三角函数的图像和性质》学案

三角函数的图象与性质总课时教案第一章：引言1.1 三角函数的概念引导学生回顾初中阶段学习的三角函数知识，如正弦、余弦和正切函数。

解释三角函数在数学和物理学中的重要性。

1.2 三角函数的定义介绍角度的弧度制。

讲解正弦、余弦和正切函数的定义。

1.3 三角函数的图像利用计算器或软件绘制正弦、余弦和正切函数的图像。

引导学生观察图像的周期性、对称性和奇偶性。

第二章：正弦函数的性质2.1 正弦函数的周期性讲解正弦函数的周期性及其公式。

引导学生通过图像理解周期性。

2.2 正弦函数的振幅解释振幅的概念及其对正弦函数图像的影响。

引导学生通过图像理解振幅的作用。

2.3 正弦函数的相位讲解相位的概念及其对正弦函数图像的影响。

引导学生通过图像理解相位的作用。

第三章：余弦函数的性质3.1 余弦函数的周期性讲解余弦函数的周期性及其公式。

引导学生通过图像理解周期性。

3.2 余弦函数的振幅解释振幅的概念及其对余弦函数图像的影响。

引导学生通过图像理解振幅的作用。

3.3 余弦函数的相位讲解相位的概念及其对余弦函数图像的影响。

引导学生通过图像理解相位的作用。

第四章：正切函数的性质4.1 正切函数的周期性讲解正切函数的周期性及其公式。

引导学生通过图像理解周期性。

4.2 正切函数的振幅解释振幅的概念及其对正切函数图像的影响。

引导学生通过图像理解振幅的作用。

4.3 正切函数的相位讲解相位的概念及其对正切函数图像的影响。

引导学生通过图像理解相位的作用。

第五章：三角函数的图象与性质的综合应用5.1 正弦函数的综合应用通过实际问题引导学生运用正弦函数解决实际问题。

引导学生运用正弦函数的性质解决几何问题。

5.2 余弦函数的综合应用通过实际问题引导学生运用余弦函数解决实际问题。

引导学生运用余弦函数的性质解决几何问题。

5.3 正切函数的综合应用通过实际问题引导学生运用正切函数解决实际问题。

引导学生运用正切函数的性质解决几何问题。

第六章：三角函数的性质总结6.1 三角函数的性质对比总结正弦、余弦和正切函数的周期性、振幅、相位等性质。

三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标：1. 理解三角函数的定义，掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质。

2. 能够运用三角函数的图像与性质解决实际问题。

3. 提高学生的数学思维能力，培养学生的数学审美观念。

二、教学内容：1. 三角函数的定义与基本性质2. 正弦函数的图像与性质3. 余弦函数的图像与性质4. 正切函数的图像与性质5. 三角函数图像与性质的综合应用三、教学重点与难点：1. 重点：三角函数的定义，正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质。

2. 难点：三角函数图像与性质的综合应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索三角函数的图像与性质。

