数学物理方程题库

一、 斯通－刘维尔型1、将方程0)1('2''=---y xy y λ转化为斯通－刘维尔型。

解：原方程两端同时乘以2x e -，可得：222''2'(1)0x x x e y xe y e y λ------=则：22[](1)0xxd dy eey dxdxλ----=为其斯通－刘维尔型。

2、（8分）将方程22(1)'''()0x y xy x y λη----=转化为斯通-刘维尔型，其中η为常数。

原方程两边同乘211x-后，得：222'''011x x y y y xxλη---=--，即为：2222'''0111x xy y y y xxxηλ-+-=---方程两边同乘以21xdxx e --⎰，就化成了斯通-刘维尔型方程222211122[][][]011xx x dx dxdxx xxd dyxee y ey dx dx x xηλ------⎰⎰⎰+-=--即为：3322222(1)(1)0d x y x x y dx ηλ--+---=二、级数解的形式1、给出0')1(''=+-++y y x s xy λ在x ＝0处级数解的形式。

答：x ＝0为原方程的正则奇点，在x ＝0处级数解的形式为：k ckk y ax∞+==∑2、给出方程22'''(1)0xy y x x y λ++-=在0x =处级数解的形式。

解：方程对应的标准形式为：22'''(1)0y y x y xλ++-=1x在0x =处不解析，0x =为其一级极点；22(1)x λ-在0x =处解析，可知：0x =为原方程的正则奇点。

则：在0x =处级数解的形式为0cnnn y xax ∞==∑，或写成0c nnn y ax ∞+==∑或写成两个线性独立解：110c nnn y ax∞+==∑，220c nnn y bx∞+==∑。

1 定理的叙述: 若u(Q)在A点附近调和, u(Q) = o(1) r(A,Q , 则可补充u(Q)在A之 )
值使得u(Q)在A点得邻域中调和. 16.设P 为常系数线性偏微分算子，且有基本解E (x), 满足singsuppE = {0}则P 为亚椭圆的。 (Thm6.3.2) 第七章热传导方程 1.求解热传导算子的基本解 2.求解热传导方程的Cauchy问题 { ∂u − a2 ∆u = f (x, t) t > 0 ∂t u(x, t)|t=0 = φ(x) 3.求解热传导方程的初边值问题. {
∑ 1 ξ α ∂ α uP α (x, η ) α ! α
是一个重要的公式，称为推广的莱布尼茨公式.又以后对任一函数F (x, ξ )恒
β α 记F(β ) (x, ξ ) = ∂x ∂ξ F (x, ξ )，即下标表示对x求导，上标表示对ξ 求导. (α)
8.设有C ∞ (R)函数列{fn (x)}满足 1
d2 dx2 d + dx
α, α ∈ R .
2 + ∂r , 其中r =
第六章Laplace方程
n −1 ∂r r 3
√ 2 x2 1 + ... + xn
2.设开集Ω ⊂ R 有界，边界∂ Ω光滑，u(x) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω), Q ∈ Ω 证明 ∫ 1 ∂u ∫ ∫ ∆u u ∂ ( 1 )ds − 41 u(Q) = 41 ds − 41 dx π ∂ Ω r ∂n π ∂ Ω ∂n r π Ω r 3.证明球面平均值公式，球体平均值公式 4.证明调和函数的极值原理 5.利用极值原理证明以下Dirichlet问题的唯一性和稳定性 ∆u = 0 u|∂ Ω = f 6.利用Green函数求解上半平面的Dirichlet问题 ∆u(x, y ) = 0 y > 0 u|y=0 = f (x) 7.利用Green函数求解圆Ω上的Dirichlet问题 ∆u = 0 u|∂ Ω = f (x) ¯ ∩ C 2 (Ω), 证明： 8.设Ω = BR (Q)(以Q为心、 R为半径的开圆域), u ∈ C (Ω) ∫∫ ∫∫∫ 1 (1).u(Q) = 4πR )∆udx. u(P )dSp + 41 (1 − 1 2 π r ∂BR (Q) BR (Q) R ∫ ∫ 1 (2).若∆u ≥ 0, 则u(Ω) ≤ 4πR2 u(P )dSp . ∂BR (Q) 9.证明第一格林公式 ∫ ∫ u

