标时，应注意坐标的范围，对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，x ∈[－a ，a ]，y ∈[－b ，b ]；对于椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，x ∈[－b ，b ]，y ∈[－a ，a ]．【正解】 同错解得到d 2＝x 2＋(y －32)2＝a 2(1－y 2b 2)＋y 2－3y ＋94＝－3(y ＋12)2＋4b 2＋3.若b <12，则当y ＝－b 时，d 2有最大值，从而d 有最大值，于是(7)2＝(b ＋32)2，从而解得b ＝7－32>12，与b <12矛盾．所以必有b ≥12，此时当y ＝－12时，d 2有最大值，从而d 有最大值，所以4b 2＋3＝(7)2，解得b 2＝1，a 2＝4.于是所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.1．椭圆的性质可分为两类，一类是与坐标无关的本身固有的性质，如长轴长，短轴长，焦距，离心率；另一类是与坐标有关的性质，如顶点坐标，焦点坐标．2．椭圆的标准方程和椭圆的几何性质密不可分，由椭圆的方程可以得出椭圆的几何性质，由其几何性质可以得出椭圆的方程．3．求椭圆的离心率或其取值范围，是高考的重点内容，其实质就是找出基本量a ，b ，c 的相等或不等关系，从而得出关于e 的方程或不等式．4．直线与椭圆的位置关系，公共点个数利用Δ判别式，弦长问题利用弦长公式和韦达定理，解题主要是利用了转化思想和方程思想.1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是________． 【解析】∵x 2＋y 26＝1，∴焦点在y 轴上，∴长轴端点坐标为(0，±6)． 【答案】 (0，±6)2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e ＝________. 【解析】 如图，△F 1B 2F 2为等边三角形， ∴∠B 2F 2O ＝60°， ∴e ＝c a ＝OF 2B 2F 2＝cos 60°＝12.【答案】 123．若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于________．【解析】 ∵1－m 2＝14或1－2m ＝14，∴m ＝32或83.【答案】 32或834．椭圆经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1、F 2在x 轴上，离心率e ＝12，求椭圆的标准方程．【解】 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由e ＝12，即c a ＝12，得a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2.∴椭圆方程可化为x 24c 2＋y 23c2＝1.将A (2,3)代入上式，得1c 2＋3c 2＝1，解得c ＝2，∴椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1.一、填空题1．(2013·厦门高二检测)椭圆x 24＋y 29＝1的离心率是________．【解析】 e ＝1－b 2a2＝1－49＝53. 【答案】532．(2012·上海高考)已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则下列说法正确的是________．①C 1与C 2顶点相同； ②C 1与C 2长轴长相同； ③C 1与C 2短轴长相同； ④C 1与C 2焦距相等．【解析】 由两个椭圆的标准方程可知：C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.只有④正确．【答案】 ④3．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则椭圆的方程为________．【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝2a 32a ＝18a 2＝b 2＋c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝81b 2＝72，因为焦点在x 轴上，所以所求椭圆的方程为x 281＋y 272＝1.【答案】 x 281＋y 272＝14．若椭圆的焦点在y 轴上，长轴长为4，离心率为e ＝32，则其标准方程为________． 【解析】 依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，∴c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1. 【答案】 y 24＋x 2＝15．(2013·无锡高二检测)若椭圆x 29＋y 2m ＝1(0<m <9)的焦距为23，则m ＝________.【解析】 ∵0<m <9，∴9－m ＝(3)2，∴m ＝6. 【答案】 66．(2012·课标全国卷改编)设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．【解析】 ∵△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形， ∴∠PF 2A ＝60°，PF 2＝F 1F 2＝2c ，∴AF 2＝c ， ∴2c ＝32a ，∴e ＝34.【答案】 347．(2013·哈师大附中高二检测)椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且|PF 1→|·|PF 2→|的最大值的取值范围是[2c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是________．【解析】 ∵|PF 1→|＋|PF 2→|＝2a ，∴|PF 1→|·|PF 2→|≤(|PF 1→|＋|PF 2→|2)2＝a 2，∴2c 2≤a 2≤3c 2， ∴13≤e 2≤12， ∴33≤e ≤22. 【答案】 [33，22]图2－2－38．“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2＞a 1c 2； ④c 1a 1＜c 2a 2. 其中正确式子的序号是________．【解析】 由题图知a 1＋c 1>a 2＋c 2，故①错误．又a 1－c 1＝PF ，a 2－c 2＝PF ，故a 1－c 1＝a 2－c 2，即②正确． 由题图知椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ扁，则e 1>e 2，即c 1a 1>c 2a 2.又a 1，a 2均大于0，故c 1a 2>a 1c 2，故③正确． 显然④错误，故②③正确． 【答案】 ②③ 二、解答题9．已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23，求椭圆的方程．【解】 椭圆的长轴长为6，cos ∠OF A ＝23，∴点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点， ∴OF ＝c ，OA ＝b . AF ＝OA 2＋OF 2＝b 2＋c 2＝a ＝3，c 3＝23，∴c ＝2，b 2＝32－22＝5.故椭圆方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.10．已知椭圆C 的中心O 在原点，长轴在x 轴上，焦距为6，短轴长为8. (1)求椭圆C 的方程；(2)过点(－5,0)作倾斜角为π4的直线交椭圆C 于A 、B 两点，求△ABO 的面积．【解】 (1)设椭圆方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得c ＝3，b ＝4，a ＝5，所以椭圆C 方程为x 225＋y 216＝1.(2)不妨设A (－5,0)，直线AB 方程为：y ＝x ＋5，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋5x 225＋y 216＝1得⎩⎨⎧x ＝－4541y ＝16041.所以S △OAB ＝12OA ·|y B |＝12×5×16041＝40041.11．(2013·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点，若AC →·DB →＋AD →·CB →＝8，求k 的值．【解】 (1)设F (－c,0)，由c a ＝33，知a ＝3c .过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，代入椭圆方程有(－c )2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±6b3，于是26b 3＝433，解得b ＝ 2.又a 2－c 2＝b 2，从而a ＝3，c ＝1， 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由F (－1,0)得直线CD 的方程为y ＝k (x ＋1)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 23＋y 22＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0. 由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2.因为A (－3，0)，B (3，0)，所以AC →·DB →＋AD →·CB →＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1) ＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2(x 1＋1)(x 2＋1) ＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2 ＝6＋2k 2＋122＋3k 2.由已知得6＋2k 2＋122＋3k 2＝8，解得k ＝±2.(教师用书独具)已知椭圆4x 2＋5y 2＝20的一个焦点为F ，过点F 且倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点，求弦长AB .【思路探究】 求出焦点F 的坐标→求出直线l 的斜率→设直线l 的方程→联立方程→利用根与系数的关系设而不解→由弦长公式求解【自主解答】 椭圆方程为x 25＋y 24＝1，a ＝5，b ＝2，c ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1(不失一般性，设l 过左焦点)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，4x 2＋5y 2＝20，消去y ，得9x 2＋10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－109，x 1·x 2＝－53，AB ＝2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·(－109)2－4·(－53)＝2·8109＝1659.1．解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不解的方法，解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)； (2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解． 2．利用弦长公式求弦长时，没必要验证方程的Δ>0.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →.(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果AB ＝154，求椭圆C 的方程．【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1<0，y 2>0)， (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －c )x 2a 2＋y 2b 2＝1消去x 得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0. 解得y 1＝－3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2， y 2＝－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2，因为AF →＝2FB →， 所以－y 1＝2y 2，即3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(c －2a )3a 2＋b 2，得离心率e ＝c a ＝23. (2)因为AB ＝1＋13|y 2－y 1|， 所以23·43ab 23a 2＋b 2＝154. 由c a ＝23得b ＝53a .所以54a ＝154，得a ＝3，b ＝ 5. 所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.。

