高数：正弦级数和余弦级数共24页

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正弦级数与余弦级数

π
O
π
x
−1
8
代入得 f ( x ) 的正弦级数展开式，得的正弦级数展开式，
π π 2 1 − sin 4 x + ⋯ x + 1 = (π + 2)sin x − sin 2 x + (π + 2)sin 3 x 4 2 3 π
(0 < x < π).
注：级数的和为零，它不代表原函数的值。级数的和为零，它不代表原函数的值。在端点 x = 0 及 x = π 处，而是该级数收敛于0. 而是该级数收敛于 ? y 偶延拓：再求余弦级数。对函数进行偶延拓再求余弦级数。对函数进行偶延拓：余弦级数 2 π 2 π a n = ∫ f ( x )cos nxdx = ∫ ( x + 1)cos nxdx
(− ∞ < x < +∞ ; x ≠ ± π ,±3π ,⋯).
5
例2 将周期函数
t u(t ) = E sin 2
y
展开成傅立叶级数, 其中E 是正的常数. 展开成傅立叶级数其中是正的常数解
O
x
所给函数满足收敛定理的条件，它在整个数轴上连续，因此所给函数满足收敛定理的条件，它在整个数轴上连续，
2 x cos nx sin nx 2 = − + 2 = − cos nπ π n n 0 n 2 n +1 = (− 1) , (n = 1 ,2 ,3 ,⋯). n 则 f ( x ) 的傅立叶级数展开式为
π
1 1 (− 1)n+1 sinnx + ⋯ f ( x) = 2sinx − sin2x + sin3x −⋯+ 2 3 n

高中数学1.4.1正弦函数、余弦函数的图像优秀课件

-
1-
图象的最高点
(0,1) (2,1)
与x轴的交点
-1
o
6
-
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
(
2
,0)
(
3 2
,0)
图象的最低点 (,1)
-1 -
课堂小结
1.正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线.
二、正弦函数 y =sinx(x∈R)的图象
1.几何法作图: 利用单位圆中正弦线作图.
2 3 4
y
1
●
●
●
●
6
●
7 4 63
3 2
5 3
1 1 6
2
●
O
2
●
5
632 3 6
●
●
x
●
4
3
7 -1
4
●
●
●
y=sinx x∈[0, 2π]
思考:如何画函数y =sinx(x∈R)的图象?
y=sinx x[0,2]
o
x
二、正弦函数 y =sinx(x∈R)的图象
1.几何法作图:
问题:如何作出正弦函数的图象？途径:利用单位圆中正弦线来解决.
y
2
3
1
4
6
. .
.o1 .
..
A
o
2
3
.
2
2
x
4
7 -1
3
4
y=sinx,x[0,2]

正弦级数和余弦级数

a0 (an cos nx bn sin nx ) 2 n 1 f ( x ) f ( x ) , x 为间断点
x 为连续点
f (x) 的傅里叶系数
f ( x) ,
2
例1. 设周期函数在一个周期内的表达式为
则它的傅里叶级数在 x 处收敛于
2
2
y

它的傅里叶级数在
o

x
x 处收敛于 ( n 1,2,3,...) 4 0 0 , 在 x 0 处收敛于 . n 1,3,5,... n 0 1 1 1 0 1 cos nx cos nx f ( ) cos nx)d x1 1 cos nx d x f ( 1 n n 0 n 2,4,6,... 0 0 0 4 1 1 2 2 0 1 1 [sin x 2 1 f1 (2 x) sin 3 sin(2 k 1) x ] 0 x n 1 1 (1 sin cos nx n d)x sin nx d x1 f (0 f (0 ) 0 sin nx [1 ( 1) ] 3 2 k 0 0 n n ( x n n 0 2 , x 02, , 2 , )

1 nx cos nx 1 2 2 x sin cos 5 x cos 3 x x (cos n 1) [ cos 2 ]0 2 2 2 5 3 2 n n n

)

