选修2-2第二章 2.3数学归纳法(上)课件-广东省肇庆市肇庆学院附属中学高二数学(共25张PPT)
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人教版2017高中数学(选修2-2)2.3数学归纳法PPT课件
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课前预习案
课堂探究案
做一做
1 1 2 3 1 1 B. + 2 3 1 C. 2
1
1 4
用数学归纳法证明
在验证 n=1 时,左边的代数式为( A. + +
)
1 1 1 + +…+ >1(n∈N*), ������+1 ������+2 3������+1
D.1
n=1
1 1 1 + +…+ >1(n∈N+)中,当 ������+1 ������+2 3������+1 1 1 1 时,等式左边的项为 + + ,故选 A. 2 3 4
1 1
2+
1 ;…+
1
则当 n=k+1 时,
(2������-1) 1 1 1
2+
2 >1- + − +…+ 2 +…+
1 2
1 3
1 4
1
2
2 3 (2������+1) (2������-1) 1 1 1 1 1 1 >1- + − +…+ − + 2 3 4 2������-1 2������ (2������+1)2 1 1 1 1 1 1 >1- + − +…+ − + 2 3 4 2������-1 2������ (2������+1)(2������+2) 1 1 1 1 1 1 1 =1- + − +…+ − + − , 2 3 4 2������-1 2������ 2(������+1)-1 2(������+1)
人教a版数学【选修2-2】2.3《数学归纳法》ppt课件
数学归纳法 温故知新 回顾复习归纳推理的定义、步骤及其所得结论的正确性如何 ．
新知导学 1．数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取__________________时命题成立． 第一个值n0(n0 ∈N*) ②(归纳递推)假设___________________ 时命题成立，证明当 n＝k＋1时命题也成立． n＝k(k≥n0，k∈N*)
牛刀小试 1．用数学归纳法证明1＋2＋„＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时 ，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( ) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 [答案] C [解析] 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋ 3.故应选C.
[ 解析 ]
自变量的取值依次为 2,4 ＝ 22,8 ＝ 23,16 ＝ 24,32 ＝
25，„故为 2n.右边分母全为 2，分子依次为 3,4,5,6,7，„，故 n＋2 n n＋2 右边为 2 ，即 f(2 )> 2 .
典例探究学案
数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证 明恒等式
1 1 1 证明： ＋ ＋„＋ ＝ 1×3 3×5 2n－12n＋1 n .(n∈N*) 2n＋1
1 1 1 1 n 2．用数学归纳法证明1· 2＋2· 3＋3· 4＋„＋nn＋1＝n＋1(n ∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要增添的项是 ( ) 1 A． kk＋1 1 C． k k ＋2 1 1 B． ＋ kk＋1 k＋1k＋2 1 D． k＋1k＋2
1 1 1 127 而 1＋2＋4＋„＋ 8－1> 64 ，故应选 B. 2
1 1 1 4．(2013· 华池一中高二期中)已知 f(n)＝1＋2＋3＋„＋n(n 3 5 7 ∈N )，计算得 f(2)＝2，f(4)>2，f(8)>2，f(16)>3，f(32)>2，由
新课标课件 选修2-2：2.3 数学归纳法
问题思考：
已知 a1 1 且 an1 2an 1(n N * ) ，求通项公式 an .
解:∵ a1 1 = 21 1
可从简单情形出发
∴
a2 a3
2a1 2a2
1 1
21 1 3= 22 2 3 1 7= 23
1 1
观察、归纳、猜想
a4 2a3 1 2 7 1 15 = 24 1 a5 2a4 1 215 1 31= 25 1
多米诺是种文化。它起源于中国，有着上千年的历史。
思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨全部倒 下的条件是什么？
只要满足以下两个条件，所有多米诺骨 牌就能全部倒下：
（1）第一块骨牌倒下；（基础）
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下 一定导致后一块倒下。 （传递）
条件（2）事实上给出了一个递推关系：当 第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。
证明当n k 1时,命题也成立 （传递）
3.数学归纳法第二步的证明可以用各种证明方法， 但必须用到假设
思考5：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学 用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的 结论正确吗？
解:设n＝k时成立，即 2+4+6+…+2k＝k2+k+1
则当n=k+1时
2n
2n
成立的过程,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？
思考1：与正整数n有关的数学命题都能否通 过一一验证的办法来加以证明呢？
思考2：如果一个数学命题与正整数n有关, 我们能否找到一种既简单又有效的证明方法 呢？
问题思考： 已知 a1 1 且 an1 2an 1(n N * ) ，求通项公式 an . 怎么证明我们的猜想呢?