2019-2020年高中数学 2.2《椭圆》导学案 苏教版选修2-1教学目标：（1）知识与技能：理解椭圆标准方程的推导；掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标．（2）过程与方法：让学生经历随圆标准方程的推导过程，进一瞠掌握求曲线方程的一般方法，体会数形合等数学思想；培养学生运用类比、联想等方法提出问题．（3）情感态度与价值观：通过具体的情境感知研究随圆标准方程的必要性和实际意义；体会数学的对称美、简洁美，培养学生的审美情趣，形成学习数学知识的积极态度．教学重点：椭圆的标准方程 教学难点：椭圆标准方程的推导 教学方法：引导启发、自主探究 教学手段：多媒体 教学过程：一、问题情境：师：生活是一个五彩缤纷的万花筒，而在这个万花筒中存在着很多美丽的图形和轮廓，比如餐桌的桌面、汽车贮油罐的横截面的外轮廓线，同学们怎样称呼它们？生：椭圆师：很多，这就是我们今天要研究的一个很优美的图形．这样一个优美的图形椭手能描绘它吗？这里我有一个画椭圆的工具：将绳子的两端用图钉固定，使绳子长大于两定点之间的位置，用粉笔拉紧绳子并在黑板上慢慢移动，就可以勾勒出一个椭圆，哪位同学愿意试一试？生：（尝试画椭圆）师：在这个过程中，同学们可以发现椭圆上的点都有什么共同特点？ 生：到两定点的距离等于定长．师：好的．所以我们将在平面内到两定点，距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，两定点称为椭圆的焦点，两定点之间的距离叫做焦距，通常用来表示．（板书：12122(2)PF PF a a >F F +=，焦点：，，焦距：）师：对于椭圆这样一个优美的图形，其中也蕴涵了许多性质，那如何研究这些性质呢？ 生：（思考）师：在解析几何中，我们学过的图形有哪些？ 生：直线和圆．师：不错．那以圆为例，在解析几何中我们通过什么研究圆的性质呢？ 生：圆的方程．师：大家还记得圆的方程是怎样建立的吗？（个别提问） 生：（回答问题，教师加以引导）得出圆的标准方程的基本步骤：建坐标系、设点、列等式、代坐标、化简．师：那么大家觉得这样方程是否适用于椭圆呢？ 生：可以．师：那么请大家来研究一下椭圆的方程是什么？ 生：（研究探索椭圆的方程，教师适时加以引导） 二、建构数学（1）如何建立适当的坐标系？原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；（一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴．） ①建立适当的直角坐标系：以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示坐标系． ②设点：设是椭圆上的任意一点，，，；2a =（1） ④化简：（移项，两边平方）22222222()()a c x a y a a c -+=-，师：能否美化结论的形象？，，令，则：．师：由直线方程的截距式是否可以得到启发？椭圆方程为：．（，即为椭圆在，轴上的截距）生：交换，就可以得到． 师：（板书两种方程和图形）师：椭圆标准方程的特点是什么？ 生：，轴分别为椭圆的两个对称轴，焦点在坐标轴上，焦点的中心是原点． 师：焦点位于，轴上时的焦点坐标分别是什么？ 生：（回答，教师板书）师：之间存在一个什么关系？ 生：三、数学运用例1、将下列椭圆方程转化成标准方程 （1） （2）思考：上述两个方程的焦点位于哪根坐标轴上？ 师：如何判断椭圆的焦点的位置？ 生：在分母较大的对应轴上．练习：若为椭圆上一个动点，则到两个焦点，之间的距离是____． 若到其中一个焦点的距离是，则到另外一个焦点的距离是________．其中________，________，焦点位于________轴上，焦点坐标为________． 例2、求椭圆的方程为的焦点坐标．例3、若动点到两定点，的距离之和为，则动点的轨迹为（ ） Ａ．椭圆 Ｂ．线段 Ｃ．直线 Ｄ．不存在 师：若绳长，则轨迹是什么？ 生：线段师：若绳子，则轨迹是什么？ 生：不存在．例4、求适合下列条件的椭圆方程． （1），，焦点在轴上； （2），，焦点在轴上； （3），，焦点在坐标轴上．师：由第三题可知：求椭圆方程的第一种方法是直接法，先定位再定量．例5、若一椭圆两焦点的坐标分别是椭圆的两焦点，并且经过点，求该椭圆的标准方程．（由学生板书）师：这是我们学到的又一种求曲线方程的方法：待定系数法．四、课堂小结：这节课我们学习了椭圆的标准方程，掌握了求焦点在轴上和在轴上的五、作业布置1．教材P28页习题2.2（1）第2，3，4题2．推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程．六、板书设计：2019-2020年高中数学 2.2《椭圆》教案新人教A版选修2-1【课题】椭圆【课型】高三复习课【授课教师】【教材分析】圆锥曲线是解析几何的主体内容，也是高中数学的重点内容，而椭圆是圆锥曲线的起始部分，通过本节课的学习，不但让学生对椭圆的知识结构有一个较清晰的认识，而且在处理问题时，让学生学会灵活运用定义，正确选用标准方程，恰当利用几何性质，合理的分析，准确的计算。

