函数的单调性训练学案

3．1.2　函数的单调性第1课时　单调性的定义与证明课程标准借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一　定义域为A 的函数f (x )的单调性状元随笔　定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1＜x 2；(3)属于同一个单调区间．知识点二　单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间M 上是单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)________，区间M 叫做y ＝f (x )的________．状元随笔　一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，+∞)上单调递减．知识点三　函数的最值一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)(记作f(x)max＝f(x0))，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)(记作f(x)min＝f(x0))，而x0称为f(x)的最小值点．最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点．状元随笔　最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝－x2(x∈R)的最大值是0，有f(0)＝0.　基础自测1．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则( )A．m＞12 B．m＜12C．m＞－12D．m＜－122．函数f(x)＝1x在[1，＋∞)上( )A．有最大值无最小值B．有最小值无最大值C．有最大值也有最小值D．无最大值也无最小值3．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)＞f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．4．如图是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)的单调递减区间是( )A．(－1，0)B．(1，＋∞)C．(－1，0)∪(1，+∞)D．(－1，0)，(1，＋∞)课堂探究·素养提升——强化创新性题型1　利用函数图象求单调区间[经典例题]例1　(1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A.(－3，1)∪(1，4)B．(－5，－3)∪(−1，1)C．(－3，－1)，(1，4)D．(－5，－3)，(－1，1)状元随笔　观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．(2)下列函数在区间(0，1)上是增函数的是( )A．y＝1－2x B．y＝1 xC．y＝√x−1D．y＝－x2＋2x(3)函数y＝|x－1|的单调增区间是________.跟踪训练1　(1)函数f(x)的图象如图所示，则( )A．函数f(x)在[－1，2]上是增函数B．函数f(x)在[－1，2]上是减函数C．函数f(x)在[－1，4]上是减函数D．函数f(x)在[2，4]上是增函数状元随笔　图象上升或下降趋势判断．(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．题型2　函数的单调性判断与证明例2　证明函数f (x )＝x ＋4x在(2，＋∞)上是增函数．在(0，2)上是减函数．状元随笔　先根据单调性的定义任取x 1，x 2∈(2，＋∞)，且x 1＜x 2，再判断f(x 1)－f(x 2)的符号．方法归纳利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2　利用单调性的定义，证明函数y ＝x +2x +1在(－1，＋∞)上是减函数．题型3　利用函数的单调性求最值[经典例题]例3　已知函数f(x)＝2x−1x+1，x∈[3，5].(1)判断函数在区间[3，5]上的单调性，并给出证明；(2)求该函数的最大值和最小值．方法归纳1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．跟踪训练3　已知函数f(x)＝32x−1，求函数f(x)在[1，5]上的最值．状元随笔　(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性求出最大(小)值．题型4　由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例4 (1)已知函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3.①若函数f(x)在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________；②若函数f(x)的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为________．(2)已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为________．方法归纳“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练4　(1)已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围；函数的单调递减区间为(－∞，4]，则a为何值？状元随笔　首先求出f(x)的单调减区间，(1)求出f(x)的对称轴为x＝1－a，利用对称轴应在直线x＝4的右侧或与其重合求解．(2)求出函数的减区间，用端点值相等求出a.(2)若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)<f(3)，则x的取值范围是________．3．1.2　函数的单调性第1课时　单调性的定义与证明新知初探·自主学习[教材要点]知识点一f(x1)<f(x2)　f(x1)>f(x2)　增函数　减函数知识点二单调性　单调区间[基础自测]1．解析：使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－1<0，即m<1 2.答案：B2．解析：函数f(x)＝1x是反比例函数，当x∈(0，＋∞)时，函数图象下降，所以在[1，＋∞)上f(x)为减函数，f(1)为f(x)在[1，＋∞)上的最大值，函数在[1，＋∞)上没有最小值．故选A.答案：A3．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x24．解析：若函数单调递减，则对应图象为下降的，由图象知，函数在(－1，0)，(1，＋∞)上分别下降，则对应的单调递减区间为(－1，0)，(1，＋∞)．答案：D课堂探究·素养提升例1　【解析】　(1)在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1，4)．(2)由y＝1－2x，y＝1x的图象易知在(0，1)上为减函数，而y＝√x−1的定义域为[1，＋∞)，不合题意．(3)作出函数的图象，如图所示，所以函数的单调递增区间为[1，＋∞)．【答案】　(1)C　(2)D　(3)[1，＋∞)跟踪训练1　解析：(1)函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.(2)y＝－x2＋2|x|＋3＝{−(x−1)2+4，x≥0，−(x+1)2+4，x＜0.函数图象如图所示．函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，函数在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数，所以函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间是[－1，0]和[1，＋∞)．答案：(1)A　(2)见解析例2　【证明】　∀x1，x2∈(2，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝(x1－x2)＋4(x2−x1)x1x2＝(x1−x2)(x1x2−4)x1x2.因为2＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞4，x1x2－4＞0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)＝x＋4x在(2，＋∞)上是增函数．证明：∀x1，x2∈(0，2)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋4x1－x2－4x2＝(x1－x2)＋4(x2−x1) x1x2＝(x1−x2)(x1x2−4)x1x2.因为0＜x1＜x2＜2，所以x1－x2＜0，0＜x1x2＜4，x1x2－4＜0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．所以函数f(x)＝x＋4x在(0，2)上是减函数．跟踪训练2　证明：设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1+2x1+1−x2+2x2+1＝x2−x1(x1+1)(x2+1)，∵－1<x1<x2，∴x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0.∴x2−x1(x1+1)(x2+1)>0.即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2).∴y＝x+2x+1在(－1，＋∞)上是减函数．例3　【解析】　(1)函数f(x)在[3，5]上是单调递增的，证明：设任意x1，x2，满足3≤x1<x2≤5.因为f(x1)－f(x2)＝2x1−1x1+1−2x2−1x2+1＝(2x1−1)(x2+1)−(2x2−1)(x1+1)(x1+1)(x2+1)＝3(x1−x2) (x1+1)(x2+1)，因为3≤x1<x2≤5，所以x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0.所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以f(x)＝2x−1x+1在[3，5]上是单调递增的．(2)f(x)min＝f(3)＝2×3−13+1＝54，f(x)max＝f(5)＝2×5−15+1＝32.跟踪训练3　解析：先证明函数f(x)＝32x−1的单调性，设x1，x2是区间(12，+∞)上的任意两个实数，且x2>x1>1 2，f(x1)－f(x2)＝32x1−1−32x2−1＝6(x2−x1)(2x1−1)(2x2−1).由于x2>x1>12，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝32x−1在区间(12，+∞)上是单调递减的，所以函数f(x)在[1，5]上是单调递减的，因此，函数f(x)＝32x−1在区间[1，5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝1 3.例4　【解析】　(1)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3.因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1].①由f(x)在(－∞，3]上是增函数知3≤－a－1，即a≤－4.②由题意得－a－1＝3，a＝－4.(2)因为函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，所以2x－3>5x－6，解得x<1，即实数x的取值范围为(－∞，1)．【答案】　(1)①a≤－4　②－4　(2)(－∞，1)跟踪训练4　解析：(1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的减区间是(－∞，1－a].∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．∴1－a≥4，解得a≤－3.故a的取值范围为(－∞，－3].由知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]，∴1－a＝4，a＝－3.(2)函数的定义域为R，由条件可知，x－2>3，解得x>5.答案：(1)见解析　(2)(5，＋∞)11。

