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小题必刷卷(十)1.A[解析] 卯眼的空间立体图如图,同时需要注意,在三视图中看不见的线用虚线表示,故选A.2.B[解析] 由三视图可知圆柱表面上点M,N的位置如图①,将圆柱的侧面展开得到图②.在圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径即为侧面展开图中的线段MN,MN==2,故选B.3.B[解析] 由三视图可知,此几何体应是一个圆柱切去一部分后所得,如图所示.通过切割及补形知,此几何体的体积等同于底面半径为3,高为7的圆柱,所以所求体积V=π×32×7=63π.4.A[解析] 该几何体为一个球去掉八分之一,设球的半径为r,则×πr3=,解得r=2,故该几何体的表面积为×4π×22+3××π×22=17π.5.B[解析] 从俯视图为矩形可以看出,此几何体不可能是三棱锥或四棱锥,其直观图如图,是一个三棱柱.6.D[解析] 三视图的直观图为图中的三棱锥A-BCD(借助长方体).由三视图可知三棱锥的底面为直角三角形,底面积S=×5×3=,高h=4,故体积V=Sh=××4=10,故选D.7.B[解析] 由正视图和俯视图可得该几何体的直观图,如图所示,故选B.8.A[解析] 因为正方体的体积为8,所以正方体的体对角线长为2,所以正方体的外接球的半径为,所以球的表面积为4π·()2=12π.9.B[解析] 因为圆柱的轴截面是正方形,且面积为8,所以圆柱的高为2,底面直径为2,所以圆柱的表面积S=2π××2+2×π×()2=12π.故选B.10.C[解析] 如图,连接BC1,易知∠AC1B即为AC1与平面BB1C1C所成的角,由题易知∠AC1B=30°,易得AC1=2AB=4.设BB1=h,则有42=22+22+h2, 解得h=2,所以该长方体的体积V=2×2×2=8.11.B[解析] 由条件知该直角三角形的斜边长为2,斜边上的高为,故围成的几何体的体积为2××π×()2×=.12.B[解析] 由题易知当点D到平面ABC的距离最大时,三棱锥D-ABC的体积最大.∵S△=AB2=9,∴AB=6.设△ABC的中心为M,由等边三角形的性质得,AM=BM=CM=2.设球心为ABCO,则OA=OB=OC=4,∴OM=-=2,∴点D到平面ABC的距离的最大值为OM+4=6.故三棱锥D-ABC体积的最大值为×9×6=18.13.[解析] 设正方体的棱长为a,则6×a2=18,即a=.∵正方体内接于球,∴球的半径R=,∴球的体积V=π×=.14.8π[解析] 如图所示,设圆锥的底面圆的圆心为O,母线长为l,则l2=8,解得l=4,即SA=4.连接OS,OA,因为SA与圆锥底面所成的角为30°,所以SO=2.在直角三角形SOA中,AO=-=-=2,所以圆锥的体积V=×π×(2)2×2=8π.15.C[解析] 如图,由AB∥CD,可知∠BAE即为异面直线AE与CD所成的角.设正方体的棱长为2,连接BE,则在Rt△ABE中,AB=2,BE===,tan∠BAE==,故选C.16.C[解析] 由平面α,β交于直线l,得到l⊂β,而n⊥β,所以n⊥l.17.D[解析] 连接DN.取DN的中点O,连接MO,BO,因为三棱锥A-BCD的所有棱长都相等,M,N分别是棱AD,BC的中点,所以MO∥AN,所以∠BMO即是异面直线BM与AN所成的角.设三棱锥A-BCD的棱长为2,则AN=BM=DN=-=,MO=AN=,NO=DN=,BO==,所=-=,所以异面直线BM与AN所成的角的余弦值为,故选D.以cos∠BMO=-·18.B[解析] 由题意知该几何体如图所示.它是半个圆锥,其底面半径为1,高为2,故体积为××π×12×2=,故选B.19.C[解析] ①不是由棱锥截得的,所以①不是棱台;②上、下两个面不平行,所以②不是圆台;④前、后两个面互相平行,其他面是平行四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,所以④是棱柱;显然③是棱锥.故选C.20.A[解析] 根据俯视图可知BD=2,CD=4,BC=2,所以△BCD为直角三角形,且∠CDB=60°,由于AB∥CD,所以∠ABD=∠CDB=60°,所以AD=BD sin 60°=.故选A.21.B[解析] 如图所示,几何体ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体.由三视图可得该几何体为三棱锥P-ACE,故其体积V=S△ACE·PE=××1×2×2=.故选B.22.B[解析] 根据三视图作出原几何体(四棱锥P-ABCD)的直观图如图所示.计算可得PB=PD=BC=,PC=,故该几何体的最长的棱长为.23.C[解析] 若m⊂α,则m⊂β或m∥β或m与β相交,故A的说法错误;若m⊂α,n⊂β,则m∥n或m,n异面或m,n相交,故B的说法错误;设α∩β=l,作直线l⊥l,且l1⊂α,则l1⊥β,因为m⊥β,所以l1∥1m,又因为m⊄α,所以m∥α,故C的说法正确;若α∩β=m,n⊥m,则n∥α或n⊂α或n与α相交,故D 的说法错误.故选C.24.[解析] 设截面中两母线的夹角为α0<α≤,则截面面积S=×1×1×sin α=sin α,因为0<α≤,所以S max=×=.25.∶2[解析] 设球的半径为r,则球的体积为πr3.设圆锥的高为h,∵圆锥与球的体积相等,∴πr3=π×(2r)2h,∴h=r.圆锥的母线长为=r,球的表面积为4πr2,圆锥的侧面积为2πr×r=2πr2,∴圆锥的侧面积与球的表面积之比为∶2.26.6或54[解析] 由题意可知,棱锥底面正方形的对角线长为3×=6,棱锥的底面积S=(3)2=18.据此分类讨论:当球心位于棱锥内部时,棱锥的高h=5+-=9,棱锥的体积1V 1= Sh 1=54;当球心位于棱锥外部时,棱锥的高h 2=5- - =1,棱锥的体积V 2=Sh 2=6.综上可得,四棱锥P - ABCD 的体积为6或54.27. +π [解析] 由三视图可得,该几何体是一个组合体,其上半部分是一个四棱锥,四棱锥的底面是一个对角线长为2的菱形,高为2,其体积V 1=××2×2×2=,下半部分是个半球,球的半径R=1,其体积V 2=××π×13=π.据此可得,该几何体的体积V=V 1+V 2= +π.28.6π [解析] ∵AB=1,BC= ,AC= ,∴AB 2+BC 2=AC 2,即△ABC 为直角三角形.当CD ⊥平面ABC 时,三棱锥A-BCD 的体积最大,又∵CD= ,△ABC 外接圆的半径为,故三棱锥A-BCD 的外接球的半径R 满足R 2=+=,∴三棱锥A-BCD 的外接球的表面积为4πR 2=6π.