2019年吉林省长春市中考数学试卷

2019年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的点A到原点的距离是（）A．﹣2B．2C．﹣D．2．（3分）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为（）A．27.5×107B．0.275×109C．2.75×108D．2.75×1093．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（）A．B．C．D．4．（3分）不等式﹣x+2≥0的解集为（）A．x≥﹣2B．x≤﹣2C．x≥2D．x≤25．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为（）A．B．C．D．6．（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，则函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（）A．B．9C．D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．（3分）计算：3﹣＝．10．（3分）分解因式：ab+2b＝．11．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是．12．（3分）如图，直线MN∥PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB＝33°．过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为度．13．（3分）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为．三、解答题（共10小题，满分78分）15．（6分）先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中a＝．16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．17．（6分）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．18．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G．（1）求证：△ABE≌△BCG；（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求劣弧的长．（结果保留π）19．（7分）网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位：时）：3 2.50.6 1.5122 3.3 2.5 1.82.5 2.23.54 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4整理上面的数据，得到表格如下：样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中的中位数m的值为，众数n的值为．（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间．（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数．20．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG＝90°．21．（8分）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）乙车的速度为千米/时，a＝，b＝．（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．（3）当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．（1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为．（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A出发，沿AC向终点C 运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ 为邻边作▱PQMN．设▱PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．（1）①AB的长为；②PN的长用含t的代数式表示为．（2）当▱PQMN为矩形时，求t的值；（3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；（4）当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时，直接写出t的值．24．（12分）已知函数y＝（n为常数）（1）当n＝5，①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；②求此函数的最大值．（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．2019年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的点A到原点的距离是（）A．﹣2B．2C．﹣D．【分析】根据绝对值的定义即可得到结论．【解答】解：数轴上表示﹣2的点A到原点的距离是2，故选：B．2．（3分）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为（）A．27.5×107B．0.275×109C．2.75×108D．2.75×109【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将275000000用科学记数法表示为：2.75×108．故选：C．3．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（）A．B．C．D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有一个正方形．故选：A．4．（3分）不等式﹣x+2≥0的解集为（）A．x≥﹣2B．x≤﹣2C．x≥2D．x≤2【分析】直接进行移项，系数化为1，即可得出x的取值．【解答】解：移项得：﹣x≥﹣2系数化为1得：x≤2．故选：D．5．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】直接利用每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，分别得出方程求出答案．【解答】解：设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为：．故选：D．6．（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinα＝＝，进而得出答案．【解答】解：由题意可得：sinα＝＝，故BC＝3sinα（m）．故选：A．7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．【分析】由∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD知∠B＝∠BCD，据此得DB＝DC，由线段的中垂线的性质可得答案．【解答】解：∵∠ADC＝2∠B且∠ADC＝∠B+∠BCD，∴∠B＝∠BCD，∴DB＝DC，∴点D是线段BC中垂线与AB的交点，故选：B．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，则函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（）A．B．9C．D．【分析】根据A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）可知OA＝OC＝3，进而可求出AC，由AC＝2BC，又可求BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k的值．【解答】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0），∴OA＝OC＝3，在Rt△AOC中，AC＝，又∵AC＝2BC，∴BC＝，又∵∠ACB＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠BCD＝∠CBD，∴CD＝BD＝＝，∴OD＝3+＝∴B（，）代入y＝得：k＝，故选：D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．（3分）计算：3﹣＝2．【分析】直接合并同类二次根式即可求解．【解答】解：原式＝2．故答案为：2．10．（3分）分解因式：ab+2b＝b（a+2）．【分析】直接提取公因式b，进而分解因式即可．【解答】解：ab+2b＝b（a+2）．故答案为：b（a+2）．11．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是5．【分析】根据根的判别式等于b2﹣4ac，代入求值即可．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5，故答案为：5．12．（3分）如图，直线MN∥PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB＝33°．过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为57度．【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABD的度数，再结合三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵直线MN∥PQ，∴∠MAB＝∠ABD＝33°，∵CD⊥AB，∴∠BCD＝90°，∴∠CDB＝90°﹣33°＝57°．故答案为：57．13．（3分）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为4+2．【分析】根据折叠的性质得到∠DAF＝∠BAF＝45°，根据矩形的性质得到FC＝ED＝2，根据勾股定理求出GF，根据周长公式计算即可．【解答】解：由折叠的性质可知，∠DAF＝∠BAF＝45°，∴AE＝AD＝6，∴EB＝AB﹣AE＝2，由题意得，四边形EFCB为矩形，∴FC＝ED＝2，∵AB∥FC，∴∠GFC＝∠A＝45°，∴GC＝FC＝2，由勾股定理得，GF＝＝2，则△GCF的周长＝GC+FC+GF＝4+2，故答案为：4+2．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为2．【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，利用点M为线段AB中点，得出点B坐标；用含a的式子表示出点P坐标，写出直线OP的解析式，再将点B坐标代入即可求解出a的值．【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，∴A（0，），抛物线的对称轴为x＝1∴顶点P坐标为（1，﹣a），点M坐标为（2，）∵点M为线段AB的中点，∴点B坐标为（4，）设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）将点P（1，）代入得＝k∴y＝（）x将点B（4，）代入得＝（）×4解得a＝2故答案为：2．三、解答题（共10小题，满分78分）15．（6分）先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中a＝．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．【解答】解：原式＝4a2+4a+1﹣4a2+4a＝8a+1，当a＝时，原式＝8a+1＝2．16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．【分析】画出树状图，共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，由概率公式即可得出结果．【解答】解：画树状图如图：共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，∴小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为．17．（6分）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．【分析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，由题意列出方程：﹣＝5，解方程即可．【解答】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x套，由题意得：﹣＝5，解得：x＝300，经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意；答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套．18．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G．（1）求证：△ABE≌△BCG；（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求劣弧的长．（结果保留π）【分析】（1）根据四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，得到∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，根据余角的性质得到∠EBF＝∠BAF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）连接OF，根据三角形的内角和得到∠BAE＝90°﹣55°＝35°，根据圆周角定理得到∠BOF＝2∠BAE＝70°，根据弧长公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，∴∠EBF＝∠BAF，在△ABE与△BCG中，，∴△ABE≌△BCG（ASA）；（2）解：连接OF，∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠AEB＝55°，∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，∵OA＝3，∴的长＝＝．19．（7分）网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位：时）：3 2.50.6 1.5122 3.3 2.5 1.82.5 2.23.54 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4整理上面的数据，得到表格如下：样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中的中位数m的值为 2.5，众数n的值为 2.5．（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间．（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数．【分析】（1）把20个数据从小到大排列，即可求出中位数；出现次数最多的数据即为众数；（2）由平均数乘以18即可；（3）用总人数乘以每周网上学习时间超过2小时的学生人数所占的比例即可．【解答】解：（1）从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，∴中位数m的值为＝2.5，众数n为2.5；故答案为：2.5，2.5；（2）2.4×18＝43.2（小时），答：估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间为43.2小时．（3）200×＝130（人），答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人．20．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG＝90°．【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；（2）直接利用三角形面积求法得出答案；（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案．【解答】解：（1）如图①所示，△ABM即为所求；（2）如图②所示，△CDN即为所求；（3）如图③所示，四边形EFGH即为所求；21．（8分）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）乙车的速度为75千米/时，a＝ 3.6，b＝ 4.5．（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．（3）当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．【分析】（1）根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a、b的值；（2）运用待定系数法解得即可；（3）求出甲车到达距B地70千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可．【解答】解：（1）乙车的速度为：（270﹣60×2）÷2＝75千米/时，a＝270÷75＝3.6，b＝270÷60＝4.5．故答案为：75；3.6；4.5；（2）60×3.6＝216（千米），当2＜x≤3.6时，设y＝k1x+b1，根据题意得：，解得，∴y＝135x﹣270（2＜x≤3.6）；当3.6＜x≤4.6时，设y＝60x，∴；（3）甲车到达距B地70千米处时行驶的时间为：（270﹣70）÷60＝（小时），此时甲、乙两车之间的路程为：135×﹣270＝180（千米）．答：当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米．22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．（1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为．（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为6．【分析】教材呈现：如图①，连结ED．根据三角形中位线定理可得DE∥AC，DE＝AC，那么△DEG ∽△ACG，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明＝＝；结论应用：（1）如图②．先证明△BEF∽△DAF，得出BF＝DF，那么BF＝BD，又BO＝BD，可得OF＝OB﹣BF＝BD，由正方形的性质求出BD＝6，即可求出OF＝；（2）如图③，连接OE．由（1）易证＝2．根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出△BEF 与△OEF的面积比＝＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，那么△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，所以△BOC的面积＝，进而求出▱ABCD的面积＝4×＝6．【解答】教材呈现：证明：如图①，连结ED．∵在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，∴DE∥AC，DE＝AC，∴△DEG∽△ACG，∴＝＝＝2，∴＝＝3，∴＝＝；结论应用：（1）解：如图②．∵四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O，∴AD∥BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD，∴△BEF∽△DAF，∴＝＝，∴BF＝DF，∴BF＝BD，∵BO＝BD，∴OF＝OB﹣BF＝BD﹣BD＝BD，∵正方形ABCD中，AB＝6，∴BD＝6，∴OF＝．故答案为；（2）解：如图③，连接OE．由（1）知，BF＝BD，OF＝BD，∴＝2．∵△BEF与△OEF的高相同，∴△BEF与△OEF的面积比＝＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，∴△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，∴△BOC的面积＝，∴▱ABCD的面积＝4×＝6．故答案为6．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A出发，沿AC向终点C 运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ 为邻边作▱PQMN．设▱PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．（1）①AB的长为25；②PN的长用含t的代数式表示为3t．（2）当▱PQMN为矩形时，求t的值；（3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；（4）当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时，直接写出t的值．【分析】（1）根据勾股定理即可直接计算AB的长，根据三角函数即可计算出PN．（2）当▱PQMN为矩形时，由PN⊥AB可知PQ∥AB，根据平行线分线段成比例定理可得，即可计算出t的值．（3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．▱PQMN在三角形内部时，Ⅱ．▱PQMN有部分在外边时．由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积．（4）当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时，有两种情况，Ⅰ．过MN的中点，Ⅱ．过QM的中点．分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算t值．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．∴AB＝＝＝25．∴，由题可知AP＝5t，∴PN＝AP•sin∠CAB＝＝3t．故答案为：①25；②3t．（2）当▱PQMN为矩形时，∠NPQ＝90°，∵PN⊥AB，∴PQ∥AB，∴，由题意可知AP＝CQ＝5t，CP＝20﹣5t，∴，解得t＝，即当▱PQMN为矩形时t＝．（3）当▱PQMN△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．如解图（3）1所示．▱PQMN在三角形内部时．延长QM交AB于G点，由（1）题可知：cos A＝sin B＝，cos B＝，AP＝5t，BQ＝15﹣5t，PN＝QM＝3t．∴AN＝AP•cos A＝4t，BG＝BQ•cos B＝9﹣3t，QG＝BQ•sin B＝12﹣4t，∵．▱PQMN在三角形内部时．有0＜QM≤QG，∴0＜3t≤12﹣4t，∴0＜t．∴NG＝25﹣4t﹣（9﹣3t）＝16﹣t．∴当0＜t时，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为▱PQMN，S与t之间的函数关系式为S＝PN•NG ＝3t•（16﹣t）＝﹣3t2+48t．Ⅱ．如解图（3）2所示．当0＜QG＜QM，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQMG时，即：0＜12﹣4t＜3t，解得：，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQMG的面积S＝＝＝．综上所述：当0＜t时，S＝﹣3t2+48t．当，S＝．（4）当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时，有两种情况，Ⅰ．如解题图（4）1，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MN中点，过R点作RH⊥AB，∴∠PKN＝∠HKR＝∠B，NK＝PN•cot∠PKN＝3t＝，∵NR＝MR，HR∥PN∥QM，∴NH＝GH＝，HR＝，∴GM＝QM﹣QG＝3t﹣（12﹣4t）＝7t﹣12．HR＝．∴KH＝HR•cot∠HKR＝＝，∵NK+KH＝NH，∴，解得：t＝，Ⅱ．如解题图（4）2，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MQ中点，过Q点作QH⊥PR，∴∠HPN＝∠A＝∠QRH，四边形PCQH为矩形，∴HQ＝QR•sin∠QRH＝∵PC＝20﹣5t，∴20﹣5t＝，解得t＝．综上所述：当t＝或时，点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点，24．（12分）已知函数y＝（n为常数）（1）当n＝5，①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；②求此函数的最大值．（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．【分析】（1）①将P（4，b）代入y＝﹣x2+x+；②当x≥5时，当x＝5时有最大值为5；当x＜5时，当x＝时有最大值为；故函数的最大值为；（2）将点（4，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，得到n＝，所以＜n＜4时，图象与线段AB只有一个交点；将点（2，2）代入y＝﹣x2+nx+n和y＝﹣x2+x+中，得到n＝2，n＝，所以2≤n＜时图象与线段AB只有一个交点；（3）利用数形结合的思想，分别画出图象解决问题即可：n＞0时，n＞，①如图1中，当点A的纵坐标为4时，构建方程解决问题即可．②如图2中，观察图象可知，当n≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．③如图3中，当点A的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．构建方程即可解决问题．④如图4中，当n≤﹣8时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．【解答】解：（1）当n＝5时，y＝，①将P（4，b）代入y＝﹣x2+x+，∴b＝；②当x≥5时，当x＝5时有最大值为5；当x＜5时，当x＝时有最大值为；∴函数的最大值为；（2）将点（4，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，∴n＝，∴＜n＜4时，图象与线段AB只有一个交点；将点（2，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，∴n＝2，将点（2，2）代入y＝﹣x2+x+中，∴n＝，∴2≤n＜时图象与线段AB只有一个交点；综上所述：＜n＜4，2≤n＜时，图象与线段AB只有一个交点；（3）n＞0时，n＞，函数图象如图实线所示．①如图1中，当点A的纵坐标为4时，则有﹣++＝+＝4时，解得n＝4或n＝﹣8（舍去），观察图象可知：n＝4时，满足条件的点恰好有四个，分别是A，B，C，D．②如图2中，观察图象可知，当n≥8时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．n＜0时，n＜，函数图象如图中实线．③如图3中，当点A的纵坐标为4时，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．则有：﹣++n＝4时，解得n＝﹣2﹣2或n＝﹣2+2（舍弃）④如图4中，当n≤﹣8时，观察图象可知，恰好有四个点满足条件，分别是图中A，B，C，D．综上所述，函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，n≤﹣8或n＝﹣2﹣2或n＝4或n≥8．。

