10、正多边形和圆

《正多边形和圆》教学反思
《正多边形和圆》是九年制义务教育新课程标准九年级第二十四章第三节第一课时的内容。

首先出示圆形、等边三角形、正方形、正多边形及其镶嵌图形，学生观察其特点并感受生活中的数学美。

有了前边学习内接三角形、四边形的经验，研究内接正多边形显得更加容易一些，在弧相等的前提下，其所对弦、圆周角也都相等。

师生合作探究过程中，教师引出中心角、边心距等概念。

本节课使用讲练结合的方式开展教学，教师出示几道关于内接多边形、求边心距、求中心角的题目，及时巩固所学知识。

一道关于凉亭的实际问题，引导学生建立数学模型，强化抽象能力，将本节课知识推向升华。

课堂小结部分，教师为让学生更直观地看出多边形与圆的相关知识，用列表法将边数、内角、中心角、半径、边长、边心距、周长、面积绘制成一张图形，便于学生吸收知识。

遗憾的是，学生在求解边心距和中心角时没有固定的思路，根本不清楚使用的基本知识就是弦心距三角形的知识。

正多边形和圆
知识要点
1、正多边形
（1）、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。

（2）、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

（3）、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

（4）、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

（5）、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

（6）、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

2、正多边形的对称性
（1）、正多边形的轴对称性
正多边形都是轴对称图形。

一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

（2）、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

（3）、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

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初中数学知识点：正多边形和圆知识点新一轮的中考复习又开始了，本站编辑为此特为大家整理了正多边形和圆知识点，希望可以帮助大家复习，预祝大家取得优异的成绩~正多边形和圆知识点1、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

典型例题粉笔是校园中最常见的必备品.图1是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50支.图2是它的横截面(矩形ABCD)，已知每支粉笔的直径为12mm，由此估算矩形ABCD的周长约为_____mm.(，结果精确到1mm)答案：300解析:把图形中的边长的问题转化为正六边形的边长、边心距之间的计算即可.解：作B′M′∥C′D′，C′M′⊥B′M′于点M′.粉笔的半径是6mm.则边长是6mm.∵∠M′B′C′=60°∴B′M′=B′C′?cos60°=6×=3.边心距C′M′=6sin60°=3mm.则图(2)中，AB=CD=11×3=33mm.AD=BC=5×6+5×12+3=93mm.则周长是：2×33+2×93=66+186≈300mm.故答案是：300mm.同步练习题1判断题:①各边相等的圆外切多边形一定是正多边形.( )②各角相等的圆内接多边形一定是正多边形.( )③正多边形的中心角等于它的每一个外角.( )④若一个正多边形的每一个内角是150°,则这个正多边形是正十二边形.( )⑤各角相等的圆外切多边形是正多边形.( )2填空题:①一个外角等于它的一个内角的正多边形是正____边形.[②正八边形的中心角的度数为 ____,每一个内角度数为____,每一个外角度数为____.③边长为6cm的正三角形的半径是____cm,边心距是____cm ,面积是____cm.④面积等于 cm2的正六边形的周长是____.⑤同圆的内接正三角形与外切正三角形的边长之比是____.⑥正多边形的面积是240cm2,周长是60cm2,则边心距是____cm.⑦正六边形的两对边之间的距离是12cm,则边长是____cm.⑧同圆的外切正四边形与内接正四边形的边心距之比是____.⑨同圆的内接正三角形的边心距与正六边形的边心距之比是____.3选择题:①下列命题中,假命题的是( )A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.②若一个正多边形的一个外角大于它的一个内角,则它的边数是( )A.3B.4C.5D.不能确定③同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )A.1:B.1:C.1:2D. :1④正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )A . B. C. D.⑤周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是:( )A.S3>S4>S6B.S6>S4>S3C.S6>S3>S4D.S4>S6>S3⑥正三角形的边心距、半径和高的比是( )A.1:2:3B.1: :C. 1: :3D.1:2:四、计算1.已知正方形面积为8cm2，求此正方形边心距 .3.已知圆内接正三角形边心距为 2cm，求它的边长.距长.长.8.已知圆外切正方形边长为2cm ，求该圆外切正三角形半径.10.已知圆内接正方形边长为m，求该圆外切正三角形边长.长.12.已知正方形边长为1cm，求它的外接圆的外切正六边形外接圆的半径.13.已知一个正三角形与一个正六边形面积相等，求两者边长之比.15.已知圆内接正六边形与正方形面积之差为11cm2，求该圆内接正三角形的面积.16.已知圆O内接正n边形边长为an，⊙O半径为R，试用an，R表示此圆外切正n边形边长bn.。

