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线性代数 A卷 07答案

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东莞理工学院（本科）试卷（A 卷答案）
2007 -2008 学年第一学期
开课单位： 数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 入场
科目：_线性代数_班级： 姓名： 学号：
一、填空题（每空3分，共75分）
1、设矩阵101011110A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111101010B ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭，则=
+B A 2⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛031312323，=⋅T B A ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛112112022 2、若同阶方阵A 、B 行列式为()d e t 3A =，()det 2B =，则)9()d e t (2=A
，)3()det(),6(])det[(1==-AP P AB T ，其中P 是与A 同阶的可逆方阵.
3、设00210,321A λ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭ 当)0(≠λ时，矩阵A 可逆；若1λ=时，则A 的逆矩阵为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-1210120011
A
4、已知矩阵A 的逆为1
101020103A -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则
=-1A 4，⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-301020101)(1
T A
5、设123000110,0,.2122x A b x x x λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
当)0(≠λ时，线性方程组Ax b =有惟一解，
当1λ=时，Ax b =的解为)1,0,0(=T x .
6、若对方阵A 施加初等行变换：212r r +后，变为矩阵B ，即21
2r r
A B +−−−
→，则 )())((),det())(det(B r A r B A ==.
7、设向量组()()()1231,3,1,
2,5,4,1,4,1T
T T
ααα===-，则它的一个极大线性
无关组是（
123,T T αααT ，中任选两个 ）
，且向量组123,,ααα的线性关系为（ 线性相关或
3123ααα＝－ ）.
8、若对方阵A 施加初等行变换：21r r ↔后，变为矩阵B ，即21
r r
A B ↔−−−
→，则 ()det A （ = － ）()det B ， ()r A （ = ）()r B .
9、设12,ξξ是线性方程组AX b =的两个解，则12ξξ-是线性方程组（ O AX = ）的解，1232ξξ-是线性方程组（ b AX = ）的解. 10、设向量组()11,
,2T
αλ=，()22,1,T
αμ=线性相关，则）（4),2/1(=
=u λ 11
、若矩阵20
A βα
⎫
⎪
⎪
⎪= ⎪⎝
⎭
是正交矩阵，则)66
(),33(-==βα 12、设二次型222
12312132322222f x x x x x x x x x =+++++，A 为二次型f 的矩阵，则
)3()(=A r ，且f 是（ 正定 或非标准，实对称 ）二次型.
二、设二次型222312344f x x x x =++.（15分）
1、求二次型f 的矩阵A .（3分）
2、求矩阵A 的特征值与特征向量.（6分）
3、求一个正交变换 x Py =，把二次型f 化为标准型.（6分）
解 1、⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=400032020A 3’
2、解特征方程0=-E A λ，得特征值41321==-=λλλ， 2’
解方程O X A =-)(1λ,得 相应的特征向量⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-⋅=0121C X ,0≠C . 2’解方程
O X A =-)(2λ,得 相应的特征向量⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=012/110021c C X ,. 02
221≠+c C 2’ 3、令⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=051521P ，⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=1002P ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=052513P 3’ ⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=01
05205151052
P ，正交变换 x Py =，把二次型f 化为标准型 2’ 2
3
222
144y y y f ++-= 1’
三、阅读理解（10分）
设函数()()()12,,,n a t a t a t 在区间I 上有定义，称()()()()
12,,,n a t a t a t 为n
维向量函数，记为()A t . 例如，()()
23
,,A t t t t =是n 维向量函数.
设n 维向量函数()()()()()
12,,,n A t a t a t a t = 的导数定义为
()()()()()
1
2,,,n A t a t a t a t ''''= . 例1 设()()
23
,,A t t t t =，求()1A '.
解 由定义知 ()()()2
32(),(),()1,2,3A t t t t t t ''''==，所以
()()11,
2,3
.A '= 设n 维向量函数()()()()()
12,,,n A t a t a t a t = ，()()()()()
12,,,n B t b t b t b t = ，则其内积定义为
()()()()()()()()()()1122,.T n n A t B t A t B t a t b t a t b t a t b t ==+++
例2 设()()()()
2
,1,1,2,,A t t t B t t t =+=，求()(),A t B t ，
解
()()()(
),T A t B t A t B t
= ()22,1,1t t t t ⎛⎫
⎪
=+ ⎪ ⎪⎝⎭
322323.t t t t t t t =+++=++
设()()()(),2,1,1,,1A t t t t B t t t t =++=+-，求解下列问题： （1）
()()
(
)()()()(),,
,,,.A t B t A t B t A t B t ''' （6分）
（2）根据（1）的计算结果，你能得到什么结论，并加以证明. （4分） 解
1'
)('),()(),('')(),(,(1)22'
33)('),(2' 3)(),('2'
36')(),(,133)(),()1(2t B t A t B t A t B t A t t B t A t t B t A t t B t A t t t B t A +=+==+=-+=得到结果）根据（
证明 n 维向量函数()()()()()
12,,,n A t a t a t a t = ，()()()()()
12,,,n B t b t b t b t =
()()()()()()()()()()1122,.T n n A t B t A t B t a t b t a t b t a t b t ==+++
3'
)('),()(),('
)](')(...)(')([)]()('...)()('[ )]
(')()()('[...)](')()()('[')(),(11111111t B t A t B t A t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t b t a t B t A n n n n n n n n +
=+++++=++++=。