3.1.2 函数的单调性第1课时 单调性的定义与证明学 习 目 标核 心 素 养1.理解函数的单调性及其几何意义,能运用函数图像理解和研究函数的单调性．(重点)2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性,会求一些具体函数的单调区间．(重点、难点)3．理解函数的最大值和最小值的概念,能借助函数的图像和单调性,求一些简单函数的最值．(重点、难点)1.借助单调性判断与证明,培养数学抽象、逻辑推理、直观想象素养．2．利用求单调区间、最值、培养数学运算素养．3．利用函数的最值解决实际问题,培养数学建模素养.1．增函数与减函数的定义条件一般地,设函数y ＝f(x)的定义域为A,且M ⊆A ：如果对任意x 1,x 2∈M ,当x 1＞x 2时都有f(x 1)＞f(x 2)都有f(x 1)＜f(x 2)结论y ＝f(x)在M 上是增函数(也称在M 上单调递增)y ＝f(x)在M 上是减函数(也称在M 上单调递减)图示12提示：定义中的x 1,x 2有以下3个特征(1)任意性,即“任意取x 1,x 2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； (2)有大小,通常规定x 1＞x 2； (3)属于同一个单调区间． 2．函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f(x)在M 上单调递增或单调递减,那么就说函数y ＝f(x)在M 上具有单调性(当M 为区间时,称M 为函数的单调区间,也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)．思考2：函数y ＝1x在定义域上是减函数吗？提示：不是．y ＝1x 在(－∞,0)上递减,在(0,＋∞)上也递减,但不能说y ＝1x 在(－∞,0)∪(0,＋∞)上递减．3．函数的最值 最大值最小值条件 一般地,设函数f(x)的定义域为D ：且x 0∈D ,如果对任意x∈D都有f(x)≤f(x 0) 都有f(x)≥f(x 0)结论 称f(x)的最大值为f(x 0),记作f ma x ＝f(x 0),而x 0称为f(x)的最大值点 称f(x)的最小值为f(x 0),记作f min ＝f(x 0),而x 0称为f(x)的最小值点统称 最大值和最小值统称为最值最大值点和最小值点统称为最值点1．函数y ＝f(x)的图像如图所示,其增区间是( )A ．[－4,4]B ．[－4,－3]∪[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4]C [由题图可知,函数y ＝f(x)的单调递增区间为[－3,1],选C.] 2．下列函数中,在区间(0,＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝xC ．y ＝x 2D ．y ＝1－xD [函数y ＝1－x 在区间(0,＋∞)上是减函数,其余函数在(0,＋∞)上均为增函数,故选D.] 3．函数y ＝f(x)在[－2,2]上的图像如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( ) A ．－1,0 B ．0,2 C ．－1,2D.12,2C [由题图可知,f(x)的最大值为f(1)＝2,f(x)的最小值为f(－2)＝－1.] 4．函数f(x)＝x 2－2x ＋3的单调减区间是________．(－∞,1] [因为f(x)＝x 2－2x ＋3是图像开口向上的二次函数,其对称轴为x ＝1,所以函数f(x)的单调减区间是(－∞,1]．]定义法证明(判断)函数的单调性【例1】 证明：函数f(x)＝x ＋1x 在(0,1)上是减函数．[思路点拨] 设元任取x 1，x 2∈(0，1)且x 1＞x 2―→ 作差：f (x 1)－f (x 2)――→变形判号：f (x 2)>f (x 1)――→结论减函数[证明] 设x 1,x 2是区间(0,1)上的任意两个实数,且x 1＞x 2,则f(x 1)－f(x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2, ∵0<x 2<x 1<1,∴x 1－x 2＞0,0<x 1x 2<1,则－1＋x 1x 2<0, ∴(x 1－x 2)(－1＋x 1x 2)x 1x 2＜0,即f(x 1)＜f(x 2),∴f(x)＝x ＋1x在(0,1)上是减函数．利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x 1,x 2是该区间内的任意两个值,且x 1＞x 2.(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的式子.(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)的符号.(4)结论：根据f (x 1)－f (x 2)的符号及定义判断单调性.提醒：作差变形是证明单调性的关键,且变形的结果是几个因式乘积的形式.1．证明：函数y ＝xx ＋1在(－1,＋∞)上是增函数．