(统编版)2020高中数学第一章集合1.1集合的含义与表示问题导学案北师大版必修19

——————————新学期新成绩新目标新方向——————————课题: §1.1集合的含义与表示（一）一. 教学目标：l.知识与技能(1) 初步理解集合的含义，进一步理解分类的思想，掌握常用数集的记法；(2) 体会集合中的元素与对应的集合之间的“属于”关系，以及元素的三个特性；（3）理解什么是集合中不同元素的共同特征性质，会用集合的特征性质判断一个对象是否属于某个集合，知道如何用集合的特征性质描述初中学习过的数的集合、平面图形的集合；2. 过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.(2) 体会将实际问题数学化的过程．3. 情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.二. 教学重点.难点重点：理解集合的含义，掌握常用数集的记法，难点：理解集合的含义三、教学方法创设问题情境，采用实例归纳，注重引导学生自主探索，合作交流的学习意识，注意启发式和探索式的教学方法.四、教学过程：一、创设情境：材料一: 第29届北京奥运会颁奖元素.(说明数学来源于生活，服务于生活)材料二：用Excel(电子表格)列出我国水面面积在800km2以上的天然湖中的9个.二、讲授新课：1.集合有关概念的教学：考察几组对象：① 1～20以内所有的质数；② 到定点的距离等于定长的所有点；③所有的锐角三角形；④x 2, 3x+2, 5y 3-x, x 2+y 2；⑤东升高中高一级全体学生； ⑥方程230x x +=的所有实数根；⑦ 隆成日用品厂2005年8月生产的所有童车；⑧2005年1月,广东所有出生婴儿。

A.提问：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？（数、点、形、式、体、解、物、人）B.概念：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ）,把一些元素组成的总体叫作集合（set ）（简称集）。

C.讨论集合中的元素的特征：分析“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？→结论：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的。

1．1 集合的含义及其表示 第2课时【学习目标】1．理解并掌握集合三种表示方法；熟练地进行集合表示方法之间的转换；2．初步理解集合相等的概念，并会初步运用；3．培养学生的逻辑思维能力和运算能力.【课前导学】一、复习回顾：1、 集合的概念描述：1）一般地，一定范围内某些 确定的、不同的对象的全体 构成一个集合。

2）集合的元素具有__确定____性、_互异__性和__无序__性．3）如果a 是集合A 的元素，记作___a A ∈_____．4）集合的分类： 有限集，无限集和空集 .2、 常用数集的符号：自然数集__N____；正整数集__N *____；整数集__Z____；有理数集__Q____；实数集__R___．二、思考题：集合A 中的元素由(a ∈Z,b ∈Z)组成，判断下列元素与集合A 的关系？（1）0 （2（3分析：先把x 写成的形式，再观察a ，b 是否为整数.【解】（1）因为2000⋅+=，所以A ∈0；（2）因为211121⋅+=-，所以A ∈-121； （3）因为,213231+=-Z ∉3， 所以Z ∉-231.点评: 要判断某个元素是否是某个集合的元素，就是看这个元素是否满足该集合的特性或具体表达形式.三、问题情境观察下列对象能否构成集合（1）满足x －3＞2的全体实数；（2）本班的全体男生；（3）我国的四大发明；（4）2008年北京奥运会中的球类项目；（5）不等式2x +3 < 9的自然数解；（6）所有的直角三角形；如果能够，那么这些集合又如何来表示？【课堂活动】一、建构数学：1、列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{ }”内.用这种方法表示集合，元素要用逗号隔开，但与元素的次序无关.思考：用列举法表示下列对象构成集合：（6）所有的直角三角形.【提醒】(1)如果两个集合所含元素完全相同（ 即A 中的元素都是B 中的元素，B 中的元素也都是A 中的元素），则称这两个集合相等.（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素.（3）集合{（1，2），（3，4）}与集合{1，2，3，4}不同 .2、描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{x|p(x)}的形式.如：{x|x 为中国直辖市}，{x|x 为young 中的字母} .所有直角三角形的集合可以表示为： { x|x 是直角三角形}等.3、Venn 图法：用封闭的曲线内部表示集合（形象直观）.如：集合{x|x 为young 中的字母}.【思考】何时用列举法？何时用描述法？（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法.如 ：集合{ 3，7，8 }.(2)有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法.如：集合{(x,y)|y=x+1} ；集合{x|x 为1000以内的质数}.4、 集合相等：如果两个集合A ，B 所含的元素完全相同，则称这两个集合相等，记为：____A=B____ .二、应用数学：例1 用列举法表示下列集合：①{x ∈N|x 是15的约数}；②{x|x=(1)n- ,n ∈N} ；③{(x,y)|x+y=6,x ∈ N,y ∈ N}；解：①{}1,3,5,15； ②{}1,1-；③{}(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0) .例2 用描述法表示下列集合：①{1，4，7，10，13}；②奇数的集合.（1）满足x －3＞2的全体实数；（2）本班的全体男生；（3）我国的四大发明；（4）2008年北京奥运会中的球类项目；（5）不等式2x +3 < 9的自然数解；解：①}{321,2,3,4,5n n -=；②}{21,x x n n N +=-∈.例3 用适当的方法表示下列集合：1） 方程x 2-2x -3=0的解集；2） 不等式2x -3>5的解集；3） 方程组x 13y x y +=⎧⎨-=⎩的解集. 解：（1）{}2x |x -2x-3=0；（2）{}|2x-3>5x ；（3）{}(2,1)- .【解后反思】常见题型，常考题型，可以有多种不同的表示方法！例4 已知61M x N Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭,求集合M . 解：{}0,1,2,5M = . 【变式】已知61M Z x N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭,求集合M. 解：M ={}6,3,2,1 .【解后反思】审题时注意两者代表元素的区别.例5 若{}220102010,,1,,0,a b a a a b b a ⎧⎫=++⎨⎬⎩⎭求的值. 【思路分析】第一个集合中有元素0，分析知，b=0, 从而集合可以化简为{}0,1,a . 解：第一个集合中有元素0，故必有b=0, 从而集合可以化简为{}0,1,a ，因此a 2=1 1a ∴=±有集合中元素的互异性知，a= -1, a=1不合，舍去.故a= -1 .【解后反思】特殊元素优先原则.例6 已知A={x|a 2x +2x +1=0},（1） 若A 中有且只有一个元素，求a 的取值集合；（2） 若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.解：（1）由题意知，A 中有且只有一个元素，当a=0时，对应方程为一次方程，此时A=12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，符合题意；当a ≠0时，对应方程a 2x +2x+1=0有两个相等实根，即a=1时也符合题意.综上所述，a 的取值集合为{}0,1；（2） 由（1）知，a = 0或1时， A 中有且只有一个元素，符合题意；当对应方程a 2x +2X+1=0无实根时，即 a>1时，A=∅，符合题意；综上所述，a = 0或a ≥1 .【解后反思】1、注意 分类讨论；2、一元二次方程有两个相等实数根，对应的方程的解集只有一个元素.三、理解数学：1、用列举法表示下列集合：（1）中国国旗的颜色的集合；（2）单词mathematics中的字母的集合；（3）自然数中不大于10的质数的集合；（4）同时满足240121xx x+>⎧⎨+≥-⎩的整数解的集合.解：（1）{红，黄}；（2）{m，a，t，h，e，i，c，s }；（3）{2，3，5，7 }；（4）{-1，0，1，2}.2、用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整数的集合；（2）使yx=有意义的x的集合；（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；（5）图中阴影部分内点的集合.-12-11oyx【解】（1）{x|x=3k，k∈Z}；（2）{x|x≤2且x≠0 }；（3）∅；（4）{(x,y)| y=-x2+3x-6}；（5）{(x,y)|0201xy≤≤⎧⎨≤≤⎩或0201xy≤≤⎧⎨≤≤⎩.3、已知A=6|,3x N xx⎧⎫∈∈⎨⎬-⎩⎭,试用列举法表示集合A.【答案】A=｛－3,0,1,2｝.【课后提升】1.下列集合表示法错误的是（1）（2）（4）（6） .（1）｛１，２，２，３｝；（2）｛全体实数｝；（3）｛有理数｝；（4）不等式ｘ２－５＞０的解集为｛ｘ２－５＞０｝；(5) {Ф}；(6) 方程组31420x yx y+=⎧⎨-=⎩的解的集合为{2，4}.2.用列举法表示下列集合：①{x|x 为不大于10的正偶数}=__｛2,4,6,8,10｝_____;②(){}{}{}1212x y x y ∈∈,|,,,=__｛（1,1），（1,2），（2,1），（2,2）｝___; ③集合{ｘ∈Ｎ｜－１＜ｘ＜４}用列举法表示为 ｛0,1,2,3｝ ;④｛数字和为5的两位数｝=_｛14,23,32,41,50｝__; ⑤{}3216(,)|,,x y x y x N y N +=∈∈=__｛（0,8），（2,5），（4,2）｝__;3.已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a 2,b 2}，且Q=P ，求1+a 2+b 2的值．解：分两种情况讨论：① 221001a a a a b b b b ⎧===⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎨===⎪⎩⎩⎩或⇒1+a 2+b 2=2； ②220101a b a a b b b a⎧===⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎨===⎪⎩⎩⎩或 这与集合的性质矛盾， ∴ 1+a 2+b 2=2 .。

