同济大学第五版工程数学线性代数课后答案

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第六章 二次型

本章主要包括二次型的矩阵及其矩阵,化二次型为标准型和规范形,二次型及实对称矩阵的正定性问题,学习本章内容需要结合矩阵的特征值与特征向量的相关知识.

§1 二次型及其矩阵

一、二次型及其矩阵

定义1 关于n个变量nxxx,,,21的二次齐次函数

2222211121),,,(xaxaxxxfnnnnnnnnxxaxxaxxaxa1,1313121122222 (1)

若取jiijaa,则ijjijiijjiijxxaxxaxxa2于是(1)式可写成

jinjiijnxxaxxxf1,21),,,( (2)

称为n元二次型,所有系数均为实数的二次型称为实二次型.

记,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaAnxxxx21

则二次型),,,(21nxxxf又表示为AxxxxxfTn),,,(21,其中A为对称矩阵,叫做二次型 ),,,(21nxxxf的矩阵,也把),,,(21nxxxf 叫做对称矩阵A的二次型.

对称矩阵A的秩,叫做二次型AxxxxxfTn),,,(21的秩.

例1 写出二次型

32312123222132184422),,(xxxxxxxxxxxxf的矩阵，并求出二次型的秩.

解 写出二次型所对应的对称矩阵为A,242422221A

因为二次型的秩就是对称矩阵A的秩.

14002202214~6808602212~224242222123321312rrrrrrrrA二次型的秩为3.

§2 化二次型为标准型

一、二次型合同矩阵

二次型),,,(21nxxxf经过可逆的线性变换 2 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111 (3)

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GAGGAGAGGAFFFFAFAF 习题127 1 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？

(1)x x2

解 因为xxx2不恒为常数 所以x x2是线性无关的

(2)x 2x

解 因为22xx 所以x 2x是线性相关的

(3)e2x 3e2x

解 因为332xxee 所以e2x 3e2x是线性相关的

(4)ex ex

解 因为xxxeee2不恒为常数 所以ex ex是线性无关的

(5)cos2x sin2x

解 因为xxx2tan2cos2sin不恒为常数 所以cos2x sin2x是线性无关的 精品文档

GAGGAGAGGAFFFFAFAF (6) 2xe 22xxe

解 因为xexexx2222不恒为常数 所以2xe 22xxe是线性无关的 (7)sin2x cos x×sin x

解 因为2sincos2sinxxx 所以sin2x cos x×sin x是线性相关的

(8)excos2x exsin2x

解 因为xxexexx2tan2cos2sin不恒为常数 所以excos2x

exsin2x是

线性无关的

(9)ln x xln x

解 因为xxxxlnln不恒为常数 所以ln x xln x是线性无关的

(10)eax ebx(ab) 精品文档

GAGGAGAGGAFFFFAFAF 解 因为xabaxbxeee)(不恒为常数 所以eax ebx是线性无关的 2 验证y1cosx及y2sinx都是方程y2y0的解 并写精品文档

GAGGAGAGGAFFFFAFAF 出该方程的通解

解 因为

y12y12cosx2cosx0

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第6章线性空间与线性变换

6.1本章要点详解

本章要点

■线性空间的定义与性质

■维数、基与坐标

■基变换与坐标变换

■线性变换

■线性变换的矩阵表示式

重难点导学

一、线性空间的定义与性质

1．两种运算

（1）加法运算

设V是一个非空集合，R为实数域．如果在V中定义了一个加法，即对于任意两个元素

α，β∈V，总有唯一的一个元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作γ＝α＋β．

（2）数乘运算

在V中又定义了一个数与元素的乘法（简称数乘），即对于任一数λ∈R与任一元素α∈V，

总有唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的数量乘积，记作δ＝λα．

2．线性空间定义

设V是一个非空集合，R为实数域．如果在V中取任意两个元素α，β∈V，加法运算和

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乘法运算满足以下八条运算规律（设α、β、γ∈V，λ、μ∈R）：

（1）α＋β＝β＋α；

（2）（α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；

（3）在V中存在零元素0，对任何α∈V，都有α＋0＝α；

（4）对任何α∈V，都有α的负元素β∈V，使α＋β＝0；

（5）1α＝α；

（6）λ（μα）＝（λμ）α；

（7）（λ＋μ）α＝λα＋μα；

（8）λ（α＋β）＝λα＋λβ，

则V称为线性空间，又称向量空间．

3．线性空间的性质

（1）零向量是唯一的；

（2）任一向量的负向量是唯一的，α的负向量记作－α；

（3）0α＝0，（－1）α＝－α，λ0＝0；

（4）如果λα＝0，则λ＝0或α＝0．

4．子空间

（1）定义

设V是一个线性空间，L是V的一个非空子集，如果L对于V中所定义的加法和数乘两

种运算也构成一个线性空间，则L称为V的子空间．

（2）定理

线性空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是：L对于V中的线性运算封闭．

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习题16

1. 计算下列极限:

(1)xxxsinlim0;

解 xxxxxxsinlimsinlim00.

(2)xxx3tanlim0;

解 33cos133sinlim33tanlim00xxxxxxx.

(3)xxx5sin2sinlim0;

解 52525sin522sinlim5sin2sinlim00xxxxxxxx.

(4)xxxcotlim0;

解 1coslimsinlimcossinlimcotlim0000xxxxxxxxxxxx.

(5)xxxxsin2cos1lim0;

解法一 2sinlim2sin2lim2cos1limsin2cos1lim20220200xxxxxxxxxxxxx.

解法二 2sinlim2sinsin2limsin2cos1lim0200xxxxxxxxxxx.

(6)nnnx2sin2lim(x为不等于零的常数).

解 xxxxxnnnnnn22sinlim2sin2lim.

2. 计算下列极限:

(1)xxx10)1(lim;

解 11)(10)1()(1010)](1[lim)](1[lim)1(limexxxxxxxxx.

(2)xxx10)21(lim;

解 22210221010)21(lim)21(lim)21(limexxxxxxxxx. (3)xxxx2)1(lim;

解 222)11(lim)1(limexxxxxxx.