【科普】经典力学中的变分法(物理吧版)

变分法原理变分法是一种用于求解泛函和微分方程问题的数学方法。

它通过对一个函数进行微小的变化，并计算出在这个微小变化下泛函的变化量，从而得到泛函的极值。

变分法在物理学和工程学等领域有广泛的应用，如优化问题、经典力学中的作用量原理以及量子力学中的路径积分等。

要理解变分法的原理，首先需要了解泛函的概念。

泛函是一种将函数映射到实数集上的函数，例如能量泛函、作用泛函等。

对于一个给定的泛函，我们希望找到使其取得最大或最小值的函数。

而变分法就是一种通过对函数进行微小变化，从而使得泛函的变化量趋于零的方法。

以最简单的泛函问题为例，考虑一个函数y(某)在区间[a,b]上的泛函J，即J[y(某)]，例如J[y]=∫(a到b)F(某,y,y')d某，其中F是已知的函数，y'表示导数。

我们的目标是找到函数y(某)，使得泛函J[y(某)]取得极值。

为了寻找这样的函数，我们引入一个变分函数δy(某)，它表示函数y(某)关于自变量某的微小变化量。

于是，我们可以将函数y(某)写成y(某)+εδy(某)，其中ε是一个小的实数。

然后，将变分函数代入泛函中得到J[y(某)+εδy(某)]。

将J[y(某)+εδy(某)]展开成泛函J[y(某)]关于ε的幂级数，取一阶项，得到J[y(某)+εδy(某)]≈J[y(某)]+ε∫(a到b)(∂F/∂y)δyd某+ε∫(a到b)(∂F/∂y')δy'd某。

由于δy(某)是任意的，我们要使得泛函J[y(某)+εδy(某)]的变化量趋于零，只需使得∂F/∂y- d/d某(∂F/∂y')=0，即Euler-Lagrange方程。

根据Euler-Lagrange方程解出δy(某)，再令δy(某)的边界条件为零，即δy(a)=δy(b)=0。

这样，我们就可以得到函数y(某)的特解。

总结起来，变分法的原理是将函数表示为原函数与微小变化的函数之和，将其代入泛函中展开，并取一阶项，最后通过求解Euler-Lagrange 方程得到特解。

变分原理与变分法变分原理是数学物理中的一种基本原理，用于描述自然界中的物理现象。

它是物理学中的最小作用量原理的数学表述。

变分原理与变分法密切相关，是变分法的基础。

变分原理是由欧拉-拉格朗日提出的，并以他们的名字命名。

它表明，自然界的真实运动是使作用量取极值的路径。

作用量是在一个过程中所有可能路径上对拉格朗日量（描述系统运动的函数）进行积分得到的。

换句话说，作用量是描述系统整体运动的一个量度。

在物理学中，拉格朗日函数常常由系统的动能和势能构成。

通过对动能和势能的定义，我们可以得到描述系统运动的拉格朗日方程。

拉格朗日方程是变分原理的数学表达式，它通过求解一组微分方程来描述系统的运动。

变分法是一种数学方法，用于求解泛函问题。

泛函是一个函数的函数，通常是由一个区间上的函数组成的。

在变分法中，我们通过将泛函写成一族函数的积分形式，并求解使得泛函取极值的函数。

这就涉及到求取泛函的变分（即导数）。

变分法的基本思想是将泛函中的函数进行微小的变化，然后求取这个变化对泛函的影响。

这个变化就是变分，通常用符号δ表示。

然后通过对泛函进行导数运算，得到变分后的泛函表达式。

最后，将变分的泛函表达式置于极值条件下，即求取变分后的泛函为零的解，就可以求得泛函的最优解。

在物理学中，变分法常常用于求解极值问题，如最小作用量问题、哈密顿原理以及量子力学中的路径积分等。

它为我们提供了一种强大的工具，用于描述和预测自然界中的物理现象。

总结起来，变分原理是描述自然界中物理现象的最小作用量原理的数学表述，而变分法是求解泛函问题的一种数学方法。

它们相互依存，变分原理提供了变分法的理论基础，而变分法为我们提供了一种强大的工具，用于求解各种物理问题。

变分原理与变分法的理论和应用涉及数学、物理、工程等多个领域，对于理解和研究复杂的物理现象具有重要的意义。

【科普】经典力学中的变分法（物理吧版）经典力学中的变分法，这个标题对于初学者来说可能足够吓人，但是其内涵是很清楚的，而且并不难理解。

我们都知道，一个粒子从A点运动到B点，原则上可以选取无穷多种路径，但事实上宏观粒子只会选择一个路径来走，这一点与量子力学的费曼路径积分不同（路径积分是说，粒子实际走过所有路径，但是在走向宏观的路上，依靠相位差来消去相位差较大的路径，从而得到宏观的那一条路径）。