2. 利用多媒体课件，展示三角函数的图像，增强学生的直观感受。

3. 结合实际例子，让学生学会运用三角函数的图像与性质解决实际问题。

4. 开展小组讨论，培养学生的合作与交流能力。

五、教学过程：1. 导入：通过复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生进入本节课的学习。

2. 三角函数的定义与基本性质：讲解三角函数的定义，引导学生掌握三角函数的基本性质。

3. 正弦函数的图像与性质：利用多媒体课件展示正弦函数的图像，讲解正弦函数的性质。

4. 余弦函数的图像与性质：利用多媒体课件展示余弦函数的图像，讲解余弦函数的性质。

5. 正切函数的图像与性质：利用多媒体课件展示正切函数的图像，讲解正切函数的性质。

6. 三角函数图像与性质的综合应用：结合实际例子，讲解如何运用三角函数的图像与性质解决实际问题。

7. 课堂小结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。

8. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

9. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，总结经验教训。

10. 教学评价：对学生的学习情况进行评价，了解学生对三角函数图像与性质的掌握程度。

六、教学策略与资源：1. 教学策略：采用问题引导式教学，鼓励学生主动发现问题、解决问题。

利用数学软件或在线工具，让学生亲自动手绘制三角函数图像，加深对函数性质的理解。

5.4 三角函数的图象与性质 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象【学习目标】1.了解正弦函数、余弦函数的图象． 2.会用五点法画正弦函数、余弦函数的图象．3.能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．【自主学习】一．正弦函数的图象正弦函数的图象叫做 ，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．五点法：在函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，以下五个点： ，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1， ，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象形状就基本确定了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图． 二．余弦函数图象1.变换法将正弦函数的图象向左平移π2个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示．余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的图象叫做余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．2.五点法：y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的五个关键点为： ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， ，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0， ，用光滑曲线连接这五个点可得到x ∈[－π，π]的简图．注意：(1)“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．(2)“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向．【小试牛刀】1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)正、余弦函数的图象形状相同，位置不同．( ) (2)正、余弦函数的图象向左、右和上、下无限伸展．( )(3)将正弦曲线向右平移π2个单位就得到余弦曲线．( )(4)函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2的图象与函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状完全一致．( )(5)函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]k ∈Z ，且k ≠0的图象与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象形状完全一致．( ) 2.用五点法作函数y ＝sin 2x ，x ∈[0，π]的简图的五个点的横坐标为( ) A ．0，π2，π，3π2，2π B ．0，π4，π2，3π4，π C ．0，π，2π，3π，4π D ．0，π6，π3，π2，2π3【经典例题】题型一 用“五点法”作三角函数图象点拨：用“五点法”画函数y ＝A sin x ＋b (A ≠0)在[0,2π]上的简图的步骤 1.列表2.描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y 1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，y 2，(π，y 3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，y 4，(2π，y 5)．3.连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来． 例1 用“五点法”作出下列函数的简图：(1)y ＝－sin x (0≤x ≤2π)； (2)y ＝1＋cos x (0≤x ≤2π)．【跟踪训练】1 用“五点法”作出函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，11π6的图象．题型二 利用正、余弦函数的图象解简单的三角不等式 点拨：用三角函数图象解三角不等式的步骤1.作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象(也可以是[－π，π]上的图象)；2.在[0,2π]上或([－π，π]上)写出适合三角不等式的解集；3.根据公式一写出定义域内的解集．例2 利用正弦曲线，求满足12<sin x ≤32的x 的集合．【跟踪训练】2 求下列函数的定义域．(1)y ＝lg(－cos x )； (2)y ＝2sin x － 2.题型三 利用正弦(余弦)函数图象解决图象交点问题 点拨：方程根(或个数)的两种判断方法1.代数法：直接求出方程的根，得到根的个数．2.几何法：(1)方程两边直接作差构造一个函数，作出函数的图象，利用对应函数的图象，观察与x 轴的交点个数，有几个交点原方程就有几个根．(2)转化为两个函数，分别作这两个函数的图象，观察交点个数，有几个交点原方程就有几个根． 例3 方程x ＋sin x ＝0的根有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【跟踪训练】3 方程sin x ＝lg x 的解的个数是________．【当堂达标】1.对于余弦函数y ＝cos x 的图象，有以下三项描述： ①向左向右无限延伸； ②与x 轴有无数多个交点；③与y ＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同． 其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2.函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图象是( )3.使不等式2－2sin x ≥0成立的x 的取值集合是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π＋π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 2k π－5π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z4.方程x 2－cos x ＝0的实数解的个数是________．5.若方程sin x ＝4m ＋1在[0，2π]上有解，则实数m 的取值范围是________．6.求下列函数的定义域．(1)y ＝ sin x －12＋cos x ；(2)y ＝sin x ＋25－x 2.7.在[0，2π]内用“五点法”作出y ＝－2cos x ＋3的简图．。

三角函数的图像与性质优秀教案第一章：正弦函数的图像与性质1.1 教学目标了解正弦函数的定义和基本概念学会绘制正弦函数的图像掌握正弦函数的性质1.2 教学内容正弦函数的定义和基本概念正弦函数的图像特点正弦函数的性质：奇偶性、周期性、对称性、单调性1.3 教学步骤1. 引入正弦函数的概念，引导学生理解正弦函数的定义。

