高中数学人教A版必修4 1.4.3 正切函数的性质和图像 作业 Word版含解析
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[A.基础达标]
1．函数y ＝3tan(2x ＋π
4)的定义域是( )
A ．{x |x ≠k π＋π
2，k ∈Z }
B ．{x |x ≠k 2π－3π
8，k ∈Z }
C ．{x |x ≠k 2π＋π
8，k ∈Z }
D ．{x |x ≠k
2
π，k ∈Z }
解析：选C.由2x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠12k π＋π
8(k ∈Z )．
2．f (x )＝－tan(x ＋π
4
)的单调区间是( )
A ．(k π－π2，k π＋π
2
)，k ∈Z
B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z
C ．(k π－3π4，k π＋π
4)，k ∈Z
D ．(k π－π4，k π＋3π
4
)，k ∈Z
解析：选C.令－π2＋k π＜x ＋π4＜π
2
＋k π，k ∈Z ，
解得－3π4＋k π＜x ＜π
4
＋k π，k ∈Z .
所以函数f (x )的单调减区间为(k π－3π4，k π＋π
4
)，k ∈Z .
3．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象上的相邻两支曲线截直线y ＝1所得的线段长为π
4
，则
ω的值是( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
解析：选C.由题意可得f (x )的周期为π4，则πω＝π
4
，
∴ω＝4.
4．在下列给出的函数中，以π为周期且在(0，π
2
)内是增函数的是( )
A ．y ＝sin x
2
B ．y ＝cos 2x
C ．y ＝sin(2x ＋π4)
D ．y ＝tan(x －π
4
)
解析：选D.由函数周期为π可排除A.当x ∈(0，π2)时，2x ∈(0，π)，2x ＋π4∈(π4，5
4
π)，
此时B 、C 中函数均不是增函数．故选D.
5．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫
12x ＋π3的图象的一个对称中心是( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，0 B.⎝⎛⎭⎫2π3，－33 C.⎝⎛⎭
⎫－2π
3，0 D ．(0,0)
解析：选C.因为y ＝tan x 的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫
k π2，0，k ∈Z .
由12x ＋π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π－2π
3，k ∈Z ，所以函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3的图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π－2π3，0，k ∈Z ，令k ＝0，得⎝⎛⎭
⎫－2π
3，0. 6．在(0,2π)内，使tan x >1成立的x 的取值范围为__________．
解析：利用图象y ＝tan x 位于y ＝1上方的部分对应的x 的取值范围可知．
答案：(π4，π2)∪(54π，3
2π)
7．－tan 6π5与tan(－13π
5)的大小关系是________．
解析：－tan 6π5＝－tan π
5，
tan(－13π5)＝－tan 13π5＝－tan 3π5.
∵0＜π5＜π2＜3π
5＜π，
∴tan π5＞0，tan 3π
5＜0，
∴－tan π5<－tan 3π
5，
即－tan 6π5＜tan(－13π
5
)．
答案：－tan 6π5＜tan(－13π
5)
8．y ＝tan x
2满足下列哪些条件________(填序号)．
①在(0，π
2
)上单调递增；
②为奇函数；
③以π为最小正周期；
④定义域为{x |x ≠π4＋k π
2，k ∈Z }．
解析：令x ∈(0，π2)，则x 2∈(0，π4)，所以y ＝tan x 2在(0，π2)上单调递增正确；tan(－x
2
)＝－
tan x 2，故y ＝tan x 2为奇函数；T ＝πω＝2π，所以③不正确；由x 2≠π
2＋k π，k ∈Z ，得{x |x ≠π＋2k π，k ∈Z }，所以④不正确．
答案：①②
9．求函数y ＝tan 2x 的定义域、值域和周期，并作出它在区间[－π，π]内的图象．
解：定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ∈R x ≠π4＋k π2，k ∈Z ；
值域为(－∞，＋∞)；周期为π
2
；
对应图象如图所示：
10．若函数f (x )＝2tan(ωx －π
3)(ω＜0)的最小正周期为2π，求f (x )的单调区间．
解：因为f (x )＝2tan(ωx －π3)(ω＜0)的最小正周期为2π，所以π|ω|＝2π，所以|ω|＝1
2.
