(完整版)CH3习题及答案
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3.1 随机电压信号()U t 在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是高斯的、均值为0，方差为2，试求：（1）密度函数();f u t 、()1212,;,f u u t t 和()1212,,...,;,,...,k k f u u u t t t ，k 为任意整数；（2）()U t 的平稳性。
3.1解：(1)21(;)exp{}4u f u t =-1,2121,12,22212(;,)()()1exp{}44f u u t t f u t f u t u u π=+=-1,212,121(,,;,,)()1exp{}4kk k i i i ki i f u u u t t t f u t u ====-∏∑(2)由于任意k 阶概率密度函数与t 无关，因此它是严平稳的。
也是严格循环平稳的；因为是高斯随机信号，所以()U t 也是广义平稳的和广义循环平稳的。
3.2 3.33.4 已知随机信号()X t 和()Y t 相互独立且各自平稳，证明新的随机信号()()()Z t X t Y t =也是平稳的。
3.4解：()X t 与()Y t 各自平稳，设[()]X m E X t =， [()]Y m E Y t =，()[X()X()]X R E t t ττ=+，()[Y()Y()]Y R E t t ττ=+Z ()[Z()][()Y()][()][()]X Ym t E t E X t t E X t E Y t m m ===⨯=，为常数(,)[Z()Z()][()Y()()Y()][X()()][Y()()]()()()Z X Y Z R t t E t t E X t t X t t E t X t E t Y t R R R τττττττττ+=+=++=+⋅+=⋅= ∴()Z R τ仅与τ有关，故Z()()Y()t X t t =也是平稳过程。
3.5 随机信号()()010sin X t t ω=+Θ，0ω为确定常数，Θ在[],ππ-上均匀分布的随机变量。
若()X t 通过平方律器件，得到2()()Y t X t =，试求：（1）()Y t 的均值；（2）()Y t 的相关函数； （3）()Y t 的广义平稳性。
解：(1)2200[Y()][X ()][100sin ()]50[1cos(22)]50E t E t E t E t ωω==+Θ=-+Θ=()()()()()()()22220000000000002(,)[Y()Y()][X ()X ()]100sin ()100sin ()25001cos 2221cos 2225001cos 222cos 2225001250cos(2)cos(424)2YR t t E t t E t t E t t E t t E t t E t τττωωτωωωτωωωτωωτωωτ+=+=+⎡⎤=++Θ⋅+Θ⎣⎦⎡⎤=-++Θ-+Θ⎣⎦⎡⎤=+++Θ⋅+Θ⎣⎦⎡⎤=++++Θ⎣⎦=05001250cos(2)ωτ+∴()Y R τ仅与τ有关，且均值为常数，故Y()t 是平稳过程。
3.6 给定随机过程()()()00cos sin X t A t B t ωω=+，其中0ω是常数，A 和B 是两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为2σ。
证明()X t 是广义平稳而不是严格平稳的。
3.6证明：X 00()[X()][cos()sin()]0m t E t E A t B t ωω==+=()(){}00000220000002200000020(,)[X()X()]cos()sin()cos()sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin()sin()cos()X R t t E t t EA tB t A t B t E A t t B t t t t t t ττωωτωωτωωωωτωωωτωσωωτωσωωτωσωτ+=+=++++⎡⎤=+++⎣⎦=+++=由于均值是常数，且相关函数只与τ有关，故X()t 是广义平稳过程。
102012B 2X()X(),2(,)()(,)()X()X A X t t At t B f x t f x f x t f x t πωπω======∴取时，取时，显然不一定等于不是严格平稳的。
3.7 ()Y t 是广义周期平稳的实随机信号，平稳周期为100，有均值(10)20m =和相关函数(5,1)10R =，试求：（1）[5(110)]E Y ，[10(310)50]E Y +； （2）[(105)(101)]E Y Y ，[30(205)(201)200]E Y Y +；（3）[10(305)(301)6(210)80]E Y Y Y ++。
3.7解：Y()(1)[5Y(110)]5[Y(10)]5(10)520100[10Y(310)50]10[Y(10)]50250(2)[Y(105)Y(101)][Y(5)Y(1)](5,1)10[30Y(205)Y(201)200]30[Y(5)Y(1)]200500(3)[10Y(305)Y(301)6Y(210)8t E E m E E E E R E E E ===⨯=+=+====+=+=++是广义周期平稳随机信号，0]10(5,1)6(10)80300R m =++=3.8 给定过程()cos sin X t A t B t =-和()cos sin Y t B t A t =+，其中随机变量,A B 独立，均值都为0，方差都为5。