(人教A版)数学【选修2-2】2-3《数学归纳法》ppt课件
2．对数学归纳法的步骤的理解 用数学归纳法证明命题的两个步骤，是缺一不可的．如果 只有步骤(1)而缺少步骤(2)，作出的判断可能是错误的，单靠 步骤(1)也无法递推下去．同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)，也 可能得出不正确的结论．例如，假设n＝k时，等式 2＋4＋6＋„＋2n＝n2＋n＋1成立，就是 2＋4＋6＋„＋2k＝k2＋k＋1. 那么2＋4＋6＋„＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k ＋1)2＋(k＋1)＋1.
规律技巧 此类题在考试中经常出现，它是考查探究归纳 能力的好素材，应切实掌握.
三
与自然数有关的应用问题
【例3】
(整除问题)用数学归纳法证明：(3n＋1)· 7n－1(n
∈N*)能被9整除． 【分析】 成立； (2)假设n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立． 按照数学归纳法证明步骤：(1)先证n＝1时命题
1 ＝2k(3k－1)＋3k＋1 1 2 ＝2(3k ＋5k＋2) 1 ＝2(k＋1)(3k＋2) 1 ＝2(k＋1)[3(k＋1)－1]． 即n＝k＋1时等式也成立． 综上，由(1)与(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．
规律技巧
用数学归纳法证明数学命题，关键要看两个步
骤是否齐全，特别是第二步的归纳假设是否被利用，若没有利 用归纳假设，那就不正确.
第二章
推理与证明
§2.3 数学归纳法
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
自学导引 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的 数学命题.
课前热身 数学归纳法只适用于与__________有关的命题，其步骤 为： (1)(归纳奠基)__________； (2)(归纳递推)假设__________时命题成立，证明 __________命题也成立． 只有完成这两步骤，就可断定，命题对从n0开始的所有正 整数n都成立.
高中数学选修2-2课件2.3《数学归纳法》课件
2
（B ）
A．n 为任何正整数时都成立
B．当 n = 1，2，3 时成立
C．当 n = 4 时成立，n = 5 时不成立
D．仅当 n = 4 时不成立
课堂练习
5．在数列{an }中，an
1
1 2
1 3
1 4
1 2n
1
1 2n
，则ak
1等于
（）
1
A.
ak
2k 1
C.
ak
1 2k 2
1
1
B.
ak
例2
已知数列 1 1 4
,
4
1
7
,
7
1 10
,
,
3n
1
23n
1,
,
计算S1,S2,S3,S4, 根据计算结果,猜出Sn的表达式,并用 数学归纳法进行证明.
解
S1
1 1 4
1; 4
S2
1 4
1 47
2; 7
S3
2 7
1 7 10
3; 10
S4
3 10
1 10 13
4. 13
可以看到,上面表示四个结果的分数中,分子和项数
成立;n 4成立 ,就有n 5 也成立 所以,对任意
的正整数n,猜想都成立,即数列的通项公式是an
1. n
一 般 地, 证 明 一 个 与 正 整 数n有 关 的 命 题, 可 按 下
列 步 骤:
1归纳奠基 证明当n取第一个值n0时命题成立;
2归纳递推假设当n k k n0,k N 时命题成立,
1 an2 = 1a
(a≠1)”，在验证 n = 1 时，左端计
算所得的项为
新课标课件 选修2-2：2.3 数学归纳法
6
这就是说，当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。
当堂检测1：用数学归纳法证明
13 23 33 ... n3 n2 (n 1)2 4
证明：（1）n=1时
左边=1=右边 （2）假设n=k时，结论成立，即
13 23 33 ... k 3 k 2 (k 1)2 4
那么n=k+1时
12 22 32 k 2 (k 1)2 k (k 1)(2k 1) (k 1)2
6 k (k 1)(2k 1) 6(k 1)2
6 (k 1)(2k 2 7k 6)
6 (k 1)(k 2)(2k 3)
6
(k 1)(k 1) 12(k 1) 1
思考：你认为证明数列的通项公式 an 2n 1是 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你 能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
思考:已知 a1 1 且 an1 2an 1(n N * ) ，求通项公式 an .
我们运用不完全归纳法得出猜想: an 2n 1 ,怎么 严格论证呢?尝试用多米诺骨牌游戏的原理证明猜想.
当n=k+1时
13 23 33 ... k 3 (k 1)3 k 2 (k 1)2 (k 1)3 4
(k 1)2 ( k 2 k 1) 4
(k 1)2 k 2 4k 4 4
(k 1)2 (k 2)2
=右边
4
所以，n=k+1时，结论成立. 由（1）（2）可知
13 23 33 ... n3 n2 (n 1)2 4
根 据 (1) 和 (2), 可 知 不 论 有 多 少 块骨 牌 , 都 能
∴由⑴、⑵可知当 n N * 时
全部倒下.
