2019年中考数学专题复习专题三5大数学思想方法第三节转化与化归思想训练

转化与化归的思想「思想方法解读」 转化与化归思想是指在研究解决数学问题时，采用某种手段将问题通过转化，使问题得以解决的一种思维策略，其核心是把复杂的问题化归为简单的问题，将较难的问题化归为较容易求解的问题，将未能解决的问题化归为已经解决的问题．常见的转化与化归思想应用具体表现在：将抽象函数问题转化为具体函数问题，立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形问题，以及“至少”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为逆向思维问题，空间与平面的转化，相等问题与不等问题的转化等．热点题型探究热点1 特殊与一般的转化例1 (1)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F ，作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长度分别为p ，q ，则1p ＋1q 等于( )A ．2aB ．12a C ．4a D ．4a答案 C解析 抛物线y ＝ax 2(a >0)的标准方程为x 2＝1a y (a >0)．焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，取过焦点F 的直线垂直于y 轴，则|PF |＝|QF |＝12a ，所以1p ＋1q ＝4a .(2)在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝12，|AD →|＝8.若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM→＝( ) A ．20 B ．15 C ．36 D ．6答案 C解析 解法一：由BM→＝3MC →，DN →＝2NC →知，点M 是BC 的一个四等分点，且BM ＝34BC ，点N 是DC 的一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM→＝AB →＋34AD →，AN →＝AD →＋DN →＝AD →＋23AB →，所以NM →＝AM →－AN →＝AB →＋34AD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AB →＝13AB →－14AD →，所以AM →·NM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →－14AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋34AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－34AD →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →2－916AD →2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫144－916×64＝36，故选C.解法二：不妨设∠DAB 为直角，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M (12,6)，N (8,8)，所以AM →＝(12,6)，NM →＝(4，－2)，所以AM →·NM→＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.一般问题特殊化，使问题处理变的直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果．对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案．1．(2019·甘青宁高三3月联考)若函数f (x )＝1＋x 3，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4答案 A解析 ∵f (x )＝1＋x 3，∴f (－x )＋f (x )＝2，∵lg 12＝－lg 2，∴f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝2，故选A.2．(2019·济南市高三3月模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－12x 2，x ＜0，e x ，x ≥0，则f (3－x 2)>f (2x )的解集为( )A ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B ．(－3,1)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1,3) 答案 B解析 当x <0时，f (x )＝13x 3－12x 2，f ′(x )＝x 2－x ，∵x <0，∴f ′(x )>0，f (x )单调递增，且x →0时，f (x )→0，∴f (x )<0；当x ≥0时，f (x )＝e x 单调递增，且f (x )≥f (0)＝1.因此可得f (x )在整个定义域上单调递增，∴f (3－x 2)>f (2x )可转化为3－x 2>2x .解得－3<x <1，故选B.热点2 函数、方程、不等式间的转化例2 (1)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，∃x 2∈[2,3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)答案 C解析 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3时，f (x )≥2x ·4x ＝4，当且仅当x ＝2时等号成立，此时f (x )min ＝4.当x ∈[2,3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a .依题意f (x )min ≥g (x )min ，∴a ≤0.选C.(2)(2019·河南十所名校高三第二次联考)已知函数f (x )＝ax (x 2－1)＋x (a >0)，方程f [f (x )]＝b 对于任意b ∈[－1,1]都有9个不等实根，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(4，＋∞)答案 D解析 ∵f (x )＝ax (x 2－1)＋x (a >0)，∴f ′(x )＝3ax 2＋(1－a )．若a ≤1，则f ′(x )≥0，f (x )单调递增，此时方程f [f (x )]＝b 不可能有9个不等实根，故a >1.令f ′(x )＝0，得x ＝±a －13a ，不妨令x 1＝－a －13a ，x 2＝a －13a .∵当a >1时，a －1<3a ，∴－1<x 1<0，0<x 2<1.f (－x )＝a (－x )·[(－x )2－1]＋(－x )＝－[ax (x 2－1)＋x ]＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，又函数f (x )过定点(1,1)，(－1，－1)和(0,0)，则作出函数f (x )的大致图象如图所示．