2
1 1 cos x 2 cos 3 x 2 cos 5 x 3 5
)
说明: 利用此展式可求出几个特殊的级数的和. 当 x = 0 时,

高数：正弦级数和余弦级数

∞
练习题答案
( 1) n+1 2 nπ + 2 sin ] sin nx . 一, f ( x ) = ∑ [ n nπ 2 n =1 ( x ≠ ( 2n + 1) π, n = 0, ±1, ±2,)
∞
4 2 π2 2 二, f ( x ) = ∑ [( 1) n ( 3 ) 3 ] sin nx n n n π (0 ≤ x < π) ;
( ∞ < t < +∞)
二,函数展开成正弦级数或余弦级数
非周期函数的周期性开拓
设f ( x )定义在[0, π]上, 延拓成以2π为周期的函数 F ( x ).
f ( x ) 0 ≤ x ≤ π 且F ( x + 2π ) = F ( x ), , 令 F ( x) = g( x ) π < x < 0
同理可证(2) 同理可证定理证毕. 定理证毕
∞ n =1
定义如果 f ( x ) 为奇函数,傅氏级数 ∑ bn sin nx 为奇函数,
称为正弦级数. 称为正弦级数. 正弦级数
a0 ∞ 为偶函数, 如果 f ( x ) 为偶函数, 傅氏级数 + ∑ a n cos nx 2 n =1
称为余弦级数. 称为余弦级数. 余弦级数
证明
(1) 设f ( x )是奇函数 ,
1 π a n = ∫ π f ( x ) cos nxdx = 0 π 奇函数
( n = 0,1,2,3,)
1 π 2 π bn = ∫ π f ( x ) sin nxdx = ∫0 f ( x ) sin nxdx π π 偶函数 ( n = 1,2,3,)
b.在[0, π ]上, 展成周期为2π的傅氏级数唯一;

正弦余弦级数

0

x
(0 x )
例 3 将函数 f ( x ) x 1 ( 0 x ) 分别展开成正弦级数和余弦级数.
解 (1)求正弦级数.
对f ( x )进行奇延拓 ,
2 2 bn 0 f ( x ) sin nxdx 0 ( x 1) sin nxdx 2 (1 cos n cos n ) n 2 2 当n 1,3,5, n 2 当n 2,4,6, n
(0 x )
1 1 1 x 1 1 (cos x 2 cos 3 x 2 cos 5 x 2 cos 7 x ) 2 3 5 7

4
y x 1
三、小结
1.基本内容:
奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余弦级数;非周期函数的周期性延拓; 2.需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确)
y x 1
(2)求余弦级数. 对f ( x )进行偶延拓 , 2 a0 0 ( x 1)dx 2, 2 an 0 ( x 1) cos nxdx 当n 2,4,6, 0 2 2 (cos n 1) 4 2 当n 1,3,5, n n 4 1 1 x 1 1 (cos x 2 cos 3 x 2 cos 5 x ] 2 3 5
2 2 ( 1) n f ( x ) 8 2 cos nx (0 x ) . 3 n 1 n x n1 1 sin nx x ( , ) ； . 三、 ( 1) 2 n 1 n 4
称为正弦级数.
a0 如果 f ( x ) 为偶函数, 傅氏级数 a n cos nx 2 n 1