2. 利用数学软件或图形计算器，绘制正弦函数的图像，让学生观察和分析图像的特点。

3. 讲解正弦函数的性质，结合图像进行解释，让学生理解和掌握性质。

1.4 教学评价通过课堂讲解和图像分析，评估学生对正弦函数的定义和图像的理解程度。

通过例题和练习题，评估学生对正弦函数性质的掌握程度。

第二章：余弦函数的图像与性质2.1 教学目标了解余弦函数的定义和基本概念学会绘制余弦函数的图像掌握余弦函数的性质2.2 教学内容余弦函数的定义和基本概念余弦函数的图像特点余弦函数的性质：奇偶性、周期性、对称性、单调性2.3 教学步骤1. 引入余弦函数的概念，引导学生理解余弦函数的定义。

2. 利用数学软件或图形计算器，绘制余弦函数的图像，让学生观察和分析图像的特点。

3. 讲解余弦函数的性质，结合图像进行解释，让学生理解和掌握性质。

2.4 教学评价通过课堂讲解和图像分析，评估学生对余弦函数的定义和图像的理解程度。

通过例题和练习题，评估学生对余弦函数性质的掌握程度。

第三章：正切函数的图像与性质3.1 教学目标了解正切函数的定义和基本概念学会绘制正切函数的图像掌握正切函数的性质3.2 教学内容正切函数的定义和基本概念正切函数的图像特点正切函数的性质：奇偶性、周期性、对称性、单调性1. 引入正切函数的概念，引导学生理解正切函数的定义。

2. 利用数学软件或图形计算器，绘制正切函数的图像，让学生观察和分析图像的特点。

3. 讲解正切函数的性质，结合图像进行解释，让学生理解和掌握性质。

3.4 教学评价通过课堂讲解和图像分析，评估学生对正切函数的定义和图像的理解程度。

高中数学必修4《三角函数的图象与性质》教案高中数学必修4《三角函数的图象与性质》教案【一】教学准备教学目标1、知识与技能(1)了解周期现象在现实中广泛存在;(2)感受周期现象对实际工作的意义;(3)理解周期函数的概念;(4)能熟练地判断简单的实际问题的周期;(5)能利用周期函数定义进行简单运用。

2、过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象;从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义;根据周期性的定义，再在实践中加以应用。

3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。

教学重难点重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。

难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。

教学工具投影仪教学过程【创设情境，揭示课题】同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。

众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。

再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。

所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。

(板书课题)【探究新知】1.我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片(投影图片)，注意波浪是怎样变化的?可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。

请你举出生活中存在周期现象的例子。

(单摆运动、四季变化等)(板书：一、我们生活中的周期现象)2.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：①如何理解“散点图”?②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么?③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”?④对于周期函数的定义，你的理解是怎样?以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T;x必须是定义域内的任意值;f(x+T)=f(x)。