σf 4dSdt.
根据热量平衡有 故所求边界条件为
−k
∂u ∂n
dSdt
=
σu4dSdt
−
σf
4dSdt.
−k
∂u ∂n
=
σ(u4
− f 4).
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 12 / 49
1. 热传导方程及其定解问题的导出 2. 初边值问题的分离变量法 3. 柯西问题 4. 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 5. 解的渐近性态
dQ = −βQ, dt Q(0) = Q0,
⇒ Q(t) = Q0e−βt.
易知 t1 到 t2 时刻, 砼内任一区域 Ω 中的热量的增加等于从 Ω 外部流入 Ω 的热量及砼中的水化热之和, 即
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 7 / 49
热传导方程及其定解问题的导出
∫ t2 cρ ∂u dtdxdydz =
.
热传导方程
.
Heat Equations
齐海涛
山东大学（威海）数学与统计学院
htqisdu@
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 1 / 49
目录
1. 热传导方程及其定解问题的导出 2. 初边值问题的分离变量法 3. 柯西问题 4. 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 5. 解的渐近性态
热传导方程及其定解问题的导出
.E.xample 1.2
.试直接推导扩散过程所满足的微分方程.
解: 设 N(x, y, z, t) 表示在时刻 t, (x, y, z) 点处扩散物质的浓度, D(x, y, z) 为 扩散系数, 在无穷小时间段 dt 内, 通过无穷小曲面块 dS 的质量为

数学物理方法习题集第一章 复数与复变函数习题1，计算：（1），1)(1i ---。

（2），iii i 524321-+-+。

（3），5(1)(2)(3)i i i ---。

（4），4(1)i -。

（5），bi a +。

2，求下列复数的实部u 与虚部v ，模r 与幅角θ：（1），ii i i 524321----。

（2），1(2n+, 4,3,2=n 。

（3），i +1。

（4），3)i -。

（5），231i -。

3，设211i z +=，i z -=32，试用三角形表示21z z 及21z z 。

4，若21=+Z z θcos ，证明21=+m m zz θm cos 。

5，求下列复数z 的主幅角z arg ：（1），iz 312+-=。

（2），6)z i =-。

6，用指数形式证明：（1），(1)2i i -+=+。

（2），i ii2125+=+。

（3），7(1)8(1)i i -+=-+。

（4），1011(12(1)--=-。

7，试解方程44(0)z a a +=>。

8，证明：（1），1212Re()Re()Re()z z z z +=+ ；一般1212Re()Re()Re()z z z z ≠。

（2），1212Im()Im()Im()z z z z +=+ ；一般1212Im()Im()Im()z z z z ≠。

（3），2121z z z z = ；一般2121z z z z +≠+。

9，证明：（1），2121z z z z +=±。

（2），2121z z z z ⋅=。

（3），1122(z zz z = （02≠z ）。

（4），121212122Re()2Re()z z z z z z z z +==。

（5），()z z ≤Re ，()z z ≤Im 。

（6），2121212z z z z z z ≤+。

（7），222121212()()z z z z z z -≤+≤+。

齐海涛
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数学物理方程
2012-10-3
11 / 69
建立方程、定解条件
方法二: 同上题, 在柱面坐标系下 q1 = r, q2 = θ, q3 = z, 则 ds2 = dr2 + r2 dθ2 + dz2 , H1 = 1, H2 = r, H3 = 1,
代入 (1.4) 即得柱面坐标下 Laplace 算子的表达式.
.
第三章
.
调和方程
Laplace Equations
齐 海 涛
山东大学（威海）数学与统计学院
htqisdu@
齐海涛
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目录
. 1 . 2 . 3 . 4
建立方程、定解条件 格林公式及其应用 格林函数 强极值原理、第二边值问题解的唯一性
对上式两边积分即得结论.
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4 / 69
建立方程、定解条件
.
Example 1.2
. 证明: 拉普拉斯算子在球面坐标 (r, θ, φ) 下可以写成 ( ) ( ) 1 ∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂2 u △u = 2 r + 2 sin θ + . r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r2 sin2 θ ∂φ2 .
∂2 u ∂2 u ∂2 u sin θ cos θ ∂2 u sin2 θ ∂u sin2 θ ∂u sin 2θ = 2 cos2 θ − 2 · + 2 2 + + , 2 ∂x ∂r ∂r∂θ r ∂θ r ∂r r ∂θ r2 ∂2 u ∂2 u 2 ∂2 u sin θ cos θ ∂2 u cos2 θ ∂u cos2 θ ∂u sin 2θ · + 2 2 + − = sin θ + 2 , ∂y2 ∂r2 ∂r∂θ r ∂θ r ∂r r ∂θ r2 将最后两式相加, 并加以整理, 即得到所需结果.