这就是说，当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。
当堂检测1：用数学归纳法证明
13 23 33 ... n3 n2 (n 1)2 4
证明：（1）n=1时
左边=1=右边 （2）假设n=k时，结论成立，即
13 23 33 ... k 3 k 2 (k 1)2 4
那么n=k+1时
12 22 32 k 2 (k 1)2 k (k 1)(2k 1) (k 1)2
6 k (k 1)(2k 1) 6(k 1)2
6 (k 1)(2k 2 7k 6)
6 (k 1)(k 2)(2k 3)
6
(k 1)(k 1) 12(k 1) 1
思考：你认为证明数列的通项公式 an 2n 1是 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性？你 能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
思考:已知 a1 1 且 an1 2an 1(n N * ) ，求通项公式 an .
我们运用不完全归纳法得出猜想: an 2n 1 ,怎么 严格论证呢?尝试用多米诺骨牌游戏的原理证明猜想.
当n=k+1时
13 23 33 ... k 3 (k 1)3 k 2 (k 1)2 (k 1)3 4
(k 1)2 ( k 2 k 1) 4
(k 1)2 k 2 4k 4 4
(k 1)2 (k 2)2
=右边
4
所以，n=k+1时，结论成立. 由（1）（2）可知
13 23 33 ... n3 n2 (n 1)2 4
根 据 (1) 和 (2), 可 知 不 论 有 多 少 块骨 牌 , 都 能
∴由⑴、⑵可知当 n N * 时
全部倒下.
最新人教B版高中数学选修2-2第2章2.3《数学归纳法》ppt课件
3．证明整除问题 证明这类问题的关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项 和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将 n ＝k 时的项从 n＝k＋1 时的项中“硬提出来”，构成 n＝k 的项， 后面的式子相对变形，使之与 n＝k＋1 时的项相同，从而达到 利用假设的目的． 4．证明几何问题 此类问题证明的关键是要弄清楚当由 n＝k 推导 n＝k＋1 的 情形时，几何图形的变化规律．
第二章 推理与证明
第二章 2.3 数学归纳法
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
从前有一位画家，为了测试他的三个徒弟 对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫来，让他 们用最少的笔墨，画出最多的马．第一个徒弟 在卷子上密密麻麻地画了一群马；第二个徒弟 为了节省笔墨，只画出许多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画 出两座山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还有一匹只露出半 截身子的马．三张画稿交上去，评判结果是最后一幅画被认定 为佳作，构思巧妙，笔墨经济，以少胜多！
②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命 题成立的参数值是否存在；
③给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意 自然数 n 都成立的一般性命题．
这类问题涉及的知识内容是很广泛的，可以涵盖前面几节 所讲述的所有内容：代数、三角恒等式、不等式、数列、几何 问题、整除性问题等．解题一般分三步进行：
5．证明数列问题 数列与数学归纳法有着非常密切的关系，我们知道，数列 是定义在 N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数，这与 数学归纳法运用的范围是一样的，并且数列的递推公式与归纳 原理实质上也是一致的．为此数列中有不少问题都可用数学归 纳法予以证明，诸如数列的通项，前 n 项和 Sn 的增减性、有界 性等，既可以是恒等式，也可以是不等式，没有固定的格式， 有一定的综合性，是最近几年高考的热点问题之一，证明时要 灵活应用题目中的已知条件，充分考虑“假设”这一步的应用， 不利用假设而进行的证明不是数学归纳法．
高二数学人教A版选修2-2第二章2.3 数学归纳法 课件(共37张PPT)
数学归纳法
定义及其简单应用
从前有一位画家，为了测试他的三个 徒弟对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫 来，让他们用最少的笔墨，画出最多的马。 第一个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群 马；第二个徒弟为了节省笔墨，只画出许 多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画出两 座山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还 有一匹只露出半截身子的马。
（ C ）。
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
3.用数学归纳法证明：1 a a2 ... an1
1 an2 ( a 1 )，在验证n＝1时，左端计算所得项 1a
为 _________
A .1
B .1 a
C .1 a a2
D .1 a a2 a3
3.用数学归纳法证明：1 a a2 ... an1
问题反思