如果你将宏观的真实路径稍微变一下，譬如说，真实路径的坐标是x，你将它变一下，增加一个量：x+δx就叫做对坐标x的变分。

其实就是将路径的曲线稍微“拨弄”了一下。

变分算符δ和微分算符d的运算法则完全一样，现在我们来讨论一下，在计算中，δ与求导符号d/dt到底是否可以互换：δ(dx/dt)=(δ(dx)dt-dxδ(dt))/〖dt〗^2=δ(dx)/dt-dxδ(dt)/〖dt〗^2=d(δx)/dt-dxd(δt)/〖dt〗^2如果δ与d/dt可以互换，就必须有：δ(dx/dt)=d(δx)/dt但是我们看到，δ(dx/dt)等于d(δx)/dt还要再减去一项dxd(δt)/〖dt〗^2，这就是说，一般情况下，δ与d/dt不满足互换的条件！那么怎样才能满足它呢？我们只需要多余的一项等于0：dxd(δt)/〖dt〗^2=0那么也就只能有：δt=0因为我们不可能要求dx或dt总是等于0，所以只要选择δt=0。

这就是说，一旦确定了运动起点的时间，运动终点的时间也就确定了，所以在这里，时间t根本没有变分的余地！每走过一条路径（不论是真是假）所花费的时间都是相同的！这叫做“等时变分”。

通过一般的物理系理论力学教程我们知道，引入拉格朗日函数L=T-V，并利用等时变分：δ∫Ldt=0……哈密顿原理我们可以得到拉格朗日方程：d/dt(∂L/(∂q`))-∂L/∂q=0这是与牛顿方程等价的方程。