2012-10-3 3 / 69
建立方程、定解条件
∂2u ∂x2i
=
x2i r2
f
′′(r)
+
( 1 r
−
x2i r3
)
f
′(r),
(i = 1, 2, . . . , n)
将上式代入调和方程得
f
′′(r)
+
n
−
1 f
′(r)
=
0,
r
即
f ′′(r) f ′(r)
=
−n
− r
1.
对上式两边积分即得结论.
πx a
,
u(x, b)
=
0.
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2012-10-3 17 / 69
建立方程、定解条件
.E.xample 1.6
用分离变量法求解由下述调和方程的第一边值问题所描述的矩形平板 (0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b) 上的稳定温度分布:
.
uxx + uyy = 0,
u(0, y) = u(a, y) = 0,
,
∂r ∂R
=
sin θ,
∂θ ∂R
=
cos θ . r
由 (1.2) 及 (1.3) 知
(1.3)
∂2u ∂z2
=
cos2
θ
∂2u ∂r2
+
sin2 r2
θ
∂2u ∂θ2
+
sin2 r
θ
∂u ∂r
+
sin 2θ r2
∂u ∂θ
−
sin 2θ r
∂2u ∂r∂θ
,

又杆的初始温度分布为
u
t=0 =
x(l − 2
x) .
2
，所以
湖南大学数学院朱郁森
故相应的定解问题为
ut = a2uxx , 0 < x < l, t > 0.
u x=0 = 0,
ux x=l = q . k
u
t=0 =
x(l − 2
x) .
习题一、2
湖南大学数学院朱郁森
长为 l 的弦两端固定，开始时在 x = c 处受到冲
)
=
Bk
sin
kπ α
θ
,
kπ
Rk (ρ) = ck ρ α k = 1, 2,L.
1 ρ
∂
∂ρ
ρ
∂u
∂ρ
+
1
ρ2
∂2u
∂θ 2
=
0,
（1）
u θ =0 = u θ =α = 0, u ρ=a = f (θ) u(0,θ) < +∞,
（2） （3） （4）
于是得方程（1）适合条件（2）（4）的一组特解
∞
u(x,t) = ∑uk (x,t)
k =0
∑ =
∞
Ck
e−
akπ l
2 t
cos
kπ
x
k =0
l
仍满足方程（1）与条件（2）。
湖南大学数学院朱郁森
又由条件（3），得
∑∞ Ck cos kπ x = x, ⇒
k =0
l
l , k = 0,
Ck
2
= ∫2 l x cos kπ xdx,
l0
l
故原定解问题的解为
情况。

∂u ∂r
−
sin θ r
∂u ∂θ
,
∂u ∂R
=
sin
θ
∂u ∂r
+
cos θ r
∂u ∂θ
.
R2 + z2 = r2,
tan θ
=
R z
,
(1.1) (1.2)
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数学物理方程
2012-10-3 6 / 69
建立方程、定解条件
故有
∂r ∂z
=
cos θ,
∂θ ∂z
=
−
sin r
θ
H1
=
√( ∂x )2 ∂q1
( ∂y )2 + ∂q1
+
(
∂z ∂q1
)2 ,
H2
=
√( ∂x )2 ∂q2
( ∂y )2 + ∂q2
+
(
∂z ∂q2
)2 ,
H3
=
√( ∂x )2 ∂q3
( ∂y )2 + ∂q3
+
(
∂z ∂q3
)2 ,
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数学物理方程
2012-10-3 2 / 69
1. 建立方程、定解条件 2. 格林公式及其应用 3. 格林函数 4. 强极值原理、第二边值问题解的唯一性
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数学物理方程
2012-10-3 3 / 69
建立方程、定解条件
.E.xample 1.1
√
设 u(x1, . . . , xn) = f(r) (其中 r = x21 + · · · + x2n ) 是 n 维调和函数, 试证明

