2008年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷及答案

2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个空格，每一空格5分，共40分）1．函数()2lg 1-=x y 的定义域是______________________。

2．设x y 3sin 5=，则_________________________________=dx dy。

3．极限_________________________1lim102=+⎰∞→dx x x n n 。

4．积分⎰=+_______________________________sin 1cot dx x x。

5．设,1111xxy -++=则()_______________________5=y 。

姓名：_____________准考证号：______________________报考学校 报考专业：6．积分________________________________sin sin 097=-⎰πdx x x 。

7．设()y x e y x u 32sin ++-=，则________________________=du 。

(超纲,去掉)8．微分方程()032=+++dy y y y x xdx 的通解________________________。

二．选择题：（本题共有4个小题，每一个小题5分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1．设()()⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=x x x x x f ln 2311sin 13211≥<x x ，则1=x 是()x f 的 【 】。

().A 连续点， ().B 跳跃间断点， ().C 无穷间断点， ().D 振荡间断点。

高数（一）答案（A ）卷一．填空题：(每空格5分，共40分)1．连续区间是),1()1,0()0,(+∞-∞ ，2．21， 3．（1）⎩⎨⎧==00z y 或者001zy x ==，或者0,0,===z y t x （其中t 是参数）， （2）0=x4．1,0-==b a ，5．（1）y x r 2-， （2）xy23.三．计算题。

1．解 ：令)1ln (ln 2+-=x x x y ， （3分）则x x x x x x x x x y )1)](1ln(1)12([222'+-+-++--= （7分） 2．解：)43(432'-=-=x x x x y ，驻点为34,021==x x （2分）（法一） 46''-=x y ，04)0(''<-=y ， 1)0(=y （极大值）， （5分） 04)34(''>=y ， 275)34(-=y （极小值）. （7分）（5分）当0=x 时，1=y （极大值），当34=x 时，275-=y （极小值） （7分）3．解：利用莱布尼兹公式x nn e n n nx x dxfd )]1(2[2-++= （7分） 4．解： ⎰⎰⎰------=--=+-0101012]1121[)2)(1(1231dx x x dx x x dx x x (3分)＝34ln12ln1=---x x (7分) 5．解：⎰+dx e x 211＝=+-+⎰dx ee e xxx 22211 (3分)++-=)1ln(212x e x C （其中C 是任意常数） （7分）6．解：⎰-+12)2(dx e x x x ＝=+--+⎰dx e x ex x x x 10102)12()2( （3分）＝2－⎰+1)12(dx e x x＝2－)13(-e +102x e=＝e e e -=-+-12233。

（7分）7．解：)cos()sin(y x xy y x z++-=∂∂ (3分))s i n ()c o s (s i n 2y x xy xy xy yx z+---=∂∂∂ . （7分） 8：解：=-+=+=]2111[2111x x y (2分)])21()1()21()21(211[2132 +--++---+--=n n x x x x ＝∑∞=+--012)1()1(n n n n x ， （5分） 收敛区间为（-1， 3）. （7分） 9.解：特征方程为0122=+-λλ，特征值为1=λ（二重根），齐次方程0222=+-y dx dydxy d 的通解是x e x c c y )(~21+=，其中21,c c 是任意常数. (3分)x y dx dy dxy d =+-222的特解是2+=*x y ， （6分） 所以微分方程的通解是x e x c c x y y y )(2~21+++=+=*，其中21,c c 是任意常数 （7分） 10．解：2222b a b a -++＝=--+++)2()2()2()2(b a b a b a b a (3分)＝26)(222=+b a . （7分）四．综合题：1．解：（法一）⎰++π0212sin 212sin xdx m xdx n ＝－dx x m n x m n ])cos()1([cos 21--++⎰π（4分） ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-++-≠=---++++-⎰πππ00 ,21]1)1[cos(21 ,0])sin(1)1sin(11[21m n dx x m n m n x m n m n x m n m n （10分） （法二）当m n ≠时⎰++π212sin 212sin xdx m xdx n ＝－dx x m n x m n ])cos()1([cos 210--++⎰π（ 4分）＝0])sin(1)1sin(11[210=---++++-πx m n m n x m n m n （7分） 当m n =时 ⎰++π0212sin 212sin xdx m xdx n ＝⎰⎰=+-=+πππ000221])12cos(1[21212sin x dx x n xdx n ＝2π（10分） 2．证明：（1）考虑函数dx cx bx ax x F +++=234)(, （2分） )(x F 在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，0)1()0(==F F ，由罗尔定理知，存在)1,0(∈ξ，使得0)('=ξF ，即0)()('==ξξf F ，就是=)(ξf 023423=+++d c b a ξξξ,所以函数)(x f 在（0，1）内至少有一个根. （7分） （2）c bx ax x F x f 2612)()(2'''++==因为ac b 832<，所以0)83(129636)2)(12(4)6(222<-=-=-ac b ac b c a b ，)('x f 保持定号，)(x f 函数)(x f 在（0，1）内只有一个根. （10分）。

全国2008年7月高等教育自学考试高等数学(一)试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是（ ）A.(-1,1)B.[-1,1]C.[-1,0]D.[0,1]2.设f(x)=⎩⎨⎧<≥+0x ,x 0x ),x 1ln(, 则=')0(f （ ） A.0B.1C.-1D.不存在3.设函数f(x)满足)x (f 0'=0, )x (f 1'不存在, 则（ ）A.x=x 0及x=x 1都是极值点B.只有x=x 0是极值点C.只有x=x 1是极值点D.x=x 0与x=x 1都有可能不是极值点 4.设f(x)在[-a,a](a>0)上连续, 则⎰-=a a dx )x (f （ ） A.0B.2⎰a 0dx )x (fC.⎰-+a 0dx )]x (f )x (f [D. ⎰--a0dx )]x (f )x (f [ 5.设供给函数S=S(p)(其中p 为商品价格), 则供给价格弹性是（ ） A.)p (S Sp '- B. )p (S S p ' C. )p (S p ' D. )p (S S1'二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.设f(x-1)=x 2-x, 则f(x)= ___________.7.n 31sin n 1lim 22n ∞→= ___________.8.设2)x 2(f x lim 0x =→, 则=→x)x 4(f lim 0x ___________. 9.设1)1(f =' 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∞→)1(f )x 11(f x lim x =___________. 10.函数y=lnx 在[1,e]上满足拉格朗日定理的条件，应用此定理时相应的ξ___________.11.函数y=arctan x 2的最大的单调减小区间为___________.12.曲线y=2-(1+x)5的拐点为___________. 13.⎰+∞-++122x 2x dx =___________. 14.微分方程0y y 2=+'的通解为y=___________.15.设z=x 4+y 4-4x 2y 2, 则=∂∂∂y x z 2___________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.求极限xcos x sec )x 1ln(lim 20x -+→ . 17.设y=ln(arctan(1-x)), 求y '.18.求不定积分 ⎰+)x ln 1(x dx . 19.设z=2cos 2(x-21y), 求y x z 2∂∂∂. 20.设z=z(x,y)是由方程1cz b y a x 222222=++所确定的隐函数，求dz .四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）21.设y=cot 2x +tan x2, 求y ' . 22.计算定积分)0a (dx x a x a 0222>-⎰.23.计策二重积分dxdy y e D 3yx ⎰⎰, 其中D 由直线x+y=1, y=21及y 轴所围成的闭区域.五、应用题（本大题共9分）24.由y=x 3, x=2及y=0所围成的图形分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得的两个旋转体的体积.六、证明题（本大题共5分）25．设f(x)在[0,1]上连续，且f(0)=0, f(1)=1. 证明：至少存在一点ξ∈（0，1），使f(ξ)=1-ξ.2008年7月高等数学（一）自考试题答案。