2019年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（共8 小题，每小题 3 分，满分24 分）1．（3 分)如图，数轴上表示﹣2 的点 A 到原点的距离是( )A ．﹣2B．2 C．﹣D．2．（3 分)2019 年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次， 275000000 这个数用科学记数法表示为（）7 A ．27.5×109B．0。

275× 108C．2。

75×10D．2.753．（3 分)如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形, 这个立体图形的主视图是( ）A ．B．C．D．4．(3 分）不等式﹣x+2≥0 的解集为（）A ．x≥﹣2B．x≤﹣2C．x≥ 2D．x≤25．（3 分)《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术"记载：今有共买鸡,人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人买鸡，每合伙人出九钱，会多出11 钱；每人出 6 钱，又差16 钱．问人数、买鸡的?设钱数各是多少人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为( )A ．B．C．D．6．（3 分)如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上,梯子AB 的长是3 米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离 C 为( ）A ．3sinα米B．3cosα米C．米D．米7．（3 分）如图，在△ABC 中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D．使∠ADC ＝2∠B,则符合要求的作图痕迹是（）A ．B．C．D．8．（3 分)如图,在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的顶点A、C 的坐标分别是( 0，3）、（3、0)．∠ACB＝90° ，AC＝2BC,则函数y＝(k＞0，x＞0）的图象经过点B，则 k 的值为（）A ．B．9C．D．二、填空题(共 6 小题,每小题 3 分，满分18 分）9．（3 分）计算： 3 ﹣＝．10．（3 分）分解因式: ab+2b＝．2﹣3x+1＝0 的根的判别式的值是．11．(3 分）一元二次方程x12．（3 分）如图,直线MN ∥PQ，点 A、B 分别在MN、PQ 上,∠ MAB＝33° ．过线段AB上的点 C 作CD ⊥AB 交 PQ 于点 D，则∠ CDB 的大小为度．13．(3 分)如图,有一张矩形纸片ABCD ，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD 折叠，使边 AD 落在边AB 上，点 D 落在点 E 处,折痕为AF；再将△ AEF 沿EF 翻折，AF 与BC相交于点G，则△GCF 的周长为．2﹣2 ax+ (a＞0)与 y 轴交于点A， 14．（3 分）如图，在平面直角坐标系中,抛物线y＝ax过点 A 作 x 轴的平行线交抛物线于点M．P 为抛物线的顶点．若直线OP 交直线AM 于点 B,且 M 为线段 AB 的中点，则 a 的值为．三、解答题（共10 小题，满分78 分）15．（6 分）先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a(a﹣1)，其中a＝．16．(6 分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球,记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字,用画树状图（或列表的)方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．17．（6 分）为建国70 周年献礼，某灯具厂计划加工9000 套彩灯，为尽快完成任务,实际每天加工彩灯的数量是原计划的 1.2 倍，结果提前 5 天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．18．（7 分)如图,四边形ABCD 是正方形,以边AB 为直径作⊙O,点 E 在BC 边上，连结AE 交⊙O 于点 F，连结BF 并延长交CD 于点 G．（1）求证：△ABE≌△ BCG；π）（2)若∠ AEB＝55°， OA＝3，求的长．（结果保留19．（7 分）网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取 20 名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位：时)：3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2。

2019年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．如图，数轴上表示-2的点A到原点的距离是（）A．-2 B．2 C．-D．2．2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为（）A．27.5×107B．0.275×109C．2.75×108D．2.75×1093．右图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（）4．不等式-x+2≥0的解集为（）A．x≥-2 B．x≤-2 C．x≥2D．x≤25．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为（）A．B．C．D．6．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米7．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC=2∠B，则符合要求的作图痕迹是（）8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别为（0，3）、（3，0）．∠ACB=90°，AC=2BC，函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（）A．B．9 C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．计算：3-=10．分解因式：ab+2b=11．一元二次方程x2-3x+1=0根的判别式的值为．12．如图，直线MN∥PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB=33°．过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为度．13．如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD 落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线O P交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．先化简，再求值：（2a+1）2-4a（a-1），其中a=．16．一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”、“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．17．为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯．为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．18．如图，四边形ABCD是正方形．以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G．（1）求证：△ABE≌△BCG．（2）若∠AEB=55°，OA=3，求的长（结果保留π）19．网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习时间的调查，数据如下（单位：时）：3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8 2.5 2.2 3.54 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4整理上面的数据，得到表格如下：样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中的中位数m的值为，众数n的值为（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间（3）已知该校七年级有200名学生，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数．20．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG=90°．21．已知A、B两地之间有一条长270千米的公路．甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）乙车的速度为千米/时，a=，b=（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．（3）当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．22．教材呈现：下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内空．例2如图23.4.4，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD，CE相交于点G．求证：证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完事的证明过程．结论应用：在中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．（1）如图②，若为正方形，且AB=6，则OF的长为（2）如图③，连结DE交AC于点G．若四边形OFEG的面积为，则的面积为23．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15．点P从点A出发，沿AC向终点C 运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P 到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作PQMN．设PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S．点P的运动时间为t秒．（1）①AB的长为②PN的长用含t的代数式表示为（2）当PQMN为矩形时，求t的值．（3）当PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．（4）当过点P且平行于BC的直线经PQMN一边中点时，直接写出t的值．24．已知函数y=（1）当n=5，①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值．②求此函数的最大值．（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，求n的取值范围．2019年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．如图，数轴上表示-2的点A到原点的距离是（）A．-2 B．2 C．-D．解：数轴上点A表示数为-2，-2到原点距离为2故选B2．2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为（）A．27.5×107B．0.275×109C．2.75×108D．2.75×109解：科学记数法为：把一个数表示成a与10的n次幂的相乘的形式（1≤a＜10，n为整数），故275000000用科学记数法表示为2.75×108故选C3．右图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（）解：如图所示，主视观看第二列有两个正方形，第一列右上有一个正方形，故观察为．故选A．4．不等式-x+2≥0的解集为（）A．x≥-2 B．x≤-2 C．x≥2D．x≤2解：解不等式-x+2≥0，移项可得-x≥-2，再系数化1，两边同时除以-1（注意改变不等号方向），得x≤2，故选D．5．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为（）A．B．C．D．解：根据题意，人数为x，鸡的钱数为y，当每人出9钱时，多出11钱，则可列方程9x-11=y，当每人出6钱时，差16钱，则可列方程6x+16=y，则解x，y可列方程组为．故选D6．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米解：如图所示：α对应角为∠BAC，则sinα=，已知AB=3米，则BC=sinα，AB=3sinα米故选A7．如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC=2∠B，则符合要求的作图痕迹是（）解：由题意作图∠ADC=2∠BA、作图痕迹，为点D在线段AC垂直平分线上，能使∠A=∠ACD，不能使∠ADC=2∠B，故舍掉；B、作图痕迹为点D在线段BC垂直平分线上，能使∠B=∠DCB，如图∠B+∠DCB=∠ACD，∴∠ADC=2∠BC、作图痕迹为点D为AB中点，故不能使∠ADC=2∠B（舍）D选项（舍）故选B如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别为（0，3）、（3，0）．∠ACB=90°，AC=2BC，函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（）A．B．9 C．D．解：如图所示，AC坐标分别为（0，3），（3，0）故∠AOC为等腰直角三角形∠ACO=45°，∴∠ACB=45°，过点B作BD⊥x轴，交x轴于点D，∴∠BDC=90°，∠CBD=45°，∴∠BDC为等腰直角三角形，∴∠AOC=∠BDC，∠ACO=∠BCD∴△AOC∽△BDC∴=又∵AC=2BC，∴AO=2BD∴BD=∴CO=∴D坐标为（，0），B坐标为（，）∵点B在函数y=（k＞0，x＞0）图象上将点B坐标（，）代入y=中，得k=，故选D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．计算：3-=解：根据二次根式加减法则故答案为：2．10．分解因式：ab+2b=解：利用乘法结合律，提取出b，得b（a+2）故答案为：b（a+2）11．一元二次方程x2-3x+1=0根的判别式的值为．解：∵a=1，b=﹣3，c=1，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=5，故答案为：5．12．如图，直线MN∥PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB=33°．过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为度．解：∵MN∥PQ∴∠ABD=∠MAB=33°∵CD⊥AB∴∠DCB=90°∴∠ABD+∠CDB=180°-90°=90°∴∠CDB=90°-33°=57°故答案为：57°13．如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD 落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为解：由图可知，FC=EB=AB-AD=8-6=2，∠CFG=45°∴GC=FC=2，∴FG=FC=2∴△GCF周长为2+2+2=4+2；故答案为：4+214．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A 作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线O P交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为解：将x=0代入原式得y=，∴A（0，）将y=代入得ax2-2ax+=，ax2-2ax=0，x=2．∴M（2，）∵M为线段AB中点，∴B（4，）代入y=kx中求得OB解析式为y=x，将x=1代入得P（1，）将P代入抛物线解析式中得a=2．故答案为：2．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．先化简，再求值：（2a+1）2-4a（a-1），其中a=．解：原式=4a2+4a+1-4a2+4a=8a+1将a=代入原式=×8+1=216．一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”、“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字．用画树状图（或列表）的方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．解：树状图如下：两次摸出相同小球的情况共有5种，故答案为17．为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯．为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．解：设原计划每天加工这种彩灯x套，则实际每天加工这种彩灯1.2x套+5=51800=6xx=300经检验x=300是方程的根．答：原计划每天加工这种彩灯300套．18．如图，四边形ABCD是正方形．以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O于点F，连结BF并延长交CD于点G．（1）求证：△ABE≌△BCG．（2）若∠AEB=55°，OA=3，求的长（结果保留π）（1）证明：∵F在圆上，∴AF⊥BF，∠BAF+∠ABF=90°，∠ABF+∠CBF=90°∴∠BAF+=∠CBF，∵∠FBE+∠FEB=90°，∠FBE+∠BGC=90°∴∠FEB=∠BGC，在△ABE和△BGC中∴△ABE≌△BCE（ASA）（2）解：连接OF，则OF=OB，由（1）可得∠ABF=∠AEB=∠BGC=55°∴∠BFO=55°，∠BOF=70°∴=×2π×3=π19．网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习时间的调查，数据如下（单位：时）：3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8 2.5 2.2 3.54 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4整理上面的数据，得到表格如下：样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中的中位数m的值为，众数n的值为（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间（3）已知该校七年级有200名学生，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数．解：将调查数据由小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3,3.3，3.5，4．（1）则中位数m为第10与,11两个数的平均数为=2.5，众数n为出现最多的数为2.5．（2）由题中表格可知平均数为2.4，即该校七年级学生平均每人一周网上学习时间为2.4小时，则平均每人一学期学生时间为2.4×18=43.2时．（3）由调查可知，每周上网学习超过2小时的学生占=，则200名学生中每周上网超过2小时的学生人数估计为200×=130人．故答案为：（1）2.5；2.5．20．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG=90°．解：（1）因小正方形边长为1，已知AB=3，则要使△ABM面积为6，只要以AB为底，高为4即可，如图，M在直线NP上任意一点均可．（2）CD竖向距离为3，可看为以水平方向为底，竖直方向为高的三角形一边，高为3，当底为4时，面积就为6，如图（答案不唯一）（3）以线段EF为边画一个四边形，使其面积为9，我们已知最规则面积为9的四边形是边长为3的正方形，但E、F不是网格上的边，我们可用割补法来求出我们想要图形，如图所示，S△FGI=S△EJF，则S四边形EFGH=S四边形JFIH=921．已知A、B两地之间有一条长270千米的公路．甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）乙车的速度为千米/时，a=，b=（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．（3）当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．解：（1）共270千米，2小时两车相遇，即两车共走270千米，V总=270÷2=135（km/h）∵V甲=60km/h，∴V2=V总-V甲=135-60=75km/ha点为乙车到A地时的时间，即t乙==270÷75=3.6b点为甲车到B地的时间，即t甲==270÷60=4.5（2）设函数关系式为y=kx+b，当2＜x≤3.6时，斜率k为两车速度和135∴y=135x+b，又有x=2时，y=0，∴b=-270，∴y=135x-270当3.6＜x≤4.5时，斜率k为甲车速度为60，∴y=60x+b，又有x=4.5时，y=270，∴b=0，∴y=60x，综上所述，（3）甲距B地70千米处时，t==，当x=时，y=135×-270=180km∴甲乙两车之间路程为180千米．故答案为：（1）75；3.6；4.522．教材呈现：下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内空．例2如图23.4.4，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD，CE相交于点G．求证：证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完事的证明过程．结论应用：在中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．（1）如图②，若为正方形，且AB=6，则OF的长为（2）如图③，连结DE交AC于点G．若四边形OFEG的面积为，则的面积为解：教材呈现：连接ED∵E、D分别为AB、BC中点∴E、D为三角形AB的中位线∴ED∥AC，且ED=AC，而由于ED∥AC∴∠DEC=∠ECA又∠EGD=∠AGC∴△EGD∽△CGA∴又EC=EG+GC，AD=AG+AD∴结论应用：（1）在△ABC中，O为AC中点，E为BC中点，故在△ABC中，F点为中线的交点，即，而AB=AC=6，故AC=6，BO=3，OF=（2）连接OE，OE为△OBC中线，故S△OBE=S△OEC，在△ABC中，可得OF=OB，而在△OEB中，由于△OEB与△OEF等高，故S△OFE：S△OEB=OF：OB=1：3同理S△OGE：S△OEC=1：3，故S△FEG：S△OBC=1：3，故S△FEG：S ABCD=1：12故S ABCD=×12=6故答案为：（1）；（2）623．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15．点P从点A出发，沿AC向终点C 运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P 到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作PQMN．设PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S．点P的运动时间为t秒．（1）①AB的长为②PN的长用含t的代数式表示为（2）当PQMN为矩形时，求t的值．（3）当PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．（4）当过点P且平行于BC的直线经PQMN一边中点时，直接写出t的值．解：（1）①由于△ABC为直角三角形，由勾股定理得AB==25②由于PN⊥AB，故∠PNA=90°=∠C，即∠A=∠A，故△ANP∽△ACB故∴PN=3t（2）由于PNMQ为矩形，PN⊥NM，故M点落在AB上，而PN=4t，△QBM∽△ABC，故QM=（15-5t）QM=PN得t=（3）在运动过程中，起始为PNQM的平行四边形是阴影部分（图一）后，M总落在AB上，形成矩形，后M总落在三角形处，阴影部分为梯形（图二），后Q达到B点继续移动，阴影部分为三角形（图三），而题意及（2）得分总为t=和t=3，求前两种①当0＜t＜时，以PN为底，延长QM与O，NO为高，由PN=3t，PA=5t，∴AN=4t，而△QOB∽△ACB，故QB=（15-5t），OB=（15-5t）S=PN·NO=PN×（AB-AN-OB）=3t×[25-4t-（15-5t）]=48t-3t2当＜t＜3时，设QM与AB交于O，QO=（15-5t）S=（PN+QO）×NO=[×5t+（15-5t）]×[25-4t-（15-5t）]=（16-t）（12-t）=-14t+96（4）作PH∥CB，则H可能在NM上或QM上当H在NM上，则NH=HM，过N作NR∥CB，MS∥BC设PS=a，设SM与PQ交点为O，易得O为RQ中点，由平行线等分线段定理得，RP=RS=SC=a而NR∥CB，∴NR⊥AC，易得△RPN∽△NPN；△ARN∽△ANP，∴AR=a，而解得t=＜4成立当H在QM上，则QH=HM，设RS=a，由上一种情况，我们得到RS=SP=PC=a，在△PRM 中，RN=a，故AP= a∴∴t=＜4成立故答案为：（1）①25；②3t．24．已知函数y=（1）当n=5，①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值．②求此函数的最大值．（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，求n的取值范围．解：（1）当n=5时，y=①由于4＜5，故b=（-42+5×4+5）=②y=当x≥5时，x=5最大y=5当x＜5时，x=最大y=＞5，故最大值为（2）①首先以A点为边界，设当x≥n时的图形如α当x＜n时为β如图一：此时函数图象与线段AB恰好有一个交点，交点在α上，随着n的不断增大，图象逐渐右移直至β与B相交．如图二，将（2，2）分别代入α，β得n=2，n=．图一情况下，恰有一个交点，所以n可以取到2，而图二情况下，恰有两个交点，故n不能取到综上2≤n＜②n从图二的情况开始继续不断增大的一段时间内函数图象与线段一直有两个交点，直到如图三，此时β与线段有一个交点，而α刚要离开线段．在此之后直至运动至图四情况．β刚要离开线段AB在此期间之内，函数图象与线段AB一直只有一个交点，图三中将（4，2）代入α得n=，图四中将（4，2）代入β得n=4，注意图三时恰有两个交点，因此n＞，而在图四情况下，恰有一个交点，故n≤4综上＜n≤4．综上所述n的取值范围是2≤n＜或＜n≤4．（3）当有4个点到x轴的距离等于4，即函数图象与直线y=4和直线y=-4恰有四个交点．①设x＜n时图象为β，x≥n时图象为α．当n很小时函数图象与y=±4一直有4个交点，不断增大n，直到如图五情况，此时β刚要经过y=-4，之后的一段时间内，函数与y=±4有5个交点，此时n2+·n+=-4，n=-8故n≤-8时恒成立．②在图五之后的一段时间内，函数与y=±4共有5个交点．直到运动到图六情况α的顶点落在y=4上，即+n=4，∴n=-2-2（舍n＞0解）。