令f (x )＝t ，方程f (t )＝b 对于任意b ∈[－1,1]都有9个不等实根，即方程f (x )＝t 1，f (x )＝t 2，f (x )＝t 3，一共有9个不等实根，∴f (x )在极小值点处的函数值小于－1，即f ⎝⎛⎭⎪⎫a －13a ＝23(1－a )a －13a <－1，即(a －4)(2a ＋1)2>0，解得a >4，故实数a 的取值范围为(4，＋∞)．故选D.函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简，常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题，将方程的求解问题转化为函数的零点问题．1．(2019·安徽马鞍山二次质检)已知函数f (x )＝x ＋(2－kx )e x (x >0)，若f (x )>0的解集为(a ，b )，且(a ，b )中恰有两个整数，则实数k 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1e 2 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 4＋12，1e 3＋23C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 3＋23，1e 2＋1 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2＋1，1e ＋2答案 C解析 f (x )＝x ＋(2－kx )e x >0⇒x >(kx －2)e x ⇒xe x >kx －2，设g (x )＝xe x (x >0)，h (x )＝kx －2，问题就转化为在(a ，b )内，g (x )>h (x )，且(a ，b )中恰有两个整数．先研究函数g (x )的单调性，g ′(x )＝1－xe x (x >0)，当x >1时，g ′(x )<0，所以函数g (x )在(1，＋∞)上单调递减；当0<x <1时，g ′(x )>0，所以函数g (x )在(0,1)上单调递增，所以g (x )max ＝g (1)＝1e .注意到g (0)＝0，当x >0时，g (x )>0.h (x )＝kx －2，恒过(0，－2)，要想在(a ，b )内，g (x )>h (x )，且(a ，b )中恰有两个整数，必须要满足以下两个条件：⎩⎨⎧g (2)＞h (2)，g (3)≤h (3)⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ＜1e 2＋1，k ≥1e 3＋23⇒1e 3＋23≤k ＜1e 2＋1，故选C.2．已知a ＝13ln 94，b ＝45ln 54，c ＝14ln 4，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a 答案 B解析 a ＝13ln 94＝13ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝23ln 32＝ln 3232，b ＝45ln 54＝ln 5454，c ＝14ln 4＝14×2ln 2＝ln 22.故构造函数f (x )＝ln x x ，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54，c ＝f (2)．因为f ′(x )＝1－1·ln x x 2＝1－ln xx 2，由f ′(x )＝0，解得x ＝e.故当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，函数f (x )在(0，e]上单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＜0，函数f (x )在[e ，＋∞)上单调递减．因为54＜32＜2＜e ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫54＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f (2)，即b ＜a ＜c ，故选B. 热点3 正难则反的转化例3 (1)(2019·湖南邵阳高三10月大联考)若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．[－1,2]D ．(－1,2)答案 C解析 若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则命题等价于∀x∈R ，x 2＋2mx ＋m ＋2≥0恒成立，故只需要Δ＝4m 2－4(m ＋2)≤0⇒－1≤m ≤2.故选C.(2)已知函数f (x )＝ax 2－x ＋ln x 在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18解析 f ′(x )＝2ax －1＋1x .(ⅰ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，则f ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≥0，得a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.①令t ＝1x ，因为x ∈(1,2)，所以t ＝1x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.设h (t )＝12(t －t 2)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋18，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，显然函数y ＝h (t )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，所以h (1)＜h (t )＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即0＜h (t )＜18.由①可知，a ≥18.(ⅱ)若函数f (x )在区间(1,2)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，所以2ax －1＋1x ≤0，得a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.②结合(ⅰ)可知，a ≤0.综上，若函数f (x )在区间(1,2)上单调，则实数a 的取值范围为(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞.所以若函数f (x )在区间(1,2)上不单调，则实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18.正与反的转化法正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．1．若抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝k (x －3)垂直平分，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞答案 D解析 当k ＝0时，显然符合题意．