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷1至2页，第II 卷3至9页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)kkn kn n P k C P P k n -=-= ，，，一、选择题1．函数y =的定义域为（ ）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）3．在A B C △中，AB = c ，AC = b ．若点D 满足2BD DC = ，则AD =（ ）A ．2133+b c B ．5233-c b C ．2133-b c D ．1233+b c4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ ） A ．21x e -B ．2x eC ．21x e +D ．22x e +7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2B ．12C ．12-D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞ ，，B ．(1)(01)-∞- ，，C ．(1)(1)-∞-+∞ ，，D ．(10)(01)- ，，10．若直线1x y ab+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ）A ．221a b +≤ B ．221a b +≥C ．22111ab+≤D ．22111ab+≥11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为A B C △的A ．B ．C ．D ．中心，则1A B 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）A ．13B．3C．3D ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96B ．84C ．60D ．482008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共7页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试．．题卷上作答无效．．．．．．．． 3．本卷共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ．15．在A B C △中，A B B C =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形A B D E 有一公共边A B ，二面角C A B D --的余弦值为3，M N ，分别是A C B C ，的中点，则E M A N ，所成角的余弦值等于 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设A B C △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a B b A c -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 四棱锥A B C D E -中，底面B C D E 为矩形，侧面A B C ⊥底面B C D E ，2B C =，CD =，A B A C =．（Ⅰ）证明：AD C E ⊥；（Ⅱ）设C E 与平面A B E 所成的角为45 ，求二面角C A D E --的大小．19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫--⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳DE AB性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． （Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率； （Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知O A AB O B 、、成等差数列，且BF与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设A B 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=． （Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥．证明：1k a b +>．2008年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修Ⅰ）参考答案1. C. 由()10,0,1,0;x x x x x -≥≥≥=得或2. A ．根据汽车加速行驶212s at =，匀速行驶s vt =，减速行驶212s at =-结合函数图像可知；3. A. 由()2AD AB AC AD -=-，322AD AB AC c b =+=+ ，1233A D c b =+ ；4. D. ()()()22221210,1a i i a ai i a a i a +=+-=-+->=-；5. C. 由243511014,104,3,104595a a a a a d S a d +=+=⇒=-==+=；6. B.由()()()()21212ln 1,1,y x xy x e f x ef x e --=⇒=-==；7.D.由()3212211,','|,2,21121x x y y y a a x x x =+==+=-=--==----；8.A.55cos 2sin 2sin 2,3612y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭只需将函数s in 2y x =的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像. 9.D ．由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x xx--=<，而(1)0f =，则(1)(1)0f f -=-=，当0x >时，()0(1)f x f <=；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又()f x 在(0)+∞，上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，01,10x x <<-<<或.10.D ．由题意知直线1x y ab+=与圆221x y +=221111ab+≤1,≥.另解：设向量11(cos ,sin ),(,)a bααm =n =，由题意知cos sin 1abαα+=由⋅≤m n m n可得cos sin 1abαα=+≤11.C．由题意知三棱锥1A ABC-为正四面体，设棱长为a，则1AB=，棱柱的高13A O a===（即点1B到底面ABC的距离），故1A B与底面ABC所成角的正弦值为113A OA B=.另解：设1,,AB AC AA为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA的两两间的夹角为060长度均为a，平面ABC的法向量为111133O A A A A B A C=--,11AB AB AA=+211112,33O A AB a O A AB⋅===则1A B与底面ABC所成角的正弦值为11113O A ABA O AB⋅=12.B.分三类：种两种花有24A种种法；种三种花有342A种种法；种四种花有44A种种法.共有234444284A A A++=.另解：按A B C D---顺序种花，可分A C、13.答案：9．如图，作出可行域，作出直线:20l x y-=，将l平移至过点A处时，函数2z x y=-有最大值9.14. 答案：2.由抛物线21y ax=-的焦点坐标为1(0,1)4a-为坐标原点得，14a=，则2114y x=-与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)--，则以这三点围成的三角形的面积为14122⨯⨯=15.答案：38.设1A B B C==，7cos18B=-则222252cos9AC AB BC AB BC B=+-⋅⋅= 53A C=，582321,21,3328ca c ea=+====.16.答案：16.设2A B=，作CO ABDE⊥面，O H AB⊥，则C H A B⊥，C H O∠为二面角C A B D--cos1C H O H C H C H O==⋅∠=，结合等边三角形ABC与正方形A B D E可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM C H ===11(),22A N A C A B E M A C A E =+=- ,11()()22A N E M A B A C A C A E ⋅=+⋅-=12故E M A N ，所成角的余弦值16A N E M A N E M⋅=另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(0,A B E C ----,1111(,,(,,222222M N ---,则31131(,,(,,),,2222222AN EM AN EM ==-⋅= 故E M A N ，所成角的余弦值16A N E MA NE M ⋅= .17.解析：（Ⅰ）在A B C △中，由正弦定理及3cos cos 5a B b A c -=可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B -==+=+即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =；（Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B BA B A BB B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.18．解：（1）取B C 中点F ，连接D F 交C E 于点O ， A B A C =，∴AF BC ⊥，又面A B C ⊥面B C D E ，∴A F ⊥面B C D E ， ∴AF C E ⊥．tan tan 2C ED FD C ∠=∠=，∴90OED ODE ∠+∠= ，90DOE ∴∠=，即C E D F ⊥，C E ∴⊥面AD F ，CE A D ∴⊥．（2）在面A C D 内过C 点作A D 的垂线，垂足为G ．C G AD ⊥，CE AD ⊥，A D ∴⊥面C EG ，E G A D ∴⊥， 则C G E ∠即为所求二面角的平面角．3AC C D C G AD==，3D G =，3EG ==，C E =222cos 210C G G E C EC G E C G G E+-∠==-，πarccos 10C G E ⎛∴∠=- ⎝⎭，即二面角C A D E --的大小πarccos 10⎛- ⎝⎭． 19. 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++ 当23a ≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当23a >，()0f x '=求得两根为3x =即()f x在3⎛-∞ ⎝⎭递增，33⎛⎝⎭递减，3⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭递增 （2）233133a a ⎧---⎪⎪⎨-+⎪-⎪⎩≤，且23a >解得：74a ≥20．解：对于乙：0.20.40.20.80.210.210.64⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，ξ的期望为20.430.440.2 2.8E ξ=⨯+⨯+⨯=． 21. 解：（Ⅰ）设O A m d =-，AB m =，O B m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+ 得：14d m =，tan b A O F a∠=，4tan tan 23A B A O B A O F O A∠=∠==由倍角公式∴22431b ab a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a=,则离心率2e =（Ⅱ）过F 直线方程为()a y x c b=--,与双曲线方程22221x y ab-=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x bb-+=124x =-=将数值代入，有4=解得3b = 故所求的双曲线方程为221369xy-=。

成人专升本高等数学一真题2008年(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题1.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B2.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A3.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D4.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C5.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B6.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D7.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C8.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D9.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C10.SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A二、填空题11.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:12.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:313.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:514.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:e x+1dx15.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:16.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:2arcsin x+C17.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:018.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:2x-2y+3z=019.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:e y20.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:3x+C三、解答题21.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 822.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 823.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 824.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 825.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 826.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 1027.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 1028.SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 101。