1.数学归纳法的步骤(原理)中关键及难点是什么? 2.有人说：“数学归纳法使无限与有限间实现了平 衡”，你怎样理解这句话？
ห้องสมุดไป่ตู้ 课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
思考
1.这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件 是什么？
可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨 牌就都能倒下：
(1)第一块骨牌倒下； (2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一 块倒下。
2.你认为条件(2)的作用是什么？
知识归纳
数学归纳法的一般步骤(原理)：
知识归纳
数学归纳法的一般步骤(原理)：
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题
定义及其简单应用
从前有一位画家，为了测试他的三个 徒弟对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫 来，让他们用最少的笔墨，画出最多的马。 第一个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群 马；第二个徒弟为了节省笔墨，只画出许 多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画出两 座山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还 有一匹只露出半截身子的马。
（ C ）。
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
3.用数学归纳法证明：1 a a2 ... an1
1 an2 ( a 1 )，在验证n＝1时，左端计算所得项 1a
为 _________
A .1
B .1 a
C .1 a a2
D .1 a a2 a3
3.用数学归纳法证明：1 a a2 ... an1
问题反思
1.数学归纳法的步骤(原理)中关键及难点是什么? 2.有人说：“数学归纳法使无限与有限间实现了平 衡”，你怎样理解这句话？
ห้องสมุดไป่ตู้ 课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
思考
1.这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件 是什么？
可以看出，只要满足以下两个条件，所有多米诺骨 牌就都能倒下：
(1)第一块骨牌倒下； (2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一 块倒下。
2.你认为条件(2)的作用是什么？
知识归纳
数学归纳法的一般步骤(原理)：
知识归纳
数学归纳法的一般步骤(原理)：
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？
一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题
高中数学(新课标)选修2课件2.3数学归纳法
(2)数学归纳法是一种直接证明的方法，一般地，与正整数有关 的恒等式、不等式、数的整除、数列的通项及前 n 项和等问题都可 以用数学归纳法证明．但并不是所有与正整数有关的问题都能用数 学归纳法解决．
(3)第一个值 n0 是命题成立的第一个正整数，并不是所有的第 一个值 n0 都是 1.
(4)步骤(2)是用数学归纳法证明命题的关键．归纳假设“当 n ＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”起着已知的作用，证明“当 n＝k ＋1 时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的 定理、定义、公式、性质等推证出当 n＝k＋1 时命题也成立．而不
状元随笔
方法归纳
(1)用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出 假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除，这是 用数学归纳法证明整除问题的一大技巧．
(2)在推证 n＝k＋1 时，为了凑出归纳假设，采用了“增减项” 技巧，所以证明整除性问题的关键是“凑项”，采用增项、减项、 拆项和因式分解等手段，凑出 n＝k 时的情形，从而利用归纳假设 使问题得证．
【证明】 (1)当 n＝1 时，左边＝2×1 4＝18，右边＝18，等式成 立．
(2)假设当 n＝k 时，等式成立， 即2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k×12k＋2＝4k＋k 1成立． 当 n＝k＋1 时， 2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k×12k＋2＋2k＋2×1 2k＋4 ＝4k＋k 1＋4k＋11k＋2＝4kk＋k＋12k＋＋12 ＝4k＋k＋11k＋2 2＝4kk＋＋12＝4[k＋k＋11＋1]. 所以 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)(2)可得，对一切 n∈N*，等式成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整 数 n 都成立．
(3)第一个值 n0 是命题成立的第一个正整数，并不是所有的第 一个值 n0 都是 1.