椭圆的几何性质设计一．教学目标设置：一知识与技能：1能运用方程来研究椭圆的简单几何性质；2掌握椭圆的简单几何性质；3了解离心率对椭圆扁平程度的影响，以及根本量的相互关系；二过程与方法：感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法；三情感态度与价值观：在运用方程探究椭圆的几何性质过程中，让学生知道解析几何是怎样用代数方法研究曲线性质的。

二．学生学情分析：学生已熟悉和掌握椭圆定义及其标准方程，学生有动手体验和探究的兴趣，有一定的观察分析和逻辑推理的能力；学生接触过由函数解析式研究函数图像的性质，由方程求过直线和圆的一些特殊点；离心率概念比拟抽象，直接引入比拟突兀，给学生明确的问题，结适宜当的点拨与演示，是非常必要的。

三．重难点：重点：1用方程研究椭圆上点的横纵坐标范围，对称性；2椭圆的简单几何性质。

难点：1用方程研究椭圆的范围和对称性；2离心率的引入四．教学策略分析：1问题串引导学生探究式法，活动和探究相结合，问题作引导，引发积极思考；2在研究范围和离心率时，学生自主探究与合作讨论相结合突破重难点；3几何画板动态演示离心率对椭圆形状的影响，加深学生对离心率的认识。

五．教学过程：一课前准备活动创设：运用所学的知识，在平面直角坐标系中画出方程所对应的曲线C1？〔方案一：利用椭圆的定义画图；方案二：根据所学先判断其为椭圆，求与轴轴的交点再连结；方案三：根据所学判断椭圆具有对称性，只需比拟精确地画出第一象限的局部；方案四：学生可能会联系函数描点法画图〔对学生方程与函数理解要求较高〕〕【设计意图】：让学生在画曲线的时候，通过动手能发现椭圆上点的坐标取值有范围限制，即椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点〔与对称轴的交点〕，即椭圆的顶点。

二探究新知：师：研究曲线的性质，可以从整体上把握它的形状，大小和位置。

探究一：问题1：该椭圆上点横坐标的范围是什么？纵坐标呢？〔预案：学生会利用图形观察得知，老师要给予肯定:图形观察很直观〕〔师：在解析几何中，如果说由曲线的条件去求曲线的方程是解析几何的手段的话，那么有曲线的方程去研究曲线的性质那么是解析几何的目的。