几何中的正多边形与圆的内切外切正多边形和圆是几何中常见的概念，它们之间存在着内切和外切的关系。

正多边形是一个有着相等边长和相等内角的多边形，而圆是一个由无数点组成的闭合曲线。

本文将探讨正多边形与圆的内切和外切关系，以及相关的性质和定理。

一、正多边形与圆的内切当一个正多边形的每条边都与一个圆相切，且这个圆同时与多边形的所有顶点都相切时，称这个圆为该正多边形的内切圆，多边形为内切圆的多边形。

内切圆的半径等于多边形各边边长的一半，而内切圆的圆心和多边形的重心重合。

以正五边形为例，假设其边长为a，内切圆的半径r，则有以下几何关系：- 五边形的中心到一条边的距离为r- 五边形的中心到两条相邻边的夹角为72度- 五边形的中心到五个顶点的距离等于r- 五边形的中心到相邻两个顶点和圆心连线的夹角为36度对于任意正多边形，以上的几何关系都成立。

内切圆是正多边形与圆相互联系的几何特征，它展现了正多边形的对称性和一致性。

二、正多边形与圆的外切当一个正多边形的每条边都与一个圆相切，且这个圆的圆心位于多边形各边的延长线上时，称这个圆为该正多边形的外切圆，多边形为外切圆的多边形。

外切圆的半径与内切圆的半径之间存在着特殊的关系。

以正六边形为例，假设其边长为a，外切圆的半径R，则有以下几何关系：- 六边形的中心到一条边的距离为R- 六边形的中心到两条相邻边的夹角为120度- 六边形的中心到六个顶点的距离等于R- 六边形的中心到相邻两个顶点和圆心连线的夹角为60度同样地，对于任意正多边形，以上的几何关系都成立。

外切圆也是正多边形的一个重要特征，它定义了多边形的圆心和对称性。

三、正多边形与圆内切外切的性质和定理正多边形与内切外切的圆之间有许多有趣的性质和定理，其中一些被广泛用于解决几何问题和证明定理。

1. 内切圆半径与正多边形边长的关系：对于正n边形（n>2），内切圆的半径r与多边形的边长a存在以下关系：r = (a/2) * cot(π/n)该关系可以用来计算内切圆的半径以及与多边形的边长的关系。

《正多边形和圆》教学反思这一节主要学习了正多边形和圆，正多边形和圆关系密切，主要正多边形的有关概念，正多边形的有关计算，以及正多边形的有关画法等。

课前先让学生预习学案，对于课本上正五边形的证明结合图形，明确了证明思路，然后让学生明确，这个结论对于任意的正多边形都成立。

再一个通过了解正多边形的有关概念，让学生会求一些量，比方给你一个正多边形，它的边长、周长、半径、边心距、面积中的任意一项，都可以熟练求出其他各项。

这节课大局部学生掌握还好，但对于根底差的学生来说，只是背过了一些概念，运用解题时有些吃力，针对这种情况，学案设计了一些简单的适合他们的题，让他们从做题中得到一些成就感，培养对数学的兴趣。

另外小组分工合作讨论，但是不够积极，只有少局部学生能做到，以后应多加训练。

总之，这节课也有很多好的地方，也存在很多缺乏，以后应积极查漏补缺，使之尽善尽美。

教学目标：(1)理解正多边形与圆的关系定理;(2)理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质;(3)理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念;(4)通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力;教学重点：理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理。

教学难点：对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解。

教学活动设计：(一)提出问题问题：上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分(n≥3)圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形。

反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢(二)实践与探究组织学生自己完成以下活动。

实践：1、作三角形的外接圆，圆心是三角形的什么线的交点半径是什么2、作三角形的内切圆，圆心是三角形的什么线的交点半径是什么探究1：当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系探究2：(1)正方形有外接圆吗假设有外接圆的圆心在哪(正方形对角线的交点。

)(2)根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心(3)正方形有内切圆吗圆心在哪半径是谁(三)拓展、推理、归纳(1)拓展、推理：过正五边形ABCDE的顶点A、B、C、作⊙O连结OA、OB、OC、OD。