数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页）绝密★启用前吉林省长春市2019年中考数学试卷数 学一、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分) 1.如图,数轴上表示2-的点A 到原点的距离是( )A .2-B .2C .12-D .122.2019年春运前四日,全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275 000 000人次,275 000 000这个数用科学记数法表示为( )A .727.510⨯B .90.27510⨯C .82.7510⨯D .92.7510⨯3.如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形,这个立体图形的主视图是 ( )AB C D4.不等式20x -+≥的解集为( )A .2x -≥B .2x -≤C .2x ≥D .2x ≤5.《九章算术》是中国古代重要的数学著作,其中“盈不足术”记载：今有共买鸡,人出九,盈十一；人出六,不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡,每人出九钱,会多出11钱；每人出6钱,又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ,买鸡的钱数为y ,可列方程组为( )A .911616x y x y +=⎧⎨+=⎩B .911616x y x y -=⎧⎨-=⎩C .911616x y x y +=⎧⎨-=⎩D .911616x y x y -=⎧⎨+=⎩6.如图,一把梯子靠在垂直水平地面的墙上,梯子AB 的长是3米.若梯子与地面的夹角为α,则梯子顶端到地面的距离C 为 ( )A .3sin α米B .3cos α米C .3sin α米D .3cos α米 7.如图,在ABC △中,ACB ∠为钝角.用直尺和圆规在边AB 上确定一点D .使2ADC B ∠=∠,则符合要求的作图痕迹是 ( )ABCD8.如图,在平面直角坐标系中,Rt ABC △的顶点A 、C 的坐标分别是(0,3)、(3,0).90ACB ∠=︒,2AC BC =,则函数k(0,0)xy k x =＞＞的图象经过点B ,则k 的值为( )A .92B .2C .278D .274-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第3页（共26页） 数学试卷 第4页（共26页）二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分) 9.计算：= . 10.分解因式：2ab b += .11.一元二次方程2310x x -+=的根的判别式的值是 .12.如图,直线MN PQ ∥,点A 、B 分别在MN 、PQ 上,33MAB ∠=︒.过线段AB 上的点C 作CD AB ⊥交PQ 于点D ,则CDB ∠的大小为 .13.如图,有一张矩形纸片ABCD ,8AB =,6AD =.先将矩形纸片ABCD 折叠,使边AD 落在边AB 上,点D 落在点E 处,折痕为AF ；再将AEF △沿EF 翻折,AF 与BC 相交于点G ,则GCF △的周长为 .14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线282(0)3y ax ax a =-+＞与y 轴交于点A ,过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点M .P 为抛物线的顶点.若直线OP 交直线AM 于点B ,且M 为线段AB 的中点,则a 的值为 .三、解答题(共10小题,满分78分) 15.(本小题满分6分)先化简,再求值：2(21)4(1)a a a +--,其中18a =.16.(本小题满分6分)一个不透明的口袋中有三个小球,每个小球上只标有一个汉字,分别是“家”、“家”、“乐”,除汉字外其余均相同.小新同学从口袋中随机摸出一个小球,记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字,用画树状图(或列表的)方法,求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率.17.(本小题满分6分)为建国70周年献礼,某灯具厂计划加工9 000套彩灯,为尽快完成任务,实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍,结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量.18.(本小题满分7分)如图,四边形ABCD 是正方形,以边AB 为直径作O ⊙,点E 在BC 边上,连结AE 交O ⊙于点F ,连结BF 并延长交CD 于点G . (1)求证：ABE BCG △≌△；(2)若55AEB ∠=︒,3OA =,求»BF的长.(结果保留π)数学试卷 第5页（共26页） 数学试卷 第6页（共26页）19.(本小题满分7分)网上学习越来越受到学生的喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况,据如下(单位：时)：根据以上信息,解答下列问题：(1)上表中的中位数m 的值为 ,众数n 的值为 .(2)用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习的时间.(3)已知该校七年级学生有200名,估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数.20.(本小题满分7分)图①、图②、图③均是66⨯的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为1,点A 、B 、C 、D 、E 、F 均在格点上.在图①、图②、图③中,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上,不要求写出画法. (1)在图①中以线段AB 为边画一个ABM △,使其面积为6. (2)在图②中以线段CD 为边画一个CDN △,使其面积为6.(3)在图③中以线段EF 为边画一个四边形EFGH ,使其面积为9,且90EFG ∠=︒.图①图②图③-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________21.(本小题满分8分)已知A、B两地之间有一条270千米的公路,甲、乙两车同时出发,甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地,乙车从B地沿此公路匀速开往A地,两车分别到达目的地后停止.甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车的行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示.(1)乙车的速度为千米/时,a=,b=.(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式.(3)当甲车到达距B地70千米处时,求甲、乙两车之间的路程.22.(本小题满分9分)教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.例2 如图,在ABC△中,D,E分别是边BC,AB的中点,AD,CE相交于点G,求证：13GE GDCE AD==.证明：连结ED.请根据教材提示,结合图①,写出完整的证明过程.结论应用：在ABCDY中,对角线AC、BD交于点O,E为边BC的中点,AE、BD交于点F.(1)如图②,若ABCDY为正方形,且6AB=,则OF的长为.(2)如图③,连结DE交AC于点G,若四边形OFEG的面积为12,则ABCDY的面积为.图①图②图③数学试卷第7页（共26页）数学试卷第8页（共26页）数学试卷 第9页（共26页） 数学试卷 第10页（共26页）23.(本小题满分10分)如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,20AC =,15BC =.点P 从点A 出发,沿AC 向终点C 运动,同时点Q 从点C 出发,沿射线CB 运动,它们的速度均为每秒5个单位长度, 点P 到达终点时,P 、Q 同时停止运动.当点P 不与点A 、C 重合时,过点P 作PN AB ⊥于点N ,连结PQ ,以PN 、PQ 为邻边作PQMN Y .设PQMN Y 与ABC △重叠部分图形的面积为S ,点P 的运动时间为t 秒. (1)①AB 的长为 ；②PN 的长用含t 的代数式表示为 . (2)当PQMN Y 为矩形时,求t 的值；(3)当PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为四边形时,求S 与t 之间的函数关系式； (4)当过点P 且平行于BC 的直线经过PQMN Y 一边中点时,直接写出t 的值.24.(本小题满分12分)已知函数22,()1,()222x nx n x n y n nx x x n ⎧-++⎪=⎨-++⎪⎩≥＜(n 为常数) (1)当n ＝5,①点(4,)P b 在此函数图象上,求b 的值； ②求此函数的最大值.(2)已知线段AB 的两个端点坐标分别为(2,2)A 、(4,2)B ,当此函数的图象与线段AB 只有一个交点时,直接写出n 的取值范围.(3)当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4,求n 的取值范围.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷 第11页（共26页） 数学试卷 第12页（共26页）吉林省长春市2019年中考数学试卷数学答案解析一、选择题 1.【答案】B【解析】解：数轴上表示2-的点A 到原点的距离是2. 故选：B .【考点】绝对值的定义. 2.【答案】C【解析】解：将275 000 000用科学记数法表示为：82.7510⨯. 故选：C .【考点】科学记数法. 3.【答案】A【解析】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有1个正方形. 故选：A . 【考点】三视图. 4.【答案】D【解析】解：移项得：2x --≥， 系数化为1得：2x ≤. 故选：D .【考点】合并同类项. 5.【答案】D【解析】解：设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为：911616x yx y -=⎧⎨+=⎩.故选：D .【考点】列方程解决问题. 6.【答案】A【解析】解：由题意可得：sin 3BC BCAB α==， 故3sin ()BC m α=. 故选：A .【考点】锐角三角函数关系. 7.【答案】B【解析】解：2ADC B ∠=∠∵且ADC B BCD ∠=∠+∠，B BCD ∠=∠∴， DB DC =∴，∴点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点， 故选：B .【考点】线段的中垂线的性质. 8.【答案】D【解析】解：如图，过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ， ∵A 、C 的坐标分别是(0,3)、(3,0)， ∴3OA OC ==，在Rt AOC △中，AC =， 又2AC BC =∵，2BC =∴ 又90ACB ∠=︒∵，45OAC OCA BCD CBD ∠=∠=︒=∠=∠∴，3222CD BD ===∴，39322OD =+=∴93,22B ⎛⎫⎪⎝⎭∴代入k y x =得：274k =，故选：D .数学试卷 第13页（共26页） 数学试卷 第14页（共26页）【考点】直角坐标系. 二.填空题 9.【答案】【解析】解：原式= 故答案为：【考点】合并同类二次根式. 10.【答案】(2)b a +【解析】解：2(2)ab b b a +=+. 故答案为：(2)b a +. 【考点】分解因式. 11.【答案】5【解析】解：1,3a b ==-∵，1c =，224(3)4115b ac ∆=-=--⨯⨯=∴.故答案为：5. 【考点】判别式. 12.【答案】57【解析】解：∵直线MN PQ ∥， ∴33MAB ABD ∠=∠=︒∴，CD AB ⊥∵， 90BCD ∠=︒∴，903357CDB ∠=︒-︒=︒∴.故答案为：57.【考点】平行线的性质，三角形内角和定理. 13.【答案】4+【解析】解：由折叠的性质可知，45DAF BAF ∠=∠=︒，6AE AD ==∴，2EB AB AE =-=∴，由题意得，四边形EFCB 为矩形，2FC ED ==∴， AB FC ∵∥，45GFC A ∠=∠=︒∴， 2GC FC ==∴，由勾股定理得，GF =， 则GCF △的周长4GC FC GF =++=+ 故答案为：4+【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，周长公式. 14.【答案】2【解析】解：∵抛物线282(0)3y ax ax a =-+＞与y 轴交于点A ，80,3A ⎛⎫⎪⎝⎭∴，抛物线的对称轴为1x =.∴顶点P 坐标为8(1,)3a -，点M 坐标为8(2,)3.∵点M 为线段AB 的中点， ∴点B 坐标为8(4,)3设直线OP 解析式为y kx =(k 为常数，且0k ≠)，将点8(1,)3P a -代入得83a k -=，83y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴.将点8(4,)3B 代入得88()433a =-⨯，解得2a =.数学试卷 第15页（共26页） 数学试卷 第16页（共26页）故答案为：2.【考点】抛物线解析式，对称性. 三、解答题 15.【答案】2【解析】解：原式224414481a a a a a =++-+=+81a =+，当18a =时，原式812a =+=.【考点】完全平方公式，单项式乘以多项式.16.【答案】59【解析】解：画树状图如图：共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，∴小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为59.【考点】概率. 17.【答案】300【解析】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x 套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x 套，由题意得：9000900051.2x x -=，解得：300x =，经检验，300x =是原方程的解，且符合题意.答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套. 【考点】列方程，解方程.18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，AB 为O ⊙的直径，90ABE BCG AFB ∠=∠=∠=︒∴，90BAF ABF ∠+∠=︒∴，90ABF EBF ∠+∠=︒，EBF BAF ∠=∠∴，在ABE △与BCG △中，EBF BAF AB BC ABE BCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABE BCG ASA ∴△≌△；(2)解：如图，连接OF ，90ABE AFB ∠=∠=︒∵，55AEB ∠=︒ ， 905535BAE ∠=︒-︒=︒∴，270BOF BAE ∠=∠=︒∴， 3OA =∵，∴»BF的长70π37π1806⨯==g .【解析】(1)根据四边形ABCD 是正方形，AB 为O ⊙的直径，得到90ABE BCG AFB ∠=∠=∠=︒，根据余角的性质得到EBF BAF ∠=∠，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；(2)连接OF ，根据三角形的内角和得到905535BAE ∠=︒-︒=︒，根据圆周角定理得到270BOF BAE ∠=∠=︒，根据弧长公式即可得到结论.【考点】正方形的性质，圆的性质，余角的性质，余角的性质，三角形的内角和，圆周角定理，弧长公式.数学试卷 第17页（共26页） 数学试卷 第18页（共26页）19【答案】(1) 2.5 2.5(2)43.2(小时) (3)130(人)【解析】解：(1)从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，∴中位数m 的值为2.5 2.52.52+=，众数n 为2.5； 故答案为：2.5，2.5. (2)2.41843.2⨯=(小时)，答：估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习的时间为43.2小时.(3)1320013020⨯=(人)， 答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人. 【考点】中位数，众数，平均数.20.【答案】解：(1)如图①所示，ABM △即为所求； (2)如图②所示，CDN △即为所求； (3)如图③所示，四边形EFGH 即为所求；图①图②图③【解析】(1)利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形； (2)利用三角形面积求法得出答案；(3)根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案.21.【答案】解：(1)乙车的速度为：(270602)275-⨯÷=千米/时，27075 3.6a =÷=，27060 4.5b =÷=.故答案为：75；3.6；4.5. (2)60 3.6216⨯=(千米)，当2 3.6x ＜≤时，设11y k x b =+，根据题意得：1111203.6216k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11135270k b =⎧⎨=-⎩， 135270(2 3.6)y x x =-∴＜≤；当6 4.6x ＜≤时，设60y x =，135270(2 3.6)60(3.6 4.5)x x y x x -⎧=⎨⎩＜≤＜≤∴；(3)甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间为：20(27070)606-÷=(小时)， 此时甲、乙两车之间的路程为：201352701806⨯-=(千米). 答：当甲车到达距B 地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米.【解析】(1)根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a 、b 的值； (2)运用待定系数法解得即可；(3)求出甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间，代入(2)的结论解答即可. 22.【答案】证明：如图①，连结ED .∵在ABC △中，D ，E 分别是边BC ，AB 的中点， ∴DE AC ∥，12DE AC =， ∴DEG ACG △∽△，2CG AG AC GE GD DE===∴， 3CG GE AG GD GE GD ++==∴，13GE GD CE AD ==∴； 结论应用： (1)解：如图②.∵四边形ABCD 为正方形，E 为边BC 的中点，对角线AC 、BD 交于点O ，数学试卷 第19页（共26页） 数学试卷 第20页（共26页）AD BC ∴∥，1122BE BC AD ==，12BO BD =，∴BEF DAF △∽△，12BF BE DF AD ==∴， 12BF DF =∴，13BF BD =∴，12BO BD =∵，111236OF OB BF BD BD BD =-=-=∴，∵正方形ABCD 中，6AB =，BD =∴，OF =∴；(2)解：如图③，连接OE . 由(1)知，13BF BD =，16OF BD =， 2BF OF=∴. BEF ∵△与OEF △的高相同， BEF ∴△与OEF △的面积比2BFOF==， 同理，CEG △与OEG △的面积比2=，∴CEG △的面积BEF +△的面积2=(OEG △的面积OEF +△的面积)1212=⨯=， BOC ∴△的面积32=， ∴ABCD Y 的面积3462=⨯=.故答案为6.图①图②图③【解析】教材呈现：如图①，连结ED .根据三角形中位线定理可得DE AC ∥，12DE AC =，那么DEG ACG △∽△，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明13GE GD CE AD ==； 结论应用：(1)如图②.先证明BEF DAF △∽△，得出12BF DF =，那么13BF BD =，又12BO BD =，可得16OF OB BF BD =-=，由正方形的性质求出BD =即可求出OF = (2)如图③，连接OE .由(1)易证2BFOF=.根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出BEF △与OEF △的面积比2BFOF==，同理，CEG △与OEG △的面积比= 2，那么C E G △的面积BEF +△的面积= 2(OEG △的面积OE F +△的面积)1212=⨯=，所以BOC △的面积32=，进而求出□ABCD 的面积3462=⨯=.23.【答案】(1)解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，20AC =，15BC =.25AB ==∴.3sin 5CAB ∠=∴，由题可知5AP t =，3sin 535PN AP CAB t t =∠==g g ∴.故答案为：①25；②3t .(2)当PQMN Y 为矩形时，90NPQ ∠=︒， ∵PN AB ⊥， ∴PQ AB ∥，数学试卷 第21页（共26页） 数学试卷 第22页（共26页）CP CQCA BC=∴， 由题意可知5AP CQ t ==，205CP t =-，20552015t t-=∴， 解得127t =，即当PQMN Y 为矩形时127t =. (3)当PQMN Y ABC △重叠部分图形为四边形时，有两种情况， Ⅰ.如解图(3)1所示.▱PQMN 在三角形内部时.延长QM 交AB 于G 点， 由(1)题可知：4cos sin 5A B ==，3cos 5B =，5AP t =，155BQ t =-，3PN QM t ==. ∴cos 4AN AP A t ==g ∴，cos 93BG BQ B t ==-g ，sin 124QG BQ B t ==-g ， ∵PQMN Y 在三角形内部时.有0QM QG ＜≤，03124t t -∴＜≤，1207t ∴＜≤.254(93)16NG t t t =---=-∴.∴当1207t ∴＜≤时，PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为PQMN Y ，S 与t 之间的函数关系式为23(16)348S PN NG t t t t ==-=-+g g .Ⅱ.如解图(3)2所示.当0QG QM ＜＜，□PQMN 与ABC △重叠部分图形为梯形PQMG时，即：0243t t -＜＜，解得：1237t ≤＜， PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为梯形PQMG 的面积2111()(16)(3124)1496222S NG PN QG t t t t t =+=-+-=-+.综上所述：当1207t ∴＜≤时，2348S t t =-+.当1237t ≤＜，2114962S t t =-+.(4)当过点P 且平行于BC 的直线经过□PQMN 一边中点时，有两种情况，Ⅰ.如解题图(4)1，PR BC ∥，PR 与AB 交于K 点，R 为MN 中点，过R 点作RH AB ⊥，PKN HKR B ∠=∠=∠∴，39cot 344tNK PN PKN t =∠==g g ，NR MR =∵，HR PN QM ∥∥，1(16)2NH GH t ==-∴，12HR GM =，3(124)712GM QM QG t t t =-=--=-∴，11(712)22HR GM t ==-.133cot (712)(712)248KH HR HKR t t =∠=-⨯=-g ∴，NK KH NH +=∵，931(712)(16)482t t t +-=-∴， 解得：10043t =，Ⅱ.如解题图(4)2，PR BC ∥，PR 与AB 交于K 点，R 为MQ 中点，过Q 点作QH PR ⊥，HPN A QRH ∠=∠=∠∴，四边形PCQH 为矩形，339sin 2510t tHQ QR QRH =∠==g g ∴205PC t =-∵，920510tt -=∴，解得20059t =.综上所述：当10043t =或20059时，点P 且平行于BC 的直线经过□PQMN 一边中点.数学试卷 第23页（共26页） 数学试卷 第24页（共26页）【解析】(1)根据勾股定理即可直接计算AB 的长，根据三角函数即可计算出PN . (2)当PQMN Y 为矩形时，由PN AB ⊥可知PQ AB ∥，根据平行线分线段成比例定理可得CP CQCA BC=，即可计算出t 的值. (3)当PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ.PQMN Y 在三角形内部时，Ⅱ.PQMN Y 有部分在外边时.由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积.(4)当过点P 且平行于BC 的直线经过PQMN Y 一边中点时，有两种情况，Ⅰ.过MN 的中点，Ⅱ.过QM 的中点.分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算t 值.【考点】勾股定理，三角函数，平行线分线段成比例定理，解三角形. 24.【答案】解：(1)当n ＝5时， 2255(5)155(5)222x x x y x x x ⎧-++⎪=⎨-++⎪⎩≥＜， ①将(4,)P b 代入2155222y x x =-++， 92b =∴； ②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x ＜时，当52x =时有最大值为458； ∴函数的最大值为458；(2)将点(4,2)代入2y x nx n =-++中，185n =∴， 1845n ∴＜≤时，图象与线段AB 只有一个交点； 将点(2,2)代入2y x nx n =-++中， ∴2n =，将点(2,2)代入21222n ny x x =-++中， ∴83n =， 823n ∴≤＜时图象与线段AB 只有一个交点；综上所述：1845n ＜≤，823n ≤＜时，图象与线段AB 只有一个交点；(3)当x n =时，22112222n n y n n =-++=，n42＞，8n ∴＞；当2nx =时，182n y =+，1n 482+≤，312n ∴≥，当x n =时，22y n n n n =-++=，4n ＜；∴函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，8n ＞或3142n ≤＜. 【解析】(1)①将(4,)P b 代入2155222y x x =-++；②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x ＜时，当52x =时有最大值为458；故函数的最大值为458；(2)将点(4,2)代入2y x nx n =-++中，得到185n =，所以1845n ＜≤时，图象与线段AB只有一个交点；将点(2,2)代入2y x nx n =-++和21222n ny x x =-++中，得到2n =，83n =，所以823n ≤＜时图象与线段AB 只有一个交点；(3)当x n =时，n 42＞，得到8n ＞；当2n x =时，1n 482+≤，得到312n ≥，当x n =时，22n＜.=-++=，4y n n n n数学试卷第25页（共26页）数学试卷第26页（共26页）。