[证明] 设x 1>x 2>－1,则y 1－y 2＝x 1x 1＋1－x 2x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1).∵x 1>x 2>－1,∴x 1－x 2>0,x 1＋1>0,x 2＋1>0, ∴x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)>0,即y 1－y 2>0,y 1>y 2,∴y＝xx ＋1在(－1,＋∞)上是增函数．求函数的单调区间【例2】(1)f(x)＝－1x ；(2)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x≥1，5－x ，x<1；(3)f(x)＝－x 2＋2|x|＋3.[解] (1)函数f(x)＝－1x 的单调区间为(－∞,0),(0,＋∞),其在(－∞,0),(0,＋∞)上都是增函数．(2)当x≥1时,f(x)是增函数,当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调区间为(－∞,1),[1,＋∞),并且函数f(x)在(－∞,1)上是减函数,在[1,＋∞)上是增函数．(3)因为f(x)＝－x 2＋2|x|＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋3，x≥0，－x 2－2x ＋3，x<0.根据解析式可作出函数的图像如图所示,由图像可知,函数f(x)的单调区间为(－∞,－1],(－1,0),[0,1),[1,＋∞)．f(x)在(－∞,－1],[0,1)上是增函数,在(－1,0),[1,＋∞)上是减函数．(3)因为f(x)＝－x 2＋2|x|＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x≥0，－x 2－2x ＋3，x<0.根据解析式可作出函数的图像如图所示,由图像可知,函数f(x)的单调区间为(－∞,－1],(－1,0),[0,1),[1,＋∞)．f(x)在(－∞,－1],[0,1)上是增函数,在(－1,0),[1,＋∞)上是减函数．求函数单调区间的方法(1)利用已知函数的单调性求函数的单调区间. (2)利用函数图像求函数的单调区间.提醒：(1)若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”隔开. (2)理清“单调区间”和“在区间上单调”的区别与联系.2．根据如图所示,写出函数在每一单调区间上是增函数还是减函数．[解] 函数在[－1,0],[2,4]上是减函数,在[0,2],[4,5]上是增函数． 3．写出y ＝|x 2－2x －3|的单调区间． [解] 先画出f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3，x<－1或x>3，－(x 2－2x －3)，－1≤x≤3的图像,如图．所以y ＝|x 2－2x －3|的单调减区间为(－∞,－1],[1,3]；单调增区间为[－1,1],[3,＋∞)．函数单调性的应用[探究问题]1．若函数f(x)是其定义域上的增函数,且f(a)>f(b),则a,b 满足什么关系．如果函数f(x)是减函数呢？提示：若函数f(x)是其定义域上的增函数,那么当f(a)>f(b)时,a>b ；若函数f(x)是其定义域上的减函数,那么当f(a)>f(b)时,a<b.2．决定二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 单调性的因素有哪些？ 提示：开口方向和对称轴的位置,即字母a 的符号及－b2a的大小． 【例3】 (1)若函数f(x)＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3在区间(－∞,3]上是增函数,则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数y ＝f(x)是(－∞,＋∞)上的增函数,且f(2x －3)>f(5x －6),则实数x 的取值范围为________．[思路点拨] (1)分析f (x )的对称轴与区间的关系数形结合,建立关于a 的不等式――→求a 的范围 (2)f (2x －3)>f (5x －6)f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,建立关于x 的不等式――→ 求x 的范围 (1)(－∞,－4] (2)(－∞,1) [(1)∵f(x)＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的图像开口向下,要使f(x)在(－∞,3]上是增函数,只需－(a ＋1)≥3,即a≤－4. ∴实数a 的取值范围为(－∞,－4]．(2)∵f(x)在(－∞,＋∞)上是增函数,且f(2x －3)>f(5x －6), ∴2x－3>5x －6,即x<1.∴实数x 的取值范围为(－∞,1)．]1．(变条件)若本例(1)的函数f(x)在(1,2)上是单调函数,求a 的取值范围． [解] 由题意可知－(a ＋1)≤1或－(a ＋1)≥2,即a≤－3或a≥－2. 所以a 的取值范围为(－∞,－3]∪[－2,＋∞)．2．