第1课时集合的含义学习目标 1.通过实例理解集合的有关概念(重点)；2.初步理解集合中元素的三个特性(重点)；3.体会元素与集合的属于关系(重点)；4.了解常用数集及其专用符号，学会用集合语言表示有关数学对象(重、难点)．预习教材P3－4完成下列问题：知识点一集合的概念1．集合与元素的概念(1)集合：一般地，指定的某些对象的全体称为集合，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某中学高一(1)班“所有聪明的同学”组成一个集合．( )(2)由元素1,1,2组成一个集合．( )提示(1)不能组成一个集合，因为“聪明”这个标准不明确，而集合中的元素必须是确定的，即给定一个集合，任何元素是不是这个集合中的元素是确定的．(2)不能．因为集合中的元素是不能重复的，即集合中的元素具有互异性．答案(1)×(2)×知识点二元素与集合的关系【预习评价】1．方程x2＝1的解组成的集合为A，则下列各式正确的是( )A．0∈A B．1∉AC．－1∈A D．±1＝A解析由x2＝1，得x＝±1，所以集合A中含有元素－1,1.由元素与集合的关系可知－1∈A.∴选C．答案 C2．用符号“∈”或“∉”填空．(1)设集合A是小于11的所有实数组成的集合，则23________A,1＋2________A；(2)设集合C是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则－1________C，(－1,1)________C．解析(1)因为23＝12>11，所以23∉A.因为(1＋2)2＝3＋22<11，所以1＋2 <11，所以1＋2∈A．(2)因为C中的元素是有序实数对，而－1不是数对，所以－1∉C，(－1,1)为有序实数对，且(－1)2＝1，所以(－1,1)∈C．答案(1)∉∈(2)∉∈知识点三常用数集及表示符号1．若a∈N，但a∉N*，则a等于多少？提示N是自然集，N*是正整数，故a＝0．2．如何判断一个元素是否是一个集合的元素？提示要判断一个元素是否是一个集合的元素，只需看这个元素是否具有这个集合中元素的特性．题型一对集合概念的理解【例1】下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；(4)3的近似值的全体．解(1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．【训练1】 有下列各组对象： ①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数的全体；③平面直角坐标系上到点O 的距离等于1的点的全体； ④直角三角形的全体． 其中能构成集合的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析 ①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，小的精确度没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．答案 A题型二 元素与集合的关系【例2】 (1)设不等式2x －3>0的解集为M ，下列表示正确的是( ) A ．0∈M,2∈M B ．0∉M,2∈M C ．0∈M,2∉MD ．0∉M,2∉M(2)若集合A 是由所有形如3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )的数组成的，判断－6＋22是不是集合A 中的元素？(1)解析 由2x －3>0，得x >32，又0<32，2>32，故0∉M,2∈M ，故选B ．答案 B(2)解 是，因为在3a ＋2b (a ∈Z ，b ∈Z )中，令a ＝－2，b ＝2，可得－6＋22，所以－6＋22是集合A 中的元素．规律方法 判断元素与集合关系的两个步骤 (1)确定集合中元素的特征及范围．(2)判断给定元素是否具有已知集合中元素的特征及是否在限定的范围内．【训练2】 集合A 是由形如m ＋3n (其中m ，n ∈Z )的数组成的，判断12－3是不是集合A 中的元素．解 是.12－3＝2＋3＋3－3＝2＋34－3＝2＋3．2＋3＝2＋3×1，因为2,1∈Z ，所以2＋3∈A ， 即12－3∈A ，所以12－3是集合A 中的元素.【例3】 已知集合A 中含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，求实数a 的值．解 因为1∈A ，所以a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1，当a ＝1时，a ＝a 2，集合A 中有一个元素，所以a ≠1；当a ＝－1时，集合A 中含有两个元素1，－1，符合互异性，所以a ＝－1．【迁移1】 (变换条件)本例若去掉条件“1∈A ”，其他条件不变，则实数a 的取值范围是什么？解 由题意a 和a 2组成两个元素的集合，则a ≠a 2，解得a ≠0且a ≠1．【迁移2】 (变换条件)本例若将条件“1∈A ”改为“2∈A ”，其他条件不变，求实数a 的值．解 因为2∈A ，所以a ＝2或a 2＝2，即a ＝2或a ＝±2．当a ＝2时，a 2＝4，满足条件；当a ＝－2时，a 2＝2满足条件；当a ＝2时，a 2＝2满足条件，所以a ＝2或a ＝±2．【迁移3】 (变换条件)已知集合A 中含有三个元素a ＋1,3a ，a 2＋1，若1∈A ，求实数a 的值．解 当a ＋1＝1时，a ＝0,3a ＝0，a 2＋1＝1，不满足集合中元素的互异性． 当3a ＝1时，a ＝13，a ＋1＝43，a 2＋1＝109，符合题意．当a 2＋1＝1时，a ＝0，a ＋1＝1,3a ＝0，不满足集合中元素的互异性． 综上可知，实数a 的值为13．规律方法 根据集合中元素的特性求解字母取值(范围)的三个步骤课堂达标1．下面各组对象中不能形成集合的是( ) A ．所有的直角三角形 B ．圆上的所有点C ．高一年级中家离学校很远的学生D ．高一年级的班主任解析 对于A ，B ，D 满足集合的含义，对于C 不满足集合中元素的确定性，不能形成集合．答案 C2．若以方程x 2－5x ＋6＝0和x 2－x －2＝0的解为元素组成集合M ，则M 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 方程x 2－5x ＋6＝0有两个不同的解2,3，方程x 2－x －2＝0也有两个不同的解－1,2，其中2是相同的，在集合M 中作为一个元素，故共有3个元素．答案 C3．已知集合A 中只含有一个元素1，若|b |∈A ，则b ＝________． 解析 由题意|b |＝1，所以b ＝±1． 答案 ±14．设由2,4,6构成的集合为A ，若实数a ∈A 时，6－a ∈A ，则a ＝________． 解析 当a ＝2时，6－a ＝4∈A ；当a ＝4时，6－a ＝2∈A ；当a ＝6时，6－a ＝0∉A .所以a ＝2或4．答案 2或45．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，x 2，若集合A 与集合B 相等，求实数x ，y 的值．解 因为集合A 与集合B 相等，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝0，当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝x 2时，x ＝y ＝0不符合元素的互异性，当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝0时，得x ＝1或x ＝0；当x ＝0时，y ＝0不符合元素的互异性，故x ＝1，y ＝0．课堂小结1．研究对象能否构成集合，就是要看是否有一个确定的标准，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个特征(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，即按照明确的判断标准判断给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一．(2)互异性：对于给定的一个集合，它的任何两个元素都是不同的．若A是一个集合，a，b是集合A的任意两个元素，则一定有a≠b．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，集合与其中元素的排列次序无关．如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．。