三角函数图象与性质（学案）1．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为( )．A ．2 B.12 C ．4 D.14解析 由已知y ＝cos x 的图象经变换后得到y ＝cos 12x 的图象，所以ω＝12.答案 B2．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )．A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3解析 将(0,1)点代入f (x )可得sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6，T ＝2ππ3＝6.答案 A3．下列四个函数中同时具有(1)最小正周期是π；(2)图象关于x ＝π3对称的是( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析 ∵T ＝π，∴排除A ；又因为图象关于x ＝π3对称．∴当x ＝π3时，y 取得最大值(最小值)．代入B 、C 、D 三项验证知D 正确．答案 D4．先作函数y ＝sin x 的图象关于y 轴的对称图象，再将所得图象向左平移π4个单位，所得图象的函数解析式是________． 解析 作函数y ＝sin x 的图象关于y 轴的对称图象，其函数解析式为y ＝sin (－x )，再将函数y ＝sin (－x )的图象向左平移π4个单位，得到函数图象的函数解析式为：y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π4.答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－x －π45．先将y ＝sin x 的图象向右平移π5个单位，再变化各点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为2π3的函数y ＝sin(ωx ＋φ)(其中ω>0)的图象，则ω＝________，φ＝________.解析 由已知得到函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π5且2πω＝2π3，∴ω＝3，φ＝－π5.答案 3 －π5 6．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1(其中a 为常数)． (1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求出使f (x )取得最大值时x 的集合．解 (1)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 即f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )； 由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )得，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )， 即f (x )的单调减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，所以π6≤2x ＋π6≤7π6，－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，可见f (x )的最大值为2＋a ＋1故a ＝1.(3)f (x )取得最大值时，2x ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π6(k ∈Z )，所以，当f (x )取得最大值时x的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z .7．下列命题正确的是( )．A ．y ＝cos x 的图象向右平移π2得y ＝sin x 的图象B ．y ＝sin x 的图象向右平移π2得y ＝cos x 的图象C ．当φ<0时，y ＝sin x 向左平移|φ|个单位可得y ＝sin(x ＋φ)的图象D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位得到 解析 将y ＝sin x 的图象向右平移π2得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2即y ＝－cos x 的图象，可知B 错；当φ<0时，y＝sin x 向左平移|φ|个单位可得y ＝sin (x －φ)的图象，可知C 错；将y ＝sin 2x 向左平移π3个单位得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋23π的图象，可知D 错．答案 A 8．已知函数y ＝sin ()ωx ＋φ⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图，则( )．A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6解析 由图象知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，ω＝2.且2×7π12＋φ＝k π＋π(k ∈Z )，φ＝k π－π6(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝－π6.答案 D9．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在一个周期内当x ＝π12时，有最大值2，当x ＝7π12时有最小值－2，则ω＝________.解析 由题意知T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π.∴ω＝2πT ＝2.答案 210．(2012·枣庄高一检测)关于f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6； ③y ＝f (x )图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )图象关于直线＝－π6对称． 其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．解析 对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π(k ∈Z )．∴x ＝k 2π－π6(k ∈Z )，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错误；对于②，由f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3可得f(x)＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∴②正确； 对于③，f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称中心满足2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x ＝k 2π－π6(k ∈Z )， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数y ＝f (x )的一个对称中心．∴③正确；对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．∴④错误．答案 ②③11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)写出f (x )的递增区间．解 (1)由图可以得出A ＝2，ω＝π6－－2＝π8，由π8·(－2)＋φ＝0得φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4.(2)令2k π－π2≤π8x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得16k －6≤x ≤16k ＋2，k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为[16k －6,16k ＋2]，k ∈Z .12．(创新拓展)已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，2，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，0，若φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．解 (1)依题意，A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫38π－π8＝π.∵T ＝2π|ω|＝π，ω>0，∴ω＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)，又曲线上的最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝1.∵－π2<φ<π2，∴φ＝π4.∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (2)列出x 、y 的对应值表：x 0 π8 38π 58π 78ππ 2x ＋π4 π4 π2 π 32π 2π 9π4y1 2 0 －2 0 1作图如下：。

三角函数的图像与性质一、课标、考纲解读 1、能画出，，的图象，2、了解三角函数的周期性.3、借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x 轴交点等）；4、命题走向 近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。

在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法.5、学习重点、难点三角函数的性质，特别是单调性和周期性以与最值是重中之重。

