2020年上海市高三数学一模分类汇编：集合与命题

上海市杨浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析2019. 12一、填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分,共54分)1. 函数2()f x x =的定义域为______2. 关于x 、y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为______ 3. 已知函数()f x 的反函数12()log f x x -=，则(1)f -=______4. 设a ∈R ，2(1)i a a a a --++为纯虚数（i 为虚数单位），则a =______5. 己知圆锥的底面半径为1cm ，侧面积为22cm π，则母线与底面所成角的大小为______6. 已知7(1)ax+二项展开式中3x 的系数为280，则实数a =______7. 椭圆22194x y +=焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，若PF =15，则12cos F PF ∠=______8. 已知数列{n a }的通项公式为1(2)1()32n n n n a n -≤⎧⎪=⎨≥⎪⎩(n ∈N *)，n S 是数列{n a }的前n 项和.则lim n x S →∞=______ 9. 在直角坐标平面xOy 中，A (-2,0)，B (0,1)，动点P 在圆C ：222x y +=上，则 PA PB ⋅的取值范围为______10. 已知六个函数：①21y x=；②cos y x =；③12y x =；④arcsin y x =；⑤1lg()1x y x+=-；⑥1y x =+.从中任选三个函数，则其中既有奇函数又有偶函数的选法有______种11. 已知函数1|1()|xf x =-，（0x >），若关于x 的方程[]2()()230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为______12. 向量集合S ={(),|,,a a x y x y =∈R }，对于任意α、S β∈,以及任意λ∈(0,1)，都有()12S λαβ+-∈，则称S 为“C 类集”.现有四个命题：①若S 为“C 类集”，则集合M ={,|a a S R μμ∈∈}也是“C 类集”； ②若S 、T 都是“C 类集”，则集合M ={|,a b a S b T +∈∈}也是“C 类集”； ③若1A 、2A 都是“C 类集”，则12A A 也是“C 类集”；④若1A 、2A 都是“C 类集”，且交集非空，则12A A 也是“C 类集”. 其中正确的命题有______二、选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13. 已知实数a 、b 满足a b >，则下列不等式中恒成立的是( )A. 22a b >B. 11a b< C. |a ||b |> D. 22a b > 14. 要得到函数2sin(2)3y x π=+的图象，只要将2sin2y x =的图象( )A. 向左平移6π个单位B. 向右平移6π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位 15. 设1z 、2z 为复数，则下列命题中一定成立的是( )A. 如果120z z ->，那么12z z >B. 如果12z z =，那么12z z =±,C. 如果12||1z z >，那么12z z >D. 如果22120z z +=,那么120z z == 16. 对于全集R 的子集A ，定义函数1(()0())A x f x x A A ⎧=∈⎨⎩∈R为A 的特征函数.设A 、B 为全集R 的子集，下列结论中错误的是( )A. 若A B ∈，则()()A B f x f x ≤B. ()1()A A f x f x =-RC. ()()()A A B B f x f x f x =⋅D. ()()()A A B B f x f x f x =+三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)17. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，AB =P A =1，AD =3，E 、F 分别为棱PD 、P A 的中点.(1)求证：B 、C 、E 、F 四点共面；(2)求异面直线PB 与AE 所成的角.18. 已知函数()22x xa f x =+，其中a 为实常数. (1) (0)7f =，解关于x 的方程()5f x =；(2) 判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由.19. 东西向的铁路上有两个道口A 、B ，铁路两侧的公路分布如图，C 位于A 的南偏西15°，且位于B 的南偏东15°方向，D 位于A 的正北方向，AC =AD =2km ，C 处一辆救护车欲通过道口前往D 处的医院送病人，发现北偏东45°方向的E 处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为60 km /h .(1) 判断救护车通过道口A 是否会受到火车影响，并说明理由；(2) 为了尽快将病人送到医院，救护车应选择A 、B 中的哪个道口?通过计算说明.20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，己知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点A 是第一象限内抛物线C 上的一点，点D 的坐标为(,0t )，0t >,(1)若||5OA =，求点A 的坐标；(2)若△AFD 为等腰直角三角形，且FAD ∠=90o ，求点D 的坐标；(3)弦AB 经过点D ，过弦AB 上一点P 作直线x t =-的垂线，垂足为点Q ，求证：“直线QA 与抛物线相切” 的一个充要条件是“p 为弦AB 的中点”.21. 已知无穷数列{n a }的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，均有210n S -≥，20n S ≤,则称数列{n a }具有性质P .(1) 判断首项为1，公比为2-的无穷等比数列{n a }是否具有性质P ，并说明理由；(2) 已知无穷数列{n a }具有性质P ，且任意相邻四项之和都相等，求证：40S =；(3) 已知21n b n =-，n ∈N *,数列{n c }是等差数列，122n n n b n a c n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，若无穷数列{n a }具有性质P ，求2019c 的取值范围.上海市杨浦区2020届高三一模数学试卷及详细解析。

2020年一模汇编——解析几何一、填空题【普陀1】若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 为___________.【答案】2【解析】抛物线的性质：p=1，所以m=2【黄浦3】抛物线28x y =的焦点到准线的距离为___________. 【答案】4【解析】由题抛物线的焦点为(0,2)，准线为直线2x =-，易得焦点到准线的距离为4【青浦3】直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是【答案】6π 【解析】设夹角为θ，则23213cos =⨯=θ，故夹角6πθ=【静安3】若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32和152则1l 与2l 的夹角为_____.【答案】60【解析】1801523260-+=【静安4】若直线l 的一个法向量为(2,1)n =，则若直线l 的斜率k =_____. 【答案】2-【解析】(2,1)n =，则单位向量(1,2)d =-，221k ==-【宝山5】以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 .【答案】9)23(22=++y x【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 【松江5】已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1=PF【答案】4【解析】由椭圆定义得：1226PF PF a +==，又122PF PF =，联立得：1=PF 4【虹口6】抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为_________. 【答案】1【解析】抛物线26x y =的焦点为)23,0(，焦点到直线3410x y +-=的距离33041215d ⨯+⨯-==【杨浦7】椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c ==，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅【奉贤7】若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为则该双曲线的标准方程为____________.【答案】2219y x -=±【解析】根据双曲线的渐近线方程为3y x =±，可知3b a =或3ab=；由焦距为得出c =222c a b =+，求得,,a b c 的值【普陀8】设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=＞，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP △是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA →→=，则Γ的长轴长等于_________.【答案】【解析】由题知(),0A a -、()0,P a ，设(),Q x x a +，有(),PQ x x =、(),QA a x x a =----， 所以()2x a x =⋅--，解得23x a =-，将(),Q x x a +代入2221x y a +=得22211210x ax a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，整理得Γ的长轴长2a = 【崇明8】若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是__________．【答案】116922=-y x 【解析】由题意得3=a ，5210=÷=c ，16222=-=a c b ，标准方程为116922=-y x【杨浦9】在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为___________.【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=-，22222cos 2sin PA PB θθθθ⋅=++，22)PA PB θθθϕ⋅=+=++，【崇明9】已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于___________.【答案】81 【解析】两直线互相垂直得1121-=-⋅-ba ，b a 21-=，代入得b b ab )21(-=， 0,0a b >>，最小值为81【宝山9】已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为___________.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=【奉贤9】设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，6ON =，5ON OM =，过点M 作1MM x ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设11OT M M N N =+，则点T 的轨迹方程是______________.【答案】22536x y +=05x x ⎛≠≠ ⎝⎭且【解析】设(),T x y ，点()11,N x y ，则()11,0N x ，又1111,OM y M y ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭11,0M M ⎫=⎪⎭，()110,N N y =，于是1111,OT M M N N x y ⎫=+=⎪⎭，由此能求出曲线C的方程。

2020年上海市黄浦区高考一模数学试卷1.（2020·上海黄浦区·模拟）设集合A={x∣ (x+1)(x−2)<0}，集合B={x∣ 1<x<3}，则A∪B=．2.（2020·上海黄浦区·模拟）已知z=(a−i)(1+i)（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则a=．3.（2020·上海黄浦区·模拟）抛物线x2=8y的焦点到准线的距离为．4.（2020·上海黄浦区·模拟）(x2−1x )8的展开式中x的系数为．（用数字作答）5.（2020·上海黄浦区·模拟）设θ为第二象限的角，sinθ=35，则tan2θ的值为．6.（2020·上海黄浦区·模拟）母线长为3，底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为．7.（2020·上海黄浦区·模拟）若无穷等比数列{a n}满足：a2a3=a4，a5=116，(n∈N∗)，则数列{a2n−1}的所有项的和为．8.（2020·上海黄浦区·模拟）四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是．（结果用数字作答）9.（2020·上海黄浦区·模拟）已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120∘，则E的两条渐近线的夹角为．10.（2020·上海黄浦区·模拟）已知函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称，若f(x)=x+log2(2x+2)，则满足f(x)>log23>g(x)的x的取值范围是．11.（2020·上海黄浦区·模拟）设函数y=f(x)的定义域为D，若对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f(x1)⋅f(x2)=1，则称函数f(x)具有性质M．下列结论：①函数y=x3−x具有性质M；②函数y=3x+5x具有性质M；③若函数y=log8(x+2)，x∈[0,t]具有性质M，则t=510；④若y=3sinx+a4具有性质M，则a=5．其中正确结论的序号是．12.（2020·上海黄浦区·模拟）已知正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为2，点P是该正六边形边上的动点，记σ=A1P⋅A2P+A2P⋅A3P+A3P⋅A4P+A4P⋅A5P+A5P⋅A6P+A6P⋅A1P，则σ的取值范围是．13.（2020·上海黄浦区·模拟）方程∣∣∣2x13x∣∣∣=5的解集是( )A．{2}B．{2,−2}C．{1,−1}D．{i,−i}14.（2020·上海黄浦区·模拟）将函数y=sin(4x+π3)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π3个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为( )A．x=−π12B．x=π16C．x=π4D．x=π215.（2020·上海黄浦区·模拟）若函数f(x)的定义域为R，则“f(x)是偶函数”是“f(∣x∣)=f(x)对切x∈R恒成立”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16.（2020·上海黄浦区·模拟）设曲线E的方程为4x2+9y2=1，动点A(m,n)，B(−m,n)，C(−m,−n)，D(m,−n)在E上，对于结论：①四边形ABCD的面积的最小值为48；②四边形ABCD外接圆的面积的最小值为25π，下面说法正确的是( )A．①错，②对B．①对，②错C．①②都错D．①②都对17.（2020·上海黄浦区·模拟）在三棱锥P−ABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB=3，PC=4，且三棱锥P−ABC的体积为10．(1) 求点A到直线BC的距离．(2) 若D是棱BC的中点，求异面直线PB，AD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18.（2020·上海黄浦区·模拟）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且acosC=(2b−c)cosA．(1) 若AB⋅AC=3，求△ABC的面积．(2) 若∠B<∠C，求2cos2B+cos2C的取值范围．19.（2020·上海黄浦区·模拟）某研究所开发了一种新药，测得成人注射该药后血药浓度y（微克/毫升）与给药时间x（小时）之间的若干组数据，并由此得出y与x之间的一个拟合函数y= 40(0.6x−0.62x)(x∈[0,12])，其简图如图所示，试根据此拟合函数解决下列问题：(1) 求药峰浓度与药峰时间（精确到 0.01 小时），并指出血药浓度随时间的变化趋势；(2) 求血药浓度的半衰期（血药浓度从药峰浓度降到其一半所需要的时间）（精确到 0.01 小时）．20. （2020·上海黄浦区·模拟）已知椭圆 C 的中心在坐标原点焦点在 x 轴上，椭圆 C 上一点A(2√3,−1) 到两焦点距离之和为 8．若点 B 是椭圆 C 的上顶点，点 P ，Q 是椭圆 C 上异于点 B 的任意两点． (1) 求椭圆 C 的方程；(2) 若 BP ⊥BQ ，且满足 3PD⃗⃗⃗⃗⃗ =2DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的点 D 在 y 轴上，求直线 BP 的方程； (3) 若直线 BP 与 BQ 的斜率乘积为常数 λ(λ<0)，试判断直线 PQ 是否经过定点．若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．21. （2020·上海黄浦区·模拟）对于数列 {a n }，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称 {a n } 为 P 数列．(1) 若 {a n } 的前 n 项和 S n =3n +2，试判断 {a n } 是否是 P 数列，并说明理由．(2) 设数列 a 1，a 2，a 3，⋯，a 10 是首项为 −1，公差为 d 的等差数列，若该数列是 P 数列，求 d 的取值范围．