课题学习 正方体截面的形状

正方体的截面问题研究研究性学习报告————正方体的截面问题课题目的：探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示来证明其结果，列举特例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。

探究方法：首先通过猜想，列出预计猜想到得截面，其次进行画图或实践等方法证明猜想的正确与否。

再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。

阶段探究：1.猜想阶段：根据日常经验及想象，我们小组做出下列猜想：（1）正方形（2）矩形（3）平行四边形（4）三角形2.猜想及其他可能的证明：1.正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：====》》》由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。

====》》》由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。

2.矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。

其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。

3.平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：==》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。

4.三角形：根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:==》》》由上图可知，正方体可以截得三角形截面。

特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：==》得到：正三棱锥5.猜想之外的截面形状：（1）菱形：如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：（2）梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：==》》》（3）五边形：如图所示，可以截得五边形截面：=》通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。

（4）六边形：如图所示，可以截得六边形截面：=》特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：拓展探究：1.正方体最大面积的截面三角形2.正方体最大面积的截面四边形3.最大面积的截面形状4.截面五边形、六边形性质1. 正方体最大面积的截面三角形：如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形。

微课程设计方案主题：正方体的截面教学目标：通过用一个平面去截一个正方体，了解正方体有哪些截面形状，掌握空间图形与截面的关系，培养学生的空间想象能力。

教学重点：通过截一个正方体的活动，认识正方体截面的形状。

教学难点：正方体截面形状的变化，体会正方体在切截过程中的变化，发展学生的空间观念。

教学对象：七年级学生教学流程：一、创设情境，激发兴趣生活有很多物体的形状是正方体，那么正方体的截面都有哪些形状呢？本节微课就让我们一去探索吧！二、合作探究，发挥想象1、正方体的截面（重点）思考：猜想正方体的截面形状学生：三角形、正方形、梯形等等2、通过动画展示和实际操作，验证结果正方体的截面形状：三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、五边形、六边形3、归纳总结正方体的截面形状可能是：三角形、等腰三角形、等边三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、五边形和六边形4、探究思考：正方形的截面可能是七边形吗？为什么？它的实质是什么？“面面相交得线”用平面去截正方体，所得到的截面，就是这个平面与正方体每个面相交所围成的图形，因为正方形一共六个面，所以正方体的截面最多是六边形内容设计：(1)正方体的截面形状---三角形(2)正方体的截面形状---正方形(3)正方体的截面形状---长方形(4)正方体的截面形状---平行四边形(5)正方体的截面形状---梯形(6)正方体的截面形状---五边形(7)正方体的截面形状---六边形实施思路：1、确定微课程设计主题2、完成微课程的设计方案3、分析教学环境，确定微课设计教学目标和教学重难点，分析学生学情4、搜集有关正方体截面的图片、动画、教学视频等素材5、选择合适的视频制作、合成软件6、开始制作视频7、发布视频问题分析：1、微课程的教学应用环境？技术条件？微课程的教学依靠教室的多媒体电脑，录制过程使用的是Windows10 操作系统，录制软件是蜜蜂剪辑，视频制作使用的是MP4 格式，可以在系统上直接播放。

立体几何研究性课题《正方体截面》教学设计教学目标知识与技能目标：了解正方体的截面变化情况，能判断和画出常见几何体的简单截面，对截面问题形成比较完整的知识结构。

发展学生自主学习的水平，善于有根据地作出肯定或否定性的判断；培养学生的空间想象力和推理论证水平。

过程与方法目标：学生通过利用《几何画板》的操作演示，发现，探索截面变化的规律，培养空间想象水平及发散思维和类比思维水平情感，态度与价值观目标：借肋课件演示，创设问题情景，激发学生学习的热情和积极性，培养学生创新意识，提升学习数学的兴趣。

教法设计演示法：把已制作的课件展示给学生，便于学生对截面形成演变和形状变化的过程实行多角度的观察，并从中获得启发，从而掌握相关截面的知识和方法，谈话法：在教师指导下，由全班或小组成员围绕某一中心问题发表自己的看法，展开合作学习，集思广益，共同促动。

