第6讲方程解法

函数的零点与方程的解学习目标1、了解连续函数的零点存在性定理2、了解函数零点、方程之解、两函数图像交点之间的关系3、熟练掌握数形结合的方法和思想1、函数零点的概念：凡使()0f x =的实数x ，我们称其为函数()f x 的零点，严格说来，零点是一个数，而不是点。

从函数零点的定义不难发现：函数()f x 有零点⇔方程()0f x =有实数解⇔函数()f x 的图像与x 轴有交点。

事实上，()f x 之图像与x 轴交点的横坐标就是()f x 的零点，因此，求函数()f x 的零点，往往通过解方程()0f x =实现。

另外，两个函数()f x 与()g x 的图像之交点问题，往往也等价于方程()()0f x g x -=的解的问题，或者新函数()()()h x f x g x =-的零点问题。

2、连续函数的零点存在性定理。

如果函数()f x 在[,]a b 上连续（高中阶段可等价成其图像是连续不断的），且()()0f a f b ⋅≤，则函数()f x 在[,]a b 上至少存在一个零点。

【注意】如果()()0f a f b ⋅>，不能说明()f x 在[,]a b 上就没有零点。

3、重要结论（1）如函数()f x 的图像关于直线x a =对称，且()f x 有n 个零点，则这n 个零点之和为na （2）如函数()f x 与函数()g x 的图像关于直线x a =对称，且他们图像的交点为1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则1ni i x na ==∑（3）如函数()f x 与函数()g x 的图像关于点(,)a b 中心对称，且他们图像的交点为1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，则1()ni i i x y na nb =+=+∑4、如果函数()f x 为单调函数，则()f x 最多只有一个零点。

例1（重庆高考）若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）A 、(),a b 和(),b c 内B 、(),a -∞和(),a b 内C 、(),b c 和(),c +∞内D 、(),a -∞和(),c +∞内 【解析】由题意知：()()()0f a a b a c =-->， ()()()0f b b c b a =--< ()()()0f c c a c b =-->因此，()f x 在(),a b 和(),b c 内分别至少有一个零点，依题意，只能选A 。

[解析]由于56＞0.50×100＝50，∴该居民用电量超过了基 本用电量(a度)，依题意得0.50a＋(100－a)[(1＋20%)× 0.50] ＝56，解得a＝40.
第6讲 │ 考点随堂练
15．小刚说：“我买一本笔记本和4支钢笔，刚好18元”，小明 说：“我买一本笔记本和一支钢笔，刚好6元”．聪明的你根据 他们的对话内容，求出一本笔记本和一支钢笔各多少元？
11.甲、乙两个运输队，甲队32人，乙队28人，若乙队调走x人到 甲队，则甲队人数是乙队人数的2倍，其中x 应满足的条件是 ( B ) A．2(32＋x)＝28－x B．32＋x＝2(28－x) C．32＝2(28－x) D．3×32＝28－x
[解析] 甲队现在有(32＋x)人，乙队现在有(28－x)，根据题意， 甲队现在的人数是乙队现在人数的2倍，32＋x＝2(28－x)．
一元一 次方程 的解法
相等 能使一元一次方程左右两边________的未知数的 值． 去分母 解一元一次方程的一般步骤有________、 一般 去括号 移项 合并同类项 ________、________、___________和系数 步骤 化为1. ①解一元一次方程的步骤不是一成不变的， 注意 要根据方程的特点灵活把握；②要注意每个 事项 步骤中容易出错的地方.
图6－1
[解析]根据图可得：3块巧克力的重量＝2个果冻的重量；1块巧 克力的重量＋1个果冻的重量＝50克．设每块巧克力重x克，每 3x＝2y， x＝20， 个果冻重y克，则有 解得 故选C. x＋y＝50， y＝30.
第6讲 │ 考点随堂练
14．某地居民生活用电基本价格为0.50元/度，规定每月基本 用电量为a度，超过部分电量的每度电价比基本用电量的每 度电价增加20%收费，某用户在5月份用电100度，共交电费 56元，则a的值＝________. 40

前面有关排球邀请赛的问题中，我们列出方程（3）
x2-x=56
当x=1时，x2－x=0；当x=2时，x2－x=2……我们可以填出下表：
x x2 － x 1 0 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … …
６
12
20
30
42
56
72
90
你发现那几个数值是方程 ：x2－x＝56的解？
可以发现，当x=8时，x2－x＝56，所以x=8是方程x2 －x=56的解．一元二次方程的解也叫做一元二次方程 的根 .
特征：
（１）这些方程的两边都是整式. （２）方程中只含有一个未知数，未知数 的最高次数是2.
像这样的等号两边都是整式，只含有 一个未知数（一元），并且未知数的最高 次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方 程.
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都 能化成如下形式
ax bx c 0 a 0
4.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地 显示了“二次”转化为“一次”的过程.
简记歌诀： 右化零
两因式Leabharlann 左分解各求解一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
若方程ax bx c 0(a 0)的两根为x1 , x2 ,
2
b c 则x1 x2 , x1 x2 a a
例2：用公式法解方程 （1）x2-4x-7=0
解 a 1, b 4, c 7
△ b 2 4ac 4 4 1 (7) 44 0.
2
1.变形:化已知方 程为一般形式;
2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数; 3.计算: △=b24ac的值; 4.代入:把有关数 值代入公式计算;

值为( A ) A．8 B．4 C．－4 D．－8
4 ． (2014·襄 阳 ) 若 方 程
mx ＋ ny＝ 6
的
两
个
解
是
x＝1， y＝1，
xy＝ ＝－2，1，则 m，n 的值为( A )
A．4，2
B．2，4
C．－4，－2
D．－2，－4
5．(2014·绍兴)如图①，天平呈平衡状态，其中左侧秤盘中有 一袋玻璃球，右侧秤盘中也有一袋玻璃球，还有 2
两个方法 (1)代入消元法；(2)加减消元法．
1．(2014·咸宁)若代数式x＋4的值是2，则x等于( B )
A．2
B．－2
C．6
D．－6
2．(2014·无锡)某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2
元．该店在六一儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打八折出售，
圆珠笔按原价打九折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设
个各 20 克的砝码．现将左侧袋中一颗玻璃球移至右侧秤盘， 并拿走右侧秤盘的 1 个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图②，则 被移动的玻璃球的质量为( A )
A．10 克 B．15 克 C．20 克 D．25 克
一元一次方程的解法
【例 1】 解下列方程： (1)12x－45＝170；
解：(1)5x－8＝7，5x＝8＋7，5x＝15，∴x＝3
x＝3 9＝0，x＝3，∴y＝－1 解法二：整理得(x＋y－2)a＝x－2y－5，
x＋y－2＝0，
x＝3
∴x－2y－5＝0，解得y＝－1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3