当k ≠0时，设抛物线y ＝x 2上两点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)关于直线y ＝k (x －3)对称，AB 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝x 21＋x 222.由题设知x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，所以x 1＋x 22＝－12k .又AB 的中点P (x 0，y 0)在直线y ＝k (x －3)上，所以x 21＋x 222＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－3＝－6k ＋12，所以中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k，－6k ＋12.由于点P 在y >x 2的区域内，则－6k ＋12>⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 2，整理得(2k ＋1)(6k 2－2k ＋1)<0，解得k <－12.因此当k <－12时，抛物线y ＝x 2上存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称，于是当k ≥－12时，抛物线y ＝x 2上不存在两点关于直线y ＝k (x －3)对称．所以实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞.故选D.2．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32解析 若在区间[－1,1]内不存在c 满足f (c )＞0，因为Δ＝36p 2≥0恒成立， 则⎩⎨⎧f (－1)≤0，f (1)≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.所以p ≤－3或p ≥32，取补集得－3＜p ＜32， 即满足题意的实数p 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32.热点4 形体位置关系的转化例4 (1)(2019·延安市高考模拟)正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 折叠，使点B 与点C 间的距离为3，则四面体ABCD 外接球的表面积为( )A ．6πB ．7πC ．8πD ．9π答案 B解析 根据题意可知四面体ABCD 的三条侧棱BD ⊥AD ，DC ⊥DA ，底面△BDC 是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，在三棱柱底面△BDC 中，BD ＝CD ＝1，BC ＝3，∴∠BDC ＝120°，∴△BDC 的外接圆的半径为12×3sin120°＝1，由题意可得，球心到底面的距离为12AD ＝32，∴球的半径为r ＝34＋1＝72.故外接球的表面积为4πr 2＝7π，故选B.(2)(2019·天津市滨海新区高三摸底考试)如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB ＝AD ＝DG ＝2，AC ＝EF ＝1，则该多面体的体积为________．答案 4解析 解法一：(分割法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，过点C 作CH ⊥DG 于H ，连接EH ，即把多面体分割成一个直三棱柱DEH －ABC 和一个斜三棱柱BEF －CHG .由题意，知V 三棱柱DEH －ABC ＝S △DEH ·AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2，V三棱柱BEF －CHG ＝S △BEF ·DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝2.故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝2＋2＝4.解法二：(补形法)因为几何体有两对相对面互相平行，如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，显然所求多面体的体积即该正方体体积的一半．又正方体的体积V 正方体ABHI －DEKG ＝23＝8，故所求几何体的体积为V 多面体ABCDEFG ＝12×8＝4.形体位置关系的转化是通过切割、补形、等体积转化等方式转化为便于观察、计算的常用几何体，由于新的几何体是转化而来的，一般需要对新几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新几何体的特征．1. (2019·东北三省三校高三第二次模拟)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是棱B1C1的中点，AB＝AC＝2，BC＝BB1＝2.(1)求证：AC1∥平面A1BD；(2)求点D到平面ABC1的距离．解(1)证明：连接AB1，交A1B于点O，则O为AB1的中点，连接OD，又D是B1C1的中点，∴OD∥AC1，∵OD⊂平面A1BD，AC1⊄平面A1BD，∴AC1∥平面A1BD.(2)由已知，AB＝AC，取BC的中点H，则BC⊥AH，∵BB1⊥平面ABC，AH ⊂平面ABC，∴BB1⊥AH，∵BC∩BB1＝B，∴AH⊥平面BCC1B1.又AB＝AC＝2，BC＝2，∴AH＝1，∵BB1⊥C1D，∴S △BC 1D ＝12C 1D ·BB 1＝12×1×2＝1，∴V D －ABC 1＝V A －BC 1D ＝13S △BC 1D ·AH ＝13×1×1＝13. ∵AC 1＝2＋4＝6，BC 1＝4＋4＝22，∴AC 21＋AB 2＝BC 21，∴△ABC 1是直角三角形，∴S △ABC 1＝12×2×6＝3，设点D 到平面ABC 1的距离为h ，则13×3×h ＝13，得h ＝33，即点D 到平面ABC 1的距离为33.2．(2019·山东师范大学附属中学高三上学期二模)已知等腰梯形ABCE (图1)中，AB ∥EC ，AB ＝BC ＝12EC ＝4，∠ABC ＝120°，D 是EC 的中点，将△ADE 沿AD 折起，构成四棱锥P －ABCD (图2)．(1)求证：AD ⊥PB ；(2)当平面P AD ⊥平面ABCD 时，求三棱锥C －P AB 的体积． 解 (1)证明：取AD 的中点K ，连接PK ，BK ，BD ，∵P A ＝PD ，K 为AD 的中点，∴PK ⊥AD ，又AD ＝AB ，∠DAB ＝60°，∴△ADB 为等边三角形，则AB ＝BD ，则BK ⊥AD ，又PK ∩BK ＝K ，∴AD ⊥平面PBK ，又PB ⊂平面PBK ，则AD ⊥PB .(2)由平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PK ⊂平面P AD ，PK ⊥AD ，得PK ⊥平面ABCD ，由已知AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝120°，得S △ABC ＝43，又PK＝23，∴V C－P AB ＝V P－ABC＝13×43×23＝8.。