数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页）绝密★启用前吉林省长春市2019年中考数学试卷数 学一、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分) 1.如图,数轴上表示2-的点A 到原点的距离是( )A .2-B .2C .12-D .122.2019年春运前四日,全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275 000 000人次,275 000 000这个数用科学记数法表示为( )A .727.510⨯B .90.27510⨯C .82.7510⨯D .92.7510⨯3.如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形,这个立体图形的主视图是 ( )AB C D4.不等式20x -+≥的解集为( )A .2x -≥B .2x -≤C .2x ≥D .2x ≤5.《九章算术》是中国古代重要的数学著作,其中“盈不足术”记载：今有共买鸡,人出九,盈十一；人出六,不足十六.问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡,每人出九钱,会多出11钱；每人出6钱,又差16钱.问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x ,买鸡的钱数为y ,可列方程组为( )A .911616x y x y +=⎧⎨+=⎩B .911616x y x y -=⎧⎨-=⎩C .911616x y x y +=⎧⎨-=⎩D .911616x y x y -=⎧⎨+=⎩6.如图,一把梯子靠在垂直水平地面的墙上,梯子AB 的长是3米.若梯子与地面的夹角为α,则梯子顶端到地面的距离C 为 ( )A .3sin α米B .3cos α米C .3sin α米D .3cos α米 7.如图,在ABC △中,ACB ∠为钝角.用直尺和圆规在边AB 上确定一点D .使2ADC B ∠=∠,则符合要求的作图痕迹是 ( )ABCD8.如图,在平面直角坐标系中,Rt ABC △的顶点A 、C 的坐标分别是(0,3)、(3,0).90ACB ∠=︒,2AC BC =,则函数k(0,0)xy k x =＞＞的图象经过点B ,则k 的值为( )A .92B .2C .278D .274-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第3页（共26页） 数学试卷 第4页（共26页）二、填空题(共6小题,每小题3分,满分18分) 9.计算：= . 10.分解因式：2ab b += .11.一元二次方程2310x x -+=的根的判别式的值是 .12.如图,直线MN PQ ∥,点A 、B 分别在MN 、PQ 上,33MAB ∠=︒.过线段AB 上的点C 作CD AB ⊥交PQ 于点D ,则CDB ∠的大小为 .13.如图,有一张矩形纸片ABCD ,8AB =,6AD =.先将矩形纸片ABCD 折叠,使边AD 落在边AB 上,点D 落在点E 处,折痕为AF ；再将AEF △沿EF 翻折,AF 与BC 相交于点G ,则GCF △的周长为 .14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线282(0)3y ax ax a =-+＞与y 轴交于点A ,过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点M .P 为抛物线的顶点.若直线OP 交直线AM 于点B ,且M 为线段AB 的中点,则a 的值为 .三、解答题(共10小题,满分78分) 15.(本小题满分6分)先化简,再求值：2(21)4(1)a a a +--,其中18a =.16.(本小题满分6分)一个不透明的口袋中有三个小球,每个小球上只标有一个汉字,分别是“家”、“家”、“乐”,除汉字外其余均相同.小新同学从口袋中随机摸出一个小球,记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字,用画树状图(或列表的)方法,求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率.17.(本小题满分6分)为建国70周年献礼,某灯具厂计划加工9 000套彩灯,为尽快完成任务,实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍,结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量.18.(本小题满分7分)如图,四边形ABCD 是正方形,以边AB 为直径作O ⊙,点E 在BC 边上,连结AE 交O ⊙于点F ,连结BF 并延长交CD 于点G . (1)求证：ABE BCG △≌△；(2)若55AEB ∠=︒,3OA =,求»BF的长.(结果保留π)数学试卷 第5页（共26页） 数学试卷 第6页（共26页）19.(本小题满分7分)网上学习越来越受到学生的喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况,据如下(单位：时)：根据以上信息,解答下列问题：(1)上表中的中位数m 的值为 ,众数n 的值为 .(2)用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习的时间.(3)已知该校七年级学生有200名,估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数.20.(本小题满分7分)图①、图②、图③均是66⨯的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,小正方形的边长为1,点A 、B 、C 、D 、E 、F 均在格点上.在图①、图②、图③中,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图,所画图形的顶点均在格点上,不要求写出画法. (1)在图①中以线段AB 为边画一个ABM △,使其面积为6. (2)在图②中以线段CD 为边画一个CDN △,使其面积为6.(3)在图③中以线段EF 为边画一个四边形EFGH ,使其面积为9,且90EFG ∠=︒.图①图②图③-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________21.(本小题满分8分)已知A、B两地之间有一条270千米的公路,甲、乙两车同时出发,甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地,乙车从B地沿此公路匀速开往A地,两车分别到达目的地后停止.甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车的行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示.(1)乙车的速度为千米/时,a=,b=.(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式.(3)当甲车到达距B地70千米处时,求甲、乙两车之间的路程.22.(本小题满分9分)教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.例2 如图,在ABC△中,D,E分别是边BC,AB的中点,AD,CE相交于点G,求证：13GE GDCE AD==.证明：连结ED.请根据教材提示,结合图①,写出完整的证明过程.结论应用：在ABCDY中,对角线AC、BD交于点O,E为边BC的中点,AE、BD交于点F.(1)如图②,若ABCDY为正方形,且6AB=,则OF的长为.(2)如图③,连结DE交AC于点G,若四边形OFEG的面积为12,则ABCDY的面积为.图①图②图③数学试卷第7页（共26页）数学试卷第8页（共26页）数学试卷 第9页（共26页） 数学试卷 第10页（共26页）23.(本小题满分10分)如图,在Rt ABC △中,90C ∠=︒,20AC =,15BC =.点P 从点A 出发,沿AC 向终点C 运动,同时点Q 从点C 出发,沿射线CB 运动,它们的速度均为每秒5个单位长度, 点P 到达终点时,P 、Q 同时停止运动.当点P 不与点A 、C 重合时,过点P 作PN AB ⊥于点N ,连结PQ ,以PN 、PQ 为邻边作PQMN Y .设PQMN Y 与ABC △重叠部分图形的面积为S ,点P 的运动时间为t 秒. (1)①AB 的长为 ；②PN 的长用含t 的代数式表示为 . (2)当PQMN Y 为矩形时,求t 的值；(3)当PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为四边形时,求S 与t 之间的函数关系式； (4)当过点P 且平行于BC 的直线经过PQMN Y 一边中点时,直接写出t 的值.24.(本小题满分12分)已知函数22,()1,()222x nx n x n y n nx x x n ⎧-++⎪=⎨-++⎪⎩≥＜(n 为常数) (1)当n ＝5,①点(4,)P b 在此函数图象上,求b 的值； ②求此函数的最大值.(2)已知线段AB 的两个端点坐标分别为(2,2)A 、(4,2)B ,当此函数的图象与线段AB 只有一个交点时,直接写出n 的取值范围.(3)当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4,求n 的取值范围.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷 第11页（共26页） 数学试卷 第12页（共26页）吉林省长春市2019年中考数学试卷数学答案解析一、选择题 1.【答案】B【解析】解：数轴上表示2-的点A 到原点的距离是2. 故选：B .【考点】绝对值的定义. 2.【答案】C【解析】解：将275 000 000用科学记数法表示为：82.7510⨯. 故选：C .【考点】科学记数法. 3.【答案】A【解析】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有1个正方形. 故选：A . 【考点】三视图. 4.【答案】D【解析】解：移项得：2x --≥， 系数化为1得：2x ≤. 故选：D .【考点】合并同类项. 5.【答案】D【解析】解：设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为：911616x yx y -=⎧⎨+=⎩.故选：D .【考点】列方程解决问题. 6.【答案】A【解析】解：由题意可得：sin 3BC BCAB α==， 故3sin ()BC m α=. 故选：A .【考点】锐角三角函数关系. 7.【答案】B【解析】解：2ADC B ∠=∠∵且ADC B BCD ∠=∠+∠，B BCD ∠=∠∴， DB DC =∴，∴点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点， 故选：B .【考点】线段的中垂线的性质. 8.【答案】D【解析】解：如图，过点B 作BD x ⊥轴，垂足为D ， ∵A 、C 的坐标分别是(0,3)、(3,0)， ∴3OA OC ==，在Rt AOC △中，AC =， 又2AC BC =∵，2BC =∴ 又90ACB ∠=︒∵，45OAC OCA BCD CBD ∠=∠=︒=∠=∠∴，32CD BD ===∴，39322OD =+=∴93,22B ⎛⎫⎪⎝⎭∴代入k y x =得：274k =，故选：D .数学试卷 第13页（共26页） 数学试卷 第14页（共26页）【考点】直角坐标系. 二.填空题 9.【答案】【解析】解：原式= 故答案为：【考点】合并同类二次根式. 10.【答案】(2)b a +【解析】解：2(2)ab b b a +=+. 故答案为：(2)b a +. 【考点】分解因式. 11.【答案】5【解析】解：1,3a b ==-∵，1c =，224(3)4115b ac ∆=-=--⨯⨯=∴.故答案为：5. 【考点】判别式. 12.【答案】57【解析】解：∵直线MN PQ ∥， ∴33MAB ABD ∠=∠=︒∴，CD AB ⊥∵， 90BCD ∠=︒∴，903357CDB ∠=︒-︒=︒∴.故答案为：57.【考点】平行线的性质，三角形内角和定理. 13.【答案】4+【解析】解：由折叠的性质可知，45DAF BAF ∠=∠=︒，6AE AD ==∴，2EB AB AE =-=∴，由题意得，四边形EFCB 为矩形，2FC ED ==∴， AB FC ∵∥，45GFC A ∠=∠=︒∴， 2GC FC ==∴，由勾股定理得，GF = 则GCF △的周长4GC FC GF =++=+ 故答案为：4+【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，周长公式. 14.【答案】2【解析】解：∵抛物线282(0)3y ax ax a =-+＞与y 轴交于点A ，80,3A ⎛⎫⎪⎝⎭∴，抛物线的对称轴为1x =.∴顶点P 坐标为8(1,)3a -，点M 坐标为8(2,)3.∵点M 为线段AB 的中点， ∴点B 坐标为8(4,)3设直线OP 解析式为y kx =(k 为常数，且0k ≠)，将点8(1,)3P a -代入得83a k -=，83y a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴.将点8(4,)3B 代入得88()433a =-⨯，解得2a =.数学试卷 第15页（共26页） 数学试卷 第16页（共26页）故答案为：2.【考点】抛物线解析式，对称性. 三、解答题 15.【答案】2【解析】解：原式224414481a a a a a =++-+=+81a =+，当18a =时，原式812a =+=.【考点】完全平方公式，单项式乘以多项式.16.【答案】59【解析】解：画树状图如图：共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，∴小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为59.【考点】概率. 17.【答案】300【解析】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x 套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x 套，由题意得：9000900051.2x x -=，解得：300x =，经检验，300x =是原方程的解，且符合题意.答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套. 【考点】列方程，解方程.18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，AB 为O ⊙的直径，90ABE BCG AFB ∠=∠=∠=︒∴，90BAF ABF ∠+∠=︒∴，90ABF EBF ∠+∠=︒，EBF BAF ∠=∠∴，在ABE △与BCG △中，EBF BAF AB BC ABE BCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ABE BCG ASA ∴△≌△；(2)解：如图，连接OF ，90ABE AFB ∠=∠=︒∵，55AEB ∠=︒ ， 905535BAE ∠=︒-︒=︒∴， 270BOF BAE ∠=∠=︒∴， 3OA =∵，∴»BF的长70π37π1806⨯==g .【解析】(1)根据四边形ABCD 是正方形，AB 为O ⊙的直径，得到90ABE BCG AFB ∠=∠=∠=︒，根据余角的性质得到EBF BAF ∠=∠，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；(2)连接OF ，根据三角形的内角和得到905535BAE ∠=︒-︒=︒，根据圆周角定理得到270BOF BAE ∠=∠=︒，根据弧长公式即可得到结论.【考点】正方形的性质，圆的性质，余角的性质，余角的性质，三角形的内角和，圆周角定理，弧长公式.数学试卷 第17页（共26页） 数学试卷 第18页（共26页）19【答案】(1) 2.5 2.5(2)43.2(小时) (3)130(人)【解析】解：(1)从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，∴中位数m 的值为2.5 2.52.52+=，众数n 为2.5； 故答案为：2.5，2.5. (2)2.41843.2⨯=(小时)，答：估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习的时间为43.2小时.(3)1320013020⨯=(人)， 答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人. 【考点】中位数，众数，平均数.20.【答案】解：(1)如图①所示，ABM △即为所求； (2)如图②所示，CDN △即为所求； (3)如图③所示，四边形EFGH 即为所求；图①图②图③【解析】(1)利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形； (2)利用三角形面积求法得出答案；(3)根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案.21.【答案】解：(1)乙车的速度为：(270602)275-⨯÷=千米/时，27075 3.6a =÷=，27060 4.5b =÷=.故答案为：75；3.6；4.5. (2)60 3.6216⨯=(千米)，当2 3.6x ＜≤时，设11y k x b =+，根据题意得：1111203.6216k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得11135270k b =⎧⎨=-⎩， 135270(2 3.6)y x x =-∴＜≤；当6 4.6x ＜≤时，设60y x =，135270(2 3.6)60(3.6 4.5)x x y x x -⎧=⎨⎩＜≤＜≤∴；(3)甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间为：20(27070)606-÷=(小时)， 此时甲、乙两车之间的路程为：201352701806⨯-=(千米). 答：当甲车到达距B 地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米.【解析】(1)根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定a 、b 的值； (2)运用待定系数法解得即可；(3)求出甲车到达距B 地70千米处时行驶的时间，代入(2)的结论解答即可. 22.【答案】证明：如图①，连结ED .∵在ABC △中，D ，E 分别是边BC ，AB 的中点， ∴DE AC ∥，12DE AC =， ∴DEG ACG △∽△，2CG AG AC GE GD DE===∴， 3CG GE AG GD GE GD ++==∴，13GE GD CE AD ==∴； 结论应用： (1)解：如图②.∵四边形ABCD 为正方形，E 为边BC 的中点，对角线AC 、BD 交于点O ，数学试卷 第19页（共26页） 数学试卷 第20页（共26页）AD BC ∴∥，1122BE BC AD ==，12BO BD =，∴BEF DAF △∽△，12BF BE DF AD ==∴， 12BF DF =∴，13BF BD =∴，12BO BD =∵，111236OF OB BF BD BD BD =-=-=∴，∵正方形ABCD 中，6AB =，BD =∴OF =∴；(2)解：如图③，连接OE . 由(1)知，13BF BD =，16OF BD =， 2BF OF=∴. BEF ∵△与OEF △的高相同，BEF ∴△与OEF △的面积比2BFOF==， 同理，CEG △与OEG △的面积比2=，∴CEG △的面积BEF +△的面积2=(OEG △的面积OEF +△的面积)1212=⨯=， BOC ∴△的面积32=， ∴ABCD Y 的面积3462=⨯=.故答案为6.图①图②图③【解析】教材呈现：如图①，连结ED .根据三角形中位线定理可得DE AC ∥，12DE AC =，那么DEG ACG △∽△，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明13GE GD CE AD ==； 结论应用：(1)如图②.先证明BEF DAF △∽△，得出12BF DF =，那么13BF BD =，又12BO BD =，可得16OF OB BF BD =-=，由正方形的性质求出BD =，即可求出OF = (2)如图③，连接OE .由(1)易证2BFOF=.根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出BEF △与OEF △的面积比2BFOF==，同理，CEG △与OEG △的面积比= 2，那么CEG △的面积BEF +△的面积= 2(OEG △的面积OEF +△的面积)1212=⨯=，所以BOC △的面积32=，进而求出□ABCD 的面积3462=⨯=.23.【答案】(1)解：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，20AC =，15BC =.25AB ==∴.3sin 5CAB ∠=∴，由题可知5AP t =，3sin 535PN AP CAB t t =∠==g g ∴.故答案为：①25；②3t .(2)当PQMN Y 为矩形时，90NPQ ∠=︒， ∵PN AB ⊥，数学试卷 第21页（共26页） 数学试卷 第22页（共26页）∴PQ AB ∥，CP CQCA BC=∴， 由题意可知5AP CQ t ==，205CP t =-，20552015t t-=∴， 解得127t =，即当PQMN Y 为矩形时127t =. (3)当PQMN Y ABC △重叠部分图形为四边形时，有两种情况， Ⅰ.如解图(3)1所示.▱PQMN 在三角形内部时.延长QM 交AB 于G 点， 由(1)题可知：4cos sin 5A B ==，3cos 5B =，5AP t =，155BQ t =-，3PN QM t ==. ∴cos 4AN AP A t ==g ∴，cos 93BG BQ B t ==-g ，sin 124QG BQ B t ==-g ， ∵PQMN Y 在三角形内部时.有0QM QG ＜≤，03124t t -∴＜≤，1207t ∴＜≤.254(93)16NG t t t =---=-∴.∴当1207t ∴＜≤时，PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为PQMN Y ，S 与t 之间的函数关系式为23(16)348S PN NG t t t t ==-=-+g g .Ⅱ.如解图(3)2所示.当0QG QM ＜＜，□PQMN 与ABC △重叠部分图形为梯形PQMG时，即：0243t t -＜＜，解得：1237t ≤＜， PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为梯形PQMG 的面积2111()(16)(3124)1496222S NG PN QG t t t t t =+=-+-=-+.综上所述：当1207t ∴＜≤时，2348S t t =-+.当1237t ≤＜，2114962S t t =-+.(4)当过点P 且平行于BC 的直线经过□PQMN 一边中点时，有两种情况，Ⅰ.如解题图(4)1，PR BC ∥，PR 与AB 交于K 点，R 为MN 中点，过R 点作RH AB ⊥，PKN HKR B ∠=∠=∠∴，39cot 344tNK PN PKN t =∠==g g ，NR MR =∵，HR PN QM ∥∥，1(16)2NH GH t ==-∴，12HR GM =，3(124)712GM QM QG t t t =-=--=-∴，11(712)22HR GM t ==-.133cot (712)(712)248KH HR HKR t t =∠=-⨯=-g ∴，NK KH NH +=∵，931(712)(16)482t t t +-=-∴， 解得：10043t =，Ⅱ.如解题图(4)2，PR BC ∥，PR 与AB 交于K 点，R 为MQ 中点，过Q 点作QH PR ⊥，HPN A QRH ∠=∠=∠∴，四边形PCQH 为矩形，339sin 2510t tHQ QR QRH =∠==g g ∴205PC t =-∵，920510tt -=∴，解得20059t =. 综上所述：当10043t =或20059时，点P 且平行于BC 的直线经过□PQMN 一边中点.数学试卷 第23页（共26页） 数学试卷 第24页（共26页）【解析】(1)根据勾股定理即可直接计算AB 的长，根据三角函数即可计算出PN . (2)当PQMN Y 为矩形时，由PN AB ⊥可知PQ AB ∥，根据平行线分线段成比例定理可得CP CQCA BC=，即可计算出t 的值. (3)当PQMN Y 与ABC △重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ.PQMN Y 在三角形内部时，Ⅱ.PQMN Y 有部分在外边时.由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积.(4)当过点P 且平行于BC 的直线经过PQMN Y 一边中点时，有两种情况，Ⅰ.过MN 的中点，Ⅱ.过QM 的中点.分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算t 值.【考点】勾股定理，三角函数，平行线分线段成比例定理，解三角形. 24.【答案】解：(1)当n ＝5时， 2255(5)155(5)222x x x y x x x ⎧-++⎪=⎨-++⎪⎩≥＜， ①将(4,)P b 代入2155222y x x =-++， 92b =∴； ②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x ＜时，当52x =时有最大值为458； ∴函数的最大值为458；(2)将点(4,2)代入2y x nx n =-++中，185n =∴， 1845n ∴＜≤时，图象与线段AB 只有一个交点； 将点(2,2)代入2y x nx n =-++中， ∴2n =，将点(2,2)代入21222n ny x x =-++中， ∴83n =， 823n ∴≤＜时图象与线段AB 只有一个交点；综上所述：1845n ＜≤，823n ≤＜时，图象与线段AB 只有一个交点；(3)当x n =时，22112222n n y n n =-++=，n42＞，8n ∴＞；当2nx =时，182n y =+，1n 482+≤，312n ∴≥，当x n =时，22y n n n n =-++=，4n ＜；∴函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，8n ＞或3142n ≤＜. 【解析】(1)①将(4,)P b 代入2155222y x x =-++；②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x ＜时，当52x =时有最大值为458；故函数的最大值为458；(2)将点(4,2)代入2y x nx n =-++中，得到185n =，所以1845n ＜≤时，图象与线段AB只有一个交点；将点(2,2)代入2y x nx n =-++和21222n ny x x =-++中，得到2n =，83n =，所以823n ≤＜时图象与线段AB 只有一个交点；(3)当x n =时，n 42＞，得到8n ＞；当2n x =时，1n 482+≤，得到312n ≥，当x n =时，22n＜.=-++=，4y n n n n数学试卷第25页（共26页）数学试卷第26页（共26页）。