§1 集合的含义与表示一学习目标：1.知识与技能了解集合的含义及有限集和无限集的意义，体会元素与集合的属于关系，会用集合语言表达数学问题，掌握常用数集及集合表示的符号2.过程与方法体会集合中蕴涵的分类思想，认识到列举法和描述法不同的使用范围3.情感态度与价值观通过集合的学习，激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极的学习态度，体会数学学习的意义二学习重点：集合的基本概念与表示方法三学习难点：用列举法和描述法正确表示集合预习案1列举生活中的集合实例，并概括各种集合实例的共同特征2关于集合知识有哪些概念？元素与集合有何关系？3关于集合知识涉及哪些符号？是如何表示的？4集合的常用表示方法有哪些？各自的特点是什么？5、0 N πQ12 Q π R6 、探讨以下问题并思考集合中元素的特性（1）“所有的好学生”能否构成一个集合（2）{1，2, 2, 3 }是不是集合（3）{a ,b,c}和{b,a,c}是否表示同一集合（4）“book”中字母构成一个集合，请写出这个集合探究案例1选择适当的方法表示下列集合由大于3小于10的自然数组成的集合方程092=-x 的解的集合抛物线2x y = 图像上所有点组成的集合方程022=+x 的解的集合例2 已知2x {∈1，0，}x ，求实数x 的值 方法指导：首先确定2x 是集合中的元素，再根据集合中元素的互异性解题变式：由实数x x x x x ,,,,332--所构成的集合中，最多含有的元素个数是多少？训练案1下列关系正确的是（ ）A 0={0}B 0= φC 0∈φD 0∈{0}2 下列集合中表示同一个集合的是（ ）A M ={(0,1)}, N ={(1,0)}B M ={0,1},N ={1,0}C M ={0,1}, N ={(0,1)}D M ={0,1}, N ={(y x ,)|10==y x 且}3若-3∈{a -3,2a -1，12+a }，求实数a 的值。