成果展示法：鼓励学生自己制作课件实行演示，让学生参与教学活动中来，在探究学习中获得成功的喜悦和认同，激发学习的热情，讨论法：就学生探索所得成果，各小组可自由提问，或者师生共同评价，最后对正方体的截面有一个比较系统完整地理解。

学习指导本课例以正方体的截面为核心，让学生借助几何画板的实际模拟和探索功能实行学习，由学生结合自主学习与小组合作学习的形式，实行观察，试验，探究，通过尝试，归纳，类比，自己去发现并总结相关截面问题的知识和方法，教师在此过程中实行必要的点拨和在学生学习出现困难时实行适当的指导，由此培养学生的自学水平，使学生真正成为学习的主人。

教学过程设计（1）问题提出首先教师要求学生在白纸上画好一个正方体。

提出课题：正方体的截面是什么形状的图形？（２）感性理解几种特殊的截面①学生个别学习，充分发挥想象力，凭直觉与推理，画出截面图形，指出它们的形状。

②电脑模拟切正方体③分别就（1）截面是三角形，（2）截面是四边形，（3）截面是五边形，（4）截面是六边形等各种情况实行小组学习，理解它们的各种特性，然后展开课堂讨论。

课题学习：正方体截面的形状一、教学目标1.掌握正方体截面的形状及其基本特征；2.熟练运用数学知识，对正方体截面进行分析和解决问题。

二、教学重点1.正方体的内角和公式；2.正方体截面的形状分析。

三、教学难点1.正方体截面的性质分析；2.基于正方体截面的推导和计算。

四、教学过程1. 导入环节与学生进行互动，引导学生回顾正方体的基本知识，例如正方体的性质、内角和公式。

同时，让学生了解了解正方体截面的概念，并且与他们分享正方体截面在科学研究和实践中的重要性。

2. 拓展分析通过指导学生实际绘制正方体和正方体截面，让学生对正方体截面的形状和特征有一个更为直观的认识。

通过展示一个或几个正方体截面的三维效果图形成视觉冲击，进一步增强学生对正方体截面性质分析与推导的兴趣和动力。

3. 认识正方体截面的形状对于正方体截面，学生会感到特别好奇和疑惑：“不同的切割方式，获得的截面形状是不是不一样？”我们可以结合生活实际，举例说明切割正方体的不同面获得的截面形状的异同点。

4. 计算正方体截面面积讲解正方体截面的性质和公式，通过实例演示计算正方体截面的面积，引导学生对框架和步骤有一个领悟和体验。

然后逐个举出关键部位的计算方法，及做好相关题目的经验与心得总结。

在这个过程中，核心课件演示的正方体截面图案是必要的。

5. 综合训练结合全面的练习题，让学生在对正方体截面的形状性质和解题方法的全面掌握的过程中，形成稳固的知识体系和解题技巧。

6. 总结归纳对于本节课内容进行梳理归纳，让学生表述自己的收获和体会，从而使学生更好地巩固知识，为扎实掌握新知识打下坚实的基础。

五、作业布置1.完成与本节课相关的习题；2.增强学习的深度和广度，自主查阅相关资料，了解正方体截面在现实应用中的具体案例。

六、教学反思正方体截面的相关概念和基本知识是高中数学中的难点和重点内容，需要引导学生从经验法则到原理规律的跨越。

为了提高学生对数学概念的认识及成品原理的掌握，我们需要教育学生需具备良好的求知欲、体验能力和创新意识，同时培养学生良好的数学思维和模型建立能力。

交点，交线，截面问题（一）南昌大学附中温伟明教学背景本课为以立体几何的交线为核心，第一课时，首先让学生学会用基本的公理，定理来分析立体几何中的作图问题，帮助学生找到作交点，交线，截面的正确定思路，后面微课通过借助《几何画板》的实际模拟和探索功能进行学习，由学生自我探究，进行知识迁移，通过类比，自己去尝试并最终解决问题。

