高考数学大一轮复习 第九章 45古典概型 文

[备考方向要明了] 考 什 么怎 么 考1.理解古典概型及其概率计算公式． 2.会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率.高考对本节内容的考查多为选择题或填空题，难度中低档，如2012年广东T7，上海T11等. [归纳·知识整合] 1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． [探究]　1.在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的吗？ 提示：不一定．如试验一粒种子是否发芽，其发芽和不发芽的可能性是不相等的． 2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等． [探究]　2.如何判断一个试验是否为古典概型？ 提示：关键看这个实验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性． 3．古典概型的概率公式 P(A)＝ [自测·牛刀小试] 1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为( ) A. B. C. D．1 解析：选C　基本事件总数为(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种．甲被选中共2种，所以甲被选中的概率为. 2．某国际科研合作项目由两个美国人，一个法国人和一个中国人共同开发完成，现从中随机选出两个人作为成果发布人，在选出的两人中有中国人的概率为( ) A. B. C. D．1 解析：选C　用列举法可知，共6个基本事件，有中国人的基本事件有3个． 3．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出2张卡片上数字之和为奇数的概率为( ) A. B. C. D. 解析：选A　由题意得基本事件共有10种，2张卡片之和为奇数须一奇一偶，共有6种，故所求概率为＝. 4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y＝5的下方的概率为________． 解析：点P在直线x＋y＝5下方的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六种可能，故P＝＝. 答案： 5．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________． 解析：点P(m，n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6种情况，只有(2,1)，(2,2)，这两种情况满足在圆x2＋y2＝9内部，所以所求概率为＝. 答案： 简单古典概型的求法 [例1]　编号分别为A1，A2，…，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下： 运动员编号A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834运动员编号A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格： 区间[10,20)[20,30)[30,40]人数(2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人， 用运动员编号列出所有可能的抽取结果； 求这2人得分之和大于50的概率． [自主解答]　(1)4,6,6. (2)得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3，A4，A5，A10，A11，A13，从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A 10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}共15种． “从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}共5种． 所以P(B)＝＝. 本例条件不变，从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，求这2人得分之和小于50的概率． 解：得分之和小于50的所有可能结果有： {A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A5，A13}，{A10，A13}，{A11，A13}． 故这2人得分之和小于50的概率为P＝. ——————————————————— 应用古典概型求概率的步骤 (1)仔细阅读题目，分析试验包含的基本事件的特点； (2)设出所求事件A； (3)分别列举事件A包含的基本事件，求出总事件数n和所求事件A包含的基本事件数m； (4)利用公式求出事件A的概率． 1．从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参加一项公益活动． (1)求所选2人中恰有一名男生的概率； (2)求所选2人中至少有一名女生的概率． 解：设2名女生为a1，a2,3名男生为b1，b2，b3，从中选出2人的基本事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共10种． (1)设“所选2人中恰有一名男生”的事件为A，则A包含的事件有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)共6种，则P(A)＝＝， 故所选2人中恰有一名男生的概率为. (2)设“所选2人中至少有一名女生”的事件为B，则B包含的事件有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)共7种，则P(B)＝， 故所选2人中至少有一名女生的概率为. 较复杂的古典概型的概率 [例2]　为振兴旅游业，四川省2012年面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有持金卡，在省内游客中有持银卡． (1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率； (2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率． [自主解答]　(1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡． 设事件A为“采访该团2人，恰有1人持银卡”， 则P(A)＝＝， 所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是. (2)设事件B为“采访该团2人，持金卡人数与持银卡人数相等”，可以分为事件B1为“采访该团2人，持金卡0人，持银卡0人”，或事件B2为“采访该团2人，持金卡1人，持银卡1人”两种情况． 则P(B)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝， 所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是. ——————————————————— 计算较复杂的古典概型的概率时应注意的两点 (1)解题的关键点是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型； (2)必要时将所求事件转化为彼此互斥的事件的和，或先求其对立事件的概率，进而利用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解． 2．(2012·新课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． (1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式； (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表： 日需求量n14151617181920频　数10201616151310 假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数； 若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率． 解：(1)当日需求量n≥17时，利润y＝85. 当日需求量n<17时，利润y＝10n－85. 所以y关于n的函数解析式为 y＝ (nN)． (2)这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为 ×(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4. 利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为p＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7. 4种方法——基本事件个数的确定方法 (1)列举法：此法适用于基本事件较少的古典概型； (2)列表法：此法适合于从多个元素中选定一两个元素的试验，也可看成是坐标法； (3)树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求； (4)计数原理法：如果基本事件的个数较多，列举有一定困难时，可借助于两个计数原理及排列组合知识直接计算出m，n，再运用公式求概率． 