2020-2021学年浙江省杭州高级中学高一上学期期中考试数学试题 PDF

期中解答题精选50题（基础版）1．（2020·新疆巴州第一中学）设函数221()1x f x x +=-求证：1()()f f x x =- 【分析】直接将1x代入函数化简即可. 【详解】221()1x f x x +=-，()22221111111x x f f x x x x ⎛⎫+ ⎪+⎛⎫⎝⎭∴===- ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭，即得证. 2．（2020·宾县第一中学）已知函数()2f x 3x 5x 2=+-.（1）求()3f ，()1f a +的值； （2）若()4f a =-，求a 的值.【答案】（1）40，23116a a ++；（2）23a =-，或1a =- 【分析】（1）直接代入求值即可； （2）令()4f a =-，解出即可. 【详解】解：（1）()2352f x x x =+-，()233353240f ∴=⨯+⨯-=，()()()221315123116f a a a a a +=⨯++⨯+-=++；（2）令()4f a =-，即()23524f a a a =+-=-，解得：23a =-，或1a =-.3．（2020·济南市济阳区第一中学高一期中）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()22f x x x =--．（1）求函数()()f x x R ∈的解析式；（2）写出函数()()f x x R ∈的增区间(不需要证明）【答案】（1）()222.02,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩；（2）(),1-∞-和()1,+∞．【分析】（1）当0x >时，0x -<，根据()()f x f x =--可得函数解析式； （2）根据二次函数的性质可得答案． 【详解】()1函数()f x 是定义在R 上的函数∴当0x >时，0x -<，()()f x f x ∴=--又当0x ≤时，()22f x x x =--()()()()2222f x f x x x x x ⎡⎤∴=--=-----=-⎣⎦∴函数()()f x x R ∈的解析式为：()222.02,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩；()2由二次函数的性质可知函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞．4．（2020·大同市第四中学校）已知函数22()1x f x x =+．（1）求11(2),(3)23f f f f ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）求证：1()f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是定值． 【答案】（1）1，1；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据函数解析式代入即可求解. （2）根据解析式，代入整理即可求解.【详解】（1）因为()221x f x x =+，所以()2222112221212112f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()2222113331313113f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭．（2）()22222222211111111111x x x x f x f x x x x x x ⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭+=+=+== ⎪++++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，是定值． 5．（2020·拉萨市第四高级中学高一期中）已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足(0)(1)0f f ==，且()f x 的最小值是14-．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数2()52g x x x =+-，函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 在区间[2,5]-上的最值. 【答案】（1）2()f x x x =-；（2）最大值14，最小值28-.【分析】（1）由已知条件列方程组，可求出,,a b c 的值，从而可得,,a b c ； （2）由题意得()62h x x =-+，再利用其单调性可求出其在[2,5]-上的最值 【详解】（1）因为(0)(1)0f f ==， 所以(0)0,(1)0f c f a b c ===++=，由二次函数的性质得11112424f a b c ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，解得，1,1,0a b c ==-= 所以2()f x x x =-（2）依题得：()62h x x =-+ 函数()h x 在区间内[2,5]-单调递减 当2x =-时，()h x 有最大值14 当5x =时，()h x 有最小值28-6．（2020·南宁市第十九中学）已知函数()26x f x x +=-． （1）点()86,在()f x 的图像上吗？ （2）当3x =时，求()f x 的值； （3）当()8f x =时，求x 的值．【答案】（1）不在，（2）53-，（3）507【分析】（1）将点的坐标代入解析式中验证即可； （2）将3x =代入函数中直接求解； （3）由()8f x =，可得286x x +=-，从而可求出x 的值 【详解】解：（1）因为()8285686f +==≠-，所以点()86,不在()f x 的图像上， （2）()3253363f +==--， （3）由()8f x =，得286x x +=-，解得507x =7．（2020·云南砚山县第三高级中学高一期中）判断下列函数的奇偶性． （1）21()f x x =； （2）()31f x x =-+；【答案】（1）偶函数；（2）非奇非偶函数.【分析】先求函数的定义域，再利用函数奇偶性的定义判断即可 【详解】（1）因为定义域为：{}0x x ≠ 所以定义域关于原点对称， 又因为2211()()()f x f x x x -===-，所以函数f （x ）是偶函数； （2）因为定义域为R ，关于原点对称又因为()31f x x =-+，则()31()f x x f x -=+≠，()31()f x x f x -=+≠-， 所以()f x 是非奇非偶函数；8．（2019·广东高一期中）已知函数f (x 12x +． （1）求函数f (x )的定义域； （2）求f (－3)，f (23)的值；（3）当a >0时，求f (a )，f (a －1)的值．【答案】（1）[3,2)(2,)---+∞；（2）()31f -=-；23()38f =；（3）()12f a a +；()111f a a -=+ 【分析】（1）由平方根被开方数大于等于0,分母不为零,同时成立求出定义域; （2）代入解析式,求出()3f -,23f ⎛⎫⎪⎝⎭的值;（3）代入解析式,即可求出结果. 【详解】（1）要使函数有意义,须3033202x x x x x +≥≥-⎧⎧⇒⇒-≤⎨⎨+≠≠-⎩⎩且2x ≠-， 所以函数的定义域为[3,2)(2,)---+∞（2）()12f x x =+,所以()1301,32f -=+=--+213()23823f ==+ （3）0,11a a >∴->-,()12f a a =+ ()111f a a -=+ 9．（2020·云南砚山县第三高级中学高一期中）（1）求解：2340x x --=； （2）解不等式的解集：(9)0x x -> ； 【答案】（1）124,-1x x ==；（2）{}|09x x <<. 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）直接解一元二次不等式即可 【详解】(1)2340x x --=(4)(1)0x x -+= 124,-1x x ==(2)不等式化为(9)0x x -<， 09x ∴<<，∴不等式的解集为{}|09x x <<；10．（2019·抚顺市雷锋高级中学高一期中）已知0x >，求函数4y x x=+的最小值，并说明当x 为何值时y 取得最小值.【答案】最小值为4，当2x =时y 取得最小值【分析】根据基本不等式求得函数的最小值，且求得此时x 的值. 【详解】因为0x >，所以4224y x x =+≥⨯=. 当且仅当4x x=时取等号.24x =.因为0x >，所以2x =. 所以2x =为何值时y 取得最小值4.11．（2019·抚顺市雷锋高级中学高一期中）已知一元二次方程22320x x +-=的两个实数根为12,x x .求值：（1）2212x x +； （2）1211+x x . 【答案】（1）174；（2）32.【分析】利用韦达定理可得12123,12x x x x +=-⋅=-，再对所求式子进行变行，即222121212()2x x x x x x +=+-；12121211x x x x x x ++=⋅；两根和与积代入式子，即可得到答案； 【详解】解：因为一元二次方程22320x x +-=的两个实数根为12,x x ，所以由根与系数关系可知12123,12x x x x +=-⋅=-.（1）222121212()2x x x x x x +=+-9172(1)44=-⨯-=；（2）1212123113212x x x x x x -++===⋅-.12．（2019·抚顺市雷锋高级中学高一期中）解一元二次不等式：2560x x -+>. 【答案】(,2)(3,)-∞⋃+∞.【分析】对多项式进行因式分解得256(2)(3)x x x x -+=--，再利用大于取两边，即可得到答案；【详解】解：因为256(2)(3)x x x x -+=--， 所以原不等式等价于(2)(3)0x x -->. 所以所求不等式的解集为(,2)(3,)-∞⋃+∞.13．（2020·河北英才国际学校高一期中）已知23a <<，21b -<<-，求2a b +的范围. 【答案】225a b <+<【分析】根据不等式的性质可得出答案. 【详解】解：23a <<，426a ∴<<，又21b -<<-， 225a b ∴<+<.14．（2021·四川省武胜烈面中学校高一期中）（1）解不等式2210x x --+<. （2）若不等式20ax x b -+<的解集为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，求实数a ，b 的值； 【答案】（1）不等式的解集为{|1x x <-或12x ⎫>⎬⎭;（2）23a =,13b =.【分析】（1）根据一元二次不等式的解法即可求出； （2）根据函数与方程的思想即可求出.【详解】（1）2210x x --+<即为2210x x +->,而2210x x +-=的两根为11,2-,所以不等式的解集为{|1x x <-或12x ⎫>⎬⎭.（2）由题意可知20ax x b -+=的两根为1,12,所以,1112112a ba⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩,解得23a =,13b =. 15．（2019·福建高一期中）若二次函数满足f （x ＋1）－f （x ）＝2x 且f （0）＝1. （1）求f （x ）的解析式；（2）若在区间[－1，1]上不等式f （x ）>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）f （x ）＝x 2－x ＋1；（2）m <－1.【分析】（1）设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），则由f （0）＝1可求出c ，由f （x ＋1）－f （x ）＝2x 可求出,a b ，从而可求出函数的解析式，（2）将问题转化为x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立，构造函数g （x ）＝x 2－3x ＋1－m ，然后利用二次函数的性质求出其最小值，使其最小值大于零即可求出实数m 的取值范围 【详解】（1）设f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），由f （0）＝1， ∴c ＝1，∴f （x ）＝ax 2＋bx ＋1. ∵f （x ＋1）－f （x ）＝2x ，∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴220a a b =⎧⎨+=⎩，∴11a b =⎧⎨=-⎩，∴f （x ）＝x 2－x ＋1.（2）由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1，1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立.令g （x ）＝x 2－3x ＋1－m ＝3()2x -2－54－m ，其对称轴为x ＝32，∴g （x ）在区间[－1，1]上是减函数， ∴g （x ）min ＝g （1）＝1－3＋1－m >0， ∴m <－1.16．（2021·巴楚县第一中学高一期中）比较下列各组中两个代数式的大小： （1）256x x ++与2259x x ++； （2）2(3)x -与(2)(4)x x --； 【答案】（1）2256259x x x x ++<++；（2）2(3)(2)(4)x x x ->-- 【分析】利用作差法，分析两式之差的正负判定即可【详解】（1）因为()()2225625930x x x x x ++-++=--<，故2256259x x x x ++<++； （2）因为()()2220(63)(2)(4)9681x x x x x x x --=--++---=>，故2(3)(2)(4)x x x ->--【点睛】本题主要考查了作差法判定两式大小的问题，属于基础题17．（2020·上海财经大学附属中学高一期中）若x ∈R ，试比较26x x +3与24216x x -+的大小. 【答案】2264216.x x x x +≤-+3 【分析】利用作差法比较即可.【详解】因为()()()22226421681640x x x x x x x +--+=-+-=--≤3，所以2264216.x x x x +≤-+318．（2020·咸阳百灵学校）已知M = {x |－3 ≤ x ≤5}， N = {x | a ≤ x ≤ a +1}，若N M ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】34a -≤≤【分析】先分析集合N ≠∅，再根据N M ⊆建立不等式然后解之即可. 【详解】因为1a a <+，所以集合N ≠∅.因此，N M ⊆时，应满足315a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得34a -≤≤.19．（2020·大同市第四中学校）设集合{|12}A x x =-≤≤，集合{|21}B x m x =<<．若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数m 的取值范围；【答案】1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．【分析】由“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件有B A ⊆，讨论12m <、12m ≥满足条件时m 的范围，最后求并集即可.【详解】若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆， {}2|1A x x =-≤≤，①当12m <时，{|21}B x m x =<<，此时121m -≤<，即1122m -≤<；②当12m ≥时，B =∅，有B A ⊆成立；∴综上所述，所求m 的取值范围是1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．20．（2020·南宁市第十九中学）已知{}10A x x =-=，{}210B x x =-=．求：（1）A B ； （2）A B 【答案】（1）{}1；（2）{}1,1-【分析】先求出集合A ，B ，再根据交集并集的定义即可求出. 【详解】{}{}101A x x =-==，{}{}2101,1B x x =-==-，∴（1）{}1A B ⋂=；（2）{}1,1A B =-.21．（2020·桂林市临桂区五通中学高一期中）奇函数2()1ax bf x x +=+是定义在区间[]1,1-上的增函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）求()f x 解析式；（2）求不等式(1)()0f x f x -+<的解集． 【答案】（1）()21x f x x =+；（2）10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）先根据奇函数可求0b =，再利用1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求1a =，进而可得解析式；（2）根据奇函数和增函数把不等式(1)()0f x f x -+<进行转化，结合定义域可求答案. 【详解】（1）∵函数2()1ax bf x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数， ∴()00001bf +==+，即0b =， ∵1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2112225121a f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫ +⎪⎝⎭，解得1a =， ∴()21xf x x =+. 经验证知，()21x f x x =+是定义在[]1,1-上的奇函数，所以()21xf x x =+.（2）∵函数()f x 在[]1,1-上为奇函数，且(1)()f x f x -<-，∴(1)()f x f x -<-，又∵函数()f x 是定义在[]1,1-上的增函数，∴111111x x x x-≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩，解得102x ≤<.故不等式(1)()0f x f x -+<的解集为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.22．（2019·福建高一期中）已知函数2()1ax b f x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且3(3)10f =.