解答必刷卷(四)1.解:(1)证明:因为AP=CP=AC=4,O 为AC 的中点,所以OP ⊥AC ,且OP=2 . 连接OB.因为AB=BC=AC ,所以△ABC 为等腰直角三角形,且OB ⊥AC ,OB=AC=2.由OP 2+OB 2=PB 2知,OP ⊥OB.由OP ⊥OB ,OP ⊥AC ,OB ∩AC=O 知PO ⊥平面ABC.(2)作CH ⊥OM ,垂足为H ,又由(1)可得OP ⊥CH ,OP ∩OM=O ,所以CH ⊥平面POM , 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离. 由题设可知OC=AC=2,CM=BC=,∠ACB=45°, 所以OM=,CH= · ·=, 所以点C 到平面POM 的距离为.2.解:(1)证明:由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC ⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.(2)当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.证明如下:连接AC,BD交于O.因为四边形ABCD为矩形,所以O为AC中点.连接OP,因为P为AM 中点,所以MC∥OP.MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,所以MC∥平面PBD.3.解:(1)证明:由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.(2)取棱AC的中点N,连接MN,ND.因为M为棱AB的中点,故MN∥BC,所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.在Rt△DAM中,AM=1,故DM==.因为AD⊥平面ABC,故AD⊥AC.在Rt△DAN中,AN=1,故DN==.在等腰三角形DMN中,MN=1,可得cos∠DMN==.所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为.(3)连接CM.因为△ABC为等边三角形,M为棱AB的中点,故CM⊥AB,CM=.又因为平面ABC⊥平面ABD,而CM⊂平面ABC,故CM⊥平面ABD,所以,∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角. 在Rt △CAD 中,CD= =4. 在Rt △CMD 中,sin ∠CDM==. 所以,直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为.4.解:(1)证明:设SC 的中点为E ,连接BE ,ME ,则MEDC ,∵ABDC ,∴ME AB ,故四边形ABEM 为平行四边形, ∴AM ∥BE ,又∵BE ⊂平面SBC ,AM ⊄平面SBC ,∴AM ∥平面SBC.(2)连接BD ,∵SD ⊥平面ABCD ,∴∠SBD 是SB 与平面ABCD 所成的角,∴sin ∠SBD= =,∴SB 2=3SD 2.在Rt △ABD 中,BD= AB= ,在Rt △SDB 中,SB 2=SD 2+DB 2=SD 2+2,∴3SD 2=SD 2+2,∴SD=1(负值舍去).又S 梯形ABCD =(AB+DC )·AD=×(1+2)×1=,∴V 四棱锥S - ABCD = S 梯形ABCD ·SD= × ×1=.5.解:(1)证明:因为平面ABCD ⊥平面CDEF ,平面ABCD ∩平面CDEF=CD ,AD ⊥CD ,所以AD ⊥平面CDEF ,又CF ⊂平面CDEF ,则AD ⊥CF.又因为AE ⊥CF ,AD ∩AE=A ,所以CF ⊥平面AED ,又DE ⊂平面AED ,所以CF ⊥DE. (2)连接FA ,FD ,过F 作FM ⊥CD 于M.因为平面ABCD ⊥平面CDEF 且交线为CD ,FM ⊥CD ,所以FM ⊥平面ABCD.因为CF=DE,DC=2EF=4,且CF⊥DE,所以FM=CM=1,所以五面体的体积V=V四棱锥F-ABCD+V三棱锥=×42×1+××2×1×4=+=.A-DEF6.解:(1)证明:在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1⊥底面ABC,AC⊥AB,又因为侧面ABB1A1∩底面ABC=AB,AC⊂底面ABC,所以AC⊥平面ABB1A1,又因为AE⊂平面ABB1A1,所以AC⊥AE.(2)连接AB1,因为A1B1=AB,所以A1B1=AA1=2.又因为∠AA1B1=60°,所以△AA1B1是边长为2的正三角形.因为E是棱A1B1的中点,所以AE⊥A1B1,且AE=.又因为AE⊥AC,A1C1∥AC,所以AE⊥A1C1.因为A1C1∩A1B1=A1,A1C1,A1B1⊂底面A1B1C1,所以AE⊥底面A1B1C1,所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=△·AE=A1B1·A1C1·AE=×2×2×=2. (3)在直线AA1上存在点P,使得CP∥平面AEF.证明如下:连接BE并延长,与AA1的延长线相交,设交点为P,连接CP.因为BB1∥AA1,所以△A1PE∽△B1BE,故==.由于E为棱A1B1的中点,所以EA1=EB1,故有EP=EB,又F为棱BC的中点,故EF为△BCP的中位线,所以EF∥CP.又EF⊂平面AEF,CP⊄平面AEF,所以CP∥平面AEF.故在直线AA1上存在点P,使得CP∥平面AEF.此时A1P=B1B=2,AP=AA1+A1P=4.。
