山东省文登市七里汤中学九年级数学《解直角三角形的应用--触礁问题》学案(无答案)人教新课标版

《28.3解直角三角形应用》教案课题 28.3解直角三角形应用授课时间年 月 日教学目标 知识与能力巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．过程与方法逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．情感态度价值观 培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点． 教学重点 解决有关坡度的实际问题． 教学难点 理解坡度的有关术语． 教学方法 合作深究，小组学习教具准备课型新授 教 学 活 动教学环节补充一、情景导学：例 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长(精确到0.1m)． 二、自学梳理通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义． 介绍概念 坡度与坡角结合图6-34，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i 表示。

即ｉ＝l h，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．引导学生结合图形思考，坡度i 与坡角α之间具有什么关系？教师巡视，个别指导答：i ＝l h＝tan α三、合作解疑：这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固．练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______； ______，坡角α______度．为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问： (1)坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明．(2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明． 答：(1)如图，铅直高度AB 一定，水平宽度BC 增加，α将变小，坡度减小，因为 tan α＝BC AB，AB 不变，tan α随BC 增大而减小(2)与(1)相反，水平宽度BC 不变，α将随铅直高度增大而增大，tan α也随之增大，因为tan α=BC AB不变时，tan α随AB 的增大而增大四、点拨校正（师生共同分析，总结归纳）引导学生分析例题，图中ABCD 是梯形，若BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，梯形就被分割成Rt △ABE ，矩形BEFC 和Rt △CFD ，AD=AE+EF+FD ，AE 、DF 可在△ABE 和△CDF 中通过坡度求出，EF=BC=6m ，从而求出AD ．以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力． 五、巩固应用：教材P124. 2六、课堂小结: 说说你在本节课的收获。

山东省文登市七里汤中学九年级数学《解直角三角形》学案7 人教新课标版一、学习目标1.初步了解解直角三角形的意义2.会用两条边解直角三角形3.通过本节的学习，向学生渗透数行结合的数学思想，培养他们良好的学习习惯。

二、知识链接在Rt △ABC 中，有三条边a,b,c 和三个角∠A 、∠B 、∠C 。

除∠C=90°外，其余五个元素之间有哪些等量关系？（1）两锐角之间的关系_______________（2）三边之间的关系_______________，(3)角与边之间的关系：sinA=cosB=c a, cosA=sinB=c b, tanA=b a, tanB=ab三、探究新知在生产实际和科学研究中，经常需要求出线段的长度或角的大小，这类问题有些可以归结为求一个直角三角形的边长或锐角的大小。

这就需要用到上面的关系，如果知道直角三角形中两个元素（其中至少一个是边），就可以求出其它元素。

思考：为什么两个元素中至少有一条边？已知两个锐角不行吗？由直角三角形中已知的元素，求出其它所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

（板书课题、定义）看下面的例子：例题（15页例1）问题：已知什么，要求什么？（已知a,c,求b, ∠A, ∠B ）先求什么，怎么求？再求什么，怎么求？温馨提示：1.若没图，要画出图形，然后标出已知，求2.选择合适的关系式3.回头检查有没有漏求哪个量四、巩固新知1. 16页议一议，（生口答）2. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知a=5, b=53，解这个直角三角形（一生板演）3. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知a=156, c =302，解这个直角三角形（选做）交流3的做法，组织学生比较各种方法中哪种较好。

师：你能总结一下已知两边解直角三角形的方法吗？小组交流，汇总：当数值较小时，先求第三边，再求角：当题中的数值较大时，先利用三角函数求角，再利用三角函AC B数求第三边。

山东省文登市七里汤中学九年级数学《解直角三角形》学案1人教新课标版学习目标：1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.知识链接1。

若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.2、如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)3、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元探究新知：海中有一个小岛A ，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C 处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.15020米30米巩固新知：1、如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m)运用新知：1.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD.坝顶AD＝6m，坡长CD＝8m.坡底BC＝30m，∠ADC=135°.(1)求∠ABC的大小：(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m3)3．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：错误！未找到引用源。

2.5解直角三角形的应用1、 熟练常握特殊角的三角函数值的计算；2. 能运用两种模型解决实际问题，提高用模型思想解决实际问题的 能力。

重点：合理构造直角三角形、解直角三角形实际应用。

难点：如何读懂题意对实际应用题进行建立方程解题。

师生活动 ZA= _____ , BC= _____ , AB= ____二、基础自测课内助学一、基本图形：中间型计算：1.已知AD 丄BC, ZB = 30° , ZC = 45° , AD=1求图中其它线学习 目标 重点 难点生：独立 一、知识储备角 a 三角比、^ 30°45&60*sincostanAB =2.在RtAABC 屮已知ZC = 90° , ZB = 45° , AC=1.则完成应 课前预 学。

师：讲授 本节课 在中考 中的地 位。

yfix + 兀-80 —羽X-30 = X ( V3-1.73, X 保留师：点拨 结果要 注意分 母有理课前预学,BC 1.在 RtAABC 中己知ZC=90° , ZB = 30° ,A30B 1题图c段的长。