（1）确定函数()f x 的解析式；（2）当(1,1)x ∈-时判断函数()f x 的单调性，并证明；（3）解不等式1(1)()02f x f x -+<. 【答案】（1）2()1x f x x =+；（2）()f x 在区间()1,1-上是增函数，证明见解析；（3）20,3⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）由奇函数的概念可得b 的值，根据()3310f =可得a 的值，进而得结果； （2）设1211x x -<<<，用作差法分析可得可得()()12f x f x <，由函数单调性的定义即可得证明； （3）将奇偶性和单调性相结合列出不等式组，解出即可. 【详解】（1）∵()()f x f x -=-， ∴221()1ax b ax bx x -+--=+-+，即b b -=，∴0b =.∴2()1axf x x =+， 又()3310f =，1a =， ∴2()1xf x x =+. （2）对区间()1,1-上得任意两个值1x ，2x ，且12x x <，22121221121212222222121212(1)(1)()(1)()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+---=-==++++++， ∵1211x x -<<<，∴120x x -<，1210x x ->，2110x +>，2210x +>，∴12())0(f x f x -<，∴12()()f x f x <， ∴()f x 在区间()1,1-上是增函数. （3）∵1(1)()02f x f x -+<， ∴1(1)()2f x f x -<-，1111211211x x x x ⎧-<-<⎪⎪⎪-<-⎨⎪-<<⎪⎪⎩，解得203x <<，∴实数x 得取值范围为20,3⎛⎫⎪⎝⎭.23．（2019·陕西镇安中学高一期中）函数()21ax bf x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）确定函数()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数. 【答案】（1）()21xf x x =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）由函数()f x 是定义在()1,1-上的奇函数，则()00f =，解得b 的值，再根据1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得a 的值从而求得()f x 的解析式； （2）设1211x x -<<<，化简可得()()120f x f x -<，然后再利用函数的单调性定义即可得到结果．【详解】解：（1）依题意得()00,12,25ff ⎧=⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎩∴20,1022,1514bab ⎧=⎪+⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎪⎩∴1,0,a b =⎧⎨=⎩∴()21x f x x =+ （2）证明：任取1211x x -<<<，∴()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++ ∵1211x x -<<<，∴120x x -<，2110x +>，2210x +>，由1211x x -<<<知，1211x x -<<，∴1210x x ->. ∴()()120f x f x -<.∴()f x 在()1,1-上单调递增.24．（2020·黔西南州同源中学高一期中）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-.（1）画出当0x <时，()f x 函数图象； （2）求出()f x 解析式.【答案】（1）见解析；（2）()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩ .【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可画出当0x <时，函数()f x 的函数图象； （2）根据函数奇偶性的定义即可求出函数解析式. 【详解】解：（1）()f x 是奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-．∴函数()f x 的函数图象关于原点对称，则当0x <时，()f x 函数图象：；（2）若0x <，则0x ->， 当0x ≥时，2()2f x x x =-．()()2()2()f x x x f x ∴-=---=-，则当0x <时，2()2f x x x =--．即()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩ .25．（2020·黔西南州同源中学高一期中）已知函数1()f x x x=-. （1）判断函数()f x 的奇偶性，并加以证明； （2）用定义证明函数()f x 在区间[)1,+∞上为增函数.【分析】（1）判断函数的奇偶性，利用奇偶性的定义证明即可； （2）作差判断符号，利用函数的单调性的定义证明即可. 【详解】解：（1）()f x 是奇函数，理由如下：函数1()f x x x=-的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞，关于原点对称， 且11()()()f x x x f x xx-=-+=--=-，()f x ∴是奇函数；证明：（2）任取1x ，2[1x ∈，)+∞且12x x <，则1212121211()()()()f x f x x x x x x x -=---=-12121x x x x +，120x x -<，1210x x +>，120x x >12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <．()f x ∴在[1，)+∞上单调递增.26．（2019·上海市嘉定区封浜高级中学高一期中）若0,0a b >>，试比较33+a b 与22a b b a +的大小.【答案】3322a b a b b a +≥+，当且仅当a b =时等号成立.【分析】运用作差法求出两式的差，结合题意将两式的差与0进行比较即可. 【详解】由题意得,3333222222222))()()()()()()()(()(a b b a a b b a a a b b b a a b a b a b a b a b a b +==-+-=+-=+----+-因为0,0a b >>,所以20,()0a b a b +>-≥，当且仅当a b =时取等号， 所以2()()0a b a b -+≥，即32320())(a a b b b a +-≥+，当且仅当a b =时取等号， 故3322a b a b b a +≥+，当且仅当a b =时等号成立.27．（2021·安徽池州市·高一期中）已知函数()231f ax x ax =+-，a R ∈.（1）当4a =时，求不等式()0f x >的解集； （2）若()0f x ≤在R 上恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）{12x x <-或16x ⎫>⎬⎭；（2）[]12,0-.【分析】（1）解不含参数的一元二次不等式即可求出结果；（2）二次函数的恒成立问题需要对二次项系数是否为0进行分类讨论，即可求出结果.【详解】（1）当4a =时，()212410x f x x =+->，即()()21610x x +->，解得12x <-或16x >， 所以，解集为{12x x <-或16x ⎫>⎬⎭.（2）因为()2310f x ax ax =+-≤在R 上恒成立，①当0a =时，()10f x =-≤恒成立；②当0a ≠时，2120a a a <⎧⎨∆=+≤⎩，解得120a -<≤， 综上，a 的取值范围为[]12,0-.28．（2010·辽宁大连市·）解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.【分析】根据二次函数开口方向和一元二次方程的根的大小，分0,0,01,1,1,a a a a a <=<<=>讨论求解.【详解】①当a ＝0时，原不等式即为－x ＋1<0，解得x >1.②当a <0时，原不等式化为()11x x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭>0，解得1x a <或x >1.③当a >0时，原不等式化为()11x x a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭<0.若a ＝1，即1a＝1时，不等式无解；若a >1，即1a <1时，解得1a<x <1； 若0<a <1，即1a>1时，解得1<x <1a.综上可知，当a <0时，不等式的解集为11x x x a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭或；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当a ＝1时，不等式的解集为Ø；当a >1时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.29．（2020·江苏泰州·）已知关于x 的不等式()2220x a x a -++<．（1）当3a =时，解关于x 的不等式； （2）当a R ∈时，解关于x 的不等式．【答案】（1）{}23x x <<；（2）答案不唯一，具体见解析． 【分析】（1）直接求解一元二次不等式即可，（2）原不等式化为()()20x x a --<，然后分2a <，2a =和2a >三种情况解不等式【详解】解：（1）因为不等式为()2220x a x a -++<，所以当3a =时，不等式为2560x x -+<，即()()230x x --<， 则23x <<，故原不等式的解集为{}23x x <<． （2）原不等式为()()20x x a --<， 当2a <时，不等式解集为{}2x a x <<； 当2a =时，不等式解集为∅；当2a >时，不等式解集为{}2x x a <<．综上所述：当2a <时，不等式解集为{}2x a x <<； 当2a =时，不等式解集为∅；当2a >时，不等式解集为{}2x x a <<．30．（2020·杭州之江高级中学高一期中）设函数()()222,f x x ax a a =++-∈R ． （1）当1a =时，解关于x 的不等式()()215f x a x a >--+；（2）若[]1,2x ∃∈，使得()0f x >成立，求a 的取值范围．【答案】（1）(,3)(1,)-∞-⋃+∞；（2）(3,)-+∞．【分析】（1）当1a =时，不等式可化简为()()310x x +->，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案.（2）[]1,2x ∃∈，使得()0f x >成立的否定为：[]()1,2,0x f x ∀∈≤恒成立，列出方程组，可求得a 的范围，进而可得答案.【详解】（1）当1a =时，()()215f x a x a >--+，整理可得2214x x ++>所以()()310x x +->，解得3x <-或1x >， 故原不等式的解集为(,3)(1,)-∞-⋃+∞．（2）命题：[]1,2x ∃∈，使得()0f x >成立的否定为：[]()1,2,0x f x ∀∈≤恒成立，则(1)0(2)0f f ≤⎧⎨≤⎩，解得3a ≤-， 若原命题成立，则a 的取值范围为(3,)-+∞．31．（2020·江苏）已知不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <或}x b >. （1）求a ，b 的值；（2）当2c ≠时，解关于x 的不等式2()0ax ac b x bc -++<.【答案】（1）12.a b =⎧⎨=⎩，；（2）答案见解析.【分析】（1）根据二次不等式的解集得到1和b 是方程2320ax x -+=的两根，利用韦达定理得到方程组求解；（2）根据（1）的结论不等式2()0ax ac b x bc -++<化为(2)()0x x c --<，分类讨论得到不等式的解集.【详解】解：（1）由题意知，1和b 是方程2320ax x -+=的两根，则312b a b a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，解得12.a b =⎧⎨=⎩，（2）不等式2()0ax ac b x bc -++<， 即为2(2)20x c x c -++<，即(2)()0x x c --<. ①当2>c 时，解集为{}2x x c <<； ②当2c <时，解集为{}2x c x <<；综上，当2>c 时，原不等式的解集为{}2x x c <<； 当2c <时，原不等式的解集为{}2x c x <<；32．（2021·云南砚山县第三高级中学高一期中）已知函数()()()236f x x a x =-+-. （1）若1a =-，求()f x 在[]3,0-上的最大值和最小值；（2）若关于x 的方程()140f x +=在()0,∞+上有两个不相等实根，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）最大值是0，最小值是498-；（2）58,23⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）由1a =-，得到()2253f x x x =+-，再利用二次函数的性质求解；（2）将方程()140f x +=在()0,∞+上有两个不相等实根，转化为方程()2232380x a x a +--+=有两个不相等正实根求解.【详解】（1）当1a =-时，()()()1236f x x x =++-2253x x =+-2549248x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为二次函数()f x 开口向上，对称轴为54x =-，又因为()f x 在5[3,)4--上递减，在5(,0]4-上递增， 所以()min 54948f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又()()30,03f f -==-， 所以()()max 30f x f =-=；（2）因为方程()140f x +=在()0,∞+上有两个不相等实根，所以方程()2232380x a x a +--+=有两个不相等正实根，则()()232838032023802a a aa ⎧⎪∆=---+>⎪-⎪->⎨⎪-+⎪>⎪⎩， 解得5823a <<，所以实数a 的取值范围是58,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.33．（2020·曲靖市关工委麒麟希望学校高一期中）如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.（1）现有可围36m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大面积为多少？（2）若使每间虎笼面积为242m ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？【答案】（1）当长为9m 2，宽为3m 时，面积最大，最大面积为227m 2；（2）当长为6m ，宽为4m 时，钢筋网总长最小，最小值为48m .【分析】（1）求得每间虎笼面积的表达式，结合基本不等式求得最大值. （2）求得钢筋网总长的表达式，结合基本不等式求得最小值. 【详解】（1）设长为a ，宽为b ，,a b 都为正数，每间虎笼面积为ab ，则463623181823a b a b a b +=⇒+=⇒=+≥ 则272ab ≤，所以每间虎笼面积ab 的最大值为227m 2，当且仅当23a b =即9m,3m 2a b ==时等号成立.（2）设长为a ，宽为b ，,a b 都为正数，每间虎笼面积为24ab =，则钢筋网总长为4648a b +≥===，所以钢筋网总长最小为48m ，当且仅当46,23,6m,4m a b a b a b ====等号成立.34．（2020·上海市第三女子中学高一期中）已知a R ∈，求证：“102a <<”是“111a a>+-”的充分非必要条件.【分析】从充分性和必要性两个方面去进行说明即可.【详解】解：充分性：当102a <<时，()()21111a a a -=-+<，且10a ->，则111a a>+-， 故充分性满足；必要性：当111a a >+-时，()1101a a -+>-，即201a a>-，可得1a <，且0a ≠，故必要性不满足；则“102a <<”是“111a a>+-”的充分非必要条件 35．（2020·福建厦门一中高一期中）已知20:{|}100x p x x +≥⎧⎨-≤⎩，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}．（1）若m ＝1，则p 是q 的什么条件？（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）p 是q 的必要不充分条件；（2）m ∈[9，＋∞)．【分析】（1）分别求出p 、q 对应的集合，根据集合间的关系即可得出答案；（2）根据p 是q 的充分不必要条件，则p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，列出不等式组，解得即可得出答案.【详解】(1)因为20:{|}100x p x x +≥⎧⎨-≤⎩＝{x |－2≤x ≤10}， 若m ＝1，则q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}＝{x |0≤x ≤2}， 显然{x |0≤x ≤2}≠⊂{x |－2≤x ≤10}， 所以p 是q 的必要不充分条件．(2)由(1)，知p ：{x |－2≤x ≤10}，因为p 是q 的充分不必要条件，所以}{}{21011x x x m x m ≠-≤≤⊂-≤≤+∣∣， 所以012110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，且12m -≤-和110m +≥不同时取等号，解得m ≥9，即m ∈[9，＋∞)．36．（2020·玉林市育才中学高一期中）已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围． 【答案】{m |m ≤3}．【分析】由B ＝∅和B ≠∅分类讨论得不等式（或不等式组）解之可得． 