高数：正弦级数和余弦级数共22页

l
an
1
F (t)cosntdt1
l
l f ( x)cosnx dx ，
l
l
bn
1
F (t)sinntdt1
l
l f ( x)sinnx dx 。
l
l
F
(t
)~
a0 2
(an
n1
cos
nt
bn
s
innt
)
，
从而
f
( x)~ a0 2
(ancos
n1
nx l
nx bnsin l
a0
1
20(2
x)dx5
，
1
1
1
an 20(2 x)cosnxdx40cosnxdx20 xcosnxdx
2
1
xd(sinnx)
2 [xsinnx
1
1
sinnxdx]
n 0
n
00
2 n2
2
cos
nx
1
0
2 n22
[(
1)n
1]
(2k
4 1)2
0
2 , n2k , n2k.
1,
∴
f
( x)2
nxdx
2 [
x
cos n
nx
sin n
nx
2
]0
2 cos n
n
2 (1)n1, n
(n 1,2,)
f
(
x)
2(sin
x
1 sin 2
2x
1 3
sin
3x
)
2
n1
(1)n1 n
sin
nx.

二、函数展开成正弦级数或余弦级数
奇延拓与偶延拓： 设函数f(x)定义在区间[0，π]上并且满足收敛定理的条件，我 们在开区间(−π，0)内补充函数f(x)的定义，得到定义在(−π，π]上 的函数F(x)，使它在(−π，π)上成为奇函数(偶函数)．按这种方式 拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓)．限制在(0，π]上， 有F(x) = f(x)．
π
0
π
0
2 π + 2 π ⋅ n , n = 1, 3, 5, ⋅ ⋅ ⋅ , = − 2 , n = 2, 4, 6, ⋅ ⋅ ⋅ . n 函数的正弦级数展开式为 2 π 1 π x+1 = [(π+2)sin x− sin 2π+ (π+2)sin 3− sin 4π+ · · · ] π 3 2 4 (0<x<π)． 在端点x=0及x=π处，级数的和显然为零，它不代表原来函数f(x) 的值．
2
π
π
0
π
0
=
2
π
[−
x sin nx cos nx sin nx π + − ]0 2 n n n
0, n = 2, 4, 6, ⋅ ⋅ ⋅ , 2 = 2 (cos nπ − 1) = 4 nπ − n 2π , n = 1, 3, 5, ⋅ ⋅ ⋅ .
函数的余弦级数展开式为 π 4 1 1 x+1= +1 − (cos x+ 2 cos 3 x + 2 cos 5 x + · · · ) (0≤ x ≤π)． π 2 3 5
例2 将周期函数
1 u(t) =E | sin t | 2
展开成傅里叶级数，其中E是正的常数． 解 所给函数满足收敛定理的条件，它在整个数轴上连续， 因此u(t)的傅里叶级数处处收敛于u(t)． 因为u(t)是周期为2π的偶函数，所以bn =0(n=1, 2, · · ·)，而 4E 4E 2 π (n=0, 1, 2, · · ·)． =− an = ∫ f(t)cos ntdt 2 (4n − 1)π π 0 u(t)的傅里叶级数展开式为 4E 1 1 1 1 u(t) = t− cos 2t− cos 3t− ( − cos π 2 3 15 35 1 cos nt− · · ·) (−∞<t<+∞)． − 2 4n − 1

a0 (an cos nx bn sin nx ) 2 n 1 f ( x ) f ( x ) , x 为间断点
x 为连续点
f (x) 的傅里叶系数
f ( x) ,
2
例1. 设周期函数 在一个周期内 的表达式为
则它的傅里叶级数在 x 处收敛于
2
2
y