正多边形与圆的联系正多边形与圆之间有着紧密的联系。

在几何学中，正多边形是指所有边长和内角都相等的多边形，而圆则是一个连续的曲线，由任意一点到另一点的距离都相等。

尽管它们看起来截然不同，但实际上它们之间存在着一些有趣的关系和应用。

本文将探讨正多边形与圆的联系以及它们在数学和几何学中的应用。

首先，正多边形和圆在构造和特性上存在着一些相似之处。

正多边形可以通过在圆上连接等长的弦而构建。

例如，一个正三角形可以通过在圆上连接三个等长的弦来形成，而一个正五边形可以通过连接五个等长的弦来形成。

此外，一个正多边形的顶点也可以视作是圆的切点，这种关系在解决几何问题时非常有用。

其次，正多边形和圆在面积和周长方面也有着密切的联系。

一个正多边形的面积可以通过将其分割成等边三角形，并使用三角形的公式来计算。

而一个圆的面积可以通过应用πr²的公式来计算，其中r是圆的半径。

然而，一个有趣的事实是，当正多边形的边数越来越多时，它的面积逐渐接近于圆的面积。

这意味着，当正多边形的边数无限增加时，它将无限接近于一个圆。

此外，正多边形和圆的联系还可以扩展到三角函数和复数的领域。

在三角函数中，我们可以使用正多边形的顶点来解释正弦和余弦函数。

当我们在单位圆上绘制一个正多边形，并对应地观察顶点的纵坐标，我们会发现这些纵坐标形成了正弦曲线。

同样地，我们可以观察顶点的横坐标，发现它们形成了余弦曲线。

这个发现为我们理解三角函数的特性提供了一种直观的方式。

此外，在复数的领域，正多边形和圆也有一些有趣的应用。

复数可以表示为实部和虚部的和，可以用复平面上的点表示。

当我们在复平面上绘制一个正多边形，以原点为中心，并且把每个顶点都与原点相连，我们会发现这个多边形的顶点实际上形成了一个圆。

这个圆被称为“单位圆”，它的半径等于1。

这个联系不仅在数学上有着重要的应用，还在物理学、工程学和计算机图形学等领域中发挥着重要的作用。

综上所述，正多边形与圆之间存在着广泛而丰富的联系。

正多边形与圆教案一田小华第一课时一．学习目标：1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；二．教学重难点学习重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系。

学习难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形。

三．自学提纲了解正多边形的概念，掌握如何利用尺规做正多边形的画法，理解正多边形与圆的的定理。

四．教学过程：1.情境创设：我们国旗上的五角星怎么画的？能不能利用尺规作出正五边形及所有边相等的正多边形提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？2．正方形的边、角各有什么性质？拓展：如果圆内接正三角形，正方形有什么性质二、探索活动：活动一观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念正多边形的概念：（学生读出，并及时理解）（注：各边相等与各角相等必须同时成立）提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形等．定理：此定理讲述了元与正多边形的关系，和包含了做圆内接正多边形的方法，我们拿正五边形来做事例分析书上的例题P33拓展1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA．（图形师生共同作图）（1）求证：五边形ABCDE是正五边形．探讨：以圆心到弦AB的弦心距为半径，还以O为圆心画圆。

这个圆与正五边形什么关系？活动二用量角器作正多边形，探索正多边形与圆的内在联系1、用量角器将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n边形；圆的内接正n边形将圆n等分；2、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的中心。

活动四利用直尺与圆规作特殊的正多边形问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形。

思考：如何作正八边形正三角形、正十二边形？拓展2：各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形？五、课堂练习课本P34练习1,2和P35习题3，4六．小结：本节课主要讲的是圆与正多边形联系，及如何作正（四，五，六，八）多边形，及进一步探讨正多边形的对称性。

知识点1 正多边形的相关概念（1）正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形。

（2）正多边形和圆：把一个圆n等分，依次联接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。

正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。

（3）正多边形是对称图形。

当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形。

（4）与正多边形有关的概念：a正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心；b正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径；c正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角。

正n边形的每个中心角都等于360/n，正n边形的每个内角都等于【（n-2）×180】/n.d正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一条边的距离。

例题1圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化例题2正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.例题3正n边形是对称图形，它的对称轴有条。

例题4正n边形的每个内角是，每个中心角是。

知识点2 正多边形的计算1.正多边形的中心是这个正多边形的外接圆的圆心，也是内切圆的圆心。

2.联接中心和正多边形的各顶点，所得线段都是外接圆的半径，相邻两条半径的夹角是中心角。

3.在正n变形中，分别经过各顶点的这些半径将这个正n边形分成n个全等的等腰三角形，每个等腰三角形的腰是正n边形的半径，底边是正n边形的边，顶角是正n边形的中心角；底边上的高是正n 边形的内切圆的半径，它的长是正n 边形的边心距。

注：正多边形半径R 和边长a 、边心距r 之间的数量关系式.提示：解决圆和正多边形的计算问题通常构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理来解决. 例题5【例1】如图，两相交圆的公共弦AB 为32，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。