【详解】解：A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A . ①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，解得m <2， 此时有B ⊆A ；②若B ≠∅，则m ＋1≤2m －1，即m ≥2，由B ⊆A ，得212215m m m ≥⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得2≤m ≤3.由①②得m ≤3.∴实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．37．（2019·福建高一期中）（1）设{}22,2,6A a a =-，{}22,2,36B a a =-，若{}2,3A B ⋂=，求A B .（2）已知{}26A x x =≤≤，{}23B x a x a =≤≤+，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}2,3,6,18A B =；（2）{}1a a >.【分析】（1）由交集的概念可得223a a -=，求出a 代入验证，再求并集即可； （2）分为B =∅和B ≠∅两种情形，列出不等式解出即可. 【详解】（1）由{}2,3A B ⋂=，∴223a a -=，解得3a =或1a =-， 当3a =时，{}2,3,18B =，此时{}2,3,6,18A B =， 当1a =-时，不合题意. ∴{}2,3,6,18A B =. （2）∵B A ⊆，当B =∅时，23a a >+，∴3a >，当B ≠∅时，222336a a a a ≤⎧⎪≤+⎨⎪+≤⎩，∴13a .综上，{}1a a a ∈>.38．（2020·曲靖市关工委麒麟希望学校高一期中）已知M={x| -2≤x ≤5}， N={x| a+1≤x≤2a -1}.（1）若M ⊆N ，求实数a 的取值范围； （2）若M ⊇N ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）空集；（2）{}3a a ≤.【分析】（1）根据子集的性质进行求解即可；（2）根据子集的性质，结合N =∅和N ≠∅两种情况分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由M N ⊆得：12321531212a a a a a a a +≤-≤-⎧⎧⎪⎪⇒-≥≥⎨⎨⎪⎪+≤-≥⎩⎩无解； 故实数a 的取值范围为空集； （2）由M N ⊇得： 当N =∅时，即1212a a a +>-⇒<； 当N ≠∅时，12121232153a a a a a a a +≤-≥⎧⎧⎪⎪+≥-⇒≥-⎨⎨⎪⎪-≤≤⎩⎩， 故23a ≤≤；综上实数a 的取值范围为{}3a a ≤.39．（2019·陕西镇安中学高一期中）已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-． （1）若4m =，求A B ；（2）若A B =∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}27x x -≤≤；（2）{2m m <或}4m >.【分析】（1）当4m =时，求出集合B ，利用并集的定义可求得集合A B ；（2）分B =∅、B ≠∅两种情况讨论，结合A B =∅可得出关于实数m 的不等式，综合可求得实数m 的取值范围.【详解】（1）当4m =时，{}57B x x =≤≤，故{}27A B x x ⋃=-≤≤； （2）当121m m +>-时，即当2m <时，B =∅，则A B =∅； 当121m m +≤-时，即当2m ≥时，B ≠∅，因为A B =∅，则212m -<-或15m +>，解得12m <-或4m >，此时有4m >.综上所述，实数m 的取值范围是{2m m <或}4m >.40．（2019·广西大学附属中学高一期中）设全集U =R ，集合{}14A x x =≤<，{}23B x a x a =≤<-．（1）若2a =-，求B A ⋂；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) {}|14x x ≤<；(2)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】(1)利用集合间的交集运算求解； (2)由A B A ⋃=得B A ⊆，再分B φ=和B φ≠讨论.【详解】(1) 若2a =-，则{}45B x x =-≤<，又{}14A x x =≤<，所以{}|14B A x x =≤<. (2) 若A B A ⋃=，则B A ⊆. 当B φ=时，23a a ≥-，1a ≥； 当B φ≠时，由1,21,34a a a <⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，解得112a ≤<.综上可知，实数a 的取值范围1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.41．（2020·吉林江城中学）已知集合{}12A x x =-≤＜，集合B ={}12x a x a -≤<，（1）B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若A B =∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|011a a a ≤≤≤-或；（2）1|32a a a ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.【分析】（1）（2）都是根据题意讨论B φ=和B φ≠两种情况，从而列出关于a 的不等式组，进而求实数a 的取值范围. 【详解】（1）因为B A ⊆，所以当B φ=时，12a a -≥，解得1a ≤-，此时满足题意；当B φ≠时，由题意得112212a a a a -≥-⎧⎪≤⎨⎪-<⎩，解得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围为{}|011a a a ≤≤≤-或. （2）因为A B =∅，所以当B φ=时满足题意，即12a a -≥，解得1a ≤-；当B φ≠时，由题意得2112a a a ≤-⎧⎨-<⎩或1212a a a-≥⎧⎨-<⎩，解得112a -<≤-或3a ≥，所以实数a 的取值范围为1|32a a a ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.42．（2019·浙江高一期中）已知602x A xx ⎧⎫-=>⎨⎬-⎩⎭，()(){}110B x x a x a =---+≤． （1）当2a =时，求A B ；（2）当0a >时，若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}23A B x x ⋂=<≤；（2）[)5,+∞.【分析】（1）解不等式求得集合,A B ，由并集定义可求得结果； （2）由并集结果可确定A B ⊆，根据包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）由602xx ->-得：26x <<，则{}26A x x =<<； 当2a =时，由()()110x a x a ---+≤得：()()310x x -+≤，则{}13B x x =-≤≤；{}23A B x x ∴⋂=<≤；（2）若A B B ⋃=，则A B ⊆，当0a >时，{}11B x a x a =-≤≤+，又{}26A x x =<<，则1216a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得：5a ≥，∴实数a 的取值范围为[)5,+∞.43．（2019·甘肃兰州市·兰州五十一中高一期中）已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，求m 的取值范围 【答案】(,1]-∞．【分析】分类讨论：0m ≤和0m >，前者由子集定义即得，后者由包含关系得不等关系后可得．【详解】当0m ≤时，B A =∅⊆， 当0m >时，则13m m -≥-⎧⎨≤⎩，解得01m <≤．综上，m 的取值范围是(,1]-∞．44．（2020·上海市杨思高级中学高一期中）若x ∈R ，不等式2680mx mx m -++>恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】[0,1)【分析】根据x ∈R 时，不等式2680mx mx m -++>恒成立，分0m =和0m ≠两种情况，利用判别式法求解.【详解】因为x ∈R 时，不等式2680mx mx m -++>恒成立， 当0m =时，80>成立，当0m ≠时，则2364(8)0m m m m >⎧⎨∆=-+<⎩， 解得01m <<， 综上：01m ≤<. 则实数m 的取值范围[0,1).45．（2021·乌苏市第一中学高一期中）解下列不等式：（1）2440x x -+-< （2）()210x a x a +-->【答案】（1）{}|2x x ≠；（2）当1a =-时原不等式的解集为{|1}x x ≠，当1a >-时原不等式的解集为{|x x a <-，或1}x >，当1a <时原不等式的解集为{|x x a >-，或1}x <．【分析】（1）将一元二次不等式化简，将左边配成完全平方式，即可得出不等式的解集； （2）由题意，一元二次不等式所对应的一元二次方程的两个根为a - 和1，分类讨论a -和1的大小，从而求得它的解集．【详解】解：（1）因为2440x x -+-<，所以2440x x -+>，即()220x ->，所以2x ≠，即原不等式的解集为{}|2x x ≠（2）x 的不等式：2(1)0x a x a +-->，即()(1)0x a x +->，此不等式所对应的一元二次方程2(1)0x a x a +--=的两个根为a -和1． 当1a -=，即1a =-时，此时不等式即2(1)0x ->，它的解集为{|1}x x ≠； 当<1a -，即1a >-时，它的解集为{|x x a <-或1}x >；当1a ->，即1a <时，它的解集为{|x x a >-或1}x <．综上可得：当1a =-时原不等式的解集为{|1}x x ≠，当1a >-时原不等式的解集为{|x x a <-或1}x >，当1a <时原不等式的解集为{|x x a >-或1}x <．46．（2021·乌苏市第一中学高一期中）解下列不等式： （1）23710x x -≤ （2）(1)()0x x a --> 【答案】（1）10{|1}3x x -≤≤；（2）1a ≥时，解集为(,1)(,)a -∞+∞，1a <时，解集为(,)(1,)a -∞+∞．【分析】（1）不等式变形为一边为0，一边二次系数为正，分解因式确定相应二次方程的根后结论二次函数性质得解；（2）根据a 和1的大小分类讨论得解．【详解】（1）不等式化为237100x x --≤，即(1)(310)0x x +-≤，解集为10{|1}3x x -≤≤； （2）当1a ≥时，不等式的解为1x <或x a >，解集为(,1)(,)a -∞+∞； 当1a <时，不等式的解为x a <或1x >，解集为(,)(1,)a -∞+∞．47．（2020·吉林江城中学）（1）若不等式20ax bx c ++>的解集是{}|23x x -<<，求不等式20cx bx a ++>的解集；（2）已知不等式210kx kx ++>恒成立，求k 的取值范围. 【答案】（1）1|2x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭；（2）{}|04k k ≤<.【分析】（1）根据不等式20ax bx c ++>的解集是{}|23x x -<<，得到0a <，=-b a ，6c a =-，代入20cx bx a ++>即可求解；（2）通过讨论0k =和0k >两种情况来求解.【详解】（1）因为不等式20ax bx c ++>的解集是{}|23x x -<<， 所以2-和3是方程20ax bx c ++=的两根，且0a <，所以23,23b ca a-+=--⨯=，即=-b a ，6c a =-，代入不等式20cx bx a ++>得260ax ax a --+>， 因为0a <，所以2610x x +->，解得12x <-或13x >， 所以不等式20cx bx a ++>的解集为1|2x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭. （2）当0k =时，不等式为10>，恒成立，满足题意； 当0k ≠时，要满足题意，需2040k k k >⎧⎨∆=-<⎩，解得04k <<，所以实数k 的取值范围为{}|04k k ≤<48．（2018·天津河东·高一期中）已知函数()af x x x=+． （1）当a R ∈时，用定义证明()f x 为奇函数．（2）当0a <时，用定义证明()f x 在()0,∞+上单调递增． 【分析】（1）根据奇函数的定义进行证明即可； （2）根据函数的单调性进行证明即可.【详解】（1）定义域：{}|0x x ≠，关于原点对称，()a a f x x x x x ⎛⎫-=-+=-+ ⎪-⎝⎭()f x =-，∴()f x 为奇函数； （2）0a <时，设12,x x 是()0,∞+上任意两个实数，且120x x <<， 则()()12f x f x -1212a a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212a a x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()()211212a x x x x x x -=-+()12121a x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭因为120x x <<，所以120x x -<，120x x >，而0a <，所以120ax x ->， ∴()()120f x f x -<， 即()()12f x f x <，故()f x 在()0,∞+单调递增．49．（2020·河南郑州·高一期中）已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()22f x x x =-.（1）求出函数()f x 在R 上的解析式；（2）画出函数()f x 的图象，并根据图象写出()f x 的单调区间； （3）求使()1f x =时的x 的值.【答案】（1）222,0()0,02,0x x x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪--<⎩；（2）函数图象见解析，单调增区间为(],1-∞-和[)1,+∞，单调减区间为(1,1)-．（3）1x =或1x =-【分析】（1）通过①由于函数()f x 是定义域为R 的奇函数，则(0)0f =；②当0x <时，0x ->，利用()f x 是奇函数，()()f x f x -=-．求出解析式即可．（2）利用函数的奇偶性以及二次函数的性质画出函数的图象，写出单调增区间，单调减区间． （3）利用当0x >时，221x x -=，当0x <时，221x x --=，分别求解方程即可． 【详解】解：（1）①由于函数()f x 是定义域为R 的奇函数，则(0)0f =； ②当0x <时，0x ->，因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-． 所以22()()[()2()]2f x f x x x x x =--=----=--．综上：222,0()0,02,0x x x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪--<⎩．（2）函数图象如下所示：由函数图象可知，函数的单调增区间为(],1-∞-和[)1,+∞，单调减区间为(1,1)-． （3）当0x >时，221x x -=解得1x =或1x =因为0x >，所以1x =当0x <时，221x x --= 解得1x =-综上所述，1x =+或1x =-50．（2019·云南昭通市第一中学高一期中）某商店试销一种成本单价为40元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件，经试销调查，发现销售量y （件）与销售单价x （元/件）可近似看作一次函数100=-+y x 的关系．设商店获得的利润（利润=销售总收入-总成本）为S 元． （1）试用销售单价x 表示利润S ；（2）试问销售单价定为多少时，该商店可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？【答案】（1）()214040004080S x x x =-+-≤≤；（2）当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．【分析】（1）由利润=销售总收入-总成本可得答案；（2）对于()()()2709004080S x x x =--+≤≤配方法即可求得最大值． 【详解】（1）()()()()404040100S x xy y x y x x =-=-=--+ ()214040004080x x x =-+-≤≤.（2）()()()2709004080S x x x =--+≤≤，∴当销售单价为70元/件时，可获得最大利润900元，此时销售量是30件．。

充分条件与必要条件16．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n a =-+，*n ∈N ，则“0a =”是“数列{}2n a 为等差数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 17．“4a >”是“216a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 18．“02x π<<”是“0sin 2x x π<<”的（ ） A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 19．已知0,0a b >>，则“log 2log 20b a >>”是“|1||1|a b ->-”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件20．设a R ∈，则“0a =”是“直线1:450l ax y +-=与直线20:2l x ay a +-=垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件21．已知向量(,1)m a a =-，(2,)n a =，则“m 与n 的夹角为锐角”是“1a <-或0a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件22．在ABC 中，设p ：sin cos A C >，q ：ABC 是锐角三角形，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件23．已知0a >，0b >则“1a b +=”是“2212a b +≥”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件条件24．复数()()22236a a a a i --+--为纯虚数的一个必要不充分条件是（ ） A ．1a =-B ．3a =C ．2a =-或3a =D ．1a =-或2a =- 25．已知直线l 和平面α，β，且l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．A【来源】浙江省嘉兴市2020-2021学年高三上学期9月教学测试数学试题17．A【来源】【新东方】绍兴qw9918．A【来源】浙江省9 1高中联盟2020-2021学年高三上学期期中数学试题19．C【来源】浙江省绍兴市稽阳联谊学校2020-2021学年高三上学期11月联考数学试题20．C【来源】浙江省杭州市桐庐分水高级中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题21．C【来源】浙江省台州市第一中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题22．B【来源】浙江省杭州市学军中学等五校2020届高三下学期联考数学试题23．A【来源】浙江省温州市2020-2021学年高三上学期11月高考适应性测试（一模）数学试题24．D【来源】浙江省杭州高级中学2020-2021学年高三上学期11月期中数学试题25．A【来源】浙江省“数海漫游”2020-2021学年高三上学期8月线上模拟考试数学试题。