2009年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》参考答案及评分标准一. 选择题(每小题4分,共20分)1.D ,2.A ,3.B ,4.B ,5.C . 二. 填空题(每小题4分,共40分) 1.54, 2.1 , 3.2 , 4.0 , 5.sin14x c π⎛⎫++ ⎪⎝⎭, 6.0 , 7.()af a , 8.3 , 9.2 , 10.2 . 三. 计算题(每小题6分,共60分) 1. 解.0limlim1x xx xx x e ee ex--→→-+= 5分2.= 6分 2.解.()3221',11y xx ==++ 5分故 ()3221+dx dy x =. 6分3.解.原式=()11xxd e e++⎰3分()ln 1.xec =++ 6分4.解法1.dydydt dx dxdt = 3分222sin 2.sin t t t t-==- 6分解法2.因为22sin ,2sin dx t dt dy t t dt ==-， 4分故2.dy t dx=- 6分5.解.原式()()2111d x x +∞-∞+=++⎰3分 =()tan 1arc x +∞-∞+ 5分=.π 6分6.解. 由条件推得()()'00,1 1.f f == 2分于是()1220limlim 220n n f f n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦5分 （第1页，共3页）= 6分注：若按下述方法：原式()()112200'lim lim 1f x f x x ++→→⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解答者，只给4分. 7.解法1.分离变量,得到c o t ,3dyxdx y=-+ 2分积分得到ln 3ln sin y x c +=-+ 或 ()3 .s i n c y c x=-∈R 4分代入初值条件02y π⎛⎫=⎪⎝⎭,得到3c =.于是特解为 33.sin y x=- 6分 解法2.由()()(),p x dx p x dxy e q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 其中()()13,tan tan p x q x xx==-，得到()3 .sin c y c x=-∈R 4分代入初值条件02y π⎛⎫=⎪⎝⎭,得到3c =.于是特解为 3 3.sin y x=- 6分8.解.方程两边对x 求偏导数,得到224,z zx z x x∂∂+=∂∂ 4分 故.2z xx z∂=∂- 6分 9.解.原式 2 2 0sin d r rdr πππθ=⎰⎰3分= 222cos cos r r rdr πππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎰ 5分=26.π- 6分10.解.由121121321131limlim3n nn n n n n nx a x a x+++-→∞→∞==,可知收敛半径R =4分又当x =,对应数项级数的一般项为±级数均发散,故该级数的收敛域为(. 6分（第2页，共3页）四. 综合题(第1小题14分,第2小题8分, 第3小题8分，共30分) 1.解.定义域()(),00,-∞⋃+∞, ()34232',",x x y y x x++=-=令'0,y =得驻点12x =-, 5分 令"0,y =得3x =-, 6分 函数的单调增加区间为()2,0,-单调减少区间为(),2-∞-及()0,,+∞ 在2x =-处,有极小值14-.其图形的凹区间为(),2-∞-及()0,+∞,凸区间为(),3.-∞- 14分 2.证明.由于()f x 不恒等于x ,故存在()00,1,x ∈使得()00.f x x ≠ 2分 如果()00,f x x >根据拉格朗日定理,存在()00,,x ξ∈使得 ()()()0000'10fx f x f x xξ-=>=-， 5分若()00,f x x <根据拉格朗日定理,存在()0,1,x ξ∈使得 ()()()00011'111f fx x f x x ξ--=>=--. 8分注：在“ 2分”后，即写“利用微分中值定理可证得，必存在ξ，使得()'1f ξ>”者共得3分.3.解.P 点处该曲线的切线方程为2y x =+,且与x 轴的交于点()2,0A - 2分 曲线与x 轴的交点()1,0B -和()2,0C ,因此区域由直线P A 和A B 及曲线弧PB所围成. 4分 该区域绕x 旋转生成的旋转体的体积() 02218292330V x x dx πππ-=--++=⎰. 8分 注：若计算由直线P A 与A C 及曲线弧 PC所围成 ，从而 () 22281362315V x x dx πππ=+-++=⎰者得6分.（第3页，共3页）2009年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(二)》参考答案及评分标准一.选择题 (每小题4分,共20分)1.D ,2.B ,3.C ,4.A ,5.D . 二.填空题(每小题4分,共40分) 1.k , 2.1, 3.12, 4.2, 5.0,6.2ln 2x ,7.sin14x c π⎛⎫++ ⎪⎝⎭, 8.0, 9.()af a , 10.()2sin x c x +. 三.计算题(每小题6分,共60分) 1.解.原式=0lim2xxx e e x -→- 3分 =0lim1.2xxx e e-→+= 6分2.解.由条件推得()()'00,11f f ==， 2分于是()1220limlim 220n n f f n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦5分= 6分注：若按下述方法：原式()()1122'lim lim 1f x f x x ++→→⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解答者，只给4分.3.解. ()3221'11y xx ==++， 5分()3221+dx dy x =. 6分4.解.取对数 ()221ln arctan2y x yx+=， 2分两边求导数2222122'1'21x y y y x y x yxy x +-⋅=⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 5分整理得 '.x y y x y+=- 6分（第1页，共3页）5.解. 原式=()11xxd e e++⎰3分()ln 1.x e c =++ 6分6.解法1. 解法1.dydydt dx dxdt = 3分222sin 2.sin t t t t-==- 6分解法2.因为22sin ,2sin dx t dt dy t t dt ==- 4分故2.dy t dx=- 6分7.解.原式()()2111d x x +∞-∞+=++⎰3分 =()tan 1arc x +∞-∞+ 5分=.π 6分8解. 当10x -≤<时,() 1;x t xx e dt e e ---Φ==-⎰2分当01x ≤≤时,()()()0 2101311.22xtx e dt t dtx e --Φ=++=++-⎰⎰ 5分故()()2,131,22x e e x x e -⎧-⎪Φ=⎨++-⎪⎩ 100 1.x x -≤<≤≤ 6分 9.解法1. 分离变量,得到c o t .3dyxdx y =-+ 2分积分得到ln 3ln sin y x c +=-+ 或 ()3 s i n c y c x=-∈R ， 4分代入初值条件02y π⎛⎫=⎪⎝⎭,得到3c =.于是特解为 33.sin y x=- 6分 解法2. 解法2.由()()(),p x dx p x dxy e q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰其中()()13,tan tan p x q x x x ==-，得到()3sin c y c x=-∈R 4分代入初值条件02y π⎛⎫= ⎪⎝⎭,得到3c =.于是特解为3 3.sin y x =- 6分（第2页，共3页）10. 解.由121121321131limlim3n nn n n n n nx a x a x+++-→∞→∞==,可知收敛半径R = 4分又当x =,对应数项级数的一般项为±级数均发散,故该级数的收敛域为(. 6分四.综合题(第1小题14分,第2、3小题各8分, 共30分)1.解.定义域(),0-∞及()0,+∞ ()34232',",x x y y x x++=-=令'0,y =得驻点12x =-, 5分 令"0,y =得3x =-, 6分 10分函数的单调增加区间为()2,0,-单调减少区间为(),2-∞-与()0,.+∞在2x =-处,有极小值14-.其图形的凹区间为()3,0-及()0,+∞,凸区间为(),3.-∞- 14分2.证明.两边对x 求导,得() 0sin ,x f t dt x =⎰4分再对x 求导，得()c o s ,f x x = 6分从而证得()22cos 1.f t dt xdx ππ==⎰⎰8分3.解.P 点处该曲线的切线方程为2y x =+,且与x 轴的交于点()2,0A - 2分 曲线与x 轴交点()1,0B -和()2,0C ,因此区域由直线P A 和A B 及曲线弧PB所围成. 4分 该区域绕x 旋转生成的旋转体的体积() 02218292330V x x dx πππ-=--++=⎰. 8分 注：若计算由直线P A 与A C 及曲线弧 PC所围成 ，从而 () 22281362315V xx dx πππ=+-++=⎰者得6分.（第3页，共3页）。

【最新整理，下载后即可编傅】2005年浙江省普通商校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷 一、填空题1. 函数的连续区间是c■V -(A-l)-------------------------2.lim --------- =ogY x(x +4)3.(1) x 轴在空间中的直线方程是 ___________(2)过原点且与x 轴垂直的平面方程是 ______________点X=1处连续。

5.设参数方程［s ：cos2：y = r sin 2&(1)当厂是常数,&是参数时，则2=ax (2)当&是常数，厂是参数时，则字二CIX ------------二. 选择题1 •设函数y = f(x)在［°,b ］上连续可导,ce(a.b),且/ (c) = 0,则当( )时,fW 在x = C •处取得极大值。

(A) 当“ 5 X V c时，当 C V A ： S /?时， f'(x)>0, (B) 当0 W X V C 时， / «>0,当c < xSb时〉 /«<o, (C) 当 <7 5 X V C 时〉 / W<o ,当 c < x S Z?时， /(A )>0,(D) 当Sx vc 时， / W<o ,当 c v x S Z?时〉2.设函数y = /(x)在点"心处可导，则4.设函数f(x)= < ("IFG,bx + 1,x=\，当 G = ____ ,b =X<1时，函数门X )在lim /(儿+3力)一/(如一2力)=( )o(A)f(x°), (B)3f'(x0), (C)4f(x°), (D)5fg・F, x> 03.设函数/(x) = < 0, x = 0,则积分£/(%>/%= ( )o-e』，x<0 _(A) — l, (3)0 (C)l, (£>)2.e5.设级数f?”和级数都发散，则级数是( ). n=l ；f=l w-l(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)可能发散或者可能收敛三•计算题1.求函数y = U2-x + ir的导数。