中考干货大提醒考前提前20分钟到场，稳定一下情绪！考试一定一定一定要放松，大考前深呼吸,做五组深呼吸，真的超级有用！可以让紧张感变淡好多！不用在意别人的想法，你只需要自己学好、把自己变得更优秀！！！不要太过于关注排名，它只能反映你目前的情况，不会决定你下一场考试的结果。

一定要有错题本！！一定！！！！注意知识点总结和归纳，形成网状知识结构！考前一个月每天每科一份卷子保持手感！2019吉林长春市初中数学毕业学业水平考试（满分120分，时间120分钟）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图，数轴上表示-2的点A 到原点的距离是A. -2B.2C.21-D.212.2019年春运前四日，全国铁路、道路水路、民航共累计发送旅客月275 000 000人次，275 000 000这个数用科学计数法表示为A.27.5×107B.0.275×109C.2.75×108D.2.75×1093.右图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是4. 不等式02≥+-x 的解集为A.x ≥-2B.x ≤-2C.x ≥2D.x ≤25.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。

问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱。

问人数、买鸡的钱数各是多少？ 设人数为x ，买鸡的钱数为y ，可列方程组为A.⎩⎨⎧=+=+y x y x 166119 B.⎩⎨⎧=-=-y x y x 166119 C.⎩⎨⎧=-=+y x y x 166119 D.⎩⎨⎧=+=yx yx 16611-96. 如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB 的长是3米。

若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C 为A.3sin a 米B.3cos a 米C.a sin 3米 D.acos 3米7. 如图，在△ABC 中，∠ACB 为钝角。

中考数学试卷一、单项选择题（共12分）1.如图，以A、B、C为顶点的三角形与以D、E、F为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为（）A．2:1 B．3:1 C．4:3 D．3:22.如图图形中是中心对称图形的为（）A．B． C． D．3.已知m3=n4，那么下列式子中一定成立的是（）A．4m=3n B．3m=4n C．m=4n D．mn=124.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为（）A．1B．√22C．√3D．√335.如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对 B．3对C．2对D．1对二、填空题（共24分）1.已知方程x2+mx﹣6＝0的一个根为﹣2，则另一个根是。

2.如图，在三角形ABC中D，E分别是AB和AC上的点，且DE平行BC，AE 比EC=5/2,D E=10，则BC的长为（）。

A．16B．14C．12D．113．如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B、F的坐标分别为（-4,4）、（2,1）则位似中心的坐标为（）。

4．如图，在四边形A BCD中，A D∥BC，A B⊥BC，点E在A B上，∠DEC=90°。

求证：△ADE∽△BEC。

5.某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为件；（2）当每件的销售价x为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y最大？并求出最大利润。

三、解答题1.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，AB＝7，AD＝5，DE＝10，求BC的长．2．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD ＝21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动（到A点不停），动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒一个单位长的速度向点B 运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）。

2019吉林长春市初中数学毕业学业水平考试（满分120分，时间120分钟）1、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1. 如图，数轴上表示-2的点A到原点的距离是A. -2B.2C.D.2.2019年春运前四日，全国铁路、道路水路、民航共累计发送旅客月275 000 000人次，275 000 000这个数用科学计数法表示为A.27.5 × 10B.0.275 × 10C.2.75 × 10D.2.75 × 103.右图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是4. 不等式的解集为A. x ≥-2B. x ≤-2C. x ≥2D. x ≤25.《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。

问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱。

问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为A. B. C. D.6. 如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米。

若梯子与地面的夹角为α ，则梯子顶端到地面的距离C为A.3sin a 米B.3cos a 米C. 米D. 米7. 如图，在△ABC中，∠ACB为钝角。

用直尺和圆规在边AB上确定一点D。

使∠ADC=2∠B，则符合要求的作图痕迹是8. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）。

∠ACB=90°，AC=2BC，则函数的图象经过点B，则的值为A. B.9 C. D.2、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9. 计算：10. 分解因式：11. 一元二次方程根的判别式的值为12. 如图，直线MN//PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB=33°。

过线段上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为度13. 如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6,。