2020-2021学年浙江省杭州之江高级中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）.1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，5，6，7}，则A∩B＝（）A．{0，2}B．{2}C．{﹣2，0，2}D．{﹣2，2}2．已知命题p：“∃x＞0，使得x2﹣x﹣2＞0”，则命题p的否定是（）A．∀x≤0，总有x2﹣x﹣2＞0B．∀x＞0，总有x2﹣x﹣2≤0C．∃x＞0，使得x2﹣x﹣2≤0D．∃x≤0，使得x2﹣x﹣2＞03．“三角形为等边三角形”是“三角形为等腰三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．下列函数中表示同一函数的是（）A．y＝与B．f（x）＝x2+1与g（t）＝t2+1C．y＝与D．y＝与y＝x﹣35．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则（）A．ac2≤bc2B．C．ac＜bc＜0D．0＜a2＜b26．函数中，有（）A．f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增B．f（x）在（1，+∞）上单调递减C．f（x）在（1，+∞）上单调递增D．f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减7．若正数x，y满足＝1，则x+2y的最小值为（）A．B．C．25D．278．定义在R上的偶函数f（x）满足：在x∈[0，+∞）上单调递减，则满足f（2x﹣1）＜f（1）的x的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（1，+∞）∪（﹣∞，0）C．（﹣∞，0）D．（0，1）9．已知集合A＝{x|ax2﹣2x+a＝0}中至多含有一个元素，则实数a的取值范围（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）∪（﹣∞，﹣1]C．[﹣1，1]∪{0}D．[1，+∞）∪（﹣∞，﹣1]∪{0}10．函数f（x）对任意x∈R，都有f（x）＝f（x+12），y＝f（x﹣1）的图形关于（1，0）对称，且f（8）＝1，则f（2020）＝（）A．1B．﹣1C．0D．2二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分。

函数的单调性+奇偶性（含解析）一、单选题1．函数1()lg(21)f x x =-的定义域为（ ） A ．1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B ．12x x ⎧≥⎨⎩且}1x ≠ C ．12x x ⎧⎨⎩且}1x ≠ D ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭2．函数()f x = ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3．已知函数，若方程有两个实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(−1,−12] B ．[−12,0) C ．[−1,+∞) D ．[−12,+∞) 4．设函数()1,02,0x x x f x b x +≥⎧=⎨+<⎩是R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞ B ．[)0,+∞ C ．(],0-∞ D ．(]1,1- 5．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．23y x -=C ．1y x x =-D ．()2ln 1y x =+ 6．设 ()212,11,1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()()2f f =( ) A ．－2B ．2C ．5D ．267．集合{|,P x y =={|,Q y y ==U =R ，则()U P Q ⋂是（ ） A ．[)1,+∞B ．∅C ．[)0,1D ．[)1,1- 8．函数x x x f 431)(3-=的单调递减区间是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,2(-C ．),2(∞+D ．),2()2,(+∞⋃--∞9．已知集合214A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∣，集合{B y y ==∣，则A B =（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[1,1]- C ．[0,1] D ．1[0,]210．若函数()f x 满足()2f x x =+，则()32f x +的解析式是( )A ．()3298f x x +=+B ．()3232f x x +=+C ．()3234f x x +=--D ．()3234f x x +=+11．函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f （x ）=x+1，则当x<0时，f （x ）的 表达式为（ ）A ．1)(+-=x x fB ．1)(--=x x fC ．1)(+=x x fD ．1)(-=x x f12．已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩， 则[(2)]f f -的值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5二、多选题13．已知函数()f x 是一次函数，满足()()98ff x x =+，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()32f x x =+B ．()32f x x =-C ．()34f x x =-+D ．()34f x x =-- 14．已知函数2,[1,2)x y x ∈-=，下列说法正确的是（ ）A ．函数是偶函数B ．函数是非奇非偶函数C ．函数有最大值是4D ．函数的单调增区间是为(0，2)15．下列函数中，与y x =是同一个函数的是（ ） A ．3log 3x y = B．3log 3x y = C．y = D ．2y = 16．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合-{}1,1,2,4M =-，{}1,2,4,16N =，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（ ）A ．2y x =B ．2y x =+C ．2x y =D ．2y x三、填空题17．函数()f x =_______．18．偶函数()f x 满足当0x >时，()34f x x =+，则()1f -=_____．19．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(,0)-∞上的单调性是________.20．设,0()ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1()2g g ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦____________.四、解答题21．已知()222f x x x =-+.（1）画出()f x 的图象.（2）根据图象写出()f x 的单调区间和值域.22．用函数的单调性的定义证明函数()4f x x x=+在()2,+∞上是增函数. 23．求解下列函数的定义域（1）（2） 24．求函数1,01(),12x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩的最值25．已知函数1(),f x a x=-其中0a >。

2020-2021学年浙江省杭州高级中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 3．若，，与的夹角θ为45°，则等于（）A．12B．C．D．﹣124．若函数，则f（f（﹣1））＝（）A．0B．C．1D．﹣15．已知平面α与平面β平行，且直线a⊂α，则下列说法正确的是（）A．a与α内所有直线平行B．a与β内的无数条直线平行C．a与β内的任何一条直线都不平行D．a与β内的任何一条直线平行6．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥C1﹣A1BD的体积为（）A．B．C．D．7．如图所示是水平放置的三角形的直观图，AB＝BC＝2，AB，BC分别与y'轴、x'轴平行，则△ABC在原图中对应三角形的面积为（）A．B．1C．2D．48．若函数f（x）＝x2+e x﹣（x＜0）与g（x）＝x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）9．下列说法正确的是（）A．多面体至少有四个面B．平行六面体六个面都是平行四边形C．长方体、正方体都是正四棱柱D．棱台的侧面都是梯形10．下列结论正确的是（）A．B．若a＜b＜0，则C．若x（x﹣2）＜0，则log2x∈（0，1）D．若a＞0，b＞0，a+b≤1，则11．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE＝CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（）A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ＝1的点P有两个C．满足λ+μ＝3的点P有且只有一个D．的点P有两个12．如图，正方形ABCD的边长为2，O为边AD中点，射线OP绕点O按逆时针方向从射线OA旋转至射线OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x，射线OP扫过的正方形ABCD 内部的区域（阴影部分）的面积为f（x），则下列说法正确的是（）A．B．f（x）在上为减函数C．f（x）+f（π﹣x）＝4D．f（x）图象的对称轴是二、填空题13．i是虚数单位，复数||＝．14．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝．15．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的角为θ，那么＝．16．已知A（﹣5，0），B（5，0），若对任意实数t∈R，点P都满足，则的最小值为，此时||＝．三、解答题17．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BB1＝2，D、E分别为BC、AC的中点．（1）求三棱锥C1﹣CDE的体积；（2）求证：A1B1∥平面DEC1．18．已知平面向量，，＝（1，2）．（1）若＝（0，1），求的值；（2）若＝（2，m），与共线，求实数m的值．19．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H（t）＝A sin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|≤），求摩天轮转动一周的解析式H（t）；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．20．已知函数f（x）＝g（x）h（x），其中＝___．从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，（1）写出函数f（x）的一个周期（不用说明理由）；（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．21．某公司对两种产品A，B的分析如表所示：产品类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价格每年最多可生产的件数A20万元m万元10万元200件B40万元8万元18万元120件其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且m∈[6，8]．另外，销售A产品没有附加税，年销售x件，B产品需上交0.05x2万元的附加税．假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该公司只选择一种产品进行投资生产．（1）求出该公司分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2（单位：万元）与年生产相应产品的件数x之间的函数解析式，并指出定义域；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润？22．已知函数，g（x）＝|log2x|．（1）若关于x的方程g（x）＝n有两个不等根α，β（α＜β），求αβ的值；（2）是否存在实数a，使得对任意m∈[1，2]，关于x的方程4g2（x）﹣4ag（x）+3a﹣1﹣f（m）＝0在区间上总有3个不等根x1，x2，x3，若存在，求出实数a与x1⋅x2⋅x3的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题1．设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵z＝﹣3+2i，∴，∴在复平面内对应的点为（﹣3，﹣2），在第三象限．故选：C．2．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．故选：C．3．若，，与的夹角θ为45°，则等于（）A．12B．C．D．﹣12解：，，与的夹角θ为45°，则＝＝12．故选：B．4．若函数，则f（f（﹣1））＝（）A．0B．C．1D．﹣1解：根据题意，函数，则f（﹣1）＝e0＝1，则f（f（﹣1））＝f（1）＝1﹣2＝﹣1；故选：D．5．已知平面α与平面β平行，且直线a⊂α，则下列说法正确的是（）A．a与α内所有直线平行B．a与β内的无数条直线平行C．a与β内的任何一条直线都不平行D．a与β内的任何一条直线平行解：∵a⊂α，α∥β，∴a与α内直线的位置关系有两种：平行或相交，故A错误；a与β内直线的位置关系有两种：平行或异面，平行的有无数条，相交的也有无数条，故B正确CD错误．故选：B ．6．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，三棱锥C 1﹣A 1BD 的体积为（）A ．B ．C ．D ．解：∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，∴正方体的体积为1×1×1＝1，又＝，∴三棱锥C 1﹣A 1BD 的体积为1﹣，故选：A ．7．如图所示是水平放置的三角形的直观图，AB ＝BC ＝2，AB ，BC 分别与y '轴、x '轴平行，则△ABC 在原图中对应三角形的面积为（）A ．B ．1C ．2D ．4解：把直观图转化为原平面图形，如图所示：则原平面图形为直角三角形，计算该直角三角形的面积为S ＝×4×2＝4．故选：D ．8．若函数f （x ）＝x 2+e x ﹣（x ＜0）与g （x ）＝x 2+ln （x +a ）图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（）A ．（﹣）B ．（）C ．（）D ．（）解：因为f （x ），g （x ）图象上存在关于y 轴对称的点，设P （x ，y ）（x ＜0）在函数f （x ）上，则P 关于y 轴的对称点Q 为（﹣x ，y ），则存在x ∈（﹣∞，0），满足x 2+e x ﹣＝（﹣x ）2+ln （﹣x +a ），即方程e x ﹣＝ln （﹣x +a ）在（﹣∞，0）上有解，即函数F（x）＝与函数h（x）＝ln（﹣x+a）在（﹣∞，0）上有交点，在直角坐标系中画出函数F（x）和h（x）的图象，如图所示，当h（x）过点时，a＝，由图象可知，当a＜时，函数F（x）与h（x）在x＜0时有交点，所以a的取值范围为（﹣∞，）．故选：A．9．下列说法正确的是（）A．多面体至少有四个面B．平行六面体六个面都是平行四边形C．长方体、正方体都是正四棱柱D．棱台的侧面都是梯形解：在A中，面最少的多面体是三棱锥，故最多面体至少有四个面，故A正确；在B中，平行六面体的六个面均为平行四边形，故B正确；在C中，长方体、正方体都是四棱柱，但长方体不是正四棱柱，故C错误；在D中，棱台的所有侧面都是梯形，故D正确．故选：ABD．10．下列结论正确的是（）A．B．若a＜b＜0，则C．若x（x﹣2）＜0，则log2x∈（0，1）D．若a＞0，b＞0，a+b≤1，则解：对于A，当x＜0时，x+≤﹣2，故错；对于B，当a＜b＜0时，，则，故正确；对于C，若x（x﹣2）＜0，则0＜x＜2，则log2x∈（﹣∞，1），故错；对于D，若a＞0，b＞0，a+b≤1，则有ab，即，故正确．故选：BD．11．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE＝CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（）A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ＝1的点P有两个C．满足λ+μ＝3的点P有且只有一个D．