数学物理方程试题（一）一、填空题（每小题5分, 共20分）1.长为 的两端固定的弦的自由振动, 如果初始位移为 , 初始速度为x 2cos 。

则其定解条件是2.方程.的通解................3.已知边值问题 , 则其固有函数 =4.方程0)(222'"2=-++y n x xy y x α的通解为 二.单项选择题（每小题5分, 共15分）1. 拉普拉斯方程 的一个解是.. ）（A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u +=（C ）221),(y x y x u += （D ）22ln),(y x y x u += 2.一细杆中每点都在发散热量, 其热流密度为 ,热传导系数为 , 侧面绝热,体密度为 ,比热为 , 则热传导方程....)（A ）ρc t x F x u a t u),(22222+∂∂=∂∂ （B ）ρc t x F x u a t u ),(222+∂∂=∂∂ (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+∂∂=∂∂ (D) ρc t x u x F a t F ),(222+∂∂=∂∂ (其中ρc k a =2) 3.理想传输线上电压问题( 其中CL a 12=)的解为（ ） （A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(=（C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω1. 三.解下列问题2. ( 本题8分) 求问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂+∂∂x ex u yu x u 38)0,(03的解3. ( 本题8分)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==∂∂∂222),0(,cos 1)0,(6y y u x x u y x y x u...本题8分.求问. 的解1. 四.用适当的方法解下列问题2. ( 本题8分) 解问题 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=∂∂=∂∂2222321)0,(x x x u x u a t u 2.( 本题8分) 解问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂==202202222222226,32)(y t uxz y u z u y u x u a t u t t 五. ( 本题10分)解混合问题:六. ( 本题15分)用分离变量法解下列混合问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-===∂∂=∂∂=xt u x x x u t u t u x u a t u t 2sin 3,)(2)0,(0),(),0(022222ππ 一.单项选择题（每小题4分, 共20分）1.（D..2.（B..3.（D..4.（D ）二.填空题（每空4分, 共24分）1....2...3.. ，4.)(x X n =cos ,(0,1,2,3,)2n n x B n π= 5.通解为223(,)()()2u x t x y f x g y =++ 三.解下列问..本题7分.1. 求问题 的解解: 设 （2分）代入方程,330,1m m +==- （6分）所以解为 3(,)8x y u x t e -= （7分）2． ( 本题7分) 求问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂=20222223,2sin )0,(x t ux x u x u a t u t 的解 解: 由达朗贝尔公式, 得211(,)[sin 2()sin 2()]322x at x at u x t x at x at d aξξ+-=++-+⎰（3分） 223cos 2sin 23at x x t a t =++ （7分）四.用适当的方法解下列问题1. .本题7分.解问.解: 设代入方程,令 2066A A a x''=⎧⎨=+⎩ 显然成立 解为 22(,)12366u x t x x a t xt =-+++2.( 本题7分) 解问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂++=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂==202202222222226,32)(y t u yz y x u z u y u x u a t u t t 解: 设 （2分）代入方程22326[(212)(12)]A Bt a y At t Bt +=++∆++∆ （4分）令 , 显然成立, 解为322222632),(t a t y t a yz y x t x u +++++=五. ( 本题7分)解混合问题:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===∂∂=∂∂x x u t u t u x u a t u πsin 2)0,(0),1(),0(222 解1(,){(,)}u x t L U x s -=222sin a t e x ππ-= 六. ( 本题15分)用分离变量法解下列混合问题:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-===∂∂=∂∂=xt u x x x u t u t u x u a t u t 2sin 3,)(2)0,(0),(),0(022222ππ 解: 设 代入方程及边界200(0)()0T a T X X X X λλπ''⎧+=⎪''+=⎨⎪==⎩22(),sin n n n n X nx πλπ=== (cos sin )sin n n n u C ant D ant nx =+1(,)(cos sin )sin n n n u x t C ant D ant nx ∞==+∑其中 3028[1(1)]()sin n n C x x nxdx n ππππ--=-=⎰ 00(2)23sin 2sin 3(2)n n D x nxdx n aππ≠⎧⎪==⎨=⎪⎩⎰ 所以解为3138[1(1)](,)sin 2sin 2cos sin n n u x t at x ant nx a n π∞=--=+∑2009-2010学年第一学期数学物理方程试题一、 填空题（每小题4分, 共24分）1.方程.的特征线..........2.长为 的弦做微小的横振动, 、 两端固定, 且在初始时刻处于水平状态, 初始速度为 .则其定解条件.................3.方程 的通解.........4.已知边值问. .. 则其固有函数)(x X n =5.方程 的通解............6...........二. 单项选择题（每小题4分, 共20分）1.微分方程.是..）（A ）三阶线性偏微分方程 （B ）三阶非线性偏微分方程（C ）三阶线性齐次常微分方.....（D ）三阶非线性常微分方程2. 拉普拉斯方程 的一个解是.. ）（A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u +=（C ）221),(y x y x u += （D ）22ln),(y x y x u += 3.一细杆中每点都在发散热量, 其热流密度为 ,热传导系数为 , 侧面绝热,体密度为 ,比热为 , 则热传导方程....)（A ）ρc t x F x u a t u),(22222+∂∂=∂∂ （B ）ρc t x F x u a t u ),(222+∂∂=∂∂ (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+∂∂=∂∂ (D) ρc t x u x F a t F ),(222+∂∂=∂∂ (其中ρc k a =2) 4.理想传输线上电压问题（A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(=（C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω5.单位半径的圆板的热传导混合问题⎪⎩⎪⎨⎧=<=<∂∂+∂∂=∂∂)()0,(,),(,0),1()1()1(222ρρρρρρρf u M t u t u u u a t u 有形如（ ）的级数解。