2019年吉林省长春市中考数学试卷一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.如图,数轴上表示2得点A到原点得距离就是()A.2B.2C.D.2.2019年春运前四日,全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次,275000000这个数用科学记数法表示为()A.27、5×107B.0、275×109C.2、75×108D.2、75×1093.右图就是由4个相同得小正方体组成得立体图形,这个立体图形得主视图就是()4.不等式x+2≥0得解集为()A.x≥2B.x≤2C.x≥2D.x≤25.《九章算术》就是中国古代重要得数学著作,其中“盈不足术”记载:今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六,问人数鸡价各几何？译文:今有人合伙买鸡,每人出9钱,会多出11钱;每人出6钱,又差16钱,问人数、买鸡得钱数各就是多少？设人数为x,买鸡得钱数为y,可列方程组为()A. B. C. D.6.如图,一把梯子靠在垂直水平地面得墙上,梯子AB得长就是3米.若梯子与地面得夹角为α,则梯子顶端到地面得距离BC为()A.3si nα米B.3cosα米C.米D.米7.如图,在△ABC中,∠ACB为钝角.用直尺与圆规在边AB上确定一点D.使∠ADC=2∠B,则符合要求得作图痕迹就是()8.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC得顶点、C得坐标分别为(0,3)、(3,0).∠ACB=90°,AC=2BC,函数y=(k＞0,x＞0)得图象经过点B,则k得值为()A. B.9 C. D.二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)9.计算:3=10.分解因式:ab+2b=11.一元二次方程x23x+1=0根得判别式得值为.12.如图,直线MN∥PQ,点A、B分别在MN、PQ上,∠MAB=33°.过线段AB上得点C作CD⊥AB交PQ于点D,则∠CDB得大小为度.13.如图,有一张矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6.先将矩形纸片ABCD折叠,使边AD落在边AB 上,点D落在点E处,折痕为AF;再将△AEF沿EF翻折,AF与BC相交于点G,则△GCF得周长为14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax22ax+(a＞0)与y轴交于点A,过点A作x轴得平行线交抛物线于点M.P为抛物线得顶点.若直线O P交直线AM于点B,且M为线段AB得中点,则a得值为三、解答题(本大题共10小题,共78分)15.先化简,再求值:(2a+1)24a(a1),其中a=.16.一个不透明得口袋中有三个小球,每个小球上只标有一个汉字,分别就是“家”、“家”、“乐”,除汉字外其余均相同.小新同学从口袋中随机摸出一个小球,记下汉字后放回并搅匀;再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字.用画树状图(或列表)得方法,求小新同学两次摸出小球上得汉字相同得概率.17.为建国70周年献礼,某灯具厂计划加工9000套彩灯.为尽快完成任务,实际每天加工彩灯得数量就是原计划得1、2倍,结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯得数量.18.如图,四边形ABCD就是正方形.以边AB为直径作⊙O,点E在BC边上,连结AE交⊙O于点F,连结BF并延长交CD于点G.(1)求证:△ABE≌△BCG.(2)若∠AEB=55°,OA=3,求得长(结果保留π)19.网上学习越来越受到学生得喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习得情况,从该校七年级随机抽取20名学生,进行了每周网上学习时间得调查,数据如下(单位:时):3 2、5 0、6 1、5 1 2 2 3、3 2、5 1、8 2、5 2、2 3、54 1、5 2、5 3、1 2、8 3、3 2、4整理上面得数据,得到表格如下:样本数据得平均数、中位数、众数如下表所示:根据以上信息,解答下列问题:(1)上表中得中位数m得值为,众数n得值为(2)用样本中得平均数估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习得时间(3)已知该校七年级有200名学生,估计每周网上学习时间超过2小时得学生人数.20.图①、图②、图③均就是6×6得正方形网格,每个小正方形得顶点称为格点,小正方形得边长为1,点A、B、C、D、E、F均在格点上.在图①、图②、图③中,只用无刻度得直尺,在给定得网格中按要求画图,所画图形得顶点均在格点上,不要求写出画法.(1)在图①中以线段AB为边画一个△ABM,使其面积为6.(2)在图②中以线段CD为边画一个△CDN,使其面积为6.(3)在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH,使其面积为9,且∠EFG=90°.21.已知A、B两地之间有一条长270千米得公路.甲、乙两车同时出发,甲车以60千米/时得速度沿此公路从A地匀速开往B地,乙车从B地沿此公路匀速开往A地,两车分别到达目得地后停止.甲、乙两车相距得路程y(千米)与甲车得行驶时间x(时)之间得函数关系如图所示.(1)乙车得速度为千米/时,a=,b=(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间得函数关系式.(3)当甲车到达距B地70千米处时,求甲、乙两车之间得路程.22.教材呈现:下图就是华师版九年级上册数学教材第78页得部分内空.例2如图23、4、4,在△ABC中,D、E分别就是边BC、AB得中点,AD,CE相交于点G.求证: 证明:连结ED.请根据教材提示,结合图①,写出完事得证明过程.结论应用:在中,对角线AC、BD交于点O,E为边BC得中点,AE、BD交于点F.(1)如图②,若为正方形,且AB=6,则OF得长为(2)如图③,连结DE交AC于点G.若四边形OFEG得面积为,则得面积为23.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20,BC=15.点P从点A出发,沿AC向终点C运动,同时点Q从点C出发,沿射线CB运动,它们得速度均为每秒5个单位长度,点P到达终点时,P、Q同时停止运动.当点P不与点A、C重合时,过点P作PN⊥AB于点N,连结PQ,以PN、PQ为邻边作PQMN.设PQMN与△ABC重叠部分图形得面积为S.点P得运动时间为t秒.(1)①AB得长为②PN得长用含t得代数式表示为(2)当PQMN为矩形时,求t得值.(3)当PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时,求S与t之间得函数关系式.(4)当过点P且平行于BC得直线经PQMN一边中点时,直接写出t得值.24.已知函数y=(1)当n=5,①点P(4,b)在此函数图象上,求b得值.②求此函数得最大值.(2)已知线段AB得两个端点坐标分别为A(2,2)、B(4,2),当此函数得图象与线段AB只有一个交点时,直接写出n得取值范围.(3)当此函数图象上有4个点到x轴得距离等于4时,求n得取值范围.2019年吉林省长春市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.如图,数轴上表示2得点A到原点得距离就是()A.2B.2C.D.解:数轴上点A表示数为2,2到原点距离为2故选B2.2019年春运前四日,全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次,275000000这个数用科学记数法表示为()A.27、5×107B.0、275×109C.2、75×108D.2、75×109解:科学记数法为:把一个数表示成a与10得n次幂得相乘得形式(1≤a＜10,n为整数),故275000000用科学记数法表示为2、75×108故选C3.右图就是由4个相同得小正方体组成得立体图形,这个立体图形得主视图就是()解:如图所示,主视观瞧第二列有两个正方形,第一列右上有一个正方形,故观察为.故选A.4.不等式x+2≥0得解集为()A.x≥2B.x≤2C.x≥2D.x≤2解:解不等式x+2≥0,移项可得x≥2,再系数化1,两边同时除以1(注意改变不等号方向),得x≤2,故选D.5.《九章算术》就是中国古代重要得数学著作,其中“盈不足术”记载:今有共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六,问人数鸡价各几何？译文:今有人合伙买鸡,每人出9钱,会多出11钱;每人出6钱,又差16钱,问人数、买鸡得钱数各就是多少？设人数为x,买鸡得钱数为y,可列方程组为()A. B. C. D.解:根据题意,人数为x,鸡得钱数为y,当每人出9钱时,多出11钱,则可列方程9x11=y,当每人出6钱时,差16钱,则可列方程6x+16=y,则解x,y可列方程组为.故选D6.如图,一把梯子靠在垂直水平地面得墙上,梯子AB得长就是3米.若梯子与地面得夹角为α,则梯子顶端到地面得距离BC为()A.3sinα米B.3cosα米C.米D.米解:如图所示:α对应角为∠BAC,则sinα=,已知AB=3米,则BC=sinα,AB=3sinα米故选A7.如图,在△ABC中,∠ACB为钝角.用直尺与圆规在边AB上确定一点D.使∠ADC=2∠B,则符合要求得作图痕迹就是()解:由题意作图∠ADC=2∠BA、作图痕迹,为点D在线段AC垂直平分线上,能使∠A=∠ACD,不能使∠ADC=2∠B,故舍掉;B、作图痕迹为点D在线段BC垂直平分线上,能使∠B=∠DCB,如图∠B+∠DCB=∠ACD,∴∠ADC=2∠BC、作图痕迹为点D为AB中点,故不能使∠ADC=2∠B(舍)D选项(舍)故选B8.如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC得顶点、C得坐标分别为(0,3)、(3,0).∠ACB=90°,AC=2BC,函数y=(k＞0,x＞0)得图象经过点B,则k得值为()A. B.9 C. D.解:如图所示,AC坐标分别为(0,3),(3,0)故∠AOC为等腰直角三角形∠ACO=45°,∴∠ACB=45°,过点B作BD⊥x轴,交x轴于点D,∴∠BDC=90°,∠CBD=45°,∴∠BDC为等腰直角三角形,∴∠AOC=∠BDC,∠ACO=∠BCD∴△AOC∽△BDC∴=又∵AC=2BC,∴AO=2BD∴BD=∴CO=∴D坐标为(,0),B坐标为(,)∵点B在函数y=(k＞0,x＞0)图象上将点B坐标(,)代入y=中,得k=,故选D.二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)9.计算:3=解:根据二次根式加减法则故答案为:2.10.分解因式:ab+2b=解:利用乘法结合律,提取出b,得b(a+2)故答案为:b(a+2)解:∵a=1,b=﹣3,c=1,∴△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×1=5,故答案为:5.12.如图,直线MN∥PQ,点A、B分别在MN、PQ上,∠MAB=33°.过线段AB上得点C作CD⊥AB交PQ于点D,则∠CDB得大小为度.解:∵MN∥PQ∴∠ABD=∠MAB=33°∵CD⊥AB∴∠DCB=90°∴∠ABD+∠CDB=180°90°=90°∴∠CDB=90°33°=57°故答案为:57°13.如图,有一张矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6.先将矩形纸片ABCD折叠,使边AD落在边AB 上,点D落在点E处,折痕为AF;再将△AEF沿EF翻折,AF与BC相交于点G,则△GCF得周长为解:由图可知,FC=EB=ABAD=86=2,∠CFG=45°∴GC=FC=2,∴FG=FC=2∴△GCF周长为2+2+2=4+2;故答案为:4+214.