(3) 设无穷数列 {a n } 是首项为 a ，公比为 q 的等比数列，有穷数列 {b n }，{c n } 是从 {a n } 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为 T 1，T 2，求 {a n } 是 P 数列时 a 与 q 所满足的条件，并证明命题“若 a >0 且 T 1=T 2，则 {a n } 不是 P 数列”．答案1. 【答案】(−1,3)【解析】因为A={x∣ −1<x<2}，B={1<x<3}，所以A∪B=(−1,3)．【知识点】交、并、补集运算2. 【答案】−1【解析】因为z=(a−i)(1+i)=(a+1)+(a−1)i为纯虚数，所以{a+1=0, a−1≠0,即a=−1．【知识点】复数的乘除运算3. 【答案】4【解析】抛物线x2=8y，所以p=4，抛物线x2=8y的焦点到准线的距离是：4．【知识点】抛物线的概念与方程4. 【答案】−56【解析】(x2−1x )8的展开式通项为T r+1=C8r(x2)8−r(−1x)r=(−1)r C8r x16−3r，令16−3r=1，可得r=5，所以在(x2−1x )8的展开式中，x的系数是(−1)5C85=−56．【知识点】二项式定理的通项5. 【答案】−247【解析】因为θ为第二象限的角，sinθ=35，所以cosθ=−√1−sin2θ=−45，所以tanθ=sinθcosθ=−34，则tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−247．【知识点】二倍角公式6. 【答案】2π3【解析】由题意知扇形的弧长为圆锥底面周长2π，半径为圆锥的母线长为3，由弧长公式有圆心角为 2π3， 故所求扇形的圆心角为 2π3．【知识点】弧度制7. 【答案】 43【解析】根据题意，设等比数列 {a n } 的公比为 q ，若 a 2a 3=a 4，a 5=16，则有 {a 1q ×a 1q 2=a 1q 3a 1q 4=116.解可得 a 1=1，q =12，则数列 {a 2n−1} 的首项为 a 1=1，其公比为 q 2=14， 则数列 {a 2n−1} 的所有项和 S =11−14=43；故答案为：43．【知识点】等比数列的前n 项和8. 【答案】 144【解析】根据题意，分 2 步进行分析：①、将 2 名女生全排列，有 A 22=2 种情况，排好后，有 3 个空位，②、从 4 位男生中选 2 位，看成一个整体，考虑其顺序，有 C 42A 22=12 种情况，再将这个整体与其他 2 名男生全排列，安排在女生的 3 个空位中，有 A 33=6 种情况， 则一共有 2×12×6=144 种排法． 【知识点】条件排列模型9. 【答案】 90°【解析】设双曲线的方程为 x 2a 2−y 2b 2=1(a >b >0)， 设 M (m,n ) 在第一象限，A (−a,0)，B (a,0)， 由题意可得 ∣AB ∣=∣BM ∣=2a ，∠MBA =120∘， 则 m =2acos60∘+a =2a ，n =2asin60∘=√3a ， 即 M(2a,√3a)，可得4a 2a 2−3a 2b 2=1，即为 a =b ，则双曲线的渐近线方程为 y =±x ， 可得两条渐近线的夹角为 90∘． 【知识点】双曲线的简单几何性质10. 【答案】(0,log215)【解析】因为函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称，f(x)=x+log2(2x+2)，设y=x+log2(2x+2)，则y−x=log2(2x+2)，所以2y−x=2x+2，所以2y=22x+2x+1，所以2x=−2+√4+4×2y2=√1+2y−1，x=log2(√1+2y−1)．互换x，y，得g(x)=log2(√1+2x−1)，因为f(x)>log23>g(x)，所以x+log2(2x+2)>log23>log2(√1+2x−1)，解得0<x<log215．所以满足f(x)>log23>g(x)的x的取值范围是(0,log215)．故答案为：(0,log215)．【知识点】反函数11. 【答案】②③【解析】对于①，f(x)=x3−x的值域为R，则当f(x1)=0时，不存在x2，使得f(x1)⋅f(x2)=1，故①不正确；对于②，f(x)=3x+5x∈(0,+∞)，所以f(x2)=1f(x1)=13x1+5x1∈(0,+∞)，故对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f(x1)⋅f(x2)=1，故②正确；对于③，当x∈[0,t]时，y∈[13,log8(t+2)]，若满足f(x1)⋅f(x2)=1，则13×log8(t+2)=1，则log8(t+2)=3，解得t=510，故③正确；对于④，若y=3sinx+a4∈[a−34,a+34]，值域必须满足对称性，且不包含0，则a−34⋅a+34=1，解得a=±5；故④不正确．【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质12. 【答案】[30,36]【解析】建立直角坐标系，如图所示：所以A1(0,0)，A2(2,0)，A3(3,√3)，A4(2,2√3)，A5(0,2√3)，A6(−1,√3)，设点P(x,y)，所以A1P=(x,y)，A2P=(x−2,y)，A3P=(x−3,y−√3)，A4P=(x−2,y−2√3)，A5P= (x,y−2√3)，A6P=(x+1,y−√3)，所以σ=A 1P ⋅A 2P +A 2P ⋅A 3P +A 3P ⋅A 4P +A 4P ⋅A 5P +A 5P ⋅A 6P +A 6P ⋅A 1P=x (x −2)+y 2+(x −2)(x −3)+y(y −√3)+(x −3)(x −2)+(y −√3)(y −2√3)+x (x −2)+(y −2√3)2+x (x +1)+(y −2√3)(y −√3)+x (x +1)+y(y −√3)=6x 2+6y 2−12x −12√3y +36=6[(x −1)2+(y −√3)2+2],因为正六边形的中心 Q(1,√3)，所以 S =(x −1)2+(y −√3)2表示点 P (x,y ) 与点 Q(1,√3) 之间距离的平方， 所以由图可知 S 的最大值为 4，最小值为 3， 所以 σ 的最大值为 36，最小值为 30， 所以 σ 的取值范围是 [30,36]．【知识点】平面向量数量积的坐标运算13. 【答案】B【解析】根据题意得 2x 2−3=5，解得 x =±2． 【知识点】二阶行列式14. 【答案】A【解析】将函数 y =sin (4x +π3) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，可得函数 y =sin (2x +π3) 的图象；再向右平移 π3 个单位，可得函数 y =sin (2x −π3) 的图象．令 2x −π3=kπ+π2，求得 x =kπ2+5π12，k ∈Z ，再令 k =−1，可得所得函数图象的一条对称轴的方程为 x =−π12． 【知识点】三角函数的图象变换、Asin(ωx+ψ)形式函数的性质15. 【答案】C【解析】根据题意，若 f (x ) 是偶函数，当 x ≥0 时，有 f (∣x ∣)=f (x )，当 x <0时，f (∣x ∣)=f (−x )=f (x )，综合可得：f (∣x ∣)=f (x ) 对切 x ∈R 恒成立，故“f (x ) 是偶函数”是“f (∣x ∣)=f (x ) 对切 x ∈R 恒成立”的充分条件；若 f (∣x ∣)=f (x )，而函数 f (∣x ∣) 为偶函数，则函数 f (x ) 是偶函数， 故“f (x ) 是偶函数”是“f (∣x ∣)=f (x ) 对切 x ∈R 恒成立”的必要条件； 综合：“f (x ) 是偶函数”是“f (∣x ∣)=f (x ) 对切 x ∈R 恒成立”的充分必要条件． 【知识点】抽象函数、函数的奇偶性16. 【答案】D【解析】不妨设 m >0，n >0，则 S 四边形ABCD =4mn ， 因为 1=4m 2+9n 2≥2⋅2m ⋅3n ， 所以 mm ≥12，从而 S 四边形ABCD =4mn ≥48，故①对；设四边形 ABCD 外接圆半径为 r ，则 r 2=m 2+n 2=(4m2+9n 2)(m 2+n 2)=13+4n 2m 2+9m 2n 2≥25，所以四边形 ABCD 外接圆的面积 ≥25π，故②对． 【知识点】椭圆中的弦长与面积17. 【答案】(1) 在三棱锥 P −ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直， 因为 PB =3，PC =4，且三棱锥 P −ABC 的体积为 10． 所以 V P−ABC =V A−PBC =13×12×3×4⋅PA =10，解得 PA =5， 过 P 作 PO ⊥BC ，交 BC 于 O ，连接 PO ， 由三垂线定理得 AO ⊥BC ， 因为 12⋅PB ⋅PC =12⋅BC ⋅PO ，所以 PO =PB⋅PC BC=√32+42=125，所以点 A 到直线 BC 的距离：AO =√PA 2+PO 2=√25+14425=√7695． (2) 以 P 为原点，PB 为 x 轴，PC 为 y 轴，PA 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A (0,0,5)，P (0,0,0)，B (3,0,0)，C (0,4,0)，D (32,2,0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,2,−5)，设异面直线 PB ，AD 所成角的大小为 θ，则 cosθ=∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣⋅∣∣AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=923√1254=3√525． 所以异面直线 PB ，AD 所成角的大小为 arccos3√525． 【知识点】线面角、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）18. 【答案】(1) 因为 acosC =(2b −c )cosA ，所以由正弦定理可得 sinAcosC =(2sinB −sinC )cosA ， 可得 sinAcosC +sinCcosA =sin (A +C )=sinB =2sinBcosA ， 因为 B 为三角形内角，sinB ≠0， 所以 cosA =12， 又因为 A ∈(0,π)， 所以 A =π3，因为 AB ⋅AC =bccosA =12bc =3，可得 bc =6，所以 S △ABC =12bcsinA =12×6×√32=3√32． (2) 因为 ∠B <∠C ，C =2π3−B ，可得 B ∈(0,π3)，所以 2B +π6∈(π6,5π6)，所以 cos (2B +π6)∈(−√32,√32)， 所以2cos 2B +cos 2C =1+cos2B +1+cos2C 2=32+cos2B +12cos2(2π3−B)=32+cos2B −14cos2B −√34sin2B =32+√32cos (2B +π6)∈(34,94),所以 2cos 2B +cos 2C 的取值范围 (34,94)． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、正弦定理19. 【答案】(1) 由 y =40(0.6x −0.62x )(x ∈[0,12])， 令 0.6x =t ，t ∈[0.612,1]，则 y =40(0.6x −0.62x )=40(−t 2+t )，所以当t=12∈[0.612,1]，即0.6x=12，x=−lg2lg2+lg3−1≈1.36时，y有最大值为10．故药峰浓度为10，药峰时间为1.36小时；由图象可知，注射该药后血药浓度逐渐增加，到1.36小时时达到峰值，然后血药浓度逐渐降低．(2) 在y=40(0.6x−0.62x)中，取y=5，得40(0.6x−0.62x)=5，即−8t2+8t−1=0，解得t=2−√24或t=2+√24（舍），即0.6x=2−√24≈0.147，得x=lg0.147lg0.6≈3.72，故血药浓度的半衰期为3.72−1.36=2.36小时．【知识点】函数模型的综合应用20. 【答案】(1) 由题意设椭圆的方程为：x2a2+y2b2=1，由题意知：2a=8，12a2+1b2=1，解得：a2=16，b2=4，所以椭圆的方程为：x 216+y24=1；(2) 由（1）得B(0,2)显然直线BP的斜率存在且不为零，设直线BP为：y=kx+2，与椭圆联立整理得：(1+4k2)x2+16kx=0，x=−16k1+4k2，所以P(−16k1+4k2,2−8k21+4k2)；直线BQ:y=−1kx+2，代入椭圆中：(4+k2)x2−16kx=0，同理可得Q(16k4+k2,2k2−84+k2)，足3PD⃗⃗⃗⃗⃗ =2DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得，所以3(x D−x P)=2(x Q−x D)，所以5x D=2x Q+3x P=32k4+k2−48k1+4k2，由于D在y轴上，所以x D=0，所以32k4+k2=48k4+k2，解得：k2=2，所以k=±√2，所以直线BP的方程为：y=±√2x+2；(3) 由（2）得，当直线PQ的斜率不存在时，设直线PQ的方程：x=t，P(x,y)，Q(xʹ,yʹ)，与椭圆联立得：4y2=16−t2，yyʹ=t2−164，xxʹ=t2，k BP ⋅k BQ =y−2x ⋅yʹ−2xʹ=yyʹ−2(y+yʹ)+4xxʹ=1,要使是一个常数 λ，λ<0，所以不成立．当直线 PQ 斜率存在时，设直线 PQ 的方程为：y =kx +t ，设 P (x,y )，Q (xʹ,yʹ)， 与椭圆联立整理得：(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−16=0，x +xʹ=−8kt1+4k 2，xxʹ=4t 2−161+4k 2，所以 y +yʹ=k (x +xʹ)+2t =2t1+4k 2， 所以k BP ⋅k BQ =y−2x ⋅yʹ−2xʹ=yyʹ−2(y+yʹ)+4xxʹ=t−24(t+2),所以由题意得：t−24(t+2)=λ，解得：t =1+8λ1−4λ， 所以不论 k 为何值，x =0 时，y =1+8λ1−4λ， 综上可知直线恒过定点 (0,2+8λ1−4λ)．【知识点】直线与椭圆的位置关系、抛物线中的动态性质证明21. 【答案】(1) 因为 S n =3n +2，所以 a n =S n −S n−1=2⋅3n−1(n ≥2)， 当 n =1 时，a 1=S 1=5， 故 a n ={5,n =12⋅3n−1,n ≥2， 那么当 k ∈N ∗ 时，a k+1−S k =2⋅3k −3k −2=3k −2>0，符合题意， 故数列 {a n } 是 P 数列．(2) 由题意知，该数列的前 n 项和为 S n =−n +n (n−1)2d ，a n+1=−1+nd ，由数列 a 1，a 2，a 3，⋯，a 10 是 P 数列，可知 a 2>S 1=a 1，故公差 d >0，S n −a n+1=d2n 2−(1+32d)n +1<0 对满足 n =1,2,3⋯⋯,9 的任意 n 都成立，则d 2⋅92−9(1+32d)+1<0，解得 d <827，故 d 的取值范围为 (0,827)．(3) ①若 {a n } 是 P 数列，则 a =S 1<a 2=aq ，若 a >0，则 q >1，又由 a n+1>S n 对一切正整数 n 都成立，可知 aq n >a ⋅q n −1q−1，即 2−q <(1q )n对一切正整数 n 都成立，由 (1q )n>0，lim n→∞(1q)n=0，故 2−q ≤0，可得 q ≥2，若 a <0，则 q <1，又由 a n+1>S n 对一切正整数 n 都成立，可知 aq n>a ⋅q n −1q−1，即(2−q )q n <1 对一切正整数 n 都成立，又当 q ∈(−∞,−1] 时，(2−q )q n <1 当 n =2 时不成立， 故有 {q ∈(0,1),(2−q )q <1 或 {q ∈(−1,0),(2−q )q 2<1,解得 q ∈(1−√52,0)∪(0,1)，所以当 {a n } 是 P 数列时，a 与 q 满足的条件为 {a >0,q ≥2 或 {a <0,q ∈(1−√52,0)∪(0,1);②假设 {a n } 是 P 数列，则由①可知，q ≥2，a >0，且 {a n } 中每一项均为正数，若 {b n } 中的每一项都在 {c n } 中，则由这两数列是不同数列，可知 T 1<T 2； 若 {c n } 中的每一项都在 {b n } 中，同理可得 T 1>T 2；若 {b n } 中至少有一项不在 {c n } 中且 {c n } 中至少有一项不在 {b n } 中，设 {b n ʹ}，{c n ʹ} 是将 {b n }，{c n } 中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为 {T 1ʹ}，{T 2ʹ}，不妨设 {b n ʹ}，{c n ʹ} 中最大的项在 {b n ʹ} 中，设为 a m (m ≥2)， 则 T 2ʹ≤a 1+a 2+⋯⋯+a m−1<a m ≤T 1ʹ，故 T 2ʹ<T 1ʹ， 故总有 T 1≠T 2 与 T 1=T 2 矛盾，故假设错误， 原命题正确． 【知识点】数列创新题。

