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一、 斯通－刘维尔型1、将方程0)1('2''=---y xy y λ转化为斯通－刘维尔型。
解：原方程两端同时乘以2x e -，可得：222''2'(1)0x x x e y xe y e y λ------=则：22[](1)0xxd dy eey dxdxλ----=为其斯通－刘维尔型。
2、（8分）将方程22(1)'''()0x y xy x y λη----=转化为斯通-刘维尔型，其中η为常数。
原方程两边同乘211x-后，得：222'''011x x y y y xxλη---=--，即为：2222'''0111x xy y y y xxxηλ-+-=---方程两边同乘以21xdxx e --⎰，就化成了斯通-刘维尔型方程222211122[][][]011xx x dx dxdxx xxd dyxee y ey dx dx x xηλ------⎰⎰⎰+-=--即为：3322222(1)(1)0d x y x x y dx ηλ--+---=二、级数解的形式1、给出0')1(''=+-++y y x s xy λ在x ＝0处级数解的形式。
答：x ＝0为原方程的正则奇点，在x ＝0处级数解的形式为：k ckk y ax∞+==∑2、给出方程22'''(1)0xy y x x y λ++-=在0x =处级数解的形式。
解：方程对应的标准形式为：22'''(1)0y y x y xλ++-=1x在0x =处不解析，0x =为其一级极点；22(1)x λ-在0x =处解析，可知：0x =为原方程的正则奇点。
则：在0x =处级数解的形式为0cnnn y xax ∞==∑，或写成0c nnn y ax ∞+==∑或写成两个线性独立解：110c nnn y ax∞+==∑，220c nnn y bx∞+==∑。
数学物理方法习题集第一章 复数与复变函数习题1，计算：（1），1)(1i ---。
（2），iii i 524321-+-+。
（3），5(1)(2)(3)i i i ---。
（4），4(1)i -。
（5），bi a +。
2，求下列复数的实部u 与虚部v ，模r 与幅角θ：（1），ii i i 524321----。
（2），1(2n+, 4,3,2=n 。
（3），i +1。
（4），3)i -。
（5），231i -。
3，设211i z +=，i z -=32，试用三角形表示21z z 及21z z 。
4，若21=+Z z θcos ，证明21=+m m zz θm cos 。
5，求下列复数z 的主幅角z arg ：（1），iz 312+-=。
（2），6)z i =-。
6，用指数形式证明：（1），(1)2i i -+=+。
（2），i ii2125+=+。
（3），7(1)8(1)i i -+=-+。
（4），1011(12(1)--=-。
7，试解方程44(0)z a a +=>。
8，证明：（1），1212Re()Re()Re()z z z z +=+ ；一般1212Re()Re()Re()z z z z ≠。
（2），1212Im()Im()Im()z z z z +=+ ；一般1212Im()Im()Im()z z z z ≠。
（3），2121z z z z = ；一般2121z z z z +≠+。
9，证明：（1），2121z z z z +=±。
（2），2121z z z z ⋅=。
（3），1122(z zz z = （02≠z ）。
（4），121212122Re()2Re()z z z z z z z z +==。
（5），()z z ≤Re ，()z z ≤Im 。
（6），2121212z z z z z z ≤+。
（7），222121212()()z z z z z z -≤+≤+。
数学物理方程试题（一）一、填空题（每小题5分, 共20分）1.长为 的两端固定的弦的自由振动, 如果初始位移为 , 初始速度为x 2cos 。
则其定解条件是2.方程.的通解................3.已知边值问题 , 则其固有函数 =4.方程0)(222'"2=-++y n x xy y x α的通解为 二.单项选择题（每小题5分, 共15分）1. 拉普拉斯方程 的一个解是.. ）（A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u +=（C ）221),(y x y x u += （D ）22ln),(y x y x u += 2.一细杆中每点都在发散热量, 其热流密度为 ,热传导系数为 , 侧面绝热,体密度为 ,比热为 , 则热传导方程....)（A ）ρc t x F x u a t u),(22222+∂∂=∂∂ （B ）ρc t x F x u a t u ),(222+∂∂=∂∂ (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+∂∂=∂∂ (D) ρc t x u x F a t F ),(222+∂∂=∂∂ (其中ρc k a =2) 3.理想传输线上电压问题( 其中CL a 12=)的解为（ ） （A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(=（C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω1. 三.解下列问题2. ( 本题8分) 求问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂+∂∂x ex u yu x u 38)0,(03的解3. ( 本题8分)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==∂∂∂222),0(,cos 1)0,(6y y u x x u y x y x u...本题8分.求问. 的解1. 四.