(4)步骤(2)是用数学归纳法证明命题的关键．归纳假设“当 n ＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”起着已知的作用，证明“当 n＝k ＋1 时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的 定理、定义、公式、性质等推证出当 n＝k＋1 时命题也成立．而不
状元随笔
方法归纳
(1)用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出 假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除，这是 用数学归纳法证明整除问题的一大技巧．
(2)在推证 n＝k＋1 时，为了凑出归纳假设，采用了“增减项” 技巧，所以证明整除性问题的关键是“凑项”，采用增项、减项、 拆项和因式分解等手段，凑出 n＝k 时的情形，从而利用归纳假设 使问题得证．
【证明】 (1)当 n＝1 时，左边＝2×1 4＝18，右边＝18，等式成 立．
(2)假设当 n＝k 时，等式成立， 即2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k×12k＋2＝4k＋k 1成立． 当 n＝k＋1 时， 2×1 4＋4×1 6＋6×1 8＋…＋2k×12k＋2＋2k＋2×1 2k＋4 ＝4k＋k 1＋4k＋11k＋2＝4kk＋k＋12k＋＋12 ＝4k＋k＋11k＋2 2＝4kk＋＋12＝4[k＋k＋11＋1]. 所以 n＝k＋1 时，等式也成立． 由(1)(2)可得，对一切 n∈N*，等式成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整 数 n 都成立．
高中数学：2.3《数学归纳法》课件(新人教A版选修2-2)
利用到假设
根据(1)和 都成立. 根据 和(2),可知等式对任何 n ∈ N 都成立 可知等式对任何 错误原因：由证明 错误原因：由证明n=k+1等式成立 等式成立 没有用到n=k命题成立的归纳假设 命题成立的归纳假设 时没有用到 命题成立的
思考
1 1 1 1 , ， 已知数列 , , · · ·， n－ 2)(3 n + 1) (3 − 1× 4 4 × 7 7 ×10
(2)(归纳递推) (2)(归纳递推)是递推的依据 归纳递推 n＝ k时 命题成立．作为必用的条件运用， 命题成立．作为必用的条件运用，而n＝k+1 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、 利用假设及已知的定义 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、 定理等加以证明
求证: n+1)(n+2)…(n+n)=2 (2n例、求证:(n+1)(n+2) (n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1) (2n
请问： 请问： 步中“ n=k+1时 的证明可否改换为： 第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为： 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+ +(2k-1)+[2(k+1)1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1) +(2k1+3+5+ +(2k +(2k = （k +1)[1+ (2k +1)] = (k+1)2 ?为什么？ 为什么？
证明： n=1时 左边=1+1=2 右边=2 1=2 左边=右边， =1+1=2， 1=2， 证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等 式成立。 式成立。 时有： ② 假设当n=k((k∈N ）时有： 假设当 (k+1)(k+2)…(k+k) (k+k)= (2n-1), (k+1)(k+2) (k+k)=2k• 1• 3•…• (2n-1), n=k+1时 当n=k+1时： 左边=(k+2)(k+3) =(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2) 左边=(k+2)(k+3) (k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3) (k+k) （2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k) k+1)(k+2)(k+3) (k+k)•
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ak 1 2k 1 1
（2）若n=k时猜想成立, 则当n=k+1时猜想也成立，
根据（1）和（2），可知对任意的 根据（1）和（2），可知对任意的正
正整数n，猜想都成立。
整数n，猜想都成立。
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：
基础
（1）（归纳奠基） 证明当n取第一个值n 0(n 0 ∈ N* ) 时命题成立。
探究二：你能类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，证明 出刚才的数列通项为 an 2n 1 的猜想吗？
多米诺骨牌游戏原理 证明通项公式 an 2n 1, n N*
(1)第一块骨牌倒下；
（1）当n=1时猜想成立；
（2）若第K块骨牌倒下时，则使 相邻的第K+1块骨牌也倒下
（2）若n=k时猜想成立 即 ak 2k 1
假设给的形式：连乘积
D. (2k 1)(2k 2) k 1
当n＝k时，左边= _(k___1)_(k___2_)__(_k__k_)_；右边= _2_k__1__3__5_____(_2_k__1_)_
当n＝k+1时，左边= __[_(k___1)__1_]_[(_k__1_)__2_]__2_k__(_2k___1_)[_(k___1)__(_k__1_)_] ____ ；
1 n(n 3) 2
条时，
A.n 1
B.n 2
C.n 3
D.n 1
注意：当n<3时构不成多边形，且由
1 n(n 3) 2
可知 n 3
.Hale Waihona Puke 技能2：能弄清两端项的情况
例2 .用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1) 当n＝1时，左边所得项是 1_+_2_+__3___ ； 左边=6，右边= (11)(2 1) 2 3 6 当n＝2时，左边所得项是 1_+_2_+__3_+_4_+_5__ ；左边=15，右边= (2 1)(4 1) 3 5 15 当n＝k时，左边所得项是 1_+_2_+_3_+_…_+_(_2_k_+_1_)_=_左__边，； 右边= (k 1)(2k 1)
左边=右边，当n 1时，等式成立. （2）假设当n＝k，n N *时，等式成立，即
1 4 2 7 310 k(3k 1) k(k 1)2
当n＝ k+1时，1 4 2 7 310 k(3k 1) (k 1)[3(k 1) 1]
k(k 1)2 (k 1) (3k 4) (k 1) (k 2 k 3k 4) (k 1) (k 2)2 (k 1)[(k 1) 1]2
( 2 ) ( 归纳递推 ) 假设n = k ( k ≥ n 0 ，k ∈ N* ) 时命题成立，
根据
证明当n=k+1时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n都成立。
上述证明方法叫做数学归纳法（mathematical induction） 问题4：是否已经确认n = k 时命题成立？ 问题5：上面两个条件分别起怎样的作用？我们能否去掉其中的一个？ 问题6：数学归纳法的第一步n 0 的初始值是否一定为1？
[提示]不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3.