二、基础知识梳理1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像（请自己在对应图像后面画出任意一个周期的图象）1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyx1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy xy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyx小结：用“五点法”作正弦、余弦函数的图象．“五点法”作图实质上是选取函数的一个，将其四等分，分别找到图象的点，点与“平衡点”．由这五个点大致确定函数的位置与形状．⑴ 若相邻两条对称轴为x＝a和x＝b，则T＝．⑵ 若相邻两对称点(a，0)和(b，0) ，则T＝．⑶ 若有一个对称点(a，0)和它相邻的一条对称轴x＝b，则T＝．则该结论可以推广到其它函数吗？三、典例精析例2. 已知函数f (x)＝21log (－)⑴ 求它的定义域和值域； ⑵ 求它的单调区间； ⑶ 判断它的奇偶性；⑷ 判定它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．考点一、三角函数的定义域问题 1．与三角函数有关的函数的定义域(1)与三角函数有关的函数的定义域仍然是使函数解析式有意义的自变量的取值范围．(2)求此类函数的定义域最终归结为用三角函数线或三角函数的图象解三角不等式．变式训练： 求函数y ＝x －1)＋(36－x 2)的定义域：【分析】 本题求函数的定义域．(1)需注意对数的真数大于零，然后利用弦函数的图象求解．(2)需注意偶次根式的被开方数大于或等于零，然后利用函数的图象或三角函数线求解．【解析】 (1)函数定义域即下面不等式组的解集：错误!解得：－6＜x ≤－错误!π或－错误!≤x ≤错误!或错误!≤x ＜6； 所以函数定义域为(－6，－π]∪[－，]∪[，6 小结：1、用三角函数线解 x ＞a ( x ＞a )的方法(1)找出使 x ＝a ( x ＝a )的两个x 值的终边所在位置． (2)根据变化趋势，确定不等式的解集．2、用三角函数的图象解 x ＞a ( x ＞a ， x ＞a )的方法．(1)作直线y ＝a ，在三角函数的图象上找出一个周期内(不一定是[0,2π])在直线y ＝a 上方的图象．(2)确定x＝a( x＝a，x＝a)的x值，写出解集．考点二、三角函数单调区间的求法1．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以与与x轴的交点等)，理解正切函数在区间(－，)内的单调性．2．准确记忆三角函数的单调区间是求复合三角函数单调区间的基础．变式训练：已知函数f(x)＝2x＋2 x＋32x，x∈R.求：(1)函数f(x)的最大值与取得最大值的自变量x的集合；(2)函数f(x)的单调增区间．【解析】 (1)法一∵f(x)＝2x,2)＋ 2x＋2x),2)＝2＋ 2x＋ 2x＝2＋(2x＋)．∴当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值2＋.因此，f(x)取得最大值的自变量x的集合是{＝kπ＋，k∈Z}．法二∵f(x)＝(2x＋2x)＋ 2x＋22x＝1＋ 2x＋1＋ 2x＝2＋(2x＋)．∴当2x＋＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值2＋.因此，f(x)取得最大值的自变量x的集合是{＝kπ＋，k∈Z}．(2)f(x)＝2＋(2x＋)．由题意得2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，即[kπ－，kπ＋](k∈Z)．因此，f(x)的单调增区间是{π－≤x≤kπ＋(k∈Z)}小结：1、形如y＝(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx＋φ看作一个整体，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)求得函数的增区间，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)求得函数的减区间．2、形如y＝(－ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数，可先利用诱导公式把x的系数变为正数，得到y＝－(ωx－φ)，由－＋2kπ≤ωx－φ≤＋2kπ(k∈Z)得到函数的减区间，由＋2kπ≤ωx－φ≤＋2kπ(k∈Z)得到函数的增区间．。