用适当的方法解下列问题2. ( 本题8分) 解问题 ⎪⎩⎪⎨⎧+-=∂∂=∂∂2222321)0,(x x x u x u a t u 2.( 本题8分) 解问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂==202202222222226,32)(y t uxz y u z u y u x u a t u t t 五. ( 本题10分)解混合问题:六. ( 本题15分)用分离变量法解下列混合问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-===∂∂=∂∂=xt u x x x u t u t u x u a t u t 2sin 3,)(2)0,(0),(),0(022222ππ 一.单项选择题（每小题4分, 共20分）1.（D..2.（B..3.（D..4.（D ）二.填空题（每空4分, 共24分）1....2...3.. ，4.)(x X n =cos ,(0,1,2,3,)2n n x B n π= 5.通解为223(,)()()2u x t x y f x g y =++ 三.解下列问..本题7分.1. 求问题 的解解: 设 （2分）代入方程,330,1m m +==- （6分）所以解为 3(,)8x y u x t e -= （7分）2． ( 本题7分) 求问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=∂∂=20222223,2sin )0,(x t ux x u x u a t u t 的解 解: 由达朗贝尔公式, 得211(,)[sin 2()sin 2()]322x at x at u x t x at x at d aξξ+-=++-+⎰（3分） 223cos 2sin 23at x x t a t =++ （7分）四.用适当的方法解下列问题1. .本题7分.解问.解: 设代入方程,令 2066A A a x''=⎧⎨=+⎩ 显然成立 解为 22(,)12366u x t x x a t xt =-+++2.( 本题7分) 解问题 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂++=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂==202202222222226,32)(y t u yz y x u z u y u x u a t u t t 解: 设 （2分）代入方程22326[(212)(12)]A Bt a y At t Bt +=++∆++∆ （4分）令 , 显然成立, 解为322222632),(t a t y t a yz y x t x u +++++=五. ( 本题7分)解混合问题:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===∂∂=∂∂x x u t u t u x u a t u πsin 2)0,(0),1(),0(222 解1(,){(,)}u x t L U x s -=222sin a t e x ππ-= 六. ( 本题15分)用分离变量法解下列混合问题:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂-===∂∂=∂∂=xt u x x x u t u t u x u a t u t 2sin 3,)(2)0,(0),(),0(022222ππ 解: 设 代入方程及边界200(0)()0T a T X X X X λλπ''⎧+=⎪''+=⎨⎪==⎩22(),sin n n n n X nx πλπ=== (cos sin )sin n n n u C ant D ant nx =+1(,)(cos sin )sin n n n u x t C ant D ant nx ∞==+∑其中 3028[1(1)]()sin n n C x x nxdx n ππππ--=-=⎰ 00(2)23sin 2sin 3(2)n n D x nxdx n aππ≠⎧⎪==⎨=⎪⎩⎰ 所以解为3138[1(1)](,)sin 2sin 2cos sin n n u x t at x ant nx a n π∞=--=+∑2009-2010学年第一学期数学物理方程试题一、 填空题（每小题4分, 共24分）1.方程.的特征线..........2.长为 的弦做微小的横振动, 、 两端固定, 且在初始时刻处于水平状态, 初始速度为 .则其定解条件.................3.方程 的通解.........4.已知边值问. .. 则其固有函数)(x X n =5.方程 的通解............6...........二. 单项选择题（每小题4分, 共20分）1.微分方程.是..）（A ）三阶线性偏微分方程 （B ）三阶非线性偏微分方程（C ）三阶线性齐次常微分方.....（D ）三阶非线性常微分方程2. 拉普拉斯方程 的一个解是.. ）（A ）xy e y x u x sin ),(= （B ）22),(y x y x u +=（C ）221),(y x y x u += （D ）22ln),(y x y x u += 3.一细杆中每点都在发散热量, 其热流密度为 ,热传导系数为 , 侧面绝热,体密度为 ,比热为 , 则热传导方程....)（A ）ρc t x F x u a t u),(22222+∂∂=∂∂ （B ）ρc t x F x u a t u ),(222+∂∂=∂∂ (C ) ρc t x u x F a t F ),(22222+∂∂=∂∂ (D) ρc t x u x F a t F ),(222+∂∂=∂∂ (其中ρc k a =2) 4.理想传输线上电压问题（A ）)(cos ),(at x A t x u +=ω （B ）t a x A t x u ωωcos cos ),(=（C ）t a x A t x u ωωsin cos ),(= （D ）)(cos ),(t a x A t x u -=ω5.单位半径的圆板的热传导混合问题⎪⎩⎪⎨⎧=<=<∂∂+∂∂=∂∂)()0,(,),(,0),1()1()1(222ρρρρρρρf u M t u t u u u a t u 有形如（ ）的级数解。
