信号与系统第二章1

0 • 在电系统中， 状态体现了系统储能元件 的储能情况。包括电容上的起始电压 vc (0 ) 和电感上的起始电流 iL (0 ) • 若电路中无冲激电流（或阶跃电压）作 用与电容以及无冲激电压（或阶跃电流） 作用与电感，则加入激励后，电容两端 的电压和电感两端的电流不会发生突变， 即： v (0 ) v (0 )
2.5 冲激响应与阶跃响应
• 系统在单位冲激信号的激励下产生的零 状态响应称为冲激响应。记为 h (t ) • 系统的冲激响应反映了系统本身的性质。 • 系统在单位阶跃信号的激励下产生的零 状态响应称为阶跃响应。记为 g (t • 冲激响应与阶跃响应的关系如下：)
d h(t ) g (t ) dt
并联系统的冲激响应等于各子系统的冲 激响应之和
h1 (t ) x(t )

y (t )
h2 (t )
两个子系统并联
• 结合律
[ f 1 (t ) f 2 (t )] f 3 (t ) f 1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )]
• 串联系统的冲激响应等于各子系统 的冲激响应的卷积。
f1 (t ) 1 1 2 -1 0 1
t
f 2 (t ) 2 1
t
1 0 2
1
f1 ( ) 1 1 2 -1 0 1
f 2 ( ) 2 1
f 2 ( ) 2 1
f 2 (t )
2
f1 ( )
1

1 0 2
1

-1
0 1 2

t 1
1 -1 t 2
0
1

“置换”
“反褶”
r (t ) rh (t ) rp (t )
2.3 起始点的跳变
• e(t)在t=0时加入，响应区间为 0 t (k ) • 起始状态（ r (0 ) ）：激励信号加入之 前瞬时系统的状态，它包含了为计算未 来响应的全部过去信息。 • 初始条件（ r (k ) (0 )） ：激励信号加入之 后瞬时系统的状态。它决定了完全响应 中常数的值
• 卷积是一种数学运算 • 卷积的物理意义见上节
卷积的图解法——
• 卷积图解法是借助于图形计算卷积 积分的一种基本计算方法。与解析 法相比，图解法使人更容易理解系 统零状态响应的物理意义和积分上 下限的确定。从几何意义来说，卷 积积分是相乘曲线下的面积。
• 图解法具体步骤为
图解法例题 两个信号如图，求卷积
一对共轭复根 et C cos(t ) D sin(t ) 12＝＋ j


特解由激励函数决定，表2－2 • 齐次解－自由响应，由系统本身的特性 决定。例2－3 • 特解－强迫响应，与激励函数的形式有 关。例2－4 • 系统的完全响应包括自由相应和强迫响 应两部分
rh (t ) — —齐次解 自由响应 rp (t ) — —特解 受迫响应 r (t ) 全响应
n
kt
B(t )
其中B(t)为特解。
• 线性与时不变性 若系统的起始状态为零，则由常系 数线性微分方程描述的系统是线性 的和时不变的。若起始状态不为零， 由于响应中零输入分量的存在。使 得系统响应对外加激励不满足叠加 性与均匀性，也不满足时不变特性， 同时也是非因果的。
• 全响应还可以分解为瞬态响应与稳 态响应之和的形式。 • 瞬态响应：当t趋于无穷大时，响应 趋于零的那部分响应。 • 稳态响应：当t趋于无穷大时，保留 下来的那部分响应。
形式为：
rzi (t ) Azik e
k 1
n
kt
其中常数可由
r (0 )
(k )
确定。
• 零状态响应 不考虑起始时刻系统储能的作用（起始 状态等于零），有系统的外加激励信号 所产生的响应。他是满足方程2-29且起 始状态为零的解，形式为：
rzs (t ) Azsk e
k 1
例