2．2椭__圆2．2.1 椭圆的标准方程在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，D (0，－2)．问题1：若动点P 满足P A ＋PB ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足的关系式是什么？ 提示：由两点间距离公式得 (x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝6， 化简得x 29＋y 25＝1.问题2：若动点P 满足PC ＋PD ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x 、y 满足什么关系？ 提示：由两点间距离公式得 x 2＋(y －2)2＋x 2＋(y ＋2)2＝6， 化简得y 29＋x 25＝1.椭圆的标准方程焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 焦点坐标 (±c,0)(0，±c )a 、b 、c 的关系c 2＝a 2－b 21．标准方程中的两个参数a 和b ，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．a ，b ，c 三者之间a 最大，b ，c 大小不确定，且满足a 2＝b 2＋c 2.2．两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值．当椭圆焦点在x 轴上时，含x 项的分母大；当椭圆焦点在y 轴上时，含y 项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意a >b >0这个条件．[对应学生用书P20]待定系数法求椭圆标准方程[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点．[思路点拨] (1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(其中A >0，B >0，A ≠B )，直接求A ，B .(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点(3，－5)代入，即可求出a ，b ，则标准方程易得．[精解详析] (1)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧ 1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 由已知条件得⎩⎨⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎨⎧1b 2＝18，1a 2＝14.即a 2＝4，b 2＝8，则a 2<b 2，与题设中a >b >0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16. 设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在椭圆上，所以()－52a 2＋(3)2b2＝1，即5a 2＋3b2＝1.② 由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.[一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为：1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)经过两点P ⎝⎛⎭⎫13，13，Q ⎝⎛⎭⎫0，－12. 解：(1)由已知得：c ＝4，a ＝5. b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1.(A >0，B >0，A ≠B )由已知得，⎩⎨⎧19A ＋19B ＝1，14B ＝1，解得：⎩⎪⎨⎪⎧B ＝4，A ＝5，故所求椭圆方程为y 214＋x 215＝1.2．求适合下列条件的椭圆的方程． (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2. 解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴⎩⎨⎧22a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1， 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c －(－10)＝2，故c ＝8， ∴b 2＝a 2－c 2＝36，∴所求椭圆的标准方程是y 2100＋x 236＝1.椭圆标准方程的讨论[例2] 已知方程x 2·sin α－y 2·cos α＝1(0≤α≤2π)表示椭圆． (1)若椭圆的焦点在x 轴上，求α的取值范围． (2)若椭圆的焦点在y 轴上，求α的取值范围．[思路点拨] (1)已知的方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．(2)对于椭圆方程x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0，m ≠n )可由m ，n 的大小确定椭圆焦点的位置，列出三角不等式后求α的范围．[精解详析] 将椭圆方程x 2·sin α－y 2·cos α＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为x 21sin α＋y 21－cos α＝1(0≤α≤2π)．(1)若方程表示焦点在x 轴上的椭圆， 则1sin α>－1cos α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan α>－1，所以34π<α<π.即α的取值范围是⎝⎛⎭⎫3π4，2π. (2)若方程表示焦点在y 轴上的椭圆， 则－1cos α>1sin α>0，即⎩⎪⎨⎪⎧α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan α<－1，所以π2<α<3π4.即α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π2，3π4. [一点通] 对于讨论椭圆方程中参数的取值范围问题，一般的解题方法是根据题设条件给出的焦点位置，结合对应的标准方程应满足的条件，建立一个含参数的不等式组，通过求解不等式组得到参数的取值范围．3．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．解析：由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>a ＋6，a ＋6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)>0a >－6.解得a >3或－6<a <－2.答案：(3，＋∞)∪(－6，－2)4．已知方程x 2k －5＋y 23－k＝－1表示椭圆，求k 的取值范围．解：方程x 2k －5＋y 23－k ＝－1可化为x 25－k ＋y 2k －3＝1，由椭圆的标准方程可得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，得3<k <5，且k ≠4.所以满足条件的k 的取值范围是{k |3<k <5，且k ≠4}.椭圆的定义及标准方程的应用[例3] 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思路点拨] 根据椭圆的标准方程知PF 1＋PF 2＝4，结合面积公式和余弦定理找到PF 1和PF 2的关系求解．[精解详析] 由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1， F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中， 由余弦定理，得PF 22＝PF 21＋F 1F 22－2PF 1·F 1F 2cos 120°， 即PF 22＝PF 21＋4＋2PF 1.①由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝4， 即PF 2＝4－PF 1.② ②代入①解得PF 1＝65.∴S △PF 1F 2＝12PF 1·F 1F 2·sin 120°＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是3 35.[一点通] 在椭圆中，由三条线段PF 1，PF 2，F 1F 2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出PF 1＋PF 2＝2a ，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．5．已知两定点F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则动点P 的轨迹方程是________．解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴F 1F 2＝2. ∵F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项， ∴2F 1F 2＝PF 1＋PF 2， 即PF 1＋PF 2＝4，∴点P 在以F 1，F 2为焦点的椭圆上， ∵2a ＝4，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝3. ∴椭圆的方程是x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝16．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于________．解析：由x 29＋y 24＝1，得a ＝3，b ＝2，∴c 2＝a 2－b 2＝5.∴c ＝ 5.∴F 1F 2＝2 5.由⎩⎪⎨⎪⎧ PF 1＋PF 2＝6，PF 1∶PF 2＝2∶1，得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＝4，PF 2＝2. ∴PF 21＋PF 22＝F 1F 22.∴△F 1PF 2为直角三角形． ∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2＝4.答案：47．如图，已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 236＝1的两个焦点．(1)若椭圆上一点P 到焦点F 1的距离等于15，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是多少？ (2)过F 1作直线与椭圆交于A ，B 两点，试求△ABF 2的周长． 解：由椭圆的标准方程可知a 2＝100，所以a ＝10.(1)由椭圆的定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝20，又PF 1＝15，所以PF 2＝20－15＝5，即点P 到焦点F 2的距离为5.(2)△ABF 2的周长为AB ＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋BF 1)＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)． 由椭圆的定义可知AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，故AB ＋AF 2＋BF 2＝4a ＝40.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．[对应课时跟踪训练(八)]1．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为________．解析：由椭圆定义知，a ＝5，P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，因此，到另一个焦点的距离为5.答案：52．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是________．解析：椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，故焦点在y 轴上，其中a 2＝116，b 2＝125，所以c 2＝a 2－b 2＝116－125＝9400，故c ＝320.所以该椭圆的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，±320. 答案：⎝⎛⎭⎫0，±320 3．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________． 解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为x 21k 2－1＋y 213＝1.由椭圆焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧k 2－1>0，1k 2－1<13.解之得k >2或k <－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)4．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：85．已知P 为椭圆x 225＋4y 275＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为________．解析：在△F 1PF 2中，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°， 即25＝PF 21＋PF 22－PF 1·PF 2.①由椭圆的定义，得 10＝PF 1＋PF 2.②由①②，得PF 1·PF 2＝25，∴S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin 60°＝25 34.答案：25 346．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； (2)以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过M (2，6)． 解：(1)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5. ∴b 2＝a 2－c 2＝144.∴所求椭圆的标准方程为y 2169＋x 2144＝1.(2)法一：由9x 2＋5y 2＝45， 得y 29＋x 25＝1，c 2＝9－5＝4， 所以其焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)． 设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由点M (2，6)在椭圆上，所以MF 1＋MF 2＝2a ， 即2a ＝(2－0)2＋(6－2)2＋(2－0)2＋(6＋2)2＝43， 所以a ＝23，又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝8， 所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.法二：由法一知，椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)， 则设所求椭圆方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ＞0)，将M (2，6)代入，得6λ＋4＋4λ＝1(λ＞0)，解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．所以所求椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.7．如图，设点P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝45PD ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程．解：设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )， 由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x P＝x ，y P ＝54y . ∵P 在圆上，∴x 2＋(54y )2＝25.即轨迹C 的方程为x 225＋y 216＝1.8．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r ， 则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ， ∴|MA |＋|MB |＝8，且8>|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8， ∴a ＝4，c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.2．2.2 椭圆的几何性质建立了椭圆的标准方程后，我们就可以通过方程研究椭圆的几何性质． 以方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)为例，试着完成下列问题：问题1：方程中对x ，y 有限制的范围吗？ 