1个技巧——求解古典概型问题概率的技巧 (1)较为简单问题可直接使用古典概型公式计算； (2)较为复杂的概率问题的处理方法：一是转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式进行求解；二是采用间接法，先求事件A的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P()求事件A的概率． 1个构建——构建不同的概率模型解决问题 (1)原则：建立概率模型的一般原则是“结果越少越好”，这就要求选择恰当的观察角度，把问题转化为易解决的古典概型问题； (2)作用：一方面，对于同一个实际问题，我们有时可以通过建立不同“模型”来解决，即“一题多解”，在这“多解”的方法中，再寻求较为“简捷”的解法；另一面，我们又可以用同一种“模型”去解决很多“不同”的问题，即“多题一解”． 答题模板——求古典概型概率 [典例]　(2012山东高考·满分12分)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率． [快速规范审题] 第(1)问 1．审条件，挖解题信息 观察条件：五张卡片，红色三张，标号1,2,3.蓝色2张，标号为1,2，从中取两张所有可能的结果n 2．审结论，明解题方向 观察所求结论：求两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率得出满足这两个条件的结果m 3．建联系，找解题突破口 利用古典概型概率公式求解：P＝ 第(2)问 1．审条件，挖解题信息 观察条件：红色卡片三张、蓝色卡片二张、绿色卡片一张，从中取两张得所有的可能的结果数n 2．审结论，明解题方向 观察所求结论：观察所求结论求两种卡片颜色 不同且标号之和小于4的概率得出满足这两个条件的结果m 3．建联系，找解题突破口 利用古典概型概率公式求解：P＝[准确规范答题] 列举从5张卡片中任取两张的可能结果时，易漏掉或重复某种结果． (1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10种．(3分) 由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)共3种．(5分) 所求事件包含的事件数列举不全或重复．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.(6分) (2)记F是标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种．(9分) 由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)共8种．(11分) 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.(12分) [答题模板速成] 求古典概型概率的一般步骤： 第一步　审清题意第二步　建立数量关系第三步　转化为数学模型第四步　解决数学问题理清题意，列出所有基本事件，计算基本事件总数分析所求事件，找出所求事件的个数根据古典概率公式求解得出结论解后反思，规范解答步骤，检查计数过程是否有误 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．高三(4)班有4个学习小组，从中抽出2个小组进行作业检查．在这个试验中，基本事件的个数为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选C　设这4个学习小组为A、B、C、D，“从中任抽取两个小组”的基本事件有AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6个． 2．从1,2,3,4,5,6六个数中任取3个数，则取出的3个数是连续自然数的概率是( ) A. B. C. D. 解析：选D　取出的三个数是连续自然数有4种情况，则取出的三个数是连续自然数的概率P＝＝. 3．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是( ) A. B. C. D. 解析：选D　小正方体三面涂有油漆的有8种情况，故所求其概率为＝. 4．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( ) A. B. C. D. 解析：选D　对本题我们只看甲乙二人游览的最后一个景点，最后一个景点的选法有C×C＝36种，若两个人最后选同一个景点共有C＝6种选法，所以最后一小时他们在同一个景点游览的概率为P＝＝. 5．(2012·广东高考)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) A. B. C. D. 解析：选D　由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数分别为一奇一偶．若个位数为奇数时，这样的两位数共有CC＝20个；若个位数为偶数时，这样的两位数共有CC＝25个；于是，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有20＋25＝45个．其中，个位数是0的有C×1＝5个．于是，所求概率为＝. 6.如图，三行三列的方阵中有九个数aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( ) A. B. C. D. 解析：选D　从九个数中任取三个数的不同取法共有C＝＝84种，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C·C·C＝6，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－＝. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2012·上海高考)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)． 解析：所有的可能情况有CCC，满足条件有且仅有两人选择的项目完全相同的情况有CCC，由古典概率公式得P＝＝. 答案： 8．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为的概率是________． 解析：从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机选取两点，共有10种取法，该两点间的距离为的有4种，所求事件的概率为P＝＝. 答案： 9．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为________(用数字作答)． 解析：6节课共有A＝720种排法，相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的排法有AA＝144种排法，所以相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率为＝. 答案： 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： (1)两数之和为5的概率； (2)两数中至少有一个奇数的概率． 解：将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件． (1)记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件，所以P(A)＝＝.所以两数之和为5的概率为. (2)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件．所以P(B)＝1－＝.所以两数中至少有一个奇数的概率为. 11．将一个质地均匀的正方体(六个面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正四面体(四个面分别标有数字1,2,3,4)同时抛掷1次，规定“正方体向上的面上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b”．设复数为z＝a＋bi. (1)若集合A＝{z|z为纯虚数}，用列举法表示集合A； (2)求事件“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的概率． 解：(1)A＝{6i,7i,8i,9i}． (2)满足条件的基本事件的个数为24. 设满足“复数在复平面内对应的点(a，b)满足a2＋(b－6)2≤9”的事件为B. 当a＝0时，b＝6,7,8,9满足a2＋(b－6)2≤9； 当a＝1时，b＝6,7,8满足a2＋(b－6)2≤9； 当a＝2时，b＝6,7,8满足a2＋(b－6)2≤9； 当a＝3时，b＝6满足a2＋(b－6)2≤9. 即B为(0,6)，(0,7)，(0,8)，(0,9)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(3,6)共计11个． 所以所求概率P＝. 12．(2012·江西高考)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0，1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点． (1)求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率； (2)求这3点与原点O共面的概率． 