上海市宝山区2020届高三一模数学试卷2019.12一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.若(1i)2i z +=（i 是虚数单位），则||z =2.已知4251λλ-=-，则λ=3.函数13x y -=（1x ≤）的反函数是4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有场球赛5.以抛物线26y x =-的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是6.在53(1)(1)x x -+的展开式中，3x 的系数为7.不等式22|2|36x x x x -->--的解集是8.已知方程220x kx -+=（k ∈R ）的两个虚根为1x 、2x ，若12||2x x -=，则k =9.已知直线l 过点(1,0)-且与直线20x y -=垂直，则圆22480x y x y +-+=与直线l 相交所得的弦长为10.有一个空心钢球，质量为142g ，测得外直径为5cm ，则它的内直径是cm（钢的密度为7.93/g cm ，精确到0.1cm ）11.已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n c a b =⋅，若{}n c 前三项是7、9、9，则10c =12.已知0a b >>，那么，当代数式216()a b a b +-取最小值时，点(,)P a b 的坐标为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（）A.01a << B.11a e<< C.111a e-<< D.111a e+<<14.下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（）A.2()log (41)x f x x=+- B.()||2cos f x x x =-C.2210()0x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩ D.|lg |()10x f x =15.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足的是（）A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面16.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：sin cos )a x b x x ϕ+=+，πϕπ-<<，下列判断错误的是（）A.当0a >，0b >时，辅助角arctan b a ϕ=B.当0a >，0b <时，辅助角arctan b a ϕπ=+C.当0a <，0b >时，辅助角arctan b a ϕπ=+D.当0a <，0b <时，辅助角arctanb aϕπ=-三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ︒∠=，13DD =，E 是AB 的中点.（1）求四棱锥1C EBCD -的体积；（2）求异面直线1C E 和AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18.已知函数()sin cos()cos 2f x x x x x π=++.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称中心；（2）若()f x a =在区间[0,2π上有两个解1x 、2x ，求a 的取值范围及12x x +的值.19.一家污水处理厂有A 、B 两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%.（1）A 池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A 、B 两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定.（精确到1小时）20.已知直线:l x t =(02)t <<与椭圆22:142x y Γ+=相交于A 、B 两点，其中A 在第一象限，M 是椭圆上一点.（1）记1F 、2F 是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB 过2F ，当M 到1F 的距离与到直线AB 的距离相等时，求点M 的横坐标；（2）若点M 、A 关于y 轴对称，当MAB 的面积最大时，求直线MB 的方程；（3）设直线MA 和MB 与x 轴分别交于P 、Q ，证明：||||OP OQ ⋅为定值.21.已知数列{}n a 满足11a =，2a e =（e 是自然对数的底数），且2n a +=，令ln n n b a =（n ∈*N ）.（1）证明：2n b +>；（2）证明：211{}n n n n b b b b +++--是等比数列，且{}n b 的通项公式是121[1()]32n n b -=--；（3）是否存在常数t ，对任意自然数n ∈*N 均有1n n b tb +≥成立？若存在，求t 的取值范围，否则，说明理由.上海市宝山区2020届高三一模数学试卷答案解析版2019.12一、填空题（本大题共12题，每题4分，127-每题5分，共54分）1.若i i z 2)1(=+（i 是虚数单位），则=||z .【答案】2【解析】i iiz +=+=112，得到2=||z 2.已知5124=--λλ，则=λ.【答案】3【解析】由行列式的运算得：524=---)()(λλ，即3=λ3.函数)1(31<=-x y x 的反函数是.【答案】1log 3+=xy ，]1,0(∈x 【解析】y x ,互换，13-=y x ⇒1log 3+=xy ]1,0(∈x 4.2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有场球赛.【答案】66【解析】单循环66212=C 5.以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是.【答案】9)23(22=++y x 【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 6.在)1()1(35x x +-的展开式中,3x 的系数为.【答案】9-【解析】335532359)(1xx C x C -=+-⋅7.不等式63|2|22-->--x x x x 的解集是.【答案】),4(-∞-【解析】63222-->+-x x x x ⇒4->x 8.已知方程)(022R k kx x ∈=+-的两个虚根为21,x x ，若2||21=-x x ，则=k .【答案】2±【解析】228||221±=⇒=-=∆-=-k k x x 9.已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=10.有一个空心钢球，质量为g 142，测得外直径为cm 5，则它的内直径是cm .【答案】5.4【解析】由题意得，142]3425(34[9.733=⋅-⋅x ππ⇒5.42≈x ，11.已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n b a c ⋅=，若{}n c 前三项是7、9、9，则=10c .【答案】47-【解析】z yn xn c n ++=2，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++9399247z y x z y x z y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-=351z y x ⇒352++-=n n c n ，4710-=c 12.已知0>>b a ,那么，当代数式)(162b a b a -+取最小值时，点),(b a P 的坐标为.【答案】)2,22(【解析】22()()24b a b a b a b +--≤=Q 1664)(16222≥+≥-+∴aa b a b a 当且仅当⎩⎨⎧=-=82a b a b 即⎩⎨⎧==222b a 时取等号，可求得点P 坐标二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13.若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（）【A 】01a <<【B 】11a e<<【C 】1e -1<a <1【D 】1e +1<a <1【答案】C【解析】由零点存在性定理得：1(1)(1)0a a e -+-+<解得：111a e-<<14.下列函数是偶函数，且在[0,)+∞上单调递增的是（）【A 】2()log (41)xf x x=+-【B 】()2cos f x x x=-【C 】221(0)0(0))(x x xf x x +≠=⎧⎪=⎨⎪⎩【D 】lg ()10xf x =【答案】A【解析】222411()log (41)log log (2)22x xxx xf x x +=+-==+,()()f x f x ∴-=∴是偶函数，由复合函数单调性知()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴选A15．已知平面,,αβγ两两垂直，直线,,a b c 满足,,a b c αβγ⊆⊆⊆,则直线,,a b c 不可能满足的是（）【A 】两两垂直【B 】两两平行【C 】两两相交【D 】两两异面【答案】B【解析】可以借助墙角模型16.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下:sin cos ),a x b x x ϕπϕπ+=+-<≤下列判断错误的是（）【A 】当0,0a b >>时，辅助角arctan b a ϕ=【B 】当0,0a b ><时，辅助角arctan ba ϕπ=+【C 】当0,0a b <>时，辅助角arctan ba ϕπ=+【D 】当0,0a b <<时，辅助角arctan baϕπ=-【答案】B【解析】sin cos )a xb x x x x ϕ⎫+=+=+⎪⎭其中cos b aϕϕϕ===；当0,0a b ><时，cos 0,sin 0,ϕϕϕ><∴∈Q 第四象限，所以B 错。

2020年一模汇编——客观难题一、填空题【浦东11】已知数列{}n a 中，111,(1)1n n a na n a +==++，若对于任意的[2,2]a ∈-、*n N ∈，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为_____________． 【答案】(],1-∞-【解析】111,(1)1n n a na n a +==++，则11111n n a a n n n n +=+-++，则利用累加法可得到11211n a n n +=-++，由1321t n a a n +<-⋅+，可得21ta ⋅≤，只需221221tt⎧-⋅≤⎨⋅≤⎩，得(],1t ∈-∞- 【宝山11】已知{}n a 、{}n b 均是等差数列，n n n b a c ⋅=，若{}n c 前三项是7、9、9，则=10c _________. 【答案】47-【解析】z yn xn c n ++=2，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++9399247z y x z y x z y x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-=351z y x ⇒352++-=n n c n ，4710-=c【长宁，嘉定，金山11】已知数列{}n a 满足：{}()11121,,,,n n n a a a a a a n N*+=-∈⋅⋅⋅∈，记数列{}n a 得前n 项和为n S ，若对所有满足条件的数列{}n a ，10S 的最大值为M.最小值为m ，则M+m=________. 【答案】1078【解析】21122a a a a -=⇒=，可知{}n a 一定是单调递增数列，则11n n n a a a a +≤-≤，即112n n n a a a +≤≤≤，当11,n n n n a a a n S +=+=时，取最小值此时101+1010m===552S ⨯（）当12n n a a +=时，12n n a -=，n S 取最大值此时()1010112102312M S ⋅-===- 1078M m ∴+=【徐汇11】 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N ，1(1)32n n n nS a n =-++-且12()()0a p a p --<，则实数p 的取值范围是_________.【答案】311,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意得，()()()()11111111311311+1222nn n n n n n n n n n n n n a S S a n a n a a ----⎡⎤=-=-++---++--=----⎢⎥⎣⎦当n 为偶数时，1112n n n n a a a -=+-+，即1112n n a -=-，所以1112n n a +=-（n 为奇数） 当n 为奇数时，1112n n n n a a a -=-+-+，即11132n n a --=-，所以132n n a =-（n 为偶数）于是可知奇数项11311,24n n a +⎛⎤=-∈-- ⎥⎝⎦，偶数项1113,324n n a ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，所以可知311,44p ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【杨浦11】已知函数1()1(0)f x x x=->，若关于x 的方程[]2()()230f x mf x m +++=有三个不相等的实数解，则实数m 的取值范围为 【答案】34(,]23m ∈-- 【解析】设()f x t =，则当(0,1)x ∈时，t 有两个解，当{}1[1,)x ∈⋃+∞时，t 有一个解，因为2230t mt m +++=有三个解，而一个一元二次方程最多两个解，因此这两个解一定一个在(0,1)，另一个在{}1[1,)⋃+∞，当另一个为1x =时，两根之积为0，此时32m =-，而两根之和不可能为32，矛盾，因此另一个在[1,)+∞，因此(0)0(1)0f f >⎧⎨≤⎩，即230340m m +>⎧⎨+≤⎩，所以34(,]23m ∈-- 【闵行11】若()|||3|f x x a x a =-⋅-，且[0,1]x ∈上的值域为[0,(1)]f ，则实数a 的取值范围是【答案】10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当0a =时，符合，当0a >时必有14104a a ≤⇒<≤当0a <时，()f x 单调递增，值域为()()()20,13,1f f a f ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，不符合【奉贤11】给出下列一组函数：()()212log +23f x x x =+、()()22ln 2+58f x x x =+、()()23lg 3+813f x x x =+、()()240.3log +7.46551713.931034f x x x =+，......，请你通过研究以上所给的四个函数解析式具有的特征，写出一个类似的函数解析式()2log a y Ax Bx C =++()0,1a a >≠：______________.【答案】()23log 4710y x x =++（答案不唯一） 【解析】()222,log 2610A CB y x x +==++【黄浦11】设函数()y f x =的定义域为D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，则称函数()f x 具有性质M ，下列结论：① 函数3y x x =-具有性质M ；② 函数35x x y =+具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[0,]x t ∈具有性质M ，则510t =；④若3sin 4x ay +=具有性质M ，则5a =；其中正确结论的序号是 【答案】②③【解析】①函数3y x x =-，由于(0)0f =，故不成立 ②函数35x x y =+值域(0,)+∞，所以具有性质M ③函数8log (2)y x =+，[0,]x t ∈单调递增，1(0)3f =，故()3510f t t =⇒=④若3sin 4x ay +=具有性质M ，则5a =±，故不成立 【松江11】若实数,0a b >，满足abc a b c =++，221a b +=，则实数c 的最小值为________. 【答案】22-【解析】法1（三角换元），令cos ,sin ,0,2a b πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭代入得cos sin sin cos 1c θθθθ+=-，再设sin cos t θθ=+，可知(2t ∈所以222231312t t c t t t t ===----，在(2t ∈上单调递减，故2t =时c 最小，最小为22-法2. 根据对称式的形式，大胆猜测当22a b ==时c 最小，代入得22c =-【虹口11】如图，1F 、2F 分别是双曲线222:1x C y a -=的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若2F A AB =uuu r uu u r ，120F B F B ⋅=uuu r uuu r ，则双曲线C 的焦距12||F F 为【答案】334 【解析】由2F A AB =uuu r uu u r ，120F B F B ⋅=uuu r uuu r可知22||||,F A AB F A AB =⊥uuu r uu u r uuu r uu u r得A 为2F B 的中点，O 为12F F 的中点，所以OA 为三角形12F F B 的中位线，21222||||2OAF F BF OB OF OA BOF π∴∠=∠==∴∠，，平分Q渐近线为334231=⇒==c x x a y 【静安11】设双曲线222x y a a -=1+1的两个焦点为2F 1、F ，点P 在双曲线上，若2PF PF 1⊥，则点P 到坐标原点O 的距离的最小值为________. 【答案】32【解析】22c a a =++1,12a =-时，可知min 32c =【普陀11】设P 是边长为22的正六边形123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN u u u u r u u u rg 的取值范围为____________.【答案】646,882⎡⎤-+⎣⎦【解析】构建平面直角坐标系，取MN 中点C ，∴()()PM PN PC CM PC CN ⋅=+⋅+uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r2224PC CM PC =-=-u u u r u u u r u u u r ，max ||22222PC OC =+=+u u u r ，min ||62PC OB OC =-=-uu u r ，∴2[1046,1282]PC ∈-+uu u r ，即[646,882]PM PN ⋅∈-+uuu r uuu r ，另外，本题也可利用参数方程转化为三角函数求最值问题得思路解题。