11-8正弦和余弦级数

其中，g（x）有多种定义方式 . 一般有两种方式：一般有两种方式：
奇延拓 . 偶延拓
高等数学（高等数学（下）
奇延拓: 奇延拓: g ( x ) = − f ( − x )
y
0< x≤ π f ( x) x=0 则F ( x ) = 0 − f ( − x ) − π < x < 0 − π
f ( x )的傅氏余弦级数 a0 ∞ f ( x ) ↔ + ∑ a n cos nx (0 ≤ x ≤ π ) 2（高等数学（下）
例 3 将函 f ( x) = x + 1 (0 ≤ x ≤ π)分展开数别成正弦级和余级数数弦数. .
(1)求正弦级数求正弦级数. 解 (1)求正弦级数. 2π作周期延拓作周期延拓. 对 f ( x )进行奇延拓 , 再以 2π作周期延拓. 则
E π = ∫ [sin( n + 1) t − sin( n − 1) t ]dt π 0 π E cos( n + 1) t cos( n − 1) t = − + 0 (n ≠ 1) n+1 n−1 π
4E , − 2 = [(2k ) − 1]π 0,
( k = 1,2 ,L ) 当n = 2k + 1
当n = 2k
注意:关于傅氏系数an , bn的化简问题.
高等数学（高等数学（下）
2 π a 1 = ∫0 u ( t ) cos tdt π 2 π = ∫0 E sin t cos tdt = 0 , π ∞ 2E cos 2nx u(t) = [1 − 2∑ 2 ]. π n=1 4n − 1 (−∞ < t < +∞)

正弦和余弦课件

和差化积公式
总结词
和差化积公式是三角函数中一个重要的公式，它表示两个角的正弦和余弦函数值的和与差之间的关系。
详细描述
和差化积公式表示为sin(x+y)+sin(x-y)=2sinxcosy和cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy，其中x和y是任意角度。这个公式在解决三角函数问题时非常有用，因为它可以将两个角的正弦和余弦函数值的和与差转化为其他形式。
在音乐领域，正弦和余弦函数被用于描述音高和音色的变化，进而合成和创作出各种美妙的音乐。
在工程领域，正弦和余弦函数被用于分析机械振动、电气系统和控制系统等工程问题。
04
正弦和余弦的公式和定理
和差角公式
总结词
和差角公式是三角函数中一个重要的公式，它表示两个角的正弦和余弦函数值之间的关系。
详细描述
在声学研究中，正弦和余弦函数可以用于描述声波的传播和振动，进而分析声音的音高、响度和音色等特性。
ห้องสมุดไป่ตู้
在交流电的研究中，正弦和余弦函数是描述电流、电压和电动势的有效方式，通过正弦和余弦函数可以分析交流电的频率、幅值和相位。
在日常生活中的应用
在信号处理领域，正弦和余弦函数被广泛应用于信号的调制和解调，例如在无线通信、音频处理和图像处理中。
在弧度制下，正弦函数定义为直角三角形中锐角的对边长度与斜边长度的比值，而余弦函数定义为直角三角形中锐角的邻边长度与斜边长度的比值。
详细描述
在弧度制中，角度的测量单位是弧度（rad），正弦函数记作sin，余弦函数记作cos。对于任意角度r（r是以弧度为单位的弧度），正弦函数sin(r)的值等于直角三角形中锐角的对边长度与斜边长度的比值，余弦函数cos(r)的值等于直角三角形中锐角的邻边长度与斜边长度的比值。

正弦级数和余弦级数

定理说明：
若 f (x) 为奇函数，则
f ( x) ～ bnsinnx ，是正弦级数。
n1
若 f (x) 为偶函数，则
f
(
x
)
～
a 2
an
n1
cosnx
，是余弦级数。
例 5．将周期函数 u(t ) E sint （ E 是正常数）展开成傅里叶级数。
解所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个
2E
[1
2
n1
cos 2nt
4n2
]. 1
( t )
例 6．将 2 为周期的函数 f ( x) x, x [ , ) 展开成
傅里叶级数。
解所给函数满足狄利克雷充分条件.
f ( x)在x( x (2k 1) )处连续。
x (2k 1)时 f ( x)是以2为周期的奇函数,
an 0, (n 0,1,2, )
cos(n 1)t n1
0
(n 1)
4E [(2k)2
1]
,
0,
当n 2k (k 1,2, )
当n 2k 1
a1
2
0u(t )cos tdt
2
0E
sin
t
cos tdt
0,
u(t) 4E (1 1 cos 2t 1 cos 4t 1 cos 6t )
23
15
35
在点x (2k 1)(k 0,1,2, )处不连续,
级数收敛于f ( 0) f ( 0) () 0,
2
y
2
和
函
数
图
象 3 2
0 2 3 x
y 2(sin x 1 sin 2x 1 sin 3x 1 sin 4x 1 sin 5x)