u(r, π=) 2
0,
0 < r < 1,
u(1,θ )=
θ (π −θ ), 2
0<θ < π . 2
练习六
3
1．求解如下定解问题：
ut = uxx + cosπ x, (0 < x < 1, t > 0), u= x (0,t) u= x (1,t) 0, u(x,0) = 0.
2．求解如下定解问题：
《数学物理方程与特殊函数》习题
练习一
1．写出长为 L 的弦振动的边界条件和初始条件：
（1）端点 x = 0, x = L 是固定的；
（2）初始状态为 f (x) ；
（3）初始速度为 g(x) ； （4）在任何一点上，在时刻 t 时位移是有界的. 2．写出弦振动的边界条件：（1）在端点 x = 0 处，弦是移动的，由 g(t) 给出；（2） 在端点 x = L 处，弦不固定地自由移动. 3． 验证函数 u = f (xy) 是方程 xux − yu y = 0 的解，其中 f 是任意连续可微函数.
保持零度，而外圆温度保持 u0 (u0 > 0) 度，试求稳恒状态下该导热版的温度分布
规律 u(r,θ ) . 问题归结为在稳恒状态下，求解拉普拉斯方程 ∆u= uxx + uy问题：
u1r (∂r∂1r,θ= )r
∂u ∂r
0,
+ 1 ∂2=u r 2 ∂θ 2 u(r2 ,θ=)
= u(0, t) s= in t, ux (π ,t) 0,
u(x,0) = 0.
4
3. 求解以下定解问题：
= uu= (t0,tu) xx
+2ux , u= (1, t )

２．问初始条件)(x ϕ与)(x ψ满足怎样的条件时，齐次波动方程初值问题的解仅由右传播波组成？解：波动方程的通解为 u=F(x-at)+G(x+at)其中F ，G 由初始条件)(x ϕ与)(x ψ决定。