高中数学2008年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）（理科） 试题 2019.091,已知圆C 的圆心与点(2,1)P -关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ，则圆C 的方程为_______________________．2,有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________________种（用数字作答）．3,已知函数22s (in cos s 1)2co f x x x x ωωω++=（,0x R ω∈>）的最小值正周期是2π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并且求使()f x 取得最大值的x 的集合．4,甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161． （Ⅰ）求乙投球的命中率p ；（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． 5,如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．6,在数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠）． （Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的*n N ∈，na 是3n a +与6n a +的等差中项．7,已知函数432()2f x x ax x b =+++（x R ∈），其中R b a ∈,． （Ⅰ）当103a =-时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；（Ⅲ）若对于任意的[2,2]a ∈-，不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立，求b 的取值范围．8,已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是()0,31-F ，一条渐近线的方程是025=-y x ．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）若以()0≠k k 为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为281，求k 的取值范围．9,已知a 是实数，1a ii -+是纯虚数，则a =( )（A ）1 （B ）-1 （C ）2（D ）-210,已知U=R ，A={}0|>x x ,B={}1|-≤x x ,则()()u u A C B B C A = ( ) （A ）∅ （B ）{}|0x x ≤（C ）{}|1x x >- （D ）{}|01x x x >≤-或11,已知a ，b 都是实数，那么“22b a >”是“a >b ”的( ) （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件12,在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是( ) （A ）-15 （B ）85（C ）-120 （D ）27413,在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是( )（A ）0（B ）1 （C ）2 （D ）4 14,已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则12231n n a a a a a a ++++=( )（A ）16（n --41） （B ）16（n--21）（C ）332（n --41）（D ）332（n--21）15,若双曲线12222=-b y a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是( )（A ）3（B ）5 （C ）3 （D ）516,若cos 2sin αα+=则tan α=( )（A ）21 （B ）2 （C ）21-（D ）2-17,已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=,则c的最大值是( )（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）2218,如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是( )（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线19,已知a >0，若平面内三点A （1，-a ），B （2，2a ），C （3，3a ）共线，则a =______20,已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B两点若1222=+B F A F ，则AB =____________。

------------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷--------------------2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效； 4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个空格，每一空格5分，共40分）1．__________________n =。

2．函数()f x =______________________。

3．若1(), 0x f x x A x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则________________A =。

4．设ln(y x x =，则______________________dydx =。

5．322 2(1)cos ___________________1sin x xdx x ππ-+=+⎰ 。

6．设 121(,)(,)I dx f x y dy dx f x y dy =+⎰⎰⎰⎰，交换积分次序后_______________________________________I =。

7．已知arctan(),z xy =则___________________________________dz =。

8．微分方程2(21)x x y dyx e dx+-=+的通解 ______________________________y =。

姓名：_____________准考证号：______________________报考学校 报考专业：------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1． 函数()f x 的定义域为[]0,1，则函数11()()55f x f x ++-的定义域是[ ]()A 14,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ ()B 16,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ()C 14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦()D []0,12． 当0x →时，与x 不是等价无穷小量的是[ ]()A 2sin x x - ()B 2sin x x - ()C 3tan x x - ()D sin x x -3．设0()()xF x f t dt =⎰，其中2,01()1,12x x f x x ⎧≤≤=⎨≤≤⎩，则下面结论中正确的是 [ ]()A 31,01()3, 12x x F x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩ ()B 311,01()33, 12x x F x x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩ ()C 31,01()31,12x x F x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪-≤≤⎩ ()D 31,013()2,123x x F x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩ 4．曲线(1)(2),(02)y x x x x =--≤≤与x 轴所围图形的面积可表示为[ ]()A 2(1)(2)x x x dx ---⎰()B 1 20 1(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx -----⎰⎰()C 120 1(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰ ()D 2(1)(2)x x x dx --⎰5．设,a b 为非零向量，且a ⊥b ，则必有[ ]()A a b a b+=+ ()B a b a b +=-()C a b a b +=- ()D a b a b +=-三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共10个小题，每小题7分，共70分）1．计算123lim()6x x x x -→∞++。

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

全卷共4页，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂.写在答题纸上。

第Ⅰ卷（共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式：如果事件A.B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+（B ） 如果事件A.B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·（B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率： k n k k n n p p C k P --=)1()(球的表面积公式S=42R π 其中R 表示球的半径求的体积公式V=334R π 其中R 表示球的半径一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知a 是实数，ii a +-1是春虚数，则a = （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）-2（2）已知U=R ，A={}0|>x x ,B={}1|-≤x x ,则（A ()()=A C B B C A u u（A ）∅ （B ）{}0|≤χχ（C ）{}1|->χχ （D ）{}10|-≤>χχχ或（3）已知a ，b 都是实数，那么“22b a >”是“a >b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）在)5)(4)(3)(2)(1(-----x x x x x 的展开式中，含4x 的项的系数是（A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274（5）在同一平面直角坐标系中，函数])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4（6）已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，，则13221++++n n a a a a a a = （A ）16（n --41） （B ）16（n --21） （C ）332（n --41） （D ）332（n --21） （7）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是 （A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5（8）若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =（A ）21 （B ）2 （C ）21- （D ）2- （9）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()(=-⋅-c b c a ,则c 的最大值是（A ）1 （B ）2 （C ）2 （D ）22 （10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（A ）圆 （B ）椭圆（C ）一条直线 （D ）两条平行直线2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）第Ⅱ卷（共100分）注意事项：1．黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上，不能答在试题卷上。