教师在此过程中进行必要的总结和在学生出现困难时进行指导，由此培养学生思维的独立和发散性，使学生真正成为学习的主体，最后利用微课，让学生自主深入学习，发现规律，总结规律，为第二课时深入探索正方体截面打下基础教学目标：1．知识目标：能正确的作出立体几何的交点，交线，截面2．能力目标：学生利用基本公理，定理探索问题的能力，以培养学生知识迁移能力，发散思维和类比思维能力。

3．情感目标：培养学生探索创新能力，激发学生学习的热情和积极性。

重点与难点重点：空间几何体的交线的作法；正方体截面的作法难点：空间几何图形的交点，交线，截面；正方体截面相关的计算教学策略与教法设计策略：教师提出问题，用先学提纲然后逐层展开，分步进行研究（需学生进行探索和分析），学生进行小组讨论和实际操作，后面通过微课自主学习、探究学习、合作学习达到认知的意义建构。

教法1．演示法：把制作的课件展示给学生，便于学生对知识的深层次的把握，并从中获得启发，从而解决问题。

2．讨论法：就学生探索所得成果，各小组可自由提问，或者师生共同评价，最后总结成整体观点。

3讲练结合：通过例题，变式的逐步深入，在共同探讨，思维碰撞中，让学生感受到公理，定理运用所带来的帮助，让学生更加清晰找到思路教学过程设计一．预备知识：【公理1】过的三点，有且只有一个平面．〖推论1〗经过一条直线和的一点，有且只有一个平面．〖推论2〗经过两条，有且只有一个平面．〖推论3〗经过两条 ，有且只有一个平面．【公理2】如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内．符号表示：【公理3】如果两个不重合的平面有 公共点，那么它们有且只有一条过该点的 ．符号表示：【公理4】平行于同一条直线的两条直线互相通过基本公理的填写，让学生自己检测自己对公理的熟练程度，并且学生用三种语言描述公理，进而达到真正理解并掌握公理，期间教师会对公理进行分类（点面，线面，面面，线线），四层关系反应出空间点线面的关系，这这也正是学习其他定理的基础，也是帮助学生由二维平面图形到三维立体图形的良好过渡，明确公理在今后学习的重要性二预备练习1 四面体ABCD 中,G E ,分别为AB BC ,的中点,F 在CD 上,H 在AD 上,且有3:2::==HA DH FC DF ,求证：BD GH EF ，，三线共点．发挥学生自主学习的特点，我们采取分组进行自我探索，相互协作，小组讨论，通过课前完成相应练习。

优质课例 ^l W\聚焦核心素养，构建生动课堂—“正方俥截面的形状”教字设计与思考■曾敏《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出：数 学课程应倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习 数学的方式。

这些方式有助于发挥学生学习的主动 性，对培养学生良好的数学思维习惯、抽象能力及交 流合作能力大有裨益，从而促进学生发展，提高学生 数学核心素养。

截面问题是立体几何的典型问题。

教学“正方 体截面的形状”这节课时，教师利用正方体玻璃缸、水、量杯等实验工具开展数学探究活动，让学生在实 验探究中以分组讨论的方式开展研究性学习。

教师 通过问题导向、合作探究、数学实验，引导学生逐步 探究“正方体截面形状有哪些”和“正方体截面形状 的特征”，加深对截面问题的理解，实现由“教”到 “学”的转变,从而提升学生的核心素养。

教材分析“正方体截面的形状”是北师大版高中数学必修 2第1章“立体几何初步”中的课题学习内容。

在教 学中，我们希望学生通过“正方体截面的形状”的课 题学习，体会到“如何获得知识，比关注得到别人给 予的知识更重要”,体会到“问题是思考的结果，是深 人思考的开始；数学学习不仅要提高解决别人提出40 I X灰t 问题的能力，还要保持永不满足的好奇心，大胆地发 现问题、提出问题，养成问题意识和交流的习惯”，让 学生在学会数学的同时，培养数学核心素养。