(变条件)若本例(2)的函数f(x)是定义在(0,＋∞)上的减函数,求x 的取值范围． [解] 由题意可知, ⎩⎪⎨⎪⎧2x －3>0，5x －6>0，2x －3<5x －6，解得x>32.∴x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.函数单调性的应用(1)函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性,反过来,若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围.(2)若一个函数在区间[a,b]上是单调的,则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的.求函数的最值(值域)【例4】 已知函数f(x)＝2x ＋1x ＋1. (1)判断函数在区间(－1,＋∞)上的单调性,并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．[解] (1)f(x)在(－1,＋∞)上为增函数,证明如下：任取－1<x 1<x 2, 则f(x 1)－f(x 2)＝2x 1＋1x 1＋1－2x 2＋1x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1),因为－1<x 1<x 2⇒x 1＋1>0,x 2＋1>0,x 1－x 2<0, 所以f(x 1)－f(x 2)<0⇒f(x 1)<f(x 2), 所以f(x)在(－1,＋∞)上为增函数． (2)由(1)知f(x)在[2,4]上单调递增, 所以f(x)的最小值为f(2)＝2×2＋12＋1＝53, 最大值为f(4)＝2×4＋14＋1＝95.1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间[b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．提醒：(1)求最值勿忘求定义域．(2)闭区间上的最值,不判断单调性而直接将两端点值代入是最容易出现的错误,求解时一定注意．4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1＜x≤1，1x，x>1，求(1)f(x)的最大值、最小值；(2)f(x)的最值点．[解] (1)作出函数f(x)的图像(如图)．由图像可知,当x ＝1时,f(x)取最大值为f(1)＝1.当x ＝0时,f(x)取最小值f(0)＝0, 故f(x)的最大值为1,最小值为0.(2)f(x)的最大值点为x 0＝1,最小值点为x 0＝0.1．定义单调性时应强调x 1,x 2在其定义域内的任意性,其本质是把区间上无限多个函数值的大小比较转化为两个任意值的大小比较．2．证明函数的单调性(利用定义)一定要严格遵循设元、作差、变形、 定号、结论的步骤,特别在变形上,一定要注意因式分解、配方等技巧的运用,直到符号判定水到渠成才可．3．求函数的最值与求函数的值域类似,常用的方法是：(1)图像法,即画出函数的图像,根据图像的最高点或最低点写出最值； (2)单调性法,一般需要先确定函数的单调性,然后根据单调性的意义求出最值； 4．通过函数最值的学习,渗透数形结合思想,树立以形识数的解题意识．1．思考辨析(1)若函数y ＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2),则函数y ＝f(x)是增函数．( )(2)若函数y ＝f(x)在区间[1,3]上是减函数,则函数y ＝f(x)的单调递减区间是[1,3]．( ) (3)任何函数都有最大(小)值．( )(4)函数f(x)在[a,b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 2．下列函数中,在(0,2)上是增函数的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝2x －1C ．y ＝1－2xD ．y ＝(2x －1)2B [对于A,y ＝1x 在(－∞,0),(0,＋∞)上单调递减；对于B,y ＝2x －1在R 上单调递增；对于C,y ＝1－2x 在R 上单调递减；对于D,y ＝(2x －1)2在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．故选B.]3．函数y ＝x 2－2x,x∈[0,3]的值域为________．[－1,3] [∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1,x∈[0,3],∴当x ＝1时,函数y 取得最小值为－1, 当x ＝3时,函数取得最大值为3,故函数的值域为[－1,3]．]4．试用函数单调性的定义证明：f(x)＝2xx －1在(1,＋∞)上是减函数．[证明] f(x)＝2＋2x －1,设x 1>x 2>1,则f(x 1)－f(x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).因为x 1>x 2>1,所以x 2－x 1<0,x 1－1>0,x 2－1>0, 所以f(x 1)<f(x 2),所以f(x)在(1,＋∞)上是减函数．。