九年级专题复习：关于数学中的转化与化归思想
前言：很多同学在数学解题时会有一种无从下手的感觉，究其原因，一是知识积累不够，二是欠缺转化与回归能力。

解题时，我们往往要将复杂的问题化为简单的问题，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，将待解决的问题转化为已解决的问题，这就是数学中的转化与化归。

典型习题
1、解方程：()02)1(3152=-+-+x x 变式、解方程：0
624=--x x 2、代数式的求值问题：已知1122=+x x ，求4
41x x +的值提高、已知012=-+x x ，求200923++x x 的值
变式、已知实数a,b,c 满足122=+b a ，322=+c b ，322=+c a ，则ca bc ab ++的最小值是。

3、关于数形转化：求不等式062>--x x 的解集
提高：函数m x m x m y +-+-=)2()1(2的图象总与x 轴有交点，求m 的取值范围。

32的图象总与x轴有2个交点，求k的取值范围。

变式、函数kx
=2
+
y-
x
x
4、关于图形中的转化：
如图，已知AE、BD相交于点C，AC=AD，BC=BE，F、G、H分别是DC、CE、AB的中点。

求证：(1)HF=HG;(2)∠FHG=∠DAC。

变式、已知△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点。

(1)如图，E、F分别是AB、AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF是等腰三角形。

(2)若E、F分别是AB、CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍是等腰直角三角形？证明你的结论。

2019年中考数学二轮复习考点解密 化归思想Ⅰ、专题精讲：数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图3－1－1，反比例函数y=－8x 与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点．（1）求 A 、B 两点的坐标； （2）求△AOB 的面积．解：⑴解方程组82y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩ 得121242;24x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 所以A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B(4，－2（2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2）， 所以11222,24422AOD BOD S S ∆∆=⨯⨯==⨯⨯= 所以246AOB S ∆=+=点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标．【例2】解方程：22(1)5(1)20x x ---+= 解：令y= x —1，则2 y 2—5 y +2=0．所以y 1=2或y 2=12 ，即x —1＝2或x —1=12 ．所以x ＝3或x=32 故原方程的解为x ＝3或x=32点拨：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未·知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了．【例3】如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长．解：过 D 作DE ⊥AC 交BC 的延长线于E ，则得AD=CE 、AC=DE ．所以BE=BC+CE=8．因为 AC ⊥BD ，所以BD ⊥DE ．因为 AB=CD ， 所以AC ＝BD ．所以GD=DE ． 在Rt △BDE 中，BD 2＋DE 2=BE 2所以BD BE=4 2 ，即AC=4 2 . 点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．【例4】已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状． 解：因为222a b c ab ac bc ++=++， 所以222222222a b c ab ac bc ++=++， 即：222()()()0a b b c a c -+-+-= 所以a=b ，a=c ， b=c 所以△ABC 为等边三角形．点拨：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题．【例5】△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。