正弦级数与余弦级数

练习题答案
( 1) n1 2 n 2 sin ] sin nx . 一、 f ( x ) [ n n 2 n 1 ( x ( 2n 1) , n 0, 1, 2, )

4 2 2 n 2 二、 f ( x ) [( 1) ( 3 ) 3 ] sin nx n n n (0 x ) ；
二、将函数 f ( x ) 2 x 2 ( 0 x ) 分别展开成正弦级数和余弦级数 .
x 三、将以2 为周期的函数 f ( x ) 在( , ) 内展开成 2 1 n1 傅里叶级数,并求级数 ( 1) 的和 . 2n 1 n 0
cos nx x 2 x 2 . 四、证明:当0 x 时, 2 n 4 2 6 n 1
1 1 1 1 y 2(sin x sin 2 x sin 3 x sin 4 x sin 5 x ) 2 3 4 5 观察两函 y x 数图形
例 2 将周期函数u( t ) E sin t 展开成傅氏级数, 其中 E 是正常数.
解所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个数轴上连续.
(0 x )
x 1
4 1 1 1 1 (cos x 2 cos 3 x 2 cos 5 x 2 cos 7 x ) 2 3 5 7
y x 1
三、小结
1、基本内容:
奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余弦级数;非周期函数的周期性延拓; 2、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确)
一、奇函数和偶函数的傅里叶级数
一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项. 定理

§6.4.3正弦级数和余弦级数

6.4.3正弦级数和余弦级数一、奇函数和偶函数的傅里叶级数定理设)(x f 是周期为π2的函数，在一个周期上可积，则（1）当)(x f 为奇函数时，它的傅里叶系数为 ),2,1,0(0 ==n a n ， ),3,2,1(s i n )(20=π=⎰πn n x d x x f b n . （2）当)(x f 为偶函数时，它的傅里叶系数为 ),3,2,1(c o s )(20 =π=⎰πn n x d x x f a n ， ),2,1(0 ==n b n . 定理说明：若)(x f 为奇函数，则其傅里叶级数是只含正弦项的正弦级数nx b n n sin 1∑∞=. ③若)(x f 为偶函数，则其傅里叶级数是只含常数项和余弦项的余弦级数nx a a n n cos 21∑∞=+ . ④ 例1．将周期函数2sin)(tE t u =（E 是正常数）展开成傅里叶级数。

解：∵)(t u 是周期为π2的偶函数， ∴),2,1(0 ==n b n 。

而⎰⎰πππ=π=00cos 2sin 2cos )(2ntdt t E ntdt t u a n ⎰π--+π=0])21sin()21[sin(dt t n t n E ]211211[]21)21c o s (21)21c o s ([0--+π=--+++-π=πn n E n t n n t n E ①②),2,1,0()14(42=π--=n n E 。

得)cos 1415cos 1513cos 3121(4)(2 ------π=nt n t t E t u )(+∞<<-∞t .二、函数展开成正弦级数或余弦级数设)(x f 在],0[π上满足收敛定理的条件， 1．将)(x f 在],0[π上展开成正弦级数：令⎪⎩⎪⎨⎧π-∈--=π∈=).0 ,( ),(0, , 0 ],(0, ),( )(x x f x x x f x F则)(x F 是),(ππ-上的奇函数，称为)(x f 的奇式延拓。

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23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
高数：正弦级数和余弦级数
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只在愚人的字典中找得到要嫉妒要欣赏，不要托延要积极，不要心动要行动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。(注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素。
39、没有不老的誓言，没有不变的承诺，踏上旅途，义无反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈

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正弦级数与余弦级数

高中数学1.4.1正弦函数、余弦函数的图像优秀课件

正弦级数和余弦级数

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正弦余弦级数

11-8正弦和余弦级数

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§6.4.3正弦级数和余弦级数

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