2008年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷及答案考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）1.函数()()x x x f cos 12+=是（ ）.()A 奇函数 ()B 偶函数 ()C 有界函数 ()D 周期函数2.设函数()x x f =，则函数在0=x 处是（ ）.()A 可导但不连续 ()B 不连续且不可导()C 连续且可导 ()D 连续但不可导3.设函数()x f 在[]1,0上,022>dxfd ，则成立（ ）. ()A ()()0101f f dxdf dxdf x x ->>== ()B ()()0110==>->x x dx df f f dxdf()C ()()0101==>->x x dxdf f f dxdf()D ()()11==>>-x x dxdf dxdf f f4.方程22y x z +=表示的二次曲面是（ ）.()A 椭球面 ()B 柱面()C 圆锥面()D 抛物面5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则在()b a ,内，曲线()x f y =上平行于x 轴的切线（ ）.()A 至少有一条 ()B 仅有一条().C 不一定存在 ().D 不存在二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分)1.计算_________________2sin 1lim 0=→xx x2.设函数()x f 在1=x 可导, 且()10==x dx x df ,则()().__________121lim=-+→xf x f x .3.设函数(),ln 2x x f =则().________________________=dxx df4.曲线x x x y --=233的拐点坐标._____________________5.设x arctan 为()x f 的一个原函数,则()=x f ._____________________6.()._________________________2=⎰x dt t f dxd 7.定积分().________________________2=+⎰-ππdx x x8.设函数()22cos y x z +=,则._________________________=∂∂x z9. 交换二次积分次序().__________________________,010=⎰⎰xdy y x f dx10. 设平面∏过点()1,0,1-且与平面0824=-+-z y x 平行，则平面∏的方程为._____________________三.计算题:(每小题6分,共60分)1.计算xe x x 1lim 0-→.2.设函数()()x x g e x f xcos ,==,且⎪⎭⎫⎝⎛=dx dg f y ,求dx dy .3.计算不定积分()⎰+.1x x dx4.计算广义积分⎰+∞-0dx xe x .5.设函数()⎩⎨⎧<≥=0,0,cos 4x x x x x f ,求()⎰-12dx x f .6. 设()x f 在[]1,0上连续，且满足()()⎰+=12dt t f e x f x，求()x f .7.求微分方程xe dx dy dxy d =+22的通解.8.将函数()()x x x f +=1ln 2展开成x 的幂级数.9.设函数()yx yx y x f +-=,,求函数()y x f ,在2,0==y x 的全微分.报考学校：______________________报考专业：______________________姓名： 准考证号： ------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------10.计算二重积分,()⎰⎰+Ddxdy y x22，其中1:22≤+y x D .四.综合题:(本题共30分,其中第1题12分，第2题12分，第3题6分) 1.设平面图形由曲线xe y =及直线0,==x e y 所 围成,()1求此平面图形的面积;()2求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积.2.求函数1323--=x x y 的单调区间、极值及曲线的凹凸区间.3.求证:当0>x 时,e x x<⎪⎭⎫⎝⎛+11.《高等数学(一)答案二..填空题:(每小题4分,共40分) 1.21; 2. 2; 3. x1; 4. )3,1(-; 5. 211x+; 6. ()x f -; 7. 332π; 8. ()22sin 2y x x +-; 9.()⎰⎰110,ydx y x f dy ;10. 224=+-z y x .三．计算题(每小题6分,共60分)1.解法一.由洛必达法则,得到1lim 1lim 00xx x x e x e →→=- (4)分1=. (6)分解法二.令t e x=-1, 则 ()t x +=1ln (2)分于是, ()11ln lim 1lim00=+=-→→t t x e t x x . …………6分2.解.x dxdgsin -=, ()x e x f dx dg f y sin sin -=-=⎪⎭⎫⎝⎛= …………3分故 x e dxdyx cos sin --=. ………..6分3. 解法一.令t x =,,则2t x =, (2)分()()⎰⎰⎰+=+=+=+.arctan 21212122C t t dtt t tdt x x dx ……….5分C x +=arctan 2. ……….6分解法二. ()()⎰⎰=+=+21)(21x x d x x dx (4)分C x +=arctan2. ……….6分4.解.⎰⎰+∞-∞+-+∞-+-=00dx e xedx xe x x x……….3分10=-=+∞-xe . ………..6分5.解. ()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=+=---1024100212cos xdx dx xdx x f dx x f dx x f (3)分1sin 532sin 5110025+=+=-x x . ……….6分 6.解. 设()A dx x f =⎰1,两边对已给等式关于x 从0到1积分,得到()()⎰⎰⎰⎰+-=+=+=1101112122dx x f e A eAdx dx e dx x f x x (4)分从而解得()e dx x f -=⎰11.. (5)分代入原式得()()e e x f x-+=12. (6)分7.解.特征方程为02=+k k ，得到特征根1,021-==k k ， ………..1分故对应的齐次方程的通解为xe c c y -+=21， ………..3分由观察法，可知非齐次方程的特解是xe y 21=*， ………..5分 因而，所求方程的通解为 x xe e c c y 2121++=-，其中21,c c 是任意常数. ……….6分8.解.因为()())11(114321ln 1432≤<-++-++-+-=++x n x x x x x x n n , ….3分 所以()221ln x x x =+())11432(1432 ++-++-+-+n x x x x x n n =())11(1143236543≤<-++-++-+-+x n x x x x x n n . ……..6分9解.()()222,2y x x y x y x y y f y x y y x y x x x f +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=∂∂+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=∂∂, ……….2分 从而()()0,12,02,0=∂∂=∂∂yf xf, ……….4分所以()()()()dx dy yf dx xf y x df =∂∂+∂∂=2,02,02,0,. ………6分10.解.采用极坐标变换,令θθsin ,cos r y r x == ,πθ20,10<≤≤<r , ……..2分()⎰⎰⎰⎰=+132022dr r d dxdy y xDπθ ……….4分2π=. (6)分四.综合题:(每小题10分,共30分) 1.解法一(1).()⎰-=1dx e e S x (4)分()1110=+-=-=e e e ex x. (6)分(2).()⎰-=122dx e eV x π (9)分()()12121212221022+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e e e e x e x πππ ………..12分解法二.(1)⎰-=1dx e e S x (3)分110=-=x ee . (6)分(2).⎰-=122dx e e V xππ (9)分()1222122+=-=eee x πππ. (12)分2.解.定义域为),(+∞-∞,()23632-=-=x x x x dx dy ,令0=dxdy ,得到 2,021==x x (驻点), …….2分(),1622-=x dx y d 由022=dx yd ,得到13=x , …….3分分故 )0,(-∞),2(+∞为单调增加区间，（0，2）为单调减少区间; ……….10分极大值为－1，极小值为－5, ……..11分)1,(-∞为凸区间，),1(+∞为凹区间 ………12分3.证明. 令()()],ln )1[ln(11ln x x x x x x F -+=⎪⎭⎫⎝⎛+= ()(),11ln 1ln 111ln 1ln +--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+=x x x x x x x x dx dF ……….2分 利用中值定理,()ξ1ln 1ln =-+x x ，其中1+<<x x ξ, (4)分所以0111>+-=x dx dF ξ,因此,当0>x 时，()x F 是单调增加的， ………5分 而e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→11lim , 所以当0>x 时,e x x<⎪⎭⎫⎝⎛+11. (6)分（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个空格，每一空格5分，共40分）1．函数xe x x x y −−=)1(sin 2的连续区间是____________________. 2．___________________________)4(1lim 2=−+−∞→x x x x .3．（1）x 轴在空间中的直线方程是________________________.（2）过原点且与x 轴垂直的平面方程是._____________________4．设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+=>+=−−1 ,1b 1 ,1,)1(1)(2)1(12x x x a x e x x f x ,当_________,==b a 时，函数)(x f 在点x=1处连续.5．设参数方程⎩⎨⎧==θθ2sin 2cos 32r y r x ， （1）当r 是常数,θ是参数时，则_______________=dx dy . （2）当θ是常数，r 是参数时，则=dxdy_____________. 姓名：_____________准考证号：______________________报考学校报考专业： ------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1．设函数)(x f y =在b], [a 上连续可导，),(b a c ∈，且0)('=c f ，则当（ ）时，)(x f 在c x =处取得极大值.)(A 当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f ,)(B 当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f , )(C 当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , )(D 当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f . 2．设函数)(x f y =在点0x x =处可导，则). ()2()3(lim 000=−−+→h h x f h x f h ).(5)( ),( 4)( ),(x 3)( ),()(0'0'0'0'x f D x f C f B x f A 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=−−0,0 0,0x ,)(22x e x e x f x x ，则积分⎰−11)(dx x f ＝（ ）..2)( ,e1)(0)( ,1)(D C B A −4．可微函数),(y x f z =在点),(00y x 处有0=∂∂=∂∂yzx z 是函数),(y x f z =在点),(00y x 取得极值的（ ）.(超纲,去掉) )(A 充分条件，)(B 必要条件，)(C 充分必要条件，)(D 既非充分条件又非必要条件.5．设级数∑∞=1n na和级数∑∞=1n nb都发散，则级数∑∞=+1)(n n nb a是（）.)(A 发散，)(B 条件收敛，)(C 绝对收敛，)( D 可能发散或者可能收敛.三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共10个小题，每小题7分，共70分）1．求函数x x x y )1(2+−=的导数.2.求函数1223+−=x x y 在区间（－1，2）中的极大值，极小值.3.求函数xe x xf 2)(=的n 阶导数nn dxfd .4．计算积分⎰−+−012231dx x x . 5．计算积分⎰+dx e x 211.6．计算积分⎰−+12)2(dx e x x x.7．设函数)sin()cos(y x xy z ++=，求偏导数x z∂∂和yx z ∂∂∂2.(超纲,去掉).姓名：_____________准考证号：______________________报考学校 报考专业：------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------8.把函数11+=x y 展开成1−x 的幂级数，并求出它的收敛区间. 9.求二阶微分方程x y dx dydx y d =+−222的通解.10.设b a ,是两个向量，且,3,2==b a 求2222b a b a −++的值，其中a 表示向量a 的模..四．综合题： （本题共2个小题，每小题10分，共20分）1．计算积分⎰++π212sin 212sinxdx m x n ，其中m n ,是整数.2．已知函数d cx bx ax x f +++=234)(23， 其中常数d c b a ,,,满足0=+++d c b a ， （1）证明函数)(x f 在（0，1）内至少有一个根，（2）当ac b 832<时，证明函数)(x f 在（0，1）内只有一个根.。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）文科数学试卷第Ⅰ卷 (共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{},21|,0|≤≤-=>=x x B x x A 则B A =(A){}1|-≥x x (B) {}2|≤x x (C) {}20|≤<x x (D) {}21|≤≤-x x(2)函数1)cos (sin 2++=x x y 的最小正周期是（A ）2π （B ）π (C) 23π (D) 2π (3)已知a ,b 都是实数，那么“a 2>b 2”是“a >b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）已知{a n }是等比数列，a 1=2,a 4=41,则公比q= (A)21- (B)-2 (C)2 (D)21 (5)已知则且,2,0,0=+≥≥b a b a(A)21≤ab (B) 21≥ab (C)222≥+b a(D) 322≤+b a (6)在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含x 4的项的系数是（A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274（7）在同一平面直角坐标系中，函数}[)2,0)(232cos(ππ∈+=x x y 的图象和直线21=y 的交点个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）4 （8）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2，则双曲线的离心率是（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5（9）对两条不相交的空间直线a 与b ,必存在平面α,使得（A ）αα⊂⊂b a , （B ）b a ,α⊂∥α（C ）αα⊥⊥b a , (D)αα⊥⊂b a ,(10)若,0,0≥≥b a 且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时,恒有1≤+by ax ,则以a,b 为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积是(A)21 (B)4π (C)1 (D)2π 第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷考试说明：1、考试时间为150分钟；2、满分为150分；3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个空格，每一空格5分，共40分） 1．函数()2lg 1-=x y 的定义域是______________________。

2．设xy 3sin 5=，则_________________________________=dx dy。

3．极限_________________________1lim102=+⎰∞→dx x x n n 。

4．积分⎰=+_______________________________sin 1cot dx x x。

5．设,1111xxy -++=则()_______________________5=y 。

6．积分________________________________sin sin 097=-⎰πdx x x 。

7．设()yx ey x u 32sin ++-=，则________________________=du 。

8．微分方程()032=+++dy y y y x xdx 的通解________________________。

二．选择题：（本题共有4个小题，每一个小题5分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1．设()()⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=x x x x x f ln 2311sin 132 11≥<x x ，则1=x 是()x f 的 【 】。