第一章集合课题:§0 高中入学第一课（学法指导）教学目标：了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求，了解新课程标准的基本思路，了解高考意向，掌握高中数学学习基本方法，激发学生学习数学兴趣，强调布置有关数学学习要求和安排。

教学过程：一、欢迎词：1、祝贺同学们通过自己的努力，进入高一级学校深造。

希望同学们能够以新的行动，圆满完成高中三年的学习任务，并祝愿同学们取得优异成绩，实现宏伟目标。

2、同学们军训辛苦了，收获应是：吃苦耐劳、严肃认真、严格要求3、我将和同学们共同学习高中数学，暂定一年，…4、本节课和同学们谈谈几个问题：为什么要学数学？如何学数学？高中数学知识结构？新课程标准的基本思路？本期数学教学、活动安排？作业要求？二、几个问题：1.为什么要学数学：数学是各科之研究工具，渗透到各个领域；活脑，训练思维；计算机等高科技应用的需要；生活实践应用的需要。

2.如何学数学：请几个同学发表自己的看法→共同完善归纳为四点：抓好自学和预习；带着问题认真听课；独立完成作业；及时复习。

注重自学能力的培养，在学习中有的放矢，形成学习能力。

高中数学由于高考要求，学习时与初中有所不同，精通书本知识外，还要适当加大难度，即能够思考完成一些课后练习册，教材上每章复习参考题一定要题题会做。

适当阅读一些课外资料，如订阅一份数学报刊，购买一本同步辅导资料.3.高中数学知识结构：书本：高一上期（必修①、②），高一下期（必修③、④），高二上期（必修⑤、选修系列），高二下期（选修系列），高三年级：复习资料。

知识：密切联系，必修（五个模块）＋选修系列（4个系列，分别有2、3、6、10个模块）能力：运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。

4.新课程标准的基本理念：①构建共同基础，提供发展平台；②提供多样课程，适应个性选择；③倡导积极主动、勇于探索的学习方式；④注重提高学生的数学思维能力；⑤发展学生的数学应用意识；⑥与时俱进地认识“双基”；⑦强调本质，注意适度形式化；⑧体现数学的文化价值；⑨注重信息技术与数学课程的整合；⑩建立合理、科学的评价体系。

§1.1集合§1.1.1集合的含义与表示（第一课时）【课标定向】学习目标通过实例了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系.；了解集合中元素的三个特性. 提示与建议结合实例，通过思考、研究集合中元素的特征把握集合的特点，体会元素与集合的关系.【互动探究】自主探究1.一般地，我们把研究对象统称为_____,把一些元素组成的总体叫做_____(简称为___).2.给定的集合,它的元素必须是确定的.也就是说,给定一个集合,那么_______________.3.一个给定集合中元素是互不相同的,也就是说,____________________.4.集合中元素不考虑顺序，也就是说______.5.如果a 是集合A 的元素,可以记作______，读作______，如果a 不是A 的元素，记作______.6.只要构成两个集合的元素是_________的,我们就称这两个集合是相等的. 剖析探法★讲解点一 集合的概念集合中的元素具有以下特征：（1）确定性：作为集合的元素，必须是确定的.对于集合A 的元素a ，要么a A ∈，要么A a ∉，二者必居其一.如:所有“大于200的数”组成一个集合,而“较大的数”就不能构成一个集合,因为它的元素是不确定的,怎样的数才算较大没有明确的定义.(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，也就是说，在给定的集合中，任何两个元素都是不相同的.(3)无序性:集合中元素的排列次序无关,如1,2和2,1构成的集合相同.例题1 下列各组对象: (1)接近于0的数的全体; (2)比较小的正整数的全体;(3)平面上到点0的距离等于1的点的全体; (4)正三角形的全体;(5)2的近似值的全体.其中能构成集合的组数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5【思维切入】判断所给对象能否构成集合的依据就是集合元素的三个特征.满足集合元素的特征就能构成集合,如不满足就不能构成集合.【解析】(1)(2)(5)不满足集合元素的特征,不能构成集合;(3)(4)构成集合,故选A.【规律技巧总结】判断一组对象是否构成集合关键就是看所给对象是否满足集合中元素的特征.例题2 已知A={m,2m ,1},求m 的取值范围. 【思维切入】 既然m,2m ,1是集合三个元素,这三个元素就互不相同.【解析】因为m,2m ,1是所给集合的元素,所以⎪⎩⎪⎨⎧≠≠≠mm m m 2211，即11101m m m m m ≠⎧⎪≠≠-⎨⎪≠≠⎩且且所以0≠m 且1m ≠±.【规律技巧总结】解答本类问题,只要保证所给元素满足集合元素的互异性即可，若求集合中参数取值问题，必须进行检验.【思维拓展】已知A=｛m,2m －2,2｝,求m 的取值范围.【解析】因为m,2m －2,2是集合中的三个元素，所以222222m m m m ⎧-≠⎪≠⎨⎪-≠⎩， 即 1222m m m m ≠-≠-⎧⎪≠⎨⎪≠±⎩且所以1m ≠-且2m ≠±.★讲解点二 元素与集合的关系元素与集合有属于与不属于两种关系:如a 是A 的元素,就说a 属于集合A,记作A a ∈;如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作A a ∉.例题3 用符号∈或∉填空: (1)0____*N ; (2)2____Z (3)23_____Q (4)1+π_____R . 【思维切入】首先要熟悉所给的符号分别代表哪个集合,再判断元素是否是对应集合的元素.【解析】(1) ∉ (2) ∉ (3) ∈ (4) ∈【规律技巧总结】(1)一些常用数集的记法： 非负整数集 (或自然数集)记作N;正整数集记作*N 或+N ;整数集记作Z ;有理数集记作Q ;实数集记作R . (2) A a ∈与A a ∉取决于a 是不是集合A 的元素.根据集合中元素的确定性,可知对任何a 与A ,在A a ∈与A a ∉这两种情况中必有一种且只有一种情况成立. 精彩反思集合中的元素具有三大特征：①确定性：作为集合的元素，必须是确定的. ②互异性：在给定的集合中，任何两个元素都是不相同的.③无序性:集合中元素的排列次序无关.其中互异性是判断集合元素个数,判断所给元素能否构成集合的依据;确定性是判断元素与集合关系的依据.解答有关的集合问题时需要我们密切关注集合中元素的这些特征.【自我测评】1.下列条件中能构成集合的是( )A 世界著名科学家B 在数轴上与原点非常接近的点C 所有等腰三角形D 全班品质好的同学2.已知集合S 中三个元素c b a ,,是ABC ∆的三边长,那么ABC ∆一定不是( ) A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形3.给出下列三个关系:R ∈3,Q ∉5.0,N ∈0,其中正确的个数是( ).A 0B 1C 2D 3 4.下列三个结论:(1)集合N 中最小的数是1;(2)N a ∈-则N a ∈;(3)N b N a ∈∈,,则b a +的最小值是2. 其中正确结论的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5. 用符号∈或∉填空0___ ___N; 1_______N; -2 _______Q;2_____ Q; 3______ R; 2________ N ．6.2{0,1,},x x x ∈若则实数的值可以是______.7.判断下列说法是否正确,并说明理由. (1)学校中的年轻教师组成一个集合; (2)由数21|,21|,46,23,1-组成的集合中有5个元素;(3)由c b a ,,组成的集合与由c a b ,,组成的集合是同一个集合.【拓展迁移】思维提升8. 22={a+2,33},1A a a A ++∈已知，(a+1）且，a 求实数的值.9. ={m |8-m }M N N ∈∈集合中元素的个数有多少？请一一列举出来.视野拓展数学三大难题（之一）有20棵树，每行四棵，古罗马、希腊在16世纪就完成了16行的排列，18世纪高斯猜想能排18行，19世纪美国劳埃德完成此猜想，20世纪末两位电子计算机高手完成20行纪录，跨入21世纪还会有新的突破吗？。