基础自测1.判断√和×
[答案] (1)× (2)× (3)√
技能1：会找第一个值n 0
例1.用数学归纳法证明 2n n2 则第一个正整数取值为__________
解：令n 1, 有21 12成立，n0 1
你有什么收获？
当n k 1时，等式成立.
由（1）（2）知，对于 n N * 等式恒成立.
[规律方法] 用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点：
1弄清 n 取第一个值 n0 时等式两端项的情况； 小结 2弄清从 n＝k 到 n＝k＋1 等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；
3证明 n＝k＋1 时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，
费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他在解析几何，微积分，概 率论，数论方面都对数学的发展有着卓越的贡献。他观察到: 220 1 3, 221 1 5, 222 1 17, 223 1 257, 224 1 65537, 都是质数！于是他归纳推理提出猜想：
当n∈N时， 22n 1一定都是质数． 问题1：费马运用什么方法得到的结论？
an 2n 1
二、数学归纳法类比 多米诺骨牌效应 探究一：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？
二、数学归纳法雏形：多米诺骨牌效应 （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
条件（1）的作用是什么？
给出一个递推基础，保证第一块骨牌倒下
条件（2）的作用是什么？
给出一个递推根据（关系），当第k块倒下，相邻的第k+1块也倒下
先把上面的k个圆片全部从A柱移到B柱， ak 2k 1 接着把第k+1个最大的圆片从A柱移到C柱， 1 最后再把B柱上的k个圆片移到C柱. ak 2k 1 ak1 2ak 1 2 (2k 1) 1 2k1 1
则当n=k+1时猜想也成立，即 ak1 2k1 1
根据（1）和 （2），可知不论有 根据（1）和（2），可知对任意的正
当n＝k+1时，左边所得项是 1_+_2_+_3_+__…_+_(_2_k_+_1_)+___(_2_k_+_2)______+_[_2(_k_+_1_)_+_1]__ ；
右边是_[(_k__1_)__1_][_2_(k___1)__1_]
先确定最后一项，
规律？ 再按照规律补充
(2k+3)
技能3：正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化情况
验证是基础，找准起点！怎么找起点？代入试一试，找到①第一个（最小的）且②使 式子成立的取值。
基础自测2.用数学归纳法证明 3n n3(n 3, n N )，第一步应验证（ C ）
A.n 1
B.n 2
C.n 3
D.n 1
注意：有些问题中验证的初始值不一定是1.
基础自测3.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线有 第一步检证n等于（ C ）
A.(k 2 1)
B.(k 1)2
C. (k 1)4 (k 1)2
D.(k 2 1) (k 2 2) (k 2 3)
假设给的形式
2
k4 k2
当n＝k时，左边= _1__2___3_____k_2_；右边= ____2_________
k 2 2k 1
(k 1)2
当n＝k+1时，左边= 1___2__3_____k_2 __(_k2__1_)_(_k_2__2_) __(k_2__3_)_____(k___1)2；
(2)当n=k+1时,如何利用假设n=k给出的形式来代换？
提示：用n=k+1时式子左边减去n=k的式子的左边就知道
1 2 3 k2 (k2 1) (k2 2) (k2 3) (k 1)2 k 4 k 2 (k 2 1) (k 2 2) (k 2 3) 2
(k 1)2
课前准备 1、课本、练习本、双色笔、纠错本 2、分析错因，自纠学案 3、标记疑难，以备讨论
挑战极限 共创佳绩
数学归纳法是什么？ 是一种特殊的证明方法！
学习目标： 1、了解归纳法的原理、证明步骤及变形特点（重点） 2、会用数学归纳法证明有关数学命题（等式、不等式、整除、归纳猜想）（重难点）
一、创设情境，开启思维：费马数
右边是 _____(_k__1_)__[_(_k__1_)___1]_2_________________.
技能3：正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化情况
例3 .用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)
由n=k时的归纳假设证明n=k+1时，左边增加的项是？
右边= _(_k__1_)__[_(_k___1)___1_]2_.
由n=k时的归纳假设证明n=k+1时，左边增加的项是？
提示：用n=k+1时式子左边减去n=k的式子的左边就知道 (k 1)(3k 4)
技能4：会由目标形式凑出假设里给出的形式
例4 .用数学归纳法证明等式 1 2 3 n2 n4 n2 , n N * ，则 (1)当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（ D ）2
问：这个10层汉诺塔按规则①②，把圆片从A柱子全部移到C柱子，最少 需要移动多少次呢?