解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是： x轴上取2个点的有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2共4种； y轴上取2个点的有B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2共4种； z轴上取2个点的有C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2共4种． 所选取的3个点在不同坐标轴上有A1B1C1，A1B1C2，A1B2C1，A1B2C2，A2B1C1，A2B1C2，A2B2C1，A2B2C2共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共20种． (1)选取的这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有A1B1C1，A2B2C2，共2种，因此，这3个点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P1＝＝. (2)选取的这3个点与原点O共面的所有可能结果有A1A2B1，A1A2B2，A1A2C1，A1A2C2，B1B2A1，B1B2A2，B1B2C1，B1B2C2，C1C2A1，C1C2A2，C1C2B1，C1C2B2，共12种，因此，这3个点与原点O共面的概率为P2＝＝. 1．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________． 解析：采用枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2个，所以所求的概率为. 答案： 2．(2012·江苏高考)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________． 解析：由题意得an＝(－3)n－1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P＝＝. 答案： 3．(2012·福建高考)在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{an}的前10项和S10＝55. (1)求an和bn； (2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率． 解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.依题意得 S10＝10＋d＝55，b4＝q3＝8， 解得d＝1，q＝2，所以an＝n，bn＝2n－1. (2)分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)． 符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)． 故所求的概率P＝.。

第二节古典概型错误!古典概型（１）特点：１试验中所有可能出现的结果个数只有有限个，即有限性．２每个结果发生的可能性相等，即等可能性．（２）概率公式：P（A）＝错误!＝错误!.１．在计算古典概型中试验的所有可能结果数和事件发生结果数时，易忽视他们是否是等可能的．２．概率的一般加法公式P（A＋B）＝P（A）＋P（B）—P（A∩B）中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P（A＋B）＝P（A）＋P（B），此时P（A∩B）＝0．[试一试]１．从３台甲型彩电和２台乙型彩电中任选两台，其中两种品牌的彩电齐全的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选B P＝错误!＝错误!.２．从１,２,３,４,５,6六个数中任取３个数，则取出的３个数是连续自然数的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D 取出的三个数是连续自然数有４种情况，则取出的三个数是连续自然数的概率P＝错误!＝错误!.古典概型中试验发生结果个数的探求方法（１）枚举法：适合给定的试验结果个数较少且易一一列举出的．（２）树状图法：适合于较为复杂的问题的试验结果数的探求，注意在确定结果数时（x，y）可以看成是有序的，如（１,２）与（２,１）不同．有时也可以看成是无序的，如（１,２）（２,１）相同．[练一练]从集合A＝{２,３，—４}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{—２，—３,４}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第二象限的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选C 依题意k和b的所有可能的取法一共有３×３＝9种，其中当直线y＝kx＋b不经过第二象限时应有k＞0，b＜0，一共有２×２＝４种，所以所求概率为错误!.错误!考点一古典概型１．一袋中装有大小相同，编号分别为１,２,３,４,５,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取２次，则取得两个球的编号和不小于１５的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D 试验所有结果为（１,１），（１,２），…，（１,8），（２,１），（２,２），…，（8,8），共6４种．两球编号之和不小于１５的情况有三种，分别为（7,8），（8,7），（8,8），∴所求概率为错误!.２．（２0１３·温州调研）一个袋子中有５个大小相同的球，其中有３个黑球与２个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选C 共有（黑１，黑２）、（黑１，黑３）、（黑１，红１）、（黑１，红２）、（黑２，黑３）、（黑２，红１）、（黑２，红２）、（黑３，红１）、（黑３，红２）、（红１，红２）１0个结果，同色球为（黑１，黑２）、（黑１，黑３）、（黑２，黑３）、（红１，红２）共４个结果，∴P＝错误!＝错误!.３．（２0１３·深圳第一次调研）一个袋中有４个大小相同的小球，其中红球１个，白球２个，黑球１个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个．（１）求连续取两次都是白球的概率；（２）假设取一个红球记２分，取一个白球记１分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为４分的概率是多少？解：（１）连续取两次的结果有：（红，红），（红，白１），（红，白２），（红，黑）；（白１，红），（白１，白１），（白１，白２），（白１，黑）；（白２，红），（白２，白１），（白２，白２），（白２，黑）；（黑，红），（黑，白１），（黑，白２），（黑，黑），共１6个．连续取两次都是白球的结果有：（白１，白１），（白１，白２），（白２，白１），（白２，白２），共４个，故所求概率为错误!＝错误!.（２）连续取三次的结果有：（红，红，红），（红，红，白１），（红，红，白２），（红，红，黑）；（红，白１，红），（红，白１，白１），（红，白１，白２），（红，白１，黑），…，共6４个．因为取一个红球记２分，取一个白球记１分，取一个黑球记0分，若连续取三次，则分数之和为４分的结果如下：（红，白１，白１），（红，白１，白２），（红，白２，白１），（红，白２，白２），（白１，红，白１），（白１，红，白２），（白２，红，白１），（白２，红，白２），（白１，白１，红），（白１，白２，红），（白２，白１，红），（白２，白２，红），（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红），共１５个．故所求概率为错误!.[类题通法]计算古典概型事件的概率三步法第一步：算出试验可能结果的总个数n；第二步：求出事件A所包含的结果个数m；第三步：代入公式求出概率P.考点二古典概型的交汇命题问题古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识面全，能力要求较高，归纳起来常见的交汇命题角度有：１古典概型与平面向量相结合；２古典概型与直线、圆相结合；３古典概型与函数相结合.角度一古典概型与平面向量相结合１．（２0１３·济南模拟）设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝（m，n），b ＝（１，—３）．（１）求使得事件“a⊥b”发生的概率；（２）求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．解：（１）由题意知，m∈{１,２,３,４,５,6}，n∈{１,２,３,４,５,6}，故（m，n）所有可能的取法共３6种．使得a⊥b，即m—３n＝0，即m＝３n，共有２种：（３,１）、（6,２），所以事件a⊥b的概率为错误!＝错误!.（２）|a|≤|b|，即m２＋n２≤１0，共有（１,１）、（１,２）、（１,３）、（２,１）、（２,２）、（３,１）6种使得|a|≤|b|，其概率为错误!＝错误!.角度二古典概型与直线、圆相结合２．连掷骰子两次得到的点数分别记为a和b，则使直线３x—４y＝0与圆（x—a）２—（y—b）２＝４相切的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选B 连掷骰子两次总的试验结果有３6种，要使直线３x—４y＝0与圆（x—a）２＋（y—b）２＝４相切，则错误!