高中数学第1章集合 1集合的含义与表示同步教学案北师大版必修1课时目标 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用．1．元素与集合的概念一般地，指定的某些对象的全体称为________，集合中的每个对象叫作这个集合的________．2．集合中元素的特性：________、________、________.3．集合相等：只有构成两个集合的元素是________的，才说这两个集合是相等的．4．元素与集合的关系(1)如果a在集合A中，就说________，记作____________________________________．(2)如果a不在集合A中，就说______，记作____________________________________．5．实数集、有理数集、整数集、自然数集、正整数集分别用字母____、____、____、____、____来表示．一、选择题1．下列语句能确定是一个集合的是( )A．著名的科学家B．留长发的女生C．2010年广州亚运会比赛项目D．视力差的男生2．集合A只含有元素a，则下列各式正确的是( )A．0∈A B．a∉A C．a∈A D．a＝A3．已知M中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是( ) A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形4．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是( ) A．1 B．－2 C．6 D．25．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为( ) A．2 B．3C．0或3 D．0,2,3均可6．由实数x、－x、|x|、x2及－3x3所组成的集合，最多含有( )A．2个元素 B．3个元素C．4个元素题号12345 6答案二、填空题7．由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号)①不超过π的正整数；②本班中成绩好的同学；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．8．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为________．9．用符号“∈”或“∉”填空．－2_______R ，－3_______Q ，－1_______N ，π_______Z . 三、解答题10．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)参加2010年广州亚运会的所有国家构成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；(4)高一(三)班个子高的同学构成一个集合．11．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a .能力提升12．设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？13．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)．求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集．1．考查对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，能确定一个个体是否属于这个总体，如果有，能构成集合，如果没有，就不能构成集合．2．集合中元素的三个性质(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．第一章集合§1集合的含义与表示第1课时集合的含义知识梳理1．集合元素 2.确定性互异性无序性 3.一样 4.(1)a属于集合A a∈A (2)a 不属于集合A a∉A 5.R Q Z N N＋作业设计1．C [选项A、B、D都因无法确定其构成集合的标准而不能构成集合．]2．C [由题意知A中只有一个元素a，∴0∉A，a∈A，元素a与集合A的关系不应用“＝”，故选C.]3．D [集合M的三个元素是互不相同的，所以作为某一个三角形的边长，三边是互不相等的，故选D.]4．C [因A中含有3个元素，即a2,2－a,4互不相等，将选项中的数值代入验证知答案选C.]5．B [由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0,3,2}，符合题意．]6．A [因为|x|＝±x，x2＝|x|，－3x3＝－x，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x、－x，故集合中最多含有2个元素．]7．①④解析①④中的标准明确，②③中的标准不明确．故答案为①④.8．－1解析当x＝0,1，－1时，都有x2∈A，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故答案为－1.9．∈∈∉∉10．解(1)正确．因为参加2010年广州亚运会的国家是确定的，明确的．(2)不正确．因为高科技产品的标准不确定．(3)不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的，由于0.5＝12，在这个集合中只能作为一元素，故这个集合含有三个元素．(4)不正确，因为个子高没有明确的标准．11．解 由－3∈A ，可得－3＝a －2或－3＝2a2＋5a ，∴a ＝－1或a ＝－32.则当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不符合集合中元素的互异性，故a ＝－1应舍去．当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3，∴a ＝－32.12．解 ∵当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6； 当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8； 当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11.由集合元素的互异性知P ＋Q 中元素为1,2,3,4,6,7,8,11共8个．13．证明 (1)若a ∈A ，则11－a∈A .又∵2∈A ，∴11－2＝－1∈A .∵－1∈A ，∴11－－1＝12∈A .∵12∈A ，∴11－12＝2∈A . ∴A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a，即a 2－a ＋1＝0，方程无解．∴a ≠11－a ，∴A 不可能为单元素集．第2课时 集合的表示课时目标 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．1．列举法：把集合中的元素__________出来写在大括号内的方法．2．描述法：用____________表示某些对象属于一个集合并写在大括号内的方法． 3．空集：把__________的集合叫作空集，记作____．4．集合的分类⎩⎪⎨⎪⎧1 ；2 ；3 .一、选择题1．集合{x ∈N ＋|x －3<2}用列举法可表示为( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5} 2．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A ．方程y ＝2x －1 B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图像上的所有点组成的集合3．将集合⎩⎪⎨⎪⎧x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ＋y ＝52x －y ＝1表示成列举法，正确的是( ) A ．{2,3} B ．{(2,3)} C ．{x ＝2，y ＝3} D ．(2,3)4．用列举法表示集合{x |x 2－2x ＋1＝0}为( ) A ．{1,1} B ．{1}C ．{x ＝1}D ．{x 2－2x ＋1＝0} 5．已知集合A ＝{x ∈N |－3≤x ≤3}，则有( ) A ．－1∈A B ．0∈A C.3∈A D ．2∈A6．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝－1的解集不可表示为( )A ．{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝－1} B ．{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2}C ．题 号 1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．用列举法表示集合A ＝{x |x ∈Z ，86－x∈N }＝______________.8．下列可以作为方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x －y ＝－1的解集的是__________(填序号)．(1){x ＝1，y ＝2}； (2){1,2}；(3){(1,2)}； (4){(x ，y )|x ＝1或y ＝2}； (5){(x ，y )|x ＝1且y ＝2}；(6){(x ，y )|(x －1)2＋(y －2)2＝0}．9．已知a ∈Z ，A ＝{(x ，y )|ax －y ≤3}且(2,1)∈A ，(1，－4)∉A ，则满足条件的a 的值为________． 三、解答题10．用适当的方法表示下列集合：①方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；②在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；③不等式x －2>6的解的集合；④大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．11．已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们三个集合相等吗？试说明理由．能力提升12．已知集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，若x 0∈M ，则x 0与N 的关系是( ) A ．x 0∈N B ．x 0∉NC ．x 0∈N 或x 0∉ND ．不能确定13．对于a ，b ∈N ＋，现规定：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b a 与b 的奇偶性相同a ×ba 与b 的奇偶性不同.集合M ＝{(a ，b )|a *b ＝36，a ，b ∈N ＋}(1)用列举法表示a ，b 奇偶性不同时的集合M ；(2)当a 与b 的奇偶性相同时集合M 中共有多少个元素？1．在用列举法表示集合时应注意：(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集，若元素个数比较少用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示． 2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合、还是其他形式？(2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．第2课时 集合的表示知识梳理1．一一列举 2.确定的条件 3.不含有任何元素 ∅ 4．(1)有限集 (2)无限集 (3)空集 作业设计1．B [{x ∈N ＋|x －3<2}＝{x ∈N ＋|x <5}＝{1,2,3,4}．]2．D [集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.]3．B [解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.所以答案为{(2,3)}．]4．B [方程x 2－2x ＋1＝0可化简为(x －1)2＝0， ∴x 1＝x 2＝1，故方程x 2－2x ＋1＝0的解集为{1}．] 5．B6．C [方程组的集合中最多含有一个元素，且元素是一对有序实数对，故C 不符合．] 7．{5,4,2，－2}解析 ∵x ∈Z ，86－x∈N ，∴6－x ＝1,2,4,8.此时x ＝5,4,2，－2，即A ＝{5,4,2，－2}． 8．(3)(5)(6) 9．0,1,2解析 ∵(2,1)∈A 且(1，－4)∉A ， ∴2a －1≤3且a ＋4>3， ∴－1<a ≤2，又a ∈Z ， ∴a 的取值为0,1,2.10．解 ①∵方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1， ∴解集为{0，－1}；②{x |x ＝2n ＋1，且x <1 000，n ∈N }； ③{x |x >8}；④{1,2,3,4,5,6}．11．解 因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x 2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x 2＋3中y 的取值范围是y ≥3，所以B ＝{y |y ≥3}．集合C 中代表的元素是(x ，y )，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x 2＋3上，所以C ＝{P |P是抛物线y ＝x 2＋3上的点}．12．A [M ＝{x |x ＝2k ＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k ＋24，k ∈Z }，∵2k ＋1(k ∈Z )是一个奇数，k ＋2(k ∈Z )是一个整数， ∴x 0∈M 时，一定有x 0∈N ，故选A.] 13．解 (1)当a ，b 奇偶性不同时， a *b ＝a ×b ＝36，则满足条件的(a ，b )有(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)，故集合M 可表示为：M ＝{(1,36)，(3,12)，(4,9)，(9,4)，(12,3)，(36,1)}．(2)当a 与b 的奇偶性相同时a *b ＝a ＋b ＝36，由于两奇数之和为偶数，两偶数之和仍为偶数，故36＝1＋35＝2＋34＝3＋33＝…＝17＋19＝18＋18＝19＋17＝…＝35＋1， 所以当a ，b 奇偶性相同时这样的元素共有35个．。