1个圆片的时候： 1 21 1
2个圆片的时候： 3 22 1 3个圆片的时候: 7 23 1
4个圆片的时候: 15 24 1
5个圆片的时候: 31 25 1
........ 10个圆片的时候: 210 1 问题3：n个圆片的时候是 ? 次
提示：从n=k到n=k+1过渡时，考虑清楚到底多了哪几项？少了哪几项？
技能5：会四部曲 一验证二假设三递推四结论
例5 .用数学归纳法证明等式 1 4 2 7 310 n(3n 1) n(n 1)2, n N *
证解明：：（1）当n＝1时，左边= _1__4___4_；右边= _1__(1___1)_2__4_；
后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了 F5 225 1 4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想
到当n＝5这一结论便不成立．
汉诺塔(又称河内塔)问题是源于印度一个古老传说的益智玩具。 玩法规则：①一次只移动一片；
（2）若n=k时猜想成立, 则当n=k+1时猜想也成立，
根据（1）和（2），可知对任意的 根据（1）和（2），可知对任意的正
正整数n，猜想都成立。
整数n，猜想都成立。
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：
基础
（1）（归纳奠基） 证明当n取第一个值n 0(n 0 ∈ N* ) 时命题成立。
探究二：你能类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，证明 出刚才的数列通项为 an 2n 1 的猜想吗？
多米诺骨牌游戏原理 证明通项公式 an 2n 1, n N*
(1)第一块骨牌倒下；
（1）当n=1时猜想成立；
（2）若第K块骨牌倒下时，则使 相邻的第K+1块骨牌也倒下
（2）若n=k时猜想成立 即 ak 2k 1
假设给的形式：连乘积
D. (2k 1)(2k 2) k 1
当n＝k时，左边= _(k___1)_(k___2_)__(_k__k_)_；右边= _2_k__1__3__5_____(_2_k__1_)_
当n＝k+1时，左边= __[_(k___1)__1_]_[(_k__1_)__2_]__2_k__(_2k___1_)[_(k___1)__(_k__1_)_] ____ ；
1 n(n 3) 2
条时，
A.n 1
B.n 2
C.n 3
D.n 1
注意：当n<3时构不成多边形，且由
1 n(n 3) 2
可知 n 3
.Hale Waihona Puke 技能2：能弄清两端项的情况
例2 .用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1) 当n＝1时，左边所得项是 1_+_2_+__3___ ； 左边=6，右边= (11)(2 1) 2 3 6 当n＝2时，左边所得项是 1_+_2_+__3_+_4_+_5__ ；左边=15，右边= (2 1)(4 1) 3 5 15 当n＝k时，左边所得项是 1_+_2_+_3_+_…_+_(_2_k_+_1_)_=_左__边，； 右边= (k 1)(2k 1)
左边=右边，当n 1时，等式成立. （2）假设当n＝k，n N *时，等式成立，即
1 4 2 7 310 k(3k 1) k(k 1)2
当n＝ k+1时，1 4 2 7 310 k(3k 1) (k 1)[3(k 1) 1]
k(k 1)2 (k 1) (3k 4) (k 1) (k 2 k 3k 4) (k 1) (k 2)2 (k 1)[(k 1) 1]2
( 2 ) ( 归纳递推 ) 假设n = k ( k ≥ n 0 ，k ∈ N* ) 时命题成立，
根据
证明当n=k+1时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n都成立。
上述证明方法叫做数学归纳法（mathematical induction） 问题4：是否已经确认n = k 时命题成立？ 问题5：上面两个条件分别起怎样的作用？我们能否去掉其中的一个？ 问题6：数学归纳法的第一步n 0 的初始值是否一定为1？
[提示]不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3.
基础自测1.判断√和×
[答案] (1)× (2)× (3)√
技能1：会找第一个值n 0
例1.用数学归纳法证明 2n n2 则第一个正整数取值为__________
解：令n 1, 有21 12成立，n0 1
你有什么收获？
当n k 1时，等式成立.
由（1）（2）知，对于 n N * 等式恒成立.