的点P有两个解：建立直角坐标系，如图所示：设正方形的边长为1，设动点P（x，y），则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（﹣1，1），所以＝（1，0），＝（﹣1，1），所以＝+μ，整理得，所以λ+μ＝x+2y，下面对点P的位置逐一进行讨论，①当点P在AB上时，，故λ+μ＝x+2y∈[0，1]，②当动点P在BC上时，，故λ+μ＝x+2y∈[1，3]，③当动点P在CD上时，，故λ+μ＝x+2y∈[2，3]，④当动点P在DA上时，，故λ+μ＝x+2y∈[0，2]，由此可得：λ+μ＝2，得到动点P为BC的中点或点D的位置，故A错误，当λ+μ＝1时，得到动点P为点B的位置或AD的中点，故B正确，当λ+μ＝时，点P为CD的中点或P（1，），故D正确，当λ+μ＝3时，点P为C（1，1）的位置，故C正确．故选：BCD．12．如图，正方形ABCD的边长为2，O为边AD中点，射线OP绕点O按逆时针方向从射线OA旋转至射线OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x，射线OP扫过的正方形ABCD内部的区域（阴影部分）的面积为f（x），则下列说法正确的是（）A．B．f（x）在上为减函数C．f（x）+f（π﹣x）＝4D．f（x）图象的对称轴是解：当x＝时，，所以，故选项A正确；当时，图象面积增加，即f（x）单调递增，故选项B错误；取BC的中点G，连接OG，设射线OP与正方形的边的交点为E，作点E关于直线OG的对称点F，则∠FOD＝x，所以∠AOF＝π﹣x，将射线OF绕点O按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD的面积为S，由对称性可知S＝f（x），因为S+f（π﹣x）＝4，所以f（x）+f（π﹣x）＝4，故选项C正确；因为f（x）+f（π﹣x）＝4，则，所以，则f（x）的图象不关于对称，故选项D错误．故选：AC．二、填空题13．i是虚数单位，复数||＝．解：复数||＝＝＝＝，故答案为：．14．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝1．解：在△ABC中，∵AB＝，BC＝3，∠C＝120°，∴由余弦定理可得：AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos C，即：（）2＝AC2+32﹣2×3×AC×cos120°．∴整理可得：AC2+3AC﹣4＝0，解得：AC＝1或﹣4（舍去）．故答案为：1．15．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的角为θ，那么＝﹣7．解：设大正方形的边长为a＝5，小正方形的边长为1，故设直角三角形的边长为x和x+1，故x2+（x+1）2＝25，解得x＝3，故tan．故＝﹣7．故答案为：﹣7．16．已知A（﹣5，0），B（5，0），若对任意实数t∈R，点P都满足，则的最小值为﹣16，此时||＝6．解：∵A（﹣5，0）和B（5，0）在中点为原点O（0，0），不妨以A，B的中点为原点，AB所在直线为x轴，过O且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，设，H为AB上一点，，故，所以，P到直线AB的距离为3，则P点在直线L：y＝3上，可得：A（﹣5，0），B（5，0），P（x，3），则＝（﹣5﹣x，﹣3）⋅（5﹣x，﹣3）＝x2﹣25+9＝x2﹣16，当且仅当x＝0时，取最小值﹣16，此时P（0，3），．故答案为：﹣16；6．三、解答题17．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BB1＝2，D、E分别为BC、AC的中点．（1）求三棱锥C1﹣CDE的体积；（2）求证：A1B1∥平面DEC1．【解答】（1）解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝2，BB1＝2，D、E分别为BC、AC的中点，则EC＝CD＝1，∠ACB＝60°，所以，故三棱锥C1﹣CDE的体积为＝＝；（2）证明：因为D、E分别为BC、AC的中点，则DE∥AB，又AB∥A1B1，所以DE∥A1B1，又A1B1⊄平面DEC1，DE⊂平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1．18．已知平面向量，，＝（1，2）．（1）若＝（0，1），求的值；（2）若＝（2，m），与共线，求实数m的值．解：（1），所以．（2），因为与共线，所以，解得m＝4．19．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足H （t ）＝A sin （ωt +φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|≤），求摩天轮转动一周的解析式H （t ）；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h 米，求h 的最大值．解：（1）H 关于t 的函数关系式为H （t ）＝A sin （ωt +φ）+B ，由，解得A ＝62，B ＝83，…1分又函数周期为30，所以ω＝＝，可得H （t ）＝62sin （t +φ）+83，…2分又H （0）＝62sin （×0+φ）+83＝21，所以sin φ＝﹣1，φ＝﹣，…3分所以摩天轮转动一周的解析式为：H （t ）＝62sin （t ﹣）+83，0≤t ≤30，…4分（2）H （t ）＝62sin （t ﹣）+83＝﹣62cos t +83，所以﹣62cos t +83＝52，cos t ＝，…6分所以t ＝5…8分（3）由题意知，经过t 分钟后游客甲距离地面高度解析式为H 甲＝﹣62cos t +83，乙与甲间隔的时间为＝5分钟，所以乙距离地面高度解析式为H 乙＝﹣62cos （t ﹣5）+83，5≤t ≤30，…10分所以两人离地面的高度差h ＝|H 甲﹣H 乙|＝|﹣62cos t +62cos （t ﹣5）|＝62|sin （t ﹣）|，5≤t ≤30，当t ﹣＝，或时，即t ＝10或25分钟时，h 取最大值为62米…12分20．已知函数f （x ）＝g （x ）h （x ），其中＝___．从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，（1）写出函数f （x ）的一个周期（不用说明理由）；（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．解：若选条件①，f（x）＝＝2sin x（cos x﹣sin x）＝2sin x cos x﹣2sin2x＝sin2x+cos2x﹣1＝．（1）函数的周期为T＝π；（2）∵x∈，∴2x+∈[，]，当2x+＝，即x＝﹣时，函数取得最小值﹣2，当2x+＝，即x＝时，函数取得最大值；若选条件②，f（x）＝＝＝．（1）函数的周期为T＝2π；（2）由x∈，得sin x∈[，]，当sin x＝，即x＝时，函数取得最大值，当sin x＝﹣，即x＝﹣时，函数取得最大值﹣1﹣．21．某公司对两种产品A，B的分析如表所示：产品类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价格每年最多可生产的件数A20万元m万元10万元200件B40万元8万元18万元120件其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且m∈[6，8]．另外，销售A产品没有附加税，年销售x件，B产品需上交0.05x2万元的附加税．假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该公司只选择一种产品进行投资生产．（1）求出该公司分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2（单位：万元）与年生产相应产品的件数x之间的函数解析式，并指出定义域；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润？【解答】（1）y1＝（10﹣m）x﹣20，其中{x|0≤x≤200，x∈N}，，其中{x|0≤x≤120，x∈N}．（2）∵6≤m≤8，∴10﹣m＞0，∴y1在定义域上是增函数，∴当x＝200时，（y1）max＝（10﹣m）200﹣20＝1980﹣200m，又，∴当x＝100时，（y2）max＝460，（y1）max﹣（y2）max＝1980﹣200m﹣460＝1520﹣200m，当1520﹣200m＞0时，即6≤m＜7.6时，投资A产品可获得最大年利润．当1520﹣200m＝0时，即m＝7.6时，投资A或B产品可获得最大年利润．当1520﹣200m＜0时，即7.6＜m≤8时，投资B产品可获得最大年利润．22．已知函数，g（x）＝|log2x|．（1）若关于x的方程g（x）＝n有两个不等根α，β（α＜β），求αβ的值；（2）是否存在实数a，使得对任意m∈[1，2]，关于x的方程4g2（x）﹣4ag（x）+3a﹣1﹣f（m）＝0在区间上总有3个不等根x1，x2，x3，若存在，求出实数a与x1⋅x2⋅x3的取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）g(x)＝|log2x|＝,因为关于x的方程g(x)＝n有两个不等的实数根α,β,(α＜β)所以﹣log2α＝n,log2β＝n,所以α＝2﹣n,β＝2n,所以αβ＝2﹣n•2n＝20＝1．（2）f(m)＝＝m+﹣3在m∈[1,2]上单调递减，则f(2)≤f(m)≤f(1),所以1≤f(m)≤2,令p＝f(m),则p∈[1,2],因为g(x)＝|log2x|在[,1]上单调递减，在[1,4]上电脑端递增，又g()＝3,g(1)＝0,g(4)＝2,令t＝g(x),则当t∈(0,2]时，方程t＝g(x)有两个不等实数根，由(1)知，两个根之积为1，当t∈(2,3]∪{0}时，方程t＝g(x)有且仅有一个根且此根在区间[,)内或为1，令h(t)＝4t2﹣4at+3a﹣1,所以原题目等价于，对任意p∈[1,2]，关于t的方程h(t)＝p在区间[0,3]上总有2个不等根t1,t2(t1＜t2),且t1＝g(x)有两个不等根，t2＝g(x)只有一个根，则必有0＜t1≤2＜t2≤3,则有,解得＜a≤,此时t2＝g(x)∈(2,3),则其根x∈[,),所以x1x2x3∈[,),所以存在实数a,使得对任意m∈[1,2],关于x的方程4g2(x)﹣4ag(x)+3a﹣1﹣f(m)＝0在区间[,4]上总有3个不等根，x1,x2,x3,实数a的取值范围为(，],x1x2x3的范围为[,)．。

精练06函数的基本性质1．【山西省晋中市平遥古城高级中学2019-2020学年高一上学期期末】已知函数f (x )＝|x |＋ln|x |，若f （3a -1）＞f （1），则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ＜0 B ．23a >C ．023a <<D ．a ＜0或23a >【答案】D 【详解】()||ln ||f x x x =+的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，关于原点对称，又()||ln ||()f x x x f x -=-+-=， 所以()||ln ||f x x x =+为偶函数， 当0x >时，()ln f x x x =+为增函数， 又(31)(1)f a f ->可化为(|31|)(1)f a f ->， 所以|31|1a ->，所以311a ->或311a -<-， 解得23a >或0a <， 故选：D2．【广西桂林市第十八中学2020-2021学年高一开学考试】设函数()()1xf x x R x=-∈+，区间[,]M a b =，集合{(),}N y y f x x M ==∈，则使M N 成立的实数对(,)a b 有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【答案】A 【详解】x R ∈，()()1xf x f x x-==-+，()f x ∴为奇函数， 0x 时，1()111x f x x x -==-++，0x <时，1()111x f x x x-==--- ()f x ∴在R 上单调递减函数在区间[a ，]b 上的值域也为[a ，]b ，则()(),f a b f b a ==， 即1a b a -=+，1ba b-=+，解得0a =，0b = a b <，使MN 成立的实数对(,)a b 有0对故选：A3．【四川省泸州市2019-2020学年高一期末】设函数()f x 的定义域为R ，满足()()112f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-.若对任意[),x m ∈+∞，都有()89f x ≥-，则m 的最小值是（ ）A ．43-B ．53-C ．54-D ．65-【答案】A 【详解】()()112f x f x +=， ∴()()21f x f x =+当(]0,1x ∈时，()()11,04f x x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，(]1,0x ∈-时，(]10,1x +∈，()()()2,021211x f x f x x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣+=+⎦=，(]2,1x ∈--时，(]11,0x +∈-，()()()()[]214211,0f x f x x x =+=++∈-，将函数大致图象绘制如下：(]2,1x ∈--时，令()()84219x x ++=-，解得：153x =-，243x =-， 若对于任意[),x m ∈+∞，都有()89f x ≥-， 所以43m ≥-， 故选：A.4．【湖北省荆门市2019-2020学年高一期末】已知一个奇函数的定义域为{}1,2,,a b ，则a b +=（ ） A ．3- B ．3C ．0D ．1【答案】A 【详解】奇函数的定义域关于原点对称，∴1203a b a b +++=⇒+=-，故选：A.5．【江西省吉安市2019-2020学年高一上学期期末】已知0a >，设函数()202020201x xf x =+（[],x a a ∈-）的最大值为M ，最小值为N ，那么()()20202020M N f f +++-=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【详解】因为()2020112020120201x x x f x ==-++，是定义域上的增函数， 故()()M N f a f a +=+-； 又()()111112020120201x x f x f x -+-=-+-=++，故()()20202020112M N f f +++-=+=. 故选：B.6．【河北省张家口市2019-2020学年高一上学期期末】若函数()f x 是偶函数，且当0x ≥时，()1xf x e =+，则当0x <时，()f x =（ ） A ．e 1x -+B ．e 1x --C ．e 1x --+D ．e 1x ---【答案】A 【详解】由题意，设0x <，则0x ->，又当0x ≥时，()1xf x e =+，所以()1--=+xef x ，又函数()f x 是偶函数，即()()f x f x -=， 所以()1xf x e -=+.故选：A.7．【四川省广安市2019-2020学年高一上学期期末】已知函数()f x x a =-对于区间(),1-∞-上任意的1x ，()212x x x ≠均满足()()21210f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是( )A ．[)1,-+∞B ．[)1,+∞C ．(],1-∞D ．(],1-∞-【答案】A 【详解】因为函数()f x 对于区间(),1-∞-上任意的1x ,()212x x x ≠均满足()()21210f x f x x x -<-,所以函数()f x 在区间(),1-∞-上单调递减,又(),,x a x a f x x a x a x a-≥⎧=-=⎨-+<⎩,其单调递减区间为(,]a -∞, 所以1a ≥-, 故选:A.8．【陕西省西安市长安一中2019-2020学年高一上学期期末】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()(4)f x f x =+，且(1)1f =，则(2019)(2020)f f +=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A 【详解】由()(4)f x f x =+，所以函数的周期为4T=，即()()(2019)(2020)10f f f f +=-+， 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)1f =，()()111f f ∴-=-=-，()00f =，∴(2019)(2020)101f f +=-+=-.故选：A9．【四川省新津中学2020-2021学年高一10月月考】()()()314,1,(1)a x a x f x ax x ⎧-+<=⎨-≥⎩是定义在(,)-∞+∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】A 【详解】因为()()()314,1,(1)a x a x f x ax x ⎧-+<=⎨-≥⎩是定义在(,)-∞+∞上是减函数,所以3100314a a a a a-<⎧⎪-<⎨⎪-≤-+⎩,求得1183a ≤<,故选:A.10．【北京市密云区2019-2020学年高一上学期期末】下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的是（ ） A ．2x y = B ．3y x = C ．cos y x =D ．||y ln x =【答案】D 【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，2x y =，为指数函数，其定义域为R ，不是偶函数，不符合题意； 对于B ，3y x =，为幂函数，是奇函数，不符合题意；对于C ，cos y x =，为偶函数，在(0,)+∞不是增函数，不符合题意；对于D ，,0(),0lnx x y ln x ln x x ⎧==⎨-<⎩，为偶函数，且当0x >时，y lnx =，为增函数，符合题意； 故选：D ．11．