我们所讨论的是等时变分，对于不等时变分，它也不是没有用处。

力学教学笔记之变分法:从另一种观点来看力学亢龙有悔，盈不可久也。

我觉得，力学中用到的数学方法就只有三个半。

首先是变分法，当然也就包括了微积分，单变量的和多变量的。

变分法可以从最小功原理重新推导出整个牛顿力学，还可以推广到光学、电磁学乃至量子力学，其实，朗道讲义就是这么做的。

其次就是微扰论，当然也就包括了各种近似算法。

精确解是很少的，你要知道怎么在精确解的基础上进行外推。

海王星就是这么发现的，最近预言的太阳系第九大行星(不是冥王星!)也正在等待验证。

第三个就是混沌理论，即非线性动力学。

相似的原因导致相似的结果?错!拉普拉斯的梦想?永远都只是梦想了!最后的半个是狭义相对论，也就是时空变换方法。

爱因斯坦改变了我们的时空观，但是力学里确实用得不多。

我们谈谈变分法，介绍几个最简单的极值问题，最后是拉格朗日方程——从另一种观点来看力学。

先从微积分讲起。

微积分最关键的一点就是，如果我们知道了某个函数y=f(x)在x0处的数值，如果推断它附近的一点x0+δx处的数值。

搞物理的都是这么猜的，二者的差别是：其中的f′(x0)就是所谓的一阶导数了。

然后，我们就把余量(也就是省略号的部分)直接去掉了，至于说这么做合不合法，有多大误差，那就是数学家的事情了。

如果这两者的差别为零，也就是说f′(x0)=0，这就是极值条件。

光的反射定律和折射定律可以从光程最短原理得到(费马原理)，用微分求极值的方法很容易证明，可是，你真的试过用几何方法证明吗？Try it。

上面就是单变量微积分的全部内容。

多变量微积分与此相似，只不过现在的函数有好几个自变量。

随便举个例子吧。

函数z=f(x,y)在(x0,y0)和(x0+δx,y0+δy)处的差别就是：其中，f′x和f′y就是所谓的偏微分?f/?x和?f/?y。

然后就可以用它去求解多变量的极值问题了。

至于说合不合法、误差有多大，还是那句话，不关我们的事儿，都拜托数学家了。

变分法是泛函分析里的方法。

变分法基础老大中变分法是数学和物理学中一种重要的数值计算方法，它在许多领域中都有广泛的应用。

本文将介绍变分法的背景和重要性。

变分法源于数学中的变分计算问题，最早起源于___的变分问题。

它是一种求函数最值的方法，旨在寻找函数的极值点或稳定点。

变分法的发展历程经过了数学家们的不断研究和推导，逐渐形成了现代变分法的基础理论。

在物理学中，变分法广泛应用于解决各种力学和场的问题。

通过将物理问题转化为最值问题，可以用变分法来求解微分方程和泛函方程，从而获得物理系统的稳定解、极值解或最优解。

变分法在力学、电磁学、量子力学等领域起到了重要的作用。

在工程学中，变分法常用于优化设计问题和界面问题的求解。

通过对设计参数进行变分，可求解出具有最优性能的工程结构或系统。

变分法的应用可以降低系统的能耗、提高系统的效率，并优化系统与环境的交互效果。

总之，变分法作为一种重要的数值计算方法，在数学、物理学和工程学中都有着广泛的应用和重要的意义。

通过变分法的运用，可以获得优化问题的解析解或近似解，为各个领域的研究和实践提供有力的支持和指导。

泛函泛函是一个函数的集合，其中每个函数都将一个输入映射到一个输出。

在变分法中，我们将研究泛函的性质和优化问题。

变分变分是指对函数的微小变化。

在变分法中，我们将通过对函数进行变分来研究泛函的性质和优化问题。

变分法公式变分法公式是一种用于求解泛函优化问题的数学工具。

它涉及将变分应用于泛函，并通过求解变分问题来得到泛函的极值。

变分法公式可以表示为：对于给定的泛函 J[y]，寻找函数 y 使得 J[y] 取极值应用变分运算符，通过对函数 y 进行变分，得到变分问题求解变分问题，得到泛函 J[y] 的极值函数 y变分法是一种数学方法，广泛应用于不同领域，包括物理学和工程学。

下面列举了一些变分法在这些领域中的应用示例：物理学量子力学：变分法可以用于求解量子系统的基态能量和波函数形式。

经典力学：变分法可以用于求解约束系统的最小作用量路径。

经典物理学中的变分问题变分问题是数学中的一个重要分支，也是物理学中的一个基础性问题。

它通过一个函数的最大值或最小值来描述物理系统的性质。

变分问题的研究直接涉及到很多领域的问题，包括力学、电磁学、热力学等等。

本文将重点讨论经典物理学中的变分问题，介绍变分问题的基本定义和求解方法，同时介绍变分问题在物理学中的应用。

1. 变分问题的基本定义变分问题是一个在函数空间内的极值问题，它是一种求解特定函数的变化情况和性质的方法。

通常情况下，变分问题描述的是给定函数的最小值或最大值。

它的基本形式为：Minimize J(y) = ∫ a b f(x, y, y') dx其中，f(x, y, y')是与函数y及其导数有关的函数，a、b是区间端点。

变分问题不仅是数学中的一个重要问题，同时也是物理学中的一个基础性问题。

物理学中的变分问题主要源于拉格朗日力学和哈密顿力学，通过解决变分问题可以得到物理系统的规律和性质。

2. 变分问题的求解方法为了求解变分问题，需要采用数学中的一些工具和方法。

下面是求解变分问题的一些基本方法：2.1 欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是用来求解变分问题的一种重要方法。

