初中,数学,八年级,上册,知识点,梳理,人教,版,第十一章 三角形
11.1 与三角形有关的线段
一、三角形的边
三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。
注意点：
（1）三条线段（2）不在同一直线上（3）首尾顺次相接
三角形的表示：三角形用符号“△”表示，记作“△ ABC”，
读作“三角形ABC”，除此△ ABC还可记作△BCA,
△ CAB, △ ACB等.
三角形的分类：
等腰三角形：两边相等的三角形叫等腰三角形。相等的两边都叫腰，另一边叫做底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
三角形中三边的关系：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。（在做题时，不仅要考虑到两边之和大于第三边，还必须考虑到两边之差小
于第三边.）
二、三角形的高、中线与角平分线
三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称三角形的高。
1、
2、 直角三角形的三条高交于直角顶点.
三角形的三条高的特性
11.2 与三角形有关的角
四、三角形的内角
三角形的内角：三角形两边的夹角叫做三角形的内角。
直角三角形的两个锐角互余.
由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形。
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC也可以写成Rt△ABC.
例：已知△ABC中,∠ABC＝∠C=2∠A ,BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。
A
D
B C
小结：由三角形内角和等于180°，可得出
(1)直角三角形两锐角互余；
(2)一个三角形最多有一个直角或钝角；
(3)任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；
(4)一个三角形中至少有一个角小于或等于60°。
五、三角形的外角
三角形的外角：三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角．三角形的外角和等于360°。
三角形外角的两条性质：
1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
11.3 多边形及其内角和
六、多边形
多边形：在平面内，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
多边形的内角和外角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. n边形有n个内角，2n个（n对）外角
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
正多边形：如果多边形的各个角都相等，各条边都相等，那么就称它为正多边形.
多边形的内角和
与外角和：一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，它们将n边形分为(n-2)个三角形，n边形的内角和等于（n－2）?180°.多边形的外角和等于360o.
第十二章 全等三角形
一、全等三角形
全等形：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合。能够完全重合的两个图形叫做全等形。两个图形全等，它们的形状一定相同 ，大小一定相等！
全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。其中：互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形全等。
全等的表示：.“全等”用符号“ ≌ ”来表示，读作全等于。书写全等式时要求把对应字母放在对应的位置上
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.
二、全等三角形的判定
判定定理1：三边对应相等的两个三角形全等。（简写为“边边边”或“SSS”）
判定定理2：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。（简写为“边角边”或“SAS”）
判定定理3：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.(简写成“角边角”或“ASA”）
判定定理4：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。(简写成“角角边”或“AAS”）
判定定理5（直角三角形）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（简写成“斜边、直角边”或“HL”）
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；
②三角形全等书写三步骤：
写出在哪两个三角形中
摆出三个条件用大括号括起来
写出全等结论
求证：△ABC≌ △ADC
证明：在△ABC和△ADC中
AB=AD (已知)
BC=DC （已知）
AC=AC （公共边）
∴ △ABC ≌ △ADC（SSS）
尺规作角的平分线：
1． 以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，
交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
2． 分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ
的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
1、 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD＝QE
2、角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．
第十三章 轴对称
一、轴对称
轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形。这条直线是这个图形的对称轴。
轴对称：平面
上的两个图形，将其中一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称， 简称轴对称,这条直线叫对称轴。两个图形中的对应点（即两图形重合时互相重合的点）叫做关于这条直线的对称点。
注意：如果一点在对称轴上，它的对称点就是它本身。
例：判断：
1、轴对称图形必有对称轴 （ ）
2、轴对称图形至少有一条对称轴 （ ）
3、关于某直线成轴对称的两个图形必能互相重合（ ）
4、两个完全互相重合的图形必是轴对称（ ）
垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
图形轴对称的性质：
1、 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
2、 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
二、线段的垂直平分线的性质：
1、 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
2、 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
尺规作线段的垂直平分线（p63）
三、画轴对称图形
例：如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC
关于直线l对称的图形。
作法：
（1） 过点A作直线l的垂线，垂足为点O，在垂
线上截取OA′=OA，点A′就是点A关于直
线l的对称点。
（2） 过点B作直线l的垂线，垂足为点P，在垂线
上截取PB′=PB，点B′就是点B关于直线l的对称点。
（3） 过点C作直线l的垂线，垂足为点M，在垂线上截取MC′=MC，点C′就是点C关于直线l的对称点。
（4） 连接A′B′、B′C′、C′A′，得到△A′B′C′即为所求。
作图步骤：
1、找特征点 2、作垂线 3、截取等长 4、依次连线
四、等腰三角形
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做
底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
等腰三角形的性质：
性质1：等腰三角形的两底角相等。（简写成“等边对等角” ）
性质2：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。（简称“三线合一” ）
例：在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ ABC各角的度数
解:AB=AC,BD=BC=AD,
∠ ABC= ∠ C= ∠ BDC
∠ A= ∠ ADD(等边对等角)
设A=x,则
∠ BDC= ∠ A+ ∠ ABD=2x
从而∠ ABC= ∠ C= ∠ BDC=2x
于是在△ ABC中,有
∠ A+ ∠ ABC+ ∠ C=x+2x+2x=1800.
解得x=360
在△ ABC中, ∠ A=360 ∠,ABC= ∠ C=720
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简写成“等角对等边”）
五、等边三角形
等边三角形：三边相等的三角形，叫做等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。
等边三角形的性质：
（1） 边三角形的三边都相等；
（3） 等边三角形的内角都相等,且都等于60 °。
等边三角形的判定定理：
1、三边相等的三角形是等边三角形.
2、三个内角都等于60 °的三角形是等边三角形.
3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.