().A 连续点， ().B 跳跃间断点， ().C 无穷间断点， ().D 振荡间断点。

2. 下列结论中正确的是 【 】。

().A 若1lim 1=+∞→nn n a a ，则n n a ∞→lim 存在，().B 若A a n n =∞→lim ，则1lim lim lim 11==∞→+∞→+∞→n n n n nn n a a a a ，().C 若A a n n =∞→lim ，B b n n =∞→lim ，则B b n n A a n =∞→)(lim ，().D 若数列{}n a 2收敛，且0122→--n n a a ()∞→n ，则数列{}n a 收敛。

2008年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共4页，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页． 满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．第Ⅰ卷（共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式24πS R = ()()()P A B P A P B +=+其中R 表示球的半径 如果事件A B ，相互独立，那么球的体积公式34π3V R =()()()P A B P A P B =其中R 表示球的半径如果事件A 在一次试验中发生的概率是p 那么n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率：()(1)k kn k n n P k C p p -=-一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知a 是实数，1a ii-+是纯虚数，则a =（ ）A ．1B ．1-CD ．2．已知U =R ，{}|0A x x =>，{}|1B x x =-≤，则()()U UA B B A 痧=（ ）A ．∅B ．{}|0x x ≤C ．{}|1x x >-D ．{}|01x x x >-或≤3．已知a b ，都是实数，那么“22a b >”是“a b >”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是（ ） A ．15-B ．85C ．120-D ．2745．在同一平面直角坐标系中，函数3πcos 22x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（[02π]x ∈，）的图象和直线12y =的交点个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．46．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a ++++=（ ） A ．16(14)n--B ．16(12)n-- C ．32(14)3n -- D ．32(12)3n --7．若双曲线22221x y a b-=的两个焦点到一条准线的距离之比为3:2，则双曲线的离心率是（ ） A ．3B ．5CD8．若cos 2sin αα+=tan α=（ ） A ．12B ．2C ．12-D ．2-9．已知，a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0--=a c b c ，则c 的最大值是（ ） A ．1B ．2CD．210．如图，AB 是平面α的斜线段．．．，A 为斜足，若点P 在平面α内运动，使得ABP △的面积为定值，则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．一条直线 D ．两条平行直线A B P α（第10题）2008年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理科）第Ⅱ卷（共100分）注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知0a >，若平面内三点23(1)(2)(3)A a B a C a -，，，，，共线，则a = ．12．已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点，若2212F A F B +=，则AB = ．13．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．若)cos cos c A a C -=，则cos A = ．14．如图，已知球O 的面上四点A B C D ，，，，DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，DA AB BC ===，则球O 的体积等于 ．15．已知t 为常数，函数22y x x t =--在区间[03]，上的最大值为2，则t = ． 16．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答）17．若00a b ，≥≥，且当001x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩，，≥≥≤时，恒有1ax by +≤，则以a b ，为坐标的点()P a b ，所形成的平面区域的面积等于 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本题14分）如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE CF ∥，90BCF CEF ∠=∠=，AD =2EF =．（Ⅰ）求证：AE ∥平面DCF ；（Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角A EF C --的大小为60？ACD （第14题）D A BEFC（第18题）19．（本题14分）一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79． （Ⅰ）若袋中共有10个球，（ⅰ）求白球的个数；（ⅱ）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E ξ． （Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．20．（本题15分） 已知曲线C 是到点1328P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，和到直线58y =-距离相等的点的轨迹． l 是过点(10)Q -，的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A B ，在l 上，MA l ⊥，MB x ⊥轴（如图）．（Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）求出直线l 的方程，使得2QBQA为常数．21．（本题15分）已知a是实数，函数())f x x a =-．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()g a 为()f x 在区间[02]，上的最小值． （ⅰ）写出()g a 的表达式；（ⅱ）求a 的取值范围，使得6()2g a --≤≤．l22．（本题14分）已知数列{}n a ，0n a ≥，10a =，22*111()n n n a a a n +++-=∈N ．记：12n n S a a a =+++，112121111(1)(1)(1)(1)(1)n n T a a a a a a =+++++++++．求证：当*n ∈N 时， （Ⅰ）1n n a a +<； （Ⅱ）2n S n >-； （Ⅲ）3n T <2008年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学（理科）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分 1．A 2．D 3．D 4．A 5．C 6．C 7．D 8．B 9．C 10．B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分． 11．1+ 12．8 13．3 14． 9π215．1 16．40 17．1 三、解答题18．本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分． 方法一：（Ⅰ）证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结DG ，可得四边形BCGE 为矩形，又ABCD 为矩形， 所以AD EG∥，从而四边形ADGE 为平行四边形， 故AE DG ∥．因为AE ⊄平面DCF ，DG ⊂平面DCF ， 所以AE ∥平面DCF ．（Ⅱ）解：过点B 作BH EF ⊥交FE 的延长线于H ，连结AH ． 由平面ABCD ⊥平面BEFC ，AB BC ⊥，得 AB ⊥平面BEFC ， 从而AH EF ⊥．所以AHB ∠为二面角A EF C --的平面角． 在Rt EFG △中，因为EG AD ==2EF =，所以60CFE ∠=，1FG =．又因为CE EF ⊥，所以4CF =， 从而3BE CG ==．于是sin 2BH BE BEH =∠=．因为tan AB BH AHB =∠，所以当AB 为92时，二面角A EF C --的大小为60．方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB CF ，和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -． 设AB a BE b CF c ===，，，D A BEFCHG则(000)C ，，，)A a ，，0)B ，，0)E b ，，(00)F c ，，． （Ⅰ）证明：(0)AE b a =-，，，(30)CB =，，，(00)BE b =，，， 所以0CB CE =，0CB BE =，从而CB AE ⊥，CB BE ⊥， 所以CB ⊥平面ABE ．因为CB ⊥平面DCF ，所以平面ABE ∥平面DCF ． 故AE ∥平面DCF．（Ⅱ）解：因为(0)EF c b =-，，(30)CE b =，，， 所以0EF CE =，||2EF =，从而3()02b c b -+-=⎧=，，解得34b c ==，．所以0)E ，，(040)F ，，．设(1)n y z =，，与平面AEF 垂直， 则0n AE =，0n EF =，解得(1)n a=，． 又因为BA ⊥平面BEFC ，(00)BA a =，，， 所以||1|cos |2||||4BA n n BA BA n a <>===，，得到92a =． 所以当AB 为92时，二面角A EF C --的大小为60． 19．本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．满分14分． （Ⅰ）解：（i ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则2102107()19xC P A C -=-=，得到5x =．故白球有5个．（ii ）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分布列是ξ的数学期望155130123121212122E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）证明：设袋中有n 个球，其中y 个黑球，由题意得25y n =， 所以2y n <，21y n -≤，故112y n -≤． 记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ，则23()551yP B n =+⨯- 231755210+⨯=≤． 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n ，红球的个数少于5n ． 故袋中红球个数最少．20．本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．（Ⅰ）解：设()N x y ，为C 上的点，则||NP =N 到直线58y =-的距离为58y +．58y=+．化简，得曲线C 的方程为21()2y x x =+． （Ⅱ）解法一：设22x x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，直线:l y kx k =+，则()B x kx k +，，从而||1|QB x +．在Rt QMA △中，因为222||(1)14x QM x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，2222(1)2||1x x k MA k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=+．所以222222(1)||||||(2)4(1)x QA QM MA kx k +=-=++.||QA =2||12||QB x QA x k+=+．当2k =时，2||||QB QA = 从而所求直线l 方程为220x y -+=．解法二：设22x x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，直线:l ykx k =+，则()B x kx k +，，从而||1|QB x +．过Q (10)-，垂直于l 的直线11:(1)l y x k=-+． 因为||||QA MH =，所以||QA =2||12||QB x QA xk+=+．当2k =时，2||||QB QA = 从而所求直线l 方程为220x y -+=．21．本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．满分15分．（Ⅰ）解：函数的定义域为[0)+∞，，()f x '==（0x >）． 若0a ≤，则()0f x '>，()f x 有单调递增区间[0)+∞，．若0a >，令()0f x '=，得3ax =， 当03ax <<时，()0f x '<， 当3ax >时，()0f x '>． ()f x 有单调递减区间03a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，单调递增区间3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，． （Ⅱ）解：（i ）若0a ≤，()f x 在[02]，上单调递增， 所以()(0)0g a f ==．若06a <<，()f x 在03a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在23a ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递增，所以()3a g a f ⎛⎫==⎪⎝⎭若6a ≥，()f x 在[02]，上单调递减，所以()(2))g a f a ==-．综上所述，00()06)6a g a a a a ⎧⎪⎪=<<⎨-，≤，，，≥． （ii ）令6()2g a --≤≤． 若0a ≤，无解．若06a <<，解得36a <≤． 若6a ≥，解得62a +≤≤ 故a的取值范围为32a +≤≤22．本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力．满分14分．（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．①当1n =时，因为2a 是方程210x x +-=的正根，所以12a a <．②假设当*()n k k =∈N 时，1k k a a +<，因为221k k a a +-222211(1)(1)k k k k a a a a ++++=+--+- 2121()(1)k k k k a a a a ++++=-++，所以12k k a a ++<．即当1n k =+时，1n n a a +<也成立．根据①和②，可知1n n a a +<对任何*n ∈N 都成立．（Ⅱ）证明：由22111k k k a a a +++-=，121k n =-，，，（2n ≥）， 得22231()(1)n n a a a a n a ++++--=．因为10a =，所以21n n S n a =--．由1n n a a +<及2211121n n n a a a ++=+-<得1n a <，所以2n S n >-．（Ⅲ）证明：由221112k k k k a a a a +++=+≥，得111(2313)12k k ka k n n a a ++=-+≤，，，，≥ 所以23421(3)(1)(1)(1)2n n n a a a a a a -+++≤≥， 于是2222232211(3)(1)(1)(1)2()22n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++≤≥， 故当3n ≥时，21111322n n T -<++++<，又因为123T T T <<，所以3n T <．古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。