＝２，即满足|３a—４b|＝１0，符合题意的（a，b）有（6,２），（２,４），共２种，由古典概型的概率计算公式可得所求概率为P＝错误!.角度三古典概型与函数相结合３．（２0１４·安徽省级示范高中一模）设a∈{２,４}，b∈{１,３}，函数f（x）＝错误!ax２＋bx＋１．（１）求f（x）在区间（—∞，—１]上是减函数的概率；（２）从f（x）中随机抽取两个，求它们在（１，f（１））处的切线互相平行的概率．解：（１）f′（x）＝ax＋b，由题意f′（—１）≤0，即b≤a，而（a，b）共有（２,１），（２,３）（４,１），（４,３）四种，满足b≤a的有３种，故概率为错误!.（２）由（１）可知，函数f（x）共有４种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法．∵函数f（x）在（１，f（１））处的切线的斜率为f′（１）＝a＋b，∴这两个函数中的a与b之和应该相等，而只有（２,３），（４,１）这１组满足，∴概率为错误!.[类题通法]解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为试验结果个数，求出m、n的值．然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．错误![课堂练通考点]１．（２0１３·江南十校联考）第亚运会于１１月１２日在中国广州举行，运动会期间从来自A大学的２名志愿者和来自B大学的４名志愿者中随机抽取２人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选C 记２名来自A大学的志愿者为A１，A２,４名来自B大学的志愿者为B１，B２，B３，B４.从这6名志愿者中选出２名的结果有：（A１，A２），（A１，B１），（A１，B２），（A１，B３），（A１，B４），（A，B１），（A２，B２），（A２，B３），（A２，B４），（B１，B２），（B１，B３），（B１，B４），（B２，B３），（B２，２B４），（B３，B４），共１５种．其中至少有一名A大学志愿者的事件有9种．故所求概率P＝错误!＝错误!.故选Ｃ．２．（２0１４·亳州高三质检）已知集合M＝{１,２,３,４}，N＝{（a，b）|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一点，O为坐标原点，则直线OA与y＝x２＋１有交点的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误! Ｄ．错误!解析：选C 易知过点（0,0）与y ＝x ２＋１相切的直线为y ＝２x （斜率小于0的无需考虑），集合N 中共有１6个元素，其中使OA 斜率不小于２的有（１,２），（１,３），（１,４），（２,４），共４个，由古典概型知概率为错误!＝错误!.３．我们把日均收看体育节目的时间超过５0分钟的观众称为“超级体育迷”．已知５名“超级体育迷”中有２名女性，若从中任选２名，则至少有１名女性的概率为（ ）Ａ．错误! Ｂ．错误! Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选A 用a i 表示男性，其中i ＝１,２,３，b j 表示女性，其中j ＝１,２．记“选出的２名全都是男性”为事件A ，“选出的２名有１名男性１名女性”为事件B ，“选出的２名全都是女性”为事件C ，则事件A 包含（a １，a ２），（a １，a ３），（a ２，a ３），共３个结果，事件B 包含（a １，b １），（a １，b ２），（a ２，b １），（a ２，b ２），（a ３，b １），（a ３，b ２），共6个结果，事件C 包含（b １，b ２），共１个结果．事件A ，B ，C 彼此互斥，事件至少有１名女性包含事件B 和C ，所以所求事件的概率为错误!＝错误!.４．（２0１３·南京模拟）在集合A ＝{２,３}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{１,２,３}中随机取一个元素n ，得到点P （m ，n ），则点P 在圆x ２＋y ２＝9内部的概率为________．解析：点P （m ，n ）共有（２,１），（２,２），（２,３），（３,１），（３,２），（３,３），6种情况，只有（２,１），（２,２）这２个点在圆x ２＋y ２＝9的内部，所求概率为错误!＝错误!.答案：错误!５．（２0１３·江西高考）小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O 为起点，再从A １，A ２，A ３，A ４，A ５，A 6（如图）这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ，若X >0就去打球，若X ＝0就去唱歌，若X <0就去下棋．（１）写出数量积X 的所有可能取值；（２）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率． 解：（１）X 的所有可能取值为—２，—１,0,１． （２）数量积为—２的有2OA ·5OA ，共１种；数量积为—１的有1OA ·5OA ，1OA ·6OA ，2OA ·4OA ，2OA ·6OA ，3OA ·4OA ，3OA ·5OA ，共6种；数量积为0的有1OA ·3OA ，1OA ·4OA ，3OA ·6OA ，4OA ·6OA ，共４种； 数量积为１的有1OA ·2OA ，2OA ·3OA ，4OA ·5OA ，5OA ·6OA ，共４种． 故所有可能的情况共有１５种． 所以小波去下棋的概率为P １＝错误!；因为去唱歌的概率为P ２＝错误!，所以小波不去唱歌的概率P ＝１—P ２＝１—错误!＝错误!.[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷１．（２0１３·惠州模拟）从{１,２,３,４,５}中随机选取一个数为a ，从{１,２,３}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是（ ）Ａ．错误! Ｂ．错误! Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D 从{１,２,３,４,５}中选取一个数a 有５种取法，从{１,２,３}中选取一个数b 有３种取法．所以选取两个数a ，b 共有５×３＝１５种取法．满足b >a 的取法共有３个．因此b >a 的概率P ＝错误!＝错误!.２．高三（４）班有４个学习小组，从中抽出２个小组进行作业检查．在这个试验中，所有可能结果个数为（ ）Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．6Ｄ．8解析：选C 设这４个学习小组为A ，B ，C ，D ，“从中任抽取两个小组”的所有可能结果有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6个．３．文科班某同学参加省学业水平测试，物理、化学、生物获得等级A 和获得等级不是A 的机会相等，物理、化学、生物获得等级A 的事件分别记为W １，W ２，W ３，物理、化学、生物获得等级不是A 的事件分别记为错误!１，错误!２，错误!３.则该同学参加这次学业水平测试获得两个A 的概率为（ ）Ａ．错误! Ｂ．错误! Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选A 该同学这次学业水平测试中物理、化学、生物成绩所有可能的结果有8种，分别为（W，W２，W３），（错误!１，W２，W３），（W１，错误!２，W３），（W１，W２，错误!３），（错误!１，错误!１，W３），（错误!１，W２，错误!３），（W１，错误!２，错误!３），（错误!１，错误!２，错误!３）．有两个A ２的情况为（错误!１，W２，W３），（W１，错误!２，W３），（W１，W２，错误!３），共３种，从而其概率为P＝错误!.４．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成１000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选D 小正方体三面涂有油漆的有8种情况，故所求其概率为错误!＝错误!.５．（２0１４·浙江联考）一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为１，两个编号为２，三个编号为３．现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于４的概率是________．解析：列举可知，共有３6种情况，和为４的情况有１0种，所以所求概率P＝错误!＝错误!.１２２３３３１２３３４４４２３４４５５５２３４４５５５３４５５666３４５５666３４５５666答案：错误!6．（２0１４·宣武模拟）曲线C的方程为错误!＋错误!＝１，其中m，n是将一枚骰子先后投掷两次所得点数，事件A＝“方程错误!＋错误!＝１表示焦点在x轴上的椭圆”，那么P（A）＝________.解析：试验中所有可能结果个数为３6；若想表示椭圆，则先后两次的骰子点数不能相同，则去掉6种可能，既然椭圆焦点在x轴上，则m＞n，又只剩下一半情况，即有１５种，因此P（A）＝错误!＝错误!.答案：错误!7．某种零件按质量标准分为１,２,３,４,５五个等级．现从一批该零件中随机抽取２0个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：（１）在抽取的２0（２）在（１）的条件下，从等级为３和５的所有零件中，任意抽取２个，求抽取的２个零件等级恰好相同的概率．