又因为ω＜0，所以ω＝－1
2
.
即f (x )＝2tan(－12x －π3)＝－2tan(12x ＋π
3
)．
由k π－π2＜12x ＋π3＜k π＋π
2(k ∈Z )，
得2k π－53π＜x ＜2k π＋π
3
(k ∈Z )．
所以函数f (x )的单调减区间为
(2k π－53π，2k π＋π
3
)(k ∈Z )．
[B.能力提升]
1．函数f (x )＝lg tan x 的定义域是( )
A.⎣⎡⎭
⎫k π＋π4，k π＋π
2(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭
⎫k π－π2，k π＋π
2(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭
⎫k π，k π＋π
4(k ∈Z ) D.⎣⎡⎭
⎫k π－π4，k π＋π
2(k ∈Z ) 解析：选A.f (x )有意义时，⎩⎪⎨⎪⎧
lg tan x ≥0
tan x ＞0，
∴tan x ≥1，解得k π＋π4≤x ＜k π＋π
2(k ∈Z )，
∴f (x )的定义域为⎣⎡⎭
⎫k π＋π4，k π＋π
2(k ∈Z )． 2．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π
2
)内是减函数，则( )
A ．0＜ω≤1
B ．－1≤ω＜0
C ．ω≥1
D ．ω≤－1
解析：选B.∵y ＝tan ωx 在(－π2，π
2
)内是减函数，
∴ω＜0且T ＝π
|ω|
≥π.
∴|ω|≤1，即－1≤ω＜0.
3．使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时单调递增的区间是________． 解析：由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象(图略)知， 同时单调递增的区间为
⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π(k ∈Z )和⎝⎛⎭
⎫2k π＋π，2k π＋3π2(k ∈Z )． 答案：⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π(k ∈Z )和⎝⎛⎭
⎫2k π＋π，2k π＋3π
2(k ∈Z ) 4．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(π2，3π
2
)内的图象是如图中的________．
解析：函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |
＝⎩
⎨⎧
2tan x ，π
2
＜x ≤π，
2sin x ，π＜x ＜3
2
π.
答案：④
5．函数f (x )＝tan(3x ＋φ)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π4，0，其中0＜φ＜π
2
，试求函数f (x )的单调区间．
解：由于函数y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫
k π2，0， 其中k ∈Z .
故令3x ＋φ＝k π
2(k ∈Z )，
其中x ＝π
4，
即φ＝k π2－3π
4
(k ∈Z )．
由于0＜φ＜π
2
，
所以当k ＝2时，φ＝π
4
.
故函数解析式为f (x )＝tan ⎝⎛⎭
⎫3x ＋π4. 由于正切函数y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭
⎫k π－π2，k π＋π
2(k ∈Z )上为增函数． 则令k π－π2＜3x ＋π4＜k π＋π
2，k ∈Z ，
解得k π3－π4＜x ＜k π3＋π
12
，k ∈Z ，
故函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫
k π3－π4，k π3＋π12，k ∈Z .
6．(选做题)已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈(－π2，π
2
)．
(1)当θ＝－π
6
时，求函数f (x )的最大值与最小值；
(2)求θ的取值范围，且使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．
解：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－23
3
x －1
＝(x －33)2－4
3
，x ∈[－1，3]，
所以当x ＝33时，f (x )的最小值为－43
， 当x ＝－1时，f (x )的最大值为23
3
.
(2)因为f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ， 所以原函数的图象的对称轴方程为x ＝－tan θ. 因为y ＝f (x )在[－1，3]上是单调函数， 所以－tan θ≤－1或－tan θ≥3， 即tan θ≥1或tan θ≤－3，
所以π4＋k π≤θ＜π2＋k π或－π2＋k π＜θ≤－π
3
＋k π，k ∈Z .
又θ∈(－π2，π
2
)，
所以θ的取值范围是(－π2，－π3]∪[π4，π
2)．。