上海市2020年〖浙教版〗高三数学复习试卷第一次全国大联考文科数学参考答案及评分标准第Ⅰ卷（共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.【命题意图】本题主要考查函数的定义域、集合的运算.容易题. 【答案】C【解析】由已知得1{|}2B x x =>-，所以}2,1,0{=B A ，选C.2. 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、向量的模.容易题. 【答案】B【解析】由已知得)2,5()5,3()3,2(--=--=-=AB AC BC ， 所以||BC =29)2()5(22=-+-，故选B.3. 【命题意图】本题主要考查复数运算.容易题. 【答案】D【解析】因为i i z 31)3(-=-，所以i iiz --=-=-3313，所以i z +=6，选D. 4.【命题意图】本题主要考查对立事件的概率.中等题. 【答案】D【解析】小红、小芳、小英、小丽四个同学相互发短信共有8134=种情况，小红给小英发短信只有一种情况，所以小红不给小英发短信的概率是81808111=-.选D. 5.【命题意图】本题主要考查椭圆、抛物线的性质.中等题.【答案】B【解析】 因为抛物线cy x 22=的准线方程为2-=y ，所以22=c ，即4=c ， 因为31=e ，所以413a =，所以12=a .所以128161442=-=b ，所以椭圆的标准方程为112814422=+y x ，选B.6. 【命题意图】本题主要考查平面图形的折叠、扇形的弧长公式、圆锥的体积公式.中等题. 【答案】D【解析】 因为32120π=弧度，所以扇形的弧长为ππ2332=⨯=l ， 所以折成圆锥后底面周长为π2，底面半径1=r ，圆锥的高221322=-=h ，所以圆锥的体积ππ322221312=⋅⋅⋅=V ，选D.7.【命题意图】本题主要考查等差数列的通项公式、前n 项和公式等知识，考查运算求解能力.中等题. 【答案】C【解析】因为数列}{n a 是等差数列，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-+⨯+=⨯+.8)4(2),2233(825661111d a d a d a d a 解得⎩⎨⎧-==421d a ， 所以74)4()120(220-=-⨯-+=a ，选C.8.【命题意图】本题主要考查程序框图、当型循环结构.容易题.【答案】B【解析】由程序框图知，当0=m ，执行0412y =+=，220=+=m ；当2=m ，执行24117y =+=，422=+=m ； 当4=m ，执行441257256y =+=>， 故判断框中应填2≤m .选B.9.【命题意图】本题主要考查根据)sin()(ϕω+=x A x f 的图象求解析式、)sin()(ϕω+=x A x f 的性质.考查考生的数形结合思想与运算求解能力.【答案】D【解析】由图知，2=A ，99421ππ-=T ，所以23T π=，故A 错误； 因为点)0,9(π在函数)(x f 的图象上，所以0)93sin(2=+⨯ϕπ，因为2||πϕ<，所以3πϕ-=，所以)33sin(2)(π-=x x f .所以函数)(x f 是非奇非偶的函数.故B 错误； 由)Z (233∈+=-k k x πππ得)Z (183∈-=k k x ππ， 所以函数)(x f 的图象不关于直线3π=x 对称.故C 错误；由)Z (223322∈+≤-≤-k k x k πππππ，即)Z (185321832∈+≤≤-k k x k ππππ， 令0=k ，则18518ππ≤≤-x ， 因为]185,18[]4,0[πππ-⊆，所以选项D 正确.10.【命题意图】本题主要考查分段函数、给定函数的值求参数的值.中等题.【答案】D【解析】由已知得⎩⎨⎧=+≤-.1110,01aa 或⎩⎨⎧=+>.1)2lg(,0a a由⎩⎨⎧=+≤-.1110,01aa 可知a 无解；由⎩⎨⎧=+>.1)2lg(,0a a 得8=a ，所以11110)0()8(01=+==--f a f ，故选D.11.【命题意图】本题主要考查几何体的三视图、球体的体积.中等题. 【答案】B【解析】由三视图知，原几何体是一个球体与一个正方体组合而成，其中球的直径等于正方体的棱长4， 所以原几何体的体积为33432246433ππ⋅+=+.选B.12．【命题意图】本题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的零点.中等题. 【答案】D【解析】设6)(=m f ，则由6]log )([2=-x x f f 可得m x x f =-2log )(， 整理可得m x x f +=2log )(，则6log )(2=+=m m m f ，解得4=m ， 所以4log )(2+=x x f ，所以2ln 1)(x x f ='， 则方程4)()(='-x f x f 可化为42ln 14log 2=-+x x ，即02ln 1log 2=-x x ， 设2ln 1log )(2x x x g -=，由02ln 1)1(<-=g ，02ln 211)2(>-=g ，02ln 313log )3(2>-=g ， ⋅⋅⋅且)(x g 是增函数，可得)(x g 在)2,1(上存在零点，即方程4)()(='-x f x f 的解在区间)2,1(上， 所以1=a .故选D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.【命题意图】本题主要考查等比数列的性质、通项公式、前n 项和公式.中等题.【答案】100【解析】因为等比数列}{n a 满足5211-⋅=++n n m S ，所以n n n n n n m m m S S a 2)52(52111⋅=-⋅--⋅=-=+++，所以12-⋅=n n m a ， 因为404=a ，所以4023=⋅m ，所以5=m ， 所以=+53a a 10025251513=⋅+⋅--．14.【命题意图】本题主要考查导数的几何意义，通过切线经过点)1,0(求参数a 的值.中等题.【答案】1-【解析】因为11)(2++=x ax x f ，所以2222)1(12)1(1)1(2)(+-+=+--+='x ax ax x ax x ax x f ， 所以413)1(-='a f ，21)1(+=a f ，所以函数)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程为)1(41321--=+-x a a y ， 因为点)1,0(在切线)1(41321--=+-x a a y 上， 所以)10(413211--=+-a a ，解得1-=a . 15.【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.中等题. 【答案】5【解析】作出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≤.4,2,y x x y x y 表示的平面区域，得到如图的阴影△OAB（包括边界），易求得)34,38(A ，)2,2(B ，平移直线012=+-y x 可得当目标函数12+-=y x z 在点A 处取得最大值，所以5134382max =+-⨯=z .16.【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、性质、函数的最值.较难题. 【答案】3 【解析】因为)0(14222>=-b by x ，所以2=a ，由双曲线的定义得4||||21=-PF PF ，所以16||||2||||212221=⋅-+PF PF PF PF ，因为双曲线在第一象限一点P 满足||21||21F F OP =，所以21PF PF ⊥， 所以222214||||c PF PF =+， 所以82||||221-=⋅c PF PF ， 所以P y c PF PF ⋅⋅=⋅221||||2121， 所以cc y P 4-=，因为]2,1(∈e ，所以]2,1(2∈c ，即]4,2(∈c ， 因为函数xx y 4-=在),0(+∞上是增函数， 所以3444)(max =-=P y .三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）【命题意图】本题主要考查三角恒等变换，考查二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式、三角形的面积公式及正弦定理.中等题. 【答案】（Ⅰ）2π，)Z )(0,164(∈+k k ππ；（Ⅱ）4c =. 【解析】（Ⅰ）()f x =21sin 2cos 2sin 22x x x +-，)4x π=-，（3分）所以函数()f x 的最小正周期为242ππ==T .由)(44Z ∈=-k k x ππ,解得)(164Z ∈+=k k x ππ， 所以函数()f x 的对称中心为)Z )(0,164(∈+k k ππ.（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知)(x f )4x π=-，因为()42B f =，所以())4242B f B π=-=，所以sin()14B π-=，（8分）因为ππ<<B 2，所以34B π=.因为A C sin 2sin =，所以a c 2=，（10分） 因为422221=⋅⋅⋅=∆a a S ABC ， 所以22=a ， 所以4c =.（12分） 18.（本小题满分12分）【解题探究】本题主要考查空间中的线、面关系，四棱锥的体积.考查空间想象能力.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）3332. 【解析】（Ⅰ）因为在四边形ABCD 中，AB AD ⊥，AB DC //，DC AE =， 所以四边形AECD 是矩形，因为AE AD =，所以四边形AECD 是正方形，（3分） 所以AD EC //，因为⊂AD 平面MAD ，⊄EC 平面MAD ， 所以//EC 平面MAD . （6分）（Ⅱ）由图知三棱锥AMC B -的体积等于三棱锥ABC M -的体积.因为△MDC 是等边三角形，平面⊥MDC平面ABCD，4=DC ，所以三棱锥ABC M -底面ABC 上的高为32423=⨯，（8分） 因为四边形AECD 是边长为4的正方形， 所以AB CE ⊥，4=CE ， 又因为8=AB ，所以164821=⨯⨯=∆ABC S ，（10分） 所以三棱锥ABC M -的体积为=V 3332321631=⨯⨯， 即三棱锥AMC B -的体积为=V 3332321631=⨯⨯.（12分） 19.（本小题满分12分）【命题意图】本题主要考查线性回归方程求法及应用.考查运用数学知识解决实际问题的能力.中等题.【答案】（Ⅰ）y^13221.2x =+（Ⅱ）312.2kg . 【解析】（Ⅰ）由所给数据看出，每天需求量与年份之间是近似直线上升．为此对数据预处理如下：3-=x m 257-=y n 0=m ，2.3=n ，（3分）∧b 131013005210)1()2(2.3052921910)11()1()21()2(222222==⨯-+++-+-⨯⨯-⨯+⨯++-⨯-+-⨯-=，（6分）a ^＝-nb ^m ⋅2.30132.3=⨯-=.由上述计算结果知，所求回归直线方程为y ^=-2572.3)3(13+-x ， 即y^13221.2x =+.（10分） （Ⅱ）由（Ⅰ）y ^13221.2x =+，预测星期日的大米需求量为137221.2312.2⨯+=(kg)．（12分）20. （本小题满分12分）已知圆)0(:222>=+r r y x C 经过点)3,1(．【命题意图】本题主要考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系.较难题. 【答案】（Ⅰ）422=+y x ；（Ⅱ）02=+-y x .【解析】（Ⅰ）由圆222:r y x C =+，再由点)3,1(在圆C 上，得4)3(1222=+=r ，所以圆C 的方程为422=+y x .（3分）（Ⅱ）假设直线l 存在，设),(11y x A ，),(22y x B ， ①若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为)1(1+=-x k y ，联立⎩⎨⎧=++=-4)1(122y x x k y ，消去y 得032)1(2)1(222=-+++++k k x k k x k ，由韦达定理得222112221)1(2k k k k k x x +-+-=++-=+，222211421132k k k k k x x +-+=+-+=， 所以3142)1())(1(222121221-++=+++++=kk k x x k k x x k y y ，（6分） 因为0=•， 所以02121=+y y x x ， 所以03142142122=-++++-+kk k k ，解得1=k ， 所以直线l 的方程为11+=-x y ，即02=+-y x .（8分）②若直线l 的斜率不存在， 因为直线l 经过点)1,1(-， 所以直线l 的方程为1-=x ， 此时)3,1(-A ，)3,1(--B ， 而2)3,1()3,1(-=--•-=•， 不满足0=•.综上可知，存在直线:l 02=+-y x 满足条件.（12分） 21. （本小题满分12分）设R ∈a ,函数()ln f x x ax =-.【命题意图】本题主要考查用导数法求函数的单调性与极值，函数的零点以及不等式的证明.考查分析转化能力、分类讨论思想.较难题. 【解析】（Ⅰ）由已知得∈x ()0,+∞，()11axf x a xx-'=-=， ①若0a ≤，则()0f x '>，()f x 是区间()0,+∞上的增函数，无极值；（2分） ②若0a >，令()0f x '=，得1x a=，在区间)1,0(a上，()0f x '>，函数()f x 是增函数， 在区间),1(+∞a上，()0f x '<，函数()f x 是减函数，所以在区间()0,+∞上，()f x 的极大值为11()ln 1ln 1f a aa=-=--.（4分） 综上所述，①当0a ≤时，函数()f x 的递增区间为()0,+∞，无极值； ②当0a >时，函数()f x 的递增区间为)1,0(a，递减区间是),1(+∞a， 函数()f x 的极大值为1()ln 1f a a=--.（6分） （Ⅱ）因为0)(=e f ，所以102-=，解得a =所以()lnf x x x =， 又323()022e f e =->，5225()022e f e =-<， 所以3522()()0f e f e ⋅<，（9分）由（Ⅰ）函数()f x 在),2(+∞e 递减，故函数()f x 在区间),(2523e e 有唯一零点，因此322x e >.（12分）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

第1章 集合和命题考点解读1.理解集合的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性.在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性. （2）集合与元素的关系用符号∈和∉表示.（3）常用数集的表示符号：自然数集 N ；正整数集Z + 、N *；整数集Z ；有理数集Q 、实数集R . （4）常用数的表示： 若n 为偶数，则=n 2,k k Z ∈ ；若n 为奇数，则=n 21,k k Z -∈；若n 被3整除，则=n 3,k k Z ∈；若n 被3除余1，则=n 3-2,k k Z ∈.（5）集合的表示法：列举法 ， 描述法 ，图示法.(6)空集是指不含任何元素的集合.（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合间的关系及其运算（1）子集的定义：若集合A 的任何元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的子集，用符号表示为A B ⊆或B A ⊇.（2）真子集的定义：若集合A 是集合B 的子集，并且B 中至少一个元素不属于A ，则称集合A 是集合B 的真子集.集合A 是集合B 的真子集，用符号表示为A B ≠⊂.（3）A B ⋂={x | x A ∈且x B ∈}；A B ⋃={x | x A ∈或x B ∈}；U C A ={x | ,x A x U ∉∈}. 对于任意集合,A B ,则：①A B ⋃=B A ⋃；A B ⋂=B A ⋂；A B ⋂⊆A B ⋃； ② A B ⋂=A ⇔A B ⊆; A B ⋃=A ⇔B A ⊆； ③U U U C A C B C ⋂=(A B ⋃);U C B =()U C A B ⋂ .3．对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n 21n -22n -.两个有限集并集的元素个数公式：()Card A B ⋃=()()()Card A Card B Card A B +-⋂． 4．数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题. 5．四种命题及其相互关系 若原命题是“若p 则q ”，则逆命题为“若q 则p ”；否命题为“若p 不成立 则q 不成立” ；逆否命题为“若q 不成立 则p 不成立” .6． 反证法：当证明“若p 则q ”感到困难时，改证它的等价命题即其逆否命题.7．充要条件（1）关键是分清条件和结论（划主谓宾）；（2）如果αβ⇒，那么α是β的充分条件，β是α的必要条件； （3）如果αβ⇔，那么α是β的充分必要条件；（4）注意“β的充分条件是α”与“α是β的充分条件”在题目中的区别.【矛盾来源】①与原命题的条件矛盾；②导出与假设相矛盾的命题； ③导出一个恒假命题.【步骤】①假设结论反面成立；②从这个假设出发，推理论证，得出矛盾； ③由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确.【思考】哪些命题宜用反证法？适用于待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时.8.子集与推出关系：从集合角度解释， 若B A ⊆，则A 是B 的充分条件； 若B A ⊆，则A 是B 的必要条件； 若A B =，则A 是B 的充要条件.1.1集合及其表示法例题精讲【例1】用适当的方法表示下列集合．（1） 方程2222(1)()(2)(1)03x x x x +--+=的有理根的集合A ； （2） 坐标平面内，不在第一、第三象限的点的集合； （3） 方程组23037x y x y -=⎧⎨-=⎩的解集；（4） 到两坐标轴距离相等的点． 【参考答案】（1）这题容易错在把两个无理根2±21,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．（2）这题易错在表达不全，可以用描述法，正确答案：{}(,)0,,x y xy x R y R ≤∈∈． （3）两种表示方法，可以是{}230(,)37x y x y x y -=⎧⎨-=⎩，也可以是{（3,2）}，学生易错成{3，2}，这里要强调点集和数集的区别． （4）{}(,)x ,,x y y x y R =∈．【例2】已知集合{}13,23A x x a =≤= ） A a A ⊆ B a A ∈ C a A ∉ D {}a A ∈【参考答案】一个元素属于一个集合，用符号∈表示，有些学生会把两个符号,∈⊆用混淆，正确答案B1.2 集合之间的关系例题精讲【例1】确定整数x,y ,使{}{}4,7,2=+y x x【参考答案】根据集合相等的概念可以列出方程组，272447x x x y x y ==⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩或解得722152x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩（舍）， 【例2】已知集合2{25,1},{47,},A s s t t B y y x x x R ==+≥-==-+∈试判断A 与B 之间的关系，并说明理由．