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线性代数试题A及答案

线性代数试题A及答案

线性代数试题（A ）一、选择题：（每小题3分，共18分）2、2、A 、B 均为n 阶方阵，则以下表达正确的是__ _ （A ） AB=BA （B ） AB=0，则A=0或B=0 （C ） ()111---=B A AB （D ） ()T T TA B AB =3、设矩阵A 的秩是r , 则（A ）A 中没有等于零的1-r 阶子式 （B ）A 中至少有一个r 阶子式不等于零 （C ）A 中有不等于零的1+r 阶子式 （D ）A 中没有等于零的r 阶子式4、已知 )3,2,1(=a )31,21,1(=b ，且b a T A = 则4A =（A ） 27÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211（B ）÷÷÷÷÷÷øöççççççèæ1233321231211 （C ）9 (D) 81 5、设A 是可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，则*-=A A A A 1)( *-=A A B 1)( *--=A AA C 11)( 11)()(-*-=A A D6、与对角矩阵D = úúúûùêêêëé211 相似的矩阵是 (A) úúúûùêêêëé100020101. (B) úúúûùêêêëé200110001. (C) úúúûùêêêëé200010011. (D) úúúûùêêêëé-111021001 二、填空题：（每小题4分，共20分）1、设A , B 为三阶矩阵, 2=A ,41=B , 则12-)(BA = 2、行列式8040703362205010的值为 3、设A 是n 阶方阵,若3-=n A R )(,则0=AX 的基础解系所含向量的个数为4、k= 时，向量)5,,1(k =b 能由向量)1,1,2(),2,3,1(21-=a -=a 线性表出。

线性代数07-08第一学期期末(A卷)答案

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北京师范大学珠海分校2007-2008学年第一学期期末考试（A ）答案开课单位： 应用数学系 课程名称： 线性代数 任课教师：__李兴斯 考试类型：_ 闭卷_ 考试时间：__120 __分钟 学院___________ 姓名___________ 学号______________ 班级____________试卷说明：（本试卷共4页，满分100分）------------------------------------------------------------------------------------------------------一、 填空（每空3分，共30分）1、行列式123456____0_____789=2、行列式sin cos cos sin _______+-=-32323302xxxx 3、设行列式 -5 11 1 31 0 2D =1，则+=21232A A 04、设A ，B 均为三阶方阵且||,||A B ==65，则||______=30AB5、设A 为3阶方阵，且A =3，则A -=13 96、设矩阵A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11111101101，则A 的秩()R A = 3 7、已知4阶矩阵A 的伴随矩阵的行列式8=*A ，则=A 28、向量组,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1234111110221002αααα线性相关还是无关 线性相关试卷装订线9、设向量()(),,,,,x αα==1212369线性相关，则___3____=x10、设4元方程组=0Ax 的系数矩阵A 的秩为2，则其解向量的秩应为 2二、选择题（每小题3分，共15分）1、行列式197621962394180第3行第2列元素的代数余子式A =32（ D ）（A ）3； （B ）6； （C ）9； （D ）12。

2、若1112131112131212223221222331323331323323,2323a a a a a a D a a a D a a a a a a a a a ==，则()21=D C D（A ）2； （B ）4； （C ）6； （D ）8。

2007-2008第二学期线代试卷A及答案)

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武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共12分）1、 2；2、 1；3、 21t ≠；4、k >二、选择题（每小题3分，共12分）1、 A ；2、 C ；3、 B ；4、 D 三、解答题（每小题9分，共36分）1、11(2,,)(2,,)1100011111100100020012000200011i in i n i n r r r r n nn n n D n nn n nn n==+++---=-------…..…（4分）()(1)(2)(1)1122000001(1)1(1)(1)()(1)1222000n n n n n n n n n n n n n n nn n n n -------+++=⋅=⋅⋅-⋅-=⋅⋅---...….（9分）2、记 121624,1713A A ---⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则121,1A A =-=；…..…………………………………..…..……...（4分）又1112767637,111112A A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1760011000037012A --⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭－。

………………………...（9分）3、由题意有010100001A B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，100011001B C ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，……………..…………………………………………...（4分） 于是 010100100011001001A C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以011100001X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。

……….……………………………………...（9分）4、()123403481011,,,21043211αααα⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭～1011034801220244-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭～10110122002200-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭～10000104001100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭………...（4分） 则()1234,,,3R αααα=，且123,,ααα线性无关，所以123,,ααα即为1234,,,αααα的一个极大无关组，（7分） 且412304αααα=+-；…………………………………………………………………………………..………...（9分） 或者取124,,ααα，312404αααα=+-；还可以取134,,ααα，2341144ααα=+四、解()2111,1111tA b t t tt -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭～2223110110111t tt t t t t t t ⎛⎫- ⎪--+-- ⎪ ⎪+-++⎝⎭～ 22321101100(1)(2)1t tt t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪--+-- ⎪ ⎪-+---+⎝⎭…………………………….…………..………...（4分） 所以当12t t ≠-≠且时，方程组有唯一解；…………………………………..…………………………….……...（6分） 当2t ＝时，(),A b ～112403360001-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭()(),32R A b R A =≠=，所以方程组无解。

(完整版)线性代数测试试卷及答案

(完整版)线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷）一﹑选择题（每小题3分，共15分)1。

设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ） （A ）AB BA = （B)222()AB A B = （C)222()2A B A AB B +=++ (D ）A B B A +=+2。

如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量，那么矩阵A 的秩为( ）(A) n (B) s (C ） n s - （D) 以上答案都不正确 3。

如果三阶方阵33()ij A a ⨯=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于（ ) (A) 10, 8 （B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8--4。

设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为A ,那么( ）(A) 2331A ⎛⎫=⎪-⎝⎭ （B) 2241A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ （C) 2121A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（D) 1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A ） A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B ）A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C ） A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D ）A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题（每小题3分,共30分)1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ；2。

设100210341A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ; 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解，若λαμβ+也是它的解， 那么λμ+= ; 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5。

设A 为正交矩阵,则A = ；6。

设,,a b c 是互不相同的三个数,则行列式222111ab c a b c = ； 7。