解：（１）由频率分布表得0．0５＋m＋0．１５＋0．３５＋n＝１，即m＋n＝0．４５．由抽取的２0个零件中，等级为５的恰有２个，得n＝错误!＝0．１，所以m＝0．４５—0．１＝0．３５．（２）由（１）得，等级为３的零件有３个，记作x１，x２，x３；等级为５的零件有２个，记作y１，y２.从x１，x２，x３，y１，y２中任意抽取２个零件，所有可能的结果为（x１，x２），（x１，x３），（x１，y１），（x１，y２），（x２，x３），（x２，y１），（x２，y２），（x３，y１），（x３，y２），（y１，y２），共１0种．记事件A为“从零件x１，x２，x３，y１，y２中任取２件，其等级相等”．则A包含的可能结果有（x１，x２），（x１，x３），（x２，x３），（y１，y２），共４种．故所求概率为P（A）＝错误!＝0．４．8．将一个质地均匀的正方体（六个面上分别标有数字0,１,２,３,４,５）和一个正四面体（四个面分别标有数字１,２,３,４）同时抛掷１次，规定“正方体向上的面上的数字为a，正四面体的三个侧面上的数字之和为b”．设复数为z＝a＋b i.（１）若集合A＝{z|z为纯虚数}，用列举法表示集合A；（２）求事件“复数在复平面内对应的点（a，b）满足a２＋（b—6）２≤9”的概率．解：（１）A＝{6i,7i,8i,9i}．（２）满足条件的所有可能结果的个数为２４．设满足“复数在复平面内对应的点（a，b）满足a２＋（b—6）２≤9”的事件为B.当a＝0时，b＝6,7,8,9满足a２＋（b—6）２≤9；当a＝１时，b＝6,7,8满足a２＋（b—6）２≤9；当a＝２时，b＝6,7,8满足a２＋（b—6）２≤9；当a＝３时，b＝6满足a２＋（b—6）２≤9．即B为（0,6），（0,7），（0,8），（0,9），（１,6），（１,7），（１,8），（２,6），（２,7），（２,8），（３,6）共计１１个结果．所以所求概率P＝错误!.第Ⅱ卷：提能增分卷１．（２0１３·陕西高考）有7位歌手（１至7号）参加一场歌唱比赛，由５00名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别A B C D E人数５0１00１５１５５0（１）为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表：组别A B C D E人数５0１00１５１５５0抽取人数6（２）在（１）中，若A，B两组被抽到的评委中各有２人支持１号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选１人，求这２人都支持１号歌手的概率．解：（１）由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽到的人数如下表：组别A B C D E人数５0１00１５１５５0抽取人数３699３（２）记从A１２３１２B组抽到的6个评委为b１，b２，b３，b４，b５，b6，其中b１，b２支持１号歌手．从{a１，a２，a３}和{b１，b２，b３，b４，b５，b6}中各抽取１人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共１8种，其中２人都支持１号歌手的有a１b１，a１b２，a２b１，a２b２共４种，故所求概率p＝错误!＝错误!.２．已知集合P＝{x|x（x２＋１0x＋２４）＝0}，Q＝{y|y＝２n—１，１≤n≤２，n∈N＋}，M＝P∪Q.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（x′，y′），且x′∈M，y′∈M，试计算：（１）点A正好在第三象限的概率；（２）点A不在y轴上的概率；（３）点A正好落在区域x２＋y２≤１0上的概率．解：由集合P＝{x|x（x２＋１0x＋２４）＝0}可得P＝{—6，—４,0}，由Q＝{y|y＝２n—１,１≤n≤２，n∈N＋}可得Q＝{１,３}，则M＝P∪Q＝{—6，—４,0,１,３}，因为点A的坐标为（x′，y′），且x′∈M，y′∈M，所以满足条件的点A的所有情况为（—6，—6），（—6，—４），（—6,0），（—6,１），（—6,３），…，（３,３），共２５种．（１）点A正好在第三象限的可能情况为（—6，—6），（—４，—6），（—6，—４），（—４，—４），共４种，故点A正好在第三象限的概率P１＝错误!.（２）点A在y轴上的可能情况为（0，—6），（0，—４），（0,0），（0,１），（0,３），共５种，故点A不在y轴上的概率P２＝１—错误!＝错误!.（３）点A正好落在区域x２＋y２≤１0上的可能情况为（0,0），（１,0），（0,１），（３,１），（１,３），（３,0），（0,３），（１,１）．共8种，故点A落在区域x２＋y２≤１0上的概率P３＝错误!.３．（２0１４·莱芜模拟）中国共产党第十八次全国代表大会期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为１,２,３,４,５的五名男记者和编号分别为6,7,8,9的四名女记者．要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号（x，y）表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x，y，且x＜y”．（１）共有多少个可能结果？并列举出来；（２）求所抽取的两名记者的编号之和小于１7但不小于１１或都是男记者的概率．解：（１）共有３6个结果，列举如下：（１,２），（１,３），（１,４），（１,５），（１,6），（１,7），（１,8），（１,9），（２,３），（２,４），（２,５），（２,6），（２,7），（２,8），（２,9），（３,４），（３,５），（３,6），（３,7），（３,8），（３,9），（４,５），（４,6），（４,7），（４,8），（４,9），（５,6），（５,7），（５,8），（５,9），（6,7），（6,8），（6,9），（7,8），（7,9），（8,9），共３6个．（２）记事件“所抽取的记者的编号之和小于１7但不小于１１”为事件A，即事件A为“x，y∈{１,２,３,４,５,6,7,8,9}，且１１≤x＋y＜１7，其中x＜y”，由（１）可知事件A共含有１５个结果，列举如下：（２,9），（３,8），（３,9），（４,7），（４,8），（４,9），（５,6），（５,7），（５,8），（５,9），（6,7），（6,8），（6,9），（7,8），（7,9），共１５个．“都是男记者”记作事件B，则事件B为“x＜y≤５”，包含：（１,２），（１,３），（１,４），（１,５），（２,３），（２,４），（２,５），（３,４），（３,５），（４,５），共１0个．故P（A）＋P（B）＝错误!＋错误!＝错误!.。

考点45 古典概型一、知识储备汇总与命题规律展望1.知识储备汇总:（1）概率的有关概念：①随机事件和随机试验是两个不同的概念：在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，件每实现一次，叫做一次试验，如果试验结果预先无法确定，这种试验就是随机试验．②频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率．概率是频率的近似值，两者是不同概念。

③基本事件空间：在一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为基本事件，所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，通常用大写希腊字母Ω表示．④事件的关系与运算：其中，互斥事件与对立事件的区别与联系是：互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．（2）古典概型①定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，（ⅰ）有限性试：验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（ⅱ）等可能性：每个基本事件出现的可能性相等，简称古典概型．②概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝m n.从集合的角度去看待古典概型，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集．故P (A )＝card(A )card(I )＝m n. ③若事件A 与事件B 互斥，则事件B A +的概率)()()(B P A P B A P +=+；若事件A 与事件B 是对立事件，则1)()(=+B P A P .2.命题规律展望：古典概型是高考考查的重点与热点，主要考查利用排列组合知识、互斥事件的和概率公式、相互独立事件的积概率公式及古典概型的知识求古典概型的概率，题型为选择题、填空题或理科解答题中求随机变量分布列中求概率或文科解答题中求古典概率，分值为5至17分，难度为基础题或中档难度题.二、题型与相关高考题解读1.简单的古典概型问题1.1考题展示与解读例1 【2017某某，理8】从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9X 卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1X ．则抽到的2X 卡片上的数奇偶性不同的概率是（A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 【命题意图探究】本题主要考查利用排列组合知识计算古典概型，是中档题.