【参考答案】1,253,3t t s s s ≥-∴+≥≥∴≥Q 即3,A={},2247(2)33,3y x x x y =-+=-+≥≥∴≥Q 又即y 3,B={y }所以A=B【例3】已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}2|,C z z x x A ==∈, 且C B ⊆,求a 的取值范围【参考答案】{}|123B x x a =-≤≤+，当20a -≤≤时，{}2|4C x a x =≤≤， 而C B ⊆ 则1234,,20,2a a a +≥≥-≤≤即而 这是矛盾的； 当02a <≤时，{}|04C x x =≤≤，而C B ⊆， 则11234,,222a a a +≥≥≤≤即即； 当2a >时，{}2|0C x x a=≤≤，而C B ⊆，则223,3a a a +≥<≤即 2； ∴132a ≤≤ 1.3 集合的运算例题精讲【例1】已知集},2|{},,|{2R x y y Q R x x y y P x∈==∈==，求Q P I .【参考答案】集合P 、Q 分别表示函数2x y =与xy 2=在定义域R 上的值域，所以),0[+∞=P ，),0(+∞=Q ，),0(+∞=Q P I .【例2】若}2|{},|{2>=<=x x B a x x A 且∅=B A I ，求a 的取值范围.【参考答案】集合A 有可能是空集.当0≤a 时，∅=A ，此时∅=B A I 成立；当0>a 时，),(a a A -=，若∅=B A I ，则2≤a ，有40≤<a .综上知，4≤a .【例3】已知2A {0}x x ax b =|2-+=，2B {(2)50}x x a x b =|6++++=，且1A B {}2=I ，求A B U ． 【参考答案】 由已知得：11022a b -+=①；11522a b +=-② 7,4a b ∴=-=-则1{4,}2A =-，11{,}32B =，11{4,,}32A B =-U【例4】已知集合2{(,)410,}{(,)35},A B,A x y y x B x y y x ==-+==-I 求并说明它的意义【参考答案】本题考查以有序实数对为为元素集合之间的运算，并关注这种类型的集合作为交集的集合意义．求方程组2y 41035x y x =-+⎧⎨=-⎩的解，注意：已知两集合为以有序数对为元素的集合，所以交集的元素还是有序数对．510{(3,22),(,)},33A B =-I 他可以看作是函数410y x =-+与函数235y x =-的图像的交点的集合．1.4 命题的形式及等价关系例题精讲【例1】判读命题：“若a 与b 的积不是有理数，则a ，b 至少有一个不是有理数”的真假，并说明理由． 【参考答案】本题主要考察命题的证明（间接证明的方法），原命题与其逆否命题的等价关系． 假设,,a b Q ∈可设,(,,,,0,0)m t a b m n s t Z m s n s ==∈≠≠，则ab =ntmsQ ∈，与条件矛盾， 所以,a b 至少有一个不是有理数“至少有一个不是”的否定是“都是”，本题不用直接证明而是证明逆 否命题，其原因是：“不是有理数”不如“是有理数”容易用数学语言表达，“是有理数”即“可写成分数形式”1.5 充分条件、必要条件例题精讲【例1】设有集合}2|),{(},2|),{(22>-=>+=x y y x N y x y x M ，则点M P ∈的＿＿＿＿＿＿＿条件是点N P ∈；点M P ∈是点N P ∈的＿＿＿＿＿＿＿条件. 【参考答案】集合M 是圆222=+y x 外的所有点的集合，N 是直线2+=x y 上方的点的集合.显然有M N ⊆.（充分不必要、必要不充分）【例2】求证：二次方程02=++c bx ax 有一根为1的充要条件是0=++c b a 【参考答案】证明：（1）充分性 若0=++c b a 将1=x 代入方程得2110a b c a b c ⋅+⋅+=++= 所以012=++=c bx ax x 是二次方程的一个根．（2）必要性 已知0=++c b a ，则2110a b c a b c ⋅+⋅+=++=，显然1是方程02=++c bx ax 的一个根．1.6 子集与推出关系例题精讲【例1】(1)已知集合2{|440}M x x x =-+>,集合N=2269{|0}2)x x x x -+>-（,则x M ∈是x N ∈的 ________________条件(2)已知条件p :12x +>,条件q :256x x ->,则q 是p 的______________________条件． 【参考答案】本题从子集的角度去判定充分条件与必要条件．对集合M,N 进行化简，因为2{|440}M x x x =-+>=-,-2)(2,)∞⋃+∞（, N=2269{|0}2)x x x x -+>-（= -,-2)(2,3)(3,)∞⋃⋃+∞（，所以，N M于是“x M ∈”是“x N ∈”的必要非充分条件．过关演练一、集合1、（上海市封浜中学2019届高三上学期期中）设集合},1|2|{R ∈<-=x x x A ，集合Z =B ，则=B A I _____________．2、（静安区市西中学2019届高三上学期期中）已知集合{|1}A x x =≤，集合{|}B t t a =≥，且A B =R U ，则a 的取值范围为3、（七宝中学2019届高三上学期期中）集合A ＝｛0，1，2018｝的真子集有________个4、（松江区2018高三上期末）已知集合{|03}A x x =<<，2{|4}B x x =≥，则A B =I ▲ ．5、（2019届崇明区高三二模）已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3,4}A =，{1,3,5}B =，则()U A B =I ð6、（2019届闵行松江区高三二模）已知集合{||1|1}A x x =-<，{|1}B x x =>，则A B =I7、（2019届浦东新区高三二模）若集合{|5}A x x =>，集合{|7}B x x =≤，则A B =I8、（2019届青浦区高三二模）已知{|}A y y x ==，2{|log }B y y x ==，则A B =I （ ）A. (0,)+∞B. [0,)+∞C. {2}D. {(4,2)}9、（2019届宝山区高三二模）已知i 为虚数单位，则集合{}Z n i x x A n ∈==;中元素的个数为_____________ 10、（2019届嘉定长宁区高三二模）已知集合{}1,2,3,4A =，{}25,B x x x R =<<∈，则A B =I 11、（2019届普陀区高三二模）已知集合A ＝{x ||x ﹣1|＞3}，U ＝R ，则∁U A ＝ ．12、（2019届徐汇区高三二模）设全集U =R ，若集合{1,2,3,4}A =，{|23}B x x =≤≤，则U A B =I ð 13、（奉贤区2019届高三一模）已知{|31}x A x =<，{|lg(1)}B x y x ==+，则A B =U 14、（虹口区2019届高三一模）设全集U =R ，若{2,1,0,1,2}A =--，3{|log (1)}B x y x ==-，则()U A B =I ð15、（松江区2019届高三一模）设集合{|1}A x x =>，{|0}3xB x x =<-，则A B =I 16、（闵行区2019届高三一模）已知全集U =R ，集合2{|30}A x x x =-≥，则U A =ð 17、（静安区2018高三二模）已知集合{1,3,5,7,9}A =，{0,1,2,3,4,5}B =，则图中阴影部 分集合用列举法表示的结果是18、（静安区2018高三二模）已知集合2{(,)|()20}A x y x y x y =+++-≤，222{(,)|(2)(1)}2aB x y x a y a a =-+--≤-，若A B ≠∅I ，则实数a 取值范围为19、（普陀区2018高三二模）设集合1|,2xM y y x R ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，()()()1|1112,121N y y x m x x m ⎧⎫⎛⎫==+-+--≤≤⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 .参考答案： 一、集合1、}2{2、1a ≤3、74、[)2,3 5、{2,4,5} 6、(1,2) 7、(5,7] 8、B 9、4 10、{}3,4 11、[﹣2，4] 12、{1,4} 13、R 14、{1,2} 15、(1,3)16、(0,3) 17、{0,2,4} 18、19109[,0]+- 19、(1,0)-二、常用逻辑用语1、（上海市封浜中学2019届高三上学期期中）若集合}4,3,2,1{=P ，},50{R x x x Q ∈<<=，则“P x ∈”是“Q x ∈”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2、（静安区市西中学2019届高三上学期期中）若0a >，0b >，则x y a b xy ab +>+⎧⎨>⎩是x ay b>⎧⎨>⎩成立的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 3、（七宝中学2019届高三上学期期中）“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4、（华东师范大学第二附属中学2019届高三10月考试）设集合A=，B=，则“AB=R”是“a =1”的______条件（填写：充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件之一）5、（2019届崇明区高三二模）对于实数x ，“||1x <”是“1x <”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 6、（2019届黄浦区高三二模）设x ∈R ，“0x >”是“(1)0x x +>”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 7、（2019届青浦区高三二模）已知△ABC 是斜三角形，则“A B >”是“|tan ||tan |A B >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件8、（2019届杨浦区高三二模）已知命题α：“双曲线的方程为222x y a -=（0a >）”和命题β：“双曲线的两条渐近线夹角为2π”，则α是β的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件9、（2019届宝山区高三二模）设121212(,),(,),(,)A a a B b b C c c 点均非原点，则“OC u u u r 能表示成OA u u u r 和OB uuu r的线性组合”是“方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的（ ）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10、（2019届嘉定长宁区高三二模）已知x R ∈，则“11x>”是“1x <”的（ ） A)充分非必要条件(B)必要非充分条件 (C)充要条件(D)既非充分又非必要条件11、（2019届徐汇区高三二模）设*n ∈N ，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 12、（宝山区2019届高三一模）“,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦”是“sin(arcsin )x x =”的（ ）条件． （A ）充分非必要． （B ）必要非充分． （C ）充要． （D ）既非充分又非必要．13、（奉贤区2019届高三一模）若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件14、（金山区2019届高三一模）给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件高考考典第1章—集合和命题教师版 11 15、（青浦区2019届高三一模）“4n =”是“1()n x x +的二项展开式存在常数项”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件16、（徐汇区2019届高三一模）设R θ∈，则“=6πθ”是“1sin =2θ”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件17、（黄浦区2018高三二模）在空间中，“直线m ⊥平面α”是“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”的 答( )．(A )充分非必要条件 (B )必要非充分条件(C )充要条件 (D )非充分非必要条件18、（普陀区2018高三二模）设n S 是无穷等差数列{}n a 的前n 项和（*N n ∈），则“lim n n S →∞存在”是“该数列公差0d =”的 ……………………………………………………………………………（ ）)A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件19、（青浦区2018高三二模）设,αβ是两个不同的平面，b 是直线且b β⊂≠．则“b α⊥”是“αβ⊥”的（ ）．（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件20、（青浦区2018高三上期末）“a b >” 是“22a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭”成立的……………………（ ）． （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件参考答案：二、常用逻辑用语1、A2、B3、B4、必要不充分条件5、A6、A7、C8、A 9、B 10、A 11、A12、B 13、A14、B 15、A 16、A 17、A 18、A19、A 20、A。

2020年一模汇编——排列、组合、概率、统计方法一、填空题【徐汇3】二项式11(31)x -的二项展开式中第3项的二项式系数为________. 【答案】55【解析】二项式11(31)x -的二项展开式中第3项的二项式系数为21155C =【黄浦4】281()x x-的展开式中4x 的系数为_________.【答案】70【解析】由题二项式展开中含4x 的项为()444248170C xx x ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭，故4x 的系数为70 【宝山4】2019年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两成对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有_________场球赛. 【答案】66【解析】单循环66212=C【奉贤5】在522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭二项展开式中，x 的一次项系数为__________.（用数字作答）【答案】80-【解析】二项式的通项()()5210315522rrr rr r r T Cx C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令1031,3r r -==，此时x 的一次项系数为()35280rC -=-【普陀6】631(1)(1)x x+-展开式中含2x 项的系数为_________（结果用数值表示）. 【答案】9【解析】二项式的展开项1r n r r r n T C a b -+=，有()()25262565266311-1-9C x C x x x--⋅⋅+⋅⋅=，所以二次项系数为9 【浦东6】在6(x的二项展开式中，常数项为____________． 【答案】15【解析】63622166r r r rrr TC xxC x---+== ，令6302r-=，2r =，所以常数项2615C =【宝山6】在)1()1(35x x +-的展开式中,3x 的系数为_________. 【答案】9-【解析】335532359)(1x x C x C -=+-⋅【奉贤6】若甲、乙两人从6门课程中各选3门，则甲、乙所选修的课程中只有1门相同的选法种数为______________. 【答案】180【解析】122653180C C C ⨯⨯=【杨浦6】已知7(1)ax +二项展开式中的3x 系数为280，则实数a =________.【答案】2【解析】3334735280T C a a =⋅==，所以2a =【长宁，嘉定，金山7】2名女生和3名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法共有________种。