2008年普通高等学校统一考试（浙江卷）数学(理科)试题本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.全卷共4页，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.第Ⅰ卷（共50分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+（B ）如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·（B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是p 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：()(1)kkn kn n P k C p p -=-球的表面积公式 S=42R π其中R 表示球的半径 求的体积公式V=343R π其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. （1）已知a 是实数，1a i i-+是纯虚数，则a =( )（A ）1 （B ）-1 （C（D ）解析：A 本小题主要考查复数的概念.由()(1)111(1)(1)22a i a i i a a iii i ----+==-++-是纯虚数，则102a -=且10,2a +≠故a =1.（2）已知U=R ，A={}|0x x >,B={}|1x x ≤-,则()()u u A C B B C A = ( ) （A ）∅ （B ）{}|0x x ≤ （C ）{}|1x x >- （D ）{}|01或x x x >≤-解析：D 本小题主要考查集合运算.u A C B = {}|0x x >u B C A = {}|1x x ≤-()()u u A C B B C A ∴={}|01或x x x >≤-（3）已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“a >b ”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件解析：D 本小题主要考查充要条件相关知识.依题“a >b ”既不能推出 “a >b ”；反之，由“a >b ”也不能推出“22b a >”.故“22b a >”是“a >b ”的既不充分也不必要条件. （4）在(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，含4x 的项的系数是( ) （A ）-15 （B ）85 （C ）-120 （D ）274解析：A 本小题主要考查二项式定理展开式具体项系数问题.本题可通过选括号 （即5个括号中4个提供x ，其余1个提供常数）的思路来完成.故含4x 的项的系数为(1)(2)(3)(4)(5)15.-+-+-+-+-=- （2008）（5）在同一平面直角坐标系中，函数3cos()([02])22，xy x ππ=+∈的图象和直线12y =的交点个数是( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 解析：C 本小题主要考查三角函数图像的性质问题.原函数可化为：])20[)(232cos(ππ，∈+=x x y =sin ,[0,2].2xx π∈作出原函数图像，截取[0,2]x π∈部分，其与直线21=y 的交点个数是2个.（6）已知{}n a 是等比数列，25124，a a ==，则12231n n a a a a a a ++++ =( )（A ）16（14n --） （B ）16（12n --） （C ）323（14n --） （D ）323（12n --）解析：C 本小题主要考查等比数列通项的性质.由3352124a a q q==⋅=⋅，解得1.2q =数列{}1n n a a +仍是等比数列:其首项是128,a a =公比为1.4所以,1223118[1()]324(14)1314nn n n a a a a a a -+-+++==--（7）若双曲线22221x y ab-=的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是( )（A ）3 （B ）5 （C（D解析：D 本小题主要考查双曲线的性质及离心率问题.依题不妨取双曲线的右准线2ax c=，则左焦点1F 到右准线的距离为222aa c c cc++=，左焦点1F 到右准线的距离为2ac c-22c a c-=，依题222222223,2c ac a c c a c a c++==--即225c a =，∴双曲线的离心率c e a==(浙江2008)（8）若cos 2sin αα+=则tan α=( ) （A ）12（B ）2 （C ）12-（D ）2-解析：B 本小题主要考查三角函数的求值问题.由cos 2sin αα+=cos 0,α≠两边同时除以cos α得12tan ,αα+=平方得222(12tan )5sec 5(1tan ),ααα+==+2tan 4tan 40αα∴-+=,解得tan 2.α=或用观察法.（9）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=, 则c的最大值是( )（A ）1 （B ）2 （C（D2解析： C 本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题.||||1,0,a b a b ==⋅=展开2()()0||()||||cos ,a c b c c c a b c a b θ-⋅-=⇒=⋅+=⋅+||||cos ,c a b θθ∴=+=则c;或者利用数形结合, a，b对应的点A,B 在圆221x y +=上,c对应的点C 在圆222x y +=上即可.（10）如图，AB 是平面a 的斜线段．．．，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动， 使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是( ) （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线安徽高中数学 http://sx.ahjxz ABCD解析：B 本小题其实就是一个平面斜截一个圆柱表面的问题. 考虑到三角形面积为定值，底边一定，从而P 到直线 AB 的距离为定值，若忽略平面的限制，则P 轨迹类似为一以AB 为轴心的圆柱面，加上后者平面的交集，轨迹为椭圆！ 还可以采取排除法，直线是不可能的，在无穷远处，点到直线的距离为无穷大， 故面积也为无穷大，从而排除C 与D,又题目在斜线段下标注重点符号，从而改成垂 直来处理，轨迹则为圆，故剩下椭圆为答案！2008年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学（理科） 第Ⅱ卷（共100分）注意事项：1．黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上，不能答在试题卷上.2．在答题纸上作图,可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.（11）已知a >0，若平面内三点A （1，-a ），B （2，2a ），C （3，3a ）共线，则a =_______. 解析：本小题主要考查三点共线问题.2(1,),AB a a =+ 32(1,),BC a a =-2322210,a a a a a a ⇒+=-⇒--=1a ∴=+(舍负).（12）已知12、F F 为椭圆221259xy+=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若2212F A F B +=，则A B =_________.解析：本小题主要考查椭圆的第一定义的应用.依题直线AB 过椭圆的左焦点1F ,在2F AB ∆ 中，22||||||420F A F B AB a ++==，又22||||12F A F B +=，∴||8.AB =（13）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c，若)cos cos c A a C -=，则cos A =3解析：本小题主要考查三角形中正弦定理的应用.依题由正弦定理得：sin )cos sin cos B C A A C-⋅=⋅,cos sin()sin B A A C B ⋅=+=,∴cos 3A =（14）如图，已知球O 点面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，则球O 点体积等于___________.ABCD EF解析：9π2.本小题主要考查球的内接几何体体积计算问题.其关键是找出球心，从而确定球的半径.由题意，三角形DAC,三角形DBC 都是直角三角形，且有公共斜边.所以DC 边的中点就是球心（到D 、A 、C 、B 四点距离相等），所以球的半径就是线段DC 长度的一半.（08浙江）（15）已知t 为常数，函数22y x x t=--在区间[0，3]上的最大值为2，则t=_______.解析：1,本小题主要考查二次函数问题.对称轴为1,x=下方图像翻到x轴上方.由区间[0，3]上的最大值为2，知max (3)32,y f t ==-=解得15,或t =检验5t =时, (0)52f =>不符,而1t =时满足题意.（16）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答).解析：40 本小题主要考查排列组合知识.依题先排除1和2的剩余4个元素有222228A A ⋅= 种方案，再向这排好的4个元素中插入1和2捆绑的整体，有15A 种插法，∴不同的安排方案共有221225240A A A ⋅⋅=种.（17）若0,0a b ≥≥，且当0,0,1x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，恒有1ax by +≤，则以a,b 为坐标点P （a ，b ）所形成的平面区域的面积等于__________.解析：1,本小题主要考查线性规划的相关知识.由1ax by +≤恒成立知，当0x =时，1by ≤恒成立，∴01b ≤≤；同理01a ≤≤，∴以a ,b 为坐标点(,)P a b所形成的平面区域是一个正方形，所以面积为1.三．解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （18）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直， BE//CF ，∠BCF=∠CEF=90︒,AD=（Ⅰ）求证：AE//平面DCF ；（Ⅱ）当AB 的长为何值时,二面角A-EF-C 的大小为60︒？18．本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等 基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力． 方法一：（Ⅰ）证明：过点E 作EG CF ⊥交CF 于G ，连结D G ， 可得四边形BCG E 为矩形，又ABCD 为矩形，所以∥AD EG ，从而四边形AD G E 为平行四边形， 故∥AE D G ．