【浙江省杭州市学军中学（学紫）2019-2020学年高一上学期期中】已知定义在R 上的函数()112x mf x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（m 为实数）为偶函数，记()0.5log 3a f =，()2.5log 3b f =，()2c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A 【详解】因为定义在R 上的函数()112x mf x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（m 为实数）为偶函数，所以()()f x f x -=，即--=-x m x m ，因此0m =；所以()11,0112221,0xxx x f x x ⎧⎛⎫-≥⎪⎛⎫⎪=-=⎨⎝⎭ ⎪⎝⎭⎪-<⎩，因此当0x ≥时，()f x 单调递减；当0x <时，()f x 单调递增；又()()()0.522log 3log 3log 3==-=a f f f ，()2.5log 3b f =，()2(0)==c f m f ， 而2 2.5log 3log 30>>，所以 ()()()2 2.5log 3log 30<<f f f ， 即a b c <<. 故选A12．【福建省莆田第一中学2019-2020学年高一期末】若函数()y f x =的图象与函数32y x =-的图象关于坐标原点对称，则()y f x =的表达式为（ ） A ．23y x =-- B ．23y x =+ C ．23y x =-+ D ．23y x =-【答案】A 【详解】设(,)x y 为函数()f x 上的点，则(,)x y 关于原点对称的点为(,)x y --在函数32y x =-上，可得32()y x -=-⨯-，整理得23y x =--， 即函数()y f x =的表达式为23y x =--. 故选：A.13．【广东省韶关市2019-2020学年高一期末】已知定义在R 上的奇函数()f x ，且当0x >时()f x 是增函数，设(3log a f =，31log 2b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()ln3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】D 【详解】解：()f x 为奇函数且0x >时，()f x 单调递增， 所以()33311log log log 222b f f f ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为33log lo ln31g 20>>>>， 所以c a b >>. 故选：D.14．【黑龙江省大庆中学2020-2021学年高三10月月考】已知()f x 是R 的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()12f =，则()()()()1232019f f f f ++++=（ ）A ．50-B ．2C ．0D ．50【答案】C 【详解】因为()()11f x f x -=+，用1x -代替上式中的x ，得到()()2f x f x -= 而()f x 是R 的奇函数，所以有()()()22f x f x f x =-=--用2x -代替上式中的x ，得()()24f x f x -=--，所以()()()24f x f x f x =--=-， 可得()f x 的周期为4.因为()12f =，()()040f f ==所以1x =时，由()()11f x f x -=+得()()200f f ==2x =时，由()()11f x f x -=+得()()()3112f f f =-=-=-故()()()159f f f ===⋅⋅⋅，()()()2610f f f ===⋅⋅⋅，()()()3711f f f ===⋅⋅⋅，()()()4812f f f ===⋅⋅⋅所以()()()()1232019f f f f ++++()()()()()()()5041234123f f f f f f f =++++++⎡⎤⎣⎦()5042020202=+-+++- 0=故选C .15．【浙江省宁波市九校2019-2020学年高一上学期期末】若()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2x yy x--+<+,则( )A ．0x y +<B ．0x y +>C ．0x y -<D ．0x y ->【答案】A解：结合已知不等式的特点，考虑构造函数,令()()22()log 2019log 2020x xf x -=-， 则易得()f x 在R 上单调递增，()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2yxyx--+<-，()()()()2222log 2019log 2020log 2019log 2020xx yy--∴-<-，即()()f x f y <-，所以x y <-， 故0x y +<. 故选：A.16．【浙江省9 1高中联盟2019-2020学年高一上学期期中】已知a R ∈，函数()()3,f x ax x x R =-∈对任意4,03t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得()()223f t f t +-≥恒成立，则实数a 的取值范围为______．【答案】14,,63⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【详解】解：∵()3,f x ax x =-，()2|(2)()||23642|f t f t a t t ∴+-=++-，∵()()223f t f t +-≥恒成立， ∴(24364)3a t t ++≥或()223643a t t ++≤恒成立.当0a >时，243643t t a ++≥或223643t t a++≤恒成立，∴只需()2min 43643t t a ≤++或()2max 23643t t a≥++. ∵函数2243643(1)1,,03y t t t t ⎡⎤=++=++∈-⎢⎥⎣⎦， ∴当1t =-时，min 1y =；当0t =时，max 4y =，413a ∴≤或243a ≥，43a ∴≥或16a ≤， 又0a >，43a ∴≥或106a <≤； 当0a ≤时，()222(2)()|23642|23(1)1123f t f t a t t a t ⎡⎤+-=++-=++-≥>⎣⎦， ∴0a ≤时，()()223f t f t +-≥恒成立. 综上，a 的取值范围为14,,63⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 故答案为：14,,63⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 17．【江西省新余市2018-2019学年高一上学期期末】已知函数()224f x x ax =-+在()1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围为______. 【答案】(],1-∞- 【详解】()224f x x ax =-+,()f x ∴的对称轴为x a =，要使()f x 在()1,-+∞上是增函数，需满足1a ≤-. 故答案为：(],1-∞-.18．【陕西省安康二中2019-2020学年高一上学期期末】已知函数f (x )＝30ln(10,),x x x x ⎧≤⎨+>⎩若f (2－x 2) >f (x )，则实数x 的取值范围是________．【答案】(－2, 1) 【详解】由f (x )的函数图象，可知f (x )是定义在R 上的增函数，而f (2－x 2) > f (x )∴ 2－x 2 > x ，解得：－2 < x < 1 故答案为：(－2, 1)19．【河北省保定市曲阳县第一中学2019-2020学年高一期末】设函数()3,111,1x x f x x x x <⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，则不等式()()26f x f x ->-的解集为____________.【答案】()2,3- 【详解】当1x <时，()f x x =单调递增，且()1f x <； 当1≥x 时，31()1f x x x=-+单调递增，且()1f x ≥. 所以函数()f x 在R 上单调递增. 于是()()26f xf x ->-等价于26xx ->-，则260x x --<，()()320x x -+<，解得23x -<<. 故答案为：()2,3-.20．已知函数()f x 是定义在区间[]1,3-上的减函数，且函数()f x 的图象经过点()()1,2,3,4P Q --，则该函数的值域是______. 【答案】[4,2]- 【详解】解：∵()f x 的图象经过()()1,2,3,4P Q --； ∴(1)2,(3)4f f -==-； 又∵()f x 的定义域为[]1,3-； ∴该函数的值域是[4,2]-； 故答案为：[4,2]-.21．【广西崇左市2019-2020学年高一上学期期末】已知奇函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递减，则满足()()13102f x f f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≥的x 的取值范围是______________.【答案】1,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【详解】由奇函数在0x =有意义可得()00f =，则不等式()()13102f x f f ⎛⎫-+⎪⎝⎭≥可变为()113122f x f f ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，又因奇函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递减，可得奇函数整个定义域上为减函数，则有1312x --≤，解得16x ≤，即不等式的x 的取值范围为(16⎤-∞⎥⎦，.故答案为：(16⎤-∞⎥⎦，.22．【上海市控江中学2019-2020学年高一上学期期末】已知常数a R ∈，函数()21x af x x +=+.若()f x 的最大值与最小值之差为2，则a =__________.【答案】【详解】当x a =-时，()0f x =，当x a 时，()222111[()]1()2x a x af x a x x a a x a ax a++===+++-+++-+， x a >-时，21()22a x a a a x a+++-≥+当且仅当x a =时，等号成立，0()2af x ∴<≤=同理x a <-时，()0f x ≤<，()f x ≤≤，即()f x 的最小值和最大值分别为2211,22a a a a -++++，依题意得212a +=，解得3a =±. 故答案为:3±.23．【山西省吕梁市2019-2020学年高一上学期期末】符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3,[ 1.08]2π=-=-，定义函数()[]f x x x =-，则下列命题中正确是________.①函数()f x 的最大值为1； ②函数()f x 的最小值为0； ③函数()()12G x f x =-有无数个零点； ④函数()f x 是增函数； 【答案】②③ 【详解】函数()[]f x x x =-，∴函数()f x 的最大值为小于1，故①不正确；函数()f x 的最小值为0，故②正确；函数每隔一个单位重复一次，所以函数()()12G x f x =-有无数个零点，故③正确； 由函数()f x 图像，结合函数单调性定义可知，函数()f x 在定义域内不单调，故④不正确；故答案为：②③24．【浙江省金华市金华十校2019-2020学年高一上学期期末】已知定义在[)1,+∞的函数()f x tx x=+，对满足121x x -≤的任意实数1x ，2x ，都有()()121f x f x -≤，则实数t 的取值范围为__________. 【答案】04t ≤≤ 【详解】解：当12x x =时，()()1201f x f x =-≤，明显成立； 当12x x ≠时，不妨设12x x >，则 1201x x <-≤，()()()()21121212121211t x x tf x f x x x x x x x x x -∴-=-+=-⋅-≤恒成立，121211t x x x x ∴-≤-恒成立， 即211212111t x x x x x x ≤-≤--，整理得121212122112x x x x x x t x x x x x x +≤≤+--恒成立， 121x x -≤，211x x ∴≥-，()()()()121221121111121122224x x x x x x x x x x x x ≥-+-=-=+⨯--=∴，当且仅当2111x x =-=，即211,2x x ==时等号成立，故4t ≤， 又121x x -≤，2101x x ∴>-≥-，12121212210x x x x x x x x x x ≤-∴++=-，当且仅当211x x -=-时，等号成立，故0t ≥，综上所述04t ≤≤. 故答案为：04t ≤≤.25．【重庆市江北区2019-2020学年高一上学期期末】已知函数()|ln |f x x =，若()f x k =有两个不相等的实数根α，β()αβ<，则4αβ-的取值范围是_______.【答案】(),3-∞ 【详解】ln ln k αβ==()0k >，由图像可知ln k k e αα--=⇒= ，ln kk e ββ=⇒=，444k k kke e e e αβ--=-=-， 函数4k y e=和k y e =-都是减函数， 4k k y e e∴=-是减函数，()0k > 当0k =时，0043e e -=，4k k y e e ∴=-的值域是(),3-∞，故4αβ-的取值范围是(),3-∞. 故答案为：(),3-∞26．【山西省晋中市平遥古城高级中学2019-2020学年高一上学期期末】已知定义域为R 的函数3()231x x a f x =-++是奇函数.（1）求a 的值；（2）判断函数f (x )的单调性并证明；（3）解关于t 的不等式f （3t -1）＋f （2-t ）＜0.【答案】（1）a ＝4；（2）f (x )在R 上为增函数；证明见解析；（3）{t |12t <-}. 【详解】（1）由f (x )为定义在R 上的奇函数可知，f （0）＝0，解得a ＝4， 经检验，a ＝4使f (x )为奇函数.（2）由（1）可知43()231xx f x ⋅=-++，证明：对于任意实数x 1，x 2，不妨设x 1＜x 2， 121212121243434(33)()()3131(31)(31)x x x x x x x x f x f x ⋅⋅--=-=++++.∵y ＝3x 在R 上单调递增，且x 1＜x 2，∴1233x x <，∴f （x 1）-f （x 2）＜0， ∴f （x 1）＜f （x 2），故f (x )在R 上为增函数.（3）不等式f （3t -1）＋f （2-t ）＜0可化为f （3t -1）＜-f （2-t ）， 再由f （-x ）＝-f (x )可得f （3t -1）＜f （t -2）. 由（2）可得3t -1＜t -2，解得12t <-， 所以不等式的解集为{t |12t <-}. 27．【云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高一上学期期末】已知函数()(0)1axf x a x =≠-． （1）判断函数()f x 在(1,1)-上的单调性，并用单调性的定义加以证明；（2）若1a =，求函数()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域． 【答案】（1）答案详见解析，证明详见解析；（2）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【详解】（1）当0a >时，函数()f x 在(1,1)-上是减函数；当0a <时，()f x 在(1,1)-上是增函数， 证明如下：当0a >时，任取1211x x -<<<，1212122112()()11(),(1)(1)ax ax f x f x x x a x x x x -=----=--因为110x -<，210x -<，21()0a x x ->，所以2112()0(1)(1)a x x x x ->--，得12()()f x f x >，故函数()f x 在(1,1)-上是减函数；当0a <时，任取1211x x -<<<，1212122112()()11(),(1)(1)ax ax f x f x x x a x x x x -=----=--因为110x -<，210x -<，21()0a x x -<， 所以2112()0(1)(1)a x x x x -<--，得12()()f x f x <，所以函数()f x 在(1,1)-上是增函数，得证. （2）当1a =时，由（1）得()1xf x x =-在(1,1)-上是减函数， 从而函数()1xf x x =-在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上也是减函数，其最小值为1()12f =-， 最大值为11()23f -=. 由此可得，函数()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 28．【山西省柳林县2019-2020学年高一期末】已知函数4()mf x x x=-，且()43f =. （1）求m 的值；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）若不等式()0f x a ->在[)1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1m =；（2）()f x 为奇函数；（3）(,3)-∞- 【详解】（1）4(4)434mf =-=，1m =； （2）由（1）知4()f x x x=-，()f x ∴的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称，44()()()()f x x x f x x x∴-=--=--=--，()f x ∴为奇函数； （3）由()a f x <在[1,)+∞上恒成立，min ()a f x <，y x =与4y x=-在[1,)+∞均为增函数， 4()f x x x∴=-在[1,)+∞上为增函数， min ()(1)3f x f ∴==-，3a ∴<-，故答案为(,3)-∞-.29．【浙江省衢州市2019-2020学年高一期末】已知函数1()1xf x a e =+-为奇函数( 2.71828)e =，k R ∈.（1）求a 的值；（2）若()2()(ln )ln g x f x f x k ⎡⎤=-+⎣⎦，[2,3]x ∈，求()g x 的最大值； （3）若()0x f x b e -⋅在区间[2,3]上解集为空集，求b 的取值范围.【答案】）（1）12a =；（2）22()1max k g x k =+；（3）33311,2(1)e e e ⎛⎫+-∞⋅ ⎪-⎝⎭【详解】解：（1）由()()f x f x =--， 得11()11x x a a e e -+=-+--， 即21a =，12a =； （2）2()()[()]g x f lnx f ln x k =-+2221111(1)(1)k x x k x x k =-=-+--+-，[2x ∈，3]． 