2020年全国普通高等学校招生统一考试上海数学模拟试卷（1）一、填空题1.已知i 为虚数单位，复数z 满足11zi z-=+，则z ________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出z ，再求其模．【详解】因为11zi z -=+，所以21(1)1(1)1(1)(1)i i z z i z i i i i ---=+⇒===-++-，则22||0(1)1z =+-=.故答案为：1.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数模的运算，属于基础题． 2.设0a >且1a ≠，若函数()12x f x a -=+的反函数的图象经过定点P ，则点P 的坐标是__．【答案】()3,1 【解析】 【分析】 由于函数()12x f x a-=+经过定点()1,3，再利用反函数的性质即可得出．【详解】∵函数()12x f x a -=+经过定点()1,3，∴函数()f x 反函数的图象经过定点()3,1P ，故答案为：()3,1．【点睛】本题主要考查函数恒过定点的问题，以及反函数的问题，熟记指数函数的性质，以及反函数的概念即可，属于基础题型．3.在平面直角坐标系内，直线l ：220x y +-=，将l 与两坐标轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周，所得几何体的体积为__． 【答案】23π【解析】 【分析】由题意可得绕y 轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，根据圆锥的体积公式，即可求得所得几何体的体积．【详解】由题意可知绕y 轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥， 则2121233V ππ=⋅⨯⨯=， 故答案为:23π．【点睛】本题主要考查求旋转体的体积，熟记圆锥的体积公式即可，属于常考题型． 4.已知sin 2sin 0θθ+=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2θ=______. 3【解析】 【分析】由已知等式化简可得sin (2cos 1)0θθ+=，结合范围,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，解得1cos 2θ=-，利用同角三角函数基本关系式可求tan θ，利用二倍角的正切函数公式可求tan 2θ的值. 【详解】sin 2sin 0θθ+=，2sin cos sin 0θθθ⇒+=，sin (2cos 1)0θθ⇒+=,,sin 02πθπθ⎛⎫∈≠⎪⎝⎭， 2cos 10θ∴+=，解得1cos 2θ=-，tan θ∴==22tan tan 21tan θθθ∴==-【点睛】本题主要考查的是三角恒等变换、二倍角的正弦、正切公式，同角三角函数关系的应用，考查学生的计算能力.5.设定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x >时，()24x f x =-，则不等式()0f x ≤的解集是______.【答案】(,2][0,2]-∞- 【解析】 【分析】先由解析式求出()f x 在0x >时的解集，再由奇函数的定义得(0)0f =，以及0x <时的不等式的解集．综合后可得所求解集．【详解】当0x >时，因为()240xf x =-≤，所以02x <≤，又因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，()y f x =在(,0)-∞上单调递增，并且(2)(2)0f f -=-=， 所以()02f x x ≤⇒≤-，综上，不等式()0f x ≤的解集为(,2][0,2]-∞-， 故答案为：(,2][0,2]-∞-.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式．属于中档题．6.在平面直角坐标系xOy 中，有一定点()1,1A ，若OA 的垂直平分线过抛物线C ：()220y px p =>的焦点，则抛物线C 的方程为__．【答案】24y x = 【解析】 【分析】先求出线段OA 的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p 的值，即可得到抛物线方程．【详解】∵点()1,1A ，依题意我们容易求得直线的方程为10x y +-=，把焦点坐标,02p ⎛⎫⎪⎝⎭代入可求得焦参数2p =， 从而得到抛物线C 的方程为：24y x =． 故答案为：24y x =．【点睛】本题主要考查求抛物线的方程，只需由题意求出焦点坐标，根据抛物线的焦点坐标即可得出抛物线方程，熟记抛物线标准方程即可，属于常考题型．7.记12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第m 项的系数为m b ，若342b b = ，则n =_______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意，结合二项式定理可得，2233222n n nnC --=⨯，解可得答案．【详解】解：根据二项式定理，可得211(2)()2r n rr n r r n r r n n T C x C x x---+==， 根据题意，可得2233222n n nnC --=⨯，解得5n =， 故答案为5．【点睛】本题考查二项式定理，要区分二项式系数与系数两个不同的概念．8.从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面积等于12的概率是______________． 【答案】37【解析】 【分析】先求得“从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点”基本事件的总数，然后求得“以这三点为顶点的三角形的面积等于12”的事件所包含的基本事件数，最后根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】“从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点”基本事件的总数有3856C =种. 由于从正方体每个面上的四个点选出三个点，围成的三角形的面积为12，其它情况都超过12.所以“以这三点为顶点的三角形的面积等于12”的事件所包含的基本事件数为34624C ⨯=种.由古典概型概率计算公式可知，所求概率为243567= 故答案为：37【点睛】本小题主要考查古典概型的计算，考查组合数的计算，属于基础题. 9.若无穷数列{}n a()23n n n *+∈=N，则1221lim231n n a a a n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪+⎝⎭______． 【答案】2 【解析】 【分析】先由作差法求出数列{}n a 的通项公式为()241n a n =+，即可计算出12231na a a n ++++，然后利用常用数列的极限即可计算出1221lim231n n a a a n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪+⎝⎭的值. 【详解】当1n =4=，可得116a =；当2n ≥23n n=+，()()221312n n n n =-+-=+-， 上式-()21n =+，得()241n a n =+，116a =也适合()241n a n =+，则()()241n a N n n *=+∈，()411na n n ∴=++. 所以，()()()1284481241232312nn n a a a n nn n +++++=++++==++.因此，()12222313limlim lim 212231n n n n n n a a a n n n n →∞→∞→∞+⎡⎤⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+==+= ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故答案为：2.【点睛】本题考查利用作差法求数列通项，同时也考查了数列极限的计算，考查计算能力，属于中等题.10.甲､乙两人同时参加一次数学测试,共有20道选择题,每题均有4个选项,答对得3分,答错或不答得0分,甲和乙都解答了所有的试题,经比较,他们只有2道题的选项不同,如果甲最终的得分为54分,那么乙的所有可能的得分值组成的集合为________. 【答案】{48,51,54,57,60} 【解析】 【分析】甲最终的得分为54分，可得：甲答对了20道题目中的18道，由于甲和乙都解答了所有的试题，甲必然有2道题目答错了，又甲和乙有2道题的选项不同，则乙可能这两道题答对，答错，乙也可能这2道题与甲一样，在甲正确的题目中乙可能有两道答错了，即可得到结论. 【详解】因为20道选择题每题3分,甲最终的得分为54分,所以甲答错了2道题,又因为甲和乙有两道题的选项不同,则他们最少有16道题的答案相同,设剩下的4道题正确答案为AAAA ,甲的答案为BBAA ,因为甲和乙有两道题的选项不同,所以乙可能的答案为BBCC ,BCBA ,CCAA ,CAAA ,AAAA 等,所以乙的所有可能的得分值组成的集合为{48,51,54,57,60},故答案为{48,51,54,57,60}.【点睛】本题考查了集合的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.11.对于函数()f x =,其中0b >,若()f x 的定义域与值域相同,则非零实数a 的值为______________. 【答案】-4 【解析】 【分析】根据函数的定义域与值域相同，可以求出参数表示的函数的定义域与值域，由两者相同，比较二区间的端点得出参数满足的方程，解方程求参数即可.【详解】函数()f x =，其中0b > 若0a >，由于20ax bx +≥，即()0x ax b +≥，∴对于正数b ，()f x 的定义域为:,[0,)b D a ⎛⎤=-∞-+∞ ⎥⎝⎦，但()f x 的值域[)0,A ⊆+∞，故D A ≠，不合要求. 若0a <，对于正数b ，()f x 的定义域为D 0,ab ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.由于此时max [()]2b f x f a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故函数的值域A ⎡=⎢⎣.由题意，有b a -=，由于0b >，所以4a =﹣. 故答案为：﹣4【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力. 12.已知0a >，函数()([1,2])af x x x x=-∈的图像的两个端点分别为A 、B ，设M 是函数()f x 图像上任意一点，过M 作垂直于x 轴的直线l ，且l 与线段AB 交于点N ，若1MN ≤恒成立，则a 的最大值是______.【答案】6+. 【解析】 【分析】由,A B 的坐标可以将直线l 的方程找到，通过M 点的坐标可以得到N 的坐标，将其纵坐标作差可以得到关于a 的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到a 的最大值.【详解】因为()([1,2])af x x x x =-∈，0a >， 所以(1,1),(2,2)2aA aB --，所以直线l 的方程为(1)(1)12ay x a =+-+-，设(,)a M t t t -，所以(,(1)(1)1)2aN t t a +-+-，因为1MN ≤恒成立，所以(1)(1)1()12a a t a t t+-+---≤恒成立，所以23212t t at-+≤， 因为2()32g t t t =-+在[1,2]t ∈时小于等于0恒成立，所以23212t t a t-+-≤，①当1t =或2t =时，01≤显然成立； ②当(1,2)t ∈时，2222323t a t t t t --≤=-++-，所以由基本不等式得6a ≤=，此时t =，所以a的最大值为6+，故答案是：6+.【点睛】该题考查的是有关根据恒成立求对应参数的取值范围的问题，在解题的过程中，主意对题中条件的转化，应用基本不等式求最值，属于较难题目. 二、选择题 13.“sin 0α=”是“cos 1α=”的（ ）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】判断两个命题：sin 0α=⇒cos 1α=和cos 1α=⇒sin 0α=的真假即可得．【详解】由于22sin cos 1αα+=，且sin 0α=，得到cos 1α=±，故充分性不成立；当cos 1α=时，sin 0α=，故必要性成立.故选：B.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题方法是根据充分必要条件的定义．即判断两个命题p q ⇒和q p ⇒的真假．14.下列命题正确的是（ ）A. 若直线1l 平面α，直线2l 平面α，则12l lB. 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l αC. 直线l 与平面α所成角θ的取值范围是090θ︒︒<<D. 若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则12l l【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行垂直的性质与判定判断即可.【详解】对A, 若直线1l 平面α,直线2l 平面α,不一定有12l l ,故A 错误.对B,当l ⊥平面α时也满足直线l 上有两个点到平面α的距离相等.故B 错误. 对C, 直线l 与平面α所成角θ的取值范围是090θ︒︒≤≤,故C 错误. 对D, 若直线1l ⊥平面α,直线2l ⊥平面α,则12l l 成立.故D 正确.故选：D【点睛】本题主要考查了线面平行垂直关系的判定,属于基础题型.15.已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0c a c b --=，则c 的最大值是（ ）. A. 1 B. 22D.22【答案】C 【解析】 【分析】利用数量积计算出||2a b +=，及()()c a c b --，设c 与a b +的夹角为α，可得||2cos c α=，从而可得结论．【详解】由于a b ⊥且||||1a b ==，那么||2a b +=，设c 与a b +的夹角为α，所以22()()()||||||cos 0c a c b c a b c a b c c a b a b α--=-+⋅+⋅=-++⋅=，即||2cos c α=，由于1cos 1α-≤≤，所以c 的最大值为. 故选：C.【点睛】本题考查向量的数量积，考查向量的模与数量积的关系，掌握数量积的定义是解题关键．16.已知函数()3log ,03sin ,3156x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x 满足()()()()1234f x f x f x f x ===，其中1234x x x x <<<，则1234x x x x 取值范围是（ ）A. ()60,96B. ()45,72C. ()30,48D. ()15,24【答案】B 【解析】 【分析】先画出函数()f x 的图象，再根据条件利用对数函数的运算性质以及三角函数的对称性，利用数形结合，即可求出其范围．【详解】函数()f x 的图象如下图所示：若满足()()()()1234f x f x f x f x ===，其中1234x x x x <<<， 则101x <<，213x <<，则3132log log x x =-，即3132312log log log 0x x x x +==， 则121=x x ，同时()33,6x ∈，()412,15x ∈， ∵3x ，4x 关于9x =对称，∴3492x x +=， 则3418x x +=，则4318x x =-，则()1234343318x x x x x x x x ==-()2233318981x x x =-+=--+，∵()33,6x ∈，∴()3445,72x x ∈， 即()123445,72x x x x ∈， 故选：B ．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，灵活掌握数形结合的方法，以及转化与化归的思想即可，属于常考题型． 三、解答题17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是等腰直角三角形，12AC BC AA ===，D 为侧棱1AA 的中点.（1）求证：BC ⊥平面11ACC A ；（2）求二面角11B CD C --的大小（结果用反三角函数值表示） 【答案】（1）证明见解析 （2）2arccos 3【解析】 【分析】（1）推导出AC BC ⊥，1CC BC ⊥，由此能证明BC ⊥平面11ACC A ．（2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角11B CD C --的大小．【详解】（1）∵底面ABC 是等腰直角三角形，且AC BC =，∴AC BC ⊥，∵1CC ⊥平面111A B C ， ∴1CC BC ⊥， ∵1ACCC C =，∴BC ⊥平面11ACC A ．（2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()10,0,2C ，()10,2,2B ，()2,0,1D ， 由（1）得()0,2,0CB =是平面11ACC A 的一个法向量，()10,2,2CB =，()2,0,1CD =，设平面1B CD 的一个法向量(),,n x y z =，则122020n CB y z n CD x z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩，取1x =，得()1,2,2n =-，设二面角11B CD C --的平面角为θ， 则42cos 233CB n CB nθ⋅===⨯⋅， 由图形知二面角11B CD C --的大小是锐角， ∴二面角11B CD C --的大小为2arccos3．【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，以及求二面角的平面角，熟记线面垂直的判定定理，以及空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型．18.已知函数()()cos cos 1033x x f x x ππωωωω⎛⎫⎛⎫=+++--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R ，且函数的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()0f B =，32BA BC ⋅=，且4a c +=，试求b 的值．【答案】（1）()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（2）b =【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的余弦公式展开，再由辅助角公式化简，由周期公式求得ω，则()f x 的解析式可求；（2）把()0f B =代入函数解析式，求得B ，展开数量积32BA BC ⋅=，求得ac 的值，结合4a c +=，利用余弦定理求得b 的值．【详解】（1）()cos cos 133x x x f x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos cossin sincos cossin sin13333x x x x x ππππωωωωω=+-++-cos 12sin 16x x x πωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭．∵2T ππω==，∴2ω=．则()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）由()2sin 2106B f B π⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，得1sin 262B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭． ∴2266B k πππ+=+或52266B k πππ+=+，k Z ∈． ∵B 是三角形内角，∴3B π=．而3cos 2BA BC ac B ⋅=⋅=，∴3ac =． 又4a c +=，∴()2222162310a c a c ac +=+-=-⨯=． ∴2222cos 7b a c ac B =+-⋅=．则b =【点睛】本题主要考查由三角函数的周期求参数，以及余弦定理解三角形，熟记三角函数的性质，以及余弦定理即可，属于常考题型．19.