它的基本形式为：∂f/∂y- d/dx (∂f/∂y')=0其中 f(x, y, y')是拉格朗日量，y(x)是定义在区间[a,b]上的未知函数。

欧拉-拉格朗日方程的解是y(x)的一条光滑曲线。

2.2 经典极小化方法经典极小化方法是另一种用来求解变分问题的方法，它的基本思想是极小化给定函数J(y)。

此方法的优点是可以求解非线性、高阶和多维问题，但缺点是计算量较大。

2.3 线性变分法线性变分法是一种求解变分问题的特殊方法，仅适用于一些简单的线性问题。

线性变分法的基本思想是将变分问题转化为一个线性问题，然后再求解它。

3. 变分问题在物理学中的应用变分问题在物理学中有广泛的应用。

下面介绍几个典型的例子：3.1 悬链线问题悬链线问题是最早的变分问题之一。

变分法基本原理【1】变分法（Variational method）是一种数学方法，用于解决泛函的极值问题。

泛函是把函数映射到实数的映射，而泛函的极值问题是要找到使得泛函取得极值的函数。

变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域中的最优化问题。

【2】变分法的基本原理可以概括为以下几个步骤：步骤一：定义泛函首先，要明确定义所研究的泛函。

泛函可以是一个函数的积分、一个函数的级数或者其他数学表达式。

要根据具体问题的特点来选择合适的泛函。

步骤二：提出变分函数接下来，通过引入一个假设的函数（称为变分函数）作为泛函的自变量，使泛函成为这个变分函数的函数。

变分函数通常具有一定的约束条件，如满足特定边界条件或其他限制条件。

步骤三：计算变分利用变分函数的小扰动，即在该函数上加上一个小的修正项，计算泛函的变分。

变分是泛函在变分函数上的一阶近似变化率。

步骤四：应用欧拉-拉格朗日方程将变分代入到泛函中，得到泛函的表达式。

然后，通过应用欧拉-拉格朗日方程，将泛函转化为一个微分方程。

这个微分方程是通过对变分函数求导，然后令导数为零得到的。

步骤五：求解微分方程解决微分方程，得到最优解的表达式。

这个最优解是使得泛函取得极值的函数。

【3】变分法的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。

这种方法的优势在于可以将复杂的极值问题转化为求解微分方程的问题，简化了求解的过程。

【4】变分法在物理学中的应用非常广泛。

例如，它可以用于求解经典力学中的最小作用量原理，即通过将作用量泛函取极值来得到物体的运动方程。

此外，变分法还可以应用于量子力学中的路径积分方法、场论中的泛函积分等问题的求解。

【5】总之，变分法是一种数学方法，用于求解泛函的极值问题。

它的基本原理是通过引入一个变分函数，将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。

变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域，并具有很好的应用前景。

数学物理中的变分方法在数学和物理学中，变分方法是一种重要的数学工具，用于研究函数的极值问题。

它的基本思想是将问题转化为求解某个泛函的极值，通过变分运算来找到泛函的极值条件。

变分方法在许多领域中都具有广泛的应用，包括优化问题、微分方程、力学以及最优控制等。

本文将介绍数学物理中的变分方法的基本原理和应用。

1. 变分运算的基本概念变分运算是对函数进行微小改变，并计算这种改变对泛函的变化量。

我们考虑一个函数f(x)，其中x是自变量。

对函数f进行微小变化，可以表示为f(x+δx)，其中δx是一个无穷小量。

定义变分算子为∂/∂x，它表示对函数f进行微小的变化。

通过计算变分算子作用在函数f上的结果，可以得到泛函的变化量。

2. 泛函的极值条件对于一个泛函J[f]，我们希望找到函数f的一个极值，使得J[f]取得最小或最大值。

为了得到这个极值条件，我们需要求解变分方程。

变分方程的一般形式为：δJ[f] = 0如果函数f满足这个方程，那么它就是泛函J的一个极值。

3. 单变量变分法单变量变分法是变分方法中最简单的一种形式。

它适用于只有一个自变量的函数。

假设我们有一个泛函J[f]，其中f=f(x)，x是自变量。

首先，我们引入辅助函数g(x)，其中g(x)在与f(x)相等的区域内任意变化，在其他区域内为零。

然后，考虑泛函J的一个线性组合：J[f+εg] = J[f] + εJ[g] + O(ε^2)其中ε是一个无穷小量。

通过计算这个线性组合的变化量，并忽略高阶无穷小量，我们可以得到泛函J的变分：δJ = J[f+εg] - J[f] = εJ[g]现在，我们需要将这个变分等于零，得到一个变分方程：δJ = εJ[g] = 0通过求解这个变分方程，我们可以得到使得泛函J取得极值的函数f(x)。

4. 多变量变分法多变量变分法适用于有多个自变量的函数。

假设我们有一个函数f=f(x1,x2,...,xn)，其中xi是自变量。

类似于单变量情况，我们引入辅助函数g(xi)，并考虑泛函J的线性组合：J[f+εg] = J[f] + εJ[g] + O(ε^2)同样地，通过计算这个线性组合的变化量，并忽略高阶无穷小量，我们可以得到泛函J的变分：δJ = J[f+εg] - J[f] = εJ[g]类似于单变量情况，我们将这个变分等于零，得到一个变分方程：δJ = εJ[g] = 0通过求解这个变分方程，我们可以得到使得泛函J取得极值的函数f(x1,x2,...,xn)。