解答题题型突破二——三角函数与解三角形从近几年全国卷三角函数与解三角形解答题的命题来看,主要考查三角恒等变换与解三角形的综合问题,难度不大但比较灵活,把握好以下几个特点就可以轻松过关.1.注意三角形中的三条边和三个角之间的关系,掌握三角形内角和定理、正弦定理和余弦定理;2.利用三角形的角的关系结合已知条件进行三角恒等变换,注意边角互化思想的利用;3.在求三角形的面积公式时,根据已知条件选择合理的面积公式并进行化简与求值,在求面积的最值时注意基本不等式的应用;4.注意三角形平面几何性质的应用,包括三角形中的中线、角平分线和高的有关性质定理的使用等.题型一解三角形高考对解三角形的考查,以正弦定理、余弦定理的综合应用为主.其命题规律可以从以下两方面看:(1)从内容上看,主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式,一般是以三角形或其他平面图形为背景,结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力;(2)从命题角度看,主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理,在知识的交汇处命题.【例1】(2017年全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.【分析】寻找三角形中已知的边和角,确定转化方向.根据已知条件和转化方向,选择合适的定理和公式,实施边角之间的转化.根据前两步分析,代入求值得出结果.【试题解析】(1)因为△ABC的面积S=,且S=bc sin A,所以=bc sin A,所以a2=bc sin2A.由正弦定理得sin2A=sin B sin C sin2A.因为sin A≠0,所以sin B sin C=.(2)由(1)得sin B sin C=,cos B cos C=.因为A+B+C=π,所以cos A=cos(π－B－C)=－cos(B+C)=sin B sin C－cos B cos C=,又A∈(0,π),所以A=,sin A=,由余弦定理得a2=b2+c2－bc=9,①由正弦定理得b=·sin B,c=·sin C,所以bc=·sin B sin C=8,②由①②得,b+c=,所以a+b+c=3+,即△ABC的周长为3+.【针对训练1】已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos2B－cos2C－sin2A=sin A sin B.(1)求角C;(2)若c=2,△ABC的中线CD=2,求△ABC的面积S的值.【试题解析】(1)由已知得sin2A+sin2B－sin2C=－sin A sin B,由正弦定理得a2+b2－c2=－ab,由余弦定理可得cosC=－=－.∵0＜C＜π,∴C=.(2)由||=|+|=2,可得++2·=16,即a2+b2－ab=16,由余弦定理得a2+b2+ab=24,∴ab=4,∴S=ab sin C=ab=.题型二三角函数的图象和性质注意对基本三角函数y=sin x,y=cos x的图象与性质的理解与记忆,有关三角函数的五点作图,图象的平移,由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解,通常先将给出的函数转化为y=A sin(ωx+φ)的形式,然后利用整体代换的方法求解.【例2】(2017年山东卷)设函数f(x)=sin－+sin－,其中0＜ω＜3,已知f=0.(1)求ω;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在－上的最小值.【分析】先将三角函数式化为y=A sin(ωx+φ)+k的形式,然后将t=ωx+φ视为一个整体,结合y=sin t的图象求解.【试题解析】(1)因为f(x)=sin－+sin－,所以f(x)=sin ωx－cos ωx－cos ωx=sin ωx－cos ωx=－=sin－.由题设可知f=0,所以－=kπ,k∈Z,故ω=6k+2,k∈Z.又0＜ω＜3,所以ω=2.(2)由(1)得f(x)=sin－,所以g(x)=sin－=sin－.因为x∈－,所以x－∈－,当x－=－,即x=－时,g(x)取得最小值－.【针对训练2】已知函数f(x)=4tan x sin－cos－－.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间－上的单调性.【试题解析】(1)f(x)的定义域为,f(x)=4tan x cos x cos－－=4sin x cos－－=4sin x－=2sin x cos x+2sin2x－=sin 2x+(1－cos 2x)－=sin 2x－cos 2x=2sin－,所以f(x)的最小正周期T==π.(2)令z=2x－,函数y=2sin z的单调递增区间是－,k∈Z.由－+2kπ≤2x－≤+2kπ,k∈Z,得－+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.设A=－,B=x－,易知A∩B=－.所以,当x∈－时,f(x)在区间－上单调递增,在区间－－上单调递减.题型三三角函数与平面向量的结合三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面:(1)以三角函数式作为向量的坐标,由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数的解析式;(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形,然后利用正、余弦定理解决问题.【例3】已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,向量m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b),且m⊥n.(1)求角B的大小;(2)若b=,求a+c的取值范围.【分析】向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.【试题解析】(1)∵m=(cos B,cos C),n=(2a+c,b),且m⊥n,∴(2a+c)cos B+b cos C=0,∴cos B(2sin A+sin C)+sin B cos C=0,∴2cos B sin A+cos B sin C+sin B cos C=0.即2cos B sin A=－sin(B+C)=－sin A.∵A∈(0,π),∴sin A≠0,∴cos B=－.∵0＜B＜π,∴B=.(2)由余弦定理得,b2=a2+c2－2ac cos=a2+c2+ac=(a+c)2－ac≥(a+c)2－=(a+c)2,当且仅当a=c时取等号.∴(a+c)2≤4,故a+c≤2.又a+c＞b=,∴a+c∈(,2].即a+c的取值范围是(,2].【针对训练3】已知△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(2sin B,－),n=－,B为锐角,且m∥n.(1)求角B的大小;(2)若b=2,求S△ABC的最大值.【试题解析】(1)∵m∥n,∴2sin B－=－cos 2B,∴sin 2B=－cos 2B,即tan 2B=－.