提示：由y 2b 2＝1－x 2a 2≥0，得－a ≤x ≤a .同理－b ≤y ≤b .问题2：在方程中，用－x代x，－y代y，方程的形式是否发生了变化？提示：不变．问题3：方程与坐标轴的交点坐标是什么？提示：令x＝0，得y＝±b；令y＝0，得x＝±a；与x轴的交点为(a,0)，(－a,0)，与y轴的交点为(0，b)，(0，－b)．椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－a≤y≤a，－b≤x≤b 顶点(±a,0)，(0，±b)(0，±a)，(±b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点(±c,0)(0，±c)焦距F1F2＝2c对称性对称轴x轴，y轴，对称中心(0,0)离心率e＝ca∈(0,1)1．椭圆的对称性椭圆的图像关于x轴成轴对称，关于y轴成轴对称，关于原点成中心对称．2．椭圆的离心率与椭圆形状变化间的关系(1)0<e<1，e越趋近于1，越扁，越趋近于0，越圆(可以根据字体1很扁、0很圆进行记忆)．(2)当e→0，c→0时，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e＝0时的特例．(3)当e→1，c→a，椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为F1F2为椭圆在e＝1时的特例．[对应学生用书P23]已知椭圆方程求几何性质[例1] 求椭圆81x 2＋y 2＝81的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标，离心率． [思路点拨] 本题中椭圆的方程不是标准形式，故先化为标准形式后求出a ，b ，c ，再根据焦点位置写出相应的几何性质．[精解详析] 椭圆的方程可化为 x 2＋y 281＝1，∴a ＝9，b ＝1， ∴c ＝81－1＝80＝4 5， ∴椭圆的长轴和短轴长分别为18,2. ∵椭圆的焦点在y 轴上，故其焦点坐标为F 1(0，－4 5)，F 2(0,4 5)， 顶点坐标为A 1(0，－9)，A 2(0,9)， B 1(－1,0)，B 2(1,0)，e ＝c a ＝4 59.[一点通] 求椭圆几何性质参数时，应把椭圆化成标准方程，注意分清焦点的位置，这样便于直观写出a ，b 的值，进而求出c ，写出椭圆的几何性质参数．1．若椭圆x 2m ＋y 24＝1的离心率为13，则m 的值为________．解析：当m >4时，由c 2＝a 2－b 2＝m －4， 得m －4m＝13.解得m ＝92. 当m <4时，由c 2＝a 2－b 2＝4－m ， 得4－m 2＝13，解得m ＝329. 答案：92或3292．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解：椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)，离心率e ＝c a ＝53.由椭圆的几何性质求标准方程[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为20，离心率等于45；(2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)．[思路点拨] 先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分情况讨论，然后设出标准方程，再利用待定系数法求出a 、b 、c ，得到椭圆的标准方程．[精解详析] (1)∵2a ＝20，e ＝c a ＝45，∴a ＝10，c ＝8，b 2＝a 2－c 2＝36.由于椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以所求椭圆的标准方程为x 2100＋y 236＝1或y 2100＋x 236＝1.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由已知a ＝2b ，①且椭圆过点(2，－6)，从而有 22a 2＋(－6)2b 2＝1或(－6)2a 2＋22b2＝1.② 由①②得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13. 故所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1.[一点通] 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式，若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论．一般地，已知椭圆的焦点坐标时，可以确定焦点所在的坐标轴；而已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距时，则不能确定焦点所在的坐标轴．3．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________________．解析：由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝14．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)； (2)离心率为513，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.解：(1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)． 由椭圆的定义知，2a ＝32＋(2＋2)2＋32＋(2－2)2＝8， 所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13， 又e ＝c a ＝513，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144， 因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.与椭圆离心率有关的问题[例3] 已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.P 是椭圆M 上的任一点，且PF 1·PF 2的最大值的取值范围为⎣⎡⎦⎤12c 2，3c 2，其中c 2＝a 2－b 2，求椭圆的离心率的取值范围．[思路点拨] 由P 是椭圆上一点，知PF 1＋PF 2＝2a ，进而设法求出PF 1·PF 2的最大值，再由已知的范围求出离心率e 的范围．[精解详析] ∵P 是椭圆上一点， ∴PF 1＋PF 2＝2a ，∴2a ＝PF 1＋PF 2≥2 PF 1·PF 2， 即PF 1·PF 2≤a 2，当且仅当PF 1＝PF 2时取等号． ∴12c 2≤a 2≤3c 2，∴13≤c 2a 2≤2， ∴13≤e 2≤2，∴33≤e ≤ 2. ∵0<e <1，∴33≤e <1， ∴椭圆的离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.[一点通](1)椭圆的离心率的求法：①直接求a ，c 后求e ，或利用e ＝1－b 2a 2，求出ba后求e . ②将条件转化为关于a ，b ，c 的关系式，利用b 2＝a 2－c 2消去b .等式两边同除以a 2或a 4构造关于ca(e )的方程求e .(2)求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________． 解析：设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则由已知得2a ＋2c ＝4b . 即a ＋c ＝2b ， 又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝54b ，c ＝34b ，e ＝35.答案：356．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且1PF ·2PF 的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是________．解析：设P (x ，y )、F 1(－c,0)、F 2(c,0)， 则1PF ＝(－c －x ，－y )，2PF ＝(c －x ，－y )，1PF ·2PF ＝x 2＋y 2－c 2，又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方， 所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，(1PF ·2PF )max ＝b 2， 所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12，所以12≤e ≤22.答案：⎣⎡⎦⎤12，22与椭圆相关的应用问题[例4] 某宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R ，若其近地点、远地点离地面的距离分别大约是115R 、13R ，求此宇宙飞船运行的轨道方程．[思路点拨] 根据条件建立坐标系，设出椭圆方程，构造方程，求得宇宙飞船运行的轨道方程．[精解详析] 如图所示，以运行轨道的中心为原点，其与地心的连线为x 轴建立坐标系，且令地心F 2为椭圆的右焦点，则轨道方程为焦点在x 轴上的椭圆的标准方程，不妨设为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则地心F 2的坐标为(c,0)，其中a 2＝b 2＋c 2，则⎩⎨⎧a －c ＝R ＋R 15，a ＋c ＝R ＋R3，解得⎩⎨⎧a ＝65R ，c ＝215R .∴b 2＝a 2－c 2＝⎝⎛⎭⎫65R 2－⎝⎛⎭⎫215R 2＝6445R 2. ∴此宇宙飞船运行的轨道方程为 x 23625R 2＋y 26445R 2＝1. [一点通] 解决此类问题，首先要根据条件建立平面直角坐标系，将实际问题转化为有关椭圆的问题，再将条件转化为a ，b ，c 的关系，进而求出椭圆方程，解决其它问题．注意：①椭圆方程中变量的范围对实际问题的限制；②最后要将数学模型还原回实际问题作答．7．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1 700 km ，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200 km ，月球的半径约是1 800 km ，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．解析：可设小椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，由已知得 2a ＝1 700＋2×1 800＋200， ∴a ＝2 750.又a ＋2c ＝1 700＋1 800，∴c ＝375. ∴e ＝c a ＝3752 750＝322.答案：3228．已知某荒漠上F 1、F 2两点相距2 km ，现准备在荒漠上开垦出一片以F 1、F 2为一条对角线的平行四边形区域，建农艺园．按照规划，平行四边形区域边界总长为8 km.(1)试求平行四边形另两个顶点的轨迹方程； (2)问农艺园的最大面积能达到多少？解：(1)以F 1F 2所在直线为x 轴，F 1F 2的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设平行四边形的另两个顶点为P (x ，y )，Q (x ′，y ′)，则由已知得PF 1＋PF 2＝4.由椭圆定义知点P 在以F 1、F 2为焦点，以4为长轴长的椭圆上，此时a ＝2，c ＝1，则b ＝ 3.∴P 点的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)，同理Q 点轨迹方程同上．(2)S ▱PF 1QF 2＝F 1F 2·|y P |≤2c ·b ＝23(km 2)，所以当P 为椭圆短轴端点时，农艺园的面积最大为2 3 km 2.1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置．2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状．3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x轴上、y 轴上进行讨论．[对应课时跟踪训练(九)]1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．解析：法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝3m 2m ＋m ＝33. 法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b 2a ，所以|PF 2|＝b 2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b 2a ，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)． 答案：332．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是__________________．解析：依题意，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝3.答案：x 24＋y 23＝13．曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的________相等．(填“长轴长”或“短轴长”或“离心率”或“焦距”)解析：c 2＝25－k －(9－k )＝16，c ＝4. 故两条曲线有相同的焦距． 答案：焦距4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为________．解析：设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b 2x 2a 2，y 21＝b 2－b 2x 21a2.所以k 1·k 2＝y －y 1x －x 1·y ＋y 1x ＋x 1＝y 2－y 21x 2－x 21＝－b 2a 2＝c 2a 2－1＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13.答案：－135．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率是________．解析：设直线x ＝3a2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°.由题意知，F 1F 2＝PF 2＝2c ，F 2M ＝3a2－c .在Rt △PF 2M 中，F 2M ＝12PF 2，即3a2－c ＝c .∴e ＝c a ＝34.答案：346．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率e ＝35，经过点A (5 32，－2)，求椭圆的标准方程．解：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则754a 2＋4b 2＝1.① 由已知e ＝35，∴c a ＝35，∴c ＝35a .∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－(35a )2，即b 2＝1625a 2.②把②代入①，得754a 2＋4×2516a 2＝1，解得a 2＝25，∴b 2＝16，∴所求方程为x 225＋y 216＝1. 7．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解：椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，由m >0，易知m >mm ＋3，∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3.∴c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. 由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1. ∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1， 两焦点坐标分别为F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0，顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12. 8．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．解：令x ＝－c ，代入x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，∴y ＝±b 2a. 设P (－c ，b 2a )，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )．∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b 2ac ＝－ba，∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5， ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 25＝1.。