定义在D 上的函数()f x ，若满足:对任意x D ∈，存在常数0M >，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界 （1）设()1=+x f x x ，判断()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出()f x 所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由.（2）若函数()124x xg x a =++⋅在[]0,2x ∈上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）是有界函数;[)1,+∞（2）11,28⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）分离常数后,可得函数()f x 的单调性,在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内求得最大值与最小值,即可根据有界函数的定义求得M 的取值范围.（2）根据有界函数定义,可得()g x 的值域.代入解析式可分离得a 的不等式组.利用换元法转化为二次不等式形式,结合恒成立条件,即可求得a 的取值范围. 【详解】（1）()1111x f x x x ==-++ 则()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 所以()f x 对任意11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦满足()1122f f x f ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而11,21123f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 所以()113f x -≤≤若()f x M ≤恒成立,则1M ≥ 即()f x 所有上界的值的集合为[)1,+∞（2）函数()124x xg x a =++⋅在[]0,2x ∈上是以3为上界的有界函数根据有界函数定义,可知()3≤g x 在[]0,2x ∈上恒成立 所以()33g x -≤≤ 即31243x x a -≤++⋅≤ 化简变形可得41214242xx x x a --≤≤- 令11,,142x t t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦则2242t t a t t --≤≤-在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立即满足()()22max min 42t t a t t --≤≤-由二次函数性质可知,2211144816y t t t ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭,当14t =时,()21max 1114442y ⎛⎫=-⨯-=- ⎪⎝⎭ 222112248y t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭,所以当14t =时, ()22min 111124488y ⎛⎫=⨯--=- ⎪⎝⎭ 即1128a -≤≤-,故a 的取值范围为11,28⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了函数新定义的内容,对函数单调性与值域的综合应用,换元法的应用,恒成立问题的解法,属于中档题.20.如图，设F是椭圆22134x y+=的下焦点，直线()40y kx k=->与椭圆相交于A、B两点，与y轴交于点P.（1）若PA AB=，求k的值；（2）求证：AFP BFO∠=∠；（3）求面积ABF的最大值．【答案】（1）65k=（2）证明见解析（333【解析】【分析】（1）联立221344x yy kx⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()223424360k x kx+-+=，由此利用韦达定理、根的判别式、向量相等，结合已知条件能求出k．（2）证明AFP BFO∠=∠，等价于证明等价于0AF BFk k+=，由此能证明AFP BFO∠=∠．（3）1212ABF PBF PAFS S S PF x x=-=⋅-2218434kk-=+．令24t k=-，利用基本不等式性质能求出ABF面积的最大值．【详解】（1）联立221344x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()223424360k x kx +-+=， ∵直线()40y kx k =->与椭圆相交于A 、B 两点，∴()214440k ∆=->，即2k >或2k <-，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1222434k x x k +=+，1223634x x k =+， ∵PA AB =，∴212x x =，代入上式，解得k =（2）由图形得要证明AFP BFO ∠=∠，等价于证明直线AF 与直线BF 的倾斜角互补， 即等价于0AF BF k k +=，121211AF BF y k x x k y ++++=121233kx kx x x --=+121223x x x x k ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭222433423634k k k k ⋅+=-+220k k =-=， ∴AFP BFO ∠=∠． （3）∵2k >或2k <-， ∴1212ABFPBFPAFSSSPF xx =-=⋅- 132=⨯234k =+． 令t =，则0t >，2234316k t +=+，∴21818163163ABFt t Stt===≤++4=， 当且仅当163t t =，即2163t =，3k =取等号，∴ABF 面积的最大值为334． 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，通常需要联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，弦长公式等求解，属于常考题型．21.已知正项数列{}n a ，{}n b 满足：对任意正整数n ，都有n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列，且110a =，215a =．（Ⅰ）求证：数列{}nb 是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅲ）设n S =++…+，如果对任意的正整数n ，不等式22nn nb aS a <-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）()242nn b +=，；（Ⅲ）a≤1【解析】【详解】（Ⅰ）由已知得，即， 由2b 1=a 1+a 2=25，得b 1=252， 由a 22=b 1b 2，得b 2=18， ∴{}是以为首项，为公差的等差数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴()242nn b+=，因为n b ，1n a +，1n b +成等比数列 所以（Ⅲ）由（Ⅱ）知，原式化为，即f（n）=恒成立，当a–1＞0即a＞1时，不合题意；当a–1=0即a=1时，满足题意；当a–1＜0即a＜1时，f（n）的对称轴为，f（n）单调递减，∴只需f（1）=4a–15＜0，可得a＜，∴a＜1；综上，a≤1.。

2020届上海市普陀区高考一模数学试题一、单选题1．“{}1,2m ∈”是“ln 1m <”成立的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】先求出命题所对应的集合，讨论集合之间的包含关系，得出结论． 【详解】解：1lnm <Q ，0m e ∴<< {1Q ，2}(0,)e Ü，∴“{}1,2m ∈”是“1lnm <”成立的充分非必要条件，故选：A ． 【点睛】本题考查解不等式，简易逻辑，属于基础题．2．设集合{}1A x x a =-=，{}1,3,B b =-，若A ⊆B ，则对应的实数对(,)a b 有（ ） A ．1对 B ．2对C ．3对D ．4对【答案】D【解析】先解出A ，再讨论包含关系（注意集合元素互异性），解出数对． 【详解】解：因为集合{|||1}A x x a =-=， 所以{1A a =-，1}a +， 因为{1B =，3-，}b ，A B ⊆，所以11a -=，或13a -=-，或1a b -=，①当11a -=时，即2a =，{1A =，3}，此时可知{1B =，3-，3}，成立，即2a =，3b =；②当13a -=-时，即2a =-，{3A =-，1}-，此时可知{1B =，3-，1}-，成立，即2a =-，1b =-；③当1a b -=时，则11a +=或3:-当11a +=时，即0a =，{1A =-，1}，此时可知{1B =，3-，1}-，成立，即0a =，1b =-；当13a +=-时，即4a =-，{5A =-，3}-，此时可知{1B =，3-，5}-，成立，即4a =-，5b =-；综上所述：2a =，3b =，或2a =-，1b =-，或0a =，1b =-，或4a =-，5b =-，共4对． 故选：D ． 【点睛】本题考查集合关系，综合集合元素互异性，属于基础题．3．已知两个不同平面α，β和三条不重合的直线a ，b ，c ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若//a α，b αβ=I ，则//a bB ．若a ，b 在平面α内，且c a ⊥，c b ⊥，则c α⊥C ．若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a ，b ，c 都相交D ．若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且⋂=c αβ，则c 必与a 或b 相交 【答案】D【解析】直接利用定义和判定定理的应用求出结果． 【详解】解：对于选项A ：若//a α，b αβ=I ，则直线a 也可能与直线b 异面，故错误． 对于选项B ：只有直线a 和b 为相交直线时，若c a ⊥，c b ⊥，则c α⊥．故错误 对于选项C ：若a ，b ，c 是两两互相异面的直线，则要么存在一条直线或不存在直线与a ，b ，c 都相交．故错误对于选项D ：若α，β分别经过两异面直线a ，b ，且⋂=c αβ，则c 必与a 或b 相交，正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识要点：立体几何中的定义和判定的定理的应用，主要考查学生对定义的理解能力，属于基础题． 4．若直线l ：212x y b a a b +=++经过第一象限内的点11(,)P a b，则ab 的最大值为（ ）A ．76B ．422-C ．53-D ．632-【答案】B 【解析】直线2:12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a ，1)b，可得a ，0b >，211(2)()a b a b a b +=++．2211()(2)()121ba ab ab b b a b a b a b a a⨯=+=++++⨯+．令0b t a=>，21()121t g t t t=+++，(0)t >再利用基本不等式计算可得． 【详解】解：直线2:12x y l b a a b +=++经过第一象限内的点1(P a ，1)b， 则a ，0b >，211(2)()a b a b a b +=++． 22121()(2)()2121bb a a ab ab b ba b a b a b a b a b a a⨯∴=+=+=++++++⨯+． 令0bt a=>，()()()()211221()121121t t t t g t t t t t +++=+=++++ 22214231t tt t ++=++ 21231tt t =+++11312t t=+++． 因为1123223322t t t t ++≥⋅=+12t t =即2t =时取最小值；114221322213t t∴+≤=-+++即()max242g t g ==-⎝⎭故选：B ． 【点睛】本题考查了直线方程、换元法、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题5．若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 的值为________. 【答案】2【解析】直接由抛物线方程写出焦点坐标，由题意得求出m 的值． 【详解】解：由抛物线方程得：焦点坐标,04m ⎛⎫⎪⎝⎭，∴142m =，2m ∴=，故答案为：2． 【点睛】本题考查抛物线方程求出焦点坐标，属于基础题．6．132lim 31n nn n +→∞+=+________.【答案】3【解析】利用数列的极限的运算法则化简求解即可． 【详解】解：123()32303lim lim 3131101()3nn nn n n n +→∞→∞+++===+++． 故答案为：3． 【点睛】本题考查数列极限的运算法则的应用，属于基础题． 7．不等式11x>的解集是 【答案】(0,1)【解析】将分式不等式转化为一元二次不等式来求解. 【详解】 依题意110x->，()1010xx x x ->⇔-<，解得01x <<，故原不等式的解集为()0,1.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 8．设i 是虚数单位，若11z ai i=++是实数，则实数a = 【答案】12【解析】将z 化简为x yi +的形式，根据z 为实数，求得a 的值. 【详解】 依题意()()11111112222i z ai i ai a i i i -⎛⎫=+=-+=+- ⎪+-⎝⎭，由于z 为实数，故110,22a a -==. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数为实数的条件，属于基础题.9．设函数()log (4)a f x x =+（0a >且1a ≠），若其反函数的零点为2，则a =_______. 【答案】2【解析】根据反函数的性质可得，函数()f x 过(0,2)代入求出即可． 【详解】解：函数()log (4)(0a f x x a =+>且1)a ≠，若其反函数的零点为2， 即函数()f x 过(0,2)，代入2log (04)a =+，24a ∴=解得2(0)a a =>， 故答案为：2． 【点睛】考查函数与反函数的关系，对数的运算，属于基础题． 10．631(1)(1)x x+-展开式中含2x 项的系数为__________（结果用数值表示）. 【答案】9【解析】求出6(1)x -展开式中的常数项和含2x 项，利用多项式乘多项式得答案． 【详解】 解：6663311(1)(1)(1)(1)x x x x x+-=-+-Q 二项式6(1)x -的展开式中，通项公式为166()(1)r r r r r r T C x C x +=-=-g g g ， 分别取2r =，5，可得631(1)(1)x x+-展开式中含2x 项的系数为：225566(1)(1)9C C -+-=g g ．故答案为：9． 【点睛】本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，属于基础题．11．各项都不为零的等差数列{}n a （*N n ∈）满足22810230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且88a b =，则4911b b b =________. 【答案】8【解析】由已知等式结合等差数列的通项公式求得8a ，再由等比数列的通项公式结合88a b =求解4911b b b 的值．【详解】解：各项均不为0的等差数列{}n a 满足22810230a a a -+=， ∴21112(7)3(9)0a d a d a d +-+++=，化为：1872a d a +==， Q 数列{}n b 是等比数列，且882b a ==，3491188b b b b ∴==． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．设椭圆Γ：()22211x y a a +=>，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA =uu u r uu r，则Γ的长轴长等于_________. 【答案】5【解析】如图所示，设0(Q x ，0)y ．由题意可得：(,0)A a -，(0,)P a ．根据2PQ QA =uu u r uu r，可得0x ，0y ．代入椭圆Γ方程解得a ，即可得出． 【详解】解：如图所示，设0(Q x ，0)y ，由题意可得：(,0)A a -，(0,)P a ．Q 2PQ QA =uu u r uu r，0(x ∴，00)2(y a a x -=--，0)y -，023a x ∴=-，03ay =．代入椭圆Γ方程可得：24199a +=，解得5a =． ∴Γ的长轴长25=．故答案为：25．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．记,,,,,a b c d e f 为1,2,3,4,5,6的任意一个排列，则()()()a b c d e f +++为偶数的排列的个数共有________. 【答案】432【解析】若()()()a b c d e f +++为偶数的对立事件为“()()()a b c d e f +++为奇数”，即()a b +、()c d +、()e f +全部为奇数，根据计数原理计算其个数，由a ，b ，c ，d ，e ，f 为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，共有66A 种，进而可得所求．【详解】解：根据题意，a ，b ，c ，d ，e ，f 为1，2，3，4，5，6的任意一个排列，则共有66720A =个排列，若()()()a b c d e f +++为偶数的对立事件为“()()()a b c d e f +++为奇数”，()a b +、()c d +、()e f +全部为奇数，有634221288⨯⨯⨯⨯⨯=，故则()()()a b c d e f +++为偶数的排列的个数共有720288432-=． 故答案为：432． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，考查分析解决问题的能力，属于中档题．14．已知函数()()()22+815f x x x ax bx c=+++(),,a b c R ∈是偶函数，若方程21ax bx c ++=在区间[]1,2上有解，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1183⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】由()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，可知，3，5是20ax bx c ++=的两个根，根据方程的根与系数关系可求得a ，b ，c 的关系，然后结合二次函数的性质可求a 的范围．