又∵B为锐角,∴2B∈(0,π),∴2B=,∴B=.(2)∵B=,b=2,由余弦定理b2=a2+c2－2ac cos B,得a2+c2－ac－4=0.又a2+c2≥2ac,代入上式,得ac≤4,故S△ABC=ac sin B=ac≤,当且仅当a=c=2时等号成立,即S△ABC的最大值为.突破训练二1.(2016年山东卷)设f(x)=2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求g的值.【试题解析】(1)f(x)=2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2=2sin2x－(1－2sin x cos x)=(1－cos 2x)+sin 2x－1=sin 2x－cos 2x+－1=2sin－+－1.由2kπ－≤2x－≤2kπ+(k∈Z),得kπ－≤x≤kπ+(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间是－(k∈Z).(2)由(1)知f(x)=2sin－+－1,把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin－+－1的图象,再把得到的图象向左平移个单位长度,得到y=2sin x+－1的图象,即g(x)=2sin x+－1.所以g=2sin+－1=.2.(2017年天津卷)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a sin A=4b sin B,ac=(a2－b2－c2).(1)求cos A的值;(2)求sin(2B－A)的值.【试题解析】(1)由a sin A=4b sin B及=,得a=2b.由ac=(a2－b2－c2)及余弦定理,得cos A=－=－=－.(2)由(1)可得sin A=,代入a sin A=4b sin B,得sin B==.由(1)知,A为钝角,所以cos B=－=.于是sin 2B=2sin B cos B=,cos 2B=1－2sin2B=,故sin(2B－A)=sin 2B cos A－cos 2B sin A=×－－×=－.3.(2018湖南湘中名校联考)已知函数f(x)=cos x(cos x+sin x).(1)求f(x)的最小值;(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若f(C)=1,S△ABC=,c=,求△ABC的周长.【试题解析】(1)f(x)=cos x(cos x+sin x)=cos2x+sin x cos x=+sin 2x=+sin.当sin=－1时,f(x)取得最小值－.(2)f(C)=+sin=1,∴sin=,∵C∈(0,π),2C+∈,∴2C+=,∴C=.∵S△ABC=ab sin C=,∴ab=3.又()2=a2+b2－2ab·cos,∴(a+b)2－2ab cos=7+2ab,∴(a+b)2=16,即a+b=4,∴a+b+c=4+,故△ABC的周长为4+.4.(2018合肥质检)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,向量m=,n=(cos C,cos A),且m·n=b cos B.(1)求角B的值;(2)若cos－=sin A,且|m|=,求△ABC的面积.【试题解析】(1)由m·n=b cos B,得cos C+cos A=b cos B,sin A cos C+sin C cos A=2sin B cos B,即sin(A+C)=2sin B cos B,sin B=2sin B cos B,∵0＜B＜π,sin B≠0,∴cos B=,∴B=.(2)C=π－A－B=－A,cos－=sin A⇒cos－=sin A⇒cos A=sin A⇒tan A=.∵0＜A＜,∴A=,∴C=π－－=.在Rt△ABC中,∵a=c sin=c,又|m|=,即a2+c2=20,∴a=2,c=4,b=－=2,故△ABC的面积S=×2×2=2.5.(2018合肥质检)已知a=(sin x,cos x),b=(cos x,－cos x),函数f(x)=a·b+.(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;(2)若方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1－x2)的值.【试题解析】(1)f(x)=a·b+=(sin x,cos x)·(cos x,－cos x)+=sin x·cos x－cos2x+=sin 2x－cos 2x=sin－.令2x－=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z).即函数y=f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).(2)由条件知sin－=sin－=＞0,且0＜x1＜＜x2＜,(x1,f(x1))与(x2,f(x2))关于直线x=对称,则x1+x2=,∴cos(x1－x2)=cos－－=cos－=cos－－=sin－=.6.(2018东北三省四市二模)已知点P(,1),Q(cos x,sin x),O为坐标原点,函数f(x)=·.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)若A为△ABC的内角,f(A)=4,BC=3,求△ABC周长的最大值.【试题解析】(1)由已知得=(,1),=(－cos x,1－sin x),所以f(x)=·=3－cos x+1－sin x=4－2sin,所以函数f(x)的最小正周期为2π.(2)因为f(A)=4,所以sin=0,又0＜A＜π,所以＜A+＜,所以A=.因为BC=3,所以由正弦定理,得AC=2sin B,AB=2sin C,所以△ABC的周长为3+2sin B+2sin C=3+2sin B+2sin－=3+2sin.因为0＜B＜,所以＜B+＜,所以当B+=,即B=时,△ABC的周长取得最大值,最大值为3+2.7.(2018河南第二次大联考)已知函数f(x)=a·b,其中a=(2cos x,－sin 2x),b=(cos x,1),x∈R.(1)求函数y=f(x)的单调递减区间;(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,f(A)=－1,a=,且向量m=(3,sin B)与n=(2,sin C)共线,求边长b和c的值.