（1）证明()X t 和()Y t 各自平稳且联合平稳。
（2）求两个过程的互相关函数。
解： 因为随机变量,A B 独立，均值都为0，方差都为5，所以[][][]0E AB E A E B ==，222[][]E A E B σ==，故有X ()[X()][cos sin ]0m t E t E A t B t ==-=2222(,)[X()X()]{[cos()sin()][cos sin ]}[cos()cos sin()sin ][]cos()cos []sin()sin 5cos X R t t E t t E A t B t A t B t E A t t B t t E A t t E B t t τττττττττ+=+=+-+⨯-=+++=+++=由于均值是常数，且相关函数只与τ有关，故X()t 是广义平稳过程。
同理得到：22()[Y()][cos sin ]0(,)[Y()Y()]{[cos()sin()][cos sin ]}[]cos()cos []sin()sin 5cos Y Y m t E t E B t A t R t t E t t E B t A t B t A t E B t t E A t t τττττττ==+=+=+=+++⋅+=+++=Y()t 均值是常数，相关函数也只与τ有关，故Y()t 也是平稳过程。
22(,)[X()Y()]{[cos()sin()][cos sin ]}[]cos()sin []sin()cos 5sin ()XY XY R t t E t t E A t B t B t A t E A t t E B t t R ττττττττ+=+=+-+⋅+=+-+=-=X()t 与Y()t 分别广义平稳，其互相关函数也只与τ有关，所以X()t 和Y()t 联合广义平稳。
3.9 两个统计独立的平稳随机过程()X t 和()Y t ，其均值都为0，自相关函数分别为()e X R ττ-=，()cos 2Y R τπτ=，试求： （1）()()()Z t X t Y t =+的自相关函数；（2）()()()W t X t Y t =-的自相关函数； （3）互相关函数()ZW R τ。
3.9解：[][][]{}[][](1)(,)Z()Z()X()Y()X()Y()X()X()Y()Y()()()cos(2)Z X Y R t t E t t E t t t t E t t E t t R R e τττττττττπτ-+=+=++++=+++=+=+[][][]{}[][](2)(,)W()W()X()Y()X()Y()X()X()Y()Y()()()cos(2)W X Y R t t E t t E t t t t E t t E t t R R e τττττττττπτ-+=+=+-+-=+++=+=+[][][]{}(3)(,)Z()W()X()Y()X()Y()()()()()X()Y()()()0(,)()()cos(2)ZW X Y XY YX XY YX ZW X Y R t t E t t E t t t t R R R R t t R R R t t R R e ττττττττττττττπτ-+=+=+++-=--+==∴+=-=-又由于与零均值相互独立，同时彼此正交，则3.10 3.113.12 广义平稳随机过程()Y t 的自相关函数矩阵如下，试确定矩阵中带下划线的空白处元素的值。
2 1.30.4____2 1.20.80.4 1.2__ 1.10.9____2⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.12解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性，得到：2 1.30.40.91.32 1.20.80.4 1.22 1.10.90.8 1.12⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭R3.133.14 对于两个零均值广义平稳随机过程()X t 和()Y t ，已知25X σ=，210Y σ=，问下述函数可否作为自相关函数，为什么？（1）()()()5exp 3X R u τττ=-；否，非偶函数 （2）()()5sin 5X R ττ=；否，非偶函数 （3）()()12912Y R ττ-=+；否，2(0)9Y YR σ=≠（4）()()()cos 6exp Y R τττ=--；否，(0)1Y R =-（5）()()2sin 353X R τττ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；是（6）()()sin 106410Y R τττ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦。
不是（7）()5exp()X R ττ=-； 是（8）()264exp(3)Y R ττ=+-。
不是 解：根据平稳随机信号相关函数的性质， (1)否，该函数非偶函数 （2）否，该函数非偶函数 （3） 否，2(0)9Y Y R σ=≠不符合题意 （4） 否，(0)1Y R =-不是非负 （5）是 （6） 不是， 2Y 6m =非零，不符合题意 （7） 是 （8） 不是，2Y6m =非零，不符合题意3.153.16 已知随机过程()X t 和()Y t 独立且各自平稳，自相关函数为0()2cos X R e ττωτ-=与2()9exp(3)Y R ττ=+-。