[规律方法] 用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点：
1弄清 n 取第一个值 n0 时等式两端项的情况； 小结 2弄清从 n＝k 到 n＝k＋1 等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；
3证明 n＝k＋1 时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，
费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他在解析几何，微积分，概 率论，数论方面都对数学的发展有着卓越的贡献。他观察到: 220 1 3, 221 1 5, 222 1 17, 223 1 257, 224 1 65537, 都是质数！于是他归纳推理提出猜想：
当n∈N时， 22n 1一定都是质数． 问题1：费马运用什么方法得到的结论？
an 2n 1
二、数学归纳法类比 多米诺骨牌效应 探究一：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？
二、数学归纳法雏形：多米诺骨牌效应 （1）第一块骨牌倒下； （2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
条件（1）的作用是什么？
给出一个递推基础，保证第一块骨牌倒下
条件（2）的作用是什么？
给出一个递推根据（关系），当第k块倒下，相邻的第k+1块也倒下
先把上面的k个圆片全部从A柱移到B柱， ak 2k 1 接着把第k+1个最大的圆片从A柱移到C柱， 1 最后再把B柱上的k个圆片移到C柱. ak 2k 1 ak1 2ak 1 2 (2k 1) 1 2k1 1
则当n=k+1时猜想也成立，即 ak1 2k1 1
根据（1）和 （2），可知不论有 根据（1）和（2），可知对任意的正
当n＝k+1时，左边所得项是 1_+_2_+_3_+__…_+_(_2_k_+_1_)+___(_2_k_+_2)______+_[_2(_k_+_1_)_+_1]__ ；
右边是_[(_k__1_)__1_][_2_(k___1)__1_]
先确定最后一项，
规律？ 再按照规律补充
(2k+3)
技能3：正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化情况
验证是基础，找准起点！怎么找起点？代入试一试，找到①第一个（最小的）且②使 式子成立的取值。
基础自测2.用数学归纳法证明 3n n3(n 3, n N )，第一步应验证（ C ）
A.n 1
B.n 2
C.n 3
D.n 1
注意：有些问题中验证的初始值不一定是1.
基础自测3.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线有 第一步检证n等于（ C ）
A.(k 2 1)
B.(k 1)2
C. (k 1)4 (k 1)2
D.(k 2 1) (k 2 2) (k 2 3)
假设给的形式
2
k4 k2
当n＝k时，左边= _1__2___3_____k_2_；右边= ____2_________
k 2 2k 1
(k 1)2
当n＝k+1时，左边= 1___2__3_____k_2 __(_k2__1_)_(_k_2__2_) __(k_2__3_)_____(k___1)2；
(2)当n=k+1时,如何利用假设n=k给出的形式来代换？
提示：用n=k+1时式子左边减去n=k的式子的左边就知道
1 2 3 k2 (k2 1) (k2 2) (k2 3) (k 1)2 k 4 k 2 (k 2 1) (k 2 2) (k 2 3) 2
(k 1)2
课前准备 1、课本、练习本、双色笔、纠错本 2、分析错因，自纠学案 3、标记疑难，以备讨论
挑战极限 共创佳绩
数学归纳法是什么？ 是一种特殊的证明方法！
学习目标： 1、了解归纳法的原理、证明步骤及变形特点（重点） 2、会用数学归纳法证明有关数学命题（等式、不等式、整除、归纳猜想）（重难点）
一、创设情境，开启思维：费马数
右边是 _____(_k__1_)__[_(_k__1_)___1]_2_________________.
技能3：正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化情况
例3 .用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)
由n=k时的归纳假设证明n=k+1时，左边增加的项是？
右边= _(_k__1_)__[_(_k___1)___1_]2_.
由n=k时的归纳假设证明n=k+1时，左边增加的项是？
提示：用n=k+1时式子左边减去n=k的式子的左边就知道 (k 1)(3k 4)
技能4：会由目标形式凑出假设里给出的形式
例4 .用数学归纳法证明等式 1 2 3 n2 n4 n2 , n N * ，则 (1)当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上（ D ）2
问：这个10层汉诺塔按规则①②，把圆片从A柱子全部移到C柱子，最少 需要移动多少次呢?
1个圆片的时候： 1 21 1
2个圆片的时候： 3 22 1 3个圆片的时候: 7 23 1
4个圆片的时候: 15 24 1
5个圆片的时候: 31 25 1
........ 10个圆片的时候: 210 1 问题3：n个圆片的时候是 ? 次
提示：从n=k到n=k+1过渡时，考虑清楚到底多了哪几项？少了哪几项？
技能5：会四部曲 一验证二假设三递推四结论
例5 .用数学归纳法证明等式 1 4 2 7 310 n(3n 1) n(n 1)2, n N *
证解明：：（1）当n＝1时，左边= _1__4___4_；右边= _1__(1___1)_2__4_；
后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了 F5 225 1 4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．没想
到当n＝5这一结论便不成立．
汉诺塔(又称河内塔)问题是源于印度一个古老传说的益智玩具。 玩法规则：①一次只移动一片；