函数的单调性与导数教案函数的单调性与导数教案一、目标知识与技能：了解可导函数的单调性与其导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。

过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、重点难点教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过4次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过4次的多项式函数的单调区间三、教学过程：函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便．四、学情分析我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。

需要教师指导并借助动画给予直观的认识。

五、教学方法发现式、启发式新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1．学生的学习准备：2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

提问1．判断函数的单调性有哪些方法？（引导学生回答“定义法”，“图象法”。

）2．比如，要判断y=x2的单调性，如何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。

）3．还有没有其它方法？如果遇到函数：y=x3－3x判断单调性呢？（让学生短时间内尝试完成，结果发现：用“定义法”，作差后判断差的符号麻烦；用“图象法”,图象很难画出来。

）4．有没有捷径？（学生疑惑,由此引出课题）这就要用到咱们今天要学的导数法。

以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：三次函数判断单调性，定义法、图象法很不方便，有没有捷径？通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，积极主动地参与到学习中来。

精锐教育学科教师辅导学案学员编号： 年 级：高一 课 时 数： 3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：授课类型 T 函数的概念与图象（4） T函数的表示方法T函数的单调性（一）授课日期及时段教学内容函数的概念与图象（4）[学习目标]1．会运用描点法作出一些简单函数的图象，从“形”的角度进一步加深对函数概念的理解；2．通过对函数图象的描绘和研究，培养数形结合的意识，提高运用数形结合的思想方法解决数学问题的能力． [知识要点]1．函数图象的概念将自变量的一个值0x 作为横坐标，相应的函数值()0f x 作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点()()0,0x f x ．当自变量取遍函数定义域Ａ中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合（点集）为()(){},,x f x x A ∈即()(){},,x y y f x x A =∈，所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象．2．函数图象的画法画函数的图象，常用描点法，其基本步骤是：⑴列表；⑵描点；⑶连线．在画图过程中，一定要注意函数的定义域和值域．3．会作图，会读（用）图[例题讲解]例1．画出下列函数的图象，并求值域：(1)y =13-x ，∈x [1，2]； (2)y = (1-)x,∈x {0,1,2,3}； (3)y =x ； 变题：1y x =-； (4)y =2x 22--x例2．直线y =3与函数y =|x 2-6x |图象的交点个数为 （ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个例3.下图中的A. B. C. D 四个图象中，用哪三个分别描述下列三件事最合适，并请你为剩下的一个图象写出一件事。

离开家的距离(m) 离开家的距离(m)时间（min ） 时间（min ） A B离开家的距离(m) 离开家的距离(m)时间（min ） 时间（min ）C D(1) 我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，停下来想了一会还是返回家取了作业本再上学； (2) 我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； (3) 我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间加快了速度。