令24222()(1)(1)()24k k h x x x k x -=-+-=+-，[2x ∈，3]． 2212k -+恒成立，∴2()(2)1min h x h k ==+． ∴22()1max k g x k =+；（3）()0x f x b e -在区间[2，3]上解集为空集 112(1)x x x e b e e +⇔<-在区间[2，3]上恒成立．令1x t e =+，2[1t e ∈+，31]e +．则1112 2(2)(1)23tbt t tt<=--+-对2[1t e∈+，31]e+恒成立．23y tt=+-在2[1e+，31]e+上单调递增，333112(1)ebe e+∴<-．故b的取值范围为33311,2(1)ee e⎛⎫+-∞⋅⎪-⎝⎭．30．【山东省东营市广饶县第一中学2019-2020学年高一上学期期末】已知函数121()log1axf xx-=-为奇函数，a为常数.（1）确定a的值；（2）求证：()f x是(1,)+∞上的增函数；（3）若对于区间[]34，上的每一个x值，不等式1()2xf x m⎛⎫>+⎪⎝⎭恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）1-；（2）证明见解析；（3）9,8⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.【详解】（1）()f x为奇函数，所以()()0f x f x+-=恒成立，所221112222111log log log0111ax ax a xx x x⎛⎫-+-⎛⎫⎛⎫+==⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立，得222111a xx-=-，所以21a=，即1a=±，经检验1a=不合题意，所以1a=-；（2）由（1）知，()121log1xf xx+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，设任意的1212,,1x x x x<<，则()()()()()()12121211112122221111log log log1111x xx xf x f xx x x x+-⎛⎫⎛⎫++-=-=⎪ ⎪---+⎝⎭⎝⎭，因为()()()()()12122121112221 11111120 x x x x x x x x x x x x x x+---+=+----++=->，且()()()()1212110,110x x x x+->-+>，所以()()()()121211111x xx x+->-+，故()()()()12112211log 011x x x x +-<-+，所以()()120f x f x -<，所以()f x 在()1,+∞上是增函数；（3）由（2）知函数()()12xh x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[3，4]上单调递增，所以()h x 的最小值为()()3193328h f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以使()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立的m 的取值范围是9,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.。

杭高2013学年第二学期期中考试高一数学试卷注意事项： 1．本试卷考试时间为90分钟，满分为100分。

2．本试卷考试过程中不得使用计算器，答案一律做在答卷页上.一．选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1．在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==AC =A ．B ．CD 2．ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知sin 1B =，向量p ()a b =，，(12)=，，若q p //，则角A 的大小为 A ．6π B ．3π C ．2π D ．32π 3．设x R ∈ ,向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ,则||a b +=A B C ．25 D ．104．ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，()0BA BC AC +⋅=，则ABC ∆一定是A ．直角三角形B ．等边三角形C ．非等边锐角三角形D ．钝角三角形5．已知数列}{n a 为等比数列,274=+a a ,865-=⋅a a ,则101a a +的值为A ．7B ．5-C ．5D ．7- 6．已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-= A ．13 B ．13- C ．23 D ．23- 7．已知正项数列{a n }满足a 1＝1，(n ＋2)a n ＋12－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，则它的通项公式为A ．an ＝1n ＋1 B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝n ＋12D ．a n ＝n 81的等腰直角三角形拼在一起，C ．2D ．22+9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足0,01817<>S S ,则17172211,,,a S a S a S 中最大的项为A ．66a SB ．77a SC ．88a SD ．99a S 10．对任意两个非零的平面向量,αβ，定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满足0a b ≥>，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则b a =A ．12B ．1C ．32D ．52二．填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，请将答案填在题中的横线上） 11． 50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于_____________.12．在等差数列{a n }中，a 1＝－7,74a =-，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为_______.13．公比q 不为1的等比数列{}n a 满足*212()n n n a a a n +++=∈N ，则q =_______.14．已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则⋅=_______.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若数列{}n S 是首项和公比都是3的等比数列,则{}n a 的通项公式n a =_______.16．圆O 的半径为2,ABC ∆是其内接三角形, 3BC =,则22AC AB -的最大值为_______. 17．设等比数列的公比为q ,其前n 项的积为n T ,并且满足条件11a >,9910010a a ->.99100101a a -<-, 给出下列结论：① 01q <<；② 9910110a a -<；③100T 的值是n T 中最大的； ④ 使1n T >成立的最大自然数等于198.其中正确的结论是_______.三．解答题（本大题共4小题，共42分，要写出详细的解答过程或证明过程）18．（本小题满分8分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =（1）求角C 的大小；（2cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角A 的大小． 19．（本小题满分10分）设{}n a 是各项都为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，3513a b +=，5321a b +=.（1）求数列}{n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数{}n n a b 列前n 项和n T .20．（本小题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 向量()()()B A B A m --=→sin ,cos ，()B B n sin ,cos -=→,且53-=⋅→→n m ． （1）求sin A 的值； （2）若a =5b =,求角B 的大小及向量BA −−→在BC −−→方向上的投影．21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +是关于x 的方程 220()n n x x b n N *-+=∈的两根，且11a =．（1）求证：数列123n n a ⎧⎫-⨯⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求n S ； （3）问是否存在常数λ，使得0n n b S λ->对任意n N *∈都成立，若存在，求出λ的取值范围; 若不存在，请说明理由． 杭高2013学年第二学期期中考试高一数学答卷页 一．选择题（本大题共10小题，每小题3 分，共30分）11． 12． 13． 14． 15． 16． 17.试场号_________座位号________班级_________ 姓名____________学号_________………………………………装……………………………………订………………………线………………………………………。

专题01 集合知识点一：相等集合一般地，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，那么集合A 与集合B 相等，记作A ＝B.显然若两个集合相等，则它们的元素完全相同1.（安徽省安庆市五校联盟2018-2019学年高一上学期期中）下列集合中表示同一集合的是（ ）A ．{(3,2)}M =，{(2,3)}N =B ．{4,5}M =，{5,4}N =C ．{}(,)1M x y x y =+=，{}1N y x y =+=D ．{1,2}M =，{(1,2)}N =【答案】B 【分析】根据集合的元素是否相同判断即可． 【详解】解：A 两个集合的元素不相同，点的坐标不同， B 两个集合的元素相同，C 中M 的元素为点，N 的元素为数，D 中M 的元素为点，N 的元素为数， 故A ，C ，D 都不对． 故选：B ． 2.（多选题）（广东省佛山市南海区第一中学2020-2021学年高一上学期）下列各组中的两个集合相等的有__________.A 、{}2,P x x n n Z ==∈，(){}21,Q x x n n Z ==-∈；B 、{}21,P x x n n N *==-∈，{}21,Q x x n n N *==+∈；C 、{}20P x x x =-=，()11,2nQ x x n Z ⎧⎫+-⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 【答案】AC 【分析】判断出A 选项中两个集合均为偶数集，可得出结论；分析出B 选项中的集合P 为正奇数集，集合Q 是从3开始的正奇数构成的集合，可得出结论；求出C 选项中的两个集合，可得出结论.【详解】对于A ，集合{}2,P x x n n Z ==∈为偶数集，集合(){}21,Q x x n n Z ==-∈也为偶数集，则P Q =；对于B ，集合{}21,P x x n n N *==-∈为正奇数集，集合{}21,Q x x n n N *==+∈是从3开始的正奇数构成的集合，则P Q ≠；对于C ，{}{}200,1P x x x =-==，对于()()112nx n Z +-=∈，若n 为奇数，则0x =；若n 为偶数，则1x =，即{}0,1Q =.P Q ∴=.故答案为：AC.3.（福建省龙岩市高级中学2020-2021学年高一上学期期中考试）已知集合{}20,1,A a =，{1,0,23}=+B a ，若A B =，则a 等于 A ．1-或3 B ．0或1- C ．3 D ．1- 【答案】C 【分析】根据两个集合相等的知识列方程，结合集合元素的互异性求得a 的值. 【详解】 由于A B =，故223a a =+，解得1a =-或3a =.当1a =-时，21a =，与集合元素互异性矛盾，故1a =-不正确.经检验可知3a =符合. 故选：C4.．(多选题)（广东省广州市（广附、广外、铁一）三校2020年高一上学期期中）下列各组中M ，P 表示不同集合的是（ ） A ．M ＝{3，－1}，P ＝{(3，－1)} B ．M ＝{(3，1)}，P ＝{(1，3)}C ．M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R}D ．M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R}，P ＝{(x ，y )|y ＝x 2－1，x ∈R} 【答案】ABD 【分析】选项A 中，M 和P 的代表元素不同，是不同的集合； 选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M ≠P ； 选项C 中，解出集合M 和P .选项D 中，M 和P 的代表元素不同，是不同的集合. 【详解】选项A 中，M 是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P 是由点(3，－1)构成的集合； 选项B 中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M ≠P ；选项C 中，M ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R}=[)1,+∞，P ＝{x |x ＝t 2＋1，t ∈R}=[)1,+∞，故M =P ；选项D 中，M 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 的所有因变量组成的集合，而集合P 是二次函数y ＝x 2－1，x ∈R 图象上所有点组成的集合． 故选ABD ．5.（山西省太原市2018-2019学年高一上学期期中）已知集合{,,2}A a b =，2{2,,2}B b a =，若A B =，求实数a ，b 的值.【答案】01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【分析】利用集合相等的定义列出方程组，再结合集合中元素的互异性质能求出实数a ，b 的值． 【详解】解：由已知A B =，得22a ab b =⎧⎨=⎩（1）或22a b b a ⎧=⎨=⎩.（2） 解（1）得00a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=⎩，解（2）得00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又由集合中元素的互异性 得01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.知识点二：元素与集合关系1、集合中元素的三个特性 (1)确定性；(2)互异性；(3)无序性2、(1)“属于”：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A.(2)“不属于”：如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A.1、（福建省莆田第一中学2020-2021学年高一上学期期中）设集合{}22,,A x x =，若1A ∈,则x 的值为 A ．1- B ．±1 C ．1 D ．0 【答案】A 【详解】2111A x orx ∈∴== ，若211x x =⇒= ，不满足集合元素的互异性， 故21x =， 1.x =- 故结果选A .2.（内蒙古集宁一中2018-2019学年高一上学期期中）已知集合 {}1,2,3,4,5A =，{}1,2,3B =，{}|,C z z xy x A y B ==∈∈且，则集合C 中的元素个数为A ．15B ．13C ．11D ．12 【答案】C 【分析】根据题意，确定,x y 的可能取值；再确定z xy =能取的所有值，即可得出结果. 【详解】因为{}1,2,3,4,5A =，{}1,2,3B =，{}|,C z z xy x A y B ==∈∈且， 所以x 能取的值为1,2,3,4,5；y 能取的值为1,2,3，因此z xy =能取的值为1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15，共11个， 所以集合C 中的元素个数为11. 故选C3.（河南省开封市2020-2021学年高一上学期五县联考期中）已知集合{}230A x x ax a =-+≤，若1A -∉，则实数a 的取值范围为______.【答案】14a >-【分析】利用元素与集合的关系知1x =-满足不等式230x ax a -+>，代入计算即得结果. 【详解】若1A -∉，则1x =-不满足不等式230x ax a -+≤，即1x =-满足不等式230x ax a -+>，故代入1x =-，有130++>a a ，得14a >-．故答案为：14a >-．4.（湖北省武汉市问津联盟2020-2021学年高一上学期期中联考）设集合2{|8150}A x x x =-+=，{|10}B x ax =-=.（1）若15a =，试判定集合A 与B 的关系；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值集合.【答案】（1）B 是A 的真子集；（2）11{0,,}35.【分析】（1）算出A 、B 后可判断B 是A 真子集. （2）就B φ=、B φ≠分类讨论即可.（1）{}{}3,5,5A B ==，∴B 是A 真子集 （2）当B φ=时，满足B A ⊆，此时0a =；当B φ≠时，集合1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，得13a =或5，解得13a =或15综上，实数a 的取值集合为110,,35⎧⎫⎨⎬⎩⎭.知识点三：空集的特殊应用(1)空集：只有一个子集，即它本身； (2)空集是任何非空集合的真子集． ∅{0}∅{∅}或 ∅∈{∅}1.（ ）A ．{}0B ．{8xx >∣，且}5x < C ．{}210x x ∈-=N∣ D ．{}4x x >【答案】B【分析】根据空集的定义判断． 