它的傅里叶级数在
o

x
x 处收敛于 ( n 1,2,3,...) 4 0 0 , 在 x 0 处收敛于 . n 1,3,5,... n 0 1 1 1 0 1 cos nx cos nx f ( ) cos nx)d x1 1 cos nx d x f ( 1 n n 0 n 2,4,6,... 0 0 0 4 1 1 2 2 0 1 1 [sin x 2 1 f1 (2 x) sin 3 sin(2 k 1) x ] 0 x n 1 1 (1 sin cos nx n d)x sin nx d x1 f (0 f (0 ) 0 sin nx [1 ( 1) ] 3 2 k 0 0 n n ( x n n 0 2 , x 02, , 2 , )

1 nx cos nx 1 2 2 x sin cos 5 x cos 3 x x (cos n 1) [ cos 2 ]0 2 2 2 5 3 2 n n n

)

2
1 1 cos x 2 cos 3 x 2 cos 5 x 3 5
)
说明: 利用此展式可求出几个特殊的级数的和. 当 x = 0 时,

0 x
f ( x)的傅氏正弦级数

f ( x) bn sin nx (0 x ) n1
偶延拓: g( x) f ( x)
y
则F ( x)


f f
(x) ( x)
0 x x0
f ( x)的傅氏余弦级数
f
(x)

a0 2


an
n1
cos nx
nx

sin n
nx
2
]0
2 cos n 2 (1)n1, (n 1,2,)
n
n
f ( x) 2(sin x 1 sin 2x 1 sin 3x )
2
3
2

(1)n1 sin nx.
n1 n
( x ; x ,3,)
0
(0 x )
x
例 3 将函数 f ( x) x 1 (0 x )分别展开成
正弦级数和余弦级数.
解 (1)求正弦级数.
去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,
Chapter 7
§7.5 函数展开成正弦级数与余弦级 数
Infinite Series 无穷级数
教学目的与要求：理解正弦级数和余弦级数的概念，能 够根据所给函数的奇偶特点将函数展开为正弦级数或余 弦级数。
知识点：周期为2的函数展开为正弦级数或余弦级数； 定义在区间上的函数展开成正弦级数或余弦级数；周期 为2l的函数展开为正弦级数或余弦级数。
同理可证(2)
定理证毕.
定义

如果 f ( x)为奇函数,傅氏级数 bn sin nx
n1
称为正弦级数.

其中 ，g（x）有多种定义方式 . 一般有两种方式： 一般有两种方式：
奇延拓 . 偶延拓
高等数学（ 高等数学（下）
奇延拓: 奇延拓: g ( x ) = − f ( − x )
y
0< x≤ π f ( x) x=0 则F ( x ) = 0 − f ( − x ) − π < x < 0 − π
f ( x )的傅氏余弦级数 a0 ∞ f ( x ) ↔ + ∑ a n cos nx (0 ≤ x ≤ π ) 2（ 高等数学（下）
例 3 将函 f ( x) = x + 1 (0 ≤ x ≤ π)分 展开 数 别 成 正 弦级 和余 级数 数 弦 数. .
(1)求正弦级数 求正弦级数. 解 (1)求正弦级数. 2π作周期延拓 作周期延拓. 对 f ( x )进行奇延拓 , 再以 2π作周期延拓. 则
E π = ∫ [sin( n + 1) t − sin( n − 1) t ]dt π 0 π E cos( n + 1) t cos( n − 1) t = − + 0 (n ≠ 1) n+1 n−1 π
4E , − 2 = [(2k ) − 1]π 0,
( k = 1,2 ,L ) 当n = 2k + 1
当n = 2k
注意:关于傅氏系数an , bn的化简问题.
高等数学（ 高等数学（下）
2 π a 1 = ∫0 u ( t ) cos tdt π 2 π = ∫0 E sin t cos tdt = 0 , π ∞ 2E cos 2nx u(t) = [1 − 2∑ 2 ]. π n=1 4n − 1 (−∞ < t < +∞)

于是 如 果 f ( x ) 为 奇 函 数 , 则 傅 氏 级 数
n 1
bn sin nx 为正弦级数.