师生一起研究屮间型特点思考：其它条件不变，将AD的长换成AB、AC、BD、CD可以吗？,BC=15 + 5jL 求线段AD2、己知M）丄BC, ZB=30° , ZC = 45°的长。

感受中考:1. （15东营）4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，屮央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播.如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道/ A处的俯角为期，〃处的俯角为如果此时直升机镜头C处的高度仞为200米，点久D、〃在同一直线上，则力〃两点的距离是. 米.2. （15临沂）小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,小强家与这栋楼的水平距离为42m,这栋楼有多高？（结杲保留根号）3. （16荷泽）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20B学生独立完成1-3题三分钟小组内交流问题及怵I 惑（1+V3）海里的C处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离。

山东省文登市七里汤中学九年级数学《解直角三角形习题》学案2 人教新课标版 学习目标：
1、 进一步巩固解直角三角形的有关知识。

2、 添加辅助线构造第一种基本图形，体会两种不同的解题思路。

知识链接：
1、在Rt △ABC 中，∠C=90°,a=15，∠A=60°，则c= 。

2、在△ABC 中，AD ⊥BC ，∠B=60°，AC=5，AD=3，求BC 的长。

范例点拨：
尝试1：在△ABC 中，∠A=60°，∠C=45°，AB=12，求AC 、BC 的长。

回思：
在解题中当遇到特殊角时常通过做 构造 。

友情提示：
在解题时当有直角三角形可解时可先解此三角形，其中高起桥梁作用。

反馈练习：
在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，AC=12，求△ABC 的面积。

回思：用此种思路解题时三角形中的三个角通常有 、 两种情况。

尝试2：在△ABC 中，∠C=30°，∠B=45°，BC=12，求AC 的长。

B C A D
C B A C B A
反馈练习：
在△ABC 中，∠B=75°，∠A=45°，AC=10，求BC 的长。

回顾反思：
本节课类型题通常是在三角形的 做高构造两个直角三角形，解题思路是：当两个直角三角形中有一个可解则 当两个三角形都不可解则 。

当堂测试；在△ABC 中，∠A=60°，∠C=45°，AB=12，求AC 、BC 的长。

C B A C B A C B
A。

山东省文登市七里汤中学九年级数学《解直角三角形》学案6 人教新课标版学习目标：1．初步了解解直角三角形的意义2．会用两条边（两条直角边、一直角边和斜边）、一条边和一个角解直角三角形知识链接：1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)锐角之间关系：(2)三边之间关系：(3)边角之间关系：探究新知1、解直角三角形定义的探究：直角三角形中，由求____________________的过程，叫做直角三角形。

其中已知两个元素中至少有一个是__________。

探究：为什么两个已知元素中必有一条边呢？2、解直角三角形的依据：（1）（2）（3）上述三个关系式中，每个关系式都包含三个元素，知其中两个元素就可以求出第三个元素(1)已知一锐角可求______； (2)已知两边可求 ________；(3)已知一边一角可求_________.3、解直角三角形的条件：运用新知：1、△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c, 已知a=4,b=8解这个直角三角形提示：①未知元素是_________②______最容易求，如何求？③由tanA=_____，可以求∠A；④由∠A=_____，可以求∠B；结论：已知，解直角三角形用求第三边，用求角的度数。

2在Rt△ABC中，∠C=90°,a=2 3 ,b=6,解这个直角三角形。

结论：已知，解直角三角形用求第三边，用求角的度数。

回思：（1）已知a,b,怎样求∠A的度数？（2）已知a,c,怎样求∠A的度数？（3）已知c,b,怎样求∠A的度数？巩固新知：1、填空：（1）、在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=53，则∠A=（）（2）、在△A BC中，∠C=90°∠A、∠B、∠C的对边为a、b c,已知a=3,b=3，则c= , ∠A= （3）、在△ABC中，∠C=90°，b=4,c=8则a= , ∠A=（4）、在△ABC中，∠C=90°，a=2,b=3,则tanA= ,sinA=2、△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c, a=6,b=32.解直角三角形3、在△ABC中，∠ACB=90°，a=13.5,c=93,解这个直角三角形4、在△ABC中，∠ACB=90°，b=23,S△ABC=63,解这个直角三角形反思回顾：1、解直角三角形的定义2、解直角三角形的依据：2、本节课解直角三角形的两个类型：。

九年级数学《解直角三角形的应用--触礁问题》学案 人教新课标版 学习目标： 1、会将实际问题转化为解直角三角形的问题2．清楚轮船在什么情况下有触礁的危险．3．通过计算判断轮船有无触礁的危险．学习导航：用转化的数学思想方法，把＂触礁＂问题转化为解直角三角形的问题．先自主探究，然后小组交流，有困难请教同学或老师．知识链接1、如图∠1可表述为 ∠2可表述为 ·2、点到直线的距离： ，画出图形.3、如图，在Rt △ABC 中，∠D ＝90°∠Ａ＝45°，∠CBD=60°，AB=20，求CD 的长度·探究新知:一、探究货船在何时有触礁的危险问题：海中有一个小岛A ，它的周围10海里内有暗礁。