()()22221211*********cos 3sin 0cos 3sin 40.2cos 2cos 2sin x x y a a a x x xx y x −−+−=∆=−=−++=>⎧⎪==−⎪⎨⎪==−−⎪⎩=−xx xy yy y ，指出下列方程的类型并化为标准形式。
1） u u u u 解：方程的判别式所以方程为双曲型。
dy dx该方程的一组特征微分方程为dy dx 积分得到特征曲线为1112222211122222111222sin 2sin 2sin 2sin 2sin 082x c c y x xy x x c c y x xy x xy x x U U UB a a a x x x y y x y y a a x x y ξηξηξηξηξηξηξηξξ+=−+⎧⎧⇒⎨⎨=−−+=++⎩⎩−+⎧⎨=++⎩∂∂∂++=∂∂∂∂⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂∂=+++=−⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎠∂∂=+∂∂∂1211121=于是令此时原方程可以转化为2A A 其中，A A ()()2221222211122212222sin 2sin 00a b y xy y B a a a b y xx x y y yU U Uu u u ξξηηηηξηξηξηξηξηξηξη∂∂++=−−∂∂∂∂∂∂=+++=−−∂∂∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂⎛⎞∂∂∂++=⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠1所以16y+sinx y+sinx +由于y+sinx=，所以上式可以变为关于，得标准方程2+32()22222121122121122211122200.,().02xy y a a a xy x y a y a xyy cx c x x u u uB a a x x y ξηηξηηηη++=∆=−=−=====∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂⎛⎞=++⎜⎟∂∂∂⎝⎠2xx xy yy 221122） x u u u 解：方程的判别式所以方程为抛物型。
dy 该方程的一组特征微分方程为解这个微分方程得到：dx 其中为常数，因此令=，选此时原方程可以转化为2A A 其中，A 22222221112222222211122222222222002000a y y a a a x x y y B a a a x x y yu uy y ηξξξηηηηη⎛⎞∂=⎜⎟∂⎝⎠∂∂∂=++=∂∂∂∂∂∂∂=++=∂∂∂∂∂∂=≠=∂∂11A 最后得到，当时，()22121122111111111122222103053*3160.3133311333a a a y x c c y x y x c c y x y x ξ++=∆=−=−=>⎧⎪==⎪⎨⎪==⎪⎩=+=−⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨=+=−⎪⎪⎩⎩−xx xy yy 3） 3u u u 解：方程的判别式所以方程为双曲型。
dy dx该方程的一组特征微分方程为dy dx积分得到特征曲线为=于是令21112222221112221222221112221221303232020y x U U UB a a a x x x y y x y y a a a b x x y y y B a a a b x x y y yηξηξηξηξηξηξηξξξξηηηη⎧⎪⎨=−⎪⎩∂∂∂++=∂∂∂∂⎛⎞∂∂∂∂∂∂∂∂=+++=−⎜⎟∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎠∂∂∂∂=+++=∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++=∂∂∂∂∂12111211此时原方程可以转化为2A A 其中，A A 所以 20Uξη∂=∂∂()()()()()()()()()()()()()()()()0002112''1121211211122,0cos ,0cos ,0cos 1222cos 122xx t t xx xx xx a u x u x x u x e f x at f x at f x f x x u x af x af x e f x f x e d cx c f x e d a a x f x e d a ξξξ−−−−−⎧=−∞<<∞⎪⎨==⎪⎩=++−=+==−=−=+⎡⎤⎣⎦=++=−∫∫tt 确定初值问题u ，解：根据题意，令u x,t 由初始条件得u x,0，对上式积分得，a 于是得到，()()()()()()()()()()0011121212cos 1222cos 122211cos cos 22cos cos x at x x x at x at x atc a x at cf x at e d a a x at c f x at e d a a f x at f x at x at x at e d a t x at eξξξ+−−−+−−⎧⎪⎪⎨⎪−⎪⎩⎧++=++⎪⎪⇒⎨−⎪−=+−⎪⎩⇒=++−=++−+⎡⎤⎣⎦=+∫∫∫∫u x,t()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0'2'12'''1212'12'13,.,0,0,0122xx