【详解】解：22()(815)()f x x x ax bx c =++++Q 是偶函数，图象关于y 轴对称， 令28150x x ++=可得，3x =-或5x =-，根据偶函数图象的对称性可知，3，5是20ax bx c ++=的两个根，815b aca ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴158c a b a =⎧⎨=-⎩， 由21ax bx c ++=可得，28151ax ax a -+=，[]1,2x ∈Q 时，[]28153,8x x -+∈，2111,81583a x x ⎡⎤∴=∈⎢⎥-+⎣⎦故答案为：11,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．15．设P 是边长为2123456A A A A A A 的边上的任意一点，长度为4的线段MN 是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN ⋅u u u u r u u u r的取值范围为___________.【答案】646,8+82⎡-⎣【解析】关键把PM PN u u u u r u u u rg 转化为含定值的形式，取MN 的中点，再由Q 的轨迹，可求得PQ uuu r的最大值与最小值，进而可求得取值范围．【详解】解：设正六边形外接圆的圆心为O ，正六边形123456A A A A A A 的边长为22，所以半径为22，设MN 的中点为Q ，则2()()()PM PN PQ QM PQ QN PQ PQ QM QN QM QN =++=+++u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r g g g g ，因为QM u u u u r 与QN uuu r 为相反向量，所以()0PQ QM QN +=u u u r u u u u r u u u r g ，4QM QN =-u u u u r u u u rg， 所以24PM PN PQ =-u u u u r u u u r u u u r g ，因为()22||2222OQ =-=，所以Q 在以O 为圆心，以2为半径的圆上，||22max PQ =，||62min PQ =，24PM PN PQ =-u u u u r u u u r u u u r g 的最大值为882+642-所以PM PN u u u u r u u u rg 的取值范围为642,882⎡-+⎣．故答案为：642,882⎡-+⎣【点睛】本题主要考查平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．16．若M 、N 两点分别在函数()y f x =与()y g x =的图像上，且关于直线1x =对称，则称M 、N 是()y f x =与()y g x =的一对“伴点”（M 、N 与N 、M 视为相同的一对）.已知()()())222442x x f x x x ⎧--<=⎨--≥⎪⎩，()1g x x a =++，若()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，则实数a 的取值范围为________.【答案】(3221+22-，【解析】求出()f x 关于直线1x =的对称图象所对应的函数解析式()h x ，画出图形，再由函数图象的平移结合新定义求解实数a 的取值范围．【详解】解：设曲线()y f x =关于1x =的对称图象上的点为(,)x y ，(,)x y 关于1x =的对称点为(,)x y ''，则2x x '=-，y y '=，代入22(2)()4(4)(2)x x f x x x ⎧--<⎪=⎨--⎪⎩…，得2(0)()4(2)(0)x x h x x x ⎧->⎪=⎨-+⎪⎩„．作出函数2(0)()4(2)(0)x x h x x x ⎧->⎪=⎨-+⎪⎩„的图象如图，函数()||1g x x a =++的图象是把||1y x =+向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位得到的．由图可知，要使()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，需要把()||1g x x a =++向左平移．则0a >，设直线()1y x a =-++，即10x y a ++-=， 由圆心(2,0)-到直线的距离为2，22=，解得322a =-322a =+（舍)；设直线()1y x a =++，即10x y a -++=， 由圆心(2,0)-到直线的距离为2，22=，解得122a =+122a =-（舍)．∴要使()y f x =与()y g x =存在两对“伴点”，则实数a 的取值范围为(3221+22-，故答案为：(3222-，【点睛】本题主要考查对新定义函数的图象和性质应用，考查数形结合和转化的数学思想，属于中档题．三、解答题17．如图所示的三棱锥P ABC -的三条棱PA ，AB ，AC 两两互相垂直，22AB AC PA ===,点D 在棱AC 上，且=AD AC λu u u r u u u r(0λ>).（1）当1=2λ时，求异面直线PD 与BC 所成角的大小； （2）当三棱锥D PBC -的体积为29时，求λ的值. 【答案】（1）3PDE π∠=（2）23λ=【解析】（1）作//DE CB ，交AB 于E ，连结PE ，则异面直线PD 与BC 所成角为PDE ∠，由此能求出当12λ=时，异面直线PD 与BC 所成角的大小． （2）由13D PBC P DBC DBC V V S h --∆==⨯⨯，能求出结果．【详解】 解：（1）当1=2λ时，AD DC =，取棱AB 的中点E ，连接ED 、EP ， 则//ED BC ，即PDE ∠是异面直线PD 与BC 所成角或其补角， 又PA ，AB ，AC 两两互相垂直，则2PD DE EP ===,即PDE ∆是正三角形，则3PDE π∠=.则异面直线PD 与BC 所成角的大小为3π.（2）因为PA ，AB ，AC 两两互相垂直，PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,PA AC A =I所以AB ⊥平面PAC , 则11112233239D PBC B PDC PDC V V AB S PA DC DC --∆==⋅=⨯⨯⋅==， 即23DC =, 又=AD AC λu u u r u u u r （0λ>），2AC =，则23λ=.【点睛】本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．18．设函数()221xxf x a -=. （1）当4a =-时，解不等式()5f x <；（2）若函数()f x 在区间[)2+∞，上是增函数，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(0,2) （2）[16,)-+∞【解析】（1）直接利用换元法的应用求出不等式的解集．（2）利用函数的单调性的证明过程，设任取122x x ≤<．所以12())0(f x f x -<在[)2+∞，上恒成立，则1122222+20x x x x a a ----<恒成立，参变分离即可求解.【详解】（1）当4a =-时，由22541x x -<-得24250x x -+⨯-<，令2x t =，则2540t t -+<，即14t <<， 即02x <<，则所求的不等式的解为(0,2).（2）任取122x x ≤<，因为函数()22x x f x a -=-在区间[)2+∞，上单调递增， 所以12())0(f x f x -<在[)2+∞，上恒成立， 则1122222+20x x x x a a ----<恒成立，即1212122222+02x x x x x x a +--<，()1212221+02x x x xa +⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 又12x x <，则1222x x <，即122x x a +>-对122x x ≤<恒成立， 又12216x x +>，即16a ≥-，则所求的实数a 的取值范围为[16,)-+∞. 【点睛】本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，换元法的应用，函数的性质单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．19．某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB 进行改建.如图所示，平行四边形OMPN 区域为停车场，其余部分建成绿地，点P 在围墙AB 弧上，点M 和点N 分别在道路OA 和道路OB 上，且=60OA 米，=60∠︒AOB ，设POB θ∠=．（1）求停车场面积S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，停车场面积S 最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）. 【答案】（1）24003sin(60)S θθ=-o ， 060θ<<o o （2）当30θ=o 时，停车场最大面积为1039.2平方米【解析】（1）由正弦定理求得ON ，再计算停车场面积S 关于θ的函数关系式； （2）化简函数解析式S ，求出S 的最大值以及取最大值时对应θ的值． 【详解】解：（1）由平行四边形OMPN 得，在OPN ∆中，120ONP ∠=o ,60OPN θ∠=-o , 则sin sin sin ON OP PNOPN ONP PON==∠∠∠，即60sin(60)sin120sin ON PN θθ==-o o， 即3)ON θ=-o ，=403PN θ，则停车场面积sin 3sin(60)S ON PN ONP θθ=⋅⋅∠=-o ， 即24003sin(60)S θθ=-o ，其中060θ<<o o .（2）由（1）得3124003sin(60)24003(sin )2S θθθθθ=-=-o ， 即23600sin cos 12003=1800sin 2600326003S θθθθθ=-+- 则1200330)3S θ=+-o 因为060θ<<o o ，所以30230150θ<+<o o o ，则23090θ+=o o 时，max 120031600360031039.2S =-=≈平方米. 故当30θ=o 时，停车场最大面积为1039.2平方米. 【点睛】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，属于中档题．20．已知双曲线Γ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为4，直线:40l x my --=（m R ∈）与Γ交于两个不同的点D 、E ，且0m =时直线l 与Γ的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形. （1）求双曲线Γ的方程；（2）若坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围； （3）设A 、B 分别是Γ的左、右两顶点，线段BD 的垂直平分线交直线BD 于点P ，交直线AD 于点Q ，求证：线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.【答案】（1）2213x y -=（2）1515(3,(3)-U （3）证明见解析【解析】（1）求得双曲线的2c =，由等边三角形的性质可得a ，b 的方程，结合a ，b ，c 的关系求得a ，b ，进而得到双曲线的方程；（2）设1(D x ，1)y ，2(E x ，2)y ，联立直线40x my --=和2233x y -=，应用韦达定理和弦长公式，设DE 的中点为F ，求得F 的坐标，由题意可得1||||2OF DE <，应用两点的距离公式，解不等式可得所求范围；（3）求得A ，B 的坐标和P 的坐标，求得BD 的垂直平分线方程和AD 的方程，联立解得Q 的坐标，求出||P Q x x -，即可得证． 【详解】解：（1）当0m =直线:4l x =与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得，2221tan 303b a ==o ，又焦距为4，则224a b +=，解得3a =1b =，则所求双曲线Γ的方程为2213x y -=.（2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由221340x y x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩，得22(3)8130m y my -++=，则12283m y y m +=-，122133y y m =-，且2226452(3)12(13)0m m m ∆=--=+>， 又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE ⋅<u u u r u u u r，即12120x x y y +<，即1212(4)(4)0my my y y +++<，即212124()(1)160m y y m y y ++++<，则22221313816033m m m m +-+<--，即223503m m -<-，则1533m <<-或1533m <<，即实数m 的取值范围1515(3,(3)-U . （3）线段PQ 在x 轴上的射影长是p q x x -. 设00(,)D x y ，由（1）得点3,0)B ， 又点P 是线段BD 的中点，则点003(,)22x y P ，直线BD 003x -，直线AD 003x + ，又BD PQ ⊥， 则直线PQ 的方程为0000332y x x y x -+-=，即2000003322x x y y x y --=++， 又直线AD 的方程为03)3y x x =++，联立方程2000000033223)3x x y y x y y y x x ⎧-=++⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩， 消去y 化简整理，得222000003(3)3)223x y x x x x -++=++，又220013x y =-， 代入消去20y ，得20002(3)1(3)(3)(3)33x x x x x -+=，即02(3)1(3)33x x x +-+=，则0234x x +=， 即点Q 的横坐标为0234x +， 则00323324p q x x x x ++-==故线段PQ 在x 轴上的射影长为定值. 【点睛】本题考查双曲线的方程和应用，考查直线方程和双曲线方程联立，应用韦达定理和弦长公式，以及直线方程联立求交点，考查化简运算能力，属于中档题．21．数列{}n a 与{}n b 满足1a a =，1n n n b a a +=-，n S 是数列{}n a 的前n 项和（*N n ∈）. （1）设数列{}n b 是首项和公比都为13-的等比数列，且数列{}n a 也是等比数列，求a 的值；（2）设121nn n b b +-=-，若3a =且4n a a ≥对*N n ∈恒成立，求2a 的取值范围；（3）设4a =，2n b =，22n n nS C λ+=（*N n ∈，2λ≥-），若存在整数k ，l ，且1k l >>，使得k l C C =成立，求λ的所有可能值.【答案】（1）14（2）281a -≤≤- （3）1-和2-【解析】（1）直接利用等比数列的定义和等比中项的应用求出结果． （2）利用累加法和恒成立问题的应用和赋值法的应用求出结果． （3）利用存在性问题的应用和赋值法的应用求出结果． 【详解】解：（1） 由条件得1()3nn b =-，*N n ∈，即11()3nn n a a +-=-，则2113a a -=-，23211()39a a -=-=，设等比数列{}n a 的公比为q ， 则322113a a q a a -==--，又11(1)3a q -=-，则114a =.当114a =，13q =-时，111()43n n a -=-，*N n ∈， 则111111111111()()()[()]()434334433n n n n n n a a --+-=---=--⨯-=-满足题意， 故所求的a 的值为14. （2）当2n ≥时，1121n n n b b ---=-， 21221n n n b b ----=-，L ，2121b b -=-，以上1n -个式子相加得，12312222(1)n n n n b b n ----=++++--L ，又12123b a a a =-=-，则1222(12)(1)32412n n n b n a n a --=--+-=-+--，即224n n b n a =-+-. 由1210nn n b b +-=->知数列{}n b 是递增数列，又1n n n b a a +=-，要使得4n a a ≥对*N n ∈恒成立，则只需34345400b a a b a a =-≤⎧⎨=-≥⎩，即32421080b a b a =+≤⎧⎨=+≥⎩，则281a -≤≤-.（3） 由条件得数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列， 则42(1)22n a n n =+-=+，2(422)32n n n S n n ++==+，则223222n n n nS n n C λλ+++==. 则222111(1)3(1)23242222n n n n n n n n n n n C C λλλ++-++++++--+--=-=，当3n ≥时，224233428282(2)40n n λλλ--+-≤--+-=--≤--⨯-=-<， 即3n ≥时，1n n C C +<，则当3k l >≥时，k l C C <与k l C C =矛盾.又1l >，即2l =时，232522k k k λλ+++=. 当5k ≥时，225325352202216k k k λλλ+++⨯++≤=， 又205207207(2)3016216168λλλ++----⨯--=≤=-<， 即当5k ≥，2l =时，232522k k k λλ+++<，与232522kk k λλ+++=矛盾. 又2k l >≥，则3k =或4，当3k =时，2233233325222k k k λλλ+++⨯++==，解得1λ=-； 当4k =时，2243243425222k k k λλλ+++⨯++==，解得2λ=-. 综上得λ的所有可能值为1-和2-. 【点睛】本题考查的知识要点：递推关系式的应用，数列的通项公式的求法及应用，累加法的应用，存在性问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．。