今有货船由西向东航行，开始在A 岛南偏西45°的B 处，往东航行20海里后到达该岛南偏西30°的C 处。

之后，货船继续向东航行。

你认为货船继续向东航行途中会有触礁的危险吗？与同桌进行交流。

分析：下面两图有无触礁的危险？友情提示：点A 到航线的最短距离是AD ，如果船在D 处没有危险，在其它地方会有危险吗？思考：AD 为多少时货船有危险?二、计算并判断货船是否有触礁的危险。

（写出完整的解题步骤）三、归纳小结：解决＂触礁＂问题：1、从题中寻找危险半径r ；2130︒60︒BC D A · l第2题C B A 2、作垂线段：过 点向 作垂线段；3、通过解直角三角形求最小距离h;4、判断有无危险：当h r 时，有危险，当h r 时，没有危险。

巩固新知某船向正东方向航行，在A 处望见某岛C 在北偏东60°，前进6海里到B 点，测得该岛在北偏东30°，已知该岛周围6海里内有暗礁，问船继续向东航行，有无触礁的危险吗？【友情提示】求线段的长度一般放在直角三角形中，利用三角函数或勾股定理，若不能直接求出，需要运用方程的数学思想方法解决。

山东省威海市文登区文登七里汤中学、文登实验中学、文登二中2023-2024学年七年级（五四学制）上学期期中语文试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．选出加点字注音完全正确的一项( )A．难堪．(kān)收敛．(liǎn)绽．开(dìng)栅．栏(zhà)B．枉．然(wáng)倏．忽(shū)自卑．(béi)争执．(zhí)C．屋檐．(yán)黄晕．(yùn)发髻．(jì)笃．志(dǔ)D．搓捻．(niǎn)澄．清(dèng)感慨．(kǎi)攲．斜(jī)2．下列词语中没有错别字的一项是()A．沐浴疲倦不堪废寝忘食呼朋引伴B．清冽水波粼粼美不甚收人迹罕至C．急躁煞有介事翻来复去人声鼎沸D．诀别个得其所混为一谈不求甚解3．下面句子中加点的成语使用错误的一项是()A．今天你穿得这么花枝招展．．．．的干吗？害我差点儿没认出来。

B．这些动物对我们这些远道而来的客人并不感到惊慌，有时还站在离我们几十步远的地方众目睽睽．．．．。

C．他咄咄逼人．．．．，气得我一句话都说不出来。

D．这时我才恍然大悟．．．．，原来她一直在暗中帮我。

4．下列各句中，没有语病的一项是（）A．珍视杨绛留下的宝贵精神遗产，就是对她最真挚的怀念。

B．电视剧《欢乐颂》播出时，收视观众和点击率一路飙升，引起了业界的关注。

C．有人建议，一旦遇到雾霾天气，可采取临时交通管制、错峰上下班、停工停课。

D．徐凝的一首诗，让扬州与明月结下了难以分开的不解之缘。

5．下列说法不正确的一项是（）A．孔子，名丘，字仲尼，春秋末期思想家、政治家、教育家，是儒家学派创始人。

B．寿镜吾是《从百草园到三味书屋》中三味书屋的先生，他方正、质朴、博学、严而不厉。

C．“而立”代称三十岁，“而立之年”指有所成就的年龄；“不惑”代称四十岁，“不惑之年”指遇事能明辨不疑的年龄。

山东省文登市七里汤中学九年级数学《解直角三角形》学案4 人教新课标版一、教学目标１、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．２、应用解直角三角形有关知识，灵活解决有关问题。

并渗透数形结合、方程的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、知识链接：1．在三角形中共有几个元素？什么叫解直角三角形？2．根据下列条件，解直角三角形．反思总结：解直角三角形中你现在掌握的类型有那些？用到了那些基本知识。

三、探求新知：如图，在△ABC 中，∠Ａ＝６０度，∠B=４５°，ＡＣ＝１２，求ＡＢ的长。

jC A BD 问题１：上题中，有几个直角三角形？那一个在三角形是可解的？你的解决方案是什么？问题２、那一个三角形缺乏可解的条件？这个条件可能通过什么途径来提供？四、巩固新知：课本１９页练习第一＼二题。

习题１．８第一题一人板演。

解题反思：解决上述问题的基本方法是：解题关键是：五、运用新知：例６，在Rt △ABC 中，∠B=４７°，∠ＡＣB=１５°，ＡＣ＝６，求ＡＢ的长。

A BC D 问题一、本题是一个斜三角形，但题目包含了已知角，你觉得应用哪方面的知识来解决？问题二、你觉得应该如何加辅助线？加线的目的是什么？问题三、你觉得本题与上一题有什么共同点和不同点？解题反思：上述两题的解题思想是什么？解题方法是什么？解题关键是什么？六、反馈练习友情提示：解直解三角形要从寻找和构造可解直角三角形入手。

１９页课本随堂练习第三题，习题１．８第二题解题反思：七、回顾反思本节你学到了哪些知识？那些方法？解题思想和关键都是什么？。