【试题解析】(1)f(x)=2cos2x－sin 2x=1+cos 2x－sin 2x=1+2cos,令2kπ≤2x+≤2kπ+π(k∈Z),解得kπ－≤x≤kπ+(k∈Z),∴函数y=f(x)的单调递减区间为－(k∈Z).(2)∵f(A)=1+2cos=－1,∴cos=－1,又＜2A+＜,∴2A+=π,即A=.∵a=,∴由余弦定理得a2=b2+c2－2bc cos A=(b+c)2－3bc=7. ①∵向量m=(3,sin B)与n=(2,sin C)共线,∴2sin B=3sin C,由正弦定理得2b=3c,②由①②得b=3,c=2.8.(2018安徽宣城模拟)已知向量m=(2a cos x,sin x),n=(cos x,b cos x),函数f(x)=m·n－,函数f(x)在y轴上的截距为,与y 轴最近的最高点的坐标是.(1)求函数f(x)的解析式;(2)将函数f(x)的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin x 的图象,求φ的最小值.【试题解析】(1)f(x)=m·n－=2a cos2x+b sin x cos x－,由f(0)=2a－=,得a=,此时,f(x)=cos 2x+sin 2x,由f(x)≤=1,得b=1或b=－1,当b=1时,f(x)=sin,经检验为最高点;当b=－1时,f(x)=sin－,经检验不是最高点.故函数的解析式为f(x)=sin.(2)函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度后得到函数y=sin的图象,横坐标伸长到原来的2倍后得到函数y=sin,即y=sin x的图象,所以2φ+=2kπ(k∈Z),φ=－+kπ(k∈Z),因为φ＞0,所以φ的最小值为.。
第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图1. 下列命题中的假命题是 ( ) A. 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆柱B. 以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥C. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥D. 以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体叫圆锥 2. 用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是 ( ) A. 圆柱 B. 圆锥C. 球体D. 圆柱，圆锥，球体的组合体3. 对于斜二测画法叙述正确的是 ( ) A. 三角形的直观图是三角形 B. 正方形的直观图是正方形 C. 矩形的直观图是矩形 D. 圆的直观图一定是圆4. (2011·皖南八校联考)下图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )5. 正三棱柱ABC A 1B 1C 1如下图所示，以四边形BCC 1B 1的前面为正前方画出的三视图正确的是 ( )6. 已知正三角形ABC 的边长为a ，以它的一边为x 轴，对应的高线为y 轴，画出它的水平放置的直观图△A ′B ′C ′，则△A ′B ′C ′的面积是 ( )A. 34a 2B. 38a 2C. 68a 2D. 616a 27. 如图为长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块共有________块．8. 如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积为________．9. (2011·潍坊模拟)如图，已知正四棱台ABCDA1B1C1D1的上底面边长为1，下底面边长为2，高为1，则线段B1C的长是________．10. 圆台的两底面半径分别为5 cm和10 cm，高为8 cm，有一个过圆台两母线的截面，且上、下底面中心到截面与两底面交线的距离分别为3 cm和6 cm，求截面面积．参考答案9.14解析：连接上底面对角线B 1D 1的中点O 1和下底面BD 的中点O ，得棱台的高OO 1，过点B 1作OO 1的平行线交BD 于点E ，连接CE .在△BCE 中，由BC =2，BE =22，∠CBE ，利用余弦定理可得CE =102，故在Rt △B 1EC 中易得B 1C =221012⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭=142. 10.如图所示，截面为ABCD ，取AB 中点F ，CD 中点E ，连接OF ，O 1E ，EF ，O 1D ，OA ，则O 1EFO 为直角梯形，ABCD 为等腰梯形，EF 为梯形ABCD 的高，在直角梯形O 1EFO 中，EF 2211OO OF O E +(-)73，在Rt △O 1ED 中，DE =2211O D O E -=4 (cm)，同理，AF =22OA OF -=8(cm)，S梯形ABCD=1273732)．第二节 空间几何体的表面积与体积1. 将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )A. 6a 2B. 12a 2C. 18a 2D. 24a 22. 若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为l 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( ) A. 3∶2 B. 2∶1 C. 4∶3 D. 5∶33. 长方体的一个顶点上三条棱的长分别是3,4,5，且它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )A. 202πB. 252πC. 50πD. 200π4. (2011·烟台模拟)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是( )A. 3B. 52C. 2D. 325. 圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A. 4πS B. 2πSC. πSD. 233πS6. (2011·日照模拟)如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是周长为4，一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及一点，那么这个几何体的表面积为( )A. π2B. πC. 3π2D. 2π7. (2010·上海)已知四棱锥PABCD 的底面是边长为6的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝8，则该四棱锥的体积是________．