§4.3 三角函数的图像与性质2014高考会这样考 1.考查三角函数的图像：五点法作简图、图像变换、图像的解析式；2.考查三角函数的性质：值域或最值，单调区间、对称性等；3.考查数形结合思想．复习备考要这样做 1.会作三角函数的图像，通过图像研究三角函数的性质；2.对三角函数进行恒等变形，然后讨论其图像、性质；3.注重函数与方程、转化、数形结合等数学思想方法的应用．1． “五点法”作图原理在确定正弦函数y ＝sin x 在[0,2π]上的图像形状时，起关键作用的五个点是(0,0)、⎝⎛⎭⎫π2，1、(π，0)、⎝⎛⎭⎫32π，－1、(2π，0)．余弦函数呢？ 2． 三角函数的图像和性质[－1,1] 对称轴：x ＝k π＋∈Z )；对称中心：(k π，0)(k ∈Z )2π单调增区间[2k π－＋π2](k ∈Z )；单调减区间[2k π＋π2，2＋3π2] (k ∈Z )1． 函数的周期性若f (ωx ＋φ＋T )＝f (ωx ＋φ) (ω>0)，常数T 不能说是函数f (ωx ＋φ)的周期．因为f (ωx ＋φ＋T )＝f ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋T ω＋φ，即自变量由x 增加到x ＋T ω，T ω是函数的周期． 2． 求三角函数值域(最值)的方法(1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数的单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．1． 设点P 是函数f (x )＝sin ωx (ω≠0)的图像C 的一个对称中心，若点P 到图像C 的对称轴的距离的最小值是π4，则f (x )的最小正周期是________．答案 π解析 由正弦函数的图像知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的14，故f (x )的最小正周期为T ＝4×π4＝π.2．y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为______，此时x ＝_______________________. 答案 5 34π＋2k π，k ∈Z解析 当cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－1时，函数y ＝2－3cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4取得最大值5，此时x ＋π4＝π＋2k π (k ∈Z )，从而x ＝34π＋2k π，k ∈Z .3． (2012·福建)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2答案 C解析 方法一 ∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点，故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .取k ＝－1，则x ＝－π4.方法二 用验证法．x ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝0，不合题意，排除A ； x ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4＝22，不合题意，排除B ； x ＝－π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－π4＝－1，符合题意，C 项正确； x ＝－π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－22，不合题意，故D 项也不正确． 4． 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为( )A ．{x |x ≠k π－π4，k ∈Z }B ．{x |x ≠2k π－π4，k ∈Z }C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }D ．{x |x ≠2k π＋π4，k ∈Z }答案 A解析 令π4－x ≠k π＋π2，k ∈Z ，∴x ≠k π－π4，k ∈Z .5． 给出下列四个命题，其中不正确的命题为( )①若cos α＝cos β，则α－β＝2k π，k ∈Z ； ②函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像关于x ＝π12对称； ③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数； ④函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π. A ．①②B ．①④C ．①②③D ．①②④ Z*xx*k答案 D解析 命题①：若α＝－β，则cos α＝cos β，假命题；命题②：x ＝π12，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝ cos π2＝0，故x ＝π12不是y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称轴；命题④：函数y ＝sin|x |不是周期函数．题型一 三角函数的定义域、值域问题例1 (1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域； 学科(2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 思维启迪：求函数的定义域可利用三角函数的图像或数轴；求函数值域时要利用正弦函数的值域或化为二次函数．解 (1)由⎩⎨⎧sin 2x >09－x 2≥0， 得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为{x |－3≤x <－π2或0<x <π2}． 学&科&网Z&X&X&K](2)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最大值为54，最小值为1－22.探究提高 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域；(2)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的最大值与最小值．解 (1)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图像，在 同一坐标系中画出[0,2π]内y ＝sin x 和y ＝cos x 的图像，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．(2)由题意得：f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )·(sin x ＋cos x )＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 又x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1. 故当x ＝π3时，f (x )取最大值1；当x ＝－π12时，f (x )取最小值－32.题型二 三角函数的单调性与周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |. 思维启迪：(1)化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，再求单调区间及周期．(2)由y ＝tan x 的图像→y ＝|tan x |的图像→求单调性及周期．解 (1)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 它的增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的减区间， 它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ； 增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . 最小正周期T ＝2π2＝π.(2)观察图像可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 最小正周期T ＝π.探究提高 (1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ) (其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答．列不等式的原则：①把“ωx ＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A >0 (A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反)．(2)对于y ＝A tan(ωx ＋φ) (A 、ω、φ为常数)，其周期T ＝π|ω|，单调区间利用ωx ＋φ∈⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，解出x 的取值范围，即为其单调区间．对于复合函数y ＝f (v )，v ＝φ(x )，其单调性的判定方法：若y ＝f (v )和v ＝φ(x )同为增(减)函数时，y ＝f (φ(x ))为增函数；若y ＝f (v )和v ＝φ(x )一增一减时，y ＝f (φ(x ))为减函数．(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图像，结合图像判定．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值．解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 学科 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， 学科 ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )． 当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2 (k ∈Z )时，y min ＝－2.题型三 三角函数的对称性与奇偶性例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图像关于直线x ＝0对 称，则φ的值为________．(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2答案 (1)π6(2)A解析 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ图像关于x ＝0对称， 即f (x ＋φ)为偶函数．∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，φ＝k π＋π6，k ∈Z ，又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.(2)由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＋2π ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ， 取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.故选A.探究提高 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. 如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π (k ∈Z )，求x .如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π (k ∈Z )即可．(1)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3sin x 1 cos x 的图像的一条对称轴方程是( )A ．x ＝5π6B ．x ＝2π3C ．x ＝π3D ．x ＝π6答案 A 解析 f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 3sin x 1 cos x ＝3cos x －3sin x＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 所以当x ＝5π6时，f (x )＝23cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋π6＝－2 3. 学。