初值问题的解仅由右传播组成，必须且只须对 于任何t x ,有 G(x+at)≡常数. 即对任何x, G(x)≡C 0又 G （x ）=⎰-+xx aC d ax 02)(21)(21ααψϕ所以)(),(x x ψϕ应满足 +)(x ϕ⎰=xx C d a1)(1ααψ（常数）或'ϕ(x)+)(1x aψ=03.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂=+=-).()(0022222x u x u x ua t u at x at x ψϕ ())0()0(ψϕ= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ϕ=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0)所以 F(x)=)2(x ψ-G(0). G （x ）=)2(xϕ-F(0).且 F （0）+G(0)=).0()0(ψϕ= 所以 u(x,t)=(ϕ)2atx ++)2(at x -ψ-).0(ϕ即为古尔沙问题的解。

1. 用分离变量法求下列问题的解：(1)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==<<-=∂∂=∂∂=∂∂==0),(),0()0()1(,3sin 022222t l u t u l x x x t u l x u x u a t u ot t π解：边界条件齐次的且是第一类的，令)()(),(t T x X t x u =得固有函数x ln x X n πsin)(=，且 t lan B t lan A t T n n n ππsincos)(+=，)2,1( =n于是 ∑∞=+=1sin)sincos(),(n n n x ln t lan B t lan A t x u πππ今由始值确定常数n A 及n B ，由始值得 ∑∞==1s i n3s i nn n x ln A lx ππ∑∞==-1sin)(n n x ln B lan x l x ππ所以 ,13=A ,0=n A 当3≠n ⎰-=ln x d x ln x l x an B 0sin)(2ππ⎩⎨⎧ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x l n x n l x l n n lx l n x n l l an πππππππcos sincos 22222)}))1(1(4cos2sin24430333222nlan lxln n lx ln n x l --=--πππππ因此所求解为∑∞=--+=1443s i ns i n)1(143s i n 3c o s ),(n nx ln t lan na lx l t l a t x u πππππ(2) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂==∂∂==∂∂-∂∂0)0,(,)0,(0),(0),0(022222x tu x l h x u t l tu t u x ua t u 解：边界条件齐次的，令 )()(),(t T x X t x u =得：⎩⎨⎧='==+''0)(,0)0(0l X X X X λ (1)及 )2(02=+''X a T λ。

数学物理方程习题解习题一1， 验证下面两个函数：(,)(,)sin x u x y u x y e y ==都是方程0xx yy u u +=的解。

证明：（1）(,)u x y =因为32222222222222223222222222222222222222222211()22()2()()11()22()2()()0()()x xx y yy xx yy x u x x y x y x y x x x y u x y x y yu y x y x y x y y y y x u x y x y x y y x u u x y x y =-⋅⋅=-+++-⋅-=-=++=-⋅⋅=-+++-⋅-=-=++--+=+=++所以(,)lnu x y =是方程0xx yy u u +=的解。

（2）(,)sin x u x y e y = 因为sin ,sin cos ,sin x x x xx xxy yy u y e u y e u e y u e y=⋅=⋅=⋅=-⋅所以 s i ns i n 0x xxx yy u u e y e y +=-= (,)sin x u x y e y =是方程0xx yy u u +=的解。

2，证明：()()u f x g y =满足方程： 0xy x y uu u u -= ，其中f 和g 都是任意的二次可微函数。

证明：因为()()u f x g y =所以()(),()()()()()()()()()()()()0x y xy xy x y u g y f x u f x g y u f x g y uu u u f x g y f x g y g y f x f x g y ''=⋅=⋅''=⋅''''-=⋅-⋅⋅=得证。