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax22ax+(a＞0)与y轴交于点A,过点A作x轴得平行线交抛物线于点M.P为抛物线得顶点.若直线O P交直线AM于点B,且M为线段AB得中点,则a得值为解:将x=0代入原式得y=,∴A(0,)将y=代入得ax22ax+=,ax22ax=0,x=2.∴M(2,)∵M为线段AB中点,∴B(4,)代入y=kx中求得OB解析式为y=x,将x=1代入得P(1,)将P代入抛物线解析式中得a=2.故答案为:2.三、解答题(本大题共10小题,共78分)15.先化简,再求值:(2a+1)24a(a1),其中a=.解:原式=4a2+4a+14a2+4a=8a+1将a=代入原式=×8+1=216.一个不透明得口袋中有三个小球,每个小球上只标有一个汉字,分别就是“家”、“家”、“乐”,除汉字外其余均相同.小新同学从口袋中随机摸出一个小球,记下汉字后放回并搅匀;再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字.用画树状图(或列表)得方法,求小新同学两次摸出小球上得汉字相同得概率.解:树状图如下:两次摸出相同小球得情况共有5种,故答案为17.为建国70周年献礼,某灯具厂计划加工9000套彩灯.为尽快完成任务,实际每天加工彩灯得数量就是原计划得1、2倍,结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯得数量.解:设原计划每天加工这种彩灯x套,则实际每天加工这种彩灯1、2x套+5=51800=6xx=300经检验x=300就是方程得根.答:原计划每天加工这种彩灯300套.18.如图,四边形ABCD就是正方形.以边AB为直径作⊙O,点E在BC边上,连结AE交⊙O于点F,连结BF并延长交CD于点G.(1)求证:△ABE≌△BCG.(2)若∠AEB=55°,OA=3,求得长(结果保留π)(1)证明:∵F在圆上,∴AF⊥BF,∠BAF+∠ABF=90°,∠ABF+∠CBF=90°∴∠BAF+=∠CBF,∵∠FBE+∠FEB=90°,∠FBE+∠BGC=90°∴∠FEB=∠BGC,在△ABE与△BGC中∴△ABE≌△BCE(ASA)(2)解:连接OF,则OF=OB,由(1)可得∠ABF=∠AEB=∠BGC=55°∴∠BFO=55°,∠BOF=70°∴=×2π×3=π19.网上学习越来越受到学生得喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习得情况,从该校七年级随机抽取20名学生,进行了每周网上学习时间得调查,数据如下(单位:时):3 2、5 0、6 1、5 1 2 2 3、3 2、5 1、8 2、5 2、2 3、54 1、5 2、5 3、1 2、8 3、3 2、4整理上面得数据,得到表格如下:样本数据得平均数、中位数、众数如下表所示:根据以上信息,解答下列问题:(1)上表中得中位数m得值为,众数n得值为(2)用样本中得平均数估计该校七年级学生平均每人一学期(按18周计算)网上学习得时间(3)已知该校七年级有200名学生,估计每周网上学习时间超过2小时得学生人数.解:将调查数据由小到大排列为:0、6,1,1、5,1、5,1、8,2,2,2、2,2、4,2、5,2、5,2、5,2、5,2、8,3,3、1,3、3,3、3,3、5,4.(1)则中位数m为第10与,11两个数得平均数为=2、5,众数n为出现最多得数为2、5.(2)由题中表格可知平均数为2、4,即该校七年级学生平均每人一周网上学习时间为2、4小时,则平均每人一学期学生时间为2、4×18=43、2时.(3)由调查可知,每周上网学习超过2小时得学生占=,则200名学生中每周上网超过2小时得学生人数估计为200×=130人.故答案为:(1)2、5;2、5.20.图①、图②、图③均就是6×6得正方形网格,每个小正方形得顶点称为格点,小正方形得边长为1,点A、B、C、D、E、F均在格点上.在图①、图②、图③中,只用无刻度得直尺,在给定得网格中按要求画图,所画图形得顶点均在格点上,不要求写出画法.(1)在图①中以线段AB为边画一个△ABM,使其面积为6.(2)在图②中以线段CD为边画一个△CDN,使其面积为6.(3)在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH,使其面积为9,且∠EFG=90°.解:(1)因小正方形边长为1,已知AB=3,则要使△ABM面积为6,只要以AB为底,高为4即可,如图,M在直线NP上任意一点均可.(2)CD竖向距离为3,可瞧为以水平方向为底,竖直方向为高得三角形一边,高为3,当底为4时,面积就为6,如图(答案不唯一)(3)以线段EF为边画一个四边形,使其面积为9,我们已知最规则面积为9得四边形就是边长为3得正方形,但E、F不就是网格上得边,我们可用割补法来求出我们想要图形,如图所示,S△FGI=S△EJF,则S四边形EFGH=S四边形JFIH=921.已知A、B两地之间有一条长270千米得公路.甲、乙两车同时出发,甲车以60千米/时得速度沿此公路从A地匀速开往B地,乙车从B地沿此公路匀速开往A地,两车分别到达目得地后停止.甲、乙两车相距得路程y(千米)与甲车得行驶时间x(时)之间得函数关系如图所示.(1)乙车得速度为千米/时,a=,b=(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间得函数关系式.(3)当甲车到达距B地70千米处时,求甲、乙两车之间得路程.解:(1)共270千米,2小时两车相遇,即两车共走270千米,V总=270÷2=135(km/h)∵V甲=60km/h,∴V2=V总V甲=13560=75km/ha点为乙车到A地时得时间,即t乙==270÷75=3、6b点为甲车到B地得时间,即t甲==270÷60=4、5(2)设函数关系式为y=kx+b,当2＜x≤3、6时,斜率k为两车速度与135∴y=135x+b,又有x=2时,y=0,∴b=270,∴y=135x270当3、6＜x≤4、5时,斜率k为甲车速度为60,∴y=60x+b,又有x=4、5时,y=270,∴b=0,∴y=60x,综上所述,(3)甲距B地70千米处时,t==,当x=时,y=135×270=180km∴甲乙两车之间路程为180千米.故答案为:(1)75;3、6;4、522.教材呈现:下图就是华师版九年级上册数学教材第78页得部分内空.例2如图23、4、4,在△ABC中,D、E分别就是边BC、AB得中点,AD,CE相交于点G.求证: 证明:连结ED.请根据教材提示,结合图①,写出完事得证明过程.结论应用:在中,对角线AC、BD交于点O,E为边BC得中点,AE、BD交于点F.(1)如图②,若为正方形,且AB=6,则OF得长为(2)如图③,连结DE交AC于点G.若四边形OFEG得面积为,则得面积为解:教材呈现:连接ED∵E、D分别为AB、BC中点∴E、D为三角形AB得中位线∴ED∥AC,且ED=AC,而由于ED∥AC∴∠DEC=∠ECA又∠EGD=∠AGC∴△EGD∽△CGA∴又EC=EG+GC,AD=AG+AD∴结论应用:(1)在△ABC中,O为AC中点,E为BC中点,故在△ABC中,F点为中线得交点,即,而AB=AC=6,故AC=6,BO=3,OF=(2)连接OE,OE为△OBC中线,故S△OBE=S△OEC,在△ABC中,可得OF=OB,而在△OEB中,由于△OEB与△OEF等高,故S△OFE:S△OEB=OF:OB=1:3同理S△OGE:S△OEC=1:3,故S△FEG:S△OBC=1:3,故S△FEG:S ABCD=1:12故S ABCD=×12=6故答案为:(1);(2)623.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20,BC=15.点P从点A出发,沿AC向终点C运动,同时点Q从点C出发,沿射线CB运动,它们得速度均为每秒5个单位长度,点P到达终点时,P、Q 同时停止运动.当点P不与点A、C重合时,过点P作PN⊥AB于点N,连结PQ,以PN、PQ为邻边作PQMN.设PQMN与△ABC重叠部分图形得面积为S.点P得运动时间为t秒.(1)①AB得长为②PN得长用含t得代数式表示为(2)当PQMN为矩形时,求t得值.(3)当PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时,求S与t之间得函数关系式.(4)当过点P且平行于BC得直线经PQMN一边中点时,直接写出t得值.解:(1)①由于△ABC为直角三角形,由勾股定理得AB==25②由于PN⊥AB,故∠PNA=90°=∠C,即∠A=∠A,故△ANP∽△ACB故∴PN=3t(2)由于PNMQ为矩形,PN⊥NM,故M点落在AB上,而PN=4t,△QBM∽△ABC,故QM=(155t)QM=PN得t=(3)在运动过程中,起始为PNQM得平行四边形就是阴影部分(图一)后,M总落在AB上,形成矩形,后M总落在三角形处,阴影部分为梯形(图二),后Q达到B点继续移动,阴影部分为三角形(图三),而题意及(2)得分总为t=与t=3,求前两种①当0＜t＜时,以PN为底,延长QM与O,NO为高,由PN=3t,PA=5t,∴AN=4t,而△QOB∽△ACB,故QB=(155t),OB=(155t)S=PN·NO=PN×(ABANOB)=3t×[254t(155t)]=48t3t2当＜t＜3时,设QM与AB交于O,QO=(155t)S=(PN+QO)×NO=[×5t+(155t)]×[254t(155t)]=(16t)(12t)=14t+96(4)作PH∥CB,则H可能在NM上或QM上当H在NM上,则NH=HM,过N作NR∥CB,MS∥BC设PS=a,设SM与PQ交点为O,易得O为RQ中点,由平行线等分线段定理得,RP=RS=SC=a而NR∥CB,∴NR⊥AC,易得△RPN∽△NPN;△ARN∽△ANP,∴AR=a,而解得t=＜4成立当H在QM上,则QH=HM,设RS=a,由上一种情况,我们得到RS=SP=PC=a,在△PRM中,RN=a,故AP=a∴∴t=＜4成立故答案为:(1)①25;②3t.24.已知函数y=(1)当n=5,①点P(4,b)在此函数图象上,求b得值.②求此函数得最大值.(2)已知线段AB得两个端点坐标分别为A(2,2)、B(4,2),当此函数得图象与线段AB只有一个交点时,直接写出n得取值范围.(3)当此函数图象上有4个点到x轴得距离等于4时,求n得取值范围.解:(1)当n=5时,y=①由于4＜5,故b=(42+5×4+5)=②y=当x≥5时,x=5最大y=5当x＜5时,x=最大y=＞5,故最大值为(2)①首先以A点为边界,设当x≥n时得图形如α当x＜n时为β如图一:此时函数图象与线段AB恰好有一个交点,交点在α上,随着n得不断增大,图象逐渐右移直至β与B相交.如图二,将(2,2)分别代入α,β得n=2,n=.图一情况下,恰有一个交点,所以n可以取到2,而图二情况下,恰有两个交点,故n不能取到综上2≤n＜②n从图二得情况开始继续不断增大得一段时间内函数图象与线段一直有两个交点,直到如图三,此时β与线段有一个交点,而α刚要离开线段.在此之后直至运动至图四情况.β刚要离开线段AB在此期间之内,函数图象与线段AB一直只有一个交点,图三中将(4,2)代入α得n=,图四中将(4,2)代入β得n=4,注意图三时恰有两个交点,因此n＞,而在图四情况下,恰有一个交点,故n≤4综上＜n≤4.综上所述n得取值范围就是2≤n＜或＜n≤4.(3)当有4个点到x轴得距离等于4,即函数图象与直线y=4与直线y=4恰有四个交点.①设x＜n时图象为β,x≥n时图象为α.当n很小时函数图象与y=±4一直有4个交点,不断增大n,直到如图五情况,此时β刚要经过y=4,之后得一段时间内,函数与y=±4有5个交点,此时n2+·n+=4,n=8故n≤8时恒成立.②在图五之后得一段时间内,函数与y=±4共有5个交点.直到运动到图六情况α得顶点落在y=4上,即+n=4,∴n=22(舍n＞0解)。