椭圆-----解答题方法突破【教学目标】学会合理选择参数〔坐标、斜率等〕表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质，体会“设而不求〞、“整体代换〞在简化运算中的作用．一、根底练习1 是过椭圆中心的任一弦，是椭圆上异于的任意一点．假设斜率分别为，那么=______________．2 椭圆，过右焦点作不垂直于轴的直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于，那么等于_______二、典型例题例１椭圆C：的离心率为，，，，△OAB的面积为1〔1〕求椭圆C的方程；〔2〕设，直线，N，求错误!的值；〔3分析：〔重点在参数的选择上〕〔1〕〔2〕法一设点，定值为4法二：设点，，那么解方程组：参数方程。

变式训练：椭圆C：的离心率为，，，，△OAB的面积为1〔1〕求椭圆C的方程；〔II〕设，直线的面积为定值〔1〕〔2〕法一设点，定值为2例2 【2021年苏锡常三模18】在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为，离心率为，椭圆的右顶点为〔1〕求该椭圆的方程；〔2〕过点作直线交椭圆于两个不同点，求证：直线的斜率之和为定值例2分析与解答．分析：〔重点在点坐标求不求〕一般情形：定点〔,t〕关系式：当，；当，；解：〔1〕由题所以，……2分所以椭圆C的方程为……4分〔2〕法一：不求点坐标当直线，N，求错误!的值；〔3〕记直线与轴的交点为满足MB⊥AB，连结AM交椭圆于点Q的交点，那么点Q的坐标为____________．2、1，．1求椭圆的方程；2直线：与椭圆C交于A、B两点，试问在轴上是否存在定点P，使得以弦AB 为直径的圆恒过P点？假设存在，求出P点的坐标，假设不存在，说明理由．。