3， 已知解的形式为(,)()u x y f x y λ=+，其中λ是一个待定的常数，求方程 430xx xy yy u u u -+= 的通解。

( −∞ < x < ∞ , y > 0 ) ( −∞ < x < ∞ ) ( −∞ < x < ∞ )
。
第七章习题 44、试用平面极坐标系把二维波动方程分离变数。 45、试用平面极坐标系把二维输运方程分离变数。 46、求证 Pl ( x ) = Pl′+1 ( x) − 2 xPl′( x ) + Pl′−1 ( x ) ， l ≥ 1 。 47、利用上题和 ( l + 1) Pl +1 ( x) − ( 2l + 1) xPl ( x) + lPl −1 ( x) = 0 ， l ≥ 1 ， 求证 ( 2l + 1) Pl ( x ) = Pl′+1 ( x ) − Pl′−1 ( x ) ， l ≥ 1 。 48、在 [ −1,1] 区间上将 x 2 用勒让德多项式展开。
i
b．证明 ∫i
2+i
dz ≤ 2 积分路径是直线段。 z2
10、不用计算，证明下列积分之值均为零，其中 c 均为圆心在原点， 半径为 1的单位圆周。 a． v ∫c
e z dz dz ； b． v ∫c z 2 + 5z + 6 。 cos z 2z2 − z +1 v ∫ c z − 1 dz ez z
z
25、求下列函数在其奇点（包括无穷远点）处的留数， （ m 是自然数） ； （2） （1） z m sin （ m 是自然数）
1 z
ez
( z − 1)
2
； （3）
ez −1 。 sin 3 z
26、求下列函数在其孤立奇点（包括无穷远点）处的留数。
α⎛
（1） e
1⎞ ⎜ z− ⎟ 2⎝ z ⎠

11.设 {(x, y) | x2 y2 R2, y 0}, 考虑半圆域狄利克雷问题
u 0, x
u(x, y) (x, y),(x, y)
应用对称法求区域 上的格林函数。
解：该问题所求格林函数应满足
G (P, P0 ), P
G(P, P0 ) 0, P B(圆周) G(P, P0 ) 0, P L(x轴上的边界)
C1
1
4
解为 u 1
4 r
方法二: 本题中u只与r有关，则
所以
uxx
u yy
+uzz
=
1 r
(2ur
rurr )
2ur rurr 0 2rur r 2urr 0 (r 2ur )r 0 r 2ur C
ur
C r2
u
C1
1 r
C2
随后求解过程与方法一相同。
注：在球面坐标系中
uxx
记 G \ B ，则 G B ，在格林第二公式
(uv vu)d
(u
v n
v
u )ds n
中，令 v (P, P0 )，注意到 0 ，则有
ud
G
(u
G
n
u )ds n
或
ud (u u )ds (u u )ds
G
n n
B n n
在圆周B 上有
( 1
随后求解过程与方法一相同。
(3)uxx uyy +uzz =0,r 0
解：方法一: 三维拉普拉斯方程的基本解表示通解
1 u C1 r C2
lim u(r)=0
r
C2
0
u n |B(0, )
u n
B(0, )

Example 1.3
齐海涛
(SDU)
数学物理方程
2012-10-3
7 / 49
热传导方程及其定解问题的导出
. . 砼(混泥土)内部储藏着热量, 称为水化热, 在它浇筑后逐渐放出, 放热速度和 它所储藏的水化热成正比. 以 Q(t) 表示它在单位体积中所储的热量, Q0 为 初始时刻所储的热量, 则 ddQ t = −βQ, 其中 β 为正常数. 又假设砼的比热为 c, 密度为 ρ, 热传导系数为 k, 求它在浇筑后温度 u 满足的方程. . 解: 设砼内点 (x, y, z) 在时刻 t 的温度为 u(x, y, z, t), 显然 dQ = −βQ, dt Q(0) = Q0 , ⇒ Q(t) = Q0 e−βt .
2012-10-3 3 / 49
Example 1.1
齐海涛
(SDU)
数学物理方程
热传导方程及其定解问题的导出
故单位时间流入 (x, x + ∆x) 的热量为 ( ) ∂u πl2 ∂ k(x) · ∆x − k1 (u − u1 )πl∆x. dQ = dQ1 + dQ2 + dQ3 = ∂x ∂x x∗ 4 综上, 从时刻 t1 到 t2 流入位于 [x1 , x2 ] 杆段的热量为 ) ] ∫ t2 ∫ x2 [ ( ∂u πl2 ∂ k(x) − k1 (u − u1 )πl dxdt. ∂x ∂x 4 t1 x1 而在这段时间内 [x1 , x2 ] 杆段内各点温度从 u(x, t1 ) 变到 u(x, t2 ), 其吸收热量 为 ∫ t2 ∫ x2 2 ∫ x2 πl ∂u πl2 cρ dxdt. cρ(u(x, t2 ) − u(x, t1 )) dx = 4 4 ∂t t1 x1 x1 根据热量守恒, 并注意到 x1 , x2 , t1 , t2 的任意性, 得所求方程为 ( ) 1 ∂ ∂u ∂u 4k1 = (u − u 1 ). k(x) − ∂t cρ ∂x ∂x cρl