【答案】C【解析】标有1，2，⋅⋅⋅，9的9X 卡片中，标奇数的有5X ，标偶数的有4X ，所以抽到的2X 卡片上的数奇偶性不同的概率是115425989C C =⨯ ,选C. 【解题能力要求】应用意识，运算求解能力【方法技巧归纳】解决古典概型问题首先要搞清所求问题是否是古典概型问题，其判断依据是：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．其次要搞清基本事件的总数以及所求事件中包含的基本事件的个数，然后利用古典概型的概率公式求解． 1.2【典型考题变式】 【变式1：改编条件】为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下的2种颜色的花种在另一花坛中，则红色和紫色的花种在同一花坛的概率是（ ）A. 110B. 12C. 13D. 56【答案】C【解析】从四种颜色中选择两种颜色种植在一个花坛中，则另外两种颜色的花种植在另外一个花坛中，种花的方法共有：246C =种，而红色和紫色的花种在同一花坛有2种方法，其概率值为2163p ==,故选C. 【变式2：改编结论】扇形AOB 的半径为1，圆心角为90°.点C ，D ，E 将弧AB 等分成四份．连接OC ，OD ，OE ，从图中所有的扇形中随机取出一个，若取到扇形的面积恰为S 的概率为310，则S=( )A. 8πB. 4πC. 38πD. 2π 【答案】A【变式3：改编问法】袋子中有四个小球，分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“快”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1,2,3,4表示取出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：13 24 12 32 43 14 24 32 31 2123 13 32 21 24 42 13 32 21 34据此估计，直到第二次就停止的概率为( ) A. B. C. D.【答案】B【解析】由随机数表可知，在20个随机数组中，第二个数字是3的共有13 43 23 13 13共5个，所以其发生的概率为，故选B. 2.复杂古典概型问题2.1考题展示与解读例2【2016高考某某文数】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为（ ）（A ）65 （B ）52 （C ）61 （D ）31 【命题意图探究】本题考查互斥事件的和概率公式，是基础题.【答案】A【解析】甲不输概率为115.236+=选A. 【解题能力要求】运算求解能力【方法技巧归纳】复杂古典概型问题，常分成若干个简单互斥事件的和，再利用排列组合的知识计算这些简单事件的概率，最后利用互斥事件的和概率公式求解，常用正难则反思想求解.2.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】一次数学考试中，4位同学各自在第22题和第23题中任选一题作答，则第22题和第23题都有同学选答的概率为（ ）A. B. C. D.【答案】C【变式2：改编结论】四个人围坐在一X 圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）． A. 14 B. 716 C. 12 D. 916【答案】B【解析】四个人抛硬币的可能结果有16种，有不相邻2人站起来的可能为：正反正反，反正反正，只有1人站起来的可能有4种，没有人站起来的可能有1种，所以所求概率为：24171616P ++==．选B. 【变式3：改编问法】设,m n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则方程20x mx n ++=有实根的概率为（ ）A. 1936B. 1136C. 712D. 12【答案】A3.古典概型与其他知识的交汇3.1考题展示与解读例3 【2016高考某某文科】从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a 、b ，则log a b 为整数的概率= .【命题意图探究】本题以对数的概率为载体考查古典概型的计算，是基础题.【答案】16【解析】从2，3，8，9中任取两个数记为,a b ，作为作为对数的底数与真数，共有2412A =个不同的基本事件，其中为整数的只有23log 8,log 9两个基本事件，所以其概率21126P ==. 【解题能力要求】转化与化归思想、运算求解能力 【方法技巧归纳】解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.3.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】集合{}1,1,2,3,4,5A =-和{}2,1,1,2,3,4B =--，分别从集合A ，B 中随机取一个数作为m 和n ，则方程221mx ny +=表示焦点落在x 轴上的椭圆的概率是（ ）A. 16B. 518C. 49D. 59【答案】A【变式2：改编结论】将甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a 、b 分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数．若点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝m (m 为常数)上，且使此事件的概率最大，则此时m 的值为 ( )A. 6B. 5C. 7D. 8【答案】C【解析】由题意易知将甲、乙两枚骰子先后各抛一次，点（a ，b ）共有36种情况，其中当a ＋b ＝7时，共有6种情况，即（1,6），（2,5），（3,4），（4,3），（5,2），（6,1），此时概率最大，故当m ＝7时，事件的概率最大．选C 。

考点45古典概型（1）理解古典概型及其概率计算公式.（2）会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.一、基本事件在一次试验中，可能出现的每一个基本结果叫做基本事件.基本事件有如下特点：（1）任何两个基本事件是互斥的.（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.二、古典概型的概念及特点把具有特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.三、古典概型的概率计算公式() P AA事件包含的基本事件数试验的基本事件总数.四、必记结论（1）古典概型中的基本事件都是互斥的．（2）在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视它们是否是等可能的．考向一古典概型的概率求解1.求古典概型的基本步骤：(1)算出所有基本事件的个数n.(2)求出事件A包含的所有基本事件数m.(3)代入公式()mP An，求出P(A)．2.求解古典概型的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件.基本事件的表示方法有列举法、列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择.3.对于求较复杂事件的古典概型的概率问题，可以将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求对立事件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率.4.解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.典例1甲盒子装有分别标有数字1，2，3，4的4X卡片，乙盒子装有分别标有数字2，5的2X卡片，若从两个盒子中各随机地摸取出1X卡片，则2X卡片上的数字为相邻数字的概率为A．78B．38C．14D．18【答案】B典例2 某校高一、高二、高三分别有400人、350人、350人.为调査该校学生的学习情况,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本.已知从高一的同学中抽取8人. (1)求样本容量n 的值和从高二抽取的人数；(2)若从高二抽取的同学中选出2人参加某活动,已知高二被抽取的同学中有2名女生,求至少有1名女同学被选中的概率. 【解析】(1)由题意可得8400350350400n =++,解得22n =,从高二抽取83507400⨯=人.从这7位同学中任选2人,有女生的有:{}{}{}{}{},,,,,,,,,A B A C A D A E A F ,{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,A G B C B D B E B F B G 共 11 种, 故至少有1名女同学被选中的概率为1121.1．在1,2,3,4中任取2个不同的数,则这2个数的和小于5的概率为 ．2．近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,与此同时,相关管理部门推出了针对电商商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品好评率为3,5对服务好评率为3,4其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．(1)是否可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关?