§1.1集合的含义与表示一. 教学目标：l.知识与技能(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；(2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；(4)会用集合语言表示有关数学对象；(5)培养学生抽象概括的能力.2. 过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.(2)让学生归纳整理本节所学知识.3. 情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.二. 教学重点.难点重点：集合的含义与表示方法.难点：表示法的恰当选择.三. 学法与教学用具1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2. 教学用具：投影仪.四. 教学思路(一)创设情景，揭示课题1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗?引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价.2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.（二）研探新知1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例：(1)1—20以内的所有质数；(2)我国古代的四大发明；(3)所有的安理会常任理事国；(4)所有的正方形；(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；(6)到一个角的两边距离相等的所有的点；(7)方程2560x x -+=的所有实数根；(8)不等式30x ->的所有解；(9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么?3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素.4.教师指出：集合常用大写字母A ，B ，C ，D ，…表示，元素常用小写字母,,,a b c d …表示.(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.2．教师组织引导学生思考以下问题：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：(1)大于3小于11的偶数；(2)我国的小河流.让学生充分发表自己的建解.3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.4.教师提出问题，让学生思考(1)如果用A 表示高—(3)班全体学生组成的集合，用a 表示高一(3)班的一位同学，b 是高一(4)班的一位同学，那么,a b 与集合A 分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈.如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉.(2)如果用A 表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合，则中国.日本与集合A 的关系分别是什么?请用数学符号分别表示．(3)让学生完成教材第6页练习第1题.5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.并让学生完成习题1.1A 组第1题.6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题：(1)要表示一个集合共有几种方式?(2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么?(3)如何根据问题选择适当的集合表示法?使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。