8. (教材改编题)已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是________． 9. (2010·天津)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．10. (2010·湖南)下图中三个直角三角形是一个体积为20 cm 3的几何体的三视图，则h ＝________cm.11. 如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．参考答案1. B 解析：依题意，小正方体的棱长为3a，所以27个小正方体的表面积总和为3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭2=18a 2，增加了18a 2-6a 2=12a 2.2. C 解析：底面半径r =232ππl =13l ，故圆锥中S 侧=13l 2，S 表=13l 213l ⎛⎫ ⎪⎝⎭2=49l 2，所以表面积与侧面积的比为4∶3.3. C 解析：设球半径为R ，依题意得2RR =52∴S 球R224. D 解析：以长方体为载体，如图：知三棱柱AA ′DBB ′C 为三视图的直观图，故V =1232. 5. A 解析：设底面半径为r ，Sr 2，S 侧rr2r2S .6. B 解析：设几何体为两个圆锥的组合体，由题意知S 112π⎛⎫⨯⨯⎪⎝⎭7. 96 解析：根据棱锥体积公式，V =138. 3 解析：由43R 3R 2，知R =3.9. 3 解析：由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形，由正视图和侧视图可知该几何体的高为1，结合三个视图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积为1210. 4解析：如图是三视图对应的直观图，这是一个三棱锥，其中SA ⊥平面ABC ，BA ⊥AC . 由于V =13S △ABC h =1312h =5h ，∴5h =20，∴h =4(cm)．11. (1)如图所示．(2)所求多面体体积V =V 长方体-V 正三棱锥-131222⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭2843(cm 3)．第三节 点、直线、平面之间的位置关系1. (2011·大连模拟)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件2. 以下四个命题中，正确命题的个数是 ( ) ①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A 、B 、C 、D 共面，点A 、B 、C 、E 共面，则A 、B 、C 、D 、E 共面； ③若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b 、c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面．A. 0B. 1C. 2D. 33. (2011·沈阳模拟)正方体AC 1中，E 、F 分别是线段BC 、C 1D 的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是 ( )A. 相交B. 异面C. 平行D. 垂直4. 如图所示，ABCDA 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M .则下列结论正确的是 ( )A. A 、M 、O 三点共线B. A 、M 、O 、A 1不共面C. A 、M 、C 、O 不共面D. B 、B 1、O 、M 共面5. 平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，既与AB 共面也与CC 1共面的棱的条数为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 66. 一个正方体的展开图如图所示，B 、C 、D 为原正方体的顶点，A 为原正方体一条棱的中点．在原来的正方体中，CD 与AB 所成角的余弦值为 ( )A. 510B. 105C. 55D. 10107. a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出五个命题： ①若a ∥b ， b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交；④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线； ⑤若a ，b 与c 成等角，则a ∥b .上述命题中正确的命题是________．(只填序号)8. 如图，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与P S 是异面直线的一个图是________．9. 已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是________.10. 已知直线a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a、b、c、l共面．11. (2011·大连模拟)如图所示，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．求AE与PB所成的角的余弦值.参考答案7. ①解析：①由平行公理知，①正确；②a与c的位置关系不确定，故②错误；③a与c可能相交、平行、异面，故③错误；④由异面直线的定义知，④错误；⑤错误．8. ③解析：①、②中平行，④中相交．9. 平行或相交10.如图，∵a∥b，∴a、b可以确定一个平面.又∵l∩a=A，l∩b=B，∴A∈a，B∈b，A∈，B∈，AB⊂.又A∈l，B∈l，∴l⊂.另一方面，∵b∥c，∴b、c可以确定一个平面.同理可证，l⊂.