教学计划：《三角函数的图像与性质》一、教学目标1.知识与技能：学生能够掌握正弦、余弦、正切函数的基本图像及其关键特征（如周期、振幅、相位等）；理解并应用三角函数的奇偶性、单调性、最值等性质。

2.过程与方法：通过绘制函数图像、观察分析、归纳总结等过程，培养学生直观感知、逻辑推理和数学抽象能力；学会运用数形结合的方法解决三角函数问题。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养探索精神和严谨的科学态度；通过团队合作和交流分享，增强学生的集体意识和协作能力。

二、教学重点和难点●教学重点：正弦、余弦、正切函数的基本图像及性质；数形结合思想在三角函数中的应用。

●教学难点：理解并掌握三角函数图像的变换规律（如平移、伸缩、对称等）；运用三角函数的性质解决实际问题。

三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●生活实例：通过展示海浪波动、音乐波形等自然现象或人工制品中的周期性变化，引导学生思考这些现象与三角函数的关系，引出三角函数图像的重要性。

●复习旧知：简要回顾三角函数（正弦、余弦、正切）的定义和基础性质，为后续学习做好铺垫。

●提出问题：提出探究性问题，如“正弦函数的图像是什么样的？它有哪些基本性质？”激发学生的好奇心和探索欲。

2. 讲授新知（约15分钟）●图像绘制：利用多媒体演示或指导学生动手绘制正弦、余弦、正切函数的图像，强调图像的连续性、周期性等特点。

●性质讲解：结合图像，详细讲解三角函数的振幅、周期、相位等关键特征，以及奇偶性、单调性、最值等性质。

●对比分析：引导学生对比正弦、余弦、正切函数图像的差异，理解它们各自的特点和相互之间的关系。

3. 图像变换（约10分钟）●理论讲解：介绍三角函数图像的平移、伸缩、对称等变换规律，结合具体例子说明变换后的图像特征。

●实践操作：组织学生分组进行实践操作，尝试通过改变参数来绘制变换后的三角函数图像，并观察分析变化规律。

●总结归纳：引导学生总结归纳三角函数图像变换的一般规律和方法，形成系统的知识体系。

三角函数的图象与性质特训庖丁解题一：利用三角函数的单调性求参数1.已知函数()cos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω的取值范围是．2.已知函数π()sin (0)4f x x ωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭在区间π,π3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是.庖丁解题二：与函数零点或方程的根有关的参数问题1.已知函数2π1sin (0)64y x ωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有3个零点，则实数ω的取值范围是（）A ．()2,4B ．8,43⎛⎫⎪⎝⎭C ．8,43⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．(]2,42.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的最小正周期为T ，63T T f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若()f x 在[]0,1内恰有10个零点则ω的取值范围是．庖丁解题三：利用三角函数的对称性（奇偶性）求参数1.已知函数()πcos (0)4f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在区间[]0,2π内恰有3条对称轴，则ω的取值范围是（）A ．715,88⎡⎤⎢⎣⎦B ．59,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．513,88⎛⎤ ⎝⎦D ．91388⎡⎫⎪⎢⎣⎭,2.已知函数()cos f x x x ωω=-（ω＞0），若f （x ）在区间[]0,2π上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（）A ．54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1319,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．419,312⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．134,123⎡⎫⎪⎢⎣⎭庖丁解题四：与图象平移有关的参数范围问题锦囊：1、平移后与原图象重合思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；思路2：平移前的函数()f x =平移后的函数()g x .2、平移后与新图象重合：平移后的函数()f x =新的函数()g x .3、平移后的函数与原图象关于y 轴对称：平移后的函数为偶函数；4、平移后的函数与原函数关于x 轴对称：平移前的函数()f x =平移后的函数-()g x ；5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。