【详解】A 中有元素0，B 中集合没有任何元素，为空集，C 中有元素1，D 中集合，大于4的实数都是其中的元素． 故选：B ．2.（河北省张家口市崇礼区第一中学2020-2021学年高一上学期期中）下列五个写法：①{0}{1,2,3}∈；②{0}∅⊆；③{0,1,2}{1,2,0}⊆；④0∈∅；⑤0∅=∅，其中错误写法的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C 【分析】利用元素与集合的关系以及集合与集合之间的关系，便可得出答案. 【详解】对①：{0}是集合，{1,2,3}也是集合，所以不能用∈这个符号，故①错误. 对②：∅是空集，{0}也是集合，由于空集是任何集合的子集，故②正确.对③：{0,1,2}是集合，{1,2,0}也是集合，由于一个集合的本身也是该集合的子集，故③正确.对④：0是元素，∅是不含任何元素的空集，所以0∉∅，故④错误.对⑤：0是元素，∅是不含任何元素的空集，所以两者不能进行取交集运算，故⑤错误.3.（青海省西宁市大通县第一中学2019-2020学年高一上学期期中）关于以下集合关系表示不正确的是（ ） A ．∅∈{∅} B ．∅∈{∅} C ．∅∈N* D ．∅∈N* 【答案】C 【分析】空集是任何集合的子集.根据元素与集合的关系、集合与集合的关系对选项逐一进行判断，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，集合中含有一个元素空集，故空集是这个集合的元素，故A 选项正确. 空集是任何集合的子集，故B,D 两个选项正确.对于C 选项，空集不是正整数集合的元素，C 选项错误.故选C.4.（青海省西宁市海湖中学2020-2021学年高一上学期）下列关系正确的是 A ．{0}∅⊆ B ．{0}∅∈ C ．0∈∅ D ．{0}⊆∅ 【答案】A 【分析】根据空集是任何集合的子集即可判断出选项A 正确． 【详解】空集是任何集合的子集； {}0∴∅⊆正确 本题正确选项：A知识点四：子集的应用子集有下列两个性质：①自反性：任何一个集合都是它本身的子集，即A ⊆A ；②传递性：对于集合A ，B ，C ，如果A ⊆B ，且B ⊆C ，那么A ⊆C.1.（吉林省长春市十一高中2020-2021学年高一上学期）已知集合{2,3,1}A =-，集合2{3,}B m =．若B A ⊆，则实数m 的取值集合为（ ）A ．{1}B ．C ．{1,1}-D ．{【答案】C 【分析】根据子集关系列式可求得结果. 【详解】因为B A ⊆，所以21m =，得1m =±， 所以实数m 的取值集合为{1,1}-. 故选：C2.（江苏省淮安市淮安区2020-2021学年高一上学期期中）满足{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆的集合A 的个数为（ ） A ．8 B ．7 C ．4 D ．16 【答案】A 【分析】根据已知条件可知集合A 中必有1,2，集合A 还可以有元素3,4,5，写出集合A 的所有情况即可求解. 【详解】因为集合A 满足{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，所以集合A 中必有1,2，集合A 还可以有元素3,4,5，满足条件的集合A 有：{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,5，{}1,2,3,4，{}1,2,3,5，{}1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共有8个，故选：A.3.（湖北省孝感市汉川市第二中学2020-2021学年高一上学期期中）若集合M N ⊆，则下列结论正确的是 A ．M N M ⋂= B ．M N N ⋃=C ．M M N ⊆⋂（）D ．()M N N ⋃⊆【答案】ABCD 【分析】根据子集的概念，结合交集、并集的知识，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】由于M N ⊆，即M 是N 的子集，故M N M ⋂=，M N N ⋃=，从而M M N ⊆⋂（），()M N N ⋃⊆. 故选ABCD.4.（湖南省怀化市洪江市黔阳二中2020-2021学年高一上学期期中）已知集合M ，N ，P 为全集U 的子集，且满足M ∈P ∈N ，则下列结论正确的是 （ ）A ．U N ∈U PB ．N P ∈N MC ．(U P )∩M =∈D ．(U M )∩N =∈ 【答案】ABC 【分析】由已知条件画出Venn 图，如图所示，然后根据图形逐个分析判断即可 【详解】因为集合M ，N ，P 为全集U 的子集，且满足M ∈P ∈N ，所以作出Venn 图，如图所示，由Venn 图，得U N ∈U P ，故A 正确； N P ∈N M ，故B 正确； (U P )∩M =∈，故C 正确； (U M )∩N ≠∈，故D 错误. 故选：ABC知识点五：交集、并集、补集的运算（1）交集的运算性质：A ∩B ＝B ∩A ，A ∩B ⊆A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝A ⇔A ⊆B . （2）并集的运算性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ⊆A ∪B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ⇔A ⊆B .（3）全集与补集的性质∁U A ⊆U ，∁U U ＝∅，∁U ∅＝U ，A ∪(∁U A )＝U ，A ∩(∁U A )＝∅，∁U (∁U A )＝A .1.（陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高一上学期期中）设集合{}{}{}1,0,3,3,21,3A B a a A B =-=++=，则实数a 的值为________. 【答案】0或1 【分析】由于{}3A B ⋂=，所以可得33a +=或213a +=，从而可出a 的值【详解】解：因为{}{}{}1,0,3,3,21,3A B a a A B =-=++=所以33a +=或213a +=，所以0a =或经检验，0a =或1a =都满足题目要求，所以0a =或1a =，故答案为：0或1， 2.（浙江省杭州市高级中学2020-2021学年高一上学期期中）已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x << 【答案】C 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．3.（广西桂林市第十八中学2020-2021学年高一上学期期中）已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ⋃=（ ） A ．{−2，3} B ．{−2，2，3} C ．{−2，−1，0，3} D ．{−2，−1，0，2，3} 【答案】A 【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U 2,3A B =-. 故选：A.4.（江西省南昌大学附中2020-2021年高一上学期期中）设A 、B 、U 均为非空集合，且满足A B U ⊆⊆，则下列各式中错误的是（ ） A ．()U C A B U = B ．()()U U U C A C B C B = C ．()U A C B ⋂=∅ D ．()()U U C A C B U = 【答案】D 【分析】做出韦恩图，根据图形结合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可得出结论. 【详解】A B U ⊆⊆，如下图所示，则U U C B C A ⊆， ()U C A B U =，选项A 正确，()()U U U C A C B C B =，选项B 正确， ()U A C B ⋂=∅，选项C 正确，()()U U U C A C B C A U =≠，所以选项D 错误.故选:D.5.（黑龙江省齐齐哈尔市克东一中、克山一中等五校2019-2020学年高一上学期期中联考）已知集合{}|3A x a x a =≤≤+,24{|}120B x x x =--＞ （1）若A B =∅，求实数a 的取值范围； （2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[]2,3-；（2）{5|a a -＜或6}a ＞．（1）求出集合{}32|{|A x a x a B x x =≤≤+=<-，或6}x >，由A B =∅，列出不等式组，能求出实数a 的取值范围．（2）由A B B ⋃=，得到A B ⊆，由此能求出实数a 的取值范围． 【详解】 解：（1）∈集合{}|3A x a x a =≤≤+，24120{|}2{|B x x x x x =-->=<-或6}x >，A B =∅，∈236a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得23a -≤≤∈实数a 的取值范围是[]2,3-（2）A B B A B =∴⊆，32a ∴+-＜或6a ＞，解得5a -＜或6a ＞． ∈实数a 的取值范围是{5|a a <-或6}a >6.（广东省华南师范大学附属中学南海实验高级中学2020-2021学年高一上学期期中）已知集合{}{}121215{}A xx B x x C x x m =-≤≤=≤-≤=>∣，∣，∣ （1）求(),R A B A B ⋃⋂；（2）若()A B C ⋃⋂≠∅，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}13A B x x ⋃=-≤≤，(){}11R A B x x ⋂=-≤<，（2）(,3)-∞ 【分析】（1）先求出集合B ，再求B R ，然后求(),R A B A B ⋃⋂， （2）由()A B C ⋃⋂≠∅，可得答案 【详解】 解：（1）由1215x ≤-≤，得13x ≤≤，所以{}13B x x =≤≤， 所以{1R B x x =<或}3x >，因为{}12A x x =-≤≤，所以{}13A B x x ⋃=-≤≤，(){}11R A B x x ⋂=-≤< （2）因为()A B C ⋃⋂≠∅，{}C x x m =>，{}13A B x x ⋃=-≤≤， 所以3m <，所以实数m 的取值范围为(,3)-∞，1.（江苏省无锡市江阴四校2018-2019学年高二下学期期中）设集合M ＝{x |x ＝4n ＋1，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z }，则（ ） A ．M ≠⊂N B ．N ≠⊂M C ．M ∈N D ．N ∈M 【答案】A 【分析】根据集合,M N 元素的特征确定正确选项. 【详解】对于集合N ，当n ＝2k 时，x ＝4k ＋1（k ∈Z ）；当n ＝2k －1时，x ＝4k －1（k ∈Z ）.所以N ＝{x |x＝4k ＋1或x ＝4k －1，k ∈Z }，所以M ≠⊂N . 故选：A2、（重庆市涪陵高级中学2019-2020学年高一上学期）已知集合{}260A x x x =+-≤，{}212B x m x m =-≤≤+，若B A ⊆，则实数m 的取值范围（ ）A ．(][),10,-∞-+∞B ．[]()1,03,-+∞ C ．()3,+∞D ．[)1,3-【答案】B 【分析】求出集合A ，然后分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，结合条件B A ⊆得出关于实数m 的不等式组，解出即可. 【详解】{}{}26032A x x x x x =+-≤=-≤≤.当B =∅时，则212m m ->+，得3m >，此时B A ⊆成立；当B ≠∅时，则212m m -≤+，得3m ≤，由B A ⊆，得21322m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得10m -≤≤，此时10m -≤≤.综上所述，实数m 的取值范围是[]()1,03,-+∞.故选：B.3.（广东省佛山市第三中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题）已知集合{}21,A x y x y Z==+∈，{}21,B y y x x Z ==+∈，则A 、B 的关系是（ ）A ．AB = B ．A BC ．BAD ．A B =∅【答案】C 【分析】由题意得出Z A ⊆，而集合B Z ，由此可得出A 、B 的包含关系.【详解】由题意知，对任意的x ∈Z ，21y x Z =+∈，Z A ∴⊆.{}21,B y y x x Z ==+∈，∴集合B 是正奇数集，则BZ ，因此，BA .故选：C.4.（四川省成都市双流区棠湖中学2019-2020学年高一上学期期中）已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B B ⋃=，则实数a 的取值范围是 A ．(,2]-∞- B ．[2,)-+∞ C ．(,2]-∞ D ．[2,)+∞ 【答案】D 【分析】先根据A B B ⋃=得到A B 、之间的关系，然后利用不等式确定a 的范围. 【详解】因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，又因为{}{|20}|2A x x x x =-<=<，{|}B x x a =<，所以2a ≥，即[)2,a ∈+∞，故选：D.5.（上海市华东师范大学第二附属中学2016-2017年高一上学期）已知集合{}2263A x k x k =-+<<-，{}B x k x k =-<<，若AB ，则实数k 的取值范围为________.【答案】10,2⎛+ ⎝⎦【分析】由题意知B ≠∅，可得出0k >，分A =∅和A ≠∅，结合条件A B ，列出关于实数k 的不等式组，解出即可. 【详解】AB ，B ∴≠∅，则k k -<，解得0k >.当A =∅时，2326k k -≤-+，即2290k k +-≤，解得11k -≤≤-+，此时01k <≤；当A ≠∅时，2326k k ->-+，即2290k k +->，解得1k <-或1k >-此时1k >.AB ，则2263k k k k -+≥-⎧⎨-≤⎩，即2630k k k ≤⎧⎨--≤⎩，解得1122k +≤≤，1k <≤经检验，当12k +=时，A B ≠.综上所述，实数k 的取值范围是10,2⎛ ⎝⎦.故答案为：⎛ ⎝⎦.6.（重庆市第八中学2018-2019学年度高一上学期期中考试）已知集合A={x|x 2-（a -1）x -a＜0，a∈R}，集合B={x|2x 12x+-＜0}．（1）当a=3时，求A∩B ；（2）若A∈B=R ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）A ∩B ={x |-1＜x 12-＜或2＜x ＜3}；（2）()2,+∞.【分析】（1）结合不等式的解法，求出集合的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．（2）结合A∈B=R ，建立不等式关系进行求解即可． 【详解】 解：（1）当a =3时，A ={x |x 2-2x -3＜0}={x |-1＜x ＜3}， B ={x |212x x+-＜0}={x |x ＞2或x ＜-12}． 则A ∩B ={x |-1＜x 12-＜或2＜x ＜3}．（2）A ={x |x 2-（a -1）x -a ＜0}={x |（x +1）（x -a ）＜0}，B ={x |x ＞2或x ＜-12}． 若A ∈B =R ，则2a >，即实数a 的取值范围是()2,+∞．7.（北京市第十三中学2019-2020学年高一上学期期中）已知函数()f x 的定义城为A ,集合{}11B x a x a =-<<+(1)求集合A ;(2)若全集{}5U x x =≤,2a =,求u A B ;(3)若x B ∈是x A ∈的充分条件,求a 的取值范围． 【答案】(1)|34x xA;(2){}|3134UAB x x x =-<≤-≤≤或;(3)|3a a .11 【分析】(1)分母不能为0,偶次方根式的被开方数不能负值.(2)一个集合的补集是在全集而不在这个集合中的元素组成的集合,两个集合的交集是两个集合的公共元素组成的集合;(3)依题意得B 是A 的子集,即集合B 的元素都在集合A 中,由此确定a 的范围.【详解】解: (1)要使函数()f x 有意义,则4030x x -≥⎧⎨+>⎩,即34x 所以函数的定义域为|34x x .所以集合|34x x A(2)因为全集{}5U x x =≤,2a =, ,{}{}1113B x a x a x x ∴=-<<+=-<<{}|135U B x x x ∴=≤-≤≤或,{}|3134U A B x x x =-<≤-≤≤或;(3)由(1)得|34x x A ,若x B ∈是x A ∈的充分条件,即B A ⊆,①当B =∅时, B A ⊆,即11,a a -≥+0a ∴≤②当B ≠∅时, B A ⊆,11013403143a a a a a a a a -<+>⎧⎧⎪⎪-≥-⇒≤⇒<≤⎨⎨⎪⎪+≤≤⎩⎩, 综上所述: a 的取值范围为{}|3a a ≤.8.（安徽省合肥市第六中学2019-2020学年高一上学期期中）已知集合{}2320,,A x ax x x R a R =-+=∈∈.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ；（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围【答案】（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；（3）{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）方程ax 2﹣3x +2＝0无解，则0a ≠，根据判别式即可求解；（2）分a ＝0和a ≠0讨论即可；（3）综合（1）（2）即可得出结论.【详解】（1）若A 是空集，则方程ax 2﹣3x +2＝0无解此时0,a ≠ ∆＝9-8a ＜0即a 98＞ 所以a 的取值范围为9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）若A 中只有一个元素则方程ax 2﹣3x +2＝0有且只有一个实根当a ＝0时方程为一元一次方程，满足条件当a ≠0，此时∆＝9﹣8a ＝0，解得：a 98= ∈a ＝0或a 98= 当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当98a =时，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭（3）若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素由（1），（2）得满足条件的a 的取值范围是{}90,8⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭.。