a0 如果 f ( x ) 为偶函数, 则傅氏级数 an cos nx 2 n1
为余弦级数.
例 1 设 f ( x ) 是周期为 2 的周期函数 ,它在[ , ) 上的表达式为 f ( x ) x ,将 f ( x ) 展开成傅氏级数.
n1

高等数学（下）
偶延拓: g ( x ) f ( x )
y
f ( x) 0 x 则F ( x ) f ( x ) x 0
f ( x )的傅氏余弦级数 a0 f ( x ) an cos nx (0 x ) 2 n1
当n 2k
注意 :关于傅氏系数 an , bn的化简问题 .
高等数学（下）
2 a1 0 u( t ) cos tdt 2 0 E sin t cos tdt 0,
cos 2nt u(t ) [1 2 4n 2 1 ]. n 1 2E

( t )
( x ; x , 3,)
高等数学（下）
1 1 1 1 y 2(sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x sin 5 x ) 2 3 4 5
观 察 两 函 数 图 形
y x
高等数学（下）
例 2 将周期函数u( t ) E sin t 展开成傅氏级数, 其中 E 是正常数. 解 所给函数满足狄利克雷收敛条件, u( t ) 在整个数轴上连续.
E [sin(n 1) t sin(n 1) t ]dt 0 E cos(n 1)t cos(n 1)t ( n 1 ) n1 n 1 0

Chapter 7(5)
函数展开成正弦 级数与余弦级数
教学要求：
1. 会将定义在[0,]或[0,l]上的函数展开 为正弦级数与余弦级数
2. 会写出Fourier级数的和函数的表达式
一. 正弦级数与余弦级数
二. 定义在[0, ]上的函数展成正弦级数与余弦级数
三. 定义在[0, l]上的函数展成正弦级数与余弦级数 四. 非对称区间上的函数展成Fourier级数
所以所求的和函数的表达式为:
x,
2
2
x,
S(
x)
1,
3
3 2
,
3 x0 0 x3 x0 x 3
The end
0,
an
2l
l 0
f ( x) cos nxdx
l
2 l
l
[02
x
cos
nxdx
l
l
l
(l
x) cos
nxdx
l
2l
n2
2
(2cos n
2
2
cos n
1)
a0
2 l
[
l
02
xdx
l
l
(l
x)dx
l 2
2
f (x)
l 4
2l
2
2
cos
n
2
n1
cos n
n2
1 cos nx
l
(0 x l)
四. 非对称区间上的函数展成Fourier级数
(1) 奇延拓: 在[ ,0]上补充定义得到F ( x), 使F( x)为[ , ]上的奇函数
(2) 对F(x)作周期延拓
(3) 将经过奇延拓与周期延拓后的函数展成 Fourier级数，必为正弦级数

1
0 2x 1sin nx dx
1
3 nx
sin dx
3 3
3
30
3
1
0
nx
2x sin dx
1
3 nx
sin dx
3 3
3
3 3
3
2
nx 0
x cos
0
cos
nx
dx
1 n1
6
n 1,2,3,
n
3 3 3
3
n
在 f x 的连续点处
f
x
a0 2
n1
a
n
cos
nx
小结：
一、奇函数和偶函数的傅立叶级数
二. 函数展开成正弦级数和余弦级数
10
x
1
2
2sin
x
2
sin2x
1 3
2sin3x
4
s in 4 x
0 x .
注：在端点 x 0及 x 处，级数的和为零，它不代表原来函数的值。
在此处该级数收敛于0. 再求余弦级数。 对函数进行偶延拓：
y
•
•
an
2
0
f xcosnxdx
2
0
x
1cos
nxdx
1 •
O
x
2
x
sinnx n
cos nx n2
定理2. 设周期为2l的周期函数 f x 满足收敛定理的条件, 则其傅里
叶级数展式为: 其中,
an
f x
a0 2
n1
a
n
cos nx
l
bn
sin nx
l
1 l f xcos nx dx n 0,1,2,