u s (t )
i (t )
L
C

R
+ e(t) -
LC
d 2 u c (t ) dt 2
duc (t ) RC u c (t ) u s (t ) dt
若选
i(t ), uc (t )
作为输出，则系统的状态方程为：
duc (t ) 1 i (t ) dt c di 1 R 1 uc i (t ) u s dt L L L
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1 引 言
• • • • 求解微分方程 零状态响应 零输入响应 卷积
2.2 微分方程的建立与求解
• 微分方程的建立 不同的物理系统，经过抽象和近似，有 可能得到形式上完全相同的数学模型。 例2-1 例2-2
例
S (t=0)
RC电路的零输入响应：
u c (0 ) U 0
一阶微分方程组
线性常系数微分方程的求解
一般，对于一个线性时不变系统，其输入与 输出之间关系，总可以用下列形式的微分方程来 描述（ 0 Βιβλιοθήκη Baidut ）：
d nr d n1r dr an1 n1 .... a1 a0 r n dt dt dt d me d m 1e de bm m bm 1 m 1 ... b1 b0 e dt dt dt
C
u c (t )
R
i (t )
duc (t ) RC uc (t ) 0 dt u c (0 ) U 0
物体的减速运动：
（1－1）
M
u(t)（速度） M Bu(t)(摩擦力）
du(t ) Bu(t ) 0 dt u (0) U 0 (初速度）
（1－2）
对于较复杂的系统，同一系统模型可有多 种不同的数学表现形式。 • 高阶微分方程 --------------称为输入/输出 方程 • 状态方程 ---------------适合于多输入多输 出系统分析（一阶微分方程组）
• 卷积的微分和积分
• 证明见2-48，2－50 • 同理可以导出卷积的高阶导数和多重积 分
• 与冲激函数的卷积
f (t ) (t ) f (t )
f (t )
f (t )
( 1)
(1)
(t ) f
(1)
(t )
( 1)
(t ) f (t ) u(t ) f

e( )H (t ).d

e( )h(t ).d

例2-9与例2-10
2.6 卷 积
• 两个信号卷积的定义为：
f (t )


f1 ( ) f 2 (t )d
f1 (t ) f 2 (t ) f 2 (t ) f1 (t )
c c

iL (0 ) iL (0 )
• 例2－5 • 冲激函数匹配法（列 t=0时刻微分方 程） 原理：t=0时刻微分方程两端的冲激 函数及其各阶导数平衡相等。 求解线性常系数微分方程流程图见 图2－5（p54）
2.4 零输入响应与零状态响应
• 零输入响应 没有外加激励信号的作用，只有系统起 始时刻的储能（起始状态）所产生的响 应。它是满足方程2-27及起始状态的解。
“平移”1
f 2 (t )
2 1
f 2 (t ) 2 1 0.5 f1 ( ) 0.5 11 t 2 2 1
f1 ( )
f 2 (t ) 2 1 0.5 f1 ( )
f 2 (t )
f1 ( )
0.5 1 1 0 t 1 -1 t 2

-1 t 1 0
全响应=
零输入响应 + 零状态响应 （解齐次方程） （叠加积分法）
• 齐次解与特解 齐次解满足齐次方程。 t 齐次解的形式满足为 Ae α的值由特征方程2－11决定 A由求解区间内的边界条件决定。
不同特征根所对应的齐次解
特征根
单实根 m重实根
齐次解rh (t )
Ce t Cm 1t m 1e t Cm 2t m 2 e t C1t e t C0 e t
(t )
f (t T1 ) (t T2 ) f (t T1 T2 )
• 利用卷积的性质可以简化卷积运算，见 书p67

-1
0 t 1 1

t 1 2
-1
0
1 t 1

t 1 2
“平移”2
“平移”3
“平移”4
“平移”5
y (t )
15 8 9 8 -1 0
t

3 2
1 2
2
2.7 卷积的性质
• 卷积代数 交换律 f 1 (t ) f 2 (t ) f 2 (t ) f 1 (t ) 分配律
f 1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )] f 1 (t ) f 2 (t ) f 1 (t ) f 3 (t )
g (t ) h( )d

t
• 求解方程2-37且满足起始状态为零即 可以求得系统的冲激响应。 • 利用冲激响应可以求得LTI系统对任 意激励 e(t)的响应。
e(t ) e( ) (t ).d


r (t ) H e(t H e( ) (t ).d
n阶常系数微分方程
• 线性常系数微分方程描述的系统为时不变系统 • 起始状态为零时才是线性时不变系统 • 增量线性系统——任意两个激励信号产生的两 个响应之差是两激励信号之差的系统。
n阶常系数微分方程的求解法
微分方程求解
时域分析法 （经典法）
变换域法 （第五章拉普拉斯变换法）
全响应= 齐次方程通解 + 非齐次方程特解 （自由响应） （受迫响应）