∵平面、均经过直线b、l，且b和l是两条相交直线，它们确定的平面是唯一的，∴平面与是同一个平面，∴a、b、c、l共面．11. 如图，取BC的中点F，连接EF，AF.∵EF∥PB，∴∠AEF是异面直线AE、PB所成的角(或其补角)．∵PA⊥平面ABC，∠BAC，PA=AB=AC=2，∴AE，AFEF =12PB. 在△AEF 中，cos ∠AEF =2222AE EF AF AE EF +-⋅⋅=14.即AE 与PB 所成角的余弦值为14.第四节 直线、平面平行的判定及其性质1. 一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A. 异面B. 相交C. 平行D. 不确定 2. 设α、β、γ为平面，给出下列条件：①直线a 与b 为异面直线，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α； ②α内不共线的三点到β的距离相等； ③α⊥γ，β⊥γ.其中能使α∥β成立的条件的个数是 ( )A. 0B. 1C. 2D. 3 3.(2010·福建)如图，若Ω是长方体ABCDA 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体．其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是( )A. EH ∥FGB. 四边形EFGH 是矩形C. Ω是棱柱D. Ω是棱台4. (2011·福州模拟)已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；⑤α∥β.为使m ∥β，应选择下面四个选项中的 ( )A. ①④B. ①⑤C. ②⑤D. ③⑤5. 设平面α∥平面β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在α、β内运动时，那么所有的动点C ( )A. 不共面B. 当且仅当A 、B 在两条相交直线上移动时才共面C. 当且仅当A 、B 在两条给定的平行直线上移动时才共面D. 不论A 、B 如何移动都共面 6. 如图，在四面体A-BCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中错误的为()A. AC ⊥BDB. AC ∥截面PQMNC. AC ＝BDD. 异面直线PM 与BD 所成的角为45°7. 考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l ，m 为不同直线，α、β为不重合平面)，则此条件为________．⎭⎪⎬⎪⎫ m ⊂α①l ∥m ⇒l ∥α；⎭⎪⎬⎪⎫ l ∥m②m ∥α ⇒l ∥α；⎭⎪⎬⎪⎫ l ⊥β③α⊥β ⇒l ∥α. 8. 如图所示，ABCDA 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱AB ，BC 的中点，P 是上底面的棱A 1D 1上的一点，A 1P ＝a3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在C 1D 1上，则PQ ＝________.9. 如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.10. 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?11. (2011·泉州模拟)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点M ，N 分别为BC ，PA 的中点，且PA ＝AD ＝2，AB ＝1，AC ＝ 3.(1)证明：CD ⊥平面PAC;(2)在线段PD 上是否存在一点E ，使得NM ∥平面ACE; 若存在，求出PE 的长；若不存在，说明理由．参考答案9. M∈线段FH解析：因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任一点M与N相连，有MN∥平面B1BDD1.10. 当Q点为线段C1C的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.证明：∵DP=D1P，DO=BO，∴PO∥BD1，∵BD1⊂平面D1BQ，PO⊄平面D1BQ，∴PO∥平面D1BQ.同理，AP∥平面D1BQ.又∵PO∩AP=P，∴平面D1BQ∥平面PAO.11. (1)证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.在△ACD中，AD=2，CD=1，3，所以AC2+CD2=AD2，所以∠，即AC⊥CD.又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC.(2)在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE.取PD的中点E，连接NE，EC，AE，因为N、E分别为PA，PD的中点，所以NE綊12 AD.又在平行四边形ABCD中，CM綊12 AD，所以NE綊MC，即MCEN是平行四边形．所以NM∥EC，又EC⊂平面ACE，NM⊄平面ACE，所以MN∥平面ACE，即在PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，此时PE=12PD=2.第五节直线、平面垂直的判定及其性质1. (2011·北京模拟)若a，b是空间两条不同的直线，α、β是空间的两个不同的平面，则a⊥α的一个充分条件是()A. a∥β，α⊥βB. a⊂β，α⊥βC. a⊥b，b∥αD. a⊥β，α∥β2. 用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()A. ①②B. ②③C. ①④D.③④3. 空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是()A. 面ABD⊥面BDCB. 面ABC⊥面ABDC. 面ABC⊥面ADCD. 面ABC⊥面BED4. (2011·烟台模拟)如图在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A. 直线AB上B. 直线BC上C. 