方程中的转化思想知识方法精讲1．转化思想转化不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。

所谓的转化思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。

一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。

总之，转化在数学解题中几乎无处不在，转化的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。

说到底，转化的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。

实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由抽象到具体等转化思想。

2．一元一次方程的解定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．3．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．4．解二元一次方程组（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x （或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．5．解三元一次方程组（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．（2）解三元一次方程组的一般步骤：①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．6．解一元二次方程-直接开平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．7．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．8．解一元二次方程-公式法（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．9．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．10．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．11．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x 1x 2＝q ，反过来可得p ＝﹣（x 1+x 2），q ＝x 1x 2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2＝，x 1x 2＝，反过来也成立，即＝﹣（x 1+x 2），＝x 1x 2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x 12+x 22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a ≠0，△≥0这两个前提条件．12．分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．13．分式方程的增根（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．一．选择题（共11小题）1．（2021春•松江区期末）下列方程中，有实数解的是( )A ．210x +=B ．11x x +=C x -D ．2202x x x+=+2．（2021•盂县一模）将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如32()x x x x px q =⋅=-=⋯，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x --=，且0x >，则31x +的值为( )A．1+ B．1 C．3D．33．（2020•高青县二模）已知α，β是方程2202010x x ++=的两个根，则22(12022)()αααββ+++的值为( )A ．4040-B ．4044C ．2022-D ．20204．方程组23x y M x y +=⎧⎨+=⎩的解为1x y N =⎧⎨=⎩，则被遮盖的两个数M 、N 分别为( ) A ．4，2 B ．1，3 C ．2，3 D ．2，45．设1x ，2x 是方程2310x x -+=( )ABC ．3D ．56．（2021秋•宣化区期末）一元二次方程(2)2x x x -=-的根是( )A ．1x =-B ．2x =C ．11x =，22x =D ．11x =-，22x =7．（2020•浙江自主招生）6=的实数解的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．大于28．下列无理方程中，有实数解的方程是( )A1=B2=- C10= D2=9．用代入法解方程组23328y x x y =-⎧⎨+=⎩时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是( ) A ．3438x y +-= B ．3468x x +-= C ．3238x x --= D ．3268x x +-=10．（2021•元阳县模拟）若关于x 的一元一次不等式组3142x x x a-⎧<+⎪⎨⎪⎩的解集为x a ，且关于y 的分式方程23211y a y y y-+-=--有正数解，则所有满足条件的整数a 的值为( ) A ．6.7，8，9 B ．6，7，8 C ．7，8 D ．6，811．12312342345345145125(1)(2)(3)(4)(5)x x x a x x x a x x x a x x x a x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪++=⎪⎩，其中1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是常数，且12345a a a a a >>>>，则1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的大小顺序是( )A ．12345x x x x x >>>>B ．42135x x x x x >>>>C ．31425x x x x x >>>>D ．53142x x x x x >>>>二．填空题（共3小题） 12．（2021秋•鼓楼区校级期中）已知关于x 的一元一次方3?1219x x m +=+的解为4x =-，那么关于y 的一元一次方程3(2)12(2)19y y m -+=-+的解为 ． 13．（2021秋•虹口区校级月考）无论k 取何值，关于x 、y 方程组224y x bx c k kx y k ⎧=++⎪⎨-=+⎪⎩都只有一组解，则b c += ．14．已知等式(27)(38)810A B x A B x -+-=+对一切实数x 都成立，则A = ，B = ．三．解答题（共4小题）15．（2021秋•三元区期中）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的m 个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．（1）求出m 的值；（2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，她们就发现了同题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而她们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少10%，第一周后小丽比小颖多号召成功4人，三人一共号召成功19人，其中小颖号召成功了n 人．求出n 值，并分别求出她们三人号召的成功率．16．（2021秋•介休市期中）（1）解方程：23(2)2x x -=-．（2）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：22480x x +-=二次系数化为1，得2240x x +-=⋯第一步移项，得224x x +=⋯第二步配方，得22444x x ++=+，即2(2)8x +=⋯第三步由此，可得2x +=±第四步所以，12x =+22x =--第五步任务：①上面小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是 ，其中“配方法”所依据的一个数学公式是 ；②“第二步”变形的依据是 ；③上面小明同学解题过程中，从第 步开始出现错误，请直接写出正确的解是 ； ④请你根据平时学习经验，就解一元二次方程时还需要注意的事项为其他同学提一条意见．17．（2021秋•南京期中）【阅读材料】求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x a =的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程32680x x x -+=，可以通过因式分解把它转化为2(68)0x x x -+=，解方程0x =和2680x x -+=，可得方程32680x x x -+=的解．【直接应用】方程32680x x x -+=的解是10x =，2x = ，3x = ．【类比迁移】解方程：2x x +=．【问题解决】如图，在矩形ABCD 中，8AD =，2AB =，点P 在AD 上，若10PB PC +=，求AP 的长．18．（2021秋•海珠区期末）阅读材料：对于非零实数a ，b ，若关于x 的分式()()x a x b x--的值为零，则解得1x a =，2x b =．又因为2()()()()x a x b x a b x ab ab x a b x x x---++==+-+，所以关于x 的方程ab x a b x+=+的解为1x a =，2x b =． （1）理解应用：方程22233x x +=+的解为：1x = ，2x = ； （2）知识迁移：若关于x 的方程35x x+=的解为1x a =，2x b =，求22a b +的值； （3）拓展提升：若关于x 的方程41k x x =--的解为11x t =+，222x t =+，求2342k k t -+的值．方程中的转化思想知识方法精讲1．转化思想转化不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。