(2)若针对商品的好评率,采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易,并从中选择两次交易进行客户回访,求只有一次好评的概率． 注:()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828()()()()()22,其中n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.考向二用随机模拟估计概率用随机模拟估计概率的关键是用相应的整数表示试验的结果，然后按实际需要将所得的随机数分为若干个一组（比如试验要求随机抽取三个球就三个数据一组），明晰所求事件的特点后去找符合要求的数据组，即可求解概率.典例3已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率.先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,2,3表示命中靶心,4,5,6,7,8,9表示未命中靶心,再以每三个随机数为一组,代表三次打靶的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数: 321421191925271932800478589663 531297396021546388230113507965据此估计,小李三次打靶恰有两次命中的概率为 A ．0.25 B ．0.30 C ．0.35 D ．0.40 【答案】B3．袋子中有四个小球，分别写有“甲、乙、丙、丁”四个字，从中任取一个小球，取到“丙”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数，且用1，2，3，4表示取出小球上分别写有“甲、乙、丙、丁”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：13 24 12 32 43 14 24 32 31 2123 13 32 21 24 42 13 32 21 34据此估计，直到第二次就停止的概率为A．15B．14C．13D．121．甲、乙两人有三个不同的学习小组A,B,C可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组,则两人参加同一个小组的概率为A．13B．23C．16D．562．现有2个正方体,3个三棱柱,4个球和1个圆台,从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为A．110B．25C．12D．7103．袋中共有6个除颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取两个球,则两个球的颜色为一白一黑的概率等于A．15B．25C．35D．454．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中；5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数： 137 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A ．0.40 B ．0.30 C ．0.35D ．0.255．从集合{}2,1,2A =--中随机选取一个数记为a ,从集合{}1,1,3B =-中随机选取一个数记为b ,则直线0ax y b -+=不经过第四象限的概率为A ．29B ．13C ．49D ．146．运行如图所示的程序框图,设输出数据构成的集合为A ,从集合A 中任取一个元素a ,则函数[),0,a y x x =∈+∞是增函数的概率为A ．37B ．45 C ．35D ．347．2017年1月18日支付宝集福活动又来了,假定每次扫福都能得到一X 福卡(福卡一共有五种:爱国福、富强福、和谐福、友善福、敬业福),且得到每一种类型福卡的概率相同,若小X 已经得到了富强福、和谐福、友善福,则小X 再扫两次可以集齐五福的概率为___________.8．已知集合A ={-2,3,5,7},从A 中随机抽取两个不同的元素a ,b ,作为复数z =a+b i(i 为虚数单位)的实部和虚部.则复数z 在复平面内的对应点位于第一象限的概率为___________.9．某中学有一调查小组为了解假期期间本校学生白天在家的时间情况,从全校学生中抽取120人,统计他们平均每天在家的时间(在家时间超过4小时的就认为具有“宅”属性,否则就认为不具有“宅”属性).具有“宅”属性不具有“宅”属性男生 20 50 女生1040采用分层抽样的方法从具有“宅”属性的学生中抽取一个6人的样本,若从这6人中随机选取3人做进一步的调查,则选取的3人中至少有1名女生的概率为___________.10．广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,也是城市精神文明建设成果的一个重要象征.2016年某校社会实践小组对某小区广场舞的开展状况进行了年龄的调查,随机抽取了40名广场舞者进行调查,将他们按年龄分成6段[)[)[)[)[)[]:20,30,30,40,40,50,50,60,60,70,70,80后得到如图所示的频率分布直方图.(l)计算这40名广场舞者中年龄分布在[)40,70的人数;(2)若从年龄在[)20,40中的广场舞者任取2名,求这两名广场舞者中恰有一人年龄在[)30,40的概率.11．某市为了了解高三学生的身体综合素质,从甲、乙两所学校(两所学校的高三学生人数均按365计算)各抽取20名学生的数据作为样本,将综合素质分进行统计,如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).总分在35分以下(不包括35分)的为需要加强训练的学生;35~75分之间的为需要提高训练的学生;75分以上(不包括75分)的为运动健儿.(1)以这20名学生的身体综合素质分来估计全校365名高三学生的身体状况,则甲、乙两所学校中分别约有多少名需要加强训练和需要提高训练的高三学生?(2)从两所学校共抽取的40名高三学生中综合素质分在[60,80]内的学生中随机抽取2名,求抽取的2名高三学生均为运动健儿的概率.1．（2017某某文科）有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A ．45B ．35 C ．25D ．152．（2017新课标全国Ⅱ文科）从分别写有1,2,3,4,5的5X 卡片中随机抽取1X ，放回后再随机抽取1X ，则抽得的第一X 卡片上的数大于第二X 卡片上的数的概率为A ．110B ．15 C ．310D ．253．（2016新课标全国Ⅰ文科）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．564．（2016新课标全国Ⅲ文科）小敏打开计算机时，忘记了开某某码的前两位，只记得第一位是,M I N ，中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ．815B ．18 C ．115D ．1305．（2016文科）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为A ．15B ．25C．825D．9256．（2017某某文科）某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.（1）若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.7．（2016某某文科）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若3xy≤，则奖励玩具一个；②若8xy≥，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.1．【答案】1 3【解析】在1,2,3,4中任取2个不同的数，有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)，共6种不同的取法，其中，“2个数的和小于5”包含()()1,2,1,3，共2种不同的取法，则这2个数的和小于5的概率为21 63 =.2．【解析】(1)由题意可得关于商品评价和服务评价的22⨯列联表:对服务好评对服务不满意合计对商品好评80 40 120对商品不满意70 10 80 合计150 50 200计算得2K的观测值为()22008010407011.11110.828,1505012080k⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯变式拓展所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为商品好评与服务好评有关．()()(),,,,,A B A C A a ,()()(),,,,,A b B C B a ,()(),,,B b C a ,()(),,,C a a b ，共计10种情况．其中只有一次好评的情况是()()()()()(),,,,,,,,,,,,A a A b B a B b C a C b 共计6种情况． 因此,只有一次好评的概率为63105=． 3．【答案】B【解析】由题意知在20组随机数中表示第二次就停止的有13 43 23 13 13，共5组随机数，故所求概率为51204P ==.1．【答案】A【解析】甲、乙两人参加三个不同的学习小组共包含9个基本事件, 其中两人参加同一个小组包含3个基本事件()()(),,,,,A A B B C C , 则所求概率为3193P ==.故选A ． 2．【答案】C【解析】共有10个几何体,其中旋转体有5个,所以从中任取一个几何体,则该几何体是旋转体的概率为51102=. 