因为AE ⊄平面D C F ，D G ⊂平面D C F ，所以∥AE 平面D C F ．（Ⅱ）解：过点B 作BH EF ⊥交FE 的延长线于H ，连结AH ． 由平面ABCD ⊥平面BEFC ，AB BC ⊥，得AB ⊥平面BEFC ， 从而AH EF ⊥．所以AHB ∠为二面角A EF C --的平面角．在R t △EFG中，因为EG AD ==2EF =，所以60CFE ∠= ，1FG =． 又因为CE EF ⊥，所以4C F =， 从而3BE CG ==．于是sin 2BH BE BEH =∠=因为tan AB BH AHB =∠ ， 所以当AB 为92时，二面角A EF C --的大小为60．方法二：如图，以点C 为坐标原点，以，CB CF 和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴， 建立空间直角坐标系C xyz -．设，，AB a BE b CF c ===， 则(000)，，C，)，A a，0)，B，0)，E b ，(00)，，F c ． （Ⅰ）证明：(0)，，AE b a =-，0)，CB =，(00)，，BE b =， 所以0CB CE = ，0CB BE =，从而CB AE ⊥，CB BE ⊥，所以C B ⊥平面ABE ．因为C B ⊥平面D C F ，所以平面∥ABE 平面D C F ． 故∥AE 平面D C F ．（Ⅱ）解：因为(0)，EF c b =-，0)，CE b =，所以0EF CE = ，||2E F =，从而3()02，，b c b -+-=⎧=解得34，b c ==．所以0)，E ，(040)，，F ．设(1)，，n y z =与平面AEF 垂直，则0n AE =，0n EF =，解得(1n a=．又因为BA ⊥平面BEFC ，(00)，，BA a =，所以||1|cos |2||||，BA n n BA BA n <>===，得到92a =．D AB EFCHG所以当AB 为92时，二面角A EF C --的大小为60 ．（19）（08浙江）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球.已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.（Ⅰ）若袋中共有10个球，（i ）求白球的个数；（ii ）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为ξ,求随机变量ξ的数学期望E ξ. （Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710.并指出袋中哪种颜色的球个数最少.本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望 等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．满分14分． （Ⅰ）解：（i ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ， 设袋中白球的个数为x ，则2102107()19x C P A C -=-=，得到5x =．故白球有5个．（ii ）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分布列是ξ155130123121212122E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）证明：设袋中有n 个球，其中y 个黑球，由题意得25y n=，所以2y n <，21≤y n -，故112≤y n -．记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ，则23()551y P B n =+⨯-231755210≤+⨯=．所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n ，红球的个数少于5n ．故袋中红球个数最少．（20）已知曲线C 是到点P （13,28-）和到直线58y =-距离相等的点的轨迹. l 是过点Q （-1，0）的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上，,M A l M B x ⊥⊥轴（如图）. （Ⅰ）求曲线C 的方程； （Ⅱ）求出直线l 的方程，使得2Q B Q A为常数.本题主要考查求曲线的轨迹方程、想方法和综合解题能力．满分15分． （Ⅰ）解：设()，N x y 为C 上的点，则||N P =N到直线58y =-的距离为58y +58y +化简，得曲线C 的方程为21()2y x x =+．（Ⅱ）解法一：设22，x x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，直线:l y k xk =+，则()，B x kx k +，从而|||1|Q B x =+．在Rt △QMA中，因为222||(1)14x Q M x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，2222(1)2||1x x k M A k⎛⎫+- ⎪⎝⎭=+．所以222222(1)||||||(2)4(1)x Q A Q M M A kx k +=-=++ .||Q A =2||12||||Q B x Q A k x k+=+．当2k=时，2||||Q B Q A =，从而所求直线l 方程为220x y -+=．解法二：设22，x x M x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，直线:l y kx k=+，则()，B x kx k +，从而||1|Q B x =+．过Q (10)，-垂直于l 的直线11:(1)l y x k=-+．因为||||QA MH =，所以||Q A =l l2||12||||Q B x Q A k x k+=+．当2k=时，2||||Q B Q A =，从而所求直线l 方程为220x y -+=．方法三：解：(Ⅰ)设曲线C 上任意一点()，M x y ，则 图758y +.化简，得曲线C 的方程21()2y x x =+.(Ⅱ)设直线l 的倾斜角为α，点M 2(,)2x x x +在x 轴上的射影为E ，则 1QE x =+，22x x EM +=， 1cos x Q B α+=，()()llQ A Q MQ E EM==+ ()2π1cos cos()22x x x αα+=++-1cos sin 2x x αα=+⋅+.()222211/cos 1cos sin cos cos sin 22Q B x x x x Q Ax αααααα++∴==+⋅++.2Q B Q A是与x 无关的常数，∴当且仅当1cos sin 2αα=，即t an 2α=时，231cos Q B Q Aα==为常数.此时，直线l 的方程为()21y x =+，即220x y -+=.（08浙江）（21）已知a 是实数，函数())f x x a =-.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设()g a 为()f x 在区间[]0,2上的最小值.（i ）写出()g a 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得6()2g a -≤≤-.21．本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．满分15分． （Ⅰ）解：函数的定义域为[0)，+∞，()f x '==（0x >）．若0a ≤，则()0f x '>，()f x 有单调递增区间[0)，+∞． 若0a >，令()0f x '=，得3a x =，当03a x <<时，()0f x '<，当3ax >时，()0f x '>．()f x 有单调递减区间03，a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调递增区间3，a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（Ⅱ）解：（i ）若0a ≤，()f x 在[02]，上单调递增，所以()(0)0g a f ==． 若06a <<，()f x 在03，a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在23，a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，所以()3a g a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭6a ≥，()f x 在[02]，上单调递减，所以()(2))g a f a ==-．综上所述，00()06)6，，，，．a g a a a a ≤⎧⎪⎪=-<<⎨-≥ （ii ）令6()2g a -≤≤-．若0a ≤，无解．若06a <<，解得36a ≤<． 若6a ≥，解得62a ≤≤+．故a的取值范围为32a ≤≤+．（22）已知数列{}n a ，0n a ≥，10a =，22111()n n n a a a n N ∙+++-=∈．记12n n S a a a =+++ ．112121111(1)(1)(1)(1)(1)n n T a a a a a a =+++++++++ ．求证：当n N ∙∈时， （Ⅰ）1n n a a +<； （Ⅱ）2n S n >-； （Ⅲ）3n T <.22．本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能， 同时考查逻辑推理能力．满分14分． （Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．①当1n =时，因为2a 是方程210x x +-=的正根，所以12a a <． ②假设当*()n k k =∈N 时，1k k a a +<，因为221k k a a +-222211(1)(1)k k k k a a a a ++++=+--+-2121()(1)k k k k a a a a ++++=-++，所以12k k a a ++<．即当1n k =+时，1n n a a +<也成立．安徽高中数学 http://sx.ahjxz 根据①和②，可知1n n a a +<对任何*n ∈N 都成立．（Ⅱ）证明：由22111k k k a a a +++-=，121，，，k n =- （2≥n ），得22231()(1)n n a a a a n a ++++--= ．因为10a =，所以21n n S n a =--．由1n n a a +<及2211121n n n a a a ++=+-<得1n a <，所以2n S n >-．（Ⅲ）证明：由221112≥k k k k a a a a +++=+，得111(2313)12≤，，，，≥k k k a k n n a a ++=-+ 所以23421(3)(1)(1)(1)2≤≥n n n a a a a a a -+++ ， 于是2222232211(3)(1)(1)(1)2()22≤≥n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++ ，故当3≥n 时，21111322n n T -<++++< ， 又因为123T T T <<，所以3n T <．。