长春市2019年中考数学试题及答案一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．（3分）如图，数轴上表示﹣2的点A到原点的距离是（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．2．（3分）2019年春运前四日，全国铁路、道路、水路、民航共累计发送旅客约为275000000人次，275000000这个数用科学记数法表示为（）A．27.5×107B．0.275×109C．2.75×108D．2.75×1093．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（）A．B．C．D．4．（3分）不等式﹣x+2≥0的解集为（）A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≥2 D．x≤25．（3分）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，买鸡的钱数为y，可列方程组为（）A．B．C．D．6．（3分）如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离C为（）A．3sinα米B．3cosα米C．米D．米7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角．用直尺和圆规在边AB上确定一点D．使∠ADC＝2∠B，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，3）、（3、0）．∠ACB ＝90°，AC＝2BC，则函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（）A．B．9 C．D．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．（3分）计算：3﹣＝．10．（3分）分解因式：ab+2b＝．11．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是．12．（3分）如图，直线MN∥PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB＝33°．过线段AB上的点C 作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为度．13．（3分）如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF 的周长为．14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x 轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为．三、解答题（共10小题，满分78分）15．（6分）先化简，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中a＝．16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，每个小球上只标有一个汉字，分别是“家”、“家”“乐”，除汉字外其余均相同．小新同学从口袋中随机摸出一个小球，记下汉字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下汉字，用画树状图（或列表的）方法，求小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率．17．（6分）为建国70周年献礼，某灯具厂计划加工9000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.2倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量．18．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD于点G．（1）求证：△ABE≌△BCG；（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求的长．（结果保留π）19．（7分）网上学习越来越受到学生的喜爱．某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查．数据如下（单位：时）：3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.82.5 2.23.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4整理上面的数据，得到表格如下：网上学习时间x（时）0＜x≤1 1＜x≤2 2＜x≤3 3＜x≤4人数 2 5 8 5 样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：统计量平均数中位数众数数值 2.4 m n根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中的中位数m的值为，众数n的值为．（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间．（3）已知该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数．20．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个△ABM，使其面积为6．（2）在图②中以线段CD为边画一个△CDN，使其面积为6．（3）在图③中以线段EF为边画一个四边形EFGH，使其面积为9，且∠EFG＝90°．21．（8分）已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．（1）乙车的速度为千米/时，a＝，b＝．（2）求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式．（3）当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．22．（9分）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．例2 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝证明：连结ED．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F．（1）如图②，若▱ABCD为正方形，且AB＝6，则OF的长为．（2）如图③，连结DE交AC于点G，若四边形OFEG的面积为，则▱ABCD的面积为．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作▱PQMN．设▱PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．（1）①AB的长为；②PN的长用含t的代数式表示为．（2）当▱PQMN为矩形时，求t的值；（3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；（4）当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时，直接写出t的值．24．（12分）已知函数y＝（n为常数）（1）当n＝5，①点P（4，b）在此函数图象上，求b的值；②求此函数的最大值．（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为A（2，2）、B（4，2），当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4，求n的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．B 2.C 3.A 4.D 5.D 6.A 7.B 8.D二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）9．2．10．b（a+2）．11．5．12．57．13．4+2．14．2．三、解答题（共10小题，满分78分）15．解：原式＝4a2+4a+1﹣4a2+4a＝8a+1，当a＝时，原式＝8a+1＝2．16．解：画树状图如图：共有9个等可能的结果，小新同学两次摸出小球上的汉字相同的结果有5个，∴小新同学两次摸出小球上的汉字相同的概率为．17．解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x套，则实际每天加工彩灯的数量为1.2x套，由题意得：﹣＝5，解得：x＝300，经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意；答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为300套．18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，∴∠EBF＝∠BAF，在△ABE与△BCG中，，∴△ABE≌△BCG（ASA）；（2）解：连接OF，∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠AEB＝55°，∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，∵OA＝3，∴的长＝＝．19．解：（1）从小到大排列为：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，∴中位数m的值为＝2.5，众数n为2.5；故答案为：2.5，2.5；（2）2.4×18＝43.2（小时），答：估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间为43.2小时．（3）200×＝130（人），答：该校七年级学生有200名，估计每周网上学习时间超过2小时的学生人数为130人．20．解：（1）如图①所示，△ABM即为所求；（2）如图②所示，△CDN即为所求；（3）如图③所示，四边形EFGH即为所求；21．解：（1）乙车的速度为：（270﹣60×2）÷2＝75千米/时，a＝270÷75＝3.6，b＝270÷60＝4.5．故答案为：75；3.6；4.5；（2）60×3.6＝216（千米），当2＜x≤3.6时，设y＝k1x+b1，根据题意得：，解得，∴y＝135x﹣270（2＜x≤3.6）；当3.6＜x≤4.6时，设y＝60x，∴；（3）甲车到达距B地70千米处时行驶的时间为：（270﹣70）÷60＝（小时），此时甲、乙两车之间的路程为：135×﹣270＝180（千米）．答：当甲车到达距B地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米．22．教材呈现：证明：如图①，连结ED．∵在△ABC中，D，E分别是边BC，AB的中点，∴DE∥AC，DE＝AC，∴△DEG∽△ACG，∴＝＝＝2，∴＝＝3，∴＝＝；结论应用：（1）解：如图②．∵四边形ABCD为正方形，E为边BC的中点，对角线AC、BD交于点O，∴AD∥BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD，∴△BEF∽△DAF，∴＝＝，∴BF＝DF，∴BF＝BD，∵BO＝BD，∴OF＝OB﹣BF＝BD﹣BD＝BD，∵正方形ABCD中，AB＝6，∴BD＝6，∴OF＝．故答案为；（2）解：如图③，连接OE．由（1）知，BF＝BD，OF＝BD，∴＝2．∵△BEF与△OEF的高相同，∴△BEF与△OEF的面积比＝＝2，同理，△CEG与△OEG的面积比＝2，∴△CEG的面积+△BEF的面积＝2（△OEG的面积+△OEF的面积）＝2×＝1，∴△BOC的面积＝，∴▱ABCD的面积＝4×＝6．故答案为6．23．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．∴AB＝＝＝25．∴，由题可知AP＝5t，∴PN＝AP•sin∠CAB＝＝3t．故答案为：①25；②3t．（2）当▱PQMN为矩形时，∠NPQ＝90°，∵PN⊥AB，∴PQ∥AB，∴，由题意可知AP＝CQ＝5t，CP＝20﹣5t，∴，解得t＝，即当▱PQMN为矩形时t＝．（3）当▱PQMN△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．如解图（3）1所示．▱PQMN在三角形内部时．延长QM交AB于G点，由（1）题可知：cos A＝sin B＝，cos B＝，AP＝5t，BQ＝15﹣5t，PN＝QM＝3t．∴AN＝AP•cos A＝4t，BG＝BQ•cos B＝9﹣3t，QG＝BQ•sin B＝12﹣4t，∵．▱PQMN在三角形内部时．有0＜QM≤QG，∴0＜3t≤12﹣4t，∴0＜t．∴NG＝25﹣4t﹣（9﹣3t）＝16﹣t．∴当0＜t时，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为▱PQMN，S与t之间的函数关系式为S＝PN•NG＝3t•（16﹣t）＝﹣3t2+48t．Ⅱ．如解图（3）2所示．当0＜QG＜QM，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQMG时，即：0＜12﹣4t＜3t，解得：，▱PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQMG的面积S＝＝＝．综上所述：当0＜t时，S＝﹣3t2+48t．当，S＝．（4）当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时，有两种情况，Ⅰ．如解题图（4）1，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MN中点，过R点作RH⊥AB，∴∠PKN＝∠HKR＝∠B，NK＝PN•cot∠PKN＝3t＝，∵NR＝MR，HR∥PN∥QM，∴NH＝GH＝，HR＝，∴GM＝QM﹣QG＝3t﹣（12﹣4t）＝7t﹣12．HR＝．∴KH＝HR•cot∠HKR＝＝，∵NK+KH＝NH，∴，解得：t＝，Ⅱ．如解题图（4）2，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MQ中点，过Q点作QH⊥PR，∴∠HPN＝∠A＝∠QRH，四边形PCQH为矩形，∴HQ＝QR•sin∠QRH＝∵PC＝20﹣5t，∴20﹣5t＝，解得t＝．综上所述：当t＝或时，点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时，24．解：（1）当n＝5时，y＝，①将P（4，b）代入y＝﹣x2+x+，∴b＝；②当x≥5时，当x＝5时有最大值为5；当x＜5时，当x＝时有最大值为；∴函数的最大值为；（2）将点（4，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，∴n＝，∴＜n≤4时，图象与线段AB只有一个交点；将点（2，2）代入y＝﹣x2+nx+n中，∴n＝2，将点（2，2）代入y＝﹣x2+x+中，∴n＝，∴2≤n＜时图象与线段AB只有一个交点；综上所述：＜n≤4，2≤n＜时，图象与线段AB只有一个交点；（3）当x＝n时，y＝﹣n2+n2+＝，＞4，∴n＞8；当x＝时，y＝+，+≤4，∴n≥，当x＝n时，y＝﹣n2+n2+n＝n，n＜4；∴函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，n＞8或n≤＜4．。