《椭 圆》导学椭圆是我们生活中常见的一种曲线，如汽车油罐的横截面、太阳系中九大行星及其卫星运动的轨道、部分彗星的轨道等等都是椭圆形。

研究椭圆的方程及其几何性质，可以帮助我们解决一些实际问题。

椭圆是解析几何的重要内容，是高考常考的知识点之一。

知识要点梳理1、椭圆的定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于│F 1F 2│）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

问题一：对于椭园的定义我们应理解哪些内容：（1）椭圆的定义是据椭圆常见、常用的作图方法而得到的，它反映了椭圆的本质属性，是建立标准方程和解决有关问题的根本依据，必须要深刻理解。

建议初学的读者，利用课本中椭圆的画法，边画边体会、理解椭圆的定义。

（2）在定义中要抓住关键字词：“两个定点”、“距离的和”、“常数”，弄清它们的确切含义。

特别注意这个常数应大于两定点的距离（│F 1F 2│=2c ），即2a ＞2c 。

当2a=2c 时，点的轨迹是两定点确定的线段F 1F 2；当2a ＜2c 时，点的轨迹不存在。

（3）要注意利用椭圆的定义解题。

与椭圆有关的一些问题，若根据题设条件，利用椭圆的定义来解，往往起到其它方法所不及的作用。

2、如何联系椭圆的标准方程理解几何性质？请读者利用类比的方法，将椭圆的两种标准方程、图形、及几何性质列一张表，然后，思考表中哪些是相同的？哪些是不同的？为什么？再认真阅读下面的说明。

对标准方程及几何性质的几点说明：（1）牢记参数关系：2220,,,,a b a b c a b c >>=+中最大。

（2）在两种标准方程表示的椭圆的几何性质中，凡是与坐标无关的性质（椭圆本身固有的性质）都是相同的。

如长轴、短轴的长，焦距，离心率，椭圆的形状、大小等都是相同的。

凡是与坐标有关的性质（由于坐标系选取的不同而得到的特殊性质）都是不同的。

如焦点的坐标，顶点的坐标，标准方程，准线方程，椭圆的位置等都是不同的。

第二章单元复习一、知识点梳理 二、学法指导1．明确解析几何的基本思想：曲线与方程、方程与曲线的关系；突出用方程研究曲线、用有由曲线条将求方程，由方程得出曲线特性两个方向，有时是先求方程再证特性，体现了两个研究方向的结合．宏观上是完全用代数的方法研究几何问题，但这些几何对象有自身的基本性质，所以微观上几何方法也常常奏效，这有体现了两种研究方法的结合． 2．三种圆锥曲线的研究(1)统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集： |||,0PF P e e d ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，其中F 为定点，d 为P 到定直线的l距离，F ∉l ，如图．因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性．当0<e<1时，点P 轨迹是椭圆；当e>1时，点P 轨迹是双曲线；当e=1时，点P 轨迹是抛物线．(2)椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF 1|+|PF 2|=2a ，2a >|F 1F 2|>0，F 1、F 2为定点}，双曲线{P|||PF 1|－|PF 2||=2a ，|F 1F 2|>2a >0，F 1，F 2为定点}．(3)圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变．①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称．②定量：圆锥曲线的标准方程及解析量0)2|=|PF总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算．3．代数方法研究几何问题，思路比较清晰，但运算有时繁琐，因此减小运算量成为解析几何的重要议题．一般地，探求圆锥曲线问题的处理方法和规律，主要突出通性通法，常见的通法主要有以下几个方面：(1)运用方程(组)求圆锥曲线的基本量；(2)运用函数(不等式)研究圆锥曲线有关的参变量的范围；(3)运用直译法或参数法求动点的轨迹方程；(4)运用“计算”的方法证明圆锥曲线的有关性质；(5)运用一元二次方程研究直线与圆锥曲线相交的问题．4．直线和圆锥曲线位置关系(1)位置关系判断：△法(△适用对象是二次方程，二次项系数不为0)．其中直线和双曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x 或y 方程的二次项系数为0．直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x 或y 方程的二次项系数为0． (2)直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解．当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法．5．圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围． 三、单元自测(一) 填空题(每小题5分，共70分)1．抛物线22y x =-的焦点坐标是________________．2．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为__________________．3．若方程22141x y k k +=--表示椭圆，则k 的取值范围是___________． 4．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于_________．5．过双曲线221169x y -=的右焦点2F 有一条弦PQ ，6PQ =，1F 是左焦点，那么△1F PQ 的周长为________________．6．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =，则C 的实轴长为__________________．7．过抛物线y 2＝4x 的焦点作弦AB ，则三角形OAB 的面积的最小值是____________．8．点00(,)A x y 在双曲线221432x y -=的右支上，若点A 到右焦点的距离等于02x ，则0x =_____________________．9．设抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点A （0，2）. 若线段FA 的中点B 在抛物线上， 则B 到该抛物线准线的距离为____________．10．设12,x x R ∈，常数0a >，定义运算""⊗为：12124x x x x ⊗=，等号右边是通常的乘法运算，如果在平面直角坐标系中，动点P 的坐标(),x y 满足关系式：22y ya x ⊗=⊗，则动点P 的轨迹方程为__________________．11．若椭圆m x 2＋y 2＝1(m >1)和双曲线nx 2－y 2＝1(n >0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是两条曲线的一个交点，则△PF 1F 2的面积是_____________．12．已知抛物线2:2(0)C y px p =＞的准线为l ，过(1,0)M l 相交于点A ，与C 的一个交点为B ．若AM MB =，则p =_______________．13．设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12:3:2PF PF =，则12PF F △的面积为_________________．14．如图所示，直线x =2与双曲线22:14y λΓ-=的渐近线交于1E ,2E 两点，记1122,OE e OE e ==，任取双曲线Γ上的点P ，若12,()OP ae be a b R =+∈、，则a 、b 满足的一个等式是 ． (二)解答题(共90分)15．(本小题满分14分)已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)，其左、右焦点分别为1(,0)F c -、2(,0)F c ，且a ，b ，c 成等比数列．(1)求椭圆的离心率e 的值；(2)若椭圆C 的上顶点、右顶点分别为A 、B ，求证：190F AB ∠=︒． 16．(本小题满分14分)求下列曲线的方程 (1)求焦点在y 轴上，焦距是16，离心率为43的双曲线的标准方程； (2)求与双曲线11222=-y x 共渐近线，并且经过点P (2，－2)的双曲线方程； (3)求与两点)0,3(),0,3(-距离的平方和等于38的点的轨迹方程．17．(本小题满分14分)设F 1，F 2是椭圆)1(1222>=+a y ax 的两个焦点，其离心率为23．(1)设点P 为椭圆上任一点，则∆PF 1F 2的周长是否为一定值?请说明理由；(2)在椭圆上是否存在点M ，使得MF 1⊥MF 2?若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．18．(本小题满分16分)已知动点P 到定直线l：x =P到定点)F 之比为2．(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点N 为轨迹C 上任意一点(不在x 轴上)，过原点O 作直线AB 交(1)中轨迹C 于点A 、B ，且直线AN 、BN 的斜率都存在，分别为1k 、2k ，问12k k 是否为定值? 19．(本小题16分)如图，过抛物线px y 22=(p ＞0)的 顶点作两条互相垂直的弦OA 、OB ．(1)设OA 的斜率为k ，试用k 表示点A 、B 的坐标； (2)求弦AB 中点M 的轨迹方程；(3)求证直线AB 恒过定点，并求此定点坐标．20．(本小题16分) 已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆中心O ，如图，且·=0，|BC |=2|AC |， (1)求椭圆的方程；(2)如果椭圆上两点P 、Q 使∠PCQ 的平分线垂直AO ，则是否存在实数λ，使=λAB ？请说明理由．。