安边中学高一年级1 学期 数学 学科导学稿 执笔人：邹英 总第1 课时备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间： 2013.8.28 集体备课 个人空间一、课题：1.1集合的含义与表示二、学习目标1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征性质.三、教学过程【温故知新】问题1： 将下列各数填入相应的图形中：,523,6,73,312,45.0,214,112,9,1,3,2----正整数 负整数 正分数 负分数问题2: 将教材第2页表中的湖泊分别按下列方法分类⑴淡水湖有那些?咸水湖呢？⑵蓄水量在150亿m ³以上的有哪些？以下的呢？⑶你是怎么分类的，给大家说说？问题3：给定下列人物：李白、杜甫、李清照、辛弃疾、王安石，你怎么分类？【导学释疑】（一）集合的含义1、集合：指定的某些对象的全体称为集合，集合常用大写字母A，B，C，D，…标记；2、元素：集合中的每个对象叫做这个集合的元素．元素常用小写字母a，b，c，d，…标记；例如：在问题1中，-3和-9组成了负整数的集合，可以记为A，-3、-9都是它的元素；小于10的素数集合可以记为B，它的元素为2、3、5、7．3、元素与集合的关系：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素就确定了．若元素a在集合A中，就说元素a属于集合A，记作 a∈A ；若元素a不在集合A中，就说元素a不属于集合A，记作a∉A ．例如：在上述的素数问题中，2∈B，6∉B．4、集合中元素的特征、、5、数的集合简称数集，常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作；正整数集，记作或；整数集，记作；有理数集，记作；实数集，记作。

6、有限集、无限集、空集有限集——含有限个元素的集合叫有限集．无限集——含无限个元素的集合叫无限集．空集——不含有任何元素的集合叫做空集．记作∅（二）集合的常用表示法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内的方法。