直线AC上D. △ABC内部5. (2011·威海模拟)已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，若把α、β、γ中的任意两个换成直线，且相互不重合，则在所得到的命题中，真命题有()A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个6. (2011·淄博模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则动点P所在曲线的形状为()7. (教材改编题)过△ABC所在平面α外一点P，作PO⊥α，垂足为O，连结PA、PB、PC，若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________(填“重心”、“外心”或“垂心”)．8. 如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，那么以P、A、B、C、D五个点中的三点为顶点的直角三角形有________个．9. P为△ABC所在平面外一点，AC＝2a，连接PA、PB、PC，得△PAB和△PBC都是边长为a的等边三角形，则平面ABC和平面PAC的位置关系为________．10. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为________.11. (2010·辽宁改编)如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.证明：平面AB1C⊥平面A1BC1.12. (2010·安徽改编)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB.参考答案6. C 解析：如图，动点P 到直线A 1B 1的距离为|PQ|，到直线BC 的距离为|PB|，由抛物线的定义，动点P 的轨迹是以B 为焦点，A 1B 1为准线的抛物线，且该抛物线过点A ，故选C.7. 外心解析：如图，连接AO ，BO ，CO. ∵PO ⊥平面ABC ， ∴PO ⊥AO ，PO ⊥BO ， PO ⊥CO ，又PA=PB=PC ，∴Rt △APO ≌Rt △BPO ≌Rt △CPO ， ∴OA=OC=OB ，即O 为△ABC 的外心． 8. 9 解析：分三类：(1)在底面ABCD 中，共有四个直角，因而有四个直角三角形； (2)四个侧面都是直角三角形；(3)过两条侧棱的截面中，△PAC 为直角三角形．故共有9个直角三角形． 9. 垂直解析：如图所示，由题意知PA=PB=PC=AB=BC=a ，取AC 中点D ，连接PD 、BD ，则PD ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠BDP 为二面角P-AC-B 的平面角，又∵2a ， ∴PD=BD=22a ， 在△PBD 中，PB 2=BD 2+PD 2， ∴∠7 解析：如图所示，由题意知：在Rt △ABC 中，易求得BC=4，3 连接CM ，知PC ⊥CM ，所以PM 2=PC 2+CM 2，当CM ⊥AB 时，CM 的长度最小，最小值为BC AC AB⋅.所以PM .11. 因为侧面BCC 1B 1是菱形， 所以B 1C ⊥BC 1，又已知B 1C ⊥A 1B ，且A 1B∩BC 1=B ，所以B 1C ⊥平面A 1BC 1，又B 1C ⊂平面AB 1C ， 所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1.第六节 空间直角坐标系1. 设A(1，－1,1)，B(3,1,5)，则AB 中点在空间直角坐标系中的位置是 ( ) A. y 轴上 B. xOy 面内 C. xOz 面内 D. yOz 面内2. 设点B 是点A(2，－3,5)关于xOy 面的对称点，则|AB|的值为 ( ) A. 10 B. 10 C. 38 D. 383. 已知点A(1,2，－1)，点C 与点A 关于xOy 面对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则|BC|的值为 ( )A. 2 5B. 4C. 2 2D. 274. 在空间直角坐标系中，若点B 是点A(1,2,3)在坐标平面yOz 内的射影，则|OB|的长度为 ( )A. 2 3B. 14C. 13D. 115. 已知A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M 在z 轴上，且到A 、B 两点的距离相等，则M 的坐标为 ( )A. (－3,0,0)B. (0，－3,0)C. (0,0，－3)D. (0,0,3)6. 在空间直角坐标系中，P(2,3,4)、Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是 ( )A. 关于x 轴对称B. 关于yOz 平面对称C. 关于坐标原点对称D. 以上都不对7. 设正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，以A 为原点，以AB ，AD ，AA 1为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则正方形A 1B 1C 1D 1的中心的坐标为___________．8. 如图所示，在长方体OABC - O 1A 1B 1C 1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA 1|＝2.M 是OB 1与BO 1的交点，则M 的坐标是________．9. 已知△ABC 的顶点分别为A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)，则BC 边长的中线长为________．10. 若A 、B 两点的坐标分别是A(3cos θ，3sin θ，1)，B(2cos α，2sin α，1)，则|AB →|的取值范围是________. 11. 求证：以A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形．参考答案9.2 解析：设BC 的中点为D ，则D 点坐标为,,222⎪⎝⎭，即 D 312,,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，|AD|=2.10. [1,5] 解析：|AB |-2-2+0=13--． ∵-，∴|AB |2∈[1,25]， 即|AB |∈[1,5]．11. 由已知，得=7，=7.因为|AB|2+|CA|=|BC|，所以△ABC 是等腰直角三角形，其中BC 是斜边.。