t t xx a a u x u x u x a f x at f x at f x f x u x afx af x a f x f x a d cf x ϕϕϕϕϕϕϕξϕϕ−⎧=−∞<<∞⎪⎨==−⎪⎩=++−=+==−=−−=−+⎡⎤⎣⎦=−∫tt 求解无界弦的自由振动，设弦的初始位移为x 初始速度为x 解：初值问题为u x ，x 根据题意，令u x,t 由初始条件得u x,0x ，x 对上式积分得，a x x x 于是得到，()()()()()()()()()()()()()()()()()0000'2'1'212'21222122212221122x x xx x at x x x at x atx at cd a c f x d a x at c f x at d a x at c f x at d a f x at f x at x at x at d x at ξϕϕξϕϕξϕϕξϕϕϕξξϕ+−+−⎧+⎪⎪⎨⎪=+−⎪⎩⎧++=−+⎪⎪⇒⎨−⎪−=+−⎪⎩⇒=++−=++−−⎡⎤⎣⎦=−∫∫∫∫∫x x x x u x,t()()()()()()()()()()()()()2222304,0,00,,00,,0,,1,,.21,6t t x a t x a t ta x at x t u x u x h a h x t h x u x x a h x t at d a at x xt a u x t a at x xt d at τττττττξξτττττ+−−−⎧=++−∞<<∞>⎪⎨==⎪⎩⎧=−∞<<∞>⎪⎨==+⎪⎩=+=−+−++⎡⎤=−+−++=+⎣⎦∫∫tt xx tt xx 求定解问题u u 解：根据齐次化原理，可将问题转化为求解问题由达朗贝尔公式得到2.2x t ()()()()()()()()()()()()()()2005,0,0,,0sin 11,221,,:2111,sin 222t x atx atx a t tx a t x attx at a x at x t u x x u x xu x t x at x at d a d f d a u x t x at x at d d a a a ττϕϕφξξτξτξξξτξτ+−+−−−+−⎧=++−∞<<∞>⎪⎨==⎪⎩=++−+⎡⎤⎣⎦+=++−+++⎡⎤⎣⎦∫∫∫∫∫tt xx 求定解问题u u 解：利用公式该非齐次方程的初值问题可以写成如下的的形式()()3211sin sin 62x a t x a t d x x x at at ta ττξ+−−−=+++∫()()()()()()()()()()()2222222222260,0,000,u u a x t tx u x x u ua u u t x t a t x u u a xt x f x at f x x f x at x at x at ϕϕϕϕ∂∂⎧+=−∞<<∞>⎪∂∂⎨⎪=⎩⎧∂∂+=⎪∂∂⎪∂∂∂⇒=⎨∂∂∂∂⎪+=⎪∂∂∂⎩=−=−=−=−求右行单波方程初值问题解：方程两边分别对x,y求导得到：由于为右行波，故可以令：u x,t 根据初值条件得到，，于是得到所以u x,t ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()07,0,,,0,,000000000,0,yx yx uf x y x yu y y u x x u x y h x g y d f d h g y y h g h x g x h x g x h x g y x y h g x y u x y x y d f d ϕφξξηηϕϕφφφϕφϕϕφϕϕξξηη⎛∂=⎜∂∂⎜⎜==⎝=+++=+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+=⎪⎪⎩⎩⇒+=+−+=+−⎡⎤⎣⎦=+−+∫∫∫∫2求定解问题解：方程两边同时对x,y进行积分得代入初始条件得所以，()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()1212211212211128,0,,,022*******,02x t u x x x u x x x f x t f x t f f x x f x x f f x f x f x x f x t f x t f u x t f x t f x t f x t f ϕφϕϕφφϕφ=−∞<<∞>⎧⎪⎨−==⎪⎩=++−+==−⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==−⎪⎪⎩⎩⎧−⎛⎞−=−⎜⎟⎪⎪⎝⎠⇒⇒=++⎨+⎛⎞⎪+=−⎜⎟⎪⎝⎠⎩tt xx 求解弦振动的古尔沙问题u u 解：根据题意，可令u x,t 代入初始条件得()()()()2210002222x t x t x t x t x t f f ϕφϕφϕ−−+−+⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+−+=+−⎡⎤⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎣⎦⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠()()()()()()()()()()()()()()()()()()()20000209,0,00,0,0010,0,0,00,0,0,00tt xx x x t at tx tt xx t x u a u x t uh x t xu x u x h x a h d at d a h d a u t u t u a u x t u t a h d t u x u x µττϕφξξττττ=⎧=<<∞>⎪∂⎪=≤<∞⎨∂⎪⎪==⎩=−++=−⎧=<<∞>⎪=−≤<∞⎨==∫∫∫∫求定解问题其中为已知连续可微函数。