建议收藏！2019年中考数学常见的思想方法（3）昨天我们又提供了四种中考数学常见的思想方法：配方法、等面积法、特殊值法和待定系数法，不知道同学们有没有掌握。

今天我们要探讨三种比较难，解答题中常用的思想方法。

8.分类讨论思想在中学数学的概念、定理、法则、公式等基础知识中，有不少是分类给出的，遇到涉及这些知识的问题，就可能需要分类讨论。

另外，有些数学问题在解答中，可能条件或结论不唯一确定，有几种可能性，也需要从问题的实际出发进行分类讨论。

把被研究的对象分成若干种情况，然后对各种情况逐一进行讨论，最终得以解决整个问题，这种解决问题的方法称为分类讨论思想方法。

它体现了化整为零与积零为整的思想，是近年来中考重点考查的思想方法。

分类讨论思想方法也是一种重要的解题策略。

分类思想方法实质上是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同的种类的思想方法，其作用是克服思维的片面性，防止漏解．要注意，在分类时，必须按同一标准分类，做到不重不漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．9.转化与化归思想转化与化归思想是一种最基本的数学思想，用于解决问题时的基本思想是化未知为已知，把复杂的问题简单化，把生疏的问题熟悉化，把非常规的问题化为常规问题，把实际问题数学化，实现不同的数学问题间的相互转化，这也体现了把不易解决的问题化为有章可循、容易解决问题的思想．10.数学建模思想方法数学建模思想是在具体的问题分析中，尽量通过观察，抽象出主要的参量、参数与有关的定律、原理间建立起的某种关系。

这样，一个具体的实际问题就转化为简化明了的一个数学模型。

面对中考复习，除了要掌握知识内容，更要对数学思想方法进行梳理、总结，逐个认识它们的本质特征、思维程序和操作程序。

结合典型题目进行训练，能够真正适应中考命题。

好了，中考数学常见的思维方法我们暂时先讲到这里，如果同学们有需要我补充的可以留言，我会挑一些出来继续讲。

2019中考数学二轮复习专题-数学的转化思想
中考数学二轮复习专题-数学的转化思想
转化思想要求我们居高临下地抓住问题的实质，在遇到较复杂的问题时，能够辩证地分析问题，通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化。

具体地说，比如把隐含的数量关系转化为明显的数量关系;把从这一个角度提供的信息转化为从另一个角度提供的信息。

转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题的转机。