§1 集合1.1 集合的概念与表示学习目标核心素养1．通过实例了解集合的含义．(难点)2．掌握集合中元素的特性．(重点)3．体会元素与集合的“属于”关系．(重点、易混点)4．初步掌握集合的两种表示方法－列举法、描述法，感受集合语言的意义与作用．(重点、难点)5．在具体情境中，了解空集的含义．(难点)1．通过概念集合的学习，逐步形成数学抽象素养．2．借助集合元素互异性的应用，培养逻辑推理素养．1．集合的相关概念(1)集合的概念：一般地，我们把指定的某些对象的全体称为集合．(2)元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素．(3)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．思考1：(1)某班的所有“高个子”同学能否构成一个集合？(2)某班身高高于175 cm的所有男生能否构成一个集合？提示：(1)不能构成一个集合，因为“高个子”没有明确的标准．(2)能构成一个集合，因为标准确定．2．元素与集合的关系(1)元素与集合的关系元素与集合的关系文字表示属于不属于符号表示∈名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集正实数集符号N N＋或N*Z Q R R＋3.(1)列举法：一般地，把集合中的所有元素一一列举出来，写在花括号内，这种表示集合的方法叫作列举法．(2)描述法：通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法．一般的形式为{x |p (x }，其中x 为元素，p (x )为元素满足的条件．思考2：偶数集中的元素有什么共同特征？如何用描述法表示？ 提示：其共同特征是能被2整除，可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x 2∈Z 或{}x |x ＝2n ，n ∈Z .4．集合的分类集合⎩⎪⎨⎪⎧非空集合⎩⎪⎨⎪⎧有限集：含有有限个元素的集合．无限集：含有无限个元素的集合．空集：不含任何元素的集合，用∅表示．5．数集的区间表示设a ，b 是两个实数，且a <b ，则 含义名称 区间表示数轴表示{}x |a ≤x ≤b 闭区间 []a ，b {}x |a <x <b 开区间 ()a ，b {}x |a <x ≤b 左开右闭区间 (]a ，b {}x |a ≤x <b左闭右开区间 [)a ，b R无界区间 ()－∞，＋∞{}x |x ≥a 左闭右无界区间 [)a ，＋∞ {}x |x ≤a 右闭左无界区间 (]－∞，a {}x |x >a 左开右无界区间 ()a ，＋∞ {}x |x <a右开左无界区间()－∞，a“∞”读作“无穷大∞”，它不是一个数，仅表示书写端是无边界的，可以无限制的增大或减小．1．下列给出的对象中，能构成集合的是( )A．一切很大的数B．好心人C．营养丰富的食品D．所有有理数D[“很大”、“好心”、“丰富”等词所描述的对象没有确定性，故选D.]2．由英文单词“book”中的所有字母构成的集合中元素的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4C[由集合元素的互异性可知，该集合中共有“b”、“o”、“k”三个元素，故选C.] 3．用“∈”或“”填空1________N, －2________Z，2________Q，0________N，π________R.2[答案]，∈，，∈，∈3，a＋1，4．已知集合A＝{}(1)求实数a的取值集合；(2)若4∈A，求实数a的值．[解](1)由集合元素的互异性可知，a＋1≠3，解得a≠2，|a a≠2.所以，实数a的取值集合是{}(2)因为4∈A，所以a＋1＝4，解得a＝3，所以，a＝3.集合的基本概念【例1】下列给出的对象中，能构成集合的是( )①小于0的所有实数②与0非常接近的实数③中国著名的高等院校④中国双一流的高等院校A．①③B．②④C．①④D．③④[思路点拨]根据所描述的对象是否有确定性来判断．C[“非常接近”“著名”等词所描述的对象没有确定性，故选C.]判断所描述的对象能否构成集合的方法判断所描述的对象能否构成集合，关键看所描述的对象是否具有确定性，如果具有确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合．在集合元素的三个特性中，元素的确定性是其本质属性．[跟进训练]1．判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)所有素数能组成一个集合． (2)数轴上的一些点能组成一个集合． (3)集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|()x －12()x ＋1＝0，x ∈R 有三个元素． (4)集合{}x ∈R |ax ＝1，a ∈R 有且仅有一个元素． [解] (1)正确，素数具有确定性． (2)不正确，“一些点”的标准不明确．(3)不正确，由于“1”是该方程二重根，且集合的元素具有互异性，所以该集合有且仅有两个元素．(4)不正确，当a ＝0时，{}x ∈R |ax ＝1，a ∈R ＝∅.集合的表示法【例2】 (1)用列举法表示下列集合： ①不大于7的所有非负偶数组成的集合； ②方程2x 2－x －1＝0的所有实数解组成的集合； ③一次函数y ＝x ＋3与y ＝2x 的图象的交点组成的集合． (2)用描述法表示下列集合： ①不等式2x －3>0的解集；②平面直角坐标系中第二象限内的所有点组成的集合； ③被3除余1的所有整数组成的集合．[解](1)①不大于7的所有非负偶数分别是0，2，4，6，所以该集合可用列举法表示为{}0，2，4，6.②方程2x 2－x －1＝0的实数解分别是－12，1，所以该集合可用列举法表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，1.③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝6 ，所以，一次函数y ＝x ＋3与y ＝2x 的图象的交点为()3，6，所以，一次函数y ＝x ＋3与y ＝2x 的图象的交点组成的集合为{}()3，6. (2)①{} |x ∈R 2x －3>0. ②{} |()x ，y x <0，且y >0.③{} |x x ＝3n ＋1，n ∈Z .1．列举法表示集合的一般形式为{}a 1，a 2，…，a n ，其中a i ，i ＝1，2，…，n 为集合的元素．2．描述法表示集合的一般形式为{}x |p ()x ，其中x 为集合的元素，p ()x 为元素满足的条件．提醒：在用列举法表示集合时，不能用{}所有实数或{}R 来表示实数集R .[跟进训练]2．用适当的方法表示下列集合． (1)所有奇数组成的集合；(2)不大于10的所有素数组成的集合； (3)平面直角坐标系中的所有点组成的集合； (4)满足－1<2x －1≤3的x 的取值集合． [解] (1){} |x x ＝2n －1，n ∈Z .(2)不大于10的所有素数分别是2，3，5，7，所以该集合可用列举法表示为{}2，3，5，7. (3){} |()x ，y x ∈R ，且y ∈R .(4)由－1<2x －1≤3，得0<x ≤2，所以该集合可用区间表示为(]0，2.元素与集合的关系【例3】 已知集合A ＝{}a －2，2a 2＋5a ，3，且－3∈A ，求a 的值．[思路点拨] －3∈A →a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3→分类求出a ――→检验确定a 的值 [解]由－3∈A ，得a －2＝－3或2a 2＋5a ＝－3.(1)若a －2＝－3，则a ＝－1，当a ＝－1时，2a 2＋5a ＝－3，不满足集合元素的互异性， ∴a ＝－1不符合题意．(2)若2a 2＋5a ＝－3，则a ＝－1或－32.当a ＝－32时，a －2＝－72，符合题意；当a ＝－1时，由(1)知，不符合题意． 综上可知，实数a 的值为－32.1．求解此类题时．应注意检验集合元素是否满足互异性． 2．判断元素与集合的关系的方法如果集合是用列举法给出的，可直接判断该元素是否在已知集合中出现即可；如果集合是用描述法给出的，则(1)判断该元素是否具有已知集合中元素所具有的特征；(2)将该集合转化为列举法表示，再判断．[跟进训练]3．(1)下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R ，②2Q ，③0N *，④5∈[]2，3.A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知A ＝{}2，4，6，且当a ∈A 时，6－a ∈A ，则a 的取值集合是( ) A ．{}2 B ．{}4 C ．{}6 D ．{}2，4(3)设A ＝{}x |x ＝4n ＋1，n ∈Z，则－7________A ，3________A (1)D (2)D (3)∈[(1)①②③④都正确，故选D.(2)对a 的可能取值逐个检验，a ＝2时，6－a ＝4∈A ；a ＝4时，6－a ＝2∈A ；a ＝6时，6－a ＝0A ，所以a 的取值集合是{}2，4.(3)由4n ＋1＝－7，得n ＝－2，即－7＝4×()－2＋1，所以－7∈A ；由4n ＋1＝3，得n ＝12，由于12Z ，所以3A .]1．判断所描述的对象能否构成集合，关键看所描述的对象是否具有确定性，如果具有确定性，就可以组成集合；否则，就不能组成集合．2．求解与字母有关的集合问题时，应注意检验集合元素是否满足互异性，要有分类讨论意识．3．表示一个集合可以用列举法，也可以用描述法，一般地，有限集用列举法，此种方法突出元素本身；无限集用描述法，此种方法强调元素的属性．在选择表示方法时，要根据需要进行选择．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)接近0的数可以组成一个集合． ( ) (2){}1，2与{}2，1是同一个集合．( ) (3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝42x －y ＝3的解集可以表示为{}x ＝2，y ＝1.( )[答案] (1)× (2)√ (3)× 2．已知A ＝{}x ∈R |x <1，则有( ) A ．3∈A B ．1∈A C ．0∈AD ．－1AC [因为0<1，所以0∈A .] 3．若1[]3a －1，1＋a ，则实数a 的取值范围是________．23<a <1或a <0 [因为1[]3a －1，1＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<1＋a 3a －1>1或1＋a <1，解得23<a <1或a <0.]4．设集合A ＝{}x |x 2－3x ＋a ＝0，若4∈A ，试用列举法表示集合A . [解] 由4∈A ，得42－3×4＋a ＝0， 解得a ＝－4，所以A ＝{}x |x 2－3x －4＝0＝{}－1，4.。