2
1
2） x 2 u xx + 2 xy u xy + y 2 u yy = 0 解 ： 方 程 的 判 别 式 ∆ = a12 2 − a11 a 22 = ( xy ) − x 2 y 2 = 0. 所以方程为抛物型。 该方程的一组特征微分方程为 dy a12 y = = ,解 这 个 微 分 方 程 得 到 ： dx a11 x
x
' 对上式积分得，a ⎡ f x − f x = − a ϕ ⎤ ( ) ( ) 1 2 ⎣ ⎦ ∫ ( x) dξ + c
x0
⎧ ϕ ( x) 1 x ' c − ∫ ϕ ( x) dξ + ⎪ f1 ( x) = 2 2 x0 2a ⎪ 于是得到， ⎨ x ⎪ f x = ϕ ( x) + 1 ϕ' x dξ − c ( ) ∫ ⎪ 2( ) 2 2 2a x0 ⎩ ⎧ ϕ ( x + at ) 1 x+at ' c f x + at = − ϕ x d ξ + ) ( ) ⎪ 1( ∫ 2 2 2a x0 ⎪ ⇒⎨ x0 c ⎪ f x − at = ϕ ( x − at ) + 1 ' ϕ x d ξ − ( ) ( ) ∫at ⎪ 2 2 2 2a x − ( ) ⎩ ⇒ u ( x,t) = f1 ( x + at ) + f2 ( x − at ) 1 1 = ⎡ ϕ x + at + ϕ x − at ⎤ − ϕ ' (ξ ) dξ ( ) ( ) ⎣ ⎦ ∫ 2 2 x−at = ϕ ( x − at )
2 ⎧ ⎪utt = a uxx ( −∞ < x < ∞) ⎨ ' u x ,0 = ϕ x ， u x ,0 = − a ϕ ( ) ( ) ( ) ( x) ⎪ t ⎩ 根据题意，令u( x,t) = f1 ( x + at ) + f2 ( x − at )

数学物理方程期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 以下哪一项不是数学物理方程的特点？A. 连续性B. 离散性C. 线性D. 非线性答案：B2. 波方程是描述什么的方程？A. 热传导B. 电磁波C. 机械波D. 流体动力学答案：C3. 拉普拉斯方程通常出现在哪种物理现象中？A. 热传导B. 流体流动C. 电磁场D. 弹性力学答案：C4. 以下哪个不是偏微分方程的解的性质？A. 唯一性B. 线性C. 稳定性D. 离散性答案：D5. 波动方程的解通常表示什么？A. 温度分布B. 电荷分布C. 压力分布D. 位移分布答案：D二、填空题（每空2分，共20分）6. 波动方程的基本形式是 _______。

答案：\( \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u \)7. 热传导方程，也称为________方程。

答案：傅里叶8. 拉普拉斯方程 \( \nabla^2 \phi = 0 \) 在静电学中描述的是________。

答案：电势9. 边界条件通常分为________和________。

答案：狄利克雷边界条件；诺伊曼边界条件10. 波动方程的一般解可以表示为________和________的叠加。

答案：基频解；高阶谐波三、简答题（每题10分，共30分）11. 解释什么是边界层的概念，并给出一个实际应用的例子。

答案：边界层是流体力学中的一个概念，指的是流体靠近物体表面处的一层非常薄的流体，其中速度梯度很大。

在边界层内，流体的速度从物体表面的零速度逐渐增加到与外部流体速度相匹配。

一个实际应用的例子是飞机的机翼，边界层的厚度和特性对飞机的升力和阻力有重要影响。

12. 描述什么是格林函数，并解释它在解决偏微分方程中的作用。

答案：格林函数是一种数学工具，用于解决线性偏微分方程。

它是一个特定的函数，当它与方程的算子相乘时，结果是一个狄利克雷问题，其解是原始方程的一个解。