学情分析学生已经学习了“立体几何初步”，对三维空间 有初步的认识，对简单几何体的基本特性和直观图、三视图有基本了解。

对空间的点、线、面的位置关系 也有了一定的理解，并初步学会用数学语言来描述 和论证某些位置关系（特别是平行和垂直关系）。

对 直观感知、操作确认、思辨论证和度量计算等方法有 了一定的体验。

有一定的空间想象能力，初步有了 推理论证和运用图形语言进行交流的能力。

教学过程一、创设情境，引人课题教师播放视频：《舌尖上的中国》(如下图），学生 观看视频。

Q I&S I S I 师：从视频中我们能感受到中国饮食文化的色、香、味、形。

正方体的截面问题研究研究性学习报告——正方体的截面形状【课题】正方体的截面形状【作者】刘可歆岳新茹【摘要】探究正方体截面形状，通过实践和图示证明其结果，列举特例。

【研究方法】首先经过猜想，列举出猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想是否正确。

再通过网络查询资料，寻找未猜想到的情况。

【研究过程】探究1：当截面为三角形根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下:====由上图可知，正方体可以截得三角形截面。

特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下：====》正三棱锥探究2：当截面是四边形1.正方形：因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明：====》》》由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。

====》》》由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。

2.矩形：因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。

其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。

3.平行四边形：当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：==》由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。

4．菱形：如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形：5．梯形：如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：==》》》探究3：当截面是五边形6.五边形：如图所示，可以截得五边形截面：=》探究3：当截面是六边形7.六边形：如图所示，可以截得六边形截面：=》特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：【拓展探究】1. 正方体最大面积的截面三角形：如该图所示可证明，由三角面对角线构成的三角形。

2. 正方体最大面积的截面四边形:通过猜想及查询资料可知，正方体截面可能得到的四边形有：正方形、矩形、梯形、平行四边形。

正方体截面的形状一、课题设计意图：1. 按课标要求，在高中阶段至少要有一次数学探究活动和数学建模活动，而活动的开展要有一个渐近的过程的，学生需要一个逐步适应、了解和认识的过程，所以在本模块设计该课题，是为了今后做更为完整的数学探究、数学建模活动所做的准备。

2．“正方体截面的形状”,是北师大版新教材配合立体几何学习而设定的一个”课题学习”的内容.它以立体几何的核心模型之一----正方体为载体, 通过试验、探究，寻求截面的可能的形状。

它通过“问题串”的形式，推进学生的思考和试验。

对实验中每一个结果，让学生自己确认其过程，又是一个理性思考、用心求证的过程。

这些环节可以帮助学生理解、应用本章所学知识，体验分类讨论、合情推理、大胆猜想、小心求证等数学思想方法。

同时做这个课题所采用的探究方法---结合实际问题设计实验、动手操作、合作交流、合作探究、撰写实验报告等，都是重要的学习和研究的方式，可以帮助学生积累数学研究的经验。

加上“*”的问题给优秀学生留出了创新的空间。

3. 本课题涉及内容：点、线、面的位置关系及直观图画法。

涵盖了立体几何中的相当多的概念、定理。

通过正方体不同截面的生成和变化，可以认识空间图形及其关系，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力和几何直观的洞察力。

做课题的过程是对立体几何知识的一次综合应用的过程。

4．该课题学习很好地体现了立体几何初步一章的基本要求，有助于认识空间图形、培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力及几何直观能力。

5．在章末安排该课题学习，一方面给学生提供一个学、用知识解决问题的舞台，能增强学生的应用意识和问题意识，加深对所学知识的理解。

另一方面，课题学习的形式有助于发展学生自主学习、合作学习的能力，改进学习方式，体验数学研究的过程，认识数学研究中直观和严谨、感性猜想和理性推力的关系，积累数学研究的经验，鼓励学生发挥自己的想像力和创造力。