2.2.1 椭圆的标准方程(二)一、基础过关1． 椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标为__________．2． 椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则PF 2＝________.3． 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是____________________．4． 曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1 (0<k <9)的关系说法正确的是________(填序号)． ①有相等的焦距，相同的焦点；②有相等的焦距，不同的焦点；③有不相等的焦距，不同的焦点．5． 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F (－2 3，0)，且a ＝2b ，则该椭圆的标准方程是______________．6． 设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．7． 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且PF 1⊥F 1F 2，PF 1＝43，PF 2＝143.求椭圆C 的方程． 8． △ABC 的三边a ，b ，c 成等差数列，且a >b >c ，A ，C 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B 的轨迹方程．二、能力提升9． 设F 1、F 2分别是椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝________.10．已知A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B 是圆F ：⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为____________________________________．11． 曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2 (a >1)的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2. 其中，所有正确结论的序号是__________．12．已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．13．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2 ＝1 (a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程．三、探究与拓展14．在面积为1的△PMN 中，tan ∠PMN ＝12，tan ∠MNP ＝－2，建立适当的平面直角坐标系，求以M ，N 为焦点，且经过点P 的椭圆的方程．答案1． ⎝⎛⎭⎫0，±320 2． 72 3． 椭圆 4．② 5． x 216＋y 24＝1 6． ⎝⎛⎭⎫π4，π2 7． 解 因为点P 在椭圆C 上，所以2a ＝PF 1＋PF 2＝6，a ＝3.在Rt △PF 1F 2中，F 1F 2＝PF 22－PF 21＝25，故椭圆的半焦距c ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 24＝1. 8． 解 由已知得b ＝2，又a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ＝4，即AB ＋BC ＝4，∴点B 到定点A 、C 的距离之和为定值4，由椭圆定义知B 点的轨迹为椭圆的一部分，其中a ′＝2，c ′＝1.∴b ′2＝3.又a >b >c ，∴顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1 (－2<x <0)． 9． 6 10．x 2＋43y 2＝1 11．②③12．解 设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上， ∴x 2036＋y 209＝1. ∵M 是线段PP ′的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝y 2.把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝y 2代入x 2036＋y 209＝1， 得x 236＋y 236＝1，即x 2＋y 2＝36， ∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.13．解 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y ) ＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 又P 点在椭圆上，∴⎝⎛⎭⎫－x 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b 2＝1， ∴Q 的轨迹方程为x 24a 2＋y 24b 2＝1 (a >b >0)． 14．解如图所示，以MN 所在的直线为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，M (－c,0)，N (c,0)，P (x 0，y 0)．由tan ∠PMN ＝12，tan ∠PNx ＝tan(π－∠MNP )＝2，得直线PM ，PN 的方程分别是y ＝12(x ＋c )，y ＝2(x －c )．联立解得⎩⎨⎧x0＝53c ，y 0＝43c ，即点P ⎝⎛⎭⎫53c ，43c .又∵S △PMN ＝12MN ·|y 0|＝12×2c ×43c ＝43c 2，∴43c 2＝1，即c ＝32，∴点M ⎝⎛⎭⎫－32，0，N ⎝⎛⎭⎫32，0，P ⎝⎛⎭⎫536，233.∴2a ＝PM ＋PN ＝⎝⎛⎭⎫536＋322＋⎝⎛⎭⎫2332＋⎝⎛⎭⎫536－322＋⎝⎛⎭⎫2332＝15，即a ＝152.∴b 2＝a 2－c 2＝154－34＝3.∴所求椭圆的方程为x 2154＋y 23＝1.。