3．【答案】B【解析】将1个红球,2个白球和3个黑球分别记为a 1,b 1,b 2,c 1,c 2,c 3, 从袋中任取两个球的基本事件有:(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 1,c 1),(a 1,c 2),(a 1,c 3),(b 1,b 2),( b 1,c 1),(b 1,c 2),(b 1,c 3),(b 2,c 1),(b 2,c 2), (b 2,c 3),(c 1,c 2),(c 1,c 3),(c 2,c 3)，共15种. 满足两个球的颜色为一白一黑的有6种,考点冲关故所求概率为62155=. 4．【答案】B【解析】由题意，得在20组模拟数据中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的数据有137、191、271、932、812、393，共6个数据，则该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为60.3020=.故选B ． 5．【答案】A6．【答案】C【解析】该程序的运行过程如下:x =-3,输出3;2y x ==-,输出0;1y x ==-,输出1;0y x =-=,输出0;1y x ==,输出3;2y x ==,输出8;3y x ==,输出y =15,程序结束,故A ={3,0,-1,8,15},其中有3个元素可使得函数[),0,ay x x =∈+∞是增函数,故所求概率为35. 7．【答案】【解析】再扫两次得到福卡的所有情况有(爱国福,爱国福)、(爱国福,富强福)、(爱国福,和谐福)、(爱国福,友善福)、(爱国福,敬业福)、(富强福,爱国福)、(富强福,富强福)、(富强福,和谐福)、(富强福,友善福)、(富强福,敬业福)、(和谐福,爱国福)、(和谐福,富强福)、(和谐福,和谐福)、(和谐福,友善福)、(和谐福,敬业福)、(友善福,爱国福)、(友善福,富强福)、(友善福,和谐福)、(友善福,友善福)、(友善福,敬业福)、(敬业福,爱国福)、(敬业福,富强福)、(敬业福,和谐福)、(敬业福,友善福)、(敬业福,敬业福),共25种,记“小X 再扫两次可以集齐五福”为事件M ,则事件M 包含的情况有(爱国福,敬业福)、(敬业福,爱国福),共2种,根据古典概型的概率计算公式可得所求概率为P (M )=.8．【答案】129．【答案】45【解析】记事件M 为“选取的3人中至少有1名女生”,则事件M 为“选取的3人都是男生”. 采用分层抽样的方法从具有“宅”属性的学生中抽取一个6人的样本,其中男生有4人,编号分别为a ,b ,c ,d ,女生有2人,编号分别为A ,B ．从6人中随机选取3人的基本事件有{a ,b ,c },{a ,b ,d },{a ,b ,A },{a ,b ,B },{a ,c ,d },{a ,c ,A },{a ,c ,B },{a ,d ,A },{a ,d ,B },{a ,A ,B },{b ,c ,d },{b ,c ,A },{b ,c ,B },{b ,d ,A },{b ,d ,B },{b ,A ,B },{c ,d ,A },{c ,d ,B },{c ,A ,B },{d ,A ,B },共20个.事件M 所含的基本事件分别为{a ,b ,c },{a ,b ,d },{a ,c ,d },{b ,c ,d },共4个, 所以事件M 的概率为P (M )=41205=, 所以事件M 的概率为P (M )=1-P (M )=1-1455=. 10．【解析】(1)由表中数据知,这40名广场舞者中年龄分布在[)40,70的人数为()0.020.030.025104030++⨯⨯=.(2)由直方图可知,年龄在[)20,30的有2人,分别记为12,,a a 在[)30,40的有4人,分别记为1234,,,b b b b .现从这6人中任选两人,共有如下15种选法:()()()()12111213,,,,,,,a a a b a b a b ,()()()()14212223,,,,,,,a b a b a b a b ,()()()()24121314,,,,,,,a b b b b b b b ,()()()232434,,,,,,b b b b b b 其中恰有1人在[)30,40的有8种,故这两名广场舞者中恰有一人年龄在[)30,40的概率为815p =.(2)在抽取的40名高三学生的样本数据中,身体综合素质分在[60,80]内的有6名,而身体综合素质分在(75,80]内的有3名,分别记为D 1,D 2,D 3,身体综合素质分在[60,75]内的有3名,分别记为d 1,d 2,d 3, 则从这6名高三学生中随机抽取2名共有15种结果:(D 1,D 2),(D 1,D 3),(D 2,D 3),(d 1,d 2),(d 1,d 3),(d 2,d 3),(D 1,d 1), (D 1,d 2),(D 1,d 3),(D 2,d 1),(D 2,d 2),(D 2,d 3),(D 3,d 1),(D 3,d 2),(D 3,d 3).记“抽取的2名高三学生均为运动健儿”为事件M ,则其包含的结果有3种:(D 1,D 2),(D 1,D 3),(D 2,D 3). 故抽取的2名高三学生均为运动健儿的概率为P (M )=.1．【答案】C【解析】选取两支彩笔的方法有：红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，含有红色彩笔的选法有：红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，由古典概型的概率计算公式，可得所求概率42105P ==．故选C ． 【名师点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算，属于基础题．解题时要准确理解题意，先要判断该概率模型是不是古典概型，然后找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数，代入公式()()n A P n Ω=即可得解． 直通高考2．【答案】D【解析】如下表所示，表中的点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数：总计有25种情况，满足条件的有10种.所以所求概率为102 255=.【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. 3．【答案】C【解析】从4种颜色的花中任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛有4种种法，故所求概率为23，选C．4．【答案】C5．【答案】B【解析】从5名学生中随机选出2人有10种选法，甲被选中的情况有4种，故所求概率为42105P==，故选B．6．【解析】（1）由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}121323111213212223,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A B A B A B A B {}{}{}{}{}{}313233121323,,,,,,,,,,,A B A B A B B B B B B B ，共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：{}{}{}121323,,,,,A A A A A A ,共3个，则所求事件的概率为：31155P ==. （2）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}111213212223313233,,{,},,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B ，共9个，包含1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有：{}{}1213,,,A B A B ，共2个， 所以所求事件的概率为：29P =.【名师点睛】(1)对于事件A 的概率的计算,关键是要分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一,本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个；第三,事件A 是什么,它包含的基本事件有多少个.(2)如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所包含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A 中的基本事件数,利用公式P (A )＝求出事件A 的概率,这是一个形象、直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.则事件A 包含的基本事件共有5个，即()()()()()1,1,1,2,1,3,2,1,3,1, 所以()5,16P A =即小亮获得玩具的概率为516.（2）记“8xy ≥”为事件B ，“38xy <<”为事件C .则事件B 包含的基本事件共有6个，即()()()()()()2,4,3,3,3,4,4,2,4,3,4,4, 所以()63.168P B == 事件C 包含的基本事件共5